a) Angeben der Koordinaten von C, D und S2 (9P
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Schleswig-Holstein | Abitur (ohne CAS) D e i n Le r nve r z e i c h n i s Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2013 | Analytische Geometrie − Aufgabe 1 a) Tipps und Lösungshinweise (9P) ◮ Angeben der Koordinaten von C, D und S2 Betrachte die Doppelpyramide, die in der Abbildung rechts gegeben ist. Diese Doppelpyramide wurde aus S1 zwei kongruenten regelmäßigen, quadratischen Pyramiden zusammengesetzt. C B Zu dieser Doppelpyramide sind folgende Punkte mit ihren Koordinaten gegeben: D A • A (5 | 5 | 0) • B(−5 | 5 | 0) S2 • S1 (0 | 0 | 6) Weiterhin soll das Quadrat ABCD in der x1 x2 -Ebene liegen. Deine Aufgabe ist es, die Koordinaten der Punkte C, D und S2 anzugeben. Dabei kannst du verwenden, dass es sich bei der Doppelpyramide jeweils um zwei quadratische Pyramiden handelt. Das heißt, bei der Grundfläche ABCD handelt es sich um ein Quadrat. Verwende diesen Zusammenhang, um die Koordinaten der Punkte C und D anzugeben. Weiterhin weißt du, dass es sich um eine kongruente regelmäßige Pyramide handelt. Das bedeutet, dass die beiden Pyramiden deckungsgleich“ sind. Versuche anhand dieses Zu” sammenhangs die Lage des Punktes S2 zu konstruieren. Koordinaten der Punkte C und D angeben Du weißt, dass die Kanten des Quadrats ABCD gleich lang sind und dieses Quadrat in der x1 x2 -Ebene liegt. Daraus kannst du folgern, dass auch die gesuchten Punkte C und D in der x1 x2 -Ebene liegen müssen. Die x3 -Koordinate ist damit also gleich Null. Die Abbildung zeigt die Pyramide in einer Draufsicht. Die rote Fläche stellt die Grundfläche ABCD dar. b x2 5 B (−5 | 5 | 0) b A ( 5 | 5 | 0) 10 LE b 4 3 2 Grundfläche 1 b −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 S1 1 2 3 4 5 6 x1 −2 −3 −4 b c Karlsruhe 2014 | SchulLV | Denise Kesel C −5 b D Seite 1/8 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Schleswig-Holstein | Abitur (ohne CAS) D e i n Le r nve r z e i c h n i s Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2013 | Analytische Geometrie − Aufgabe 1 Tipps und Lösungshinweise Du kennst außerdem die Punkte A(5 | 5 | 0) und B(−5 | 5 | 0). Diese haben einen Abstand von 10 LE. Folglich müssen die Punkte C und B sowie die Punkte D und A den Abstand 10 LE besitzen, damit eine quadratische Grundfläche vorliegt. Koordinaten des Punktes S2 angeben Da es sich bei den Pyramiden um kongruente Körper handelt und ihre Grundfläche in der x1 x2 -Ebene liegt, kannst du den Punkt S1 (0 | 0 | 6) an dieser Ebene spiegeln, um die gesuchten Koordinaten von S2 zu erhalten. Bei einer solchen Spiegelung verändert sich nur die x3 -Koordinate, da es sich bei den Pyramiden um regelmäßige Pyramiden handelt, deren Grundflächen in der x1 x2 -Ebene liegen. x3 S1 6 b 5 4 3 2 1 b −6 −5 B b −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 A 5 6 x1 −2 −3 −4 −5 −6 b S2 ◮ Zeigen, dass ABS1 ein gleichschenkliges und kein gleichseitiges Dreieck ist Betrachte das Dreieck ABS1 . Zeige, dass es sich bei diesem Dreieck um ein gleichschenkliges, nicht aber um ein gleichseitiges Dreieck handelt. Erinnerung: • Gleichschenklig: Nur zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang. • Gleichseitig: Alle drei Seiten des Dreiecks sind gleich lang. Um also nachzuweisen, dass es sich bei ABS1 um ein gleichschenkliges und kein gleichseiti−→ −−→ −→ ges Dreieck handelt, kannst du die Beträge der Kantenvektoren AB, AS1 und BS1 berechnen und dadurch zeigen, dass nur zwei Kantenvektoren die gleiche Länge besitzen. c Karlsruhe 2014 | SchulLV | Denise Kesel Seite 2/8 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Schleswig-Holstein | Abitur (ohne CAS) D e i n Le r nve r z e i c h n i s Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2013 | Analytische Geometrie − Aufgabe 1 Tipps und Lösungshinweise ◮ Parameter a so bestimmen, dass