Mathematik als Beruf? Von logischen Strukturen und spannenden
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Übersicht 2 Mathematik als Beruf? Von logischen Strukturen und spannenden Aufgaben 1 vom Problem zur Theorie 2 die Idee weiter denken 3 MathematikerIn werden? 30. Juni 2008 30. Juni 2008 Martin Oellrich Gibt es einen Wanderweg, der über jede der Brücken (rot) genau einmal führt? ein Problem vor der Haustür 3 wer das Problem löste 4 Trug maßgebliche Fortschritte bei in Algebra / Zahlentheorie Analysis / Funktionentheorie (Euler-Zahl e) Differential- und Integralgleichungen Königsberg 1736: sieben Brücken über den Pregel Frage: gibt es einen Wanderweg, der über jede der Brücken (rot) genau einmal führt? Leonhard Euler schweizer Mathematiker (1707 – 1783) Kombinatorik / Graphentheorie (Begründer) http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/˜history/Mathematicians/Euler.html die Vorbereitung 5 Eulers Idee: Abstraktion durch einen Graphen die Lösung 6 Eulers Beobachtung: beim Durchlaufen eines Weges werden in allen inneren Knoten eine gerade Anzahl Kanten verbraucht“ ” 3 2 2 5 3 3 • jede Landmasse wird repräsentiert durch einen Knoten • jede Brücke wird repräsentiert durch eine Kante Eulers Schluss: für einen Weg über alle Kanten darf es höchstens zwei Knoten mit ungerader Anzahl Kanten geben Eulers Einsicht: die wesentliche Problemstruktur steckt in diesem Modell! → das ist nicht erfüllt! die eigentliche Leistung 7 Übersicht Was bedeutet Eulers Erkenntnis? ⊲ klar: der Fall Königsberg ist gelöst ⊲ Graphen: ein neuartige Idee, die Realität nachzubilden → flexibles Instrument mit enormer Tragweite ⊲ der Beweis: allgemeingültige Struktur in allen vergleichbaren Situationen ⊲ Neubegründung der Graphentheorie → hier wird noch heute geforscht! 1 vom Problem zur Theorie 2 die Idee weiter denken 3 MathematikerIn werden? 8 Problemlösung mit Graphen 9 Aufgabe A 10 Aufgabe B Aufgabe A Frage: Gibt es für einen Springer einen Weg auf dem Schachbrett, der über jedes Feld genau einmal führt? Modellierung durch einen Graphen: Gibt es für einen Springer einen Weg auf dem 4 × 4-Schachbrett, der über jedes Feld genau einmal führt? Kann man das 4 × 4-Schachbrett ohne die beiden Ecken lückenlos mit 1 × 2-Dominosteinen überdecken? Aufgabe A 11 Aufgabe B 2 Frage: Kann man das 4 × 4-Schachbrett ohne die beiden Ecken lückenlos mit 1 × 2-Dominosteinen überdecken? 2 2 Modellierung durch einen Graphen: 2 2 2 Beobachtung: der Weg benutzt in jedem Knoten genau zwei Kanten. Wegen des eindeutigen Wegs durch die Eckfelder entsteht ein Kurzkreis ⇒ kein vollständiger Weg möglich. 12 Aufgabe B 13 8 ein einfaches Problem? 14 6 Jeder Dominostein entspricht im Graphen einer Kante, die einen weißen mit einem schwarzen Knoten verbindet. Es gibt verschieden viele weiße und schwarze Knoten ⇒ keine vollständige Überdeckung möglich. ein einfaches Problem? Modellierung durch einen Graphen: Wie kann man die Deutschlandkarte mit möglichst wenigen Farben so einfärben, dass benachbarte Länder verschiedene Farben bekommen? 15 Geschichte des Landkartenproblems 16 ⊲ Kartographen kommen schon immer mit 4 Farben aus ⊲ 1852: Francis Guthrie formuliert die Vermutung mathematisch ⊲ 1878 bringt Arthur Cayley das Problem in die London Mathematical Society ⊲ 1879 veröffentlicht Alfred Kempe einen ersten Beweis ⊲ 1890 erkennt Percy Heawood ihn als falsch, kann aber beweisen, dass fünf Farben ausreichen ⊲ 1969 hat Heinrich Heesch entscheidende Ideen für einen Beweis, kann sie aber technisch nicht durchführen allgemeine Aufgabe: färbe die Knoten eines ebenen Graphen so, dass die Enden jeder Kante verschiedene Farben bekommen. ⊲ 1976 gelingt Ken Appel und Wolfgang Haken ein Beweis mit Computerhilfe ⊲ 1996 reduzieren 4 Mathematiker den Rechenaufwand auf Frage: Geht das immer mit höchstens 4 Farben? 1 3 die Geschichte geht weiter 17 Wie funktioniert ein Durchbruch? 