1. Termin 2011

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Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Mikroökonomik B (Bachelor)
Prüfung vom 28.07.2011
Wichtige Hinweise:
• Sie haben 90 Minuten Zeit, um die folgenden drei Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig
ein!
• Der Prüfungsbogen umfasst 19 Seiten einschliesslich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit!
• Benützen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer!
• Tragen Sie Ihre Matrikelnummer und Ihre Platznummer auf diesem Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein.
• Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. 3cm frei.
• Taschenrechner sind nicht erlaubt.
• Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis zur Kontrolle bereit.
VIEL ERFOLG!
Für Korrektur – bitte frei lassen.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Aufgabe 1
Σ
/30
Aufgabe 2
/3
/2
/3
/2
/5
Aufgabe 3
/3
/3
/5
/6
/8
Total
/3
/4
/7
/3
/3
/35
/25
/90
1
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Aufgabe 1: Multiple-Choice- und Kurz-Fragen
(30 Punkte)
Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort.
Multiple-Choice-Fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte Antwort gibt 3 Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte.
Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. 3 Sätze!). Jede korrekt
beantwortete Frage gibt 3 Punkte.
(a) Zeitinkonsistenz von Präferenzen: Zu jedem Zeitpunkt t = 1, 2, . . . habe ein Individuum Präferenzen Ut (ut , ut+1 , ut+2 , . . .) über seine derzeitigen und zukünftigen
Intra-Perioden Payoffs ut , ut+1 , ut+2 , . . .. Für welche Form von Ut (·) sind die Präferenzen des Individuums nicht zeitkonsistent? (β , δ ∈ (0, 1) in jedem der Fälle.)?
x
Ut (ut , ut+1 , . . .) = ut + δ ut+1 +
δ 2 ut+2 +
δ 3 ut+3 + · · ·
Ut (ut , ut+1 , . . .) = δ ut + δ 2 ut+1 +
δ 3 ut+2 +
δ 4 ut+3 + · · ·
Ut (ut , ut+1 , . . .) = ut + β ut+1 +
β ut+2 +
Ut (ut , ut+1 , . . .) =
β ut+3 + · · ·
2
ut + β δ ut+1 + (β δ ) ut+2 + (β δ )3 ut+3 + · · ·
Konsum Periode 2
(b) Zinsanstieg: Anton konsumiert über zwei Perioden. Im folgenden Diagramm sind
eingezeichnet: seine Budgetgerade B(r), seine Geldausstattung m, sowie sein Konsumpunkt x samt Indifferenzkurve.
m
x
B(r)
Konsum Periode 1
Nun steige der Zinssatz auf r . Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Der Zinsanstieg muss zu einer Zunahme des Konsums in Periode 2 führen.
x
Der Zinsanstieg muss zu einer Abnahme des Konsums in Periode 2 führen.
Anton muss unter r Kreditgeber sein, damit sich sein Nutzen durch den Zinsanstieg nicht verringert.
Anton muss unter r Kreditnehmer sein, damit sich sein Nutzen durch den
Zinsanstieg nicht verringert.
2
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
(c) Marktformen und Konsumentenrente: Betrachten Sie einen Markt mit linearer
Nachfrage P(Q) = a − b · Q und Preisnehmerschaft auf Konsumentenseite. Betrachten Sie nun folgende Marktformen auf der Angebotsseite:
B: Betrand-Wettbewerb
C2: Cournot-Wettbewerb, 2 Firmen
C4: Cournot-Wettbewerb, 4 Firmen
M: Monopol
Ordnen Sie diese Marktformen nach der Höhe des Schadens auf Konsumentenseite
(gemessen anhand des Verlusts in aggregierter Konsumentenrente):
kleinster
grösster
Schaden
Schaden
x
C2
C4
B
M
C4
C2
M
B
C2
C4
M
B
B
C4
C2
M
(d) Cournot-Duopol: Zwei Firmen befinden sich im Cournot Duopol mit linearer
Nachfrage. Im Diagramm unten sind die besten Antworten der Firmen, q1 (q2 )
bzw. q2 (q1 ), sowie das Nash-Gleichgewicht (q∗1 , q∗2 ) eingezeichnet. Skizzieren Sie
die Iso-Gewinn-Linien von Firma 1: Zeichnen Sie drei Iso-Gewinn-Linien ein und
kennzeichnen Sie (anhand eines Pfeils) die Richtung, in welche der Gewinn steigt.
q2
Wichtig: Iso-Gewinn-Kurven sind
• im Schnittpunkt mit q1 (q2 )
horizontal,
a−c
q1 (q2 )
• konkav
1
2 (a − c)
• nach unten (q2 ↓) zunehmend
(q∗1 , q∗2 )
q2 (q1 )
1
2 (a − c)
a−c
3
q1
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
(e) Gemischte Strategien: Welche der folgenden Aussagen über Nash-Gleichgewichte
in gemischten Strategien (in Spielen in strategischer Form mit vollständiger Info)
ist falsch?
x
Spieler müssen indifferent sein zwischen reinen Strategien, welche sie mit
strikt positiver Wahrscheinlichkeit spielen.
Jede schwach dominante reine Strategie muss mit Wahrscheinlichkeit 1 gespielt werden.
Jede strikt dominierte reine Strategie muss mit Wahrscheinlichkeit 0 gespielt
werden.
Jeder Spieler wählt seine Strategie um seinen erwarteten Payoff zu maximieren (gegeben die Strategie des anderen).
(f) Bertrand-Duopol: Betrachten Sie das Modell des homogenen Bertrand-Duopols
(Firmen verkaufen ein homogenes Gut, welches jede Firma zu Grenzkosten c produziert). Erklären Sie, warum p1 = c, p2 > c kein Nash-Gleichgewicht ist!
In dieser Situation bekommt Firma 1 die volle Nachfrage, aber macht Gewinne von
Null. Sie hat daher einen Anreiz abzuweichen, indem sie ihren Preis leicht erhöht,
was ihr strikt positive Gewinne bringt.
4
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
(g) Das Intro-Spiel: Betrachten Sie folgendes Spiel (aus der Vorlesung):
Jeder von Ihnen schreibt eine ganze Zahl zwischen 0 und 100 auf. Ziel
ist, 2/3 des Durchschnitts der angegebenen Zahlen zu erraten. Genauer:
Jeder Student, welcher die höchste Zahl errät, welche nicht grösser als
2/3 des Durchschnitts ist, erhält ein Schoggi-Stengeli.
Erläutern Sie (in Worten), warum es keine strikt dominierte Strategie ist, die Zahl
100 anzugeben – obwohl Sie mit dieser Zahl niemals gewinnen können.
Kurzantwort (ausreichend): Es müsste dafür eine Zahl geben, mit der ein Spieler
immer gewinnt, egal welche Zahlen die anderen nennen.
Detaillierte Ausführung: 100 wäre strikt dominiert, wenn: ∃ Zahl si ∈
{0, 1, . . ., 100} sodass ui (si , s−i ) > ui (100, s−i), ∀s−i (Zahlen der anderen). Da ich
mit 100 immer verliere (also ui (100, s−i) = 0, ∀s−i ) ist dies äquivalent zu: es gibt
eine Zahl si ∈ {0, 1, . . ., 100} mit der ich immer gewinne (egal, was die anderen
sagen). Dem ist offensichtlich nicht so. Für jedes si > 0 verliere ich z.B. wenn die
andern alle Null sagen, für si = 0 verliere ich z.B. wenn ein Mitspieler 1 und der
Rest 100 sagen.
5
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
(h) Teilspielperfektion I: Nennen Sie alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte (in
reinen Strategien) des folgenden Spiels. Achten Sie auf klare Notation.
1
(2/0)
2
j
(2, 0)
2
j
n
(0, 0)
(1, 1)
(1/1)
(0/2)
2
j
n
(0, 0)
(0, 2)
n
(0, 0)
• Tsp-NGG 1: P1: (1/1), P2: {(2/0) → n, (1/1) → j, (0/2) → j}
• Tsp-NGG 2: P1: (2/0), P2: {(2/0) → j, (1/1) → j, (0/2) → j}
(i) Teilspielperfektion II: Nennen Sie ein Nash-Gleichgewicht des Spiels in Teilfrage (h), welches nicht teilspielperfekt ist.
Einfachstes Beispiel: P1: (0/2), P2: {(0/2) → n, (1/1) → n, (0/2) → j}
Die volle Liste aller 9 Nash-GG findet sich in folgender strategischer Form:
nnn
nnj
njn
njj
jnn
jnj
jjn
jjj
(2/0)
0, 0
0, 0
0, 0
0, 0
2, 0
2, 0
2, 0
2, 0
(1/1)
0, 0
0, 0
1, 1
1, 1
0, 0
0, 0
1, 1
1, 1
(0/2)
0, 0
0, 2
0, 0
0, 2
0, 0
0, 0
0, 2
0, 2
6
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
(j) Bayesianische Spiele: Betrachten Sie die Variante des Geschlechterkampfs, in welcher Unsicherheit darüber herrscht, ob Chris Pat treffen möchte. Es gebe folgende
zwei Fälle (Chris kennt den Fall, Pat nicht):
Fall 1:
Chris will Pat treffen
Pat
O
F
O 2, 1 0, 0
Chris
F 0, 0 1, 2
Fall 2:
Chris will Pat nicht treffen
Pat
O
F
O 0, 1 1, 0
Chris
F 1, 0 0, 2
Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass Chris Pat treffen möchte. Was muss für p gelten,
damit folgendes Strategieprofil ein Gleichgewicht ist:
• Pat geht zum Boxkampf (F),
• Chris geht zum Boxkampf (F) falls er Pat treffen möchte, zur Oper (O) falls
nicht?
p 2/3
p 1/3
x
p 2/3
p 1/3
Für Optimalität von Pat’s Strategie muss gelten:
Pr[Chris will treffen] ·2 Pr[Chris will nicht treffen] ·1
p
1−p
7
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Aufgabe 2: Erwartungsnutzen, Versicherung, Spieltheorie
(35 Punkte)
Bauer B hat ein Geldvermögen w und besitzt eine Scheune. Mit Wahrscheinlichkeit p
bricht in der Scheune ein Feuer aus. In diesem Fall muss die Scheune neu gebaut werden.
Der Wiederaufbau reduziert sein Geldvermögen um s. Bauer B’s Erwartungsnutzen für
Lotterien über sein Geldvermögen w sei gegeben durch
√
u(w) = w,
und es gelte
w = 16
s = 12
p = 1/2.
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert des Geldvermögens E[w] und B’s Erwartungs(3 Punkte)
nutzen UB .
E[w] = 1/2(16 + 4) = 10,
√
√
√
UB = E(u(w)) = 1/2( 16 + 4) = 3(= 9)
(b) Berechnen Sie B’s Nutzen aus dem sicheren Besitz des erwarteten Geldvermögens.
[Hinweis: Wurzel-Ausdrücke ohne ganzzahliges Ergebnis m üssen Sie nicht explizit
berechnen.]
(2 Punkte)
u(E(w)) =
√
10
8
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
(c) Ist Bauer B risikofreudig oder risikoavers?
(3 Punkte)
Antwort 1: Da u(E(w)) > E(u(w)) (aus (a) und (b)) ist B risikoavers.
√
Antwort 2: Da u(w) = w strikt konkav ist B strikt risikoavers.
Eine Versicherung V bietet B folgenden Vertrag an:
• B zahlt in jedem Fall eine Prämie in Höhe von V = 6 an die Versicherung.
• Im Schadensfall bezahlt die Versicherung den Neubau der Scheune.
(d) Wie hoch ist der erwartete Gewinn der Versicherung?
E(π ) = V − p · s = 6 − 12 12 = 0
9
(2 Punkte)
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Ein neuartiger Feuermelder kann die Wahrscheinlichkeit eines Feuerschadens auf p =
1/10 senken. Die Kosten betragen k = 4.
