und Pseudospektralmethoden zur Lösung der Fokker

Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Spektral- und Pseudospektralmethoden zur
Lösung der Fokker-Planck und der Schrödinger
Gleichung
Daniel Seibel
Universität des Saarlandes
5. Juli 2016
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Gliederung
1
2
3
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Brownsche Bewegung
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Spektrallösung der Rayleigh-Gleichung
Numerische Lösungsmethoden
Wiederholung
Fokker-Planck-Gleichung
Spektralmethoden mit nichtklassischen Basen
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Sturm-Liouville-Probleme
Sturm-Liouville-Problem
Rotation eines starren Körpers
Harmonischer Oszillator
Zweidimensionale Schrödingergleichung
Abschließende Worte
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Brownsche Bewegung
Brownsche Bewegung
Betrachte Teilsystem von Teilchen der Masse m, das mit
Teilchen eines Hintergrundmediums im Gleichgewicht zur
Temperatur Tb interagiert
Skalare Kraft F auf das Brownsche Teilchen ist zufällig, nur
die Reibungskomponente Fs kann als stetig angenommen
werden
Setze F (t) = Fs (t) + Fr (t) mit Zeit t und stochastischer
Komponente Fr .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Brownsche Bewegung
Langevin-Gleichung
Mit skalarer Geschwindigkeit v und Reibungskoeffizienten α
erhält man
dv
m
= −αv (t) + Fr (t)
dt
Problem: Fr ist unbekannt!
Lösung: Statt einer nicht deterministischen Gleichung
betrachtet man eine stochastische Differentialgleichung.
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Brownsche Bewegung
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
In diesem Sinne lässt sich aus der Langevin-Gleichung die
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung mit W-Dichte P ableiten
∂
kB Tb ∂P(v , t)
∂P(v , t)
=ν
vP(v , t) +
,
∂t
∂v
m
∂v
wobei v (t) Geschwindigkeit zu Zeit t, νv Drift- und ν kBmTb
Diffusionskoeffizient und ν Kollisionsfrequenz sind.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Analytische Lösung
Für t → ∞ nimmt P eine stationäre Form P0 an
r
m
−mv 2
exp
,
P0 (v ) =
2πkB Tb
2kB Tb
die eine Maxwell-Verteilung ist.
Mit der Anfangsbedingung P(v , 0) = δ(v − v0 ) lässt sich wie
folgt substituieren
e 2νt − 1
,
ν
u = ve ντ ,
τ=
P(v , τ ) = e ντ Q(u, τ )
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Analytische Lösung
Damit wird die Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung zu
∂Q(u, τ )
∂ 2 Q(u, τ )
=D
∂τ
∂u 2
mit Diffusionskoeffizienten D =
νkB Tb
m .
Die Lösung kann nun mit Fourier-Transformation bestimmt
werden
1
−(u − u0 )2
Q(u, τ ) = √
exp
,
4Dτ
4πDτ
wobei u0 durch die Anfangsbedingung v0 gegeben ist.
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Analytische Lösung
Rücksubstitution gibt
1
(x − x0 e −νt )2
exp −
P(x, t) = p
1 − e −νt
π(1 − e −2νt )
q
2
mit reduzierter Geschwindigkeit x = 2kmv
.
B Tb
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Numerische Lösungsmethoden
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Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Spektralmethode
2
Für die Spektrallösung substituiert man P(x, t) = e −x g (x, t)
und erhält
∂g (x, t) ∂ 2 g (x, t)
∂g (x, t)
= ν −2x
+
∂t
∂x
∂x 2
P
Entwicklung in Hermite-Polynome g (x, t) = ∞
n=0 cn Hn (x)
führt zu
∞
X
n=0
∞
X
dcn (t)
Hn (x)
=ν
cn (t) −2xHn0 (x) + Hn00 (x)
dt
n=0
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Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Spektralmethode
Die Identität −2xHn0 + Hn00 = −2nHn liefert zusammen mit
Koeffizientenvergleich
dcn (t)
= −2nνcn (t),
dt
also
cn (t) = Hn (x0 )
e −2nνt
√ .
2n n! π
Damit ist die Spektraldarstellung
P(x, t) = e −x
2
∞
X
e −2nνt
√ Hn (x0 )Hn (x).
2n n! π
n=0
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Der Kollisionsoperator für harte Kugeln in der
Boltzmann-Gleichung für ein Gemisch aus zwei Gasen kann
für die Übergänge
γ=M
m → 0 (Rayleigh-Limit)
γ → ∞ (Lorentz-Limit)
durch je eine Fokker-Planck-Gleichung beschrieben werden.
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Sturm-Liouville-Probleme
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Lorentz-Fokker-Planck-Gleichung
Für γ → ∞ erhält man die Fokker-Planck-Gleichung
1 ∂
∂P(x, t)
∂
=
(2x 2 − 3)P(x, t) +
[xP(x, t)] ,
∂t
4 ∂x
∂x
q
2
wobei x = kmv
die reduzierte Geschwindigkeit ist.
B Tb
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Sturm-Liouville-Probleme
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Rayleigh-Fokker-Planck-Gleichung
Für γ → 0 erhält man die Fokker-Planck-Gleichung
∂
∂P(y , t)
∂
=
(y − 3)P(y , t) +
[yP(y , t)]
∂t
∂y
∂y
2
σ0 die reduzierte Energie mit dem
wobei y = kmv
B Tb
Wirkungsquerschnitt σ0 ist.
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Spektrallösung der Rayleigh-Gleichung
Rayleigh-Gleichung
√
Setzt man P(y , t) = P0 (y )g (y , t) mit P0 (y ) = y e −y ,
sodass so erhält man
∂g (y , t)
∂ 2 g (y , t)
3
∂g (y , t)
=y
+
−y
.
2
∂t
∂y
2
∂y
1
Die Laguerre-Polynome Ln2 erfüllen
1
d 2 Ln2 (y )
y
+
dy 2
1
3
−y
2
1
dLn2 (y )
= −nLn2 (y ).
dy
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Sturm-Liouville-Probleme
Spektrallösung der Rayleigh-Gleichung
Spektrallösung der Rayleigh-Gleichung
Die Entwicklung in Laguerre-Polynome zur Anfangsbedingung
P(y , 0) = δ(y − y0 ) liefert
cn =
1
n!
Ln2 (y0 )e −nt .
3
Γ(n + 2 )
Damit ist die Spektraldarstellung der Lösung
∞
P(y , t) =
√ −y X
ye
1
1
n!
Ln2 (y0 )Ln2 (y )e −nt .
3
Γ(n + 2 )
n=0
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Wiederholung
Differentiationsmatrix
Ausgehend von der Spektraldarstellung des Differentiald
operators dx
1. Ordnung bezüglich einer Orthonormalbasis Pn
Z
dnm =
w (x)Pn (x)
dPm (x)
dx
dx
erhält man mit den Transformationsmatrizen
√
Tnm = wm Pn (xm ) die pseudospektrale Darstellung
Dij =
N−1
X N−1
X
n=0 m=0
Tin dnm Tmj =
√
wi wj
N−1
X
m=0
0
Pm
(xi )Pm (xj ).
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Fokker-Planck-Gleichung
Fokker-Planck-Gleichung
Für die Langevin-Gleichung
dv
= f (v ) + g (v )ζ(t) + η(t)
dt
mit ζ multiplikative und η additive Zufallsvariable und f ,g
bekannt, erhält man die Fokker-Planck-Gleichung
∂P(v , t)
∂
∂B(v )P(v , t)
=
A(v )P(v , t) +
.
∂t
∂v
∂v
Zudem soll die Anfangsbedingung P(v , 0) = δ(v − v0 ) gelten.
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Sturm-Liouville-Probleme
Fokker-Planck-Gleichung
Fokker-Planck-Gleichung
A und B sind zeitunabhängige Drift-und
Diffusionskoeffizienten
A(v ) = f (v ) + βg (v )
dg (v )
,
dv
B(v ) = D + βg (v )2
mit Konstanten β und D.
P nimmt für t → ∞ die stationäre Form P0 an
Z v
1
A(w )
P0 (v ) =
exp −
dw .
