„wandelt“ also SF in NF um. Diese strömt zum „Kältebad“, nur durch

3.2 4He
3.2.2. Weitere Experimente zum superfluiden 4He 133
„wandelt“ also SF in NF um. Diese strömt zum „Kältebad“, nur durch Wandstöße
behindert. Das Kältebad nimmt die Energie der Anregungen auf, „wandelt“ also NF
zurück in SF. Die SF „strömt“ im Bild des 2-Flüssigkeits-Modells wieder zurück
(punktierte Pfeile). Tatsächlich bleibt aber das Helium an Ort und Stelle, nur die
Anregungen bewegen sich im Helium. Sie werden am Heizer erzeugt und am
Kältebad vernichtet.
Fig. 3.18: Wärmeleitung des Heliums in einem endlichen Rohrquerschnitt
Fig. 3.19 zeigt eine Möglichkeit den Impuls der thermischen Anregungen zu
bestimmen. Auf der Vorderseite einer Glasplatte befindet sich ein Heizer. Außerdem
steht nahe der Rückseite eine Linse, so daß Newtonsche Ringe beobachtet werden
können. Bei Betrieb des Heizers werden Anregungen nach vorne abgestrahlt.
Vergleichbar mit einer Rakete kommt es zu einem Rückstoß und damit zu einer
schwachen Auslenkung der Platte. Dadurch ändert sich der Abstand zur Linse und
damit die Newtonschen Ringe. Dies kann optisch vermessen werden.
Fig. 3.19: Bestimmung des Impulses der thermischen Anregungen über Newton-Ringe
Eine weitere wichtige Eigenschaft des HeII ist das Filmkriechen, auf das wir
nachfolgend näher eingehen wollen.
Es ist beobachtbar, wenn z.B. ein Gefäß in HeII eingetaucht wird (s. Fig. 3.20). Ist
der He-Spiegel im Gefäß tiefer als der Spiegel des umgebenden He, kriecht außen an
der Wand des Gefäßes das Helium empor und innerhalb wieder nach unten (3.20a).
Mit dem Auge ist dabei nur ein steigender Flüssigkeitsspiegel im Gefäß beobachtbar.
Ist der He-Spiegel innerhalb des Gefäßes höher als der der umgebenden Flüssigkeit,
läuft He aus dem Gefäß aus (3.20b). Taucht das Gefäß nicht in He ein, erweckt es
den Eindruck, als hätte es an der Unterseite ein „Leck“ (3.20c). Die Flüssigkeit
versucht also immer den Unterschied im hydrostatischen Druck auszugleichen.
Dies ist möglich, da sich an der Gefäßwand ein adsobierter He-Film befindet, der
durch van der Waals-Kräfte gebunden ist.
3.2 4He
3.2.2. Weitere Experimente zum superfluiden 4He 134
Fig. 3.20: Filmkriechen aus bzw. in ein mit HeII gefülltes Gefäß
Anmerkung: Adsorbierte Filme kennen wir auch bei Raumtemperatur. Auf fast
allen Oberflächen befindet sich ein Wasserfilm. Aus diesem Grund
muß man in der UHV-(Ultra-Hoch-Vakuum) Technik zuerst durch
Aufheizen der Anlage auf ca. 400° den Wasserfilm von den
Wänden lösen und abpumpen. Nur so erreicht man Drücke von
10-11 mbar. Im Gegensatz zu Wasser ist HeII superfluid und
dadurch mobil.
Wir wollen nun abschätzen, wie dick der Film an der Gefäßwand ist. Dazu führen
wir eine Energiebetrachtung durch (vgl. Fig. 3.21)
Fig. 3.21:
HeII-Film an der Gefäßwand im Gleichgewicht mit dem Gas
Wie Wasser bildet das He an der Festkörperwand einen Meniskus. Die Atome im
Dampf werden von der van der Waals Kraft der Wand angezogen und bleiben an ihr
haften.
