Mathematik und Nanotechnologie: Warum werden Computer immer

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Mathematik und Nanotechnologie:
Warum werden Computer immer kleiner?
Ansgar Jüngel
Institut für Analysis und Scientific Computing
www.juengel.at.vu
(einige Bilder sind aus urheberrechtlichen Gründen entfernt)
• Einleitung
• Drift-Diffusionsgleichungen
• Numerische Beispiele
2
Einleitung
Einsatz von Computern
Kommunikation
Audio/Video
Haushalt
Medizin
Transport
Wirtschaft
Einleitung
Vom Computer zum Halbleiter
1 Computer
3 Computerschaltung
4 Transistor
2 Prozessorplatine
3
Einleitung
1971
1982
1993
2007
Geschichte der Intel-Prozessoren
4004
108 KHz, 2250 Transistoren,
Kanallänge: 10µm (1µm= 10−6m)
80286
12 MHz, 134.000 Transistoren,
Kanallänge: 1,5µm
Pentium 1
66 MHz, 7.500.000 Transistoren,
Kanallänge: 0,35µm
Core Duo
3 GHz, 410.000.000 Transistoren,
Kanallänge: 45nm
4
Einleitung
Entwicklung der Transistorzahl 1970–2008
5
Einleitung
Entwicklung der Kanallänge 2000–2016
6
Introduction
Herausforderungen im
Zukünftiger Prozessor (2010):
• Transistorzahl > 1 000 000 000
• Kanallänge < 45 nm
• hochintegrierte Schaltkreise:
Leistungsdichte > 100 W/cm2
Hauptprobleme:
• sinkende Spannung
→
• steigende Frequenzen
→
• steigende Designvielfalt
→
Schaltkreisdesign
Rauschen
Mehrskalenproblem
schnelle und akkurate
Simulationen notwendig
• steigende Leistungsdichte → parasitäre Effekte
(Wärme, “hot spots”)
7
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Einleitung
Funktionsweise eines MOSFET-Transistors
(MOSFET = Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor)
Source
Gate
Drain
Elektronen
70 Nanometer
Bulk
•
•
•
•
Kanallänge: 70 Nanometer
Elektronenfluß von Source zu Drain
Stromfluß gesteuert vom elektrischen Potential am Gate
Elektronen fließen von − nach +
Drift-Diffusionsgleichungen
Mathematische Modellierung
Variablen:
• Ortsvariable x
• Anzahl der Elektronen: Elektronendichte n(x) ≥ 0
• Stromfluß: Teilchenstromdichte J(x)
• elektrisches Potential V (x): gegebene Funktion
Eindimensionale Gleichungen:
• stationäre Stromdichte konstant: J ′ = 0
• Stromdichte = Diffusionsstrom + Driftstrom:
J = Jdiff + Jdrift
Frage: Wie lauten Diffusions- und Driftstrom?
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Drift-Diffusionsgleichungen
Herleitung von Diffusions- und Driftstrom
H
HH
HH
HH
HH
n′ < 0
HH
HH
HH
HH
HH
V′ >0
⇒
Jdrift = nV ′
⇒
J = Jdiff + Jdrift
= −n′ + nV ′
n
-
−
Jdiff = −n′
HH
-
⇒
V
+
-
J >0
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Drift-Diffusionsgleichungen
Differentialgleichungen:
J ′ = 0, J = −n′+nV ′
⇒
−n′′+(nV ′)′ = 0,
x ∈ (0, 1)
Randbedingungen: n(0) = 1, n(1) = 1
• lineares Randwertproblem zweiter Ordnung (V gegeben)
• kann explizit gelöst werden (→ VL Diff.gleichungen)
Lösung des Randwertproblems:
Z x
n(x) = eV (x)−V (0) − J
eV (x)−V (y)dy,
0
x ∈ [0, 1]
Bestimmung des Stromes J: setze x = 1 in obige Formel ein
Z 1
⇒ 1 = eV (1)−V (0) − J
eV (1)−V (y)dy
0
!−1
Z 1
V (1)−V (0)
V (1)−V (y)
⇒ J = (e
− 1)
e
dy
0
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Drift-Diffusionsgleichungen
Lösung des Randwertproblems:
Z x
V (x)−V (0)
V (x)−V (y)
n(x) = e
−J
e
dy,
0
J = (eV (1)−V (0) − 1)
1
Z
eV (1)−V (y)dy
0
x ∈ [0, 1]
!−1
Probe (Randbedingungen):
n(0) = eV (0)−V (0) = 1
n(1) = eV (1)−V (0) − J
Z
0
→ Randbedingungen sind erfüllt
1
eV (1)−V (y)dy = 1
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Drift-Diffusionsgleichungen
Lösung des Randwertproblems: Z
n(x) = eV (x)−V (0) − J
x
eV (x)−V (y)dy,
0
Rechenregel:
Z x
Z x
d
f (x)g(y)dy =
f ′(x)g(y)dy + f (x)g(x)
dx 0
0
Probe (Differentialgleichung): Z
x
n′(x) = eV (x)−V (0)V ′(x) − J
− JeV (x)−V (x)
Z
= eV (x)−V (0) − J
eV (x)−V (y)V ′(x)dy
0
x
eV (x)−V (y)dy V ′(x) − J
0
= n(x)V ′(x) − J
→ Differentialgleichung erfüllt
⇒
−n′ + nV ′ = J
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Drift-Diffusionsgleichungen
Strom:
J = (eV (1)−V (0) − 1)
Z
0
Von Interesse ist die Relation
1
eV (1)−V (y)dy
!−1
