Freier Fall und Würfe

Fakultät Grundlagen
Ingenieurpädagogik
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Summer-School
Experimentierfeld 2
Freier Fall und Würfe
1. Einführung
Die Kinematik als Lehre der Bewegungen befasst sich nicht mit den Ursachen von
Bewegungsabläufen, sondern lediglich mit den Bewegungen an sich. Auch die Ausdehnung und Struktur der betrachteten bewegten Körper bleibt unberücksichtigt
indem die Körper als Massenpunkte betrachtet werden. Ein derartiger Ansatz kann,
je nach Bewegung des Massenpunktes für ein Elementarteilchen, ein Flugzeug oder
aber für einen Himmelskörper statthaft sein.
Zunächst sollen Kreisbewegungen (Rotationen) ausgeschlossen werden und lediglich
geradlinige Bewegungen betrachtet werden (Transalationen)
2. Eindimensionale Bewegungen
Die wesentlichen Merkmale der Bewegung eines Massenpunktes lassen sich bereits
bei einer Bewegung in einer Dimension darstellen. Einfachstes und gleichzeitig anschaulichstes Beispiel ist die Fahrt eines Pkws entlang einer geraden Straße. Bewegt
sich das Fahrzeug in gleichen Zeitabständen ∆t um gleiche Streckenabschnitte ∆s
weiter, so spricht man von einer gleichförmigen Bewegung. Das Verhältnis von zurückgelegtem Weg ∆s zur verstrichenen Zeit ∆t wird in einem Weg-Zeit-Diagramm
(s-t-Diagramm) dargestellt. Mathematisch ergibt dieser Quotient die Steigung der
Geraden. Physikalisch bezeichnen wir diesen Quotienten als die Geschwindigkeit des
Pkws.
vgleichförmig =
∆s
∆t
Man erkennt, dass die Geschwindigkeit v zweifellos konstant ist. Somit lässt sich
leicht das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (v-t-Diagramm) des Vorgangs zeichnen.
Aus der Grafik ist der aus der Bewegungsgleichung ersichtliche Zusammenhang zwischen zurückgelegter Strecke s und Zeit t und betrachtetem Zeitabschnitt ∆t anschaulich mit dem Flächeninhalt unter der Kurve v = konst. erkennbar.
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Das s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung
s/m
s = v2 . t
v2 > v1 !
s = v1 . t
0
t/s
Das v-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung
v / m/s
v
Fläche = v2 . t1 = s2
v
Fläche = v1 . t1 = s1
0
t
t/s
Da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt ergibt sich für das dritte Diagramm, das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (a-t-Diagramm) ein trivialer Zusam-
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menhang. Selbstverständlich darf bei einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung
keine Beschleunigung auftreten, da das Fahrzeug sonst seine Geschwindigkeit erniedrigen, erhöhen, oder die Richtung seiner Geschwindigkeit ändern würde. Das
a-t-Diagramm ist somit eine Gerade mit a(t) = 0 für alle betrachteten Zeiten t.
Wenn wir von gleichförmigen Bewegungen zu ungleichförmigen Bewegungen übergehen, reicht die Definition der Geschwindigkeit mit Hilfe einer endlichen Zeitspanne ∆t nicht mehr aus. Ungleichförmige Bewegungen ändern im Allgemeinen zu
jedem beliebigen Zeitpunkt ihren Geschwindigkeitsbetrag. Somit muss bei der Definition der Geschwindigkeit der Übergang vom endlichen Zeitintervall ∆t zum beliebig kleinen Zeitabschnitt dt (∆t 0) durchgeführt werden. Dies entspricht in der
Mathematik dem Übergang vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten.
Damit erhalten wir eine allgemeingültige Definition der Geschwindigkeit v:
∆s
ds
=
= s& t
0
∆t →0 ∆t
dt t 0
t0
v(t0 ) = lim
Der Grenzwert (lim = „limes“) des Differenzenquotienten liefert die Ableitung der
Funktion s(t) und somit die Steigung der Kurve zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 im
s-t-Diagramm. Die Geschwindigkeit v(t0) wird daher auch als Momentangeschwindigkeit bezeichnet.
Zeitliche Veränderungen der Momentangeschwindigkeit werden, wie bereits erwähnt, durch Beschleunigungen erzielt. Ganz analog zur Änderung der Strecke über
der Zeit kann man daher auch die Änderung der Geschwindigkeit über der Zeit betrachten.
