Grundlagen der Programmierung 2 (4A) Bäume

Grundlagen der Programmierung 2
(4A)
Bäume
Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauß
Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie
2. Mai 2012
Datenstruktur Baum
Binäre, geordnete Bäume in Haskell:
data Binbaum a = Bblatt a | Bknoten (Binbaum a) (Binbaum a)
•
•
•
Daten (Markierungen) sind an den Blättern des Baumes
Jeder (innere) Knoten hat genau zwei Tochterknoten
es gibt linken und rechten Tochterknoten (geordnet)
Grundlagen der Programmierung 2 (4A) 2011
- 1 -
Datenstruktur Baum; Beispiel
Der folgende binäre Baum
1
~~
~~
~
~~
~ ~
·
iiii
iiii
i
i
i
iii
iiii
i
i
i
i
tiiii
>>
>>
>>
>>
>>
<<<
<<
<<
<<
3
·
· ???
7
??
??
??
· >>>
>>
>>
>>
8
4
hat eine Darstellung als
Bknoten (Bknoten (Bblatt 1)
(Bknoten (Bblatt 3) (Bblatt 4)))
(Bknoten (Bblatt 7) (Bblatt 8))
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- 2 -
Datenstruktur Baum; Beispiel
Bknoten (Bknoten (Bblatt 1)
(Bknoten (Bblatt 3) (Bblatt 4)))
(Bknoten (Bblatt 7) (Bblatt 8))
Als Syntaxbaum:
Bknoten
QQQ
Q
nnn
QQQ
QQQ
QQQ
QQ(
nnn
nnn
n
n
v nn
n
1
m
mmm
mmm
m
m
v mm
m
BBlatt
3
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Bknoten
QQQ
Q
QQQ
QQQ
QQQ
QQ(
Bknoten
PPP
mmm
P
m
mmm
mmm
m
m
v mm
m
Bknoten
PPP
mmm
P
BBlatt
ddd
ddddddd
ddddddd
d
d
d
d
d
d
dd
ddddddd
ddddddd
d
d
d
d
d
d
dq dd
BBlatt
PPP
PPP
PPP
P(
BBlatt
PPP
PPP
PPP
P(
BBlatt
7
8
4
- 3 -
Einige Verarbeitungsfunktionen
Rand: Liste der Markierungen der Blätter:
b_rand (Bblatt x)
= [x]
b_rand (Bknoten bl br) = (b_rand bl)
++ (b_rand br)
testet, ob eine Markierung existiert:
b_in x (Bblatt y)
= (x == y)
b_in x (Bknoten bl br) = b_in x bl
||
b_in x br
wendet eine Funktion auf alle Elemente des Baumes an,
Resultat: Baum der Resultate
b_map f (Bblatt x)
= Bblatt (f x)
b_map f (Bknoten bl br) =
Bknoten (b_map f bl)
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(b_map f br)
- 4 -
Einige Verarbeitungsfunktionen (2)
Größe des Baumes:
b_size (Bblatt x)
=
b_size (Bknoten bl br) =
1
1+ (b_size bl) + (b_size br)
Summe aller Blätter, falls Zahlen:
b_sum (Bblatt x)
= x
b_sum (Bknoten bl br) = (b_sum bl) + (b_sum br)
Tiefe des Baumes:
b_depth (Bblatt x) = 0
b_depth (Bknoten bl br) =
1 + (max (b_depth bl) (b_depth br))
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- 5 -
Einige Verarbeitungsfunktionen (3)
schnelles fold über binäre Bäume:
foldbt :: (a -> b -> b) -> b -> Binbaum a -> b
foldbt op a (Bblatt x)
= op x a
foldbt op a (Bknoten x y) = (foldbt op (foldbt op a y) x)
foldbt mit optimiertem Stackverbrauch:
foldbt’ :: (a -> b -> b) -> b -> Binbaum a -> b
foldbt’ op a (Bblatt x)
= op x a
foldbt’ op a (Bknoten x y) = (((foldbt’ op) $! (foldbt’ op a y)) x)
effizientere Version von b rand und b sum
b_rand_eff = foldbt (:) []
b_baum_sum’ = foldbt’ (+) 0
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- 6 -
Auswertung mit foldbt
Werte foldbt (+) 0 "(((1,2),3),(4 ,5))" aus:
foldbt (+) 0 "(((1,2),3),(4 ,5))"
--> foldbt (+) (foldbt (+) 0 "(4,5)")
"((1,2),3)"
--> foldbt (+) (foldbt (+) (foldbt (+) 0 (5)) (4)
"((1,2),3)")
-->
-->
-->
-->
-->
-->
-->
foldbt
foldbt
foldbt
foldbt
foldbt
foldbt
1+ (2+
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(3+
(foldbt (+) (5+0) (4)
"((1,2),3)")
(4+ (5+0))
((1,2),3)
(foldbt (+) (4+ (5+0))
(3)) "(1,2)"
(3+ (4+ (5+0)))
(1,2)
(foldbt (+) (3+ (4+ (5+0))) (2) (1))
(2+ (3+ (4+ (5+0)))) (1)
(4+ (5+0))))
(Der Baum ist auf dieser Folie vereinfacht dargestellt)
tatsächlicher Aufruf nach Laden des Programmfiles
foldbts (+) 0 (Bk (Bk (Bk (Bb 1) (Bb 2)) (Bb 3)) (Bk (Bb 4) (Bb 5)))
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- 7 -
Bemerkungen zu foldbt
Sei tr binärer Baum mit Randliste [a1, . . . , an]
(foldbt f a tr) entspricht (f a_1
(f a_2 (... (f a_n a) ...s))).
D.h. foldbt entspricht foldr
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- 8 -
Suchbaum
Effizienzsteigerung beim Zugriff auf Elemente einer Liste:
sortierte Liste als Baum
Jeder Knoten enthält als Markierung den größten Schlüssel
seines linken Teilbaumes
Laufzeit des Such-Zugriffs: logarithmisch in der Anzahl der Elemente
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- 9 -
Suchbaum, Beispiel
1












