(Z) ⊃ C(Z)
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7.6 Der mathematische Rahmen. Das Z − C − P Dreieck 7.6 113 Der mathematische Rahmen. Das Z − C − P Dreieck state space (compact, Hausdorff, 1 Axiom of count.) Z = extr P(Z) dual weak* ∗∗ C (Z) ⊃ C(Z) functions of points ✛ ✲ P(Z) ⊂ C∗(Z) weak functions of sets continuous functions intensive values ❅ ❅ bidual ❅ ❅ ❅ ❅ Radon measures hg, pi extensive values observables statistical states potentials, densities test functions probability measures information • Wichtig ist, daß der Zusammenhang der Objekte Z −→ C −→ P −→ Pe = Z immer erhalten bleibt. Dann ist die Theorie anwendbar und viele der Sätze bleiben notwendig und hinreichend. Ist z.B. die gewählte Menge an Beobachtungen nicht zufriedenstellen, so kann mann sie ändern. Das bedeutet unter Umständen, daß man die Topologie ändern muß, damit die neue Menge an Beobachtungen stetige Funktionen sind. Das wiederum verändert die Menge an Wahrscheinlichkeitsmaßen. • Bei der mathematischen Modellierung ist entscheidend, daß man einen mathematischen Rahmen findet, der einerseits nach Möglichkeit jedes interessierende Problem beeinhaltet und andererseits eine physikalische Interpretation jedes Objektes des Rahmen ermöglicht. Das unterscheidet den vorgestellten Zugang von anderen Zugängen, bei denen ein mathematischer Rahmen postuliert wird und Probleme betrachtet werden, die im Rahmen dieses Rahmens behandelt werden können. Dabei gibt es meistens keinen physikalischen Grund, warum man gewisse Probleme, die nicht in den Rahmen passen, nicht behandeln kann. • Es gibt bei der Beschreibung von Problemen zwei zueinander duale Seiten, einerseits die physikalische, die unabhängig vom Beobachter existiert und durch Größen wie Wahrscheinlichkeitsdichten und Trajektorien beschrieben werden kann, und andererseits die Beobachtungsseite, auf der aus den physikalischen Größen Daten abgeleitet werden. Üblicherweise werden an die physikalischen Größen Bedingungen gestellt, die das Problem einschränken. Das ist unphysikalisch. Die physikalischen Größen sind wie sie sind. Möglich ist nur eine geeignete Manipulation der Menge der Beobachtungen. Das ist z.B. wichtig 114 7 THE KAKUTANI-KREIN-STONE THEORY (KKS) bei der Herleitung von makroskopischen Gleichungen aus mikroskopischen und bei der Entwicklung von Näherungsverfahren. • Der mathematische Rahmen ist für jedes klassische Problem geeignet. Was das bedeutet, wird klar, wenn man untersucht, was für Systeme mit diesem mathematischen Rahmen nicht beschrieben werden können. Solche Systeme sind nicht-klassisch. Das ist z.B. ein Quantensystem. Zwei entscheidende Eigenschaften eines Quantensystems bewirken, daß sie in den betrachteten Rahmen nicht passen: – Zustandraum ist nicht kompakt Axiomatisch wird ein Quantensystem folgendermaßen beschrieben: Es wird ein Hilbertraum H postuliert. Der Zustand eines Quantensystems ist ein Punkt ψ (genannt Wellenfunktion) der Einheitssphäre in H. Die Einheitssphäre im Hilbertraum ist im allgemeinen nicht kompakt in der starken Topologie in H. Die schwache Topologie ist nicht geeignet, weil man dann keine Evolutionsgleichungen der Form i~ψ̇ = Hψ (Schrödingergleichung) aufstellen kann. Hier ist H der Hamiltonoperator. – Beobachtungen kommutieren nicht Eine Beobachtung wird in der Quantenmechanik definiert durch einen selbstadjungierten Operator A in H. Das Ergebnis der Beobachtung ist (Aψ, ψ). Im allgemeinen gilt AB 6= BA (Heisenbergsche Unschärferelation) für zwei Beobachtungen A und B. Die Algebra der Beobachtungen ist nicht kommutativ. Für klassische Systeme ist die Algebra der Beobachtungen (punktweise Multiplikation stetiger Funktionen) kommutativ. Damit erhält man eine Definition, wann ein physikalisches System klassisch ist: Wenn der Zustandsraum kompakt ist und Beobachtungen kommutieren. Bemerkung: Beschränkt man sich auf separable Hilberträume und kommutierende Beobachtungen (dann gibt es eine abzählbare Basis Basis (ψi ) bezüglich der alle Beobachtungen diagonalisierbar sind), kann man anstelle der Einheitssphäre einen kompakten Raum betrachten (der l2 auf (ψi )). In diesem Fall ist auch ein Quantensystem im klassischen Rahmen beschreibbar.