Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation

Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
Sommersemester 2014
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
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Revision in der Probabilistik
Probabilistische Revision – allgemein
Kapitel 4
4. Revision in der Probabilistik
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Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
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Revision in der Probabilistik
Probabilistische Revision – allgemein
Kapitel 4
4. Revision in der Probabilistik
4.1 Probabilistische Revision – allgemein
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Revision in der Probabilistik
Probabilistische Revision – allgemein
Die älteste Revisionsmethode der Welt
(Epistemische) AGM-Revision behandelt das Problem, einen
Wissenszustand Ψ durch neue, sicher geglaubte Information A zu
verändern:
Ψ ∗ A.
In einer probabilistischen Umgebung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
P ein Wissenszustand:
P ∗ A.
Eine Methode, die P dahingehend verändert, dass A nachher sicher
geglaubt wird, d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1, ist die Bayes’sche
Konditionalisierung
(
P (ω)
P (A) falls ω |= A
P ∗ A(ω) = P (ω|A) =
0
falls ω |= A
(wenn P (A) > 0). (Success) ist gegeben durch
P ∗ A(A) = 1.
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Revision in der Probabilistik
Probabilistische Revision – allgemein
Jeffrey’s Regel 1/2
Konditionalisierung lässt sich verallgemeinern:
Seien B1 , . . . , Bn disjunkte Aussagen, über die zunächst
Wahrscheinlichkeiten
P (B1 ), . . . , P (Bn )
bekannt sind; wir können annehmen, dass B1 , . . . , Bn auch erschöpfend
sind, d.h. dass gilt
P (B1 ) + . . . + P (Bn ) = 1.
Wie verändert sich die gesamte Verteilung P , wenn nun neue
Informationen über die Wahrscheinlichkeiten der Bi bekannt werden?
D.h., P soll so zu P ∗ verändert werden, dass P ∗ (Bi ) = pi vorgegebene
Werte annimmt.
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Revision in der Probabilistik
Probabilistische Revision – allgemein
Jeffrey’s Regel 2/2
Die Lösung zu diesem Problem liefert eine Annahme, die man als
probability kinematics bezeichnet – nämlich, dass die neuen
Wahrscheinlichkeiten der Bi keine der unter Bi bedingten
Wahrscheinlichkeiten ändern sollte:
P ∗ (A|Bi ) = P (A|Bi )
Daraus ergibt sich sofort mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
die Regel von Jeffrey:
n
X
P ∗ (A) =
P ∗ (A|Bi )P ∗ (Bi )
i=1
=
n
X
P (A|Bi )P ∗ (Bi )
i=1
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Revision in der Probabilistik
Probabilistische Revision – allgemein
Jeffrey’s und Bayes Regel
Jeffrey’s Regel verallgemeinert die Konditionalisierung nach Bayes:
Liegt nämlich nur ein Ereignis B mit Wahrscheinlichkeit P ∗ (B) = 1 vor,
so ergibt Jeffrey’s Regel:
P ∗ (A) = P (A|B)P ∗ (B) = P (A|B),
d.h. die posteriori Wahrscheinlichkeit ist nichts anderes als die nach B
konditionalisierte priori Wahrscheinlichkeit; umgekehrt erhält man die
bedingte Wahrscheinlichkeit als Spezialfall der Regel von Jeffrey, wenn die
neue Information sicher ist, also Wahrscheinlichkeit 1 besitzt.
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Revision in der Probabilistik
Probabilistische Revision – allgemein
Multiple probabilistische Revision und mehr . . .
Jeffrey’s Regel kann als multiple probabilistische Revision (unter gewissen
Bedingungen) betrachtet werden, die neue Information besteht hier aus
einer Menge probabilistischer Fakten S = {B1 [p1 ], . . . , Bn [pn ]}, und die
Revisionsaufgabe besteht in der Bestimmung einer Verteilung
P ∗S
mit
P ∗ S |= S (Success),
wobei
P |= Bi [pi ] gdw. P (Bi ) = pi .
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Revision in der Probabilistik
Probabilistische Revision – allgemein
Multiple probabilistische Revision und mehr
. . . (Forts.)
