es intervalle

1.2. Mengen, Zahlen, Intervalle und Produkte
Zahlen
Einige Zahlenmengen werden mit besonderen Buchstaben bezeichnet.
Die kleinste aller Mengen ist die leere Menge { }, die überhaupt kein Element enthält. Sie wird
auch mit Hilfe eines durchgestrichenen Kreises symbolisiert. Aus diesem entstehen durch einige
geometrische Basteleien unsere beiden Leitfiguren, Mathe und Inge.
Ganz nett, aber viel wichtiger ist: Aus der leeren Menge ("aus dem Nichts") lassen sich
schrittweise alle natürlichen Zahlen gewinnen, indem man setzt:
0 {}, 1 {0}, 2 {0,1} , 3 {0,1,2} usw.
Dies liefert die Menge
der natürlichen Zahlen (ohne Null),
sowie die Menge
der natürlichen Zahlen einschließlich Null.
0
Durch Hinzunahme der negativen Zahlen erhält man die Menge
der ganzen Zahlen,
sodann durch Bildung von Quotienten (Brüchen) die Menge
der rationalen Zahlen,
und durch Füllen aller "Lücken" zwischen rationalen Zahlen die Menge
der reellen Zahlen.
Schließlich hat man in Form der reellen Ebene die Menge
der komplexen Zahlen.
Durch jeden Erweiterungsschritt werden neue Gleichungen lösbar:
In
ist jede Gleichung a x = b eindeutig lösbar.
Lösung: x = b a .
ist jede Gleichung a x = b eindeutig lösbar, sofern a nicht 0 ist.
b
Lösung: x =
.
a
ist z. B. jede Gleichung x2 = b lösbar, falls 0 b .
In
Lösungen: x = b und x =
b .
2
ist die Gleichung x = b sogar für negative b lösbar (später mehr davon).
In
In
Geometrische Konstruktion von reellen Wurzeln mittels Höhensatz
Der Thaleskreis über der Strecke von a bis 1 (auf der x-Achse) schneidet die y-Achse bei
und - a .
h=
a
a
h
-a
1
Mengenoperationen
Aus gegebenen Mengen A und B bildet man mit Hilfe von Mengenoperationen neue Mengen, z.B.
die Vereinigung A B,
die aus allen Elementen besteht, welche in A oder in B (oder beiden) liegen,
den Durchschnitt A B,
der aus allen Elementen besteht, die sowohl in A als auch in B liegen,
und die Differenz A B,
die aus allen Elementen besteht, welche in A, aber nicht in B liegen.
Intervalle
sind Mengen reeller Zahlen, die mit je zwei Zahlen auch alle dazwischen liegenden enthalten
(Konvexität). Jedes Intervall hat eine der folgenden Formen:
Offene Intervalle:
]
, b[ = { x : x
Abgeschlossene Intervalle:
b}
] a, b [
= {x:a
x
] a,
= {x:a
x}
[
]
b}
, b]
= {x:x
b}
[ a, b ]
= {x:a
x
[ a,
[
= {x:a
x}
[ a, b [
= {x:a
x
b}
Halboffene Intervalle:
] a, b ]
= {x:a
x
b}
b}
Für b a sind die Intervalle ]a, b[ , ]a, b] , [a, b[ und [a, b] leer!
Intervalle, bei denen beide Endpunkte aus (also weder ∞ noch
Hinzu kommt als einziges beidseitig unbeschränktes Intervall.
) sind, heißen beschränkt.
Beispiel 1: Verschiedene reelle Intervalle
Die folgenden Skizzen zeigen natürlich immer nur Ausschnitte der Zahlengeraden.
1,0
]-oo,-5]
[-4,-2[
]-1,0[
0,0
1,0
7
6
5
4
3
2
1
0
1
1,0
]1,4]
[5,6]
]7,oo[
0,0
1,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Kartesische Produkte
dienen der Beschreibung bestimmter Mengen in der Ebene und im Raum.
Das (kartesische) Produkt
A B
zweier Mengen A und B besteht aus allen Paaren a, b , wobei a
Entsprechend ist das Produkt
A B C
die Menge aller Tripel (a, b, c) mit a A, b B und c C.
Allgemeiner ist das n-fache Produkt
A1 ... An
die Menge aller n-Tupel (a1,...,an) mit ai Ai für alle i = 1... n.
A und b
B ist.
Sind alle Ai die gleiche Menge A, so schreibt man An für das n-fache Produkt und nennt es die n-te
Potenz von A. Speziell ist also 2 die reelle Ebene und 3 der dreidimensionale reelle Raum.
Produkte von zwei bzw. drei Intervallen nennt man Quader oder ebenfalls Intervalle (in der
Ebene 2 oder im Raum 3). Je nach Wahl der Ausgangsintervalle in (offen, abgeschlossen,
halboffen) gehören Kanten bzw. Seitenflächen zu solchen mehrdimensionalen Intervallen dazu
oder nicht.
Beispiel 2: Das Rechteck
a, c
b, d
hat die Ecken (a,b) und (c,d):
a, d
c, d
a, b
c, b
Beispiel 3: Halbebenen
sind Produkte einseitig unbeschränkter Intervalle mit .
]-oo,c] x IR
IR x ]-oo,d]
[a,oo[ x IR
IR x [b,oo[
Beispiel 4: Quadranten
sind Produkte zweier einseitig unbeschränkter Intervalle.
]-oo,c] x ]-oo,d]
]-oo,c] x [b,oo[
[a,oo[ x [b,oo[
[a,oo[ x ]-oo,d]
Beispiel 5: Streifen
sind Produkte beschränkter Intervalle mit der reellen Geraden .
Halbstreifen
sind Produkte eines beschränkten Intervalls mit einem einseitig unbeschränkten Intervall.
Rechtecke
sind Produkte zweier beschränkter Intervalle.
Beispiel 6: Ein Schachbrett
und seine Beschreibung mit Hilfe von Intervallen:
Die linke untere Ecke sei [0,0], die rechte obere Ecke [8,8].
Ist A die Vereinigung der Intervalle [0,1], [2,3], [4,5], [6,7]
und B die Vereinigung der Intervalle [1,2], [3,4], [5,6], [7,8] ,
so ergibt sich die Schachbrettfläche (mit Rand) als Vereinigung der Mengen
A2 , B2 , {0,8} × [0,8] , [0,8] × {0,8}
( und der Randlinien).
Beispiel 7: Beschränkte Quader
im Raum sind Produkte von drei beschränkten Intervallen:
Beispiel 8: Zylinder
sind Produkte eines Kreises mit einem Intervall:
Wir zeichnen eine Vereinigung von vier Zylindern: