Datenstrukturen - sven.köppel.org

Datenstrukturen
Sommersemester 2010
Isolde Adler
Herzlich willkommen!
(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Splay-Bäume
• Binäre Suchbäume als Grundstruktur. Implementiere lookup, insert
und remove durch eine einzige Operation, die Splay-Operation.
• Wenn nach einem Schlüssel x gefragt wird, dann wird der Schlüssel
durch die Splay-Operation zur Wurzel gebracht,
Suchpfad-Eigenschaft: die Knoten auf dem Suchpfad rücken der
Wurzel um fast die Hälfte näher.
• Nachfolgende Operationen für andere Schlüssel werden Schlüssel x
langsam tiefer und tiefer nach unten drücken.
Wenn aber nach einiger Zeit Schlüssel x wieder abgefragt wird, wird
er sofort wieder zur Wurzel gebracht.
• Wenn zwischen sukzessiven Anfragen nach x nicht zuviel Zeit
vergeht, ist jede Abfrage schnell, da x nicht tief im Baum sitzt.
Wenn n Splay-Operationen (in einem anfänglich leeren Splay-Baum)
durchgeführt werden, beträgt die worst-case Laufzeit O (n log2 n).
Die Laufzeit einer einzelnen Operation kann allerdings bis zu O(n)
Schritte verschlingen.
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Splay-Bäume: Anwendungen
• Überall, wo sich das Wörterbuch“ den Benutzeranfragen anpassen
”
soll
• Caches
• Suchmaschinen
• Web-Browser
• DNS: IP-Adressen
• Datenbanken
• Datenkompression
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Wiederholung
(a, b)-Bäume
Hashing
(a, b)-Bäume – Idee
Bisher: binäre Bäume für das Wörterbuch. Jetzt:
• mehr als zwei Nachfolger erlauben
geringere Tiefe!
• mehr als einen Schlüssel pro Knoten speichern!
• Vorteile von binärer Suche beibehalten
• Der Baum soll nicht so oft umkonfiguriert werden
(a, b)-Bäume: Vorteilhaft bei großen Datenmengen auf
Hintergrundspeicher:
• Nur ein Bruchteil der Daten passt in den Hauptspeicher
• Anzahl der teuren Zugriffe auf den Hintergrundspeicher klein halten!
• Daten auf dem Hintergrundspeicher können nur blockweise gelesen
werden
• Ein Knoten des Baumes wird als Block gelesen
(a, b)-Bäume verallgemeinern B-Bäume
• Codd 1970: führt relationale Datenbanken ein (s. auch Vorlesung
Logik und Datenbanken)
• Bayer 1972: entwickelt B-Bäume für Verwaltung (großer)
relationaler Datenbanken
•
erste SQL-Datenbank bei IBM!
Isolde Adler
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Die (a, b)-Eigenschaft
Es gelte a ≥ 2 und b ≥ 2a − 1.
Ein Baum T hat die (a, b)-Eigenschaft, falls
• alle Blätter von T die gleiche Tiefe haben,
• alle Knoten höchstens b Kinder besitzen und
• die Wurzel mindestens zwei Kinder hat,
während alle sonstigen Knoten mindestens a Kinder haben.
• (a, b)-Bäume haben die (a, b)-Eigenschaft.
• Interessant sind (a, b)-Bäume vor Allem für große Werte von a und
b, wenn Daten auf einem Externspeicher abgelegt sind:
• Die Tiefe wird dementsprechend klein sein
• und wenige der sehr langsamen Zugriffe auf den Externspeicher
genügen.
Isolde Adler
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Die Suchstruktur von (a, b)-Bäumen
T ist ein (a, b)-Baum für die Schlüsselmenge S (bzw. ein B-Baum falls
b = 2a − 1), wenn gilt:
• T hat die (a, b)-Eigenschaft.
• Jeder Schlüssel in S wird in genau einem Knoten von T gespeichert.
Ein Knoten speichert die ihm zugewiesenen Schlüssel in
aufsteigender Reihenfolge.