∆v
dv
=
= v& t = &s& t
0
0
∆t →0 ∆t
dt t 0
t0
a (t0 ) = lim
Diese Analogie führt unmittelbar zur Momentanbeschleunigung eines Massenpunktes. Die Momentanbeschleunigung entspricht also zu jedem Zeitpunkt der 1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit und somit auch der 2. Ableitung der Strecke
nach der Zeit! Für den Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung kann
auch hier statt des Differenzialquotienten der Differenzenquotient für beliebige Zeitintervalle ∆t verwendet werden:
agleichmäßig =
∆v
∆t
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Paradebeispiel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in der Natur ist die
Fallbeschleunigung aufgrund der Gravitation. agleichmäßig wird hier mit dem Ortsfaktor g
bezeichnet.
Für den Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung lässt sich die so genannte Bewegungsgleichung s(t) aus den bereits gefundenen Zusammenhängen
leicht herleiten. Wenn sich die Beschleunigung a durch den Differenzialquotienten
der Geschwindigkeit v nach der Zeit t berechnen lässt, so muss umgekehrt die Geschwindigkeit v durch Summation (Integration, Aufleiten) der Beschleunigung a über
einem bestimmten Zeitintervall berechnen bar sein. In voller Analogie muss dieser
formale Zusammenhang aber auch für die Berechnung der Strecke s aus der Geschwindigkeit v gelten.
Die Integration (Aufleitung) ist die Umkehrfunktion zur Differenziation (Ableitung).
Diese mathematische Operation liefert die so genannte Stammfunktion zu einer abgeleiteten Funktion. In unserem Zusammenhang also: s(t) aus v(t) und v(t) aus a(t)!
So wie die Differenziation graphisch durch die Tangente (Steigung) an einer Kurve
zu einem gewissen Zeitpunkt dargestellt werden kann, so die Integration grafisch
als Fläche unter einer Kurve aufgefasst werden. Sind die zeitlichen Grenzen für die
Berechnung der Fläche bekannt, sprechen wir von einem bestimmten Integral und
können die Fläche exakt bestimmen.
Für die Geschwindigkeit erhält man nach der Integration:
∫ dv(t ) = v(t ) = ∫ a ⋅ dt = a ∫ dt = a ⋅ t + v
0
Bei der Integration muss stets eine Integrationskonstante ergänzt werden, da die
Ableitung einer Konstanten zu Null wird. Eine konstante Anfangsgeschwindigkeit
taucht somit in der Ableitung (a(t)) nicht mehr auf, muss aber ggf. nach der Integration als v0 berücksichtigt werden.
∫ ds(t ) = s(t ) = ∫ v(t ) ⋅ dt = ∫ (a ⋅ t + v )dt =
0
1
⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0
2
Weniger formal kann die Bewegungsgleichung auch direkt aus dem v-t-Diagramm
abgeleitet werden. Man erkennt, dass die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve
bis zum Zeitpunkt t1 gleich der Fläche unter der mittleren Geschwindigkeit v(t1)/2 bis
zum Zeitpunkt t1 ist. Die im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ t1 zurückgelegte Strecke beträgt also:
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s1 =
v1
⋅ t1
2
s1 =
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mit v1 = a ⋅ t1
1
⋅ a ⋅ t12
2
Die oben berücksichtigte Integrationskonstante ist gleich Null, da für t = 0 die Bewegung mit v(0) = 0 startet!
Das v-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (a = konst.!)
v / m/s
v(t) = a . t
v(t1)
v(t1)/2
0
t1
t/s
3. Überlagerung eindimensionale Bewegungen
Die beschriebenen Zusammenhänge gelten auch für beliebig komplizierte Bewegungen in beliebig ausgewählten und ausgerichteten Koordinatensystemen. Um mehrdimensionale Bewegungen beschreiben zu können, bedient man sich der Vektordarstellung, die den Bewegungsgrößen einen Betrag und eine Richtung zuordnet.
Dabei kann man aber durch geeignete Wahl des Koordinatensystems erreichen, dass
die Bewegungsgrößen in Teilbewegungen in Richtung der Koordinatenachsen aufgeteilt werden können. Diese Teilbewegungen beeinflussen sich gegenseitig nicht,
sondern überlagern sich ungestört. Dieser Zusammenhang wird als Superpositionsprinzip der Kinematik bezeichnet. Mit dieser Vorgehensweise können komplizierte
Bewegungsabläufe, wie z.B. Würfe, sehr einfach analysiert werden.