Skript Kapitel 1-2 - Universität des Saarlandes

Mathematik C
Vorlesung an der
Universität des Saarlandes
SS 2017
Klaus Schindler
Version 17.0
c
K.
Schindler 2017
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Differenzengleichungen
1.1. Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzenoperator . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Implizite und explizite Differenzengleichungen
Lösung von Differenzengleichungen . . . . . .
Lineare Differenzengleichungen . . . . . . . . .
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2. Differentialgleichungen
Autonome Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . .
Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme
Existenz- und Eindeutigkeitssätze . . . . . . . . . . . . .
2.1. Spezielle Typen von DGLen erster Ordnung . . . . . . .
2.1.1. DGLen mit getrennten Variablen . . . . . . . . .
2.1.2. DGLen mit homogenen Funktionen . . . . . . . .
2.1.3. Gebrochen rationale DGLen . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Exakte DGLen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5. Bernoullische Differentialgleichungen . . . . . . .
2.1.6. Riccatische Differentialgleichungen . . . . . . . .
2.2. Lineare DGLen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
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5
5
5
10
10
14
15
17
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37
38
40
41
44
44
45
45
46
49
50
50
66
3. Stabilität dynamischer Systeme
75
Eigenwerte und Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1. Ljapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2. Richtungsfeld, Phasendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4. Dynamische Optimierung
4.1. Variationsrechnung . . . . . . . . . .
4.1.1. Nebenbedingungen . . . . . .
4.1.2. Bedingungen zweiter Ordnung
4.2. Dynamische Programmierung . . . .
Die Gleichung von Bellman . . . . .
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111
122
136
142
146
148
3
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
4.3. Optimale Kontrolltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Die Hamilton-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Literaturverzeichnis
167
Anhang
168
A. Differentialrechnung
169
B. Banachscher Fixpunktsatz
179
C. Komplexe Zahlen
181
C.1. Eigenschaften komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
C.2. Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
D. Lineare Gleichungssysteme, Eigenwerte, Eigenvektoren
189
E. Quadratische Formen, Definitheit
195
F. Statische Optimierung
199
Index
205
4
c Klaus Schindler SS 2017
Kapitel
Differenzengleichunge
1
Differenzengleichungen
1.1. Differenzen
Die Dynamik ökonomischer und naturwissenschaftlicher Größen wird durch ihr Änderungsverhalten beschrieben. Hierzu wurde der Begriff der Ableitung bzw. des Differentials einer
Funktion y als Grenzwert des Differenzenquotienten eingeführt, d.h.1
y ′(t) = lim
∆t→0
y(t+∆t) − y(t)
∆t
.
Für infinitesimale (marginale) Änderungen dt kann damit dy = y(t+dt) − y(t), d.h. die
resultierende Änderung des Funktionswertes bestimmt werden. Näherungsweise gilt
∆y = y ′ (t) · ∆t .
Nachteilig am Differentialbegriff ist, dass er nicht verwendet werden kann, wenn die zu
differenzierende Funktion y(t) einen diskreten Definitionsbereich (z.B. N) besitzt, d.h. wenn
eine Folge vorliegt und dadurch der Grenzübergang ∆t→0 nicht möglich ist. Ökonomische
Beispiele für solche Funktionen, die Werte nur zu bestimmten Zeitpunkten liefern, sind etwa
Konsum, Investition, Einkommen oder Aktienkurse. Da diese Größen in der Regel nur in
zeitlich konstanten Abständen gemessen werden, liegt es nahe, diese Zeitperiode auf 1 zu
normieren, d.h. ∆t=1 zu setzen, eine Vereinbarung die man auch in der Finanzmathematik
für eine Zinsperiode trifft. Das Änderungsverhalten von y(t) wird dann nicht mehr durch
den Grenzwert des Differenzenquotienten, sondern direkt durch den Differenzenquotienten
gemessen. Dieser reduziert sich wegen ∆t=1 auf den Wert
y(t+1) − y(t) ,
die wir zukünftig als Differenz von y zum Zeitpunkt t bezeichnen und mit (∆y)(t) oder
(∆y)t notieren. ∆y tritt bei Folgen damit an die Stelle der 1. Ableitung.
Abbildung 1.1 zeigt die Größe Yt zu den Zeitpunkten t = 0, 1, . . . , 10 und die zugehörigen
Veränderungen (Differenzen).
Wir wollen zunächst den Begriff der „Differenz“ genau definieren.
1
Die Verwendung der Variablen t soll andeuten, dass die Dynamik i.d.R. zeitgetrieben ist.
5
Differenzengleichungen
Differenzen
b
r
= Yt
= ∆(Yt )
b
b
b
4
b
3
b
r
r
r
2
3
bb
b
r
b
2
1
b
b
b
r
1
−1
4
r
5
6
7
8
9
r
r
r
r
10
t
Abbildung 1.1.: Werte Yt und Differenzen (∆Y )t einer Folge (Yt )∞
t=0
1.1 Definition
Sei Y : D → Rm eine Funktion mit D ⊂ R.
a) ∆Y , die 1. Differenz von Y in t mit Schrittweite h, ist definiert durch
(∆Y )t := Yt+h − Yt .
∆ heißt Differenzenoperator.
b) F Y , die 1. Verschiebung von Y in t mit Schrittweite h, ist definiert durch
(F Y )t := Yt+h .
F heißt Forwardoperator.
c) Die n-te Differenz von Y in t mit Schrittweite h bezeichnet man mit ∆n Y . Induktiv
definiert man sie als erste Differenz der (n−1)-ten Differenz, d.h. durch
(∆n Y )t := ∆(∆n−1 Y )t = (∆n−1 Y )t+h − (∆n−1 Y )t .
Analog bezeichnet F n Y die n-te Verschiebung von Y in t mit Schrittweite h, d.h.2
(F n Y )t := F (F n−1 Y )t = Y (t+n · h).
2
Wie üblich trifft man die Konventionen F 0 Y := Y bzw. ∆0 Y := Y .
6
c Klaus Schindler SS 2017
❐
Differenzenoperator
1.2 Beispiel
i) D = Z und Yt := 2t2 − 3t + 2, h ∈ Z konstant. Dann gilt
(∆Y )t = Yt+h − Yt = 4th − 3h + 2h2
(∆2 Y )t = (∆Y )t+h − (∆Y )t = 4h2
(∆3 Y )t = 0
ii) D = N0 , mit Yt := t2 , h = 1. Dann gilt
(∆Y )t = Yt+h − Yt = (t+1)2 − t2 = 2t + 1
(∆2 Y )t = (∆Y )t+h − (∆Y )t = 2
(∆3 Y )t = 0
❐
1.3 Bemerkung
i) h wird als Differenzenintervall bezeichnet. Ist h aus dem Kontext nicht ersichtlich,
sollte die Bezeichnung ∆h verwendet werden. ∆n kann genau dann gebildet werden,
wenn die Punkte t, t+h, . . . , t + n · h im Definitionsbereich D von Y liegen.
ii) Die Operatoren ∆ und F sind linear, d.h. es gilt für X, Y : D → Rm und α, β ∈ R:
∆(α · X + β · Y ) = α · ∆X + β · ∆Y
F (α · X + β · Y ) = α · F X + β · F Y
iii) Der Identitätsoperator
mit
(Y ):=Y liefert ∆=F −
bzw. F =∆ + .
iv) Ist Y differenzierbar, gilt
Y ′ (t) = lim
h→0
Y (t+h) − Y (t)
h
= lim
h→0
(∆h Y )t
,
h
woraus sich für kleine h
Y ′ (t) ≈
(∆h Y )t
h
ergibt. In diesem Sinne kann im Fall h=1 die Differenz ∆Y als diskrete Ableitung
interpretiert werden. Dies erklärt auch, warum der Differentialoperator D und der
Differenzenoperator ∆ ähnliche Eigenschaften haben.
v) Der inverse Forwardoperator F−1 wird auch als Backshift- oder Lagoperator L bezeichnet. Dieser erzeugt die vorangehenden Elemente, d.h.
Ln (Y )t = Yt−n·h
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7
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
vi) Wir beschränken uns im Folgenden auf den Fall D=N0 und h=1, da durch
t+n·h 7→ n eine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen N0 ={0, 1, 2, . . .} und der
Menge {t, t+h, t+2·h, . . .} definiert wird. Aus diesem Grund verwendet man auch die
Indexschreibweise (∆n Y )t statt (∆n Y )(t).
❐
Der folgende Satz liefert in Teil a) die Möglichkeit, Differenzen höherer Ordnung direkt
mit Hilfe der Ausgangsfolge zu berechnen, d.h. ohne den durch die rekursive Definition
bedingten Umweg über Differenzen niedrigerer Ordnung. Teil b) ist das diskrete Analogon
zum Satz von Taylor. Er gestattet die Berechnung der Ausgangsfolge aus den Differenzen.
1.4 Satz
Sei Y : N0 → Rm eine Abbildung. Dann gilt für alle k und s aus N0
k+s
a) ∆
k X
k
Yt =
(−1)k−i ∆s Yt+i
i
i=0
Yt
Yt+1
∆Yt
Yt+2
Yt+3
∆Yt+1
∆2Yt
∆Yt+2
∆2Yt+1
∆3Yt
Yt+4
∆Yt+3
∆2Yt+2
∆3Yt+1
∆4Yt
Yt+5
∆Yt+4
∆2Yt+3
∆3Yt+2
∆4Yt+1
Yt+6
∆Yt+5
∆2Yt+4
∆3Yt+3
∆4Yt+2
Für s=0 erhält man die explizite Darstellung der Differenzen ∆k Yt mit Hilfe der Funktionswerte Yt , . . . , Yt+k (siehe Graphik für k=4).
b) Yt+k+s
k X
k
∆i Yt+s
=
i=0
i
Y0
Y1
∆Y0
Y2
∆Y1
∆2 Y0
Y3
∆Y2
∆2 Y1
∆3 Y0
∆Y3
∆2 Y2
∆3 Y1
∆4 Y0
Y4
∆Y4
∆2 Y3
∆3 Y2
∆4 Y1
Y5
Y6
∆Y5
∆2 Y4
∆3 Y3
∆4 Y2
Für s=t=0 erhält man eine explizite Darstellung aller Funktionswerte Yk mit Hilfe der
Differenzen ∆0 Y0 , . . . , ∆k Y0 (siehe Graphik für k=4).
❑
8
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Differenzenoperator
Beweis:
a) Wegen der Linearität von ∆ kann o.B.d.A. s=0 angenommen werden. Mit dem binomischen Lehrsatz3
k X
k
(− )k−iF i
(F − ) =
k
i=0
i
ergibt sich dann
k
∆ Yt
∆=F −
=
k k X
X
k
k
k−i i
(F − ) Yt =
(−1) F Yt =
(−1)k−iYt+i
k
i=0
i
i=0
i
b) Der Beweis verläuft analog zu Teil a), denn es gilt
Yt+k = F k (Y )t = (∆ + )k Yt
1.5 Beispiel
i) Betrachtet man ∆3 Yt + 2∆Yt + Yt , so erhält man mit Satz 1.4 a)
∆3 Yt = Yt+3 − 3Yt+2 + 3Yt+1 − Yt
∆Yt
=
Yt+1 − Yt
und es folgt durch Einsetzen
∆3 Yt + 2∆Yt + Yt = Yt+3 − 3Yt+2 + 5Yt+1 − 2Yt
Ist umgekehrt Yt+3 − 3Yt+2 + 5Yt+1 − 2Yt vorgegeben, liefert Teil b) von Satz 1.4
Yt+3 = ∆3 Yt + 3∆2 Yt + 3∆Yt + Yt
Yt+2 =
∆2 Yt + 2∆Yt + Yt
Yt+1 =
∆Yt + Yt
und wie zu erwarten folgt durch Einsetzen
Yt+3 − 3Yt+2 + 5Yt+1 − 2Yt = ∆3 Yt + 2∆Yt + Yt .
ii) Die rekursiv definierte Fibonacci-Folge
Yt+2 = Yt+1 + Yt
kann äquivalent definiert werden durch
∆2 Yt + ∆Yt − Yt = 0 .
3
❐
Wesentlich ist dabei, dass die Operatoren F und
kommutieren!
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9
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
1.2. Differenzengleichungen
Zwar sind die Differential- und Differenzenrechnung von großem Nutzen bei der genauen Untersuchung von Funktionen bzw. Folgen, jedoch ist bei den meisten dynamischen Systemen
die explizite Funktionsvorschrift der interessierenden Größen unbekannt. Bekannt ist i.d.R.
nur das direkt zu beobachtende momentane Änderungsverhalten der Größen und deren Zusammenhang. Die Frage ist, ob aus diesem lokalen Änderungsverhalten auf die expliziten
globalen Funktionsvorschriften geschlossen werden kann. Eine Gleichung, die den Zusammenhang zwischen den interessierenden Größen und deren Änderungsverhalten beschreibt,
wird als „Differenzengleichung“ (△GL) oder „Differentialgleichung“ (DGL) bezeichnet, je
nachdem, ob die Änderungen mittels Differenzen oder Differentialen (=Ableitungen) beschrieben werden. Diese Gleichungen liefern implizite Beschreibungen, da sie nur das momentane Verhalten des betrachteten Systems angeben.
Eine der bekanntesten Gleichungen dieses Typs ist die Newtonsche DGL „Kraft = Masse
mal Beschleunigung“
F = m · y ′′ .
Hier wird bei gegebener Kraft F , die auf ein Objekt der Masse m wirkt, der zeitabhängige
Ort y(t) des betrachteten Körpers implizit über die zweite Ableitung (=Beschleunigung) y ′′
des Körpers beschrieben. Die Differenzengleichung
(∆K)t = i · K · ∆t
(1.1)
ist ein entsprechendes Beispiel aus dem Bereich der Finanzmathematik. Gleichung (1.1) beschreibt die momentane Wertänderung eines Kapitals in Abhängigkeit der Zeit t.
In der ökonomischen Theorie kommen △GL vor allem zum Einsatz, um die zeitliche Entwicklung ökonomischer Größen zu analysieren. Konjunktur und Wachstum werden häufig in
Form von △GLen modelliert. Hierbei geht man davon aus, dass z.B. das Bruttoinlandsprodukt sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt,
in dem alle Kapazitäten ausgelastet sind.
In der Zeitreihenanalyse lassen sich mit △GLen die Werte einer Zeitreihe, die rekursiv zusammenhängen, berechnen.
Vor einer genauen Definition sollen zwei ausführlichere ökonomische Beispiele den Begriff
der △GL erläutern. Sie zeigen, dass man in natürlicher Weise relativ schnell und einfach im
Bereich der Ökonomie zur Beschreibung mittels △GLen gelangt.
1.6 Beispiel
i) Das grundlegende dynamische Verhalten in der Ökonomie ist das Verhalten von Angebot S (Supply) und Nachfrage D (Demand) unter Konkurrenz. Es bezeichne S(Pt ) bzw.
D(Pt ) das Marktangebot bzw. die Marktnachfrage bei einem Preis Pt zum Zeitpunkt
t. Wie üblich nehmen wir an, dass Nachfrage und Angebot auf Preisveränderungen
10
c Klaus Schindler SS 2017
Beispiele
reagieren und dass S bzw. D in Abhängigkeit von P monoton wachsend bzw. fallend
sind. Wegen der Zeitverzögerung in der Produktion gehen wir außerdem davon aus,
dass die Angebotsreaktion Q auf die veränderte Nachfrage erst eine Periode später
einsetzt, d.h.
Qt+1 = S(Pt ) und Qt = D(Pt ) .
Die Bedingung „Angebot = Nachfrage“ führt dann zu folgender Dynamik:
D(Pt+1 ) = Qt+1 = S(Pt )
Nimmt man vereinfachend an, dass D und S affin linear (Geraden) sind, d.h.
D(P ) = a + b · P
und S(P ) = c + d · P
(b < 0, d > 0),
so erhält man die Dynamik
a + b·Pt+1 = c + d·Pt ⇐⇒ Pt+1 =
c−a
b
+ db ·Pt ⇐⇒ ∆Pt =
c−a
b
+ ( db −1)·Pt .
Wie wir später noch sehen werden, lautet die allgemeine Lösung mit der abkürzenden
c−a
:
Bezeichnung P̄ :=
b−d
Pt = (P0 − P̄ ) ·
d t
b
+ P̄ .
P̄ ist der statische Gleichgewichtspreis, denn er entspricht der Lösung des statischen
d.h. zeitunabhängigen Angebots- und Nachfragemodells
D(P ) = a + b · P, S(P ) = c + d · P, D = S .
Im Fall d > |b| divergiert die Dynamik vom Gleichgewichtspreis P̄ weg.
Preis P
An
D4
P2
D2
P0
S
S3
S1
P̄
P1
P3
t
bo
ge
S2
D1
S4
D3
ac
N
hf
g
ra
e
D
Menge Q
Q4
Q2
Q1
c Klaus Schindler SS 2017
Q3
11
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
Im Fall d < |b| wird die Preisdynamik graphisch durch eine „Rechteckspirale“ beschrieben, bei der der Preis gegen P̄ konvergiert.
Preis P
P0
S1
P2
S3
D2
D4
P̄
P3
S4
P1
g
An
o
eb
tS
D3
D1
S2
Na
ch
frag
eD
Menge Q
Q2
Q4
Q3
Q1
Die resultierenden Graphiken erklären auch die in elementarökonomischen Texten häufig anzutreffenden Begriffe Spinnweb-Modell bzw. Cobweb-Diagramm 4.
ii) Bezeichnet man in Periode t (t ∈ N0 ) mit
Yt das Volkseinkommen
St die (Netto-)Sparsumme
It die geplante (Netto-)Investition,
so geht das Wachstumsmodell von Harrod für das Volkseinkommen Y von folgenden
Annahmen aus:
1.) Die Sparrate s ist in jeder Periode konstant, d.h.5
St = s · Y t .
(1.2)
2.) Es liegt ein konstanter Akzelerator g > 0 vor, d.h.
It = g · (Yt − Yt−1 ) .
(1.3)
Im Gleichgewicht muss die gewünschte Investition It gleich der tatsächlichen Investition St sein, d.h. es gilt
It = St
4
5
(1.4)
Die bekannteste empirische Bestätigung für das Spinnweb-Modell ist der Schweinezyklus.
Eine übliche Modifikation arbeitet mit einem time-lag: St = s · Yt−1
12
c Klaus Schindler SS 2017
Beispiele
Einsetzen von Gleichungen (1.2) und (1.3) in Gleichung (1.4) liefert
g · (Yt − Yt−1 ) = s · Yt
(t > 1)
oder äquivalent
g · (Yt+1 − Yt ) = s · Yt+1
(t > 0)
Wegen Yt+1 = ∆Yt + Yt folgt die äquivalente △GL
(g−s) · ∆Yt − s · Yt = 0 (t > 0) .
❐
1.7 Definition
Sei F : N0 ×Rm+1 → R eine Funktion. Eine Gleichung der Form
F (t, Yt , ∆Yt , . . . , ∆m Yt ) = 0 ,
(1.5)
die eine Beziehung zwischen einer unbekannten Funktion y : N0 → R und ihren Differenzen
∆Yt , . . . , ∆m Yt herstellt, heißt Differenzengleichung der Ordnung m.
Eine Funktion ϕ : N0 → R heißt Lösung der △GL, wenn ϕt , ∆ϕt , . . . , ∆m ϕt die △GL für alle
t ∈ N0 erfüllen, d.h. wenn gilt
∀t∈N0 : F (t, ϕt , ∆ϕt , . . . , ∆m ϕt ) = 0 .
❐
1.8 Bemerkung
Kann die △GL (1.5) nach der höchsten auftretenden Differenz aufgelöst werden6 , d.h. existiert eine geeignete Funktion f , so dass Gleichung (1.5) in der Form
∆m Yt = f (t, Yt , ∆Yt , . . . , ∆m−1 Yt ) ,
darstellbar ist, spricht man von einer expliziten, andernfalls von einer impliziten △GL.
❐
1.9 Beispiel
Die Gleichung
2
3 4 5
∆ Y (t) + ∆Y (t) + Y (t) − t = 0
6
ist eine △GL der Ordnung 2. Die größte Potenz, in der ∆2 Y auftritt, wird als Grad der
△GL bezeichnet. Hier liegt also eine △GL der Ordnung 2, vom Grad 3 vor. Diese △GL ist
äquivalent zur expliziten △GL
q
4 5
3
2
∆ Y (t) = t − ∆Y (t) − Y (t)
❐
Diese Eigenschaft besagt, dass F nach der letzten Variablen auflösbar ist. Mit Hilfe des impliziten Funktionensatzes kann diese Auflösbarkeit zumindest lokal in kleinen Umgebungen erreicht werden.
c Klaus Schindler SS 2017
13
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
1.10 Bemerkung
Satz 1.4 gestattet, jede △GL F (t, Yt , ∆Yt , . . . , ∆m Yt ) = 0 in die rekursive Form
f(t, Yt+m , Yt+m−1 , . . . , Yt ) = 0
F
umzuwandeln (und umgekehrt). Daher gibt die Ordnung m einer △GL an, dass der Wert
der Größe Y zum Zeitpunkt t durch die m vorangehenden Werte Yt−1 , Yt−2 , . . . , Yt−m von
Y beeinflusst wird. Durch eine △GL wird daher die Folge Yt t rekursiv definiert, d.h., dass
jedes Folgenglied eine Funktion der vorangehenden Folgenglieder ist. Aus diesem Grund
wird eine △GL auch als Rekursionsgleichung bezeichnet. Für die △GL
∆3 Yt + 2∆Yt + Yt = 0
aus Beispiel 1.5 i) lautet die rekursive Form
Yt+3 − 3Yt+2 + 5Yt+1 − 2Yt = 0 .
Mit dem Forwardoperator F ergibt sich für die △GL eine übersichtlichere Darstellung:
(F 3 − 3F 2 + 5F − 2)Yt = 0
❐
1.11 Definition
Sei F : D×(Rn )m+1 → Rn eine Rn -wertige Abbildung (D ⊂ R). Eine Gleichung
F t, Y , ∆Y , . . . , ∆m Y = 0 ,
(1.6)
die eine Beziehung zwischen den Werten einer vektorwertigen Abbildung Y : D → Rn , den
Argumenten t∈D und einer oder mehreren Differenzen ∆Y (t), . . . , ∆m Y (t) herstellt, heißt
implizites Differenzengleichungssystem der Ordnung m über der Menge D. Jede Abbildung
Φ : D → Rn , für die die Differenzen ∆Φ(t), . . . , ∆m Φ(t) existieren und die das △GLs-System
(1.6) für alle t ∈ D erfüllt, d.h. mit
F (t, Φ(t), ∆Φ(t), . . . , ∆m Φ(t)) = 0 ,
heißt eine Lösung des Differenzengleichungssystems.
Existiert eine Funktion f : D×(Rn )m → Rn , so dass (1.6) äquivalent ist zu
∆m Y (t) = f (t, Y (t), ∆Y (t), . . . , ∆m−1 Y (t)) ,
nennt man (1.6) ein explizites Differenzengleichungssystem der Ordnung m.
❐
1.12 Beispiel
Das folgende Gleichungssystem ist ein Beispiel für ein explizites Differenzengleichungssystem
der Ordnung 1 bestehend aus n=3 Gleichungen.
∆φ1 (t) = tφ2 (t) + φ3 (t) − 2
∆φ2 (t) = sin(t)φ1 (t) + φ3 (t) + 5
∆φ3 (t) = ln(1 + t)φ1 (t) + φ2 (t) + φ3 (t) + t2
14
c Klaus Schindler SS 2017
Lösung von Differenzengleichungen
In Vektorschreibweise lautet es mit Φ(t) := (φ1 (t), φ2 (t), φ3(t))T
∆Φ(t) =




0
t 1
−2




0 1  · Φ(t) +  5 
 sin(t)
ln(1 + t) 1 1
t2
❐
1.13 Lemma
Jede explizite △GL m-ter Ordnung lässt sich in ein äquivalentes △GLs-System erster Ordnung überführen. Genauer gilt: Die Lösungen der △GL
∆m Y = f t, Y, ∆Y, . . . , ∆m−1 Y
(1.7)
entsprechen bijektiv die Lösungen des folgenden △GLs-Systems erster Ordnung
∆φ1 = φ2
∆φ2 = φ3
..
.. ..
.
. .
(1.8)
∆φm−1 = φm
∆φm = f (t, φ1 , φ2, . . . , φm )
❑
Beweis:
Ist ϕ : D → R eine Lösung der △GL (1.7), substituiere Φj :=∆j−1 ϕ für j = 1, . . . , m, d.h.
Φ(t) := (ϕ(t), ∆ϕ(t), . . . , ∆m−1 ϕ(t))T , .
Dann ist Φ eine Lösung von (1.8), denn für j = 1, . . . , n−1 gilt nach Definition von Φ
h
i
∆Φj (t) = ∆ ∆j−1 ϕ(t) = ∆j ϕ(t) = Φj+1(t)
und
h
i
(1.7)
∆Φm (t) = ∆ ∆m−1 ϕ(t) = ∆m ϕ(t) = f (t, ϕ(t), ∆ϕ(t), . . . , ∆m−1 ϕ(t)) .
Ist umgekehrt Φ(t) = (φ1 (t), . . . , φm (t))T eine Lösung des △GLs-Systems (1.8), so setze man
ϕ:=φ1 . Aus der speziellen Gestalt von (1.8) ergibt sich sofort, dass ∆ϕ, . . . , ∆m ϕ existieren
und dass ∆j−1 ϕ = φj für j = 1, . . . , m gilt. Die letzte Zeile von (1.8) liefert:
∆m ϕ(t) = ∆ ∆m−1 ϕ(t) = ∆φm (t)
(1.8)
=
f (t, φ1 (t), φ2 (t), . . . , φm (t))
=
f (t, ϕ(t), ∆ϕ(t), . . . , ∆m−1 ϕ(t))
c Klaus Schindler SS 2017
15
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
1.14 Bemerkung
Der letzte Satz gilt analog für △GLen vektorwertiger Abbildungen Y : D → Rn . Das
äquivalente △GLs-System besteht dann allerdings aus m · n Gleichungen.
❐
1.15 Beispiel
Gegeben sei die homogene lineare △GL der Ordnung 3
Yt+3 − 6Yt+2 + 11Yt+1 − 6Yt = 0 .
Diese ist nach Satz 1.4 äquivalent zu:
(∗) ∆3 Yt − 3∆2 Yt + 2∆Yt = 0
Die Substitution
φ1 := Y
φ2 := ∆Y = ∆φ1
φ3 := ∆2 Y = ∆φ2
liefert das äquivalente lineare △GL-System der Ordnung 1
∆φ1 = φ2
∆φ2 = φ3
∆φ3 = −2φ2 + 3φ3
Man beachte, dass die dritte Gleichung der
△GL (∗) entspricht!



 ursprünglichen
φ1
Y
φ3
∆2 Y



Mit der vektorwertigen Funktion Φ := 
 φ2  =  ∆Y  lautet das Gleichungssystem
∆Φt =

0

 0
0

1 0

0 1  · Φt
−2 3
oder in rekursiver Form
Φt+1 =

0

 0
0

1 0

0 1  · Φt
−2 3

1 0

+ 0 1
0 0

0

0  · Φt
1
=

1

 0
0
|

1 0

1 1 ·
−2 4
{z
A
Φt
}
Die Theorie der △GLen und der DGLen befasst sich mit folgenden Fragen:
(1) Man gebe Kriterien für die Existenz von Lösungen.
(2) Man verschaffe sich einen Überblick über die Lösungsgesamtheit einer △GL.
(3) Man gebe Bedingungen an, die die Eindeutigkeit der Lösung garantieren.
16
c Klaus Schindler SS 2017
❐
Lineare Differenzengleichungen
Wie schon bei „normalen“ Gleichungen nehmen die numerischen Probleme schnell zu,
wenn die △GL „kompliziert“ ist, d.h. wenn die Funktion, die die △GL beschreibt, „kompliziert“ ist. Daher wollen wir uns hier auf lineare △GLen einschränken und uns überlegen, wie
dies zur Lösung nichtlinearer △GLen verwendet werden kann7 .
1.16 Definition
Ein △GLs-System F t, Y , ∆Y , . . . , ∆m Y = 0 der Ordnung m heißt linear, wenn F in
den Variablen Y , ∆Y , . . . , ∆m Y linear ist. Das △GLs-System lässt sich dann in die folgende
Form bringen:
Am (t) · ∆m Y + Am−1 (t) · ∆m−1 Y + . . . + A0 (t) · Y = b(t)
(1.9)
Y und b seien dabei Rn -wertige Abbildungen auf D und Aj (t) quadratische (n×n)-Matrizen,
deren Koeffizienten Funktionen von t sind. Sind die Aj konstant, d.h. unabhängig von t, so
heißt das △GLs-System (1.9) ein lineares △GLs-System mit konstanten Koeffizienten. Das
System (1.9) heißt homogen, falls b ≡ 0 gilt, andernfalls inhomogen.
❐
1.17 Beispiel
i) Das △GLs-System aus Beispiel 1.12 stellt ein lineares △GLs-System der Ordnung 1
mit nichtkonstanten Koeffizienten dar.
ii) Die △GL aus Beispiel 1.15 ist eine lineare △GL der Ordnung 3 mit konstanten Koeffizienten.
iii) Bezeichnet man im Jahr t (t ∈ N0 ) mit
Yt das Volkseinkommen
Gt die Regierungsausgaben
Ct den Konsum
It die Investition,
so hat P. Samuelson in einem Wachstumsmodell vorgeschlagen8 , den jährlichen Konsum proportional zum Volkseinkommen des vergangenen Jahres und die jährliche Investition proportional zum Wachstum des Konsums im vergangenen Jahr zu betrachten.
Diese Annahmen führen zu folgenden Gleichungen (b, ρ konstant):
Yt = Ct + It + Gt
Ct+1 = b · Yt
It+1 = ρ · [Ct+1 − Ct ]
7
8
Erinnert sei an das Newtonverfahren, das die Linearisierung eines nichtlinearen Nullstellenproblems ist.
“Interactions between the multiplier analysis and the principle of acceleration“, Review of Economic Statistics 21 (1939), 75-78
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17
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
Fasst man die erste und zweite Gleichung zusammen, erhält man
Ct+1 = b · [Ct + It + Gt ]
It+1 = ρ · [Ct+1 − Ct ]
In vektorieller Schreibweise lautet das △GLs-System
1 0
−ρ 1
!
Ct+1
It+1
!
b
−ρ
=
b
0
!
Ct
It
!
bGt
0
+
!
Stellt man das △GLs-System mittels Differenzen dar, erhält man
1 0
−ρ 1
!
·∆
Ct
It
!
1 − b −b
0
1
+
!
Ct
It
!
=
bGt
0
!
❐
1.18 Bemerkung
i) Nach Lemma 1.13 ist jede explizite lineare △GL der Form
∆m Yt + am−1 (t)∆m−1 Yt + . . . + a1 (t)∆Yt + a0 (t)Yt = b(t)
mit den reellwertigen Funktionen a0 , . . . , am−1 , b äquivalent zu dem folgenden linearen
△GLs-System erster Ordnung












∆φ1
...
..
.
..
.
∆φm−1
∆φm













=










0
1
0
0
...
0
0
1
0
...
0
..
.
0
..
.
0
..
.
1
..
.
0
−a0
...
−a1
...
..
.
... ...
0
. . . . . . −am−2
0
..
.
..
.
0
1
−am−1
  φ
1
..
 
 
.
 
..
 

 
.
·
 
..
 
.
 
  φ
m−1
φm


 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
 
0
..
.
..
.
..
.
0
b












ii) Mittels Satz 1.4 kann das lineare △GLs-System
Am (t) · ∆m Y t + Am−1 (t) · ∆m−1 Y t + . . . + A0 (t) · Y t = b(t)
mit geeigneten (n×n)-Matrizen Bj äquivalent in eine Rekursionsgleichung umgeformt
werden zu
Am (t) · Y t+m + Bm−1 (t) · Y t+m−1 + . . . + B0 (t) · Y t = b(t)
18
c Klaus Schindler SS 2017
❐
Lineare Differenzengleichungen
1.19 Satz
Sind m aufeinanderfolgende Funktionswerte Ys+1 , Ys+2, . . . , Ys+m als Anfangsbedingungen
vorgegeben, so besitzt die lineare △GL der Ordnung m
am (t) · Yt+m + am−1 (t) · Yt+m−1 + . . . + a0 (t) · Yt = b(t)
(1.10)
eine eindeutige Lösung, wenn a0 (t) 6= 0 und am (t) 6= 0 für alle t gilt.
❑
Beweis:
Löst man Gleichung (1.10) nach Yt+m auf, erhält man für alle t
Yt+m = −
h m−1
X
1
·
am (t)
j=0
aj (t)Yt+j − b(t)
i
Wählt man in dieser Gleichung t = s+1, lässt sich der Wert von Ys+1+m mit Hilfe der
vorgegebenen Werte Ys+1 , Ys+2 , . . . , Ys+m berechnen. Induktiv ergeben sich entsprechend
die Werte Ys+m+1 , Ys+m+2 , . . ., indem man t = s+2, t = s+3, . . . wählt.
Löst man Gleichung (1.10) nach Yt auf, lassen sich analog die Werte Ys , . . . , Y0 mit Hilfe
der vorgegebenen Werte Ys+1 , . . . , Ys+m berechnen. Man erhält
Yt =
m
hX
1
·
−
a0 (t)
j=1
aj (t)Yt+j − b(t)
i
woraus sich die Werte Ys , . . . , Y0 ergeben, wenn man t = s, t = s−1, t = s−2, . . . setzt.
1.20 Bemerkung
i) Die Differenzengleichung
Yt+2 = Yt
mit Y0 = Y2 = 1
mit den beiden sogar linear unabhängigen Lösungen
Y = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .)
und Ye = (1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .)
zeigt, dass in Satz 1.19 nicht auf die Forderung verzichtet werden kann, dass aufeinanderfolgende Anfangswerte vorgegeben sind.
ii) Fordert man analog die Invertierbarkeit der (n×n)-Matrizen Am (t) und A0 (t), gilt
Satz 1.19 in gleicher Form und gleichem Beweis für lineare △GLs-Systeme der Form
Am (t) · Y t+m + Am−1 (t) · Y t+m−1 + . . . + A0 (t) · Y t = b(t) ,
❐
Der folgende Satz zeigt, dass sich der Lösungsraum linearer △GLs-Systeme wie der Lösungsraum linearer Gleichungssysteme verhält und berechnen lässt.
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19
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
1.21 Satz
Gegeben sei die lineare △GL der Ordnung m
am (t) · Yt+m + am−1 (t) · Yt+m−1 + . . . + a0 (t) · Yt = b(t) ,
(1.11)
mit a0 (t)6=0 und am (t)6=0 für alle t. Bezeichnet Lh bzw. L die Lösungsmenge der zugehörigen
homogenen bzw. inhomogenen Gleichung, so gilt:
a) Lh ist ein Vektorraum der Dimension m. Eine Basis (Fundamentalsystem) von Lh ist
gegeben durch die Funktionen ϕ(1) , . . . , ϕ(m) . Hierbei bezeichne ϕ(j) die nach Satz 1.19
eindeutige Lösung der homogenen △GL (1.11) mit den Anfangsbedingungen
(j)
(j)
j-te Komp.
↓
ϕ (1), . . . , ϕ (m) = ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
b) Ist φ eine spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen △GL, so gilt
L = {φ} + Lh := {φ + ϕ | ϕ∈Lh }
❑
Beweis:
a) Zur Reduzierung des Schreibaufwandes definieren wir
Λ(Yt ) := am (t) · Yt+m + am−1 (t) · Yt+m−1 + . . . + a0 (t) · Yt
Lh ist nichtleer, da der Nullvektor (Nullfunktion) in Lh liegt. Sind nun ϕ(1) , ϕ(2) ∈ Lh
zwei homogene Lösungen und α, β reelle Zahlen, so gilt
Λ(α ·
(1)
ϕt
+β·
(2)
ϕt )
=
m
X
j=0
= α·
(1)
(2) aj (t) · α · ϕt+j + β · ϕt+j
m
X
j=0
aj (t) ·
(1) = α · Λ ϕt
(1)
ϕt+j
+β·
j=0
(2)
aj (t) · ϕt+j
(2) + β · Λ ϕt
= α·0+β·0 = 0
m
X
Damit liegt auch α · ϕ(1) + β · ϕ(2) in Lh , d.h. Lh ist ein Vektorraum.
Wir definieren nun die Abbildung ℑ : Lh → Rm durch9
ℑ(ϕ) :=
9
ϕ1 , . . . , ϕm = ϕ(1), . . . , ϕ(m)
ℑ ordnet jeder Lösung der △GL die ersten m Folgenwerte zu.
20
c Klaus Schindler SS 2017
Lineare Differenzengleichungen
und zeigen, dass ℑ eine bijektive, lineare Abbildung, d.h. ein Vektorraumisomorphismus ist. Da die Linearität von ℑ klar ist, bleibt nur die Bijektivität zu zeigen.
ℑ ist surjektiv, da nach Satz 1.19 zu jedem m-Tupel (x1 , . . . , xm ) reeller Zahlen eine
Lösung ϕ der homogenen △GL (1.11) existiert, mit ϕj = xj , d.h. mit der Eigenschaft
ℑ(ϕ) = (x1 , . . . , xm ). Da diese Lösung ϕ nach Satz 1.19 eindeutig bestimmt ist, muss
ℑ außerdem auch injektiv sein.
Aus der linearen Unabhängigkeit der Einheitsvektoren ej (j=1, . . . , m) und da bijektive lineare Abbildungen die lineare Unabhängigkeit erhalten, folgt damit insbesondere
die lineare Unabhängigkeit der homogenen Lösungen ϕ(j) := ℑ−1 (ej ).
b) Sei φ∈L im folgenden eine fest vorgegebene spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen △GL.
Ist ϕ ∈ Lh eine beliebige homogene Lösung, so gilt φ+ϕ ∈ L, wegen
Λ(φ + ϕ)
Λ linear
=
Λ(φ) + Λ(ϕ) = b + 0 = b
Daher ist {φ} + Lh ⊂ L.
Ist umgekehrt φ̃ ∈ L eine beliebige inhomogene Lösung, so ist φ̃ − φ eine homogene
Lösung, wegen
Λ(φ̃ − φ)
Λ linear
=
Λ(φ̃) − Λ(φ) = b − b = 0
Damit gilt φ̃ − φ ∈ Lh bzw. φ̃ ∈ {φ} + Lh . Dies bedeutet L ⊂ {φ} + Lh .
1.22 Bemerkung
Satz 1.21 gilt in gleicher Form und mit dem gleichen Beweis für △GLs-Systeme der Form
Am (t) · Yt+m + Am−1 (t) · Yt+m−1 + . . . + A0 (t) · Yt = b(t) .
Der einzige Unterschied ist, dass die Dimension des homogenen Lösungsraumes n · m ist. ❐
Satz 1.21 führt zu folgender Vorgehensweise bei der Lösung linearer △GLs-Systeme:
1. Schritt: Bestimme eine Fundamentalbasis ϕ(1) , . . . , ϕ(m) des homogenen Lösungsraumes
2. Schritt: Bestimme eine partikuläre Lösung φ des inhomogenen △GLs-Systems.
3. Schritt: Lh ={φ}+Lh , d.h. jede Lösung des inhomogenen △GLs-Systems hat die Form
φ + λ1 · ϕ(1) + . . . + λm · ϕ(m)
4. Schritt: Bestimme λ1 , . . . , λm durch die gegebenen Anfangsbedingungen.
c Klaus Schindler SS 2017
21
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
1.23 Satz (Lösung linearer Differenzengleichungen 1. Ordnung)
Gegeben sei die lineare △GL erster Ordnung
Yt+1 − at ·Yt = bt ⇐⇒ F − at Yt = bt ,
(1.12)
wobei at und bt gegeben sind, mit at 6=0 für alle t. Dann gilt:
a) Der homogene Lösungsraum ist Lh = {ϕ·c | c∈R}, mit ϕ : N0 → R definiert durch10
ϕt :=
t−1
Y
t−1
P
aℓ = eℓ=0
ln(aℓ )
ℓ=0
b) Eine partikuläre Lösung φ der inhomogenen △GL ist gegeben durch (ϕ wie in a))
φ t = ϕt ·
t−1
X
bj
j=0
ϕj+1
=
t−1
X
j=0
bj ·
t−1
Y
aℓ
ℓ=j+1
c) Sind at =a und bt =b konstant, so gilt speziell (mit dem Rentenendwertfaktor st (a))
t
ϕt = a
und φt = b ·
t−1
X
j=0
aj = b · st (a)
Jede Lösung Y ∈L hat in diesem Fall folgendes Aussehen (c konstant):
Yt = b · st (a) + c · at
❑
Beweis:
a) Wir bestimmen die nach Satz 1.19 eindeutig bestimmte Lösung ϕ der homogenen △G
L mit ϕ0 =1. Da die homogene △GL äquivalent ist zu Yt+1 =at ·Yt ergibt sich ϕt+1 =at ·ϕt
und mit ϕ0 =1 folgt daher induktiv
ϕt =
t−1
Y
aℓ .
ℓ=0
Da nach Satz 1.21 außerdem dim(Lh )=1 gilt, ist Teil a) bewiesen.
b) Zur Bestimmung einer partikulären Lösung φ der inhomogenen △GL verwenden wir die
Methode der „Variation der Konstanten“. Hierbei versucht man φ als (nichtkonstantes)
10
Die Exponentialdarstellung gilt nur im Fall aℓ >0. Man beachte hierbei die Konventionen
P
i∈∅
22
c Klaus Schindler SS 2017
= 0 und
Q
i∈∅
= 1.
Lineare Differenzengleichungen
Vielfaches der homogenen Lösung ϕ zu bestimmen, d.h. man versucht eine von t
abhängige Größe c = c(t) zu finden mit der Eigenschaft
φt := c(t) · ϕt ,
Setzt man dieses φ in die △GL (1.12) ein, erhält man für alle s die Forderung
!
c(s+1) · ϕs+1 − as · c(s) · ϕs = bs .
Da ϕ eine Lösung der homogenen △GL ist, gilt as · ϕs = ϕs+1 . Einsetzen liefert eine
△GL für c, nämlich:
c(s+1) − c(s) =
bs
ϕs+1
Bildet man auf beiden Seiten dieser Gleichung die Summe von 0 bis t−1, heben sich
auf der linken Seite fast alle Summanden weg und man erhält
c(t) − c(0) =
t−1
X
bs
s=0
ϕs+1
Da es für unsere Zwecke genügt, eine spezielle Lösung zu finden, können wir c(0)
beliebig vorgeben. Am einfachsten ist die Wahl c(0) := 0
c) Einfaches Einsetzen in Teil a) und b).
1.24 Beispiel
i) Nach Satz 1.23 ist Yt = C · 2t die allgemeine Lösung der △GL
∆Yt = Yt ⇐⇒ Yt+1 = 2 · Yt
ii) Bei der linearen Abschreibung ist der Buchwert Yt zu Beginn des Jahres t so zu bestimmen, dass folgende Eigenschaften erfüllt sind (t=0, 1, . . . , n):
Yt − Yt+1 = d = konstant
Y0
= K0 (Anfangswert)
Yn
= Kn (vorgegebener Restwert, Randbedingung)
Die Abschreibungsfolge Yt ist also charakterisiert durch die △GL
Yt+1 − Yt = −d ⇐⇒ ∆Yt = −d.
c Klaus Schindler SS 2017
23
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
Anwendung des letzten Satzes 1.23 mit at =1 und bt =−d liefert als homogene Lösung
ϕt = at = 1 und als inhomogene Lösung φt = b · t = −d · t. Die allgemeine Lösung Y
hat damit die Form
Yt = φt + λϕt = −d · t + λ
Wegen Y0 =K0 muss λ=K0 gelten. Die Randbedingung Yn =Kn führt schließlich zu
d=
K0 − Kn
n
.
Die gesuchte Abschreibungsformel lautet also
Y t = K0 −
K0 − Kn
n
·t
iii) Leiht man sich einen Betrag B zu einem Jahreszinssatz i (jährlicher Zinszuschlag), so
genügt der Wert St der Schuld in Periode t der homogenen11 △GL
St+1 = (1 + i) · St , S0 = B
Zahlt der Schuldner jährlich den gleichen Betrag A zurück, genügt St der △GL
St+1 = (1 + i) · St − A, S0 = B .
Satz 1.23 c) liefert mit at =q=1+i, bt =−A die homogene Lösung ϕt =q t und die spezielle
Lösung φt =−A·st (q). Die allgemeine Lösung St lautet daher
St = λ · ϕt + φt = λ · q t − A · st (q) .
Einsetzen in die Anfangsbedingung S0 =B liefert λ=B wegen s0 (q)=0 und daher
St = B · q t − A · st (q) .
Soll die Schuld in N Jahren getilgt werden, muss A so gewählt werden, dass zusätzlich
SN =0 gilt. Dies liefert
0 = B · q N − A · sN (q) .
Man erhält die bekannte Tilgungsformel
A=
11
S0
sN (q)·q −N
=
S0
RBF
Interessanterweise gilt ∆ ln(St ) = ln(q).
24
c Klaus Schindler SS 2017
Lineare Differenzengleichungen
iv) Das Wachstumsmodell von Harrod (ohne time-lag) liefert nach Beispiel 1.6 i) die
homogene △GL erster Ordnung:
Yt+1 −
g
Yt
g−s
=0
g
Anwendung von Satz 1.23 mit a(t) =
und b(t) = 0 liefert als homogene Lösung
g−s
g t
. Bei Vorgabe eines Startwertes Y0 lautet die gesuchte Lösung daher
ϕt =
g−s
Yt = Y0 ·
g t
g−s
s t
g−s
= Y0 · 1 +
❐
Satz 1.23 gilt mit den entsprechenden Anpassungen auch für lineare △GLs-Systeme. Da
der im Prinzip analoge Beweis wegen der Matrizendarstellung etwas anspruchsvoller ist, soll
er an dieser Stelle gesondert formuliert werden.
1.25 Satz (Lösung linearer Differenzengleichungssysteme 1. Ordnung)
Gegeben sei das lineare △GLs-System erster Ordnung
Yt+1 − At · Yt = bt ⇐⇒
F − At Yt = bt ,
(1.13)
wobei Y , b : D → Rn vektorwertige Abbildungen und A(t) eine für jedes t invertierbare
(n×n)-Matrix sei. Dann gilt:
a) Für den homogenen Lösungsraum gilt Lh = {Φ · c | c ∈ Rn }, wobei Φ : N0 → Rn×n
definiert ist durch12
Φt := At−1 · At−2 . . .A1 · A0 .
(j)
Die Spaltenvektoren der Matrix Φt , d.h. die Funktionen φt = Φt · ej , sind daher ein
Fundamentalsystem des n-dimensionalen homogenen Lösungsraumes Lh .
b) Eine partikuläre Lösung φ des inhomogenen △GLs-System ist gegeben durch
φt = Φt ·
t−1
X
j=0
Φ−1
j+1 · bj .
c) Sind At =A und bt =b konstant, so gilt speziell13
Φt = A t
und
φt =
t−1
X
j=0
12
13
Aj · b = (At − ) · (A − )−1 · b
❑
Man beachte, dass i.A. At−1 · · · A0 6=A0 · · · At−1 gilt, da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.
Falls A− invertierbar ist.
c Klaus Schindler SS 2017
25
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
Beweis:
a) Offensichtlich gilt Φt+1 − At · Φt = Φt+1 − Φt+1 = 0 und daher
(j)
(j)
φt+1 − At · φt = Φt+1 − At · Φt · ej = 0 · ej = 0
b) Wir verwenden wieder die Methode der Variation der Konstanten, d.h. wir nehmen
an, dass eine partikuläre Lösung φ ein Vielfaches der homogenen Lösung ist14 , d.h.
φt = Φt · c(t) .
Setzt man φs in Gleichung (1.13) ein, erhält man wegen As · Φs = Φs+1
!
Φs+1 · c(s+1) − c(s) = bs .
Als Produkt invertierbarer Matrizen ist Φs+1 invertierbar und es folgt
!
c(s+1) − c(s) = Φ−1
s+1 · bs .
Summiert man auf beiden Seiten von s=0 bis t−1, folgt die Behauptung, wenn man
beachtet, dass c(0) = 0 gewählt werden kann.
c) Ergibt sich direkt aus Teil a) und b) durch Einsetzen.
1.26 Bemerkung
Da jede lineare △GL m-ter Ordnung gemäß Lemma 1.13 äquivalent zu einem △GLs-System
erster Ordnung ist, bietet Satz 1.25 eine scheinbar einfache Lösungsmöglichkeit für △GLen
der Ordnung m. Die Schwierigkeit liegt jedoch in der Berechnung der Matrizenprodukte Φt .
Selbst wenn die Matrizen A(t) für alle t konstant A sind, können die Potenzen Φt =At nur
in Ausnahmefällen (z.B. wenn A eine Diagonalmatrix ist) explizit berechnet werden (siehe
hierzu auch Bemerkung 1.29). In diesem Fall bietet sich aber eine alternative Lösungsmöglichkeit für das homogene △GLs-System Y t+1 − A · Y t = 0 an. Wählt man nämlich in Satz
1.25 speziell c := v, wobei v ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ ist15 , so hat
die homogene Lösung Φt · v ein besonders einfaches Aussehen:
Φt · v = At · v = λAt−1 · v = . . . = λt · v
Die Hauptschwierigkeit ist in diesem Fall die Berechnung der Eigenwerte (siehe hierzu auch
Bemerkung 1.29)
❐
14
15
Direktes Einsetzen führt zwar schneller zum Ziel, erklärt jedoch nicht, wie man die Lösung findet.
Dies bedeutet A · v = λ · v.
26
c Klaus Schindler SS 2017
Lineare Differenzengleichungen
Als nächstes untersuchen wir lineare △GLen der Ordnung m > 2. Der Einfachheit halber
beschränken wir uns auf △GLen mit konstanten Koeffizienten, d.h. auf Gleichungen
Yt+m + am−1 · Yt+m−1 + . . . + a1 · Yt+1 + a0 · Yt = b ,
(1.14)
mit reellen Zahlen a0 , . . . , am−1 , b. Stellt man (1.14) mit Hilfe des Forward-Operators F dar,
(F m + am−1 F m−1 + . . . + a1 F + a0 )Yt = b ,
(1.15)
wird die Idee zur Bestimmung der homogenen Lösungen der △GL schnell klar. Ist nämlich
x̃ eine Nullstelle der zu (1.14) bzw. (1.15) gehörenden charakteristischen Gleichung 16
xm + am−1 · xm−1 + . . . + a1 · x + a0 = 0 ,
so kann in (1.15) der Term F − x̃ als Faktor abgespalten werden, so dass jede Lösung der
△GL (F − x̃)Yt = 0 auch eine homogene Lösung der vorgegebenen △GL (1.15) ist. Hierdurch
wird das ursprüngliche Problem m-ter Ordnung auf die Lösung von △GLen erster Ordnung
zurückgeführt. Neben der Berechnung der Nullstellen bleiben dann noch zwei Probleme
zu klären. Erstens, was ist zu tun bei mehrfachen Nullstellen? Zweitens, liefern komplexe
Nullstellen reelle Lösungen?
1.27 Satz (Lösung homogener linearer △GLen mit konstanten Koeffizienten)
Sei z eine Nullstelle der Vielfachheit k der charakteristischen Gleichung der homogenen
linearen △GL mit konstanten Koeffizienten
Yt+m + am−1 · Yt+m−1 + . . . + a1 · Yt+1 + a0 · Yt = 0
(1.16)
Dann ist für jedes Polynom P mit grad(P ) 6 k−1 die Funktion ϕt :=P (t) · z t ebenfalls eine
Lösung der △GL (1.16).
❑
Beweis:
Aufgrund der Linearität genügt es zu zeigen, dass alle Funktionen der Form tj ·z t für j∈N0
mit j 6 k−1 eine Lösung von (1.16) sind.
Stellt man die △GL (1.16) mit Hilfe des Forward-Operators dar, erhält man
(F m + am−1 F m−1 + . . . + a1 F + a0 )Yt = 0 .
(1.17)
Da z eine Nullstelle der Ordnung k ist, kann (1.17) dargestellt werden in der Form
P (F ) · (F −z)k Yt = 0 ,
mit einem Polynom P der Ordnung m−k. Offensichtlich genügt es daher (F −z)k (tj z t ) = 0
für j6k−1 zu zeigen. Der Beweis erfolgt mittels vollständiger Induktion nach k.
16
Diese entsteht, wenn man Yt entfernt und den Forward-Operator F formal durch die Variable x ersetzt.
c Klaus Schindler SS 2017
27
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
Für k=1 ist die Behauptung nach Satz 1.23 klar, da dann nur j=0 möglich ist.
Gelte die Behauptung nun für eine natürliche Zahl k und sei z eine Nullstelle der Ordnung
k+1 (und damit insbesondere der Ordnung k). Dann folgt mit Hilfe des binomischen Satzes
für alle j∈N0 mit j 6 k, d.h. j−1 6 k−1
h
i
j t
k+1 j t
k
(F −z) (t z )
=
(F −z) (F −z)(t z )
i
h
=
(F −z)k (t+1)j z t+1 − tj z t+1
bin. Satz
=
z konst.
=
=
(F −z)k
j−1 hX
i
j ℓ t+1
tz
z(F −z)
z
k
ℓ=0
h j−1
ℓ=0
X j i
tℓ z t
ℓ=0
j−1 hX
j
ℓ
ℓ
ℓ
(F −z)k (tℓ z t )
|
{z
}
=0, da ℓ6j−16k−1
i
= 0
1.28 Bemerkung
Eine Schwierigkeit ergibt sich beim Auftreten komplexer Nullstellen z=q+ip, da dann die
Lösungsfunktion ϕt =z t komplexe Werte annimmt. In diesem Fall sind jedoch Re(z t ) und
Im(z t ) zwei linear unabhängige reelle Lösungen. Dies ergibt sich aus folgender Überlegung.
Da die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung
xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
reell sind, ist auch die zu z konjugiert komplexe Zahl z̄:=q−ip eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung17 . Daher ist auch φt =z̄ t =ϕ̄t eine homogene Lösung. Da der homogene
Lösungsraum aufgrund der Linearität der △GL ein Untervektorraum ist, sind auch
1
·(ϕt
2
+ φt ) =
1
·(ϕt
2
+ ϕ̄t ) = Re(ϕt )
und
1
·i·(ϕt
2
− φt ) =
1
·i·(ϕt
2
− ϕ̄t ) = Im(ϕt )
homogene Lösungen, da sie Linearkombinationen sind.
p
p
Mit |z|:= q 2 +p2 und tan(α)= liefert die Formel von „Moivre“ (Anhang Satz C.5)
q
zt =
|z| · (cos α + i sin α)
t
= |z|t · cos(αt) + i sin(αt) ,
d.h. die reellen, unabhängigen homogenen Lösungen |z|t · cos(αt) und |z|t · sin(αt).
17
Es gilt nämlich für alle komplexen Zahlen z1 , z2 und reelle Zahlen r (siehe Anhang, Satz C.2)
z1 + z2 = z̄1 + z̄2 , z1 · z2 = z̄1 · z̄2 und r̄ = r .
28
c Klaus Schindler SS 2017
❐
Lineare Differenzengleichungen
1.29 Bemerkung
Das Problem bei der Lösung von homogenen △GLen höherer Ordnung, liegt in der Berechnung der Nullstellen der charakteristischen Gleichung, da für m > 3 dies i.a. große
numerische Probleme bereitet. Wie schon in Bemerkung 1.26 i) festgestellt, ist die Transformation in ein △GLs-System erster Ordnung ein nur scheinbar einfacherer Lösungsweg, da
die Berechnung des Matrizenproduktes At große Schwierigkeiten bereitet18 .
Dass die numerischen Probleme immer gleich bleiben, zeigt der Vergleich der beiden Verfahren zur Bestimmung der homogenen Lösungen von linearen △GLen der Ordnung m, die
wir in Bemerkung 1.26 ii) und Satz 1.27 kennen gelernt haben. Geben wir uns hierzu die
folgende homogene lineare △GL der Ordnung m vor:
∆m Yt + ãm−1 · ∆m−1 Yt + . . . + ã1 · ∆Yt + ã0 · Yt = 0
(1.18)
1. Lösungsweg: Eigenwertmethode (siehe Bemerkung 1.26 ii))
Wir transformieren Gleichung (1.18) auf ein äquivalentes lineares △GLs-System erster Ordnung. Wie in Bemerkung 1.18 gezeigt, ist (1.18) äquivalent zu ∆Y t = Ã · Y t mit


0
1
0
0
···
0
.. 
 0
0
1
0
···
.. 

.. 
 0
0
0
1
···
à =  ..
.. .. . . . .

.
.
 .

. .
0
 0

···
···
···
0
1
−ã0
−ã1
···
··· −ãm−2 −ãm−1
Unter Berücksichtigung von ∆Yt = Yt+1 − Yt bringen wir das △GLs-System ∆Yt = Ã · Yt auf
die zur Eigenwertmethode erforderliche Form
Yt+1 = A · Yt
mit A = Ã +
Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P (λ) =
det(λ −A). Mittels vollständiger Induktion folgt
P (λ) = (λ−1)m + ãm−1 · (λ−1)m−1 + . . . + ã1 · (λ−1) + ã0
2. Lösungsweg: Nullstellenmethode (siehe Satz 1.27)
Hierzu müssen wir die △GL (1.18) zunächst mit Hilfe des Forward-Operators F ausdrücken.
Nach Bemerkung 1.3 iii) gilt
∆k Yt = (F − )k Yt .
18
Setzt man dies in die Ausgangsgleichung (1.18) ein, erhält man die äquivalente Form
h
i
(F − )m + ãm−1 ·(F − )m−1 + . . . + ã1 ·(F − ) + ã0 Yt = 0
Im Prinzip ist dies nur möglich, wenn A mittels einer Basis von Eigenvektoren auf Diagonalgestalt gebracht
wird. Hierzu ist jedoch wiederum die Kenntnis der Eigenwerte erforderlich.
c Klaus Schindler SS 2017
29
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
Die zugehörige charakteristische Gleichung entsteht, wenn man Yt streicht und den ForwardOperator F durch die Variable x ersetzt. Offensichtlich erhält man genau das gleiche Nullstellenproblem wie beim ersten Lösungsweg.
❐
Beim Lösen linearer △GLen bereitet die Inhomogenität die größten Probleme, da sich bei
der Bestimmung der partikulären Lösung keine Regel angeben lässt. Interpretiert man die
Inhomogenität als exogene Störung, ist zu vermuten, dass das durch die △GL beschriebene
System mit einer partikulären Lösung mit ähnlichen Eigenschaften reagiert. Dies soll beispielhaft für Polynome als Inhomogenität untersucht werden (Beachte auch Beispiel 1.34).
1.30 Lemma
Sei P ein Polynom vom Grad m ∈ N0 . Dann gilt
a) ∆P ist ein Polynom vom Grad m−1.
b) ∆m P ≡ c = konstant und ∆k P ≡ 0 für k > m+1.
❑
Beweis:
a) Wegen der Linearität des Differenzenoperators ∆ kann o.B.d.A. Pt = tm angenommen
werden. Dann folgt mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes
∆(tm ) =
(t+1)m − tm
m X
m
(−1)m−ℓ tℓ − tm
=
=
ℓ
m−1
X
ℓ
ℓ
m
ℓ
(−1)m−ℓ tℓ .
Also ist ∆(tm ) ein Polynom vom Grad m − 1.
b) Diese Aussage ist eine direkte Konsequenz von Teil a).
1.31 Satz
Die lineare inhomogene △GL erster Ordnung
(∆ − a)Y = P
(a konstant)
(1.19)
besitzt ein Polynom Q als partikuläre Lösung, wenn die Inhomogenität P ein Polynom ist.
Außerdem gilt
(
grad(P )
falls a 6= 0
grad(Q) =
grad(P ) + 1 falls a = 0
30
c Klaus Schindler SS 2017
Lineare Differenzengleichungen
Da Q der Gleichung (∆ − a)Q = P genügt, bezeichnen wir Q aus naheliegenden Gründen
auch kurz mit (∆ − a)−1 P bzw. ∆−1 P im Fall a = 0.
❑
Beweis:
Gelte zunächst a 6= 0. Dann definieren wir19
Qt := (∆ − a)−1 Pt := −
grad(P )
∞
X
∆k P
t
ak+1
k=0
= −
X ∆k P
t
ak+1
k=0
Nach Lemma 1.30 ist Q ein Polynom mit grad(Q) = grad(P ). Zu zeigen bleibt, dass Q der
△GL (1.19) genügt. Mit g = grad(P ) gilt ∆g+1 P = 0 nach Lemma 1.30 b) und damit
(∆ − a)Qt
=
−∆
g
X
∆k P
t
ak+1
k=0
+ a
Ind.Trafo
=
=
−
−
−
X ∆k+1 P
t
k=0
g+1
ak+1
X ∆k P
t
k=1
g+1
∆
ak
ak
Pt
t
k=0
g
g
=
g
X
∆k P
+
ak+1
X ∆k P
t
ak
k=0
g
+
X ∆k P
t
k=0
+ Pt
ak
1.30 b)
=
Pt
Im Fall a = 0 definieren wir
∞ X
t
∆k−1 P0 =
Qt := ∆ Pt :=
−1
k=1
Da
t
k
k
grad(P )+1 X
k=1
t
k
∆k−1 P0
in der Variablen t ein Polynom vom Grade k ist (Beweis z.B. mittels vollständiger
Induktion nach k) ist Q ein Polynom mit grad(Q)= grad(P ) + 1.
Bezeichnet g wieder den Grad von P , so gilt wegen
t+1
t
−
k
k
=
1.4 b) der Vorlesung (man beachte, dass ∆k−1 P0 unabhängig von t ist)
19
t
k−1
und nach Satz
Die Darstellung beruht auf der Taylorentwicklung von (x − a)−1 (siehe hierzu Bemerkung 1.33).
c Klaus Schindler SS 2017
31
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
∆Qt
=
g+1 X
t
∆k−1 P0
∆
k=1
g+1
=
X t ∆
∆k−1 P0
k
k=1
g+1
=
X t+1
k
k=1
g+1
=
X t k=1
g
Ind.Trafo
=
k
k−1
t
−
∆k−1 P0
k
∆k−1 P0
X t
∆k P0
k=0
k
1.4 b)
=
Pt
1.32 Folgerung
Jede inhomogene lineare △GL der Ordnung m mit konstanten Koeffizienten, bei der die
Inhomogenität ein Polynom P ist, besitzt ein Polynom Q als partikuläre Lösung mit
grad(P ) 6 grad(Q) 6 grad(P ) + m
Sind die Koeffizienten der △GL und des Polynoms P reell, existiert auch ein reelles Polynom
Q als partikuläre Lösung.
❐
Beweis:
Gegeben sei die inhomogene lineare ∆-GL n-ter Ordnung
m
P
ai ∆i Y = am ∆m Y + am−1 ∆m−1 Y + . . . + a1 ∆Y + a0 Y = P
(1.20)
i=0
mit konstanten reellen Koeffizienten ai , i = 0 . . . , m und dem Polynom P als Inhomogenität.
O.B.d.A. gelte am = 1.
Nach dem Hauptsatz der Algebra besitzt die durch die △GL (1.20) erzeugte charakteristische Gleichung
m
P
ai xi = 0
i=0
m Nullstellen, die wir (inklusive Vielfachheit) mit zi (i=1, . . . , m) bezeichnen. Diese (evtl.
komplexen!) Nullstellen gestatten eine Zerlegung in Linearfaktoren, d.h. es gilt
m
m
P
Q
ai xi = (x − zi )
i=0
i=1
Ersetzt man x durch den Differenzenoperator ∆, lautet die △GL (1.20)
m
P
ai ∆i Y = (∆ − z1 ) · · · (∆ − zm )Y = P .
i=0
32
c Klaus Schindler SS 2017
Lineare Differenzengleichungen
Wendet man Satz 1.31 iterativ an, erhält man als partikuläre Lösung Q der △GL (1.20) das
Polynom
Q = (∆ − zm )−1 · · · (∆ − z1 )−1 P .
Ebenfalls nach Satz 1.31 erfüllt Q auch die Bedingung
grad(P ) 6 grad(Q) 6 grad(P ) + m
Es bleibt nachzuweisen, dass Q reell gewählt werden kann, wenn die △GL (1.20) reell ist.
Hierzu zeigen wir, dass mit Q auch der Realteil von Q, also das reellwertige Polynom R :=
1
(Q + Q) eine Lösung der △GL ist.
2
Beachtet man, dass wegen a − b = a − b auch ∆Q = ∆Q gilt, folgt nämlich
m
P
ai ∆i R
=
i=0
m
P
i=0
=
ai reell
=
=
P reell
=
1
2
1
2
ai · ·(∆i Q + ∆i Q)
m
P
i=0
ai ·∆i Q +
1
2
m
P
i=0
ai ·∆i Q
m
m
1 P
1P
a ·∆i Q
ai ·∆i Q +
2 i=0
2 i=0 i
1
1
P+ P
2
2
1
1
P+ P = P
2
2
1.33 Bemerkung
Die Konstruktion des Operators (∆ − a)−1 beruht auf der Idee, mit Hilfe der Taylorentwicklung (siehe Anhang A, Satz A.9) den Definitionsbereich einer Funktion f (x) auch auf
Operatoren oder Matrizen auszuweiten. Hierdurch lassen sich auch Terme der Form f (∆),
f (D) oder f (A) definieren, wobei ∆ der Differenzenoperator, D der Differentialoperator und
A eine beliebige quadratische Matrix ist.
Für a6=0 lautet die Taylorentwicklung von f (x) = (x − a)−1 (Entwicklungspunkt x0 =0)
f (x) = (x − a)−1 = −
∞
X
xk
k=0
ak+1
.
Ersetzt man x durch ∆ erhält man den in Satz 1.31 verwendeten Operator (∆ − a)−1 .
∆−1 stellt als Inverse des Differenzenoperators das diskrete Analogon zum Integral dar, also
t−1
P
Yi. Die Darstellung im Beweis von Satz 1.31 ergibt sich, indem man
die Summe ∆−1 Yt :=
i=0
k P
k
in Satz 1.4 b) t=s=0 setzt. Man erhält Yk =
∆i Y0 . Ersetzt man Y durch ∆−1 P folgt
die gewünschte Darstellung.
i=0
i
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❐
33
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
1.34 Beispiel
i) In einer Kaninchenpopulation, vermehrt sich jedes Kaninchenpaar zweimal in seinem
Leben, und zwar im Alter von einem und zwei Monaten. Dabei werde jedes Mal ein
neues Kaninchenpaar geboren. Bezeichnet Yt die Zahl von Kaninchenpaaren, die in
Periode t (gerechnet in Monaten) geboren werden20 , so gilt die △GL
Yt+2 = Yt+1 + Yt ⇐⇒ ∆2 Yt + ∆Yt − Yt = 0
(1.21)
Gesucht sei die Lösung mit den Anfangswerten Y0 := 0 und Y1 := 1.
Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung x2 − x − 1 = 0 lauten:
x1 =
√
1+ 5
,
2
x2 =
√
1− 5
2
.
Ein Fundamentalsystem ϕ(1) , ϕ(2) des homogenen Lösungsraumes der △GL (1.21) ist
daher gegeben durch
(1)
ϕt
:=
√ 1+ 5 t
,
2
(2)
ϕt
:=
√ 1− 5 t
2
.
(1)
(2)
Daher gilt Yt = λϕt + µϕt . Die Anfangsbedingungen Y0 := 0 und Y1 := 1 liefern
(1)
(2)
(1)
λϕ1
(2)
µϕ1
0 = λϕ0 + µϕ0
1 =
+
= λ+µ
= λ·
√
1+ 5
2
+µ·
√
1− 5
2
1
5
1
5
mit der Lösung λ = √ und µ = − √ . Die gesuchte Lösung lautet daher21
Yt =
√ 1 1+ 5 t
√
2
5
−
√ 1 1− 5 t
√
2
5
.
1
und Gt := Ḡ =konstant in der Wachstumsgleichung von Beispiel 1.17
ii) Sei b = ρ =
2
iii). Löst man diese nach C auf, ergibt sich die △GL
3
4
1
4
Ct+2 − Ct+1 + Ct =
1
Ḡ
2
.
3
4
Die charakteristische Gleichung x2 − x +
z1 =
√
3+i 7
,
8
z2 =
√
3−i 7
8
1
4
= 0 hat die beiden komplexen Nullstellen
.
P
Ohne Berücksichtigung von Todesfällen ergibt sich dann die gesamte Population durch
Yt .
21
zweier
Verblüffenderweise liefert die Formel für Yt tatsächlich nur natürliche Zahlen. Für das Verhältnis YYt+1
√
t
aufeinanderfolgender Werte der Fibonaccifolge konvergiert außerdem gegen den sog. Goldenen Schnitt 1+2 5 .
20
34
c Klaus Schindler SS 2017
Lineare Differenzengleichungen
Nach Satz 1.27 sind mit |z1 | = |z2 | =
1
2
und α = arctan
√ 7
3
die Funktionen
(1)
(2)
ϕt := 2−t cos(αt), ϕt := 2−t sin(αt)
eine Basis des homogenen Lösungsraumes. Folgerung 1.32 liefert die partikuläre Lösung ψt = Ḡ = konstant, so dass die allgemeine Lösung der △GL lautet22 :
Ct = λ · 2−t cos(αt) + µ · 2−t sin(αt) + Ḡ
iii) Betrachte die inhomogene lineare △GL
Yt+2 − 2Yt+1 − 3Yt = 2t .
Die charakteristische Gleichung dieser △GL 2. Ordnung liefert die Nullstellen −1 und
(1)
(2)
3 und damit die homogenen Lösungsfunktionen ϕt := (−1)t und ϕt := 3t .
Da die Inhomogenität kein Polynom ist, können wir Folgerung 1.32 nicht anwenden.
Wir versuchen daher eine inhomogene Lösung ψ zu finden, die ein ähnliches Aussehen
wie die Inhomogenität besitzt. Hierzu machen wir den Ansatz ψt := c · 2t .
Setzt man dieses ψ in die vorgegebene △GL ein, erhält man die Gleichung
!
c · 2t+2 − 2c · 2t+1 − 3c · 2t = 2t .
1
3
Division durch 2t ergibt c = − . Damit lautet die allgemeine Lösung der △GL:
Yt = λ · (−1t ) + µ · 3t −
1
3
· 2t .
❐
1.35 Bemerkung
Liegt eine lineare △GL mit einer allgemeinen Inhomogenität b(t) vor, so findet man eine
spezielle Lösung ψ der △GL häufig dadurch, dass man ψ als Linearkombination von Funktionen ansetzt, die vom gleichen Typ wie die Inhomogenität b(t) sind.
Ist z.B. b(t) = cos(k · t), versucht man es mit dem Ansatz
ψ(t) = A sin(k · t) + B cos(k · t)
und versucht die Konstanten A und B so zu bestimmen, dass ψ der △GL genügt.
Die Idee hinter diesem Ansatz ist, dass die exogene Störung b(t) in dem System zu einer
Reaktion mit ähnlichen Eigenschaften führen sollte.
❐
22
Die durch die cos- bzw. sin-Funktion hervorgerufenen Oszillationen können als endogene Wirtschaftszyklen
interpretiert werden.
c Klaus Schindler SS 2017
35
Differenzengleichunge
Differenzengleichungen
Differentialgleichungen
2
Differentialgleichungen
Differentialgleichungen sind das kontinuierliche Gegenstück der △GLen aus Abschnitt 1.
Ein(e) Differentialgleichung(-ssystem) ist eine Gleichung (Gleichungssystem) zwischen gesuchten Funktionen, deren zugrundeliegenden Veränderlichen und den Ableitungen der gesuchten Funktionen nach den unabhängigen Veränderlichen. Hängen die gesuchten Funktionen nur von einer unabhängigen Veränderlichen ab, spricht man von einer gewöhnlichen
Differentialgleichung (künftig mit DGL abgekürzt). Hängen die gesuchten Funktionen von
mehr als einer unabhängigen Veränderlichen ab, spricht man von einer partiellen Differentialgleichung. Da die Behandlung partieller Differentialgleichungen sehr kompliziert ist, sollen
im Rahmen dieses Kapitels nur gewöhnliche DGLen besprochen werden.
Die Aussagen für DGLen sind häufig analog zu den Aussagen aus dem Bereich der △GLen,
so dass wir uns größtenteils auf die Angabe der entsprechenden Sätze beschränken können.
Um das Themengebiet nicht zu langweilig werden zu lassen, geben wir jedoch einige im
Vergleich zu Differenzengleichungen allgemeinere Ergebnisse an.
Wie schon im Kapitel über △GLen wird die Hauptvariable mit t bezeichnet, da sie in
Anwendungen oft die Zeit repräsentiert. Demgemäß werden wir (wie in der Physik üblich)
die Ableitungen mit einem Punkt bezeichnen, also f˙, f¨ statt f ′ , f ′′ schreiben.
Im Unterschied zu △GLen werden wir die jetzt auftretenden stetigen Größen mit kleinen
Buchstaben bezeichnen, also ẏ, ÿ statt Ẏ , Ÿ schreiben.
Analog zum Kapitel über Differenzengleichungen starten wir mit mehreren Beispielen.
2.1 Beispiel
i) Wir wollen wie in Beispiel 1.6 die Preisdynamik eines Gutes beschreiben, die durch
Angebot S und Nachfrage D entsteht. Wie üblich sei S monoton wachsend und D
monoton fallend (als Funktion von P ). Das Preisfestsetzungsmodell von EVANS nimmt
an, dass Preisänderungen proportional zum Nachfrageüberschuss sind, d.h.
Ṗ (t) = γ · D(t) − S(t) , mit γ > 0 .
Betrachtet man den einfachen Fall, dass D und S affin lineare Funktionen in P sind
D(t) = α + aP (t) und S(t) = β + bP (t) ,
37
Differenzen
mit a < 0 und b > 0, so lässt sich die Preisdynamik beschreiben durch:
Differentialgleichungen
Ṗ (t) − γ(a − b)P (t) = γ(α − β) .
ii) Bei gegebenem Periodenzinssatz r gilt für ein Kapital Kt im Zeitintervall ∆t die Wachstumsdynamik (siehe auch Beispiel 1.24 ii) )
Kt+∆t = (1 + ∆t·r)·Kt oder
K(t+∆t) − K(t)
∆t
= r · K(t) .
Führt man den Grenzübergang ∆t → 0 durch, erhält man
K̇(t) = r · K(t) ,
so dass
K̇(t)
,
K(t)
d.h. die momentane Wachstumsrate des Kapitals, gleich r ist. Wie aus
der Finanzmathematik bekannt ist, gilt K(t) = K0 · ert .
iii) Dieselbe Gleichung wie vorher ẏ(t) = r·y(t) beschreibt das Wachstumsverhalten einer Population y mit konstanter Wachstumsrate r (Malthus-Gesetz). Die Lösung
y(t) = y0 · ert zeigt, dass diese Population exponentiell ohne Schranke wächst. Offensichtlich ist dieses Malthus-Modell relativ simpel. Ein realistischeres Modell sollte
auch wachstumshemmende Faktoren berücksichtigen. Weil mit zunehmender Population z.B. ein zunehmender Resourcenverbrauch einher geht, ist es naheliegend anzunehmen, dass die Wachstumsrate der Population abnimmt, wenn die Populationsgröße
y anwächst. Der einfachste Fall besteht in der Annahme, dass die momentane Wachsẏ
tumsrate affin linear und fallend in Abhängigkeit von y ist. In diesem Fall entsteht
y
das Wachstumsmodell von Verhulst (logistisches Modell)1 :
ẏ
y
= a − b·y
oder
ẏ = y·(a − b·y) mit a, b > 0
❐
2.2 Definition
Sei F : R×Rm+1 → R eine Funktion2 . Eine Gleichung der Form
F t, y(t), ẏ(t), ÿ(t), . . . , y (m) (t) = 0 ,
(2.1)
die eine Beziehung zwischen den Werten der Funktion y, dem Argument t und den Ableitungen ẏ, ÿ, . . . , y (m) herstellt, heißt implizite Differentialgleichung der Ordnung m. Eine
Lösung der DGL. ist eine auf einem offenen Intervall I definierte Funktion ϕ, deren Ableitungen ϕ̇(t), . . . , ϕ(m) (t) existieren und die der DGL (2.1) für alle t ∈ I genügt, d.h. mit
F t, ϕ(t), ϕ̇(t), ϕ̈(t), . . . , ϕ(m) (t) = 0 .
1
2
Zur Lösung siehe Beispiel 2.12 ii).
Die nachfolgenden Ergebnisse gelten auch, wenn F nur auf Teilmengen des R×Rm+1 definiert ist.
38
c Klaus Schindler SS 2017
Autonome DGL
Existiert eine Funktion f : D×Rm → R, so dass die Dgl (2.1) äquivalent ist zur Gleichung3
y (m) (t) = f t, y(t), ẏ(t), ÿ(t), . . . , y (m−1) (t) ,
nennt man die DGL (2.1) eine explizite Differentialgleichung der Ordnung m.
❐
2.3 Bemerkung
i) Analog zu Definition 1.11 wird ein Differentialgleichungssystem durch eine Abbildung
F : R×(Rn )m+1 → Rn definiert, als eine Gleichung der Form
F t, y(t), ẏ(t), ÿ, . . . , y (m) (t) = 0 .
(2.2)
ii) Man spricht von einer autonomen oder zeitunabhängigen DGL, wenn F nicht explizit
von t abhängt4 , d.h. wenn gilt
F t, y(t), ẏ(t), ÿ(t), . . . , y (m) (t) = F y(t), ẏ(t), ÿ(t), . . . , y (m) (t)
iii) Oft ist es nützlich die gegebene DGL in eine äquivalente Integralgleichung umzuwandeln. Ist f stetig, so liefern die Regeln über Integration:
Die Funktion y(t) ist genau dann eine Lösung der Anfangswertaufgabe (AWA)
ẏ = f (t, y) mit y(t0 ) = y0 ,
wenn sie der folgenden Integralgleichung5 genügt:
y(t) = y0 +
Z
t
f (x, y(x))dx .
t0
d
iv) Mit Hilfe des Differentialoperators D :=
sind analog zum Differenzenoperator aldt
ternative Darstellungen für DGLen möglich, z.B.
aÿ + bẏ + cy = (aD 2 + bD + c)y
❐
2.4 Beispiel
Betrachten wir zwei Populationen y1 und y2 , die um die gleiche Nahrungsquelle oder die
gleiche ökologische Nische miteinander konkurrieren, oder noch dramatischer, in der eine
3
Dies besagt, dass F nach der letzten Variable auflösbar ist. Bei nicht auflösbaren Gleichungen, liefert der
implizite Funktionensatz Kriterien dafür, wann eine implizite DGL wenigstens lokal mit einer expliziten
übereinstimmt.
4
Jede nichtautonome DGL ẏ=f (y, t) kann in ein äquivalentes autonomes DGL-System transformiert werden,
z.B. ẏ=f (y, r), ṙ=1 Aus diesem Grund genügt es, autonome DGLen zu betrachten (siehe Bemerkung 3.22).
5
Das Integral ist immer komponentenweise zu verstehen, wenn n>1 gilt.
c Klaus Schindler SS 2017
39
Differentialgleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
Differentialgleichungen
Population die Hauptnahrungsquelle für die andere ist. Wir nehmen zunächst an, dass jede
Population ihrer eigenen logistischen Gleichung genügt, d.h.
ẏ2
ẏ1
= a1 − b1 y1
und
= a2 − b2 y2 .
y1
y2
Um eine Wechselwirkung zu modellieren, nehmen wir weiter an, dass die Anwesenheit einer Spezies einen positiven oder negativen Effekt auf die Wachstumsrate der anderen hat.
Betrachtet man wieder den einfachsten, d.h. (affin) linearen Fall, so gilt:
ẏ1
ẏ2
= a1 − b1 y1 − c1 y2
und
= a2 − b2 y2 − c2 y1 .
y1
y2
Die Interaktion der Populationen wird also durch ein DGL-System 1. Ordnung beschrieben:
ẏ1 = y1 (a1 − b1 y1 − c1 y2 )
ẏ2 = y2 (a2 − b2 y2 − c2 y1 )
Die Art der Interaktion wird durch das Vorzeichen der Größen ci bestimmt. Haben c1 und
c2 z.B. unterschiedliche Vorzeichen, liegt eine parasitäre Situation vor.
❐
Jede explizite DGL der Ordnung n lässt sich in ein DGL-System erster Ordnung überführen. Diese Aussage ist (samt Beweis) das Analogon zu Lemma 1.13 aus Kapitel 1 über △G
Len.
2.5 Lemma
Jede explizite DGL m-ter Ordnung lässt sich in ein äquivalentes DGL-System erster Ordnung
überführen, d.h. es gilt: Die Lösungen der DGL
y (m) (t) = f t, y(t), ẏ(t), ÿ(t) . . . , y (m−1) (t)
entsprechen bijektiv den Lösungen des folgenden DGL-Systems 1.-ter Ordnung
φ̇1
φ̇2
..
.
= φ2
= φ3
.
= ..
φ̇m−1 = φm
φ̇m
= f (t, φ1 , φ2 , . . . , φm )
❑
2.6 Bemerkung
Der letzte Satz gilt analog für DGLen vektorwertiger Abbildungen y : R → Rn . Das äquivalente DGL-System besteht dann allerdings aus m · n Gleichungen.
❐
2.7 Beispiel
Die DGL y (3) + 2ẏ + y = 0 ist nach Lemma 2.5 äquivalent zu dem DGLs-System
φ̇1 = φ2
φ̇2 = φ3
φ̇3 = −2φ2 − φ1
40
❐
c Klaus Schindler SS 2017
Differenzengleichungen
Existenz- und Eindeutigkeitssätze
(1) Man gebe Kriterien für die Existenz von Lösungen.
(2) Man verschaffe sich einen Überblick über die Lösungsgesamtheit einer DGL.
(3) Man gebe Bedingungen an, die die Eindeutigkeit der Lösung garantieren.
Wegen Lemma 2.5 genügt es, im Folgenden DGL-Systeme erster Ordnung zu betrachten.
2.8 Satz (Existenzsatz von PEANO, lokale Form)
Ist f : R×Rn → Rn stetig, so besitzt die AWA ẏ=f (t, y), y(t0 )=y0 wenigstens eine, auf
einem offenen Intervall definierte Lösung.
❑
Beweis:
Auf einen Beweis dieses Satzes, der hochgradig nichttrivial und sehr technisch ist, kann
hier verzichtet werden, da er für unsere Zwecke nicht sehr aufschlussreich ist. Er zählt zu
den Standardsätzen im Bereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen und kann daher in
jedem Lehrbuch der Analysis gefunden werden.
Wie man an dem folgenden Beispiel erkennen kann, reicht die Stetigkeit von f noch nicht
einmal aus, um die lokale (d.h. in einer Umgebung des Startpunktes) Eindeutigkeit der
Lösung einer AWA zu garantieren.
2.9 Beispiel
Für alle a, b ∈ R ∪ {−∞, +∞} mit a 6 0 6 b sind die Funktionen ϕa,b mit

3

 (t − a) für t < a
ϕa,b(t) :=
0
für a 6 t 6 b


(t − b)3 für b < t
Lösungen der AWA
2
ẏ = f (t, y) = 3 · y 3 , y(0) = 0 .
Insbesondere erhält man z.B. die Lösungen
ϕ1 (t) ≡ 0 (a = −∞, b = +∞) und ϕ2 (t) = t3 (a = b = 0) .
Interessant ist nicht so sehr, dass unendlich viele linear unabhängige Lösungen für diese
AWA existieren, sondern dass die beiden angegebenen Lösungen noch nicht einmal in einer
kleinen Umgebung des „Startpunktes“ y(0)=0 übereinstimmen. Der Grund ist, dass die
2
Funktion f (t, y) := y 3 zwar stetig, aber im Punkt y=0 nicht differenzierbar ist6 .
❐
6
Die Steigung ist unendlich, d.h. die Tangente verläuft parallel zur vertikalen Achse.
c Klaus Schindler SS 2017
41
Differentialgleichungen
Wie in der Theorie der △GLen untersuchen wir die folgenden Fragen:
Differenzen
Differentialgleichungen
Der folgende Satz zeigt, dass mit einer kleinen zusätzlichen Forderung, die insbesondere
im Fall der stetigen Differenzierbarkeit von f erfüllt ist, zumindest lokal eine Eindeutigkeit
der Lösung erreicht werden kann.
2.10 Satz (PICARD-LINDELÖF, lokale Form)
Ist f : R×Rn → Rn stetig und genügt f in einer Umgebung U des Punktes (t0 , y0 ) einer
LIPSCHITZ-Bedingung, d.h., existiert eine Konstante L mit
kf (t, y) − f (t, z)k 6 L · ky − zk für alle (t, y), (t, z) in U ,
so ist die Lösung der AWA
ẏ = f (t, y) , y(t0 ) = y0
lokal eindeutig, d.h. je zwei Lösungen stimmen in einer Umgebung von t0 überein.
❑
Beweis:
Wir betrachten nur den Fall n=1, da für n>1 der Beweis fast identisch verläuft. Die Existenz
einer Lösung ergibt sich aus dem Existenzsatz 2.8. Zum Beweis der lokalen Eindeutigkeit
verwenden wir folgenden Hilfssatz:
Ist h : [a, b] → R stetig differenzierbar und K > 0 eine Konstante mit der Eigenschaft,
dass h′ (x) 6 K · h(x) für alle x ∈ [a, b] ist, so folgt
h(x) 6 h(a) · eK(x−a) .
Sind ϕ : I1 → R und φ : I2 → R Lösungen der AWA, wobei I1 , I2 offene und t0 enthaltende
Intervalle sind, so betrachte ein Intervall [α, β] mit t0 ∈]α, β[ und [α, β] ⊂ I1 ∩ I2 . Wir
definieren nun die Funktion h : [t0 , β] → R durch
2
h(t) := ϕ(t) − φ(t) .
Dann gilt:
|ḣ(t)| = 2|ϕ̇(t) − φ̇(t)||ϕ(t) − φ(t)|
= 2|f (t, ϕ) − f (t, φ)||ϕ(t) − φ(t)|
6 2L|ϕ(t) − φ(t)|2 = 2Lh(t)
Wendet man den Hilfssatz mit K = 2L, a = t0 und b = β an, folgt
2L(t−t0 )
0 6 h(t) 6 h(t0 ) e
Daher gilt h = 0, d.h. ϕ = φ.
42
2
= ϕ(t0 ) − φ(t0 ) e2L(t−t0 ) = 0 .
|
{z
}
= y0 −y0 = 0
c Klaus Schindler SS 2017
Existenz- und Eindeutigkeitssätze
Analog zeigt man, dass auf [α, t0 ] die Gleichheit ϕ = φ gilt, indem man mit der Funktion
h(t) := (ϕ(t0 − t) − φ(t0 − t))2 arbeitet.
2.11 Bemerkung
i) Interessanterweise gibt es auch einen Beweis des letzten Satzes, der ein explizites Verfahren zur Konstruktion einer Lösung der AWA ẏ = f (t, y), y(t0 ) = y0 liefert (sukzessive Approximation). Man betrachtet hierzu folgende Abbildung T , die auf C(I, Rn )
- den auf dem Intervall I stetigen Abbildungen - definiert ist, durch7
Z t
T (h)(t) := y0 +
f (s, h(s))ds .
t0
T ist auf einer geeigneten Teilmenge von C(I, Rm ) eine „Kontraktion“, d.h. sind g, h ∈
C(I, Rm ), so gilt mit kf k := sup |f (t)|:
t∈I
kT (h) − T (g)k 6 Kkh − gk (K < 1 konstant) .
Nach dem Banachschen Fixpunktsatz (siehe Satz B.1 des Anhangs) konvergiert für
∞
jede beliebige „Startfunktion“ h0 die Funktionenfolge (hℓ )ℓ=0
mit hℓ := T (hℓ−1) gegen
eine Funktion ϕ mit der Stationaritätseigenschaft ϕ = T (ϕ) (Fixpunkt), d.h. es gilt:
Z t
ϕ(t) = y0 +
f (s, ϕ(s))ds .
t0
Nach Bemerkung 2.3 iii) ist daher ϕ eine Lösung der DGL.
ii) In der Praxis tritt sehr häufig die Frage auf, wie „störungsanfällig“ eine vorgegebene
AWA ist, d.h. wie verändert sich die Lösung einer AWA, wenn man den Startwert
y0 = y(t0 ) und eventuell auch die DGL, d.h. die Funktion f , die die DGL beschreibt,
ändert. Vereinfacht kann man sagen, dass sich die AWA gegenüber Veränderungen
stetig verhält, wenn f einer Lipschitz-Bedingung genügt. Wir behandeln diese Fragestellung nur hinsichtlich der Störung im Startwert y0 in Kapitel 3 (Stabilität).
iii) Die Lipschitz-Bedingung ist automatisch erfüllt, wenn f stetig partiell differenzierbar
ist und die Ableitungen beschränkt sind.
❐
Die explizite Lösung einer DGL ist nur in den seltensten Fällen möglich. Z.B. ist die DGL
2)
ẏ = f (t, y) := e(−t
(2.3)
offensichtlich äquivalent zu
Z
Z
2
y = ẏdt = e(−t ) dt .
7
Auf die genaue Angabe von I sei hier verzichtet.
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43
Differentialgleichungen
Differenzengleichungen
Differenzen
Differentialgleichungen
DGL (2.3) kann nicht explizit gelöst werden, da keine Stammfunktion explizit angegeben
werden kann. Dieses Beispiel zeigt auch, dass DGLen eine Verallgemeinerung des klassischen
Integrationsproblems darstellen8 . Dennoch gibt es wie bei der Berechnung von Stammfunktionen einige Fälle, in denen eine vorgegebene DGL explizit lösbar ist.
2.1. Spezielle Typen von DGLen erster Ordnung
Wir gehen in diesem Abschnitt von einer DGL der Form ẏ = F (t, y) aus und stellen in
Abhängigkeit vom Aussehen der Funktion F verschiedene Lösungsmöglichkeiten vor.
2.1.1. DGLen mit getrennten Variablen
DGLen dieses Typs sind von der Form
ẏ = f (t) · g(y)
(2.4)
Division durch g(y), Integration nach t und Beachtung der Substitutionsregel liefert
Z
Z
1
1
ẏdt =
dy .
g(y)
g(y)
Daher ist die allgemeine Lösung y der DGL (2.4) implizit bestimmt durch die Gleichung
Z
Z
1
dy = f (t)dt + Konstante
g(y)
2.12 Beispiel
i) Wir betrachten die DGL
ẏ =
1
t
·
−4y 2 + 6y − 7
4y − 3
1
t
mit f (t)= und g(y)=
−
1
2
−4y 2 + 6y − 7
.
4y − 3
Einsetzen ergibt für y die Gleichung
ln | − 4y 2 + 6y − 7| = ln(t) + C ⇐⇒ 4y 2 − 6y + 7 =
1
t2
· C̄
ii) Betrachte die DGL ẏ = a·(y−b)·(y−c) mit a 6= 0. Division durch (y−b)·(y−c) und
anschließende Integration mittels Partialbruchzerlegung liefert
Z
Z
Z dy
1
1
1
dy = a·t + Konstante,
= adt ⇐⇒
·
−
(y−b)·(y−c)
b−c
y−b
y−c
was nach einigen kleineren Umformungen zur Lösung
y(t) =
c−b
e(at+K)·(b−c) −1
+c
führt, wobei K eine Integrationskonstante ist.
8
Deshalb wird die Lösung einer DGL häufig auch als Integral bezeichnet.
44
c Klaus Schindler SS 2017
❐
Spezielle Typen von DGLen
Spezielle Typen von DGLen
DGLen dieses Typs sind von der Form
ẏ =
P (t, y)
Q(t, y)
(2.5)
,
wobei P und Q homogene Funktionen desselben Grades r sind9 , d.h. es gilt
P (λt, λy) = λr P (t, y) und Q(λt, λy) = λr Q(t, y).
Mit der Transformation z =
y
t
folgt
y = tz und ẏ = z + tż .
Setzt man dies in die DGL (2.5) ein, ergibt sich
ẏ = z + tż =
P (t, tz)
Q(t, tz)
tr P (1, z)
tr Q(1, z)
=
,
also die äquivalente DGL mit getrennten Variablen
ż =
h
1 P (1, z)
t Q(1, z)
i
−z .
2.13 Beispiel
Man betrachte die DGL
ẏ =
3y − 7t
4y − 3t
.
Offensichtlich liegt eine DGL mit homogenen Funktionen vom Grad r = 1 vor, mit P (t, y) =
3y − 7t und Q(t, y) = 4y − 3t.
y
Die Transformation z = führt zur äquivalenten DGL aus Beispiel 2.12:
t
ż =
h
1 3z − 7
t 4z − 3
i
−z =
1
t
·
−4z 2 + 6z − 7
4z − 3
❐
2.1.3. Gebrochen rationale DGLen
DGLen dieses Typs haben folgendes Aussehen:
ẏ =
9
at + by + d
, wobei a, b, d, A, B, D konstant .
At + By + D
(2.6)
Nicht zu verwechseln mit den homogenen linearen DGLen.
c Klaus Schindler SS 2017
45
Differentialgleichungen
2.1.2. DGLen mit homogenen Funktionen
Differenzen
i) Ist aB − bA 6= 0, so ist die DGL (2.6) äquivalent zur homogenen DGL
Differentialgleichungen
as + bz
dz
=
.
ds
As + Bz
Man führe hierzu die Transformationen s := t − t̃ und z := y − ỹ durch. Hierbei sind
t̃, ỹ die eindeutig bestimmten Lösungen des linearen Gleichungssystems
at̃ + bỹ + d = 0
At̃ + B ỹ + D = 0
ii) Ist aB−bA = 0, so ist DGL (2.6) äquivalent zu einer separablen DGL. Hierzu führe
man die Transformation z:=at+by (bzw. z:=At+By falls a=b=0) und s:=t durch.
2.14 Beispiel
−7t + 3y − 2
Wir betrachten die DGL ẏ =
. Es gilt aB − bA = −19 6= 0 und t̃ =
−3t + 4y − 5
Die Transformationen s := t −
dz
ds
7
19
und z := y −
29
19
ỹ =
29
.
19
liefern die äquivalente DGL
3z − 7s
4z − 3s
=
7
,
19
❐
2.1.4. Exakte DGLen
Stellt man eine DGL erster Ordnung Q(t, y)ẏ + P (t, y)=0 mit Hilfe der Differentiale dt und
dy dar, erhält man die „Differentialform“ P (t, y)dt + Q(t, y)dy=0. Die Hoffnung ist nun,
dass diese Differentialform das totale Differential dF einer Funktion F (t, y) ist, weil dann
aus dF (t, y)=0 folgt, dass F auf dem Graphen der Funktion y, d.h. auf den Punktepaaren
(t, y), konstant ist, woraus für y die implizite Gleichung F (t, y)=C resultiert.
Zunächst ist die Frage zu beantworten, wie man erkennen kann, ob eine Funktion F mit
dF = P (t, y)dt + Q(t, y)dy existiert? Wäre diese Gleichung für eine Funktion F erfüllt, so
müsste offensichtlich gelten:
∂F
∂t
= P (t, y) und
∂F
∂y
= Q(t, y) .
Nimmt man an, dass F zweimal stetig differenzierbar ist, so gilt bekanntlich
∂2F
∂t∂y
=
woraus sich
∂2F
∂y∂t
∂P
∂y
=
,
∂Q
∂t
in diesem Fall als notwendige Bedingung ergibt. Sofern der Definiti-
onsbereich einfach zusammenhängend ist10 , was wir im Folgenden annehmen, ist dies auch
hinreichend für die Existenz einer Funktion F mit dF = P (t, y)dt + Q(t, y)dy.
10
Dies bedeutet, dass der Rand des Definitionsbereiches zusammenhängend ist.
46
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Spezielle Typen von DGLen
Spezielle Typen von DGLen
Q(t, y)ẏ + P (t, y) = 0 ⇐⇒ Q(t, y)dy + P (t, y)dt = 0
∂P
∂y
❐
2.16 Beispiel
(t − y) dt + (y −2 − t) dy = 0
| {z }
| {z }
❐
P
Es gilt
=
∂Q
∂t
gilt.
heißt exakt, wenn
Q
∂P
∂y
= −1 =
∂Q
,
∂t
so dass eine exakte DGL vorliegt.
2.17 Satz
Ist die DGL Q(t, y)ẏ + P (t, y) = 0 exakt, so genügt die gesuchte Funktion y der Gleichung
Z
t
P (s, y)ds +
t0
Z
y
Q(t0 , z)dz = Konstante .
❑
y0
Beweis:
∂P
∂Q
Aufgrund der Exaktheitsbedingung
=
existiert eine Funktion F (t, y) mit
∂y
(∗)
∂F
∂t
= P (t, y) und (∗∗)
∂F
∂y
∂t
= Q(t, y) .
Integriert man die Gleichung (∗) nach der ersten Variablen, so folgt
F (t, y) =
Z
t
P (s, y)ds + F (t0 , y) .
(2.7)
t0
Differenziert man Gleichung (2.7) partiell nach y, so ergibt sich
Z t
(∗∗) ∂F
d
∂P
Q(t, y) =
(t, y) =
(s, y)ds + F (t0 , y)
∂y
dy
t ∂y
Z 0t
d
∂Q
(s, y)ds + F (t0 , y)
=
t0
∂s
dy
= Q(t, y) − Q(t0 , y) +
Damit gilt
d
F (t0 , y)
dy
d
F (t0 , y)
dy
.
= Q(t0 , y), d.h.
F (t0 , y) − F (t0 , y0 ) =
Z
y
y0
d
F (t0 , z)dz
dz
=
Z
y
Q(t0 , z)dz
(2.8)
y0
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47
Differentialgleichungen
2.15 Definition
Die DGL
Differenzen
Differentialgleichungen
Einsetzen von Gleichung (2.8) in Gleichung (2.7) liefert
Z t
Z y
F (t, y) =
P (s, y)ds +
Q(t0 , z)dz + F (t0 , y0 ) .
t0
y0
Wegen dF = 0 ist F konstant und man erhält für y die Bestimmungsgleichung
Z
t
P (s, y)ds +
t0
Z
y
Q(t0 , z)dz = konstant .
y0
2.18 Beispiel
Für die exakte DGL
(t − y)dt + (y −2 − t)dy = 0
aus Beispiel 2.16 erhält man mit Hilfe des letzten Satzes
Z t
Z y
Z t
Z y
P (s, y)ds +
Q(t0 , z)dz =
(s − y)ds +
(z −2 − t0 )dz
t0
y0
=
=
h
t0
1 2
s
2
1 2
t
2
− ys
is=t
− yt −
s=t0
1
y
Die gesuchte Funktion y genügt daher der Gleichung
1 2
t
2
− yt −
1
y
+
y0
h
+ −z
−
−1
1 2
t
2 0
− t0 z
+
1
y0
iz=y
z=y0
+ t0 y0
= C = konstant
❐
Ist die DGL Q(t, y)dy + P (t, y)dt = 0 nicht exakt, d.h. gilt
Funktion M(t, y) zu bestimmen, so dass die DGL
∂P
∂y
6=
∂Q
,
∂t
versucht man eine
M(t, y)Q(t, y)dy + M(t, y)P (t, y)dt = 0
exakt ist. Der integrierende Faktor M ist also derart zu wählen, dass
d.h. M muss der folgenden partiellen DGL genügen:
∂M
∂Q
∂M
∂P
=Q
−
−P
M
∂y
∂t
∂t
∂y
∂(M P )
∂y
=
∂(M Q)
∂t
gilt,
(2.9)
Häufig kann die partielle DGL (2.9) gelöst werden, wenn man M z.B. nur als Funktion von
y
t, y, t · y oder ansetzt und so die partielle DGL vereinfacht.
t
2.19 Beispiel
Gegeben sei die DGL
(ty 2 − y 3 ) dt + (1 − ty 2 ) dy = 0
| {z }
| {z }
P
48
(2.10)
Q
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Spezielle Typen von DGLen
Bernoullische DGLen
∂P
∂y
−
∂Q
∂t
= 2ty − 2y 2 6= 0 .
∂M
Setzt man den integrierenden Faktor in der Form M = M(y) an, d.h. gilt
= 0, erhält
∂t
man aus Gleichung (2.9):
∂Q
∂M
1 ∂P
−
=−
M·
P ∂y
∂t
∂y
|
{z
}
2
y
und damit die gewöhnliche DGL mit getrennten Variablen
2M
dM
=−
.
y
dy
Eine spezielle Lösung dieser DGL lautet M(y) = y −2 . Die mit M multiplizierte DGL (2.10)
lautet
(t − y)dt + (y −2 − t)dy = 0 .
Sie ist nach Beispiel 2.18 exakt und besitzt die allgemeine Lösung
1 2
t
2
− yt −
1
y
= C = konst. ⇐⇒ t2 y − 2y 2t − 2 − Cy = 0 .
❐
2.1.5. Bernoullische Differentialgleichungen
ẏ(t) + p(t)y(t) = q(t)y k (t)
mit k ∈ N
Bernoulli-DGLen lassen sich aus linear inhomogenen DGLen 1.-ter Ordnung ableiten.
Betrachten wir die inhomogene DGL erster Ordnung ẏ(t) + p(t)y(t) = q(t), so stellt die
Inhomogenität q(t) eine „Störung“ der homogenen DGL ẏ(t) + p(t)y(t) = 0 dar. Es sei
hier angemerkt, dass q(t) nicht etwa eine äußere Vorgabe für die gesuchte Lösungsfunktion
y(t) selbst darstellt. Dies kann schon auf Grund der unterschiedlichen „ökonomischen“ oder
„physikalischen“ Einheiten von y(t) und q(t) nicht stimmen. Vielmehr stellt q(t) einen äußeren Zwang dar, dem die gesamte linke Seite der DGL „unterliegt“, d.h. die Lösung y(t) wird
von q(t) beeinflusst und wird im allgemeinen ihr Aussehen im Vergleich zur Lösung yh (t) der
homogenen DGL signifikant ändern. In vielen ökonomischen und physikalischen Beispielen
findet man nun eine Abhängigkeit des äußeren Zwangs von Potenzen von y(t). Man erhält
also ẏ(t) + p(t)y(t) = q(t)y k (t) mit k ∈ N. Formal handelt es sich hier natürlich um eine
inhomogene lineare (k = 0) bzw. homogene lineare (k = 1) oder eine nichtlineare (k > 1)
DGL erster Ordnung. Für k > 1 spricht man von einer Bernoullischen Differentialgleichung.
1
Um eine Lösung zu finden, substituiert man y durch z m derart, dass eine inhomogene
lineare DGL (siehe Abschnitt 2.2) entsteht. Ausgehend von
ẏ + p y = q y k
c Klaus Schindler SS 2017
49
Differentialgleichungen
Dann gilt
Differenzen
1
erhält man nach Substitution y := z m
Differentialgleichungen
1
1
d
(z m ) + p z m
dt
k
= q zm
und damit
1
m
ż z
1−m
m
Multiplikation mit z
1
m
1
k
+ pzm = q zm.
ż + p z = q z
m−1
m
liefert
k+m−1
m
.
Wählt man m = 1 − k, ist die rechte Seite unabhängig von z und es gilt
1
1−k
ż + p z = q.
Die Bernoullische Differentialgleichung ẏ(t) + p(t) y(t) = q(t) y k (t) lässt sich also durch die
1
Substitution y(t) := z 1−k (t) in eine lineare inhomogene DGL erster Ordnung überführen.
2.1.6. Riccatische Differentialgleichungen
Die Bernoulli DGL stellt einen recht einfachen Typ von homogenen nichtlinearen DGLen
dar. Wählt man einen ähnlichen Ansatz der Form ẏ(t) + p(t) y(t) + q(t) y 2(t) = r(t), d.h.
setzt man in der Bernoulli DGL k = 2 und fügt eine Inhomogenität hinzu, so erhält man
die sogenannte Riccatische DGL. Findet man nun z.B. durch Raten eine spezielle Lösung
u(t), so ergibt sich mit der Substitution y(t) := u(t) + v(t)
u̇ + p u + q u2 +v̇ + (p + 2q u) v + qv 2 = r
|
{z
}
r
und damit nach Kürzen von r die Bernoullische DGL
v̇(t) + p(t) + 2q(t) u(t) v(t) = −qv 2
2.2. Lineare DGLen
Wie im ersten Kapitel wollen wir uns nun auf lineare DGLen einschränken.
2.20 Definition
Ein DGL-System F (t, y, ẏ, . . . , y (m) ) = 0 der Ordnung m heißt linear, wenn F in den
Variablen y, ẏ, . . . , y (m) linear ist. Es lässt sich dann in folgende äquivalente Form bringen:
Am (t)y (m) + Am−1 (t)y (m−1) + . . . + A0 (t)y = b(t)
(2.11)
y und die Inhomogenität b seien dabei Rn -wertige Funktionen und Aj (t) quadratische
(n×n)-Matrizen mit zeitabhängigen Koeffizienten. Sind die Aj konstant, d.h. unabhängig
50
c Klaus Schindler SS 2017
Lineare DGLen
von t, so heißt das DGL-System (2.11) ein lineares DGL-System mit konstanten Koeffizienten. Das System (2.11) heißt homogen, falls b ≡ 0 gilt, andernfalls inhomogen. Für den
Spezialfall n=1 erhält man die Definition einer linearen DGL m-ter Ordnung.
❐
Analog zu Satz 1.19 in Abschnitt 1.2 von Kapitel 1 ergibt sich der folgende Existenzsatz,
den wir ohne Beweis zitieren. Er ist eine Anwendung der zu Beginn dieses Kapitels gegebenen
Existenz- und Eindeutigkeitssätze 2.8 und 2.10.
2.21 Satz
Sind b : I → Rn und A : I → Rn×n stetige Abbildungen auf dem Intervall I, so besitzt die
lineare AWA
ẏ − A(t)y = b(t) ,
y(t0 ) = y0 .
eine eindeutige auf ganz I definierte Lösung ϕ : I → Rn
(2.12)
❑
Bevor wir zu Lösungsverfahren kommen, wollen wir uns zunächst überlegen, wie man eine
homogene lineare DGL vereinfachen kann, wenn man bereits eine Lösung ϕ kennt. Mittels
Variation der Konstanten wie im Beweis von Satz 1.23 b) entsteht durch die Substitution
y := ϕ·z eine lineare DGL, deren Ordnung um 1 reduziert ist11 .
2.22 Satz (Reduktionsverfahren von d’Alembert für lineare DGLen)
Seien a0 , . . . , am auf einem Intervall stetige Funktionen und ϕ eine nicht triviale Lösung der
homogenen linearen DGL
Λ(y) := am (t)y (m) + am−1 (t)y (m−1) + . . . + a1 (t)ẏ + a0 (t)y = 0 .
Ist ψ eine nicht triviale Lösung der homogenen linearen DGL
Λ1 (z) := bm−1 (t)z (m−1) + . . . + b1 (t)ż + b0 (t)z = 0 ,
wobei die Koeffizienten bj (t) für j = 0, 1, . . . , m−1 definiert sind durch
bj (t) =
m X
k
·ak (t)·ϕ(k−j−1) (t) ,
k=j+1
j+1
Z
so ist die Funktion ϕ(t)· ψ(t)dt eine zu ϕ linear unabhängige Lösung der DGL Λ(y)=0. ❑
Beweis:
Z
Sei ψ eine Lösung der DGL Λ1 (ψ) = 0. Definiert man φ(t) := ψ(t)dt und beachtet die
Leibniz-Regel
(f · g)
11
(k)
k X
k (j) (k−j)
=
f g
,
j=0
j
Das Reduktionsverfahren gilt entsprechend auch für DGL-Systeme (siehe Satz 2.24).
c Klaus Schindler SS 2017
51
Differentialgleichungen
Spezielle Typen von DGLen
Differenzen
so folgt:
Differentialgleichungen
Λ(ϕ · φ)
m
X
=
k=0
=
k
)=0
(k+1
=
m
X
ak (ϕ · φ)(k)
k X
k (j) (k−j)
ak
φ ϕ
j=0
k=0
m
m
XX ak
k=0 j=0
m
m
X
X
(j)
=
φ
j=0
m
X
=
φ
k=0
|
=
k=j
j
k
j
φ(j) ϕ(k−j)
k
ak
ϕ(k−j)
j
m
X
k
(k)
ak
ϕ +
0
{z
=Λ(ϕ)=0
}
j=1
φ · 0 + Λ1 (ψ) = 0
Die lineare Unabhängigkeit von ϕ und φ :=
Sind α, β ∈ R mit
Z
(j)
φ
|{z}
ψ(j−1)
m
X
k=j
|
k
ak
ϕ(k−j)
j
{z
bj−1
}
ψ(t)dt ergibt sich aus folgender Überlegung:
α · ϕ(t) + β · ϕ(t)φ(t) = 0 ,
so folgt wegen ϕ 6≡ 0 die Gleichung
α + β · φ(t) = 0 .
Differenziert man die letzte Gleichung nach t und beachtet, dass φ̇ = ψ gilt, so folgt
β · ψ(t) = 0 .
Aus ψ 6≡ 0 folgt β = 0 und damit auch α = 0.
2.23 Beispiel
Die homogene lineare DGL zweiter Ordnung
t2 (1−t)ÿ + 2t(2−t)ẏ + 2(1+t)y = 0
besitzt die Lösung ϕ(t) = t−2 . Die Anwendung des Reduktionsverfahrens liefert mit a2 (t) =
t2 (1−t) und a1 (t) = 2t(2−t)
2 X
k
ak (t)ϕ(k−1) (t) = a1 (t)ϕ(t) + 2a2 (t)ϕ̇(t) = 2
b0 (t) =
k=1
und
1
b1 (t) = a2 (t)ϕ(t) = 1 − t .
52
c Klaus Schindler SS 2017
Spezielle Typen von DGLen
Lineare DGLen
(1−t)ż + 2z = 0 .
Diese ist separabel und besitzt die Lösung ψ(t) = (1−t)2 . Damit ergibt sich als zweite
Lösung φ der ursprünglichen DGL
Z
Z
(1−t)3
−2
(1−t)2 dt = − 2 .
φ(t) = ϕ(t) ψ(t)dt = t
3t
❐
Das Reduktionsverfahren von d’Alembert lässt sich entsprechend auch für lineare DGLSysteme anwenden. Es hat allerdings den Nachteil, dass das reduzierte System von n−1
Gleichungen sich im allgemeinen nicht mehr in eine lineare DGL der Ordnung n−1 zurück
transformieren lässt.
2.24 Satz (Reduktionsverfahren von d’Alembert für lineare DGL-Systeme)
n
Sei A : I → Rn×n mit A(t) = ai,j (t) i,j=1 eine auf dem Intervall I stetige Abbildung (d.h.
die Komponentenfunktionen ai,j sind stetig). ϕ(t) = (ϕ1 (t), . . . , ϕn (t))T sei eine bekannte,
nicht triviale Lösung des homogenen DGL-Systems
ẏ = A(t)y .
Definiert man die (n−1)×(n−1)-Matrix
ϕℓ (t) n
:=
Ã(t)
ak,ℓ (t)−a1,ℓ (t)
ϕ1 (t)
k,ℓ=2
und ist ψ:I→Rn−1 mit ψ(t)=(ψ2 (t), . . . , ψn (t))T eine Lösung des reduzierten DGL-Systems
ż = Ã(t)z ,
so ist eine weitere von ϕ linear unabhängige Lösung φ des DGL-Systems ẏ = A(t)y gegeben
durch
 ϕ (t)  

0
1
!
Z t
n
1 X
 ϕ2 (t)   ψ2 (t) 
φ(t) :=
a1,ℓ (s)ψℓ (s)ds · 
..  + 
.. 
.
.
t0 ϕ1 (s) ℓ=2
ϕn (t)
ψn (t)
❑
Beweis:
Wir versuchen eine zweite Lösung φ der DGL ẏ = A(t)y zu finden mit dem Ansatz
φ(t) := λ(t) · ϕ(t) + ψ̃(t) .
Hierbei gelte ψ̃(t) := (0, ψ2 (t), . . . , ψn (t))T mit noch unbekannten Funktionen ψ2 , . . . , ψn
und der Kurzbezeichnung
Z t
n
1 X
a1,ℓ (s)ψℓ (s)ds .
λ(t) :=
t0
ϕ1 (s)
ℓ=2
c Klaus Schindler SS 2017
53
Differentialgleichungen
Es ergibt sich daher die reduzierte DGL
Differenzen
φ ist genau dann eine Lösung, wenn A(t)φ(t) = φ̇(t) gilt. Einsetzen der speziellen Form
von φ liefert:
Differentialgleichungen
˙
A(t)φ(t) = λ(t)A(t)ϕ(t) + A(t)ψ̃(t) = φ̇(t) = λ̇(t)ϕ(t) + λ(t)ϕ̇(t) + ψ̃(t)
Da ϕ̇(t) = A(t)ϕ(t) gilt, ergibt sich, dass ψ̃ der folgenden DGL genügen muss:
˙
A(t)ψ̃(t) − λ̇(t)ϕ(t) = ψ̃(t)
= (0, ψ̇2 (t), . . . , ψ̇n (t))T
Für die erste Komponente dieses Gleichungssystems bedeutet dies
n
X
ℓ=2
a1,ℓ (t)ψℓ (t) − λ̇(t)ϕ1 (t) = 0
(2.13)
und für die Komponenten i = 2, . . . , n:
n
X
ℓ=2
ai,ℓ (t)ψℓ (t) − λ̇(t)ϕi (t) = ψ̇i (t)
(2.14)
Aus Gleichung (2.13) ergibt sich
λ̇(t) =
1
ϕ1 (t)
n
X
a1,ℓ (t)ψℓ (t) .
(2.15)
ℓ=2
Setzt man dies in Gleichung (2.14) ein, ergibt sich, dass die gesuchten Funktionen ψ2 , . . . , ψn
den folgenden Gleichungen genügen müssen:
n X
a (t)ϕi (t)
ai,ℓ (t) − 1,ℓ
ψ̇i (t) =
ψℓ (t)
ℓ=2
ϕ1 (t)
(i = 2, . . . , n)
Damit ist ψ := (ψ2 , . . . , ψn )T gerade eine Lösung des DGL-Systems
ż = Ã(t)z ,
Integriert man Gleichung (2.15), erhält man die gewünschte Integralform von λ.
Die Unabhängigkeit der Lösungen φ und ϕ folgt sofort aus der Darstellung von φ.
Wie in Kapitel 1 (siehe die Sätze 1.21 bzw. 1.25) ergibt sich aus dem Existenzsatz 2.21
für lineare DGL-Systeme folgende Struktur für den Lösungsraum linearer DGLen.
2.25 Satz
Sind b(t) und A(t) wie in Satz 2.21, so gelten folgende Aussagen für den homogenen bzw.
inhomogenen Lösungsraum Lh bzw. L der DGL
ẏ − A(t)y = b(t) .
54
(2.16)
c Klaus Schindler SS 2017
Lineare DGLen
a) Lh ist ein Vektorraum der Dimension n. Eine Basis (Fundamentalsystem) von Lh ist
gegeben durch die Funktionen ϕ1 , . . . , ϕn , wobei ϕj die nach Satz 2.21 eindeutigen
Lösungen der homogenen AWA ẏ−A(t)y=0, ϕj (t0 )=ej sind.
b) Ist ψ eine spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen DGL, so gilt
L = {ψ} + Lh
❑
Beweis:
Der Beweis stimmt wörtlich mit den Beweisen der analogen Aussagen für △GLen (siehe Satz
1.21) bzw. △GL-systeme (siehe Satz 1.25) überein. Wie dort wird für jeden Startpunkt t0
ein Isomorphismus ℑt0 : Lh → Rn definiert durch
ℑt0 (ϕ) := ϕ(t0 ) .
Die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Lösungen linearer DGL-Systeme kann
mit Hilfe von Determinanten erfolgen. Wir benötigen hierzu folgenden Begriff.
2.26 Definition
Für n Abbildungen ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn : I → Rn heißt die Funktion W : I → R mit
W (t) := det ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)
die Wronski-Determinante der Funktionen ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn .
❐
Der folgende Satz zeigt, dass mit der Wronski-Determinante Lösungssysteme linearer
DGLen mit wenig Aufwand auf lineare Unabhängigkeit untersucht werden können.
2.27 Satz
Mit den Bezeichnungen aus Definition 2.26 sind folgende Aussagen äquivalent:
a) ϕ1 , . . . , ϕn ist ein Fundamentalsystem des linearen DGL-Systems ẏ(t) = A(t)y(t).
b) ∀t∈I : W (t)6=0, d.h. die Matrix ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t) ist invertierbar
c) ∃s∈I : W (s)6=0, d.h. die Matrix ϕ1 (s), ϕ2 (s), . . . , ϕn (s) ist invertierbar
❑
Beweis:
a) ⇒ b): Nach Satz 2.25 wird für jedes t ∈ I durch ℑt (y) := y(t) eine bijektive und
lineare Abbildung von Lh nach Rn definiert, so dass ℑt und ℑ−1
t jede Basis in eine Basis
überführen. Ist nun (ϕ1 , . . . , ϕn ) ein Fundamentalsystem von Lh , sind die Vektoren
ϕ1 (t) = ℑt (ϕ1 ), . . . , ϕn (t) = ℑt (ϕn ) eine Basis des Rn , so dass gilt
0 6= det ϕ1 (t), . . . , ϕn (t) = W (t) .
c Klaus Schindler SS 2017
55
Differentialgleichungen
Spezielle Typen von DGLen
Differenzen
b) ⇒ c) Klar.
Differentialgleichungen
c) ⇒ a): Wegen W (t0 ) = det(ϕ1 (t0 ), . . . , ϕn (t0 )) 6= 0 bilden ϕ1 (t0 ), . . . , ϕn (t0 ) eine Basis
des Rn . Damit sind die Urbilder dieser Vektoren, d.h. die Funktionen ℑ−1
t0 (ϕ1 (t0 )) =
−1
ϕ1 , . . . , ℑt0 (ϕn (t0 )) = ϕn linear unabhängig in Lh .
2.28 Beispiel
Wir betrachten die DGL t2 (1−t)ÿ + 2t(2−t)ẏ + 2(1+t)y = 0 aus Beispiel 2.23.
Überführt man die DGL mit Hilfe von Lemma 2.5 in ein System 1. Ordnung, erhält man





0
1
ẏ1 (t)
y
(t)
 1
 = 

ẏ(t) = 
 2(1+t)
2(2−t) 
ẏ2 (t)
y2 (t)
−2
−
t (1−t)
t(1−t)
Um die Stetigkeit der Koeffizienten zu gewährleisten, wählt man als Definitionsbereich eines
der Intervalle ] − ∞, 0[, ]0, 1[, ]1, ∞[ aus. Dieses homogene DGL-System besitzt wie in
Beispiel 2.23 gesehen die Fundamentallösungen




(t−1)3
t−2
3t2
 , ϕ2 (t) = 

ϕ1 (t) = 
2
(t−1)
(t+2)
−3
−2t
3t3
Für die Wronski-Determinante W (t) gilt


(t−1)3
−2
t
,
 (t−1)2

3t2
W (t) = det 
 = t4 ,
(t−1)2 (t+2)
−3
−2t ,
3
3t
1
so dass wegen W (−1) = 4 6= 0, W ( ) = 4 6= 0 und W (2) = 2−4 6= 0 die beiden Lösungen
2
in allen uns interessierenden Intervallen ein Fundamentalsystem von Lh sind.
❐
Auch die Lösung von DGLen bzw. DGL-Systemen erster Ordnung erfolgt analog zu den
entsprechenden Sätzen über △GLen bzw. △GL-systeme (siehe Satz 1.23 bzw. 1.25). Es muss
nur darauf geachtet werden, dass an die Stelle von Potenzfunktionen und Summen die
analogen „stetigen“ Begriffe Exponentialfunktion und Integral treten.
2.29 Satz
Gegeben sei das lineare DGL-System erster Ordnung
ẏ − A(t)·y = b(t) ,
mit gegebenen stetigen Funktionen b : R → Rn und A : R → Rn×n . Dann gilt12
12
Die Aussage gilt auch, wenn b und A nur auf einem Intervall I definiert sind.
56
c Klaus Schindler SS 2017
Spezielle Typen von DGLen
Lineare DGLen
o
n
a) Für den homogenen Lösungsraum gilt Lh = Φ(t)·c c∈Rn , wobei Φ : R → Rn×n
Φ(t)= exp
Zt
A(s)ds
t0
b) Eine partikuläre Lösung ψ : R → Rn lautet
ψ(t) = Φ(t)
Z
t
t0
Φ(s)−1 ·b(s)ds .
(2.17)
c) Sind b und A konstant und A invertierbar, gilt
Φ(t)= eA·t
und ψ(t) = −A−1 ·b
❑
Beweis:
a) Es gilt gemäß Kettenregel
d
dt
eB(t) = Ḃ(t)· eB(t)
Rt
Wählt man speziell B(t)= A(s)ds folgt Ḃ(t)=A(t) und damit die Behauptung
t0
Φ̇(t) = A(t)·Φ(t) ⇐⇒ Φ̇(t) − A(t)·Φ(t) = 0
b) Wir zeigen mittels Einsetzen, dass ψ der inhomogenen DGL ẏ−A(t)·y=b(t) genügt14 .
Mit der Produktregel folgt wegen Φ̇(t)=A(t)·Φ(t)
Z
t
Φ(s)−1 b(s)ds + Φ(t)Φ(t)−1 b(t)
t0
Z t
= A(t) Φ(t) Φ(s)−1 b(s)ds + b(t)
t0
|
{z
}
ψ̇(t) = Φ̇(t)
ψ
= A(t)ψ(t) + b(t)
c) Dies ist eine direkte Konsequenz von Teil b)!
13
14
Man beachte, dass Φ(t0 )= gilt.
Die Formel kann wieder mittels „Variation der Konstanten“, d.h. durch den Ansatz ψ := Φ(t)·c(t) wie im
Beweis von Satz 1.23 b) hergeleitet werden.
c Klaus Schindler SS 2017
57
Differentialgleichungen
definiert ist durch13
Differenzen
2.30 Beispiel
i) Man bestimme die Lösung der linearen AWA
Differentialgleichungen
ẏ −
t−2
t(1−t)
| {z }
·y =
A(t)
1
t2 (1−t)
y(−1) = 3
,
| {z }
b(t)
Wir berechnen zunächst
Z
Z
Z h
i
t−2
t−1 2
1
A(t)dt =
dt =
− dt = ln(t−1) − 2 ln(t) = ln 2
t(1−t)
t−1
t
t
Damit ergibt sich mit Satz 2.29 als homogene Fundamentallösung Φ(t)
Φ(t) = exp ln
t−1
t2
=
t−1
t2
Formel (2.17) liefert als partikuläre Lösung
Ψ(t) = Φ(t)
Z
t−1
t2
−1
Φ(t) ·b(t)dt =
Z
−(t−1)−2 dt =
1
t2
Die allgemeine Lösung lautet daher
y(t) = Ψ(t) + C·Φ(t) =
1
t2
+ C·
t−1
t2
und aus der Anfangsbedingung folgt
!
3 = y(−1) = 1−2·C =⇒ C= − 1 .
Die gesuchte Lösung lautet also y(t) =
1
t2
−
t−1
t2
2−t
.
t2
=
ii) Gegeben sei folgende homogene lineare DGL zweiter Ordnung:
ÿ + 8tẏ + 9t2 y = 0
Das gemäß Lemma 2.5 zugehörige äquivalente DGL-System lautet

ẏ(t) = 
ẏ1 (t)
ẏ2 (t)


=
Dann gilt
Z
58
A(t)dt =

0
−3t3
|
,
,
0
−9t
1
,
2
, −8t
{z
:=A(t)
t
−4t2
!
 
 ·
}
= B·
|

y1 (t)

y2 (t)
−3t2
0
c Klaus Schindler SS 2017
,
0
, −t2
{z
D
!
}
·B −1
Spezielle Typen von DGLen
Lineare DGLen
B=
1
− 3t
1
, − 1t
,
1
!
,
Dies liefert wegen B·D·B −1
Φ(t) = exp
Z
B
k
−1
=
t ,
1
−t , − 13
3
2
!
.
= B·Dk ·B −1
∞
∞
X
X
(B·D·B −1 )k
Dk
A(t)dt =
·B −1 = B· eD ·B −1
= B·
k!
k=0
k=0
k!
Da für die Diagonalmatrix D offensichtlich
2
D
e =
e−3t
0
,
0
−t2
, e
!
2
−t2
=e
·
e−2t
0
, 0
, 1
!
gilt, folgt schließlich
2
D
Φ(t) = B· e ·B
−1
1
2
−t2
= e
3 − e−2t
,
−2t2
3t·(e
−1) ,
1
−2t2
)
t ·(1 − e
−2t2
3e
−1
!
R
iii) Das vorherige Beispiel ist relativ einfach, weil die entscheidende Matrix A(t)dt diagonalisiert werden kann15 , was die Berechnung der Exponentialmatrix deutlich vereinfacht. Dies ist in vielen Fällen jedoch nicht möglich. In diesen Situationen verwendet
man die sog. Jordan-Normalform von Matrizen. Diese liefert eine „fast“ diagonale Matrix. Genauer gilt, dass jede (n×n)-Matrix M mit einer invertierbaren (n×n)-Matrix
B auf Jordan-Normalform J gebracht werden kann (zur genauen Aussage siehe Anhang Satz D.6), d.h.
M = B·J ·B −1
Damit gilt wie in Teil ii)
eM = B· eJ ·B −1 .
Die Berechnung der Matrix eJ ist nun ähnlich einfach wie bei einer Diagonalmatrix
(siehe auch Beispiel A.10 iii) des Anhangs). Folgende DGL, in der wir das letzte Beispiel
leicht verändert haben, verdeutlicht die Vorgehensweise.
Gegeben sei folgende lineare DGL zweiter Ordnung:
ÿ + 4tẏ + 3t2 y = 0
15
Zur genauen Vorgehensweise beachte man Beispiel A.10 im mathematischen Anhang auf Seite 174.
c Klaus Schindler SS 2017
59
Differentialgleichungen
mit
Differenzen
Das gemäß Lemma 2.5 zugehörige äquivalente DGL-System hat die Form

Differentialgleichungen
ẏ(t) = 
|
0
1
,
−3t
2
, −4t
{z
:=A(t)
Dann gilt
Z
A(t)dt =
0
−t3

 ·y(t)
}
!
,
t
, −2t2
= B·
|
mit
− 1t
1
B=
,
0
1
, − t2
!
,
B
−1
−t2
0
,
1
, −t2
{z
}
J (t)
−t ,
−t3 ,
=
!
0
−t2
!
·B −1
.
Wie im vorigen Beispiel folgt dann (mit J (t) anstelle von D)
Z
−1
Φ(t) = exp
A(t)dt = eB·J (t)·B = B· eJ (t) ·B −1
Für die Jordanmatrix J gilt nun
2
e
J (t)
e−t
0
=
2
, e−t
2
, e−t
!
−t2
=e
·
1 , 1
0 , 1
!
Zusammen ergibt sich
J
Φ(t) = B· e ·B
−1
=e
−t2
·B·
1 ,
0 ,
1
1
!
·B
−1
−t2
=e
1+t2
−t3
,
t
, 1−t2
iv) Wir betrachten das DGL-System ẏ = Ay, mit der konstanten Matrix



A=

3
0
0
3
0
1
0
−1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
−1
0
−2
2
2
0
2
Es gilt



A = BJ B −1
mit den Matrizen


B=

60
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
−1
1
−1
0
0
0
−1
0
1
0
−1
−1
0


 −1 
, B = 


1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
−1
0
1
−1
0
0
c Klaus Schindler SS 2017