ABS1 gleichseitiges Dreieck ist Im Abschnitt zuvor hast du gezeigt, dass das Dreieck ABS1 gleichschenklig aber nicht gleichseitig ist. Im Folgenden seien nun die Punkte • A ′ ( a | a | 0) • B′ (− a | a | 0) gegeben und es gelte 0 < a. Deine Aufgabe ist es, einen Parameterwert für a zu bestimmen, sodass das Dreieck A′ B′ S1 gleichseitig ist. Damit das Dreieck gleichseitig ist, muss gelten: −→ −→ −→ | A′ S1 |=| B′ S1 |=| A′ B | Verwende diesen Zusammenhang, um einen Parameterwert für a zu bestimmen, sodass −−→ −−→ das Dreieck gleichseitig ist. Dazu kannst du die Beträge der Kantenvektoren A′ B′ , A′ S1 −−→ und B′ S1 berechnen und erhältst dadurch von a abhängige Terme. Diese müssen nach Voraussetzung gleich sein. Passe den Parameter a dementsprechend an. b) ◮ Bestimmen einer Gleichung der Ebene E in Normalenform (8P) Betrachte die Ebene E, in der das Dreieck ABS1 liegt. Bestimme eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. Eine Normalenform der Ebenengleichung zur Ebene E sieht wie folgt aus: → → − x − → o ◦− n =0 E: − → → Dabei stellt − n den Normalenvektor und − o den Ortsvektor eines Punktes dar, der in der Ebene E liegt. → Der Normalenvektor − n steht senkrecht auf jedem Punkt der Ebene E. → Damit der Normalenvektor − n senkrecht auf jedem Punkt der Ebene steht, muss dieser folg−→ −−→ −→ lich auch senkrecht auf den Kantenvektoren AB, AS1 und BS1 des Dreiecks ABS1 stehen. Ein Vektor, der senkrecht auf zwei Kantenvektoren steht, kannst du mit Hilfe des Kreuzproduktes ermitteln. In unserem Fall gilt dann folglich: − → −→ ~n = AB × AS1 Um also die Ebenengleichung zur Ebene E in Normalenform aufzustellen, kannst du zunächst den Normalenvektor mit Hilfe des Kreuzproduktes ermitteln und diesen zusammen mit einem Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene liegt, in die allgemeine Form der Ebenengleichung in Normalenform einsetzen. c Karlsruhe 2014 | SchulLV | Denise Kesel Seite 3/8 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Schleswig-Holstein | Abitur (ohne CAS) D e i n Le r nve r z e i c h n i s Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2013 | Analytische Geometrie − Aufgabe 1 Tipps und Lösungshinweise Alternativ: Unterbesetztes lineares Gleichungssystem → Alternativ kannst du den Normalenvektor − n über ein unterbesetztes lineares Gleichungs→ system ermitteln. Du weißt, dass der Normalenvektor − n senkrecht auf jedem Punkt der Ebene und damit auch auf den Kantenvektoren steht. Folglich gilt dann für das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor: −→ ! → • − n ◦ AB = 0 −−→ ! → • − n ◦ AS1 = 0 −→ ! → • − n ◦ BS1 = 0 Berechnen dieser Terme liefert 3 Gleichungen für das lineare Gleichungssystem, dass du → dann nach den Komponenten n , n und n des Normalenvektors − n auflösen kannst. 1 2 3 ◮ Bestimmen der Größe des Winkels α Die Ebene E schneidet die x1 x2 -Ebene unter einem Winkel α. Deine Aufgabe ist es, die Größe dieses Winkels α zu bestimmen. → → Schneiden sich zwei Ebenen E1 und E2 mit den Normalenvektoren − n1 und − n2 , so gilt für den Schnittwinkel α folgender Zusammenhang: cos(α) = → → |− n1 ◦ − n2 | − → → | n1 | · | − n2 | Den Normalenvektor der Ebene E hast du im Abschnitt zuvor ermittelt mit: 0 − → n = 6 . 5 → Den Normalenvektor − m der x1 x2 -Ebene kannst du direkt angeben mit: 0 − → m = 0 . 