Die potentielle Energie eine He-Atoms im Punkt B ist gegeben mit:
E pot = mgh + V (d )
mit:
mgh: Potential der Schwerkraft ( h : Höhe über Punkt A
m: He-Masse
g : Erdbeschleunigung)
V(d): van der Waals Potenzial (d : Filmdicke ≡ Abstand von der Wand)
3.2 4He
3.2.2. Weitere Experimente zum superfluiden 4He 135
Für das anziehende van der Waals Potenzial gilt:
α
V (d ) = − n
d
Dabei ist für d < 5nm n=3.
α beschreibt die materialabhängige van der Waals Konstante. Sie ist:
α ≈ 50 K ∗ k B ∗ d 03
wobei: d0 = Atomlagendicke (0.36nm) ( d 03 ≡ normiertes Volumen)
Anmerkung:
Für d > 5nm treten Retardierungseffekte auf, so dass n→4 geht.
Dies beschreibt die sog. Lifshitz-Theorie.
Im Gleichgewicht ist die potenzielle Energie überall konstant, d.h.:
α
mgh − 3 = konst.
d
Messen wir die Höhe h vom Flüssigkeitsspiegel aus, so ist bei h=0 die Dicke
unendlich. Damit gilt für h→0 bzw. d→∞:
α
mg 0 − = konst. = 0
∞
somit ist:
α
mgh = 3
d
æ α ö
Þ d = çç
è mgh
1
3
Damit ergibt sich für eine Höhe h=5cm eine Filmdicke von 50nm. Eigentlich gilt hier
also bereits das d4-Gesetz. Bei entsprechender Wahl der Höhe können die
Filmdicken interferometrisch gut bestimmt werden (dabei muß die Wellenlänge ≤
Filmdicke sein).
Da die NF-Komponete blockiert ist, fließt hier die SF-Komponente. Warum fließt
dann das Helium nicht mit einer unendlichen Geschwindigkeit? Analog der
kritischen Stromdichte beim SL existiert auch für HeII eine kritische
Geschwindigkeit. Eine Begründung hierfür werden wir später geben. Die kritische
Geschwindigkeit liegt in etwa bei vkrit ≈ 0,3 m/s. Ist die Fließgeschwindigkeit größer
als die kritische Geschwindigkeit, erhalten wir eine endliche Viskosität und damit
eine Abbremsung auf vc.
Die Bedeutung des Filmkriechens zeigt sich bei der Effektivität beim Abpumpen von
He. Es bestimmt die kleinste erreichbare Temperatur. Betrachten wir dazu Fig. 3.22:
Fig. 3.22: Filmkriechen innerhalb eines
Kryostaten beim Abpumpen
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3.2.2. Weitere Experimente zum superfluiden 4He 136
Am Boden der Kryostaten befinde sich HeII. Der Deckel des Kryostaten ist auf
300K. Damit kriecht das HeII an der Wand soweit hoch, bis es in
Temperaturbereiche mit T=Tλ (2.17K) kommt. Weiter kann es nicht steigen, da es
nun NF ist. Der Dampfdruck ist bei 2.17K viel höher als der Dampfdruck des Bades.
Damit verdampft der Film laufend von dieser Stelle und kriecht von unten nach.
Aufgrund der auftretenden Verdampfungskälte wird in diesem Bereich die Wand
gekühlt. Dadurch kann das He weiter steigen, aber es erreicht immer wieder eine
Stelle mit T=Tλ. Die Filmverdampfung bedeutet einen zusätzlichen Gasballast für die
Pumpe, so daß das Bad schließlich nicht mehr abgepumpt wird. Dies begrenzt den
erreichbaren He-Dampfdruck und damit die erreichbare Badtemperatur.
Anmerkung:
Auf Grund des kleinen Brechungsindex ist der HeliumFlüssigkeitsspiegel nur schwer zu erkennen. Die beste
Möglichkeit bietet die Beobachtung der Totalreflexion, streifend
zur Oberfläche, von unten.