B(v )
−∞ B(w )
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Sturm-Liouville-Probleme
Spektralmethoden mit nichtklassischen Basen
Fokker-Planck-Gleichung
Man substituiert P(x, t) = P0 (x)g (x, t) und erhält
∂g (x, t)
1 ∂
∂g (x, t)
=
B(x)P0 (x)
∂t
P0 (x) ∂x
∂x
2
∂g (x, t)
∂ g (x, t)
= −A(x)
+ B(x)
.
∂x
∂x 2
Ist −L der Operator auf der rechten Seite, so hat man
∂g (x, t)
= −Lg (x, t).
∂t
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Spektralmethoden mit nichtklassischen Basen
Spektralmethode
L ist selbstadjungiert bezüglich dem Skalarprodukt mit
Gewichtsfunktion P0 , wenn folgendes gilt
∂g (x, t) ∞
= 0.
P0 (x)B(x)
∂x
0
Betrachte nun in diesem Fall das Eigenwertproblem
Lψ(x) = λψ(x).
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Spektralmethoden mit nichtklassischen Basen
Spektralmethode
Sei {Sn } die Polynombasis orthonormal bezüglich P0 . Dann
hat L die Spektraldarstellung
Z ∞
(sp)
Lnm =
P0 (x)Sn (x)LSm (x)dx.
0
Partielle Integration unter Voraussetzung der Randbedingung
ergibt sich die symmetrische Form
Z ∞
1 d
dSm (x)
(sp)
Lnm =
P0 (x)Sn (x)
P0 (x)B(x)
dx
P0 (x) dx
dx
0
Z ∞
0
= −
P0 (x)B(x)Sn0 (x)Sm
(x)dx.
0
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Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Sei {Rn } Orthonormalbasis zur Gewichtsfunktion w mit
s
P0 (x)
Rn (x) =
Sn (x).
w (x)
Eingesetzt in die Spektraldarstellung liefert
Z ∞
(sp)
Lnm = −
w (x)B(x) Rn0 (x) + h(x)Rn (x)
0
0
Rm (x) + h(x)Rm (x) dx.
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Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Sei {Rn } Orthonormalbasis zur Gewichtsfunktion w mit
s
P0 (x)
Rn (x) =
Sn (x).
w (x)
Eingesetzt in die Spektraldarstellung liefert
Z ∞
(sp)
Lnm = −
w (x)B(x) Rn0 (x) + h(x)Rn (x)
0
0
Rm (x) + h(x)Rm (x) dx.
Dabei ist h gegeben durch
h(x) =
w0
P 0 (x)
− 0
.
2w (x) 2P0 (x)
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Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Für die pseudospektrale Darstellung wählt man eine
Quadraturmethode zur Gewichtsfunktion w
(sp)
Lnm
=−
N
X
wk B(xk ) Rn0 (xk ) + h(xk )Rn (xk )
k=1
0
Rm (xk ) + h(xk )Rm (xk ) .
Damit erhält man die Darstellung
(ps)
Lij
=
N X
N
X
(sp)
Tin Lnm Tjm
m=1 n=1
mit Transformationsmatrizen Tin =
√
wi Rn (xi ).
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Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Die erste Summe ist für festes k in Rn (xk )
h(xk )
N
X
Tin Rn (xk ) = h(xk )
n=1
N
X
√
wi Rn (xi )Rn (xk )
n=1
=
h(xk )
√ δik
wk
und in Rn0 (xk )
N
X
n=1
Tin Rn0 (xk )
r
N
N
X
X
√
w`
=
wi Rn (xi )
Dk`
Rn (x` )
wk
n=1
=
Dki
√ .
wk
`=1
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Für die zweite Summe über m erhält man ähnliche Ergebnisse
und zusammenfassen ergibt die Darstellung
(ps)
Lij
=−
N
X
B(xk ) [Dki + h(xk )δki ] [Dkj + h(xk )δkj ] .