(e) Lohnt sich die Anschaffung des Feuermelders für den Bauern, wenn er keine Versicherung hat? Wird er die Versicherung kaufen, wenn er den Feuermelder bereits
angeschafft hat? [Hinweis: 81 × 12 = 972.]
(5 Punkte)
UB [‘ohne FM, ohne V’] = 3 =
√
9
√
√
UB [‘mit FM, ohne V’] = (9/10) w − k + (1/10) w − k − s
√
√
= (9/10) 12 + 0 = 972/100 = 9, 72 > 9
also wird B den Feuermelder kaufen, wenn er keine Versicherung hat.
Weiters:
√
√
UB [‘mit FM, mit V’] = (9/10) w − k − P + (1/10) w − k − P
√
√
= 6 < 9.72,
also wird er die Versicherung nicht kaufen, wenn er einen Feuermelder
hat.
10
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Nehmen Sie an, B entscheide sich, den Feuermelder zu kaufen. Wegen der gesunkenen
Feuerwahrscheinlichkeit verbessert die Versicherung ihr Vertragsangebot auf V = 1.5
und B kauft die Versicherung. Nach Abschluss des Vertrages erhält B die Möglichkeit
den Feuermelder wieder zu verkaufen (zum Preis 4). Im Falle eines Feuers brennt die
gesamte Scheune ab und es lässt sich nicht rekonstruieren, ob ein Feuermelder im Einsatz
war.
(f) Was ist das optimale Verhalten von B nach Abschluss des soeben beschriebenen
Vertrages?
(3 Punkte)
Da B versichert ist, ist die Feuerwahrscheinlichkeit für ihn irrelevant.
Wenn er den Feuermelder verkaufen kann, wird er dies tun um sein
Geldvermögen zu erhöhen.
(g) Welches Problem hat die Versicherung nach Abschluss des Vertrages?
(4 Punkte)
Da B seinen Feuermelder verkaufen wird, steigt die Feuerwahrscheinlichkeit wieder auf 1/2. Bei einer Prämie von 1, 5 bedeutet dies einen
erwarteten Verlust für die Versicherung!
11
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Formulieren Sie die beschriebene Situation nun als Spiel in extensiver Form. Das Spiel
beginnt nachdem B einen Feuermelder installiert hat und verläuft wie folgt:
• Zunächst entscheidet die Versicherung, ob sie den Vertrag V = 6 oder den Vertrag
V = 1, 5 anbietet. B muss den Vertrag kaufen.
• Anschließend entscheidet B, ob er den zuvor gekauften Feuermelder wieder verkauft oder behält.
Der Payoff der Versicherung ist der erwartete Gewinn, der Payoff des B ist der Erwartungsnutzen aus seinem Geldvermögen.
(h) Berechnen Sie alle möglichen Payoffs und zeichnen Sie einen Spielbaum. Achten
Sie auf klare Beschriftung.
(7 Punkte)
Aktionen der Versicherung: V ,V , Aktionen des B: (F)euermelder, (K)ein
Feuermelder. Payoffs sind dann
√
(V , K) → (−4.5, 14.5)
√
(V , F) → ( 0.3, 10.5)
√
10)
(V, K) → (
0,
√
(V, F) → ( 4.8,
6)
12
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (h)
13
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
(i) Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht. Ist es Pareto-effizient?
(3 Punkte)
Rückwärtsinduktion: B wird immer K wählen. Dann ist V = 6 für die
Versicherung optimal. Formal: NGG ist {V, {V → K,V → K}}
Das GG ist nicht PE, da (V , F) beide besser stellen würde.