In einem nächsten Schritt könnte die Revisionsaufgabe nun darin bestehen,
P mit einer Menge
R = {(B1 |A1 )[x1 ], . . . , (Bn |An )[xn ]
so zu einer Verteilung P ∗ R zu verändern, dass
P ∗ R |= (Bi |Ai )[xi ], 1 ≤ i ≤ n,
(Success)
gilt, wobei
P |= (B|A)[x] gdw. P (A) > 0 und P (B|A) = x.
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Kapitel 4
4. Revision in der Probabilistik
4.2 Wissensrevision auf der Basis
optimaler Entropie
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Probabilistische Wissensrevision 1/3
Wenden wir uns dem Problem zu, Wissenszustände durch neue
(konditionale) Informationen revidieren zu wollen.
Geeignete probabilistische Wissenszustände sind
Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Geeignete neue Informationen sind Mengen probabilistischer Regeln.
Gesucht ist also ein Verfahren, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen P
durch Mengen probabilistischer Regeln R zu revidieren.
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Probabilistische Wissensrevision 2/3
Mit welchen Problemen müssen wir rechnen?
• Auf der a priori-Seite (gegebenes Wissen) haben wir zuwenig
Freiheitsgrade, da eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständiges
Wissen darstellt.
• Auf der a posteriori-Seite (revidierter Wissenszustand) haben wir
zuviele Freiheitsgrade, da es – wie bei der ME -Inferenz –
normalerweise unendlich viele passende Verteilungen gibt.
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Probabilistische Wissensrevision 3/3
Was erwarten wir?
• Wir möchten genau eine revidierte Verteilung P ∗ = P ∗ R berechnen.
• Diese Verteilung soll die neue Information darstellen: P ∗ |= R
(Success).
• Unnötige Arbeit soll vermieden werden, d.h. wenn bereits P |= R gilt,
so soll P ∗ = P sein (Stabilität).
• Die Änderungen in P sollen minimal sein, d.h. die neue Verteilung P ∗
soll so nahe wie möglich an P liegen – wir benötigen also ein
Abstandsmaß zwischen Verteilungen.
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Relative Entropie 1/2
Problem:
Gesucht:
Die Verteilung P hat sich geändert zur Verteilung Q;
Maß für Informationsgewinn, dass man
diese Änderung bemerkt hat
R(Q, P ) =
X
ω
Q(ω) log
Q(ω)
P (ω)
Relative Entropie (cross entropy) von Q bezgl. P
Maß für den Informationsabstand von P zu Q
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Relative Entropie 2/2
Eigenschaften der relativen Entropie:
• Die relative Entropie ist positiv definit, d.h. R(Q, P ) ≥ 0 und
R(Q, P ) = 0 genau dann, wenn P = Q;
• Die relative Entropie ist nicht symmetrisch: R(Q, P ) 6= R(P, Q)
(i.Allg.);
• Sei P = (p1 , . . . , pn ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, und sei
P0 = ( n1 , . . . , n1 ) eine (passende) Gleichverteilung. Dann gilt
R(P, P0 ) = log n − H(P )
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
ME-Wissensrevision
• Gegeben: A priori-Verteilung P , neue Information R;
• Gesucht: A posteriori-Verteilung P ∗ “nahe” zu P mit P ∗ |= R;
• Lösung:
Prinzip der minimalen Relativentropie
Minimiere Informationsabstand zu P , gegeben
R = {(B1 |A1 )[x1 ], . . . , (Bn |An )[xn ]} → Optimierungsproblem
P ∗ = ME (P, R) = ((arg) min R(Q, P ) =
Q|=R
X
Q(ω) log2
ω
Q(ω)
P (ω)
eindeutig lösbar (für P -konsistentes1 R) mit Lösung P ∗ = ME (P, R).
1
R heißt P -konsistent, wenn es ein Modell Q von R gibt mit P (ω) = 0 ⇒
Q(ω) = 0; in diesem Fall sagt man auch, Q ist P -stetig.
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Axiomatik des ME-Prinzips 1/2
Shore & Johnson, 1980:
Die relative Entropie ist die einzige Funktion, deren Optimierung das obige
probabilistische Revisionsproblem in der Art löst, dass folgende
Bedingungen erfüllt sind:
• Eindeutigkeit: Das Revisionsergebnis P ∗ R ist eindeutig bestimmt.
• Invarianz: Die Lösung hängt nicht vom Koordinatensystem ab.
• System Independence: Sei V = V1 ∪ V2 eine Partition der
Variablenmenge, und seien jeweils Pi , Ri Verteilungen bzw.