1
3
jj
jjjj
j
j
j
jjj
jjjj
j
j
j
jjj
jjjj
j
j
j
jjj
jjjj
j
j
j
j
tjjjj
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??
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??
??
?










 
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3 ???
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??
??
??
??
??
5 ???
??
??
??
??
??
??
??
7










 
7 AAA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
11
5
- 10 -
Haskell-Implementierung: Suchbaum
data Satz a
= Satz Integer a
data Suchbaum a =
Sblatt Integer a
| Sknoten (Suchbaum a) Integer (Suchbaum a)
| Suchbaumleer
Verwendung:
Suchbaum (Satz a)
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- 11 -
Haskell-Implementierung: Suchbaum
einfuegeDbS (Satz x sx) Suchbaumleer = Sblatt x (Satz x sx)
einfuegeDbS (Satz x sx) (Sblatt k satzk) =
if x < k
then Sknoten (Sblatt x (Satz x sx)) x (Sblatt k satzk)
else if x == k then error " schon eingetragen"
else Sknoten (Sblatt k satzk) k (Sblatt x (Satz x sx))
einfuegeDbS (Satz x sx) (Sknoten l k r) =
if x < k then Sknoten (einfuegeDbS (Satz x sx) l) k r
else if x == k then error " schon eingetragen"
else Sknoten l k (einfuegeDbS (Satz x sx) r)
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Haskell-Implementierung zum Suchbaum
Elementweises Einfügen :
sortiert die Eingabe
Vorsicht:
Der entstehende Baum kann
unbalanciert sein!
bewirkt Verschlechterung der Laufzeit
von O(log (n)) auf O(n)
Abhilfe:
Balancieren des Baumes durch Rotationen
Laufzeit des Baumaufbaus
mit Balancieren:
O(n ∗ log (n))
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Haskell-Library zu Suchbäumen
Data.Map
implementiert balancierte Suchbäume in Haskell:
(Schlüssel,Wert) - Paare, so dass pro Schlüssel nur ein Paar vorkommt.
Funktionen:
singleton
insert
delete
lookup
adjust
erzeugt Suchbaum mit einem (Schlüssel, Wert)-Paar
fügt ein Eement ein.
löscht ein Element zu gegebenem Schlüssel.
Findet eine Element zu gegebenem Schlüssel
ändert Wert zu gegebenem Schlüssel
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Allgemeinere Bäume
mit beliebiger Anzahl Töchter
Die Programmierung ist analog zu einfachen Bäumen
data Nbaum a = Nblatt a | Nknoten [Nbaum a]
nbaumrand :: Nbaum a -> [a]
nbaumrand
(Nblatt x) = [x]
nbaumrand
(Nknoten xs) = concatMap nbaumrand xs
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