k=1
Für den Fall w = P0 verkürzt sich dies zu
(ps)
Lij
=−
N
X
k=1
B(xk )Dki Dkj .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Lösung des ursprünglichen Problems
Diagonalisierung von L(sp) gibt die normierten Eigenfunktionen ψn zu den Eigenwerten λn . Die Lösung der
Fokker-Planck-Gleichung ist dann gegeben durch
P(x, t) = P0 (x)
∞
X
ψn (x0 )ψn (x)e −λn t ,
n=1
beziehungsweise für L(ps) mit normierten Eigenfunktionen ψ̃n
zu den Eigenwerten λ̃n
P(xk , tj ) ≈ P0 (xk )
N
X
n=1
ψn (x0 )ψn (xk )e −λn tj .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Sturm-Liouville-Problem
Definition
Das Sturm-Liouville-Problem ist das Eigenwertproblem
Lψn (x) = λn w (x)ψn (x)
mit einer Gewichtsfunktion w > 0 und dem
Differentialoperator L gegeben durch
d
df (x)
Lf (x) =
p(x)
+ q(x)f (x)
dx
dx
mit Diffusionskoeffizient p und Quellterm q.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Sturm-Liouville-Problem
Voraussetzungen
Seien von nun an p > 0, dp
dx und q reellwertig und stückweise
stetig. Die Eigenfunktionen ψn seien definiert auf einem
Intervall [a, b] ⊂ R und erfüllen die Randbedingungen
q(a)ψn (a) + p(a)ψn0 (a) = 0,
q(b)ψn (b) + p(b)ψn0 (b) = 0
Diese Randbedingungen stellen sicher, dass L selbstadjungiert
bezüglich dem L2 -Skalarprodukt ist.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Sturm-Liouville-Problem
Sturm-Liouville-Problem
Die Transformation y =
−
R q w (x)
p(x) dx
führt zu
d 2 φn (y )
+ V (y )φn (y ) = λn φn (y )
dy 2
mit dem Potential V
V (y ) =
d2
1
q[x(y )]
+ m[x(y )] 2
,
w [x(y )]
dy m[x(y )]
1
wobei m(x) = [p(x)w (x)]− 4 und ψn (x) = m(x)φn [y (x)] gilt.
Orthogonale Polynome erfüllen diese Gleichungen für
bestimme p und q.
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Rotation eines starren Körpers
Das Modell
Die Schrödingergleichung zur Bestimmung der
Rotationsenergie eines zweiatomigen Moleküls ist
~2
1 d
dψ(θ)
−
sin θ
= E ψ(θ)
2I sin θ dθ
dθ
mit der quantisierten Energie E und dem Trägheitsmoment I .
Die Substitution x = cos θ führt zu
d
2 dψ` (x)
Hψ` (x) = −
(1 − x )
= λ` ψ` (x)
dx
dx
mit dem dimensionslosen Hamiltonoperator H und dem
2
Energieeigenwert E` = λ` ~2I .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Rotation eines starren Körpers
Pseudospektrallösung
Für die Eigenwerte λ` gilt
λ` = `(` + 1)
mit Eigenfunktionen ψ` , die gerade die Legendre-Polynome P`
sind.
Bezüglich dieser Eigenfunktionen hat H Diagonalgestalt und
die pseudospekrale Lösung lautet
(ps)
Hij
=
N
X
(1 − xk2 )Dki Dkj
k=1
mit der Differentiationsmatrix (Dij ).
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Harmonischer Oszillator
Man betrachte die Schrödingergleichung
x2
1
Hψn (x) = − ψn00 (x) + ψn (x) = λn ψn (x),
2
2
Die Eigenwerte λn sind
1
λn = (n + ).
2
Mit welcher Methode erhält man die besten Ergebnisse?
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Differenzenmethode mit Fourier-Polynomen
Man approximiert den Operator H durch eine
Differenzenmethode und stellt die Eigenfunktionen durch
Fourierpolynome dar.
Damit erhält man
1
Hij =
2(∆x)2
(
π 2 /3
2(−1)i−j
(i−j)2
i =j
i 6= j
)
+
xi2
δij .
2
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Harmonischer Oszillator
Konvergenz der Eigenwerte
Sturm-Liouville-Probleme
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Harmonischer Oszillator
Eigenfunktion
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Lagrange-Mesh-Methode
Eine Pseudospektralmethode mit Hermite-Polynomen liefert
die Darstellung
(
)
i =j
(4N − 1 − 2xi2 )/12
xi2
+
Hij =
δij .
