4. Funktionen und Relationen

4. Funktionen und Relationen
Bestimmung der Umkehrfunktionen
c) bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des
Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x.
y = x3
y=x
y=x
y = x1/3
Archivierungsangaben
y = (x+1)/2
y = 2x – 1
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel:
a) f: R R, f(x) = x2
……. injektiv: f(-1) = 1 und f(1) = 1
……. surjektiv: f(x) = -1 hat kein Urbild in R
b) f: R+ R, f(x) = x2
…….injektiv: x=√f(x) eindeutig lösbar
…….surjektiv: siehe a)
Archivierungsangaben
c) f: R R+, f(x) = x2
d) f: R+ R+, f(x) = x2
Umkehrfunktion für d)?
……… injektiv: siehe a)
……….: f(x)≥0, alle f(x) haben Urbild
……..injektiv: siehe b)
…………
…….surjektiv: siehe c)
f-1: R+ R+, ………..
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4. Funktionen und Relationen
Wiederholung!
Spezielle reelle Funktionen:
Bekannt aus der Schule!
• Lineare Funktionen f(x) = ax + b
Beispiel: f(x) = 4x – 1
• Polynome oder ganzrationale Funktionen
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
Archivierungsangaben
Beispiel: f(x) = 2x3 – x2 + x – 2
• Gebrochen-rationale Funktionen, z.B. f(x) = 2x3 / (x2 – 3x)
• Trigonometrische Funktionen: sin x, cos x …
• Weitere Funktionen f(x) = √x etc
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4. Funktionen und Relationen
Exponentialfunktionen zur Basis a: f(x) = ax mit einer
Konstanten a > 0 (Basis) sind definiert für x ∈ R.
Die Umkehrfunktion von f(x) = ax ist Logarithmus zur
Basis a: loga x, D = (0, ∞).
Spezialfall:
Archivierungsangaben
f(x) = ex – Exponentialfunktion zur Basis e ≈ 2,71
Die Umkehrfunktion von f(x) = ex ist der natürliche
Logarithmus ln x, definiert für x ∈ (0, ∞).
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4. Funktionen und Relationen
Rechenregeln:
an = a·a·a·…·a; a0 = a; a1 = a
a1/n
, n∈N
n∈
am/n
ax+y
, n,m∈N
=
ax ·
ay,
Wiederholung!
Bekannt aus der Schule!
x,y∈R
Archivierungsangaben
(ax)y = ax·y, x,y∈R
ax · bx = (a·b)x, x∈R
a-x = 1/ax = (1/a)x, x∈R
ax = ex·ln a , x∈R
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4. Funktionen und Relationen
Polynome:
p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
Sind reelle Funktionen, die sich ausschließlich mit den
Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation
berechnen lassen.
n
Allgemein: p(x) = Ʃ akxk, mit a0, a1, …, an ∈ R
Archivierungsangaben
k=0
Ist an ≠ 0, so ist n = deg p ∈ N der Grad des Polynoms p
Beispiel: p1(x) = x2 + x + 2, p2(x) = – x3,
p3(x) = 2x7 – 4x4 + 3x2 – 1 sind
Polynome vom Grad ……,
. bzw. …………
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.6
Eine zweistellige Relation R auf Menge M ist eine
Abbildung, die jedem Paar (x,y) ∈ M x M einen
Wahrheitswert
Archivierungsangaben
{wahr, falsch}
zuordnet.
Schreibweise: x R y, (x,y) ∈ R
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel:
Bezeichnet M die Menge der Prozeduren in einer
Programmiersprache (z.B. in C++) und
N die Menge der (Programmier-)Klassen,
Archivierungsangaben
so wird durch
p R c :⇔ (p wird exportiert von c)
für eine Prozedur p∈M und eine Klasse c∈N eine
Relation zwischen M und N erklärt.
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4. Funktionen und Relationen
Darstellung der Relationen:
1. als Paare: R = {(x,y) ∈ M x M: x < y}
Beispiel: Sei Relation R ist „<„ und M = {0,1,2,3}, dann
Archivierungsangaben
R = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,3)}
(0,0), (3,1) ∉ R, weil nicht gilt 0 < 0, 3 < 1
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4. Funktionen und Relationen
Darstellung der Relationen:
Archivierungsangaben
2. als Schema: R = {(x,y) ∈ N0xxN0: x + y = 4}
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
…
4
5
…
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4. Funktionen und Relationen
Darstellung der Relationen:
Archivierungsangaben
3. Als Graphen: Sei M = {A, B, C, D}
R = {(A,B), (B,C), (B,D), (C, A), (C,B), (C,C), (C,D), (D,A)}
A
B
C
D
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.7
Eine Relation R auf M heißt
• reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst
steht , d.h. ∀x ∈ M: x R x, z.B.:
Archivierungsangaben
„<„ ist ………. reflexiv, da 3 < 3 falsch ist
„≤„ ist ………. reflexiv, da 3 ≤ 3 wahr ist
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4. Funktionen und Relationen
Archivierungsangaben
Beispiel
A
B
C
D
nur (C,C) ∈ R
………..reflexiv, da (A,A), (B,B), (D,D) ∉R
Wird reflexiv, wenn alle Schleifen existieren!
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.7 (Fortsetzung)
• symmetrisch, wenn ∀x,y ∈ M: aus x R y ⇒ y R x, z.B:
Archivierungsangaben
„≠„ ist ………symmetrisch, da aus „3 ≠ 5“ folgt „5 ≠ 3“
„≤„ ist ………symmetrisch, da aus „3 ≤ 5“ nicht folgt „5 ≤ 3“
Seite 40
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4. Funktionen und Relationen
Archivierungsangaben
Beispiel
A
B
C
D
(B,C) ∈ R und (C,B) ∈ R
…….. symmetrisch: (A,C), (A,D), (B,A), (D,B), (D,C) ∉R
Seite 41
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4. Funktionen und Relationen
Archivierungsangaben
Beispiel
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
…
4
5
…
Es gilt Kommutativgesetz in N0 : a + b = b + a, deshalb
symmetrisch: wenn 0 R 4, dann auch 4 R 0 etc.
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4. Funktionen und Relationen
Archivierungsangaben
Beispiel
A
B
C
D
……………………………..
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.7 (Fortsetzung)
• transitiv, wenn ∀x,y,z ∈ M: aus
(x R y) und (y R z) ⇒ x R z, z.B.:
Archivierungsangaben
„≤„ ist ………transitiv, da aus „3 ≤ 5 und 5 ≤ 7“ folgt: „3 ≤ 7“
„≠„ ist …….. transitiv, da aus „3 ≠ 5 und 5 ≠ 3“ nicht folgt „3 ≠ 3“
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel
A
B
C
D
Transitivitätsbedingung für z.B. B, C, D:
Archivierungsangaben
(B,C)∈R, (C,D)∈R folgt ……………
nicht transitiv: für z.B. A, B und D:
(B,C)∈R und (C,A)∈R, aber ………………
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4. Funktionen und Relationen
Archivierungsangaben
Beispiel
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
…
4
5
…
Aus 1 R 3 und 3 R 1, folgt nicht 1 R 1
1 + 3 = 4 und 3 + 1 = 4, aber 1 + 1 ≠ 4
…… transitiv
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4. Funktionen und Relationen
Archivierungsangaben
Beispiel
……reflexiv ,
A
B
C
D
symmetrisch und
transitiv.
(A,B)∈R und (B,D)∈R, aber (A,D) ∉R
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4. Funktionen und Relationen
Einige wichtige Relationen in der Informatik sind:
Äquivalenzrelationen, Ordnungen, Verbände…
Anwendungsgebiete: Objektorientierte Programmierung,
Archivierungsangaben
relationalen Datenbanken, Prozessplanung etc…
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.8
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine
reflexive, symmetrische und transitive Relation auf M.
Archivierungsangaben
Beispiel 4.6
Auf der Menge M aller Studierenden im Hörsaal wird
durch
x R y ⇔ x und y haben denselben Geburtsmonat
eine Äquivalenzrelation erklärt, deren Äquivalenzklassen
gerade die verschiedenen Geburtsmonate sind.
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel 4.7
Auf der Menge Z eine Relation R definiert durch
x R y ⇔ haben gleichen Rest bei Division durch 3, d.h.
x R y ⇔ (x – y) = 3k, k∈ M.
Überprüfe, ob diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Archivierungsangaben
• reflexiv: (x – x) = 0 = 3k; also ist durch 3 teilbar
• symmetrisch:
wenn (x – y) = 3k, dann y – x=
• transitiv: sei (x – y) = 3k1 und (y – z) = 3k2, dann
(x – z) =
d.h.
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel 4.7 (Fortsetzung)
Somit x R y („ x – y teilbar durch 3“) ist eine
Äquivalenzrelation.
Archivierungsangaben
Diese Äquivalenzrelation teilt die Menge Z in 3
Äquivalenzklassen: Z = [0] ∪ [1] ∪ [2]
1) alle ganzzahligen Vielfachen der 3 (Rest 0): [0]
2) alle ganzen Zahlen, die sich mit Rest 1 durch 3 teilen
lassen: [1]
3) alle ganzen Zahlen, die sich mit Rest 2 durch 3 teilen
lassen: [2]
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4. Funktionen und Relationen
Übung:
Überprüfen, ob die Relation x R y := x⋅y = 0 eine reflexive,
symmetrische und transitive Relation auf Menge N0.
1) Reflexivität: ………..Z.B. 1 R 1, da 1⋅1 ≠ 0
Archivierungsangaben
2) Symmetrie: ……….Wenn x R y, dann y R x.
3) Transitivität: ……..Z.B: 1 R 0, 0 R 2, aber 1 R 2.
Somit ist R keine Äquivalenzrelation !
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4. Funktionen und Relationen
Eine Relation R auf einer Menge M heißt
• antisymmetrisch, wenn ∀x,y ∈ M:
aus x R y und y R x ⇒ x = y, z.B:
„≤“, „|“ oder „ ⊆“ ist antisymmetrisch
a | b :⇔
⇔ „a teilt b“ auf M=N
„Zahlenbeispiele“ Tafel
Archivierungsangaben
„≠“ ist nicht antisymmetrisch, da aus „3≠5“ und „5≠3“
folgt nicht, dass 3 und 5 identisch sind.
Hinweis: aus „R ist nicht symmetrisch“ folgt nicht „R ist antisymmetrisch“
aus „R ist antisymmetrisch“ folgt nicht „R ist symmetrisch“
Beispiel : „=„ sowohl symmetrisch, als auch antisymmetrisch
Fazit: für verschiedene x und y sind beide Relationen: x R y
und y R x nicht möglich. Wenn, dann nur eine Relation!!!
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.9
Die Relation R heißt eine partielle Ordnung auf einer
Menge M, falls R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
ist.
Archivierungsangaben
Beispiel: „≤“ eine partielle Ordnung auf einer Menge M
a) reflexiv: ja, da für alle x gilt: x ≤ x
b) antisymmetrisch: ja, da gilt: wenn x ≤ y und y ≤ x
dann und nur dann, wenn x = y.
c) transitiv: ja, da gilt: wenn x ≤ y und y ≤ z, dann ist
auch x ≤ z.
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel: Überprüfe, ob R ist eine Äquivalenz- oder eine
partielle Ordnungsrelation auf M.
M = {1, 2, 3}, R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3)}
Archivierungsangaben
a) reflexiv: …., da für alle x gilt: x R x (1,1), (2,2), (3,3)
(1,2) ∈ R, aber (2,1) ∉ R
b) symmetrisch: ……..
c) antisymmetrisch: ……, da gilt: wenn x R y und y R x
dann und nur dann, wenn x = y.
Es gibt keine Paare (y,x) mit y ≠ x, (2,1), (3,1) ∉ R
a) transitiv: ….., da gilt: wenn x R y und y R z, dann ist
auch x R z. (1,2) ∈ R, (2,2) ∈ R (1,2) ∈ R
(1,1) ∈ R, (1,3) ∈ R (1,3) ∈ R
etc.
!!! partielle Ordnungsrelation
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.10
Es sei „≤“ eine partielle Ordnung auf einer Menge M.
Dann heißt „≤“
„ “ eine totale Ordnung, wenn für alle
(x,y)∈M x M gilt: x ≤ y oder y ≤ x. Das bedeutet, dass je
Archivierungsangaben
zwei Elemente hinsichtlich „≤“ vergleichbar sind.
„≤“ ist totale Ordnung auf R
• reflexiv
• antisymmetrisch
• transitiv
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel:
Archivierungsangaben
1.
•
•
•
„⊆“ auf P (M) ist nicht total, wenn |M| ≥ 2 ist.
reflexiv
antisymmetrisch
partielle Ordnungsrelation
transitiv
Total? entweder x ⊆ y oder y ⊆ x (x≠y)
Sei M = {a,b,c}, dann
P (M) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.
nicht total
z.B. für {b} und {c} gilt: weder {b} ⊆ {c}, noch {c} ⊆ {b}.
2. M = {1,2,3}, R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)}: totale
Ordnung?
Nein! Per Definition: (x,y)∈R oder (y,x)∈R, aber z.B. (2,3)∉R und (3,2)∉R
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4. Funktionen und Relationen
Darstellung partieller Ordnungen (auf endlichen Mengen)
wird durch Hasse-Diagramme veranschaulicht.
Archivierungsangaben
a) Sei (M, |) eine partiell geordnete Menge mit M= {1,2,3,4,6}
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4. Funktionen und Relationen
Bemerkung: Hasse-Diagramm einer totalen Ordnung ist
eine Linie.
Archivierungsangaben
Sei (A, ≤ ) eine total geordnete Menge mit A = {1,2,3,4}.
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4. Funktionen und Relationen
b) Sei (P (M), ⊆) eine partiell geordnete Menge mit M = {1,2,3}.
Archivierungsangaben
P (M) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.
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4. Funktionen und Relationen
c) Tafel
Sei (M, |) eine partiell geordnete Menge mit M = T(12) =
...................
....................
Archivierungsangaben
= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Seite 61
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4. Funktionen und Relationen
Hinweise zu Erstellung eines Hasse-Diagramms für Teil(er)menge T(a):
Primfaktorzerlegung von a durchführen:
z.B. a = 12 = 22·31 hat zwei Primfaktoren.
Bei einem Primfaktor (z.B. 16 = 24 oder 35 oder 1135) ist
Archivierungsangaben
das Hasse-Diagramm eindimensional (eine Linie).
Bei zwei Primfaktoren (z.B. 15 = 3·5, 500 = 22·53 etc.) ist
das Hasse-Diagramm zweidimensional (Quadrat bzw.
Gitter, das aus mehreren Quadraten besteht).
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4. Funktionen und Relationen
Bei drei Primfaktoren ist das Hasse-Diagramm
dreidimensional (Quader).
Quader
Für a = p1·q1·r1 siehe das Beispiel für T(30) in der Mitschrift.
Allgemein das Hasse-Diagramm für T(a), vorbei a die
Archivierungsangaben
Form von p1·q1·r1 hat, hat das gleiche Hasse-Diagramm
wie T(30) (einstöckiger Quader).
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4. Funktionen und Relationen
Wenn einer der drei Primfaktoren eine zweite Potenz
enthält, z.B. a = p1·q2·r1, dann wird der Quader
zweistöckig (siehe Übung 6.5 b)).
Hasse-Diagramme für T(a), wobei in der Primfaktorzerle-
Archivierungsangaben
gung von 4 Primfaktoren oder zwei der drei Primfaktoren
eine höhere Potenz als die zweite haben, sind nicht
mehr überschaubar.
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel (Tafel):
Erstellen Sie die Hasse-Diagramm für T(a):= (M, |), wobei:
• T(250),
• T(70)
Archivierungsangaben
T(250) = ........... zwei Primaktoren Gitter
T(70) = ................. drei Primfaktoren Quader
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4. Funktionen und Relationen
In geordneten Mengen wird durch die Ordnungsrelation
eine Anordnung ihrer Elemente vorgenommen .
Archivierungsangaben
Definition 4.11
Sei M eine Menge und R Relation auf M. Dann heißt kϵ M
kleinstes Element (bzw. größtes Element) von M, wenn für
alle xϵ M gilt, dass kRx (bzw. xRk) ist.
Beispiel
a) (M, ≤), M={2, 3, 4, 5}; 2 - kleinstes El.; 5- größtes El.
b) (N0, ≤), hat 0 als kleinstes Element und klein größtes.
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4. Funktionen und Relationen
In partiell geordneten Mengen existieren es nicht immer
bzw. ein kleinstes/größtes Element.
• Sei (M, |) = ({1, 2, 3, 4, 6}, |).
Archivierungsangaben
kleinstes Element: 1, weil 1 teilt alle Zahlen aus M
größtes Element: kein, da es keine Zahl Z gibt, die durch alle
x∈M teilbar ist.
Wie kann man die Menge M erweitern, so dass es ein
größtes Element bzgl. „|“ gibt?
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel:
Ist (M, ⊆) eine partiell geordnete Menge, dann x∈M ein
kleinstes Element, falls ∀y∈M gilt x ⊆ y. Entsprechend ist z∈M
Archivierungsangaben
ein größtes Element, falls ∀y∈M gilt y ⊆ z.
Z.B. bzgl. P (M) = {∅ ,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
…….. das kleinste und …………. das größte Element.
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4. Funktionen und Relationen
Betrachten wir jetzt die Teilmengen der geordneten Menge
(R, ≤ ):
• Sei A = [a, +∞) = {x∈R : x ≥ a}, dann ….. - kleinstes
Element und es existiert ……. größtes Element.
• Sei B = (a, +∞) = {x∈R : x > a}, dann hat B ……..
Archivierungsangaben
kleinstes …………….. größtes Element.
Dennoch ist die Zahl …... in gewisser Weise optimal als untere
Schranke für B, da es keine andere Zahl x gibt: x > a und x∉B.
Für a gibt es spezieller Begriff!
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.12
Es sei (M, R) eine geordnete Menge mit Relation R und
A ⊂ M eine Teilmenge, dann:
1. Ein Element b ∈ M heißt obere Schranke von A, falls für
∀x ∈ A die Relation x R b gilt.
2. Ein Element u ∈ M heißt untere Schranke von A, falls
für ∀x ∈ A die Relation u R x gilt.
Archivierungsangaben
Beispiel 4.8: Sei A = (a,b) eine Teilmenge von (R, ≤ ),
dann ist a die untere Schranke für A und b die obere Schranke
für A.
a
b
Es gilt auch: ∀x ∈ A: (a-1) ≤ x, daraus folgt, dass auch (a-1)
eine untere Schranke für A ist. Es könnte mehrere untere/obere
Schranken geben.
Seite 70
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4. Funktionen und Relationen
Definition 4.13
Es sei (M, R) eine geordnete Menge mit Relation R und
A ⊂ M eine Teilmenge, dann:
1. Eine obere Schranke b ∈ M heißt Supremum von A, kurz
b = sup A, wenn b die kleinste obere Schranke von A ist.
Archivierungsangaben
a
b
2. Eine untere Schranke u ∈ M heißt Infimum von A, kurz
u = inf A, wenn u die größte untere Schranke von A ist.
Im Beispiel 4.8: a = inf A; (a-1) dagegen ist nur untere
Schranke.
3. Ist b ∈ A (bzw. u ∈ A), so nennen wir b = max A das
Maximum (bzw. das Minimum) von A.
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel 4.9
Sei R eine geordnete Menge: (R, ≤ ). Falls:
1. A = (a,b), dann ….. = inf A; …. = sup A, aber es gibt kein
min A und kein max A.
Archivierungsangaben
2. A = (a,b], dann …. = inf A; ………………= sup A, es gib
kein min A.
3. A = [a,b], dann ……………. inf A; ………………..= sup A.
Seite 72
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4. Funktionen und Relationen
Archivierungsangaben
Beispiel 4.10
Sei N eine partiell geordnete Menge: (N, | ). Wir betrachten die
folgenden Teilmengen von (N, | ):
1. A1 = ({3,6,9}, |), dann:
a) 1 und 3 sind untere Schranken von A1.
b) inf A1 = 3 = min A1;
Infimum: ggt
c) obere Schranken: Zahlen, die von 3,6 und 9 geteilt
werden, z.B: 36, 54, 162 oder 18, ….
d) sup A1 = 18.
Supremum: kleinste gemeinsame Vielfache
2. A2 = ({12,18}, |), dann:
a) untere Schranken: 1,2,3,6
b) inf A2 = 6;
c) obere Schranken: 36, 72, 144 … d) sup A2= 36.
min A2; max A2 - kein
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4. Funktionen und Relationen
Beispiel: Suprema und Infima lassen sich aus dem HasseDiagramm leicht ablesen: so sind z.B. ∅, {2} untere Schranken
der Teilmenge A = {{1,2}, {2,3}} ⊂ P (M).
Archivierungsangaben
Da ∅ ⊂ {2}, gilt: inf A = inf {{1,2}, {2,3}} = {2}.
Infimum - Schnittmenge
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Das minimale Element
von P(M) steht am
weitesten unten und ist
kleiner als jedes andere
Element in der
gegebenem
Ordnungsrelation. Seite 74
4. Funktionen und Relationen
Obere Schranken der Teilmenge A ={{1}, {3}} sind {1,3} und
Archivierungsangaben
{1,2,3}. Wegen {1,3} ⊂ {1,2,3} gilt: sup A = sup {{1}, {3}} = {1,3}.
Supremum - Vereinigungsmenge
Das maximale
Element von P(M)
steht am weitesten
oben und ist größer
als jedes andere
Element von P(M) ist.
Seite 75
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4. Funktionen und Relationen
Definition:
Eine geordnete Menge V ist ein Verband, in der das
Supremum und das Infimum jeder beliebigen
zweielementigen Teilmenge stets existieren und sind
Elemente V.
Teilerverband
kein Verband
Archivierungsangaben
Beispiel:
z.B. für {6,10}:
Infimum ist 2
Supremum ist 30.
für {b,c} existieren untere Schranken:
d,e und f, aber kein Infimum, da
f nicht das größte Element; und keines von
d und e – „größte“ untere Schranke Seite 76
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4. Funktionen und Relationen
Übung:
Sei A = {pq, q2, qr, wobei p,q,r ∈ N - Primzahlen , p≠q≠r}
und (A, |). Geben Sie, falls existieren: das kleinste
Element/das größte Element; untere/obere Schranken;
Infimum/Supremum an.
max A – kein; min A - kein
untere Schranken: 1, q;
Archivierungsangaben
obere: p⋅q2⋅r;
inf A = q;
sup A = p⋅q2⋅r
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4. Funktionen und Relationen
Übung:
Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm für (M, |), mit
M = {t ∈ N : t teilt 30}. Geben Sie min M, max M, Infimum und
Supremum an.
Sei A = {2, 5, 10} ⊂ M. Bestimmen
Archivierungsangaben
Sie min A, max A, untere Schranken,
Infimum, obere Schranken und
Supremum.
min A – kein; max A = 10;
untere Schranke: 1; obere Schranken 10,30
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inf A = 1, sup A = max A = 10
Die Begriffsbildung des Verbandes geht auf
Richard Dedekind zurück.
Anwendungen:
Archivierungsangaben
-
Semantik der Programmiersprachen,
- logische Schaltungen
Richard Dedekind
(1831 - 1916)
- der Programmanalyse
- Algorithmik.
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Bildquelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_De
http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind#mediaviewer/File:Dedekind.jpeg
dekind#mediaviewer/File:Dedekind.jpeg
4. Funktionen und Relationen