angelegte Spannung U := V (1) − V (0) zum Strom J
Beispiel: V (x) = x (linear anwachsende Spannung)
!−1
1!−1
Z 1
1 U (1−y)
U
U
U (1−y)
= (e − 1) − e
J = (e − 1)
e
dy
U
0
0
−1
1
U
= (e − 1) − (1 − eU )
=U
U
→ Strom wächst linear mit angelegter Spannung
U
= 1 konstant
→ Widerstand R = UI = |J|
Drift-Diffusionsgleichungen
• Spannungsverlauf V (x) = x ergibt J = U (linear)
• Realistischerer Zusammenhang:
−4
1.4
x 10
drain current [A]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
drain voltage [V]
• Spannung 0.1 . . . 0.3 V: (fast) lineare Verstärkung
• Spannung > 0.6 V: Sättigung
15
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Drift-Diffusionsgleichungen
Verfeinerung der Modellierung
• elektrisches Potential ist nicht gegeben, sondern hängt von
Elektronendichte ab (Elektronen erzeugen Potential)
• Modellierung mit Poisson-Gleichung:
V ′′ = n, x ∈ (0, 1), V (0) = 0, V (1) = U
Poisson-Drift-Diffusions-Gleichungen:
J ′ = 0,
n(0) = 1,
J = −n′ + nV ′,
n(1) = 1,
V ′′ = n,
V (0) = 0,
x ∈ (0, 1)
V (1) = U
• nichtlineares Randwertproblem wegen Produkt nV ′
• keine explizite Lösung ⇒ numerische Lösung
Drift-Diffusionsgleichungen
Numerische Methode: Finite Differenzen
• Idee: ersetze Differentialquotient durch Differenzenquotient
y(x + △x) − y(x)
′
y (x) ≈
△x
′
′
y
(x
+
△x)
−
y
(x)
′′
y (x) ≈
△x
y(x + △x) − y(x) y(x) − y(x − △x)
−
≈
2
(△x)
(△x)2
y(x + △x) − 2y(x) + y(x − △x)
=
(△x)2
• Bequemere Schreibweise: xi = x, xi±1 = x ± △x
yi+1 − yi
yi+1 − 2yi + yi−1
′
′′
y (xi) ≈
, y (xi) ≈
△x
(△x)2
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Drift-Diffusionsgleichungen
Numerische Methode: Finite Differenzen
• Kontinuierliche Gleichungen:
J ′ = 0, J = −n′ + nV ′, V ′′ = n
• Approximierte Gleichungen:
Ji − Ji−1
0=
△x
ni+1 − ni ni+1 + ni Vi+1 − Vi
Ji = −
+
△x
2
△x
Vi+1 − 2Vi + Vi−1
ni =
(△x)2
• Löse diskretes Problem (→ VL Numerische Mathematik)
und erhalte Approximationen ni, Vi von n(xi) und V (xi)
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Numerische Beispiele
Source
Gate
Drain
MOS-Transistor in 2D
Elektronen
70 Nanometer
Bulk
Elektronendichte
Elektronentemperatur
Numerische Beispiele
MES-Transistor in 3D (MES = metal-semiconductor)
Geschlossener Zustand
Offener Zustand
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Numerische Beispiele
Gate-all-around MES-Transistor in 3D
Drain
n+
0.1µm
Gate
n
n+
Source
0.24µm
0.6µm
Geometrie
Temperatur
Thermische Energie
Stromdichte
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Numerische Beispiele
•
•
•
•
Quanteneffekte in der Physik
charakteristische Längen < 100 nm ⇒ Quanteneffekte
Quantenmechanik: Elektronen interpretiert als “Wellen”
Elektronen können durch “Wände tunneln”
Beispiel: hochpräzise Mikroskopaufnahmen von Molekülen
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Numerische Beispiele
Quanteneffekte in Halbleiterbauteilen
Ziele:
• Speicherung von einzelnen Elektronen (quantum dots)
• ultraschnelle Bauteile und Quantencomputer
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Numerische Beispiele
Quantentransistor
• Prinzip: Steuere Elektronenstrom durch Veränderung des
Potentials in T-Stück
• Transistor ist entweder offen oder geschlossen
24
Numerische Beispiele
Quantentransistor in 2D: geschlossener Zustand
25
Numerische Beispiele
Quantentransistor in 2D: offener Zustand
26
Numerische Beispiele
Quantentransistor in 3D
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Zusammenfassung
Zusammenfassung:
• Modellierung von Halbleiterbauteilen mit Diff.gleichungen
• Analyse der Differentialgleichungen
• Numerische Lösung der Differentialgleichungen
Ziele in der Mathematik:
• Herleitung der Modelle
• Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen
• Bestimmung einer präzisen Approximation der Gleichungen
• Effiziente numerische Lösung der Gleichungen
Benötigte Mathematik:
• (Gewöhnliche und Partielle) Differentialgleichungen
• Numerische Mathematik
• Funktionalanalysis
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