!
Spezielle Typen von DGLen
Lineare DGL
und der Jordanmatrix

J =

3
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
2

Differentialgleichungen




Dies liefert
eJ1 ·t
O
Φ(t) = eA·t = B· eJ ·t ·B −1 = B·
O
eJ2 ·t
!
·B −1 .
Nun gilt (zur Rechnung siehe Beispiel A.10 iii) im Anhang)


eJ ·t = 

e3t
0
0
e3t
0
0
0
0
0
0
0
0
e2t
t e2t
0
0
0
e2t
1 2 2t
t e
2
t e2t
0
0
0
0
e2t




und es folgt letztendlich


Φ(t) = B· eJ ·t ·B −1 = 

e3t
0
0
e3t
0
e3t − e2t
0
−t e2t
0
0
0
0
e2t
t e2t
0
0
0
0
+ e2t
− e3t
− e3t
0
+ e2t −t e2t
e2t
+2t e2t
− 21 t2 e2t
0
e2t




❐
Liegt eine lineare DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten vor, kann statt der
Umwandlung in ein lineares DGL-System der Ordnung 1 (wie in den Beispielen 2.30ii), iii),
iv) alternativ auch die schon bei △GL-en eingeführte Nullstellenmethode verwendet werden.
d
Führt man formal den Differentialoperator D :=
ein, so nimmt die lineare DGL mit
dt
konstanten Koeffizienten
y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 ẏ + a0 y = 0
folgende Form an:
D n + an−1 D n−1 + . . . + a1 D + a0 y(t) = 0.
Ist λ eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung D n + an−1 D n−1 + . . . + a1 D + a0 = 0
mit der Vielfachheit k, so sind die Funktionen
ϕ(j) (t) := tj eλt
(j = 0, 1, . . . k−1)
Lösungen der homogenen DGL. Eine spezielle Lösung findet man wiederum mittels Variation
der Konstanten. Man erhält (inklusive Beweis) das stetige Analogon zu Satz 1.27.
c Klaus Schindler SS 2017
61
Differenzen
Differentialgleichungen
2.31 Satz (Lösung linearer DGLen mit konstanten Koeffizienten)
Sei z eine Nullstelle der Vielfachheit k der charakteristischen Gleichung der homogenen
linearen DGL mit konstanten Koeffizienten
y (m) + an−1 y (m−1) + . . . + a1 ẏ + a0 y = 0
(2.18)
Dann ist für jedes Polynom P mit grad(P ) 6 k−1 die Funktion ϕ(t):=P (t) · ezt ebenfalls
eine Lösung der DGL (2.18).
❑
2.32 Beispiel
Gegeben sei die homogene lineare DGL
y (6) + y (5) − 4y (4) + 2y (3) − 11ÿ + ẏ − 6y = 0
Die zugehörige charakteristische Gleichung
x6 + x5 − 4x4 + 2x3 − 11x2 + x − 6 = 0
liefert die Nullstellen (inklusive Vielfachheit)
−i, −i, i, i, −3, 2
und damit gemäß Satz 2.31 die Lösungsfunktionen
e−it , t e−it , eit , t eit , e−3t , e2t
Um reelle Lösungen zu erhalten, wählen wir von den komplexen Lösungsfunktionen den
Real- bzw. Imaginärteil. Damit ergeben sich als reelle Fundamentalbasis die Funktionen
cos(t), sin(t), t· cos(t), t· sin(t), e−3t , e2t
❐
Wie Satz 2.29 zeigt, ist die Lösung homogener linearer DGL-Systeme 1. Ordnung besonders einfach, wenn die das System beschreibende Matrix konstant ist, da dann alle homogenen Lösungen von der Form y(t) = eAt ·c sind.
Die Beispiele 2.30 ii) - iv) zeigen jedoch, dass die Berechnung von eAt einen hohen Aufwand
erfordert, so dass Satz 2.29 nur eingeschränkt verwendet werden kann. Kennt man jedoch
Eigenwerte und Eigenvektoren von A, so stellt er ein äußerst nützliches Ergebnis dar. Ist
nämlich v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ von A, d.h. gilt Av = λv, so ist nach
dem letzten Satz y(t) := eAt v eine Lösung des homogenen DGL-Systems, die sich explizit
berechnen lässt. Man erhält nämlich:
y(t) = e
At
v =
∞
X
Aj · tj
j=0
j!
v =
∞
X
Aj · v
j=0
j!
j
t =
∞
X
λj v
j=0
j!
tj = eλt v
Genauere Informationen über diesen Sachverhalt liefert der folgende Satz.
62
c Klaus Schindler SS 2017
Spezielle Typen von DGLen
Lineare DGL
a) Für λ ∈ C und 0 6= v ∈ Cn ist die Abbildung ϕ mit ϕ(t) := eλt v genau dann eine
Lösung des homogenen DGL-Systems ẏ = Ay, wenn λ ein Eigenwert der Matrix A
zum Eigenvektor v ist.
b) Die Lösungen ϕj (t) := eλj t vj (j=1, . . . , k) des DGL-Systems ẏ = Ay sind genau dann
linear unabhängig, wenn die Vektoren v1 , . . . , vk linear unabhängig sind.
❑
Beweis:
a) Ist ϕ(t) := eλt v eine Lösung des DGL-Systems ẏ = Ay, so gilt für alle t ∈ R:
λ eλt v = ϕ̇(t) = Aϕ(t) = A · (eλt v) = eλt A · v .
Speziell für t = 0 folgt λv = Av.
Ist umgekehrt λ ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v, so folgt für alle t ∈ R:
d λt
e v
dt
= eλt λv = eλt Av = A · (eλt v) .
Daher genügt ϕ(t) := eλt v dem DGL-System ẏ = Ay.
b) Sind die Abbildungen ϕj (t) := eλj t vj linear unabhängig, so folgt die lineare Unabhängigkeit der Vektoren vj folgendermaßen. Seien α1 , . . . , αk ∈ R mit
0=
k
X
αj vj =
j=1
k
X
αj ϕj (0) .
j=1
Dann ist die Abbildung
k
P
j=1
αj ϕj Lösung der AWA ẏ = Ay, y(0) = 0. Da y ≡ 0 diese
AWA ebenfalls löst, folgt wegen der Eindeutigkeitsaussage in Satz 2.21, dass beide
Abbildungen übereinstimmen, d.h. es gilt
k
X
j=1
αj ϕj ≡ 0 .
Wegen der linearen Unabhängigkeit der ϕj muss daher α1 = . . . = αk = 0 gelten. Sind
umgekehrt die Vektoren v1 , . . . , vk linear unabhängig, so folgt die lineare Unabhängigkeit der ϕj , denn
k
X
j=1
αj ϕj = 0 =⇒
k
X
j=1
αj ϕj (0) =
k
X
αj vj = 0 =⇒ α1 = . . . = αk = 0
j=1
c Klaus Schindler SS 2017
63
Differentialgleichungen
2.33 Satz
Sei A ∈ Rn×n konstant.
Differenzen
Differentialgleichungen
2.34 Bemerkung
i) Liegt eine Basis von Eigenvektoren vor, liefert Satz 2.33 ein Fundamentalsystem des
DGL-Systems ẏ = Ay. Dies ist insbesondere dann erfüllt, wenn die (n×n)-Matrix n
verschiedene Eigenwerte besitzt, da die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
linear unabhängig sind16 .
ii) Das Problem komplexer Eigenwerte und Eigenvektoren lässt sich wie früher beheben.
Ist λ ein komplexer Eigenwert der reellen Matrix A mit dem Eigenvektor v = a + ib,
so ist auch λ̄ ein Eigenwert zum Eigenvektor v̄ = a − ib, denn wegen Ā = A gilt:
λ̄v̄ = λv = Av = Āv̄ = Av̄
Also sind ψ(t):= eλt v und ψ(t):= eλ̄t v̄ Lösungen des linearen DGL-Systems. Aufgrund
der Linearität ergeben sich dann linear unabhängige reellwertige Lösungen durch:
Re(ψ) =
1
(ψ
2
+ ψ̄), Im(ψ) =
1
(ψ
2i
− ψ̄)
❐
Probleme ergeben sich bei Eigenwerten mit einer algebraischen Vielfachheit m > 2, d.h.
mit mehrfachen Nullstellen des charakteristischen Polynoms, da die Dimension des zugehörigen Eigenraumes (geometrische Vielfachheit) i.a. ungleich der algebraischen Vielfachheit
m ist, wie man etwa in Beispiel D.5, Anhang D sehen kann.
Der folgende Satz ist das Analogon zu Satz 1.27 bzw. Satz 2.31, wo gezeigt wurde, dass für
einen Eigenwert λ der Vielfachheit k alle Funktionen vom Typ P (t) eλt Lösungen der homogenen DGL ẏ=Ay sind, sofern P ein Polynom mit grad(P )6k−1 ist. Da ein DGL-System
vorliegt, ist P entsprechend ein vektorwertiges Polynom, dessen Koeffizienten Eigenvektoren (evtl. höherer Stufen) von A sind. Dies soll zunächst durch eine Plausibilitätsüberlegung
motiviert werden.
Nehmen wir hierzu an, dass Vektoren a, b und c (a, b 6= 0) existieren, so dass
ϕ(t) = (at2 +bt + c) eλt
|
{z
}
P (t)
eine Lösung des homogenen DGL-Systems ẏ = Ay ist.
Setzt man ϕ in das DGL-System ein, ergibt sich die Forderung
h
i
!
λat2 + (2a+λb)t + b + λc eλt = A(at2 +bt + c) eλt
{z
}
|
{z
}
|
Aϕ
=ϕ̇(t)
Kürzen von eλt und anschließender Koeffizientenvergleich liefert
!
(A−λ )c = b,
16
1
(A−λ
2
!
)b = a,
!
(A−λ )a = 0
Siehe Satz D.4 b) des Anhangs.
64
c Klaus Schindler SS 2017
Spezielle Typen von DGLen
Lineare DGL
und damit
Also sind a, b und c Eigenvektoren der Stufe 1, 2 bzw. 3 und die gefundene Lösung lautet
2
λt
2 1 2
ϕ(t) = (at +bt + c) e = (A−λ ) c 2 t + (A−λ )c t + c eλt
| {z }
|
{z
}
=b
=a
Diese Aussage kann auf Eigenvektoren beliebiger Stufe verallgemeinert werden und liefert
einen alternativen Weg zur Bestimmung der Lösung ohne Verwendung der Jordanform von
Matrizen wie in Beispiel 2.30 iii) und iv). Genauer gilt:
2.35 Satz
Sei A eine (n×n)-Matrix mit dem Eigenwert λ und v ein zugehöriger Eigenvektor der Stufe
k. Dann ist eine Lösung der DGL ẏ = Ay gegeben durch die Abbildung ϕ : R → Rn mit
k−1
X
tj
λt
(A−λ )j v .
ϕ(t) := e
j!
j=0
❑
Beweis:
Wegen (A−λ )A = A(A−λ ) und wegen
folgt:
(∗) (A−λ )k−1 (λv) = (A−λ )k−1 (Av − (A−λ )v)
= (A−λ )k−1 Av − (A−λ )k v
| {z }
= 0
k−1
= (A−λ ) Av
ϕ̇(t) = λ eλt
k−1
X
tj
j=0
λt
= e
X
k−1
j=0
λt
= e
X
k−2
j=0
(∗)
λt
= e
X
k−2
j=0
λt
= e
k−1
X
tj
j=0
λt
= Ae
j!
j!
(A−λ )j v + eλt
j=1
tj
(A−λ
j!
tj
(A−λ
j!
tj
(A−λ
j!
j
) (λv) +
(j−1)!
k−2
X
tj
j=0
j!
(A−λ )j v
(A−λ )
j
) [λv + (A−λ )v] +
j
) Av +
tk−1
(A−λ
(k−1)!
j+1
v
tk−1
(A−λ
(k−1)!
)
k−1
Av
)
k−1
(λv)
(A−λ )j Av
k−1
X
tj
j=0
k−1
X
tj−1
j!
(A−λ )j v = Aϕ(t)
c Klaus Schindler SS 2017
65
Differentialgleichungen
(A−λ )3 c = (A−λ )2 b = (A−λ )a = 0 .
Differenzen
Differentialgleichungen
2.36 Beispiel
Wir betrachten das DGL-System ẏ = Ay, wobei A wie in Beispiel D.5 a) bzw. b) sei17 .
A besitzt die Eigenwerte λ1 = 0 (algebraische Vielfachheit 1) und λ2 = −1 (algebraische
Vielfachheit 3). v0 = (1, 1, 0, 0)T ist Eigenvektor zum Eigenwert λ1 . v1 = (1, 0, −1, 0)T ,
v2 = (0, 1, 1, −1)T und v3 = (0, 1, 0, 0)T sind Eigenvektoren der Stufe 1, 2 und 3 zum
Eigenwert λ2 . Nach dem letzten Satz ist daher ein Fundamentalsystem des DGL-Systems
ẏ = Ay gegeben durch
ϕ0 (t) = eλ1 t v0 = v0

ϕ1 (t) = eλ2 t v1 = e−t v1

ϕ2 (t) = eλ2 t v2 + t(A−λ2 )v2 = e−t 
0
1
1
−1




 + t
t2
ϕ3 (t) = eλ2 t v3 + t(A−λ2 )v3 + (A−λ2 )2 v3
2




 
1
0
0


 + t
1
1
−1
0
−1
0



1
0
0

= e−t 
1
 t2 
+ 2
0
−1
0


❐
2.3. Laplace-Transformation
Häufig ist es nützlich, mittels einer Integraltransformation von einer DGL zu einer transformierten Gleichung überzugehen, die rein algebraisch und daher einfacher zu lösen ist, als die
ursprüngliche DGL. Dennoch ist die Schwierigkeit, eine DGL zu lösen, damit nicht beseitigt
worden. Im allgemeinen steckt sie in der Rücktransformation der Lösung der transformierten
Gleichung. Als Integraltransformation benutzt man oft die Laplace-Transformation:
Z ∞
L f (s) :=
e−st f (t)dt
0
Der Grund für das Arbeiten mit der Laplace-Transformation liegt in der Rechenregel
L f˙ (s) = s · L f (s) − f (0).
Sie ergibt sich folgendermaßen mittels partieller Integration:
t=∞ Z
Z ∞
part.Int.
−st
−st
−
L f˙ (s) =
e f˙(t)dt
=
e f (t)
0
t=0
=
=
17
−f (0) + s
Z
∞
0
∞
d
dt
e
−st
f (t)dt
e−st f (t)dt
0
s · L f (s) − f (0)
Dieses DGL-System beschreibt die gedämpfte Schwingung zweier Pendel, die durch eine Feder miteinander
verbunden sind
66
c Klaus Schindler SS 2017
2.3. Laplace-Transformation
Diese Eigenschaft, dass die Ableitung bzgl. der Variablen t bei der Laplace-Transformation
in eine Multiplikation mit der Variablen s überführt wird, liefert eine rein algebraische
Gleichung. Deren Lösung enthält die Startwerte y(0), ẏ(0), . . . (siehe den Differentiationssatz
auf Seite 68), was die Berechnung der sonst vorkommenden Integrationskonstanten in der
allgemeinen Lösung erspart. Man betrachte hierzu folgendes Beispiel.
2.37 Beispiel
Bei gegebener konstanter (n×n)-Matrix A betrachte man die lineare AWA
ẏ(t) = Ay(t) + b(t),
y(0) = y0 ,
Wendet man den Laplace-Operator an und bezeichnet L {y} mit Y , so erhält man unter
Beachtung der Linearität von L und der gerade hergeleiteten Rechenregel
L ẏ (s) = s · L y (s) − y(0) = s · Y (s) − y0 .
Es ergibt sich damit die äquivalente (rein algebraische Gleichung)
s · Y (s) − y0 = A · Y (s) + L {b}(s) ,
mit der Lösung
Y (s) = (s· − A)−1 L {b}(s) + y0 .
Die gesuchte Lösung der AWA ist dann
y(t) = L
Y (s) (t) ,
−1
d.h. die Abbildung y, deren Laplacetransformierte gerade y liefert. Die genaue Lösung und
weitere Beispiele werden in Beispiel 2.40 vorgestellt.
❐
2.38 Bemerkung
i) Für die Existenz der Laplacetransformierten L {f } ist die exponentielle Wachstumsbeschränkung |f (t)| ≤ K ect erforderlich. L {f }(s) ist dann eine analytische Funktion
auf der Menge der komplexen Zahlen s mit Re(s) > c. Alle Laplacefunktionen g(s), die
auf solche Weise entstehen, haben die Eigenschaft, dass sie nebst ihren Ableitungen
beim Grenzübergang s → ∞ verschwinden, genauer:
lim
Re(s)→∞
L f (s) = 0
ii) Ist die Funktion g(s) vorgegeben und das Urbild f (t) := L
1
f (t) = L g (t) =
−1
2πi
Z
c+i∞
g (t) gesucht, so gilt:
−1
est g(s)ds
c−i∞
c Klaus Schindler SS 2017
67
Differentialgleichungen
Laplace-Transformation
Differenzen
iii) Unter der Faltung zweier Funktionen f1 und f2 versteht man die folgendermaßen
definierte Funktion f1 ∗ f2 :
Differentialgleichungen
(f1 ∗ f2 )(t) :=
Z
t
0
f1 (t − τ )f2 (τ )dτ
Es gilt f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 .
❐
Die Laplacetransformation L und ihre Inverse L
−1
haben folgende Eigenschaften18 :
1. Additionssatz
L af1 + bf2 = aL f1 + bL f2
(a, b ∈ R konstant)
L
−1
−1
−1
ag1 + bg2 = aL g1 + bL g2
(a, b ∈ R konstant)
2. Differentiationssatz
n−1
X
(n) n
sn−1−j f (j) (0)
L f
(s) = s L f (s) −
j=0
L
dn −1 n n
g
(t)
=
(−1)
t
L
g (t)
n
−1
ds
3. Integrationssatz
L
L
Z
t
0
−1
Z
1 f (τ )dτ (s) = L f (s)
s
∞
s
1 −1 g(σ)dσ (t) = L g (t)
t
4. Verschiebungssatz
L f (t − a) (s) = e−as L f (t) (s)
L
−1
−1
g(s + a) (t) = e−at L g(s) (t)
5. Ähnlichkeitssatz
1 s
L f (at) (s) = L f ( )
a
L
18
−1
a
t
1 −1
g(as) (t) = L g(s) ( )
a
a
Wir setzen stillschweigend voraus, dass die auftretenden Funktionen transformierbar sind.
68
c Klaus Schindler SS 2017
Laplace-Transformation
2.3. Laplace-Transformation
6. Dämpfungssatz
L
−1
Differentialgleichungen
L e−at f (t) (s) = L f (s + a)
−1 e−as g(s) (t) = L g (t − a)
7. Multiplikationssatz
dn L tn f (t) (s) = (−1)n n L f (s)
ds
8. Divisionssatz
L
L
1
t
f (t) (s