18 noch heute wird gearbeitet ⊲ ein aufmerksamer Mensch beobachtet einen Sachverhalt ⊲ an einem computerfreien Beweis Torus: 7 Farben ⊲ an den Farbanzahlen anderer Oberflächen ⊲ ein anderer erkennt die Bedeutung, trägt sie in die wissenschaftliche Gemeinschaft ⊲ auch Experten können irren ⊲ Fortschritte bleiben lange Zeit gering ⊲ irgendwann hat jemand eine bahnbrechende Idee, kommt aber selbst nicht zum Ziel ⊲ Kollegen greifen die Idee auf und führen sie durch ⊲ an schnelleren Verfahren zur Konstruktion von 4-Färbungen ⊲ es ergeben sich weit reichende Folgen und Arbeitsfelder. ? ⊲ Mathematik ist beharrliches Ringen um endgültige Wahrheiten ⊲ Mathematik ist heute weltweites Teamwork Euler heute: Rundfahrt der Müllabfuhr 19 Euler heute: Rundfahrt der Müllabfuhr Frage: Wie kann die Müllabfuhr möglichst schnell alle Straßen abfahren? Frage: Wie kann die Müllabfuhr möglichst schnell alle Straßen abfahren? Modellierung durch einen Graphen: Modellierung durch einen Graphen: Sackgassen streichen allgemeine Aufgabe: finde eine Rundfahrt, die (trotz der ungeraden Knoten) so wenig wie möglich Straßen wiederholt. 20 20 ungerade Knoten! Graphen heute: Navigationssysteme 21 Graphen heute: Mobilfunk 22 • Straßenkarten sind riesige Graphen • Antennen stören einander • kürzeste Strecken müssen möglichst schnell gefunden werden Übersicht • muss mit möglichst wenig Frequenzen auskommen 23 das Studium ⊲ es gibt vier mathematische Bachelor-Studiengänge: 1 vom Problem zur Theorie 2 die Idee weiter denken Mathematik: allgemein, mit eigenem Schwerpunkt Statistik: Aussagen aus (sehr) vielen Daten Technomathematik: physikalisch-technische Prozesse Wirtschaftsmathematik: Finanzströme, Wirtschaftsmodelle ⊲ Grundausbildung ist dieselbe, Spezialisierung durch Schwerpunkte und Nebenfächer ⊲ alle dauern drei Jahre, danach Berufseinstieg oder 3 MathematikerIn werden? ⊲ Master -Studiengang Ausbildung für die Wissenschaft zwei Jahre kann auch später gemacht werden 24 Grundlagen der Mathematik 25 Grundlagen der Mathematik allgemeine Vektorräume und lineare Abbildungen in beliebigen Dimensionen Eigenschaften von Zahlen, Folgen und n-dimensionalen Funktionen P • x 2 ≥ 0 für alle x ∈ R — welche Art Zahl erfüllt x 2 = −1 ? an+1 ⇒ 1 := 2 r an + an √ lim an = r Q v2 0 • a0 ∈ R+ 26 v1 • orthogonale Projektion • Wo liegt das rote Maximum genau? ! ∇f (x1 , x2 ) = 0 n→∞ Grundlagen der Mathematik Q= n X hvi , Pi i=1 27 kvi k2 vi • Rotation eines Körpers 1 0 cos α y1 @ y2 A=@ 0 y3 − sin α 0 0 1 0 10 1 sin α x1 A@ x2 A 0 cos α x3 Kommunikation in der Mathematik diskrete Strukturen und elementare Wahrscheinlichkeit Mathematik anderer Leute verstehen 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 • Verknüpfung von Permutationen 1 2 3 3 1 4 1 2 = 4 3 1 2 3 4 4 ◦ 3 1 4 2 2 3 4 2 1 • Gaußsche Normalverteilung x2 1 φ(x) = √ e− 2 2π Theorem: Let G be a graph. G has an Eulerian path if all the edges belong to a single component and there are at most two odd vertices. Proof. We observe that every Eulerian path is incident to every interior node twice. . . . Mathematik anderen erklären 28 die Rolle des Computers 29 der Trend 30 56608 51499 38982 27005 29472 47320 Verhalten von Zahlen auf einem Computer algorithmische Abläufe für Berechnungen Programmieren in einer Hochsprache, z.B. Java 53194 ⊲ Studierende lernen: ⊲ keine Vorliebe für Computer oder Perfektion im Programmieren nötig! ⊲ Schwerpunkt bleibt auf den Abläufen, nicht der Maschine der Arbeitsmarkt Quelle: Dieter et al., Zahlen rund um das Mathematikstudium I, MDMV 16/08 31 die Message Mathe ist eine jahrtausende lange Erfolgsstory Mathe erfordert Geduld, Grips und Liebe zum Detail Mathe ist abwechslungsreich, nichts wird doppelt gemacht Mathe ist heute Teamwork Mathe belohnt durch Anerkennung sachlicher Ergebnisse Mathe ist Zukunft! Quelle: Bundesanstalt für Arbeit, Arbeitsmarkt−Information 2003 32