J. W. GOETHE UNIVERSIT ¨AT SS 2016 N. KISTLER BLATT 6

J. W. GOETHE UNIVERSITÄT
N. KISTLER
SS 2016
BLATT 6
ELEMENTARE STOCHASTIK
Abgabe: Montag 30/05
Aufgabe 1. In einem Münzwurf (Z1 , Z2 , . . . ) mit Erfolgswahrscheinlichkeit p sei Y die Anzahl
der Versuche bis zum n-ten Erfolg. Zeigen Sie
n+i−1 n i
P (Y = n + i) =
p q , i = 0, 1, . . .
i
Man sagt Y ist negativ1 binomial-verteilt mit Parametern n, p. Ueberzeugen Sie somit, dass die
Summe X1 + · · · + Xn von unabhängigen, Geom(p)-verteilten Z.V. negativ binomialverteilt ist.
Aufgabe 2.
a) X1 und X2 seien unabhängig und N (0, 1)-verteilt. Bestimmen Sie die Verteilung von
X12 + X22 . Hinweis. Benutzen Sie Polarkoordinaten.
b) Seien U, V unabhängig und uniform verteilt auf [0, 1]. Wir setzen:
def
X1 =
p
−2 log U cos(2πV ),
def
X2 =
p
−2 log U sin(2πV )
Zeigen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe a) dass X1 , X2 unabhängig und standard-normalverteilt
sind.
def
Aufgabe 3. Es sei f (a) = 21 e−|a| , a ∈ R. Die beiden Zufallsvariablen U und V seien unabhängig
und uniform verteilt auf [0, 1]. Finden Sie eine Abbildung h, sodass h(U, V ) die Dichte f (a) da
hat.
Bitte wenden
1
denn man kann auch schreiben P (Y = n+i) =
−n
i
pn (−q)i , wobei
−n
i
def
= (−n)(−n−1) · · · (−n−i+1)/i!
Aufgabe 4.
a) Die Lebensdauern der Geräte A, B, C seien unabhängig und exponentialverteilt mit Parametern α, β, γ. Das aus A, B und C zusammengesetzte System (s. Bild) ist so lange
funktionstüchtig, bis sowohl das Gerät A als auch mindestens eines der Geräte B oder C
ausgefallen sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System vor der
Zeit t ausfällt.
A
B
C
b) X1 , X2 , . . . seien unabhängig und expo(1)-verteilt. Berechnen Sie den Grenzwert
lim P [max(X1 , . . . , Xn ) < a + log n] ,
n→∞
für a ∈ R.