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Mathematik fu
 r Ingenieure
Institut fu
 r Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik
Dr. Dirk Windelberg
Universit
at Hannover
Stand: 19. August 2008
http://www.iazd.uni-hannover.de/windelberg/teach/ing
36
Mittelwert, Standardabweichung, Normalverteilung
Aufgabe:
Es wird vorausgesetzt, dass Sie eine physikalische Grosse n mal gemessen haben. Die Messwerte
seien x1 , ... , xn .
Berechnen Sie das arithmetische Mittel dieser Messwerte und geben Sie das Intervall an, in
dem 95% der Messwerte liegen wurden, wenn diese um normalverteilt waren.
L
osung der Aufgabe:
Bekannt ist der Begri der Normalverteilung\ N (; 2 ), z.B. aus F+H, Seite 200:
"
2
1
N (; 2 ) := p
e 12 ( x )
2
mit
Erwartungswert\ oder Mittelwert\
"
"
Standardabweichung\
"
2 Varianz\
"
Um die Genauigkeit einer Messung zu beschreiben, kann z.B.
1. fur den Erwartungswert das arithmetische Mittel von n Versuchsdaten xi , also =
n
1 X
x
n i=1 i
2. fur die Varianz 2 =
n
1
1
n
X
(xi
)2
i=1
gewahlt werden. Dazu gehort dann die Normalverteilung N (; 2 ).
Von dieser Kurve ist bekannt:
Der Flacheninhalt zwischen x-Achse und Kurve betragt
1. im Intervall [
; + ]:
2. im Intervall [
2 ; + 2 ]: 95%
3. im Intervall [
3 ; + 3 ]: 99%
68%
1-, 2- und 3-
-Intervalle
Die Megenauigkeit kann dann durch das Intervall [ 2 ; +2 ] beschrieben werden: Falls
die Messungen normalverteilt sind, wurden 95% aller Messwerte innerhalb dieses Intervalles
liegen.
Windelberg:
Beipiel:
Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 36
Stand: 19. August 2008
36002
Messwerte, sortiert nach ihrer Grosse:
Messwert 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8
8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Dann ist n
1
232
1 X
1
7:7
= xi = (5 6 + 7 7 + 9 8 + 9 9) = (30 + 49 + 72 + 81) =
n i=1
30
30
30
und
n
X
1
1
2
=
(xi )2 = 5 (6 7:7)2 + 7 (7 7:7)2 + 9 (8 7:7)2 + 9 (9 7:7)2
n 1 i=1
29
33:9
1
(5 2:89 + 7 0:49 + 9 0:09 + 9 1:69) =
1:17
=
29
29
und damit = 1:08 Damit wurde bei Normalverteilung der Messwerte gelten:
6:5 Messwert 8:9 gilt fur 95% aller Messwerte
Die x-Achse ist aufgeteilt in Intervalle: [5:5; 6:5], [6:5; 7:5], : : :
Ein Balkendiagramm (in rot) zeigt die jeweilige Haugkeit der Messwerte.
Der Flacheninhalt der Balken betragt 30.
Es ergab sich aus den Messwerten
das arithmetische Mittel = 7:7 und
die Standardabweichung = 1:08.
Damit konnte die Normalverteilungskurve fur diese Messwerte so gezeichnet werden,
dass zwischen der x-Achse und der Kurve der gleiche Flacheninhalt entsteht
wie bei dem Balkendiagramm, also 30:
y = 30 p
1
2
1 x 2
e 2 ( )
Die Zeichnung enthalt auch den Mittelwert sowie die Fehlergrenzen fur 95% einer normalverteilten Messung
(jeweils gestrichelt)