Blatt 3 - Mathematisches Institut

Übungen zur Vorlesung
Lineare Algebra für Informatik und Lehramt (GS/MS/FS)
Abgabetermin: Fr. 28.04.2017 bis 11:00 Uhr
Abgabeort: Postfach Radl in Zimmer A 514
Mathematisches Institut
Universität Leipzig
Agnes Radl
Blatt 3
Aufgabe 1
Seien R eine Äquivalenzrelation auf M und x, y ∈ M . Zeigen Sie folgende Aussagen.
(a) Ist x ∼ y, so ist [x] = [y].
(b) Ist x 6∼ y, so ist [x] ∩ [y] = ∅.
[
(c)
[x] = M .
x∈M
Aufgabe 2
Sei M eine Menge. Eine Zerlegung von M ist eine Menge Z ⊆ P(M ), so dass
• ∅ 6∈ Z,
[
• M=
Z,
Z∈Z
• Z ∩ Z 0 = ∅ für alle Z, Z 0 ∈ Z mit Z 6= Z 0 .
Ist R eine Äquivalenzrelation auf M , so bildet nach Aufgabe 1 die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich R eine Zerlegung auf M .
(a) Zeigen Sie, dass es umgekehrt zu einer Zerlegung Z von M eine Äquivalenzrelation
R auf M gibt, so dass die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich R gerade die
Zerlegung Z ist.
(b) Sei M = {1, 2, 3}. Geben Sie sämtliche Äquivalenzrelationen auf M an.
Hinweis: Überlegen Sie zunächst, welche Zerlegungen es von M gibt. Geben Sie dann
jeweils die zugehörige Äquivalenzrelation an.
Aufgabe 3
Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Geben Sie bei den Äquivalenzrelationen jeweils die Äquivalenzklassen an. Falls keine Äquivalenzrelation vorliegt,
geben Sie eine kurze Begründung, warum es sich um keine Äquivalenzrelation handelt.
(a) R1 := {(1, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 4)} ⊆ {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4}
(b) R2 := {(x, y) : f (x) = f (y)} ⊆ [0, 1] × [0, 1], wobei
1, x ∈ Q,
f : [0, 1] → R, x 7→
0, x ∈
6 Q.
Bitte wenden!
(c) Die Relation R3 auf Z sei definiert durch
xR3 y,
falls x + y eine gerade Zahl ist.
(d) Die Relation R4 auf N sei definiert durch
falls a, b ∈ N existieren, so dass y = axb .
xR4 y,
Aufgabe 4
(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus
(i) ggT(21, 13),
(... was fällt auf?)
(ii) ggT(156, −64),
(iii) ggT(−296, −96).
(Rechenweg mitangeben!)
(b) Finden Sie Zahlen s, t ∈ Z, so dass
ggT(156, −64) = s · 156 + t · (−64).
(Rechenweg mitangeben!)