Regelmengen über Vi . Dann gilt:
(P1 P2 ) ∗ (R1 ∪ R2 ) = (P1 ∗ R1 )(P2 ∗ R2 )
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Axiomatik des ME-Prinzips 2/2
• Subset Independence: Seien A1 , . . . An exklusive und erschöpfende
Formeln, d.h. Ai Aj ≡ ⊥ für i 6= j und A1 ∨ . . . ∨ An ≡ >. Sei P eine
Verteilung, und seien Ri Mengen probabilistischer Konditionale, deren
Prämisse Ai impliziert (d.h. die Ri liefern jeweils Informationen über
die bedingten Verteilungen P (·|A
Pi )). Sei R = R1 ∪ . . . ∪ Rn , und sei
S = {A1 [x1 ], . . . , An [xn ]} mit i xi = 1. Dann gilt
(P ∗ (R ∪ S))(·|Ai ) = P (·|Ai ) ∗ Ri
Insbesondere gilt dann
(P ∗ R)(·|Ai ) = P (·|Ai ) ∗ Ri
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
ME-Wissensrevision und ME-Inferenz 1/2
Ein (zweistelliger) ME-Revisionsoperator ∗ME wird definiert durch
P ∗ME R := ME (P, R)
Nichtmonotone ME-Inferenzoperation (mit Hintergrundwissen P ):
CPME
prob
prob
2(L|L)
→ 2(L|L)
(
{ϕ ∈ (L | L)prob | P ∗ME R |= ϕ}
CPME (R) =
(L | L)prob
:
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Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
R P − konsistent
sonst
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
ME-Wissensrevision und ME-Inferenz 2/2
Ist P = P0 die Gleichverteilung, so ist ME (P0 , R) = ME (R), d.h. die zu
R gehörige ME -Verteilung ist dasjenige R-Modell, das minimalen
Informationsabstand zur Gleichverteilung hat.
Für P = P0 wird also
C M E (R) = CPM0 E (R)
durch die zugehörige ME -Verteilung ME (R) bestimmt.
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Eigenschaften der ME-Revision
Der ME -Revisionsoperator hat folgende Eigenschaften:
• P ∗ME R = P genau dann, wenn P |= R.
• Es ist i.Allg.
P ∗ME (R ∪ S) 6= (P ∗ME R) ∗ME S,
aber es gilt:
(P ∗ME R) ∗ME (R ∪ S) = P ∗ME (R ∪ S)
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Eigenschaften der ME-Inferenz
Der ME -Inferenzoperator CPME erfüllt die folgenden Eigenschaften (s.
Commonsense Reasoning):
• Inklusion/Reflexivität: R ⊆ CPME (R).
• Idempotenz: CPME (CPME (R)) = CPME (R).
• Kumulativität:
R ⊆ S ⊆ CPME (R) impliziert
CPME (R) = CPME (S)
• Supraklassizität, d.h. es gilt: Cn prob (R) ⊆ CPME (R).
• Loop: Sind R1 , . . . , Rm ⊆ (L | L)prob mit Ri+1 ⊆ CPME (Ri ),
i modulo m, dann gilt
CPME (Ri ) = CPME (Rj )
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für alle i, j = 1, . . . , m
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Prinzip der konditionalen Erhaltung in der
Probabilistik 1/3
Charakteristika von Konditionalen:
• Konditionale sind 3-wertig:

 1 wenn ω |= AB (Verifikation)
0 wenn ω |= AB (Falsifikation)
(B|A)(ω) =

u wenn ω |= A
• Die Semantik von Konditionalen wird bestimmt durch Brüche:
1
P (B|A) =
1+
P (AB)
P (AB)
Genauso wie für OCF benutzen wir beide Charakteristika zur Definition
eines allgemeinen konditionalen Prinzips der Erhaltung in der Probabilistik.
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23 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Prinzip der konditionalen Erhaltung in der
Probabilistik 2/3
ME Wissensänderung erfüllt das folgende
Probabilistisches Prinzip der konditionalen Erhaltung
0 } zwei Multimengen
Seien Ω = {ω1 , . . . , ωm } und Ω0 = {ω10 , . . . , ωm
möglicher Welten (Welten also nicht notwendigerweise verschieden).
