2 Magnetostatik im Vakuum

Philipp Landgraf
Franz Zimma
Skript - Tag II
Ferienkurs
Theoretische Elektrodynamik
WS 2015/16
2 Magnetostatik im Vakuum
Bewegte Ladungen ( Ströme“) erzeugen Magnetfelder. In der Magnetostatik beschränken
”
wir uns auf zeitunabhängig Ströme ~j(~r, t) = ~j(~r).
2.1 Stromdichte
Ausgangspunkt unserer Betrachtung ist (vgl. Ladungsdichte ρ) die Stromdichte
Strom
× Stromrichtung.
Querschnittsfläche
~j =
(2.1)
Für dünne, stromdurchflossene Drähte können wir feststellen
~
~j = I dℓ
∆F dℓ
⇒ ~j d3 r = I d~ℓ .
(2.2)
Eine weitere, sehr intuitive Darstellung von ~j ist die der bewegten Ladungsdichte:
~j(~r) = ρ(~r) · ~v (~r) z.B.
= ρ(~r) · (~
ω × ~r)
(2.3)
Da Ladung eine Erhaltungsgröße ist, gilt die Kontinuitätsgleichung
∂ρ(~r, t) ~ ~
+ ∇ · j(~r, t) = 0
∂t
~ · ~j(~r) = 0 (statisch)
∇
(2.4)
Die Änderung der elektrischen Ladung in einem (endlichen) Teilvolumen muss gleich
dem Strom durch eine berandete Oberfläche sein.
2.2 Feldgleichungen
2.2.1 Biot-Savart Gesetz
~ r) kann man im Allgemeinen das Biot-SavartZur Bestimmung des Magnetfeldes B(~
Gesetz verwenden:
˛
ˆ
~r − ~r ′
µ0
~r − ~r ′
~ r ) = µ0 I
B(~
d~r ′ ×
=
.
(2.5)
d3 r′ ~j(~r ′ ) ×
′
3
4π
|~r − ~r |
4π
|~r − ~r ′ |3
L
⋆ Beispiel: Magnetfeld (auf z-Achse) einer kreisförmigen Leiterschleife
Wir interessieren und für das Feld auf der z-Achse (d.h. ~r = z · êz ) einer kreisförmigen
Leiterschleife in xy-Ebene mit Ursprung bei z = 0. In Zylinderkoordinaten können wir
diese Leiterschleife parametrisieren als




−R sin ϕ′
R cos ϕ′
d~r ′ =  R cos ϕ′  dϕ′ = Rêϕ′ dϕ′
~r ′ =  R sin ϕ′ 
0
0
Wir berechnen zuerst
~r − ~r ′ = zêz − Rêρ′
p
|~r − ~r ′ | = R2 + z 2
12


Rz cos ϕ′
d~r ′ × (~r − ~r ′ ) =  Rz sin ϕ′  dϕ′
R2
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´ 2π
und setzen ein in (2.5), wobei Terme ∼ sin ϕ′ , cos ϕ′ bei 0 dϕ′ . . . verschwinden:


ˆ 2π
Rz cos ϕ′
2
1
µ
I
0
~
 Rz sin ϕ′  = √µ0 IR
(2.6)
dϕ′ √
B(z)
=
3
3 êz
4π 0
R2 + z 2
2 R2 + z 2
R2
Die zu diesem Problem gehörige Stromdichte ~j(~r) = Iδ(ρ−R)δ(z)êϕ würde letztendlich
auf die selbe Rechnung führen.
2.2.2 Kräfte
Magnetfelder (also im Grunde auch Ströme) üben Kräfte auf bewegte Testladungen q
aus:
~
F~ = q ~v × B
(2.7)
Ersetzen wir dq ~v = Idt ~v = Id~ℓ können wir für gleichmäßig stromdurchflossene Leiter
~ auf eine stromdurchflossene Leiterschleife
die Kraft berechnen, die ein Magnetfeld B
L ausübt:
ˆ
~
~ r)
~
~
(2.8)
dF = Idℓ × B
F = I d~r × B(~
L
Um die Kraft zweier Leiterschleifen L1 , L2 aufeinander zu berechnen erhalten wir nach
einigen Umformungen
˛ ˛
~r1 − ~r2
µ0 I1 I2
~
d~r1 · d~r2
F21 =
= −F~12
(2.9)
4π
|~r1 − ~r2 |3
L1 L2
Es ist zu bemerken, dass senkrecht aufeinander stehende Linienelemente d~r1 · d~r2 = 0
nicht zur Gesamtkraft beitragen. Ferner ziehen sich parallele Ströme an, während sich
antiparallele Ströme abstoßen.
2.2.3 Vektorpotential
Analog zur Elektrostatik ist es nützlich, in der Magnetostatik ein Vektorpotential
zu definieren
ˆ
~j(~r ′ )
µ0
~ r) = ∇
~ × A(~
~ r)
~
B(~
(2.10)
d3 r ′
A(~r) =
4π
|~r − ~r ′ |
~ k ~j.
Ist die Richtung von ~j konstant (z.B. ~j k êz ), so ist A
~
In der sog. Coulomb-Eichung ist A divergenzfrei
~ · A(~
~ r) = 0
∇
(2.11)
~ (in Abwesenheit eines
Aus (2.10) und (2.11) erhalten wir die Maxwellgleichungen für B
~
E-Feldes):
~ · B(~
~ r) = 0
~ × B(~
~ r) = µ0~j(~r) (2.11)
~
∇
∇
= −△A
(2.12)
Die rechte Gleichung wird als Feldgleichung der Magnetostatik bezeichnet. Mit
~
ihrer Hilfe kann das B-Feld
aus Symmetrieüberlegungen berechnet werden, ohne die
Definitionsformel (2.10) zu benutzen.
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⋆ Beispiel: ρ-abhängiger Stromfluss in z-Richtung
Wir betrachten eine zylindersymmetrische Anordnung, bei der die Stromdichte k êz
nur vom horizontalen Abstand ρ zur Symmetrieachse abhängt:
~j(~r) = j(ρ)êz
⇒
~ = Az (ρ)êz
A
Mit der Feldgleichung (2.12) müssen wir nun folgende Differentialgleichung (für alle
Bereiche von ~j) lösen
1 ∂
∂Az (ρ)
~
ρ
êz = △A
−µ0~j = −µ0 j(ρ)êz =
ρ ∂ρ
∂ρ
Die Integrationskonstanten müssen aus physikalischen Randbedingungen (z.B. End~ und Stetigkeitsbedingungen (A
~ 6= ∞ ist überall stetig und stetig diffelichkeit von A)
renzierbar an Stellen mit endlicher Stromdichte ~j 6= ∞) bestimmt werden.
~ erhält man schließlich durch
Das Magnetfeld B
~ ×A
~ = − ∂Az (ρ) êϕ ≡ B(ρ)êϕ .
∇
∂ρ
2.2.4 Ampere’sches Gesetz
Mittels des Stokes’schen Satzes und der Feldgleichung (2.12) erhalten wir das Ampere’sche Durchflutungsgesetz:
¨
˛
¨
~ × B(~
~ r ) = µ0
~ r) =
dF~ · ~j(~r) = µ0 Ieing.
(2.13)
dF~ · ∇
d~r · B(~
F
F
C=∂F
~ mit
Wir können also durch geschickte Wahl eines Weges C = ∂F das Magnetfeld B
dem eingeschlossenen Strom in der umrandeten Fläche F verbinden. Es ist wichtig
darauf zu achten, dass dF~ gemäß der Rechten-Hand-Regel richtig orientiert ist, sonst
erhält man das falsche Vorzeichen!
In der Anwendung ist dieses Gesetz sehr nützlich, wenn man durch Symmetrieüberlegungen
~ r) hat.
(oder Rechnungen) bereits Erwartungen an die Form von B(~
⋆ Beispiel: ρ-abhängiger Stromfluss in z-Richtung
~ zu legen.
Aus Symmetrieüberlegungen ist es nützlich, die Kurve C in Richtung von B
Dies können wir für variable Abstände ρ von der z-Achse machen um verschiedene
Bereiche zu behandeln.


cos ϕ
~ r) = B(ρ)êϕ = − ∂Az (ρ) êϕ
B(~
~r = ρ ·  sin ϕ 
d~r = ρêϕ dϕ
∂ρ
z
Da B(ρ) keine Abhängigkeit von der Integrationsvariable ϕ hat, können wir es mit
dem Durchflutungsgesetz sehr leicht extrahieren:
ˆ2π
0
B(ρ) · ρdϕ = 2πρB(ρ) = µ0 Ieing. (ρ)
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B(ρ) =
µ0 Ieing. (ρ)
2πρ
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2.3 Magnetischer Dipol
~ r) liefert einen verschwindenden MonopolDie Multipolentwicklung des Vektorpotentials A(~
Term. Für große Entfernung ist der führende Term der Dipolterm:
~ r) → A
~ Dipol (~r) = µ0 m
~ × ~r
A(~
4πr3
Das zugehörige magnetische Dipolfeld lautet (analog zu (1.18))
~ · ~r) m
~
~ Dipol (~r) = µ0 3~r(m
−
B
4π
r5
r3
(2.14)
(2.15)
Der Magnetische Dipolmomentvektor m
~ (unabhängig von der Wahl des Ursprungs)
ist definiert als
ˆ
˛
I
1
~r ′ × d~r ′ .
(2.16)
d3 r′ ~r ′ × ~j(~r ′ ) =
m
~ =
2
2
L
⋆ Beispiel: Ebene, Stromdurchflossene Leiterschleife
Ein wichtiger Spezialfall ist die ebene, stromdurchflossene Leiterschleife, für die das
magnetische Moment einfach Strom · Fläche · Einheitsnormale ist:
˛
ˆ
I
I
~r ′ × d~r ′ =
2dF~ = I · F · ~n
(2.17)
m
~ =
2
2
L
Ein äußeres Magnetfeld übt eine Kraft F~ auf einen Dipol aus. Diese können wir als
negativen Gradienten der Wechselwirkungsenergie W darstellen:
~ m
~ = −∇W
~
F~ = ∇(
~ · B)
~
W = −m
~ ·B
(2.18)
Ein wichtiger Spezialfall ist das Wechselwirkungspotential zweier magnetischer
Dipole:
m
~1·m
~2
(~r1 − ~r2 ) · m
~ 1 (~r1 − ~r2 ) · m
~2
µ0
Dipol
~
−3
(2.19)
W12 = −m
~ 2 · B1
(~r2 ) =
4π |~r1 − ~r2 |3
|~r1 − ~r2 |5
Die Resultate dieses Abschnitts stehen in starker Analogie zu Abschnitt 1.2, wenn
µ0 →
1
ε0
m
~ → p~
15
~ → E.
~
B
(2.20)
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3 Felder in polarisierbarer Materie
3.1 Dielektrische Verschiebung und Magnetische Erregung
Bisher haben wir sämtliche Probleme nur im Vakuum behandelt. Nun wollen wir dazu
übergehen, Elektromagnetische Felder in Materie zu betrachten.
Die normalen Maxwellgleichungen sind immer noch allgemein gültig, allerdings müsste
man z.B jeden induzierten Multipol einzeln betrachten und mit einrechnen. Um sich
dies zu vereinfachen, benutzt man die Statistik und erhält neue“ Maxwell-Gleichungen
”
für Felder in Materie, welche diese induzierten Multipole statistisch berücksichtigen.
Man führt sich hierzu 2 neue Hilfsgrößen ein.
Die erste nennt man Dielektrische Verschiebung, welche folgendermaßen definiert
ist:
~ r) = ε0 E(~
~ r) + P~ (~r) ≡ εr ε0 E(~
~ r)
D(~
(3.1)
Hierbei bezeichnet P~ die Polarisation, welche für jedes Material einzeln bestimmt werden muss. Meistens gibt man allerdings nicht die Polarisation sondern die relative
Permittivität εr an.
~ die Hilfsgröße H
~ (Magnetische Erregung):
Analog hierzu definiert man sich zu B
~ = µ0 ( H
~ +M
~ ) = µ0 µr H
~
B
(3.2)
~ Magnetisierung, und µr relative Permeabilität.
Hierbei nennt man M
Die gesamten Makroskopischen Maxwellgleichungen sind dann:
~ ·D
~ = ρfrei
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×H
~ = ~jfrei + ∂ D
∇
∂t
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Wichtig sind hierbei noch die Übergangsbedingungen an Grenzflächen (GF). Mit
der Grenzflächennormale ~n (Richtung Bereich 2) gilt:
~ ist stetig:
• Die Tangentialkomponente von E
~2 − E
~ 1 = ~0
~ 2;k (GF) = E
~ 1;k (GF).
~n × E
⇒
E
(3.7)
~ springt um die freie Flächenladungsdichte σfrei :
• Die Normalkomponente von D
~2 − D
~ 1 = σfrei
~n · D
⇒
D2;⊥ (GF) = D1;⊥ (GF) + σfrei .
(3.8)
Daraus lässt sich auch die Polarisationsflächenladungsdichte σpol bestimmen:
~n · P~2 − P~1 = −σpol .
(3.9)
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~ springt um die freie Flächenstromdichte J~frei :
• Die Tangentialkomponente von H
~2 − H
~ 1 = J~frei
~ 2;k (GF) = H
~ 1;k (GF) + J~frei .
~n × H
⇒
H
(3.10)
~ ist stetig:
• Die Normalkomponente von B
~2 − B
~1 = 0
~n · B
⇒
~ 2;⊥ (GF) = B
~ 1;⊥ (GF).
B
(3.11)
3.2 Elektrostatische Energie
Durch die Reaktion der Materie auf Ladungen ändert sich auch die Energiedichte des
elektrischen Feldes:
1~
~ r).
r) · E(~
(3.12)
w(~r) = D(~
2
Hierdurch ergibt sich die gesamte Arbeit zu
ˆ
1
~ r) · E(~
~ r).
d3 r D(~
(3.13)
W =
2 V
17