• Jeder Knoten mit k Kindern speichert genau k − 1 Schlüssel.
• Ein Blatt speichert höchstens b − 1 Schlüssel und mindestens a − 1
Schlüssel.
• Falls der innere Knoten v die Schlüssel x1 , ..., xc (mit
x1 < x2 < · · · < xc und c ≤ b − 1) speichert, dann
• speichert der linkeste (bzw. rechteste) Teilbaum nur Schlüssel aus
dem Intervall (−∞, x1 ) (bzw. (xc , ∞)).
• Der i-te Teilbaum (für 2 ≤ i ≤ c) speichert nur Schlüssel aus dem
Intervall (xi−1 , xi ).
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Ein Beispiel
Für a = 2 und b = 3 erhalten wir 2-3 Bäume:
E
PP
PP
P
P
H, M
B
@
@
A
@
@
D
F,G
K, L
P
Die Schlüssel der inneren Knoten helfen in der Suche:
• Auf der Suche nach Schlüssel K suche im rechten Teilbaum weiter,
denn E < K .
• Da H < K < M muss das mittlere Blatt aufgesucht werden.
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Die Tiefe von (a, b)-Bäumen
T sei ein (a, b)-Baum mit n Knoten. Dann gilt für Tiefe(T ) ≥ 2:
logb (n) − 1 < Tiefe(T ) < loga (
n−1
) + 1.
2
• Die Tiefe ist minimal, wenn jeder Knoten genau b Kinder hat.
• In Tiefe t können wir damit höchstens
t+1
n ≤ 1 + b + ... + b t = b b−1−1 < b t+1 Knoten erreichen.
• Also folgt b t+1 > n und damit t > logb n − 1.
• Die Tiefe ist am größten, wenn die Wurzel zwei Kinder und jeder
innere Knoten a Kinder besitzt.
Wir erhalten also in Tiefe t mindestens
t
−1
n ≥ 1 + 2(1 + ... + at−1 ) = 1 + 2 · aa−1
Knoten.
• Also folgt n ≥ 1 + 2 ·
Aber at−1 <
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t
a −1
a−1
at −1
a−1 ,
beziehungsweise
at −1
a−1
gilt für t ≥ 2 und deshalb t <
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n−1
2 .
loga n−1
2
≤
+ 1.
Wiederholung
(a, b)-Bäume
Hashing
Lookup(x)
Benutze die den inneren Knoten zugeordneten Schlüssel, um den
Schlüssel x zu lokalisieren.
• Es genügen Tiefe(T ) + 1 < loga n−1
2 + 2 Speicherzugriffe.
• Wähle a als ein Megabyte und n als ein Terabyte.
Sei a = 106 und n = 1012 .
• Dann genügen weniger als log106 1012 + 2 Zugriffe und damit reichen
drei Speicherzugriffe.
• Wenn n ein Petabyte (n = 1015 ) ist, dann reichen vier Zugriffe.
Dasselbe gilt sogar für ein Exabyte (n = 1018 ).
Für die lookup Operation in einem (a, b)-Baum mit n Schlüsseln genügen
weniger als loga n−1
2 + 2 Speicherzugriffe.
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Insert(x)
Zuerst suche nach x. Wenn x gefunden wird, dann überschreibe den
Info-Teil, ansonsten endet die Suche in einem Blatt v .
Füge x in die sortierte Folge der Schlüssel von v ein.
• Fall 1: v hat jetzt höchstens b − 1 Schlüssel. Wir sind fertig, da die
(a, b)-Eigenschaft erfüllt ist.
• Fall 2: v hat jetzt b Schlüssel x1 < ... < xb und die
(a, b)-Eigenschaft ist verletzt.
• Ersetze v durch zwei Knoten vlinks (mit den Schlüsseln
x1 , . . . , xdb/2e−1 ) und vrechts (mit den Schlüsseln xdb/2e+1 , . . . , xb ).
• Es ist 2a − 1 ≤ b. Deshalb gilt a − 1 ≤ b b+1
c − 1 ≤ d b2 e − 1 ≤ b b2 c
2
und vlinks und vrechts besitzen die notwendige Mindestanzahl von
Schlüsseln.