Diese kleinste erreichbare Temperatur ist bei 3He niedriger als bei 4He, da 3He beim
Abpumpen nicht superfluid wird und außerdem einen höheren Dampfdruck besitzt.
Wir wollen nun abschätzen welches die so erreichbare niedrigste Temperatur des 4He
ist. Wird nur noch He-Film gepumpt, gilt für die Volumenpumprate (z.B. 100 m3/h):
V
= V
Pumpe
He −Gas
Dabei ist VHe−Gas der Volumenfluß des He-Gases:
ρ Flüssigkeit
ρ Flüssigkeit
VHe−Gas = VFilm
= Avkrit .
ρ Gas
ρ Gas
mit A=2πrd (r=Gefäßradius; d=Filmdicke)
ρ Flüssigkeit
Das Verdampfungsverhältnis ist mit
gegeben. Wir können dies auch über
ρ Gos
den Druck beschreiben. Für gleiche Temperaturen gilt:
p
ρ Gas ( p) = ρ 0 Gas
p0
wobei:
ρo : Gasdruck bei 1 bar
po : 1 bar
Außerdem gilt:
Anmerkung:
ρ Flüssigkeit
≈7
ρ0
Dieses Verhältnis ist aufgrund der schwachen Anziehungskraft
zwischen den He-Atomen relativ klein.
Setzen wir dies alles ein und lösen auf, ergibt sich der Druck des Gases zu:
2πrdvkrit ρ Flüssigkeit
pGas = p0
V
ρ
Pump
0
Mit r = 5cm, d = 50nm, vkrit=0,3m/s und VPump =100 m3/h ergibt sich der Gasdruck
pGas ≈ 0,1 Pa (= 10 −3 mbar )
3.2 4He
3.2.3. Kondensation des idealen Bosegases 137
Über die Dampfdruckkurve erhalten wir damit einen Wert von T≈0,7K. Dies ist die
theoretisch tiefste erreichbare Temperatur.
In der Praxis erreichen wir allerdings nur ca. 0,9 K. Der Grund ist, dass der Film im
Querschnitt ca. 10x dicker als die theoretische Filmdicke ist. Dies kommt dadurch
zustande, dass der Kryostat niemals vollkommen sauber ist. Kondensierte Luft bzw.
kondensiertes Wasser schlägt sich an den Wänden nieder. Durch diesen Schnee wird
die Oberfläche um ein Vielfaches größer. Das HeII wandert in diesem wie in einem
Schwamm hoch. Es ist also wichtig, den Kryostaten sauber und luftdicht zu halten.
3.2.3
Kondensation des idealen Bosegases
Wir wollen uns nun mit der Kondensation des HeII ab Tλ befassen. Bosonen kennen
wir bereits aus der Festkörperphysik, z.B. Phononen oder Magnonen. Während diese
aber bei sinkender Temperatur ausfrieren, können die Heliumatome nicht
verschwinden. Dies führt zu ihrer Kondensation in den energetisch niedrigsten
Zustand.
Die einfachste Näherung erhalten wir, wenn wir Wechselwirkungen vernachlässigen
(ideales Gas). Diese Näherung wurde erstmals von F. London auf HeII angewendet.
Das Bose-Gas befinde sich in einem endlichen Volumen. Damit haben die Teilchen
im Volumen diskrete Energieniveaus, d.h. ein diskretes Spektrum von Eigenwerten
Ei. Es ergibt sich die Besetzungswahrscheinlichkeit nach der Bose-Einsteinstatistik:
1
f i = æ E −µ ö
ç
eè
Anmerkung:
i
kT
−1
Bei Vertauschen von zwei Bosonen ändert sich die GesamtWellenfunktion nicht. Dies führt in der Statistik zu dem
Minzuszeichen im Nenner.
