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ÜBER DIE ASYMPTOTISCHE DICHTE
VON GEWISSEN ZAHLENMENGEN
HANS-JOACHIM KANOLD
Ist 31 eine Menge von natürlichen Zahlen, A (x) die Anzahl der n e 31 mit
n fg x, so wird die untere bzw. obere asymptotische Dichte gegeben durch
A(x)
_
A(x)
D*(3l) = lim —— bzw. D*(3l) = lim ——.
œ-x»
X
œ->-oo
%
Denkt man sich jedes n e 31 geschrieben als Primzahlpotenzprodukt n=p*1... p**
mit p1 < p2 < . . . < pkt bezeichnet man ferner den größten quadratischen
Teiler von n mit Q(n), so ist D*(3l) = 0, wenn für jedes n e 31 eine der folgenden
drei Bedingungen erfüllt ist:
1) Q(n) > g(n), wobei g(x) irgendeine positivwertige, monoton mit x
gegen oo strebende Funktion ist.
2) oc„ > 1 für mindestens ein % > ek (e > 0, fest).
3) n ist eine vollkommene Zahl.
Für die Menge S8 aller Zahlen, die zu befreundeten Zahlenpaaren gehören,
ist Z)*(S5) < 0,204. In Erweiterung eines bekannten Resultates wird gezeigt:
Ist 31 die Menge aller Zahlen, die zu den Primzahlen qlt q2, . . ., ql relativ prim
sind, und für die Q(n) = d2 (unabhängig von n) ist, so gilt
D*(3l)=D*(3l)=—-
TL q"
7c2d2 x^i qx + 1
GIESSEN, ARNDTSTR. 16, DEUTSCHLAND.
EINBETTUNG EINES BELIEBIGEN VERBANDES
IN EINEM o-TOPOLOGISCHEN VERBAND
DEMETRIOS A. KAPPOS
G. Birkhoff (Lattice Theory, 2. ed. 1948 S. 59—60) führt in einem Vollverband V die sogenannte Ordnungskonvergenz (order-convergence) xt -> x
für gerichtete Familien {Xi\i€I ein. Dieser Begriff kann auch ohne die Voraussetzung der Vollständigkeit von V eingeführt werden (vgl. für I = (1, 2, . . .}
1. Ed. 1940 des obigen Birkhoffschen Buches bezw. P. M. Whitman, Free
Lattices II, Annals of Math. 43 (1942) 104—115). Durch geeignete Formulierung der Birkhoffschen Bedingung (12) bezw. ihre äquivalente Bedingung (12')
(vergi. S. 63 der 2. Ed. des Birkhoffschen Buches) kann man dann die soge30
nannten o-topologischen Verbände (topological lattices) charakterisieren. Ist
es nun ein beliebiger Verband V, der nicht o-topologisch ist, so kann man die
o-Konvergenz von gewissen gerichteten Familien, die die Birkhoffsche Bedingung erfüllen, als stetig bezeichnen und die Frage der isomorphen Einbettung, mit Erhaltung der so erklärten Stetigkeit, des Verbandes V in einem
o-topologischen Verband VT untersuchen. Es läßt sich zeigen, daß stets ein
o-topologischer Verband VT existiert, der dies leistet. In speziellen Fällen kann
sogar VT zu einem o-topologischen Voll verband vollinvariant erweitert werden.
ATHEN-NEA SMYRNI, VENIZELOU 99.
GRUNDLAGEN EINER THEORIE DER
FROBENIUSERWEITERUNGEN
FRIEDRICH KASCH
Eine Frobeniusalgebra AjK ist dadurch gekennzeichnet, dass bei ihr die
beiden regulären Darstellungen von A in K äquivalent sind. In Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes bezeichnen wir eine Ringerweiterung F/R als
Frobeniuserweiterung, wenn F/R eine Links- und eine Rechtsbasis besitzt,
(die nicht notwendig endlich sein müssen), sodass die dadurch erzeugten
regulären Darstellungen von F in R gleich sind. Die Bedeutung dieser Verallgemeinerung beruht auf der Tatsache, dass unter der folgenden, recht allgemeinen Voraussetzung über R grundlegende Ergebnisse über Frobeniusalgebren auch jetzt gültig bleiben. Über den Ring R wird vorausgesetzt, dass er
ein 1-Element besitzt, der Minimalbedingung für einseitige Ideale genügt und
der Annulator eines jeden von R verschiedenen Rechts- oder Linksideals aus R
ungleich (0) ist. Als Ausgangspunkt für eine Theorie der Frobeniuserweiterungen
kann das folgende, bisher nur für Frobeniusalgebren bekannte Kriterium bewiesen
werden: F/R ist dann und nur dann Frobeniuserweiterung, wenn ein Operatorhomomorphismus von F auf R mit R als zweiseitigem Operatorenbereich
existiert, bei dem kein Links- oder Rechtsideal ^ (0) auf Null abgebildet wird.
Auf diesem Kriterium beruht dann der folgende Satz: Bezeichnet man mit E
den Endomorphismenring von F als 7^-Linksmodul und mit R* den durch die
Elemente aus R als Rechtsmultiplikatoren von F gebildeten Endomorphismenring, so ist F/R dann und nur dann Frobeniuserweiterung, wenn E/R*
Frobeniuserweiterung ist. Daraus folgt z.B., dass jede galoissche Ringerweiterung F/R, wobei F einfach und R halbeinfach sei, eine Frobeniuserweiterung
darstellt. Damit wird eine von T. Nakayama ausgesprochene Vermutung
bestätigt (Proc. Congr. Math. II, 49 (1950)). Schliesslich kann der Begriff der
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