1 Berechne anhand diesen Angaben und der zuvor angeführten Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen den gesuchten Schnittwinkel α. ◮ Berechnen des Abstandes vom Punkt C zur Ebene E Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung, den Abstand des Punktes C (−5 | −5 | 0) zur Ebene E zu bestimmen. Für den Abstand d( E; P) einer Ebene E und eines Punktes P( p1 | p2 | p3 ) gilt folgender Zusammenhang (Hesse’sche Normalenform): n1 · p1 + n2 · p2 + n3 · p3 − b q d( E; P ) = n2 + n22 + n23 1 Dabei stellen n1,2,3 die Komponenten des Normalenvektors der Ebenengleichung zur Ebene E dar. Verwende diesen Zusammenhang, um den Abstand d( E; C ) des Punktes C zur Ebene E zu bestimmen. c Karlsruhe 2014 | SchulLV | Denise Kesel Seite 4/8 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Schleswig-Holstein | Abitur (ohne CAS) D e i n Le r nve r z e i c h n i s Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2013 | Analytische Geometrie − Aufgabe 1 c) Tipps und Lösungshinweise (10P) ◮ Gleichung der Kugel K angeben Die Kugel K ist symmetrisch zur x1 x2 -Ebene und enthält die Punkte A(5 | 5 | 0), B(−5 | 5 | 0) und C (−5 | −5 | 0). Stelle die Gleichung der Kugel K auf. Dem Aufgabentext kannst du folgende Angaben entnehmen: • Du weißt, dass die Kugel symmetrisch zur x1 x2 -Ebene ist. Damit muss ihr Mittelpunkt in der x1 x2 -Ebene liegen, was bedeutet, dass die x3 -Koordinate des Mittelpunktes gleich Null sein muss. • Die Punkte A, B und C sollen in der Kugeloberfläche enthalten sein. Damit muss ihr Umkreis ebenfalls in der Kugeloberfläche enthalten sein. Der Umkreismittelpunkt entspricht folglich dem Mittelpunkt der Kugel. • Der Radius r entspricht dann dem Abstand des Mittelpunktes zu einem der Punkte A, B oder C. Ermittle anhand diesen Angaben im Folgenden eine Gleichung für die Kugel K. Die allgemeine Gleichung einer Kugel K sieht wie folgt aus: ( x 1 − m1 ) 2 + ( x 2 − m2 ) 2 + ( x 3 − m3 ) 2 = r 2 Dabei entsprechen m1,2,3 den Komponenten des Mittelpunktes und r dem Radius der Kugel K. ◮ Berührpunkte der Kugel K mit den Ebenen F1 und F2 bestimmen Betrachte die Ebene E mit der Ebenengleichung in Normalenform, die du zuvor ermittelt hast mit: 5 0 − → E: x − 5 ◦ 6 = 0 5 0 Zwei Ebenen F1 und F2 seien parallel zu dieser Ebene E und berühren die Kugel K. Deine Aufgabe ist es, die Berührpunkte B1 und B2 der Kugel K mit den Ebenen F1 und F2 zu bestimmen. Um diese Berührpunkte zu bestimmen, kannst du folgende Eigenschaften verwenden: • Die Ebenen F1 und F2 sollen parallel zur Ebene E sein. Das heißt, die Ebenen F1 und F2 haben denselben Normalenvektor wie die Ebene E. • Damit die Ebenen F1 und F2 die Kugel K berühren, muss der Abstand der Ebenen zum Ursprung dem Radius der Kugel entsprechen. Andernfalls würden die Ebenen F1 und F2 die Kugel K schneiden oder gar nicht berühren. Für die Gleichungen der Berührpunkte gilt folgender Zusammenhang: − → − → n n und B = − r · B1 = r · − 2 → − → | n | | n | c Karlsruhe 2014 | SchulLV | Denise Kesel Seite 5/8 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Schleswig-Holstein | Abitur (ohne CAS) D e i n Le r nve r z e i c h n i s Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2013 | Analytische Geometrie − Aufgabe 1 Tipps und Lösungshinweise Dieser Zusammenhang gilt, da die Berührpunkte B1 und B2 den Abstand r zum Mittelpunkt der Kugel besitzen. Weiterhin muss noch mit dem normierten Normalenvektor multipliziert werden, da die Berührpunkte auf der Kugel als auch auf den zur Ebene E parallelen Ebenen → F bzw. F mit dem Normalenvektor − n liegen. 1 2 9 8 7 − → n 6 5 b B1 4 r 3 2 F1 1 − → n0 b M −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 −2 −3 −4 −5 −6 −7 → dem normierten Normalenvektor. Im der Abbildung entspricht − n 0 Sind die Ebenen F1 und F2 parallel zur Ebene E so haben sie den gleichen Normalenvektor − → n mit 0 − → n = 6 . 5 ◮ Gleichungen in Normalenform der Ebenen F1 und F2 angeben Die Aufgabenstellung verlangt weiterhin, die Ebenengleichungen in Normalenform zu den Ebenen F1 und F2 zu bestimmen. Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform zu einer Ebene E sieht wie folgt aus: → → − E: − x − → o ◦− n =0 → → Dabei stellt − n den Normalenvektor und − o den Ortsvektor eines Punktes dar, der in der Ebene E liegt. c Karlsruhe 2014 | SchulLV | Denise Kesel Seite 6/8 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Schleswig-Holstein | Abitur (ohne CAS) D e i n Le r nve r z e i c h n i s Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2013 | Analytische Geometrie − Aufgabe 1 Tipps und Lösungshinweise Zur Bestimmung der fehlenden Vektoren kannst du die folgenden Eigenschaften verwenden: • Sollen die Ebenen F1 und F2 parallel zur Ebene E sein, so haben sie denselben Norma→ lenvektor − n wie die Ebene E. • Zuvor hast du die Berührpunkte B1 und B2 der Ebenen F1 und F2 mit der Kugel K ermittelt. Diese Punkte liegen in der Ebene F1 bzw. F2 . Alle benötigten Angaben hast du zuvor ermittelt und kannst diese nun in die allgemeine Form der Ebenengleichung in Normalenform einsetzen und erhältst die gesuchten Ebenengleichungen in Normalenform der Ebenen F1 bzw. F2 : ◮ Begründen, dass es keine Kugel gibt, auf der alle Eckpunkte liegen Es soll nun eine Kugel so konstruiert werden, dass diese Kugel alle Eckpunkte der zuvor betrachteten Doppelpyramide enthält. Begründe, dass die Konstruktion einer solchen Kugel nicht möglich ist. Soll die Kugel alle Eckpunkte der Doppelpyramide erfassen, so muss der Mittelpunkt dieser Kugel in der x1 x2 -Ebene liegen, da die Doppelpyramide aus zwei kongruenten regelmäßigen Pyramiden besteht, deren Grundflächen in dieser x1 x2 -Ebene liegen. Da die Punkte A, B, C und D die besagte Grundfläche aufspannen und diese Punkte alle gleichweit vom Ursprung entfernt liegen, kannst du annehmen, dass auch der Mittelpunkt einer solchen Kugel dem Ursprung entsprechen muss, damit alle Punkte der Grundfläche erfasst werden. Wir nehmen nun an, dass der Mittelpunkt dieser Kugel dem Ursprung entspricht. Den Radius der Kugel kannst du dann folglich über den Abstand der Punkte A, B, C oder D zum Ursprung ermitteln. Sollen nun auch noch die verbleibenden Punkte S1 und S2 auf der Kugel liegen, so muss der Abstand vom Mittelpunkt zu S1 bzw. S2 dem Radius entsprechen. Du kannst also wie folgt vorgehen: • Berechne den Radius r der Kugel, indem du beispielsweise den Abstand vom Mittelpunkt zum Punkt A ermittelst. • Überprüfe, ob dieser Radius r dem Abstand zwischen den Punkten S1 bzw. S2 und dem Mittelpunkt entspricht. Ist das der Fall, liegen die Punkte S1 bzw. S2 in der Kugeloberfläche. Andernfalls ist das nicht der Fall. c Karlsruhe 2014 | SchulLV | Denise Kesel Seite 7/8 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Schleswig-Holstein | Abitur (ohne CAS) D e i n Le r nve r z e i c h n i s Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2013 | Analytische Geometrie − Aufgabe 1 Tipps und Lösungshinweise x3 S1 6 b 5 4 3 r 2 1 b −6 −5 B b −4 −3 −2 b M 1 −1 −1 2 3 4 A 5 6 x1 −2 −3 −4 −5 −6 d) b S2 ◮ Begründung für das Volumen der Doppelpyramide (3P) Betrachte die Doppelpyramide aus den Aufgabenteilen zuvor. Für das Volumen dieser Doppelpyramide wird angenommen, dass gilt: V= − → 2 −→ −→ · | AS1 × AS2 | · | OB | 3 Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass diese Aussage über das Volumen der Doppelpyramide tatsächlich gilt. Betrachte dazu die allgemeine Formel zum Volumen V einer Pyramide: V= 1 ·G·h 3 Dabei stellt G den Inhalt der Grundfläche der Pyramide und h die Länge der Höhe der Pyramide dar. Um zu zeigen, dass die zu Beginn angenommene Aussage über das Volumen der Doppel−−→ −−→ −→ pyramide gilt, kannst du den Term 32 · | AS1 × AS2 | · | OB | berechnen und zeigen, dass dieser mit dem Volumen der Doppelpyramide übereinstimmt. Du kannst also wie folgt vorgehen: • Bei der Doppelpyramide handelt es sich um kongruente regelmäßige Pyramiden. Berechne das Volumen einer Pyramide und multipliziere mit 2, um das Volumen der Doppelpyramide zu erhalten. −−→ −−→ −→ • Berechne den Term 23 · | AS1 × AS2 | · | OB |. • Vergleiche beide Resultate. Stimmt das Resultat des Term mit dem berechneten Volumen überein, so stimmt der in der Aufgabenstellung angenommene Zusammenhang. c Karlsruhe 2014 | SchulLV | Denise Kesel Seite 8/8 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net