Bei Phononen im Festkörper ist das chemische Potenzial µ=0. Die Folge ist, dass für
T→0 die Besetzungswahrscheinlichkeit fi→0 geht und ebenso N ges =
f i → 0 geht.
i
Wie erwähnt, frieren die Phononen also aus.
Dagegen liegt beim flüssigen He eine über die Temperatur konstante Teilchenzahl
vor. Um bei Helium Nges=N0 zu gewährleisten, muß also µ≠0 sein. Es muß gelten:
N ges (T , µ (T )) = N 0 ;
µ (T ) ≠ 0
Dies ist eine implizite Gleichung für µ(T).
Anmerkung:
Etwas entsprechendes ist uns bereits bei der spezifischen Wärme
der Elektronen im Festkörper begegnet. Dort war ebenfalls die
Elektronenzahl unabhängig von der Temperatur konstant zu
halten.
Dies
führte
dort
ebenfalls
zu
einer
Temperaturabhängigkeit des chemischen Potenzials.
Fig. 3.23 zeigt den Verlauf der Gesamtzahl der Teilchen für µ=0 und für Nges=N0 in
Abhängigkeit von der Temperatur. Der Schnittpunkt beider Kurven ergibt die
„Bosetemperatur“ TB. Unterhalb von TB muß für Nges=N0 das chemische Potenzial µ
3.2 4He
3.2.3. Kondensation des idealen Bosegases 138
Fig. 3.23: Verlauf des chemischen Potenzials mit der Temperatur
angehoben werden, um die Besetzungswahrscheinlichkeit fi zu vergrößern. Dabei gilt
jedoch für alle Eigenzustände µ<Ei. Denn wäre Ei-µ<0, so wäre
exp(( Ei − µ ) / kT ) < 1. Dies würde ein unphysikalisches negatives fi ergeben.
Insbesondere gilt dies auch für den niedrigsten Zustand E0 oder k=0-Zustand µ<E0.
Anmerkung:
Die Bezeichnung k=0 - Zustand kennen wir von den Phononen.
Je kleiner die Energie ist, um so größer ist die Wellenlänge.
Exakt k=0 hat der niedrigste Zustand aber nur für V→∞.
Für µ→Ei wird fi singulär:
k T
1
= B → ∞ für µ → E 0
E −µ
Ei − µ
1+ i
−1
k BT
Dies ist für i=0,1,2, ... in Fig. 3.24 gezeigt. Erlaubt ist jedoch nur der Bereich µ<E0.
Innerhalb dieses Bereiches sind die fi mit höherem Ei noch nicht stark singulär, d.h.
sie ändern sich kaum und frieren nach wie vor aus. Die ausgefrorenen Teilchen
können nur von f0 aufgenommen werden, indem µ immer näher an E0 herankommt
( f0→∞). Der Grundzustand wird also makroskopisch besetzt, d.h. die Teilchen
„kondensieren“ ab TB in den k=0 Zustand („Bosekondensation“). Es handelt sich
aber nicht wirklich um eine Kondensation, denn im idealen Gas gibt es keine
Wechselwirkung.
fi ≈
Fig. 3.24: Abhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeit vom Potenzial
3.2 4He
3.2.3. Kondensation des idealen Bosegases 139
In Fig. 3.25 ist die Energie - Verteilungsfunktion n(E) eines idealen Bose-Einstein
Gases in der Nähe der Bosetemperatur gezeigt. Für T>TB zeigt sich das normale
Planck Spektrum. Für T<TB frieren die angeregten Zustände aus. Dies zeigt sich an
einer kleineren Fläche des Planck Spektrums. Die „dicke Linie“, die über der yAchse liegt, repräsentiert den niedrigsten Zustand mit hoher Besetzung (δ(E)f0), der
alle ausgefrorenen Teilchen aufnimmt.
Fig. 3.25: Energie-Verteilungsfunktion für ein ideales Bosegas nahe der Bosetemperatur.