Wenn für jedes probabilistische Konditional (Bi |Ai )[xi ] in R sich Ω und
Ω0 gleich verhalten (s.u.), i.e., sie zeigen dieselbe Anzahl von
Verifikationen bzw. Falsifikationen, dann gilt für die a priori P und die
(ME -)posteriori P ∗ Folgendes:
P (ω1 ) . . . P (ωm )
P ∗ (ω1 ) . . . P ∗ (ωm )
=
0 )
0 )
P (ω10 ) . . . P (ωm
P ∗ (ω10 ) . . . P ∗ (ωm
Das Prinzip der konditionalen Erhaltung schafft also eine Balance zwischen
der Erhaltung konditionaler Beziehungen in der priori Verteilung und der
Herstellung konditionaler Beziehungen durch neue Informationen.
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24 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Prinzip der konditionalen Erhaltung in der
Probabilistik 3/3
Ebenso wie für OCF kann man das Prinzip mit Hilfe konditionaler
Strukturen noch kompakter darstellen:
Definieren wir dazu auch noch
P (Ω) =
m
Y
P (ωi )
i=1
für Multimengen Ω = {ω1 , . . . , ωm }, so lässt sich das Prinzip der
konditionalen Erhaltung kompakt so ausdrücken:
Prinzip der konditionalen Erhaltung
Gilt für zwei Multimengen σ(Ω) = σ(Ω0 ), so muss auch
P ∗ (Ω)
P (Ω)
=
P (Ω0 )
P ∗ (Ω0 )
mit P ∗ = P ∗ R gelten, d.h. priori-Bruch = posteriori-Bruch.
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
ME-Wissensänderung unter der Lupe
Für R = {(B1 |A1 ) [x1 ], . . . , (Bn |An ) [xn ]} erhalten wir
Y
Y
ME (P, R)(ω) = α0 P (ω)
αi1−xi
αi−xi
1≤i≤n
ω|=Ai Bi
P
mit
αi =
P (ω)
xi ω|=Ai Bi
P
1 − xi
P (ω)
ω|=Ai Bi
Q
1≤i≤n
ω|=Ai Bi
1−xj
Q
Q
αj
j6=i
ω|=Aj Bj
−xj
αj
j6=i
ω|=Aj Bj
1−xj
Q
αj
j6=i
ω|=Aj Bj
−xj
αj
,
j6=i
ω|=Aj Bj

: xi ∈ (0, 1)
 >0
= ∞ : xi = 1
und αi
, 1 ≤ i ≤ n.

=0
: xi = 0
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
ME-Prinzip, Bayes und Jeffrey
Mit den obigen Formeln rechnet man leicht nach:
• R = {A[1]}:
P ∗ME {A[1]} = P (·|A)
→ Bayes-Konditionierung
• R = {A[x]}:
P ∗ME {A[x]})(ω) = P (ω|A)x + P (ω|A)(1 − x)
→ Jeffrey’s Regel
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27 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Probabilistische Wissensrevision und AGM 1/2
Wissensmenge einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P
KP = {A ∈ L | P (A) = 1}
KP 6= ∅, KP 6= L; KP ist deduktiv abgeschlossen.
Definiere Revision von KP mit A durch
KP ∗ A = KP (·|A) = {B ∈ L | P (B|A) = 1}
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Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
28 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Probabilistische Wissensrevision und AGM 2/2
Diese Revision ist nur definiert, wenn P (A) > 0 ist, wenn also ¬A 6∈ KP
ist, und ist damit eine Expansion. Sie ist allerdings eine AGM-Expansion,
denn es ist
KP ∗ A = Cn(KP ∪ {A})
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Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
29 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Beispiel Psychologe
Ein Psychologe fasst seine langjährigen Erfahrungen in der
Drogenberatungsstelle in einer Verteilung P zusammen:
a : addicted to alcohol
d : addicted to drugs
y : being young
ω
P (ω)
ω
P (ω)
ω
P (ω)
ω
P (ω)
ady
ady
0.050
0.093
ady
ady
0.333
0.102
ady
ady
0.053
0.225
ady
ady
0.053
0.091
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Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
30 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Beispiel Psychologe (Forts.)
Wir beobachten in P die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P (d|a) = 0.242
P (d|a) = 0.666
P (a|y) = 0.246
P (d|y) = 0.662
P (a|y) = 0.660
P (d|y) = 0.251
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Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Beispiel Psychologe (Forts.)
