Grundlagen der Informatik -

(Algebraische) Strukturen – Beispiele
Menge mit Beziehungen (Relationen) zwischen und Funktionen
auf den Elementen Beispiele:
I
Menge aller Studenten im Raum
Relationen: sitzt-neben (zweistellig),
einstellige Relationen (Eigenschaften): blond
Funktion (einstellig): rechter-Nachbar
I
Menge aller natürlichen Zahlen
Relationen: ≥ (zweistellig), | (teilt, zweistellig)
einstellige Relationen (Eigenschaften): prim, gerade
Funktion: Nachfolger (einstellig), + (zweistellig)
I
Menge 2 aller Punkte der Ebene
Relationen: kleinerer-Abstand-von-0 (zweistellig),
bilden-gleichseitiges-Dreieck (dreistellig)
Funktionen: verschieben (einstellig), Mittelpunkt (zweistellig)
I
Menge A∗ aller endlichen Wörter (Vektoren) über A
Relation: Präfix (Anfangswort, zweistellig))
Funktionen: Spiegelung (einstellig), Verkettung (zweistellig)
N
R
Wichtige Klasse von Strukturen: Graphen
Graph G = (V , E) mit
I
Menge V von Knoten (Ecken, engl. vertex)
I
zweistellige Relation E ⊆ V 2 ,
Elemente (u, v ) ∈ E heißen Kanten (engl. edge)
Beispiele (Tafel)
gerichteter Graph Repräsentation einer zweistelligen Relation
E auf der Menge V
ungerichteter Graph Repräsentation einer zweistelligen
irreflexiven symmetrischen Relation E auf der
Menge V
Kanten sind Zweiermengen {u, v } ⊆ V
Prominente Klassen ungerichteter Graphen
Pfade Pn = ({1, . . . , n}, {{i, i + 1} | i ∈ {1, . . . , n − 1}})
Kreise Cn = ({1, . . . , n}, {{i, i + 1} | i ∈
{1, . . . , n − 1}} ∪ {{n, 1}})
vollständige Graphen
Kn = ({1, . . . , n}, {{i, j} | i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j})
isolierte Graphen In = ({1, . . . , n}, ∅)
Gefärbte Graphen
gegeben: Graph G = (V , E), Menge CV von Eckenfarben
Menge CE von Kantenfarben
Eckenfärbung f : V → CV
Kantenfärbung f : E → CE
später im Studium:
Färbungen mit bestimmten Eigenschaften,
z.B. Eckenfärbung f : V → CV des ungerichteten Graphen
G = (V , E), so dass für keine Kante {u, v } ∈ E gilt f (u) = f (v )
Beispiele (Tafel): P5 , C4 , C5 , K4 , K5
Gefärbte Graphen als Strukturen:
I
Menge V von Knoten
I
für jede Eckenfarbe aus CV eine Eigenschaft (einstellige
Relation)
I
für jede Kantenfarbe aus CE eine zweistellige Relation
Strukturen desselben Types
A Menge {0, 1} mit
I Konstanten 0, 1
I Funktionen min, max (zweistellig)
I Eigenschaft gerade
I Relation ≤ (zweistellig)
B Menge aller Studenten im Raum mit
I Konstanten Anton, Berta
I Funktionen erster, zweiter (zweistellig)
I Eigenschaft blond
I Relation befreundet (zweistellig)
C Menge 2N mit
I Konstanten ∅,
I Funktionen ∩, ∪ (zweistellig)
I Eigenschaft endlich
I Relation ⊆ (zweistellig)
N
Signaturen
Gemeinsamkeiten der Strukturen A, B, C:
I
I
I
I
zwei Konstanten (nullstellige Funktionen)
zwei zweistellige Funktionen
eine Eigenschaft (einstellige Relation)
eine zweistellige Relation
Bezeichnung der Relationen und Funktionen durch Symbole
(mit zugeordneter Stelligkeit)
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit Mengen
ΣF = {(f , n) | n ∈ } von Funktionssymbolen (mit Stelligkeit)
ΣR = {(R, n) | n ∈ } von Relationssymbolen (mit Stelligkeit)
(nullstellige Funktionssymbole heißen Konstantensymbole)
N
N
Signatur definiert Typ von Strukturen
Strukturen mit derselben Signatur können sich unterscheiden in
I
I
Trägermenge
Bedeutung der Funktions- und Relationssymbole
Beispiele für Signaturen
I
Signatur für arithmetische Ausdrücke über natürlichen,
rationalen, reellen, . . . Zahlen
ΣF = {(+, 2), (−, 2), (·, 2)}∪ nullstellige Symbole für
Zahlen aus der Trägermenge
ΣR = ∅
I
Signatur für Mengen mit einer zweistelligen Relation
(Äquivalenzrelation, Halbordnung, Graph)
ΣF = ∅, ΣR = {(R, 2)}
I
Signatur für aussagenlogische Formeln
ΣF = {(∨, 2), (∧, 2), (¬, 1), (f, 0), (t, 0)}, ΣR = ∅
I
Signatur für alle drei Strukturen A, B, C
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(erbse, 1), (tomate, 2)}
Terme (Syntax)
funktionale Signatur ΣF = {(f , n) | n ∈
Menge X von Variablen
N}
Definition (induktiv)
Die Menge Term(ΣF , X ) aller Terme mit Variablen aus der
Menge X ist definiert durch:
1. Jede Variable x ∈ X ist ein Term. (X ⊆ Term(ΣF , X ))
2. Sind (f , n) ∈ ΣF (n-stelliges Funktionssymbol) und
t1 , . . . , tn Terme aus Term(ΣF , X ),
dann ist auch f (t1 , . . . , tn ) ein Term aus Term(ΣF , X ).
