Relationen

Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Diskrete Strukturen und Logik: Relationen
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Matthias Springer
Eigenschaften
von Relationen
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
20. November 2010
Zerlegung /
Partition
1/15
Inhalt
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
1 Karthesisches Produkt
2 Definition der Relation
3 Aussagen auf Relationen
4 Eigenschaften von Relationen
5 Operationen auf Relationen
6 Äquivalenzrelationen
7 Zerlegung / Partition
2/15
Karthesisches Produkt
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Definition
R = M1 × M2 = {(x, y ) | x ∈ M1 ∧ y ∈ M2 }
M1 , M2 beliebige Mengen
Eigenschaften
von Relationen
(x, y ) heißt Geordnetes Paar oder 2-Tupel.
Operationen
auf Relationen
M1 × · · · × Mn = {(x1 , · · · , xn ) | x1 ∈ M1 ∧ · · · ∧ xn ∈ Mn }
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
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Definition der Relation
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Binäre Relation: R ⊆ M1 × M2
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
n-äre Relation: R ⊆ M1 × · · · × Mn
R = {(x, y ) | (x, y ) 6∈ R}
Schreibweisen
(x, y ) ∈ R
R(x, y )
xRy
x steht in Relation R zu y .
x(¬R)y ≡ (x, y ) 6∈ R
Zerlegung /
Partition
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Beispiele für Relationen
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
1
Relation zu Lehrveranstaltungen:
Professor = {G , M, W },
Vorlesung = {DS, MOD1, MOD2, GdS},
Veranstaltung ⊆ Professor × Vorlesung
= {(G , MOD1), (G , MOD2), (M, DS), (W , GdS)}
2
Wurzelfunktion:
M1 = R+ , M2 = R, R ⊆ M1 × M2 ,
√
R = {(x, y ) ∈ M1 × M2 | y = x}
3
Nachfolgerrelation auf den natürlichen Zahlen:
M1 , M2 ∈ N,
N = {(x, y ) ∈ N2 | y = x + 1}
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
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Aussagen auf Relationen
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Relationen sind Mengen.
R ⊆ S ≡ ∀(x, y ) : ((x, y ) ∈ R ⇒ (x, y ) ∈ S)
R =S ≡R ⊆S ∧S ⊆R
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
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Eigenschaften auf Relationen
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Reflexivität: ∀a ∈ A : (a, a) ∈ R
Symmetrie: ∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
Antisymmetrie:
∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b
Transitivität:
∀a, b, c ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
Operationen
auf Relationen
Nacheindeutigkeit:
∀a, b, c ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (a, c) ∈ R ⇒ b = c
Äquivalenzrelationen
Alternativität: ∀a, b ∈ A, a 6= b : (a, b) ∈ R ⇔ (b, a) 6∈ R
Zerlegung /
Partition
Assymmetrie: ∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) 6∈ R
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Beispiele für Relationen
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
R ⊆ N2 , R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} ist antisymmetrisch
und transitiv.
R = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1} ist symmetrisch.
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
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Operationen auf Relationen
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Mengenoperationen: ∪, ∩, ×, A
Definition der
Relation
Inverse Relation: R −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R} ⊆ B × A
Aussagen auf
Relationen
Inneres Produkt: Sei R ⊆ A × B, S ⊆ C × D
R ⊗ S = (A × C ) × (B × D) = {((a, c), (b, d)) | aRb ∧ cSd}
Eigenschaften
von Relationen
Operationen
auf Relationen
Kringel-Operator: R ◦ S = {(a, c) | ∃b : aRb ∧ bRc}
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
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Äquivalenzrelationen
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Eine Relation R ist Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist.
Beispiel: Restklassen modulo m:
Rm = {(a, b) ∈ Z2 | m|(a − b)}
Aussagen auf
Relationen
Reflexivität: Jede Zahl m teilt 0
Eigenschaften
von Relationen
Symmetrie: m|x ⇒ m| − x
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
Transitivität: m|(a − b) ∧ m|(b − c)
⇒ ∃k1 : a − b = k1 · m ∧ ∃k2 : b − c = k2 · m
⇒ ∃k1 : a − b = k1 · m ∧ ∃k2 : b = k2 · m + c
⇒ ∃k1 , k2 : a − k2 · m − c = k1 · m
⇒ ∃k1 , k2 : a − c = (k1 + k2 ) · m
⇒ m|(a − c)
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Zerlegung / Partition
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Z ⊆ P(A) ist Zerlegung einer Menge A 6= ∅ genau dann, wenn
S
A= Z
∅ 6∈ Z
M1 , M2 ∈ Z : M1 6= M2 ⇒ M1 ∩ M2 = ∅
Eigenschaften
von Relationen
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
Sei A 6= ∅ eine Menge. Jede Äquivalenzrelation über A definiert
eine Zerlegung von A eineindeutig.
Zerlegung /
Partition
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Beispiel: Zerlegung in Äquivalenzklassen
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Operationen
auf Relationen
Rm = {(a, b) ∈ Z2 | m|(a − b)}
Zi = {k · m + i | k ∈ Z} = [i]Rm
Z = {Zi | 0 ≤ i < m}
Beispiel: m = 7, Z0 = {0, −7, 7, 14, −14, . . .}
[3]R7 ist Äquivalenzklasse. [3]R7 = [10]R7 = . . .. 3 und 10
sind Repräsentanten der Äquivalenzklasse.
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
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Beispiel: Beweise auf Äquivalenzrelationen (1)
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
Zu zeigen: Sind R, S Äquivalenzklassen über A, dann
auch R ∩ S.
Reflexivität: ∀a ∈ A : (a, a) ∈ R ∧ (a, a) ∈ S
⇒ ∀a ∈ A : (a, a) ∈ (R ∩ S)
Symmetrie: (a, b) ∈ (R ∩ S)
⇒ (a, b) ∈ R ∧ (a, b) ∈ S
⇒ (b, a) ∈ R ∧ (b, a) ∈ S
⇒ (b, a) ∈ (R ∩ S)
Zerlegung /
Partition
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Beispiel: Beweise auf Äquivalenzrelationen (2)
Diskrete
Strukturen
und Logik:
Relationen
Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Transitivität: (a, b) ∈ (R ∩ S) ∧ (b, c) ∈ (R ∩ S)
⇒ (a, b) ∈ R ∧ (a, b) ∈ S ∧ (b, c) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S
⇒ (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ∧ (a, b) ∈ S ∧ (b, c) ∈ S
⇒ (a, c) ∈ R ∧ (a, c) ∈ S
⇒ (a, c) ∈ (R ∩ S)
Operationen
auf Relationen
Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
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Quellen
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Strukturen
und Logik:
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Karthesisches
Produkt
Definition der
Relation
Aussagen auf
Relationen
Eigenschaften
von Relationen
Meinel, C.; Mundhenk, M.: Mathematische Grundlagen in
der Informatik. Mathematisches Denken und Beweisen.
Eine Einführung. 4. Auflage. Wiesbaden:
Vieweg+Teubner, 2009
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Äquivalenzrelationen
Zerlegung /
Partition
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