Der Psychologe wechselt nun die Stelle – er wird in einer Klinik arbeiten,
in der ausschließlich Alkohol- und Drogenabhängige behandelt werden. In
seinem neuen Arbeitsbereich ist die Rate der alkoholabhängigen Personen,
die gleichzeitig auch drogenabhängig sind, höher als üblich ist und liegt bei
ca. 40 %;
der Psychologe wird also sein Wissen P mit der folgenden Information
revidieren:
R = {a ∨ d[1], (d|a)[0.4]}
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32 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Beispiel Psychologe (Forts.)
und erhält P ∗ = P ∗ME R:
ω
P ∗ (ω)
ω
P ∗ (ω)
ω
P ∗ (ω)
ω
P ∗ (ω)
ady
ady
0.099
0.089
ady
ady
0.425
0.0
ady
ady
0.105
0.216
ady
ady
0.066
0.0
P ∗ |=
(d|a)[0.4]
(a|y)[0.307]
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(d|a)[1]
(d|y)[0.855]
Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
33 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Beispiel Psychologe (Forts.)
Nach ein paar Tagen bemerkt der Psychologe, dass es in der Klinik nur
junge Leute gibt; er muss sein Wissen erneut revidieren und berechnet
jetzt P ∗ME (R ∪ y[1]) =: P1∗ :
ω
P1∗ (ω)
ω
P1∗ (ω)
ady
ady
ady
ady
0.120
0.0
0.180
0.0
ady
ady
ady
ady
0.700
0.0
0.0
0.0
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
34 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Beispiel Psychologe (Forts.)
Diese Wahrscheinlichkeit ist allerdings verschieden von der, die man durch
Konditionieren nach y aus P ∗ = P ∗ME R erhält:
ω
P ∗ (·|y)(ω)
ω
P ∗ (·|y)(ω)
ady
ady
ady
ady
0.162
0.0
0.145
0.0
ady
ady
ady
ady
0.693
0.0
0.0
0.0
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Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
35 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Revision und Focusing 1/3
Unter Focusing versteht man das Anwenden generischen Wissens auf einen
Fall. Wird der Fall durch die Proposition A beschrieben, so entspricht
Focusing also einer Revisions- oder Update-Operation mit sicherem
Wissen.
Im klassisch-logischen Rahmen der AGM-Revision bleibt einem folglich
nichts anderes übrig, als mit A eine Revision oder ein Update
durchzuführen:
K ∗ A,
so dass Focusing von Revision bzw. Update nicht zu unterscheiden ist.
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36 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Revision und Focusing 2/3
Im ME -probabilistischen Rahmen hat man hingegen sehr viel mehr
Modellierungsspielraum:
Im Psychologen-Beispiel gab es eine sehr deutliche Unterscheidung
zwischen Revision und Focusing (P ∗ =: P ∗ME R)
Revision von P ∗ mit y[1]
P ∗ME (R ∪ y[1])
Focusing von P ∗ auf y[1]
6=
(P ∗ME R)(·|y)
Focusing entspricht also grundsätzlich dem üblichen Konditionieren.
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37 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Revision und Focusing 3/3
Man kann sich auch vorstellen, dass man nur über unsichere Information
über einen Fall verfügt, z.B. A ist wahr mit Wahrscheinlichkeit 0.8. In
diesem Fall muss man auf die unsichere Evidenz A[0.8] fokussieren.
Wegen
P (·|A) = P ∗ME A[1]
ist hier eine passende Verallgemeinerung die Operation
P ∗ME A[x],
in diesem Fall also für x = 0.8.
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Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
38 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Beispiel Psychologe (Forts.)
In unserem Beispiel würde eine unsichere Fokussierung
P2∗ = P ∗ ∗ME {y[0.8]} wie folgt aussehen:
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ω
P2∗ (ω)
ω
P2∗ (ω)
ady
ady
ady
ady
0.129
0.054
0.116
0.112
ady
ady
ady
ady
0.555
0.034
0.0
0.0
Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Fazit ME-Methodik
• Die ME -Methodik ermöglicht Wissensrevision bzw. Inferenz in ihrer
allgemeinsten Form: Komplexe Wissenszustände
(Wahrscheinlichkeitsverteilungen) können durch Anpassung an neue
Information in komplexer Form (Mengen probabilistischer
Konditionale) revidiert werden.
• Auch ME -Inferenz mit Hintergrundwissen erfüllt zahlreiche der
Eigenschaften, die man an nichtmonotone Inferenzrelationen i.Allg.
stellt, z.B. die Kumulativität.
