Slides aus Vorlesung 02

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Lineare Algebra IIa
- 02.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Sven Balnojan
Klausur-Einsicht LA I:
Montag 20.02. 14-17 Uhr, A5 C015
Erstes Übungsblatt ist online!
— Abgabe: bis Freitag 24.02. 12 Uhr
9.1
Ergänzung zu symmetrischen Bilinearformen
9.1.der
Ergänzung
zuVektorr
symmetrischen
Bilinearformen
Im Rahmen
der
Diskussion
Euklidischen
äume
hatten
wir
in Korrolar 8.40 fest9 Unitäre Vektorräume
gestellt, dass es zu jeder symmetrischen Bilinearform e in einem euklidischen Vektorraum
(V, ) eine Orthonormalbasis bzgl. gibt, die orthogonal bzgl. e ist. Da man auf jedem
endlich-dimensionalen R-Vektorraum eine positiv definite symmetrische Bilinearform deEine andere Orthogonalbasis ist z.B.
finieren kann bedeutet dies insbesondere, dass es zu jeder (nicht notwendigerweise positiv
0
0 1
0 1
0
11
definiten) symmetrischen Bilinearform auf einem
endlich-dimensionalen
R-Vektorraum
eine
1
0
0
e) von
e 0 Mat
0 e bzgl.
Orthogonalbasis A gibt. Die
solchen Badiagonal
@
@ 1einer
AA
A1( A
A0 Matrixdarstellung
= @v10 = @ 1 AB
, v:=
=
,
v
2
3 =
sis ist also eine Diagonalmatrix. Die Eigenwerte
dieser Matrix
von der
1
1 hängen o↵ensichtlich
1
Wahl der Basis ab. (So führt zum Beispiel die Multiplikation eines Basisvektors mit einer
2
Zahlmit2 R zu einer Multiplikation des entsprechenden
Eigenwerts
mit
.) Man kann jedoch
0
1
4 Anzahl
0 0 der negativen Eigenwerte
zeigen, dass die Anzahl der positiven Eigenwerte und die
e) = @die0 Bilinearform
nicht von dieser Wahl abhängen, sondern
2 0 A . e bestimmt sind.
Matnur
A0 ( durch
0
0
107
2
Beispiel 9.1. Betrachte den Vektorraum V = Mat(3, 1; R) mit der symmetrischen BilineDie Eigenwerte der Matrixdarstellungen sind also unterschiedlich, aber die Anzahl der posiarform
0
1
tiven und die Anzahl der2negativen
1
1 Eigenwerte sind bei beiden gleich. In der Tat stimmen
e(x,für
diese Zahlen
alle
1 A ·überein.
y) =
xt Orthogonalbasen
·@ 1 0
y , für x, y 2 Mat(3, 1; R) .
1
1 0
Satz 9.2. (Trägheitssatz von Sylvester) Sei e eine symmetrische Bilinearform auf einem
Manendlich-dimensionalen
prüft leicht nach, dass die
Basis
e := MatA ( e)
R-Vektorraum
V , A eine Orthogonalbasis bzgl. e, und B
0
1
0 e. Dann
1 hängen
0 die1Zahlen
1
die entsprechende 0
Matrixdarstellung
von
n+ und n der positiven
1
1
1
e nicht
bzw. negativen
Eigenwerte
der
Basis
@v1 = @ von
A A ab. (Die Kombination
1 AB
1 A
1 A
A=
, v2 = @ von
, v3Wahl
= @ der
16
n+ n wird auch die Signatur
von e genannt.)
1
1
1
Die Orthogonalbasis
A besteht aus n+ Vektoren u1 , . . . , un+ , für die gilt e(ui , ui ) >
eine Beweis.
Orthogonalbasis
ist mit
e
0, n Vektoren v1 , . . . , vn , für die gilt
0 (vi , vi ) <
1 0 und n0 := dim(V ) n+ n Vektoren
2 0ist also
0 die Multiplizität des Eigenwerts 0 von B.)
e
w1 , . . . , wn0 , für die gilt e(wi , wi ) = 0. (n
0
MatA ( e) = @ 0 2 0 A .
O↵enbar ist n0 = dim(V0 ) gerade die Dimension des Unterraums
9.1. Ergänzung zu symm. Bilinearformen
0 0
2
Unter Vertauschung der Rollen von A und A erhält man auf die gleiche Weise auch n  n .
Also folgt n = n0 . Da n+ + n = n0+ + n0 ist, folgt auch n+ = n0+ .
Orthogonalisierbarkeit
anderen
Bisher haben wir über
uns mit
der Körpern:
Orthogonalisierung von symmetrischen Bilinearformen
auf R-Vektorräumen beschäftigt. Eine interessante Frage ist, ob auch Bilinearformen auf
Vektorräumen über anderen Körpern K Orthogonalbasen besitzen. In der Tat ist dies immer
der Fall, zumindest wenn die Charakteristik von K ungleich 2 ist:
Proposition 9.3. Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K der
Charakteristik char(K) 6= 2, und : V ⇥ V ! K eine symmetrische Bilinearform auf V .
Dann gibt es eine Basis {v1 , . . . , vn } von V , sodass
(vi , vj ) = 0 für alle i 6= j .
Beweis. Beweis per vollständiger Induktion nach n = dim(V ). Im Falle n = 1 ist die
Aussage trivial wahr. Nehme an, die Aussage gelte für K-Vektorräume der Dimension < n.