Darstellungen: Bäume, Infix-, Präfix-, Postfixform
Terme ohne Variablen heißen Grundterme.
Menge aller Grundterme: Term (ΣF , ∅)
Für alle Signaturen ΣF ohne Konstantensymbole gilt
Term (ΣF , ∅) = ∅.
Beispiele
Q
I
für ΣF = {(+, 2), (−, 2), (·, 2), (/ 2)} ∪ {(q, 0) | q ∈ } ist
Term(ΣF , ∅) die Menge aller arithmetischen Ausdrücke
(Terme) mit rationalen Zahlen
I
für ΣF = {(f, 0), (t, 0), (¬, 1), (∨, 2), (∧, 2), (→, 2), (↔, 2)}
ist Term(ΣF , P) = AL(P) (Syntax der Aussagenlogik)
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
I
I
I
I
I
apfel ∈ Term(ΣF , ∅)
Grundterm
kirsche (banane, pflaume(x, y )) ∈ Term(ΣF , {x, y , z})
kein Grundterm
banane(apfel(pflaume, kirsche(pflaume))) 6∈ Term(ΣF , ∅)
pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel)) ∈ Term(ΣF , ∅)
Grundterm
Σ-Strukturen
Signatur Σ = (ΣF , ΣR )
A = (A, J·KA ) heißt Σ-Struktur gdw.
I
I
A 6= ∅ Träger, Universum
∀n ∈ :
N
I
I
∀(f , n) ∈ ΣF : Jf KA : An −→ S
(Jf KA ist n-stellige Funktion auf A)
∀(R, n) ∈ Σ:R JRKA ⊆ An
(JRKA ist n-stellige Relation auf A)
Für jedes Symbol s aus der Signatur Σ ist JsKA die Bedeutung
(Semantik) von s in der Struktur A.
Beispiele:
N
Q
I
( , ·, ≤, 1), ( , ·, ≤, 1) sind Σ-Strukturen für Σ = (ΣF , ΣR )
mit ΣR = {(≤, 2)} und ΣF = {(1, 0), (·, 2)},
I
drei Strukturen A, B, C sind Σ-Strukturen für die Signatur
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(erbse, 1), (tomate, 2)}
Interpretation von Grundtermen in Strukturen
Signatur Σ = (ΣF , ΣR )
Σ-Struktur A = (A, J·KA )
Wert des ΣF -Grundtermes t = f (t1 , . . . , tn ) ∈ Term(ΣF , ∅) in der
ΣF -Struktur A = (A, J·KA ):
JtKA = Jf KA (Jt1 KA , . . . , Jtn KA )
Spezialfall für t = c mit (c, 0) ∈ ΣF :
JtKA = JcKA aus der Definition von A
Man bemerke die Analogie zur Berechnung des
Wahrheitswertes einer aussagenlogischen Formel.
Beispiel
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(erbse, 1), (tomate, 2)}
s = apfel t = pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel))
Σ-Struktur S = (S, J·KS ) mit
S =
JapfelKS
JbananeKS
N
= 5
= 3
JkirscheKS (a, b) = a + b
JpflaumeKS (a, b) = a · b
JerbseKS
JtomateKS
= {0, . . . , 10}
= {(2n, n) | n ∈
JsKS = 5 JtKS =?
N}
Weiteres Beispiel
Σ-Struktur A = (A, J·KA ) mit
A = {0, 1}
JapfelKA = 0
JbananeKA = 1
∀a, b ∈ A : JkirscheKA (a, b) = min(a, b)
∀a, b ∈ A : JpflaumeKA (a, b) = max(a, b)
JerbseKA = {0}
JtomateKA = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}
JsKA = JapfelKA = 0,
JtKA =?
Weiteres Beispiel
Σ-Struktur B = (B, J·KB ) mit
B = {Studenten im Raum}
JapfelKB = Anton
JbananeKB = Berta
∀a, b ∈ B : JkirscheKB (a, b) = a
∀a, b ∈ B : JpflaumeKB (a, b) = b
JerbseKB = {a ∈ B | a ist blond}
JtomateKB = {(a, b) ∈ B 2 | a und b sind Freunde}
JsKB = JapfelKB = Anton,
JtKB =?
Noch ein Beispiel
Σ-Struktur C = (C, J·KC ) mit
C = 2N
JapfelKC = ∅
JbananeKC =
N
∀M, N ∈ C : JkirscheKC (M, N) = M ∩ N
∀M, N ∈ C : JpflaumeKC (M, N) = M ∪ N
JerbseKC = {M ⊆
N | |M| ∈ N}
JtomateKC = {(M, N) ∈ C 2 | M ⊆ N}
JsKC = JapfelKC = ∅,
JtKC =?
Äquivalenz von Grundtermen in einer Struktur
ΣF -Terme s, t ∈ Term(ΣF , ∅) mit JsKA = JtKA heißen
äquivalent in A (s ≡A t)
in Beispielen oben s ≡A t und s ≡C t, aber s 6≡B t
Beispiel:
semantische Äquivalenz aussagenlogischer Formeln ist
Äquivalenz in der Struktur S = ({0, 1}, ∨, ∧, ¬)
(Wahrheitswertstruktur)
dort haben wir gesehen:
Äquivalenz von Termen (Formeln) läßt sich oft durch
syntaktische Umformungen testen