Der Verlauf der spezifischen Wärme mit der Temperatur ist in Fig. 3.26 gezeigt. Für
T<TB friert das Gas in den untersten Zustand aus. Entsprechend nimmt die Entropie
ab. Sind alle Teilchen ausgefroren, so ist die Entropie, wie vom 3. Hauptsatz
gefordert, null.
Fig. 3.26: spezifische Wärme in Abhängigkeit von der Temperatur für das ideale Bosegas (aus
Mellintock usw.)
Eine Abschätzung der Bosetemperatur ist in McClintock usw. gegeben. Das Ergebnis
dieser Rechnung ist:
æ h2 ö 2/3
ρ id .Gas
TB = çç
è 11,9mk B
Setzen wir die Dichte der He-Flüssigkeit ein, so ergibt sich die Bosetemperatur zu
TB=3,1 K; im Vergleich dazu ist Tλ=2,17K. Beide Temperaturen liegen in der
gleiche Größenordnung. Unser Modell ist also soweit anwendbar.
Die spezifische Wärme (Fig. 3.26) des idealen Bosegases zeigt jedoch kein λVerhalten. Es liegt keine logarithmische Singularität vor. Diese muß ihre Ursache
3.2 4He
3.2.3. Kondensation des idealen Bosegases 140
also in der Wechselwirkung der Heliumatome haben. HeII ist zwar wirklich ein
Bosegas, aber ein reales mit einer „hardcore“-Abstoßung, denn nach dem Pauliverbot
dürfen sich die Wellenfunktionen der Elektronen nicht überlappen.
Mit Neutronenstreuung erhalten wir die radiale Verteilungsfunktion und damit die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit der nächsten Nachbar-Atome (s. Fig. 3.27).
Fig. 3.27: Radiale Verteilungsfunktion für flüssiges He. Die horizontale Linie entspräche dem k=0
Zustand. Die punktierte Linie folgt aus dem Experiment, die durchgezogene aus der
Theorie (aus Bennemann / Ketterson I).
Der Ort eines Atoms sei r=0. Nachbaratome finden sich wegen der hardcore
Abstoßung erst ab einem mittleren Abstand von 0,3-0,4 nm. Damit können die HeAtome nicht nur im k=0-Zustand sein. Denn k=0 bedeutet eine gleiche
Aufenthaltswahrscheinlichkeit der He-Atome in jedem Abstand (horizontale Linie in
Fig. 3.27). Stattdessen sind im Grundzustand dem k=0-Zustand höherer k-Zustände
beigemischt, die eine Lokalisierung der Wellenfunktion ermöglichen, so daß sich die
Atome gegenseitig vermeiden können.
Der k=0-Anteil an der gesamten Wellenfunktion als Funktion der Temperatur ist in
Fig. 3.28 gezeigt. Diese wurde aus Neutronen-Messungen gewonnen. Der Anteil
beträgt auch bei tiefen Temperraturen nur 13%, und er verschwindet für T→Tλ.
Trotz des relativ geringen k=0-Anteils ist der gesamte Grundzustand superfluid!
Fig. 3.28: Anteil des k=0-Zustandes in Abhängigkeit von der Temperatur
3.2 4He
3.2.3. Kondensation des idealen Bosegases 141
Wegen der Wechselwirkung ist die Bosetemperatur nicht 3.1 K, sondern 2.1K. D.h.
die Wechselwirkung unterdrückt die Kondensation. Dies bedeutet, dass je größer die
Wechselwirkung (z.B. durch Druckerhöhung) ist, um so tiefer Tλ liegen muß. Daher
nimmt Tλ unter Druck ab (siehe die λ-Linie in Fig. 3.4.a), obwohl nach der Formel
für TB ein Anstieg wegen der zunehmenden Dichte zu erwarten gewesen wäre.
Im nächsten Kapitel wollen wir auf thermische Anregungen übergehen.