• ME -Revision ist mit den Grundideen der AGM-Theorie (minimal
change-Paradigma) verträglich; darüberhinaus gelten weitergehende
Eigenschaften, die insbesondere für iterierte Revision relevant sind.
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40 / 46
Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Ein Paradoxon . . .
Die Peter, Paul & Mary-Story
• Peter, Paul und Mary sind Profikiller, einer von ihnen hat Mr Jones
ermordet;
• Inspektor Smith ist bisher noch vollkommen ratlos –
• wer von den dreien war es? P (M ary) = 31
• war es ein Mann oder eine Frau? P (M ary) = 12
Bei der Verwendung von Wahrscheinlichkeiten geht auch immer Wissen
über die Grundgesamtheit betrachteter Merkmale mit ein!
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Fortgeschrittene Themen der Wissensrepräsentation
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Revision in der Probabilistik
Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
. . . und ein Nicht-Paradoxon 1/4
Die Peter, Paul & Mary-Story (Forts.)
• Inspektor Smith weiß nun, dass Big Boss die Ermordung von Mr
Jones durch Peter, Paul oder Mary in Auftrag gegeben hat;
• er weiß auch, dass Big Boss vorher eine Münze geworfen hat, um zu
entscheiden, ob der Auftrag durch eine Frau oder einen Mann
ausgeführt werden sollte;
• er weiß aber nichts über den Ausgang des Münzwurfs.
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Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
. . . und ein Nicht-Paradoxon 2/4
Damit lässt sich das Wissen von Inspektor Smith wie folgt formalisieren:
R1 = {Mary [0.5], Peter ∨ Paul [0.5]}
Sei P1 = ME (R1 ) die zu R1 gehörige ME -Verteilung:
P1 (Mary) = 0.5, P1 (Peter) = P1 (Paul) = 0.25
Nun erfährt Inspektor Smith, dass Peter sich zur Tatzeit bei einer
Polizeistation gemeldet hat, somit ein wasserdichtes Alibi hat und als
Täter ausscheidet.
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Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
. . . und ein Nicht-Paradoxon 3/4
Üblicherweise wird dieses Wissen durch Konditionierung eingearbeitet, d.h.
es wird als posteriori-Verteilung die Verteilung P2 = P1 (·|¬Peter)
berechnet, für die man die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnet:
P2 (Mary) = 0.5/0.75 = 0.67
P2 (Paul) = 0.25/0.75 = 0.33
Dies wird i.Allg. als unintuitiv empfunden, viele wuerden als angemessene
Wahrscheinlichkeiten unter der Voraussetzung, dass Peter nicht der Täter
sein kann, erwarten
P2 0 (Mary) = 0.5 = P2 0 (Paul)
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Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
. . . und ein Nicht-Paradoxon 4/4
Tatsächlich lässt sich dieses Ergebnis auch durch eine (richtige)
Revisionsoperation erreichen:
Das durch die priori-Verteilung P1 ausgedrückte Wissen wird nicht auf
Peter angewendet (genau das leistet i.Allg. die Konditionierung als
Focusing-Operation), sondern das Wissen über Peter muss auf der gleichen
Ebene wie R1 berücksichtigt werden, da es sich auf den Moment der Tat
bezieht – d.h. P1 wird zu
P1 0 = ME (R1 ∪ {¬Peter [1]})
mit
P1 0 (Mary) = 0.5 = P1 0 (Paul)
Das Paradoxon entsteht nicht ursächlich durch die Probabilistik, sondern
durch eine unsachgemäße Verarbeitung von Information!
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Inferenz und Wissensrevision auf der Basis optimaler Entropie
Zusammenfassung Kapitel 4
• Bayessche Netze modellieren bedingte Unabhängigkeiten, während die
ME -Methodik sich auf die konsequente Ausnutzung bedingter
Abhängigkeiten konzentriert.
• ME -Inferenz und ME -Revision sind mächtige Methoden für die
probabilistische Wissensrepräsentation mit hervorragenden
Eigenschaften.
• Durch Abstraktion lassen sich aus Wahrscheinlichkeitsfunktionen
qualitative Rangfunktionen gewinnen, auf die sich wichtige Aspekte
der ME -Prinzipien übertragen lassen (→ c-Repräsentation,
c-Revision).
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