2
(−1)i−j 1/(xi − xj )2 − 1/4 i 6= j
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Harmonischer Oszillator
Tabelle mit Eigenwerten
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Ghost Levels
Es treten falsche Eigenwerte auf, die ghost levels genannt
werden.
Dies wird auf nicht exakte Quadratur zurückgeführt. Für
n = m = N ist der Integrand von
Z
1 ∞
w (x)Hn (x)x 2 Hm (x)dx
Vnm =
2 −∞
ein Polynom vom Grad 2N + 2, die Quadratur der Ordnung N
ist aber nur bis 2N + 1 exakt!
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Pseudospektralmethode
Man substituiert ψn (x) = e
gleichung und erhält
−x 2
2
φ(x) in der Schrödinger-
1 00
φ (x) − xφ0n (x) = nφn (x).
2 n
Dies ist gerade eine definierende Gleichung der HermitePolynome.
Die Lösung kann also direkt angegeben werden
N
(ps)
Hij
=
1X
Dki Dkj .
2
k=1
Eigenwerte sind exakt λn = n und Eigenfunktionen
φn (xi ) = Hn (xi ).
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Numerische Lösungsmethoden
Harmonischer Oszillator
Konvergenz der Eigenwerte
Sturm-Liouville-Probleme
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Harmonischer Oszillator
Eigenfunktion
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
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Harmonischer Oszillator
Konvergenz der Eigenwerte
Sturm-Liouville-Probleme
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Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Zweidimensionale Schrödingergleichung
Spektralmethode
Der zweidimensionale Hamiltonoperator hat die Form
∂2
∂2
− 2 − 2 + V (x, y ) ψnm (x, y ) = λnm ψnm (x, y ).
∂x
∂y
Mit Polynombasen Xn (x) zur Gewichtsfunktion u(x) und
Ym (y ) zu v (y ) erhält man analog zum eindimensionalen Fall
Z
Hn0 m0 ,nm = δm0 m u(x)Xn0 0 (x)Xn0 (x)dx +
Z
0
δn0 n v (y )Ym0
(y )Ym0 (y )dy +
(Vn0 m0 ,nm − Ṽn0 m0 ,nm ).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Zweidimensionale Schrödingergleichung
Spektralmethode
Dabei ist Ṽ gegeben durch
Z 1 0
1 2
U (x) − U (x) u(x)Xn0 0 (x)Xn0 (x)dx +
Ṽn0 m0 ,nm = δm0 m
4
2
Z 1 2
1 0
0
δn n
V (y ) − V (y ) v (y )Ym0 0 (y )Ym0 (y )dy
4
2
0
0
(y )
(x)
mit U(x) = − uu(x)
und V (y ) = − vv (y
).
V ist dabei
Z Z
Vn0 m0 ,nm =
u(x)v (y )Xn0 (x)Ym0 (y )
V (x, y )Xn (x)Ym (y )dxdy .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Zweidimensionale Schrödingergleichung
Pseudospektralmethode
Entsprechend ist die pseudospektrale Darstellung
Hij,k` = δj`
N
X
n=1
Dni Dnk + δik
M
X
Dmj Dm`
m=1
h
i
+ V (xi , yj ) − Ṽ (xi , yj ) δik δj`
mit
Ṽ (x, y ) =
1 2
1 2
0
0
U (x) − U (x) +
V (y ) − V (y ) .
4
4
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Zweidimensionale Schrödingergleichung
Plot der Eigenfunktionen
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Abschließende Worte
Zusammenfassung
Numerisches Lösen einer Fokker-Planck-Gleichung kann auf
ein Eigenwertproblem vom Sturm-Liouville-Typ zurückgeführt
werden.
Spezielle orthogonale Polynome lösen das Eigenwertproblem.
Spektral-und Pseudospektrallösungen können mit Hilfe dieser
orthogonalen Polynome beschrieben werden.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik
Numerische Lösungsmethoden
Sturm-Liouville-Probleme
Abschließende Worte
Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit!