Übungen zur Physik III (WS 2011/2012) Übungsblatt 2

Übungen zur Physik III (WS 2011/2012)
Übungsblatt 2
Prof. Dr. S. J. Linz / Prof. Dr. C. Fallnich
17.10.2011
Abgabe der Übungsaufgaben:
Besprechung der Übungsaufgaben:
24.10.2011 (vor der Vorlesung)
28.10.2011 (in der Übungsgruppe)
Aufgabe 4: Zweidimensionale Elektrostatik
(schriftlich, 5 Punkte)
Nehmen Sie an, dass wir in einer zweidimensionalen Welt leben würden, in der die zweidimensionale
Poisson-Gleichung
1
∇2 ϕ(~r) = − ρ(~r)
ǫ0
gilt. In der ansonsten ladungsfreien Ebene sei eine Punktladung im Ursprung lokalisiert, ρ(~r) =
q0 δ(~r).
a) Begründen Sie, warum im Zweidimensionalen
δ(~r) = δ(x)δ(y)
gilt?
b) Geben Sie für die Punktladung ρ(~r) = q0 δ(~r) die Poisson-Gleichung in Polarkoordinaten an.
c) Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichung durch zweifache Aufintegration über eine große
Kreisscheibe zentriert um ~r = 0 mit Radius a < ∞. Warum ist diese Einschränkung nötig?
~
d) Wie lautet das zugehörige elektrische Feld E?
e) Wie sieht das Coulombsche Kraftgesetz zwischen zwei Ladungen in einer zweidimensionalen Welt
aus? Wie unterscheidet es sich von einer dreidimensionalen Welt?
Hinweis in Polarkoordinaten (r, θ):
dV
= rdr dθ
Volumenelement in 2d
1
1
∇2 ψ =
∂r r∂r ψ + 2 ∂θ2 ψ Laplace-Operator in 2d
r
r
Aufgabe 5: „Birkhoff “-Theorem der Elektrodynamik
(mündlich, 5 Punkte)
Betrachten Sie den ladungs- und stromfreien Fall der Maxwellgleichungen im Vakuum, d.h. ρ (~r, t) =
0 und ~j (~r, t) = 0. Dann gilt: Eine sphärisch symmetrische Lösung dieser Maxwell-Gleichungen, d.h.
~ (~r, t) = fE (|~r |, t) ~er und
E
~ (~r, t) = fB (|~r |, t) ~er ,
B
~ = 0 = ∂t B.
~
ist immer statisch, d.h. ∂t E
1
Aufgabe 6: Verschiedene Stimmlagen beim Klavier
(schriftlich, 5 Punkte)
Die Abbildung links (Quelle: Wikipedia) zeigt die Frequenzunterschiede, die ein Klavier bei den verschiedenen möglichen Stimmungen aufweist.
Bei der reinen oder harmonischen Stimmung sind die
Wellenlängen bzw. Frequenzen so gewählt, wie sie auch
den Obertönen einer Saite entsprechen, die mit der Grundschwingung ebenfalls anschwingen können, da für sie die
Bedingung für eine stehende Welle erfüllt ist: l = nλ/2. So
stehen die kleine Terz (Terz einer Moll-Tonart), große Terz
(Terz einer Dur-Tonart), Quarte und Quinte in folgenden
Verältnissen zum Grundton: 6/5, 5/4, 4/3 und 3/2.
Halbtonschritt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ton
c
cis/des
d
dis/es
e
f
fis/ges
g
gis/as
a
b
h
c
Frequenzverhältnis
1/1
16/15
9/8
6/5
5/4
4/3
45/32
3/2
8/5
5/3
16/9
15/8
2/1
Wenn man ein Klavier so „rein“ für eine Tonart stimmt, passen aber die Frequenzverhältnisse für die anderen Tonarten
(anderer Grundton) nicht mehr richtig.
Deshalb werden Klaviere seit J.S. Bach und A. Werckmeister „temperiert“ bzw. gleichstufig gestimmt. √
Hier ist der Frequenzabstand zwischen jedem der 12 Halbtonschritte einer Oktave mit dem
Faktor 12 2 = 1.05946 gleich groß. Man erkennt, dass es jetzt Frequenzunterschiede zur reinen Stimmung gibt, die bei manchen Tönen klein sind (z.B. Quarte und Quinte), bei anderen aber deutlich
größer.
a) Um wieviel ist die große Terz in E-Dur (4 Halbtonschritte höher als C-Dur) gegenüber einem in
E-Dur rein gestimmten Klavier falsch gestimmt, wenn Sie auf einem in C-Dur rein gestimmten
Klavier spielen. Geben Sie den relativen Frequenzunterschied an.
b) Bestimmen Sie die relativen Frequenzunterschiede für die kleine und die große Terz sowie für
die Quinte zwischen reiner und temperierter Stimmung.
Aufgabe 7: Addition von Wellen
(mündlich, 5 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Summe der elektrischen Feldstärken der elektromagnetischen Wellen, die von
N Punkten im jeweiligen Abstand d in Richtung α ausgehen,
E = E0 · eiωt
mit ∆φ =
2πd
λ
N
X
ei·(j−1)∆φ
j=1
· sin α. zu einer Intensität führt, die folgende Abhängigkeit aufweist:
sin2 N π λd sin α
I(α) = I0 ·
sin2 π λd sin α
2