(j) Gibt es neben dem soeben bestimmten Gleichgewicht weitere Nash-Gleichgewichte?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(3 Punkte)
Nein. Dies sieht man anhand der strategischen Form (und Bestimmung
der besten Antworten):
V
V →F
V’ → F
√
4.8,
6
V’
√
0.3, 10.5
(V,F)
(V’,F)
V →K
V’ → F
√
0,
10
V →F
V’ → K
√
4.8,
6
V →K
V’ → K
√
0,
10
(V,K)
(V,F)
(V,K)
(V’,F)
(V’,K)
(V’,K)
√
√
√
0.3, 10.5 −4.5, 14.5 −4.5, 14.5
14
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Aufgabe 3: Spieltheorie
(25 Punkte)
Betrachten Sie das folgende symmetrische Spiel in Normalform.
Spieler 2
O
K
3, 0
1, 3
Spieler 1 K
0, 3 18, 18
0, 20
E
3, 1 20, 0
2, 2
O
7, 7
E
(a) Gibt es strikt dominierte Strategien?
(3 Punkte)
K wird strikt von E dominiert.
(b) Finden Sie alle reinen Nash-Gleichgewichte.
(O,O) und (E,E)
15
(3 Punkte)
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Nun wird das Spiel zweimal hintereinander gespielt. Die Payoffs aus beiden Runden werden ohne Diskontierung addiert.
(c) Erläutern Sie, welche Angaben eine ’Strategie’ enthalten muss und grenzen Sie den
Begriff der Strategie von dem der ’Aktion’ ab.
(5 Punkte)
Eine Aktion ist ein Element aus {O,K,E}, eine Strategie spezifiziert
für Periode eins eine Aktion (oder ein Mischung daraus). Außerdem
spezifiziert sie für jedes Payoff-Paar aus Periode eins eine Aktion für
Periode zwei (oder ein Mischung daraus).
16
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
(d) Konstruieren Sie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, bei dem in der ersten
Periode (K,K) gespielt wird. Zeigen Sie, dass tatsächlich ein Gleichgewicht vorliegt.
(6 Punkte)
Symmetrische Strategien: Spiele K in t1, spiele O in t2, falls (K,K) in t1,
sonst spiele E.
Payoff im GG: 25. Beste Abweichung in t1: E, ergibt Payoff von 22 < 25.
In t2 ist keine Abweichung profitabel weil (O,O) und (E,E) beides NG
des einfachen Spieles sind.
17
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
Nun werde das Spiel mehrmals wiederholt. Nach jeder Wiederholung bricht das Spiel
mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 ab, mit der Gegenwahrscheinlichkeit kommt es zur
nächsten Wiederholung. Die Spieler maximieren ihren erwarten Payoff.
(e) Finden Sie jenes teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht, welches die Summe der
Payoffs der beiden Spieler maximiert. Definieren Sie vollständig die Gleichgewichtsstrategien und zeigen Sie, dass es sich tatsächlich um ein teilspielperfektes
∞
Nash-Gleichgewicht handelt. [Hinweis: ∑t=1
pt = p/(1 − p)]
(8 Punkte)
In jeder Periode gibt (K,K) die höchste Payoffsumme. Wenn es ein GG
gibt, bei dem auf dem GG Pfad immer (K,K) gespielt wird, ist es also
das gesuchte. Bleibt zu zeigen, dass so ein GG existiert.
Wir betrachten folgende symmetrische Strategien: Spiele K in t1 und
in jeder Folgeperiode, falls (K,K) in allen bisherigen Runden gespielt
wurde. Sonst spiele von nun an immer E. Die Strategien sind ein GG,
wenn es keine profitable 1-Periodige Abweichung gibt (One-deviationPrinziple): (1) Teilspiele, denen ein Abweichung vom GG vorangeganen
ist: E ist offenbar die beste Antwort auf E. (2) Teilspiele, denen keine
Abweichung vom GG vorangegangen ist: Die beste Abweichung ist, E
zu spielen, was einen Payoff von
∞
20 + 2p + 2p2 + · · · = 20 + 2 ∑ pt = 20 +
t=1
2p
= 21
1− p
nach sich zieht, wobei p = 1/3 die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass
das Spiel fortgesetzt wird. Dagegen verspricht der GG Pfad einen Payoff
von
18p
= 27
18 +
1− p
was offenbar höher ist.
18
Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG
Platz-Nr.:
zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (e)
19