Ist = 0 so ist die Aussage auch trivial erfüllt. Nehme also an 6= 0. Behaupte, dass es
in diesem Fall ein w 2 V gibt mit (w, w) 6= 0. Um diese Behauptung zu beweisen nehme
an, dass (v, v) = 0 für alle v 2 V . Da 6= 0 gibt es aber x, y 2 V mit (x, y) 6= 0. Da
char(K) 6= 2 folgt daraus
(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) +2 (x, y) 6= 0 ,
| {z } | {z }
| {z }
=0
=0
.
6=0
Damit ist gezeigt, dass es ein w 2 V gibt mit (w, w) 6= 0. Definiere
W := (K w)? = {v 2 V | (v, w) = 0} .
Zeige als nächstes: V = K w
und ferner
W . Sei dazu v 2 K w \ W , dann gilt v = k w für ein k 2 K,
0 = (v, w) = k (w, w) .
9.1. Ergänzung zu symm. Bilinearformen
9.2. Hermitesche Formen
Ziel: Analogon Euklidischer Vektorräume über dem Körper
Euklidische Vektorräume:
Ordnung in R
9
9 Unitäre Vektorräume
Unitäre Vektorräume
Hermitesche
Formen
Norm kvk =
positiv definite9.2
Bilinearform
>0
9.2
p
(v, v)
Hermitesche
Formen
Im folgenden
betrachten wir Vektorräume über dem Körper C der k
sehen werden,
lassen sich
auch
in solchen
Vektorr
äumen
Längen,Za
bz
Im folgenden betrachten
wir Vektorr
äume
über
dem Körper
C der
komplexen
der Tatsich
hatten
ja bei der
Diskussion
Körpers
C inAbst
Kapitel
sehen werden, lassen
auchwir
in solchen
Vektorr
äumendes
Längen,
bzw.
ände3
p 3.3 mit dem A
deskomplexer
K
örpers
C
in
Kapitel
Keine Ordnung in C der Tat hatten wir ja bei der Diskussion
Absolutbetrag
Zahlen:
|z| = |x + iy| = x2 + y 2 0 ,
p
aber R ✓ C
|x +komplexer
iy| = x2 Zahlen
+ y 2 z0=
, x + iy eingeführt
den Begri↵ einer|z|
“L=
änge”
C ist 2-dim. R Vektorraum
kann der Absolutbetrag
mit Hilfe der komplexen Konjugation
2
den Begri↵ einer “Länge” komplexer
z =komplexer
x + iy eingef
ührt. Wie wir ges
|z| = zZahlen
z̄
mit
Konjugation
kann der Absolutbetrag mit Hilfe der komplexen
z = (x +Konjugation
iy) 7! z̄ = x + iy = x iy
komplexe Vektorräume:
z = (x + iy) 7! z̄ = x + iy = x piy
|z| = z z̄
(z, w) = z̄w nicht
einfach als
aber fast…
p bilinear
geschrieben werden. Wie wir sehen
werden, spielt die komplexe
|z| = z z̄
Diskussion von Längen in allgemeinen C-Vektorräumen eine Rolle
geschrieben
werden.
wirgilt
sehen
(v,werden,
v) > 0 . spielt die komplexe Konjugation
Strategie: Betrachte solche ‘fast bilinearen’
Formen
über CWie
, für die
Seien V C-Vektorr
und W Vektorr
Diskussion vonDefinition
Längen in 9.5.
allgemeinen
äumenäume
eine über
Rolle.dem Körper
(1) Eine Abbildung f : V ! W heißt antilinear, falls für alle v
Definition 9.5. Seien V und W Vektorräume über dem Körper C.
(v + w) = f (v)
+ffür(w)
aber
f2( V v)und
=¯
(1) Eine Abbildung f : V ! W heißtfantilinear,
falls
alle
v,
w
9.2. Hermitesche Formen
einfach als
geschrieben werden. Wie wir sehen werden, spielt die komplexe Konjugation auch bei der
Diskussion von Längen in allgemeinen C-Vektorräumen eine Rolle.
Definition 9.5. Seien V und W Vektorräume über dem Körper C.
(1) Eine Abbildung f : V ! W heißt antilinear, falls für alle v, w 2 V und
2 C gilt
f (v + w) = f (v) + f (w) aber f ( v) = ¯ f (v) .
Beachte, dass hier im Unterschied zu linearen Abbildungen in der zweiten Gleichung
die komplexe Konjugation auftaucht! (Komplexe Konjugation ist Körper-Automorphismus!)
(2) Eine Abbildung ⌘ : V ⇥ V ! C nennt man eine Sesquilinearform, falls sie im ersten
Argument antilinear und im zweiten linear ist, falls also für alle v, v 0 , w, w0 2 V und
2 C gilt17
⌘( v, w) = ¯ ⌘(v, w) ,
⌘(v, w) = ⌘(v, w) .
⌘(v + v 0 , w) = ⌘(v, w) + ⌘(v 0 , w) ,
⌘(v, w + w0 ) = ⌘(v, w) + ⌘(v, w0 ) ,
Häufig ist in der
Literatur die Rolle
der Argumente
vertauscht!
(3) Eine Sesquilinearform auf V heißt hermitesch, falls außerdem gilt
⌘(v, w) = ⌘(w, v) für alle v, w 2 V .
Für hermitesche Formen gilt insbesondere ⌘(v, v) 2 R ⇢ C für alle v 2 V .
Beispiel 9.6. Das Standardskalarproduk auf Mat(n, 1; C) gegeben durch
n
X
➞ Analog zu symmetrischen
(z, w)Bilinearformen
=
z¯ w auf ℝ-Vektorräumen.
i
i
i=1
ist eine hermitesche Form auf Mat(n, 1; C).
9.2. Hermitesche Formen
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