• Der Schlüssel xdb/2e unterscheidet zwischen vlinks und vrechts . Füge
xdb/2e rekursiv im Vater von v ein.
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Wann erhöht sich die Tiefe?
• Wir fügen zuerst in einem Blatt ein, spalten die Schlüssel unter zwei
neuen Knoten auf und fügen rekursiv einen trennenden Knoten beim
Vater ein.
• Wenn die Wurzel bereits b − 1 Schlüssel speichert und einen
trennenden Schlüssel zusätzlich erhält, dann muss sie in zwei Knoten
aufgespalten werden. Der trennende Schlüssel der beiden neuen
Knoten wird zum einzigen Schlüssel der neuen Wurzel.
Wir haben erlaubt, dass die Wurzel zwei oder mehr Kinder hat, um
diesen Fall abzufangen.
• Auch den Grund für die Bedingung 2 · a − 1 ≤ b haben wir gesehen:
Die Aufspaltung eines Knoten mit b Schlüsseln in zwei Knoten mit
legaler Schlüsselzahl muss möglich sein.
Animation
Isolde Adler
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Remove(x)
Zuerst müssen wir nach x suchen.
• Angenommen wir finden x in dem inneren Knoten v :
• Wir suchen den kleinsten Schlüssel y mit x ≤ y . y wird sich im
linkesten Blatt b des entsprechenden Teilbaums von v befinden.
• Wir ersetzen in v den Schlüssel x durch y .
Das Blatt b hat einen Schlüssel verloren. Setze v = b.
• Wenn v ein Blatt ist, entfernen wir x und v verliert einen Schlüssel.
• Fall 1: v hat jetzt mindestens a − 1 Schlüssel.
Wir sind fertig, da die (a, b)-Eigenschaft erfüllt ist.
• Fall 2: v hat jetzt a − 2 Schlüssel.
• Zuerst begibt sich Knoten v auf Schlüsselklau“ und stiebitzt, wenn
”
möglich, einen Schlüssel von seinem Vater.
• Sollte dies nicht möglich sein, wird v mit einem Geschwisterknoten
fusioniert.
Isolde Adler
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Schlüsselklau und Fusion
Der Knoten v habe die Schlüssel x1 < · · · < xa−2 .
• Fall 2.1: Der linke oder rechte Geschwisterknoten hat mindestens a
Schlüssel.
• Der linke Geschwisterknoten v 0 habe z.B. die Schlüssel
y1 < · · · < ya < · · · < yk 0 .
• Der Schlüssel z des Vaters trenne v 0 und v , also yk 0 < z < x1 .
• v klaut z und hat damit a − 1 Schlüssel. Schlüssel z wird durch
Schlüssel yk 0 ersetzt. Fertig!
• Fall 2.2: Beide Geschwisterknoten besitzen nur a − 1 Schlüssel.
• Der linke Geschwisterknoten v 0 hat die a − 1 Schlüssel
y1 < · · · < ya−1 .
• Verschmelze v 0 und v . Der bisher trennende Schlüssel z des Vaters
ist einzufügen und der fusionierte Knoten hat
a − 1 + a − 2 + 1 = 2a − 2 ≤ b − 1 Schlüssel und die Höchstanzahl
wird nicht überschritten.
• Der Schlüssel z ist rekursiv aus dem Vaterknoten zu entfernen.
Isolde Adler
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Schlüsselklau für innere Knoten
• Angenommen wir haben die Remove-Operation rekursiv ausgeführt
und haben einen inneren Knoten v erreicht.
• v habe einen Schlüssel durch Verschmelzung zweier Kinder verloren.
• Ein Geschwisterknoten von v speichere mindestens a Schlüssel.
Das Ergebnis des Schlüsselklaus für 2-3 Bäume:
X
Y
Y, Z
v
A
B
C
v
D
A
X
Z
B
Fusion für innere Knoten geht ähnlich.
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C
D
(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Zusammenfassung
Sei T ein (a, b)-Baum. Dann genügen
• Tiefe(T ) + 1 Speicherzugriffe für eine lookup-Operation,
• 2· (Tiefe(T ) + 1) Speicherzugriffe für eine insert-Operation
• und 5·(Tiefe(T ) + 1) Speicherzugriffe für eine remove-Operation.
Beachte, dass Tiefe (T ) < loga ( n−1
2 ) + 1 gilt, falls der Baum T aus n
Knoten besteht.
• Lookup: Der Weg von der Wurzel zu einem Blatt besteht aus
Tiefe(T ) + 1 Knoten.
• Insert: Die Knoten des Suchpfads werden zuerst gelesen und dann
aufgespalten.
• Remove: Tiefe(T ) + 1 Zugriffe sind auf dem Weg nach unten
erforderlich. Auf dem Weg nach oben genügen 4 (Tiefe(T ) + 1)
Zugriffe, das Schreiben des Knoten und das Lesen/Schreiben eines
Geschwisterknoten.
Isolde Adler
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Wiederholung
(a, b)-Bäume
Hashing
Das Wörterbuch – Hashing
Wiederholung: Wahrscheinlichkeitsrechnung (s. Skript Kap. 1.3)
Isolde Adler
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(a, b)-Bäume
Wiederholung
Hashing
Die Bitvektor-Datenstruktur
Das Wörterbuchproblem wird einfacher, wenn die Menge U der
möglicherweise einzufügenden Daten in den Hauptspeicher passt.
• Benutze die Bitvektor-Datenstruktur:
In einem booleschen Array wird für jedes Element u ∈ U in der Zelle
f (u) vermerkt, ob u präsent ist.
Bis auf die Berechnung von f (u) gelingt damit die Ausführung einer
lookup-, insert- oder remove-Operation in konstanter Zeit!
• Selbst bei einem kleinen Universum U ist aber die Wahl einer
geeigneten Funktion f möglicherweise schwierig.
• Zudem ist in praktischen Anwendungen im Allgemeinen das
Universum der möglichen Schlüssel zu groß:
Wenn Nachnamen als Schlüssel verwandt werden, und selbst wenn
nur Nachnamen der Länge höchstens 10 auftreten, gibt es
2610 ≥ 210 · 1010 ≥ 103 · 1010 = 1013 , also mehr als 10 Billionen
mögliche Schlüssel!
Isolde Adler
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Wiederholung
Hashing
Hashing
Hashing versucht die Schnelligkeit und die Einfacheit der
Bitvektor-Datenstruktur auch im allgemeinen Fall zu bewahren.
• Sei U die Menge aller möglichen Schlüssel und sei m die Größe einer
im Hauptspeicher abspeicherbaren Tabelle.
• Eine Funktion
h : U → {0, 1, ..., m − 1}
heißt eine Hashfunktion.
• Zum Beispiel können wir insert (x, info) implementieren, indem wir
• h(x) = i berechnen und
• (x, info) in Zelle i der Tabelle eintragen.
Aber was passiert bei einer Kollision, wenn also Zelle i bereits
besetzt ist?
Wir beschreiben zwei Hashing-Verfahren, Hashing mit Verkettung und
Hashing mit offener Adressierung.
Isolde Adler
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Hashing
Hashing mit Verkettung
Für jede Zelle i wird eine anfänglich leere Liste angelegt.
• Jede Liste wird sortiert gehalten.
• Für lookup(x): Durchlaufe die Liste von h(x).
• Für insert(x) und remove(x): Führe die insert- und
remove-Operation für einfach-verkettete Listen aus.
Beispiel: Wähle h(x) = (x mod 11) als Hashfunktion. Die Operationen
insert(59), insert(18) und insert(125) führen auf die Tabelle
4
-
59
- 125
7
-
18
-
-
lookup (26) benötigt nur einen Suchschritt: Schlüssel 59 wird gefunden
und es wird geschlossen, dass 26 nicht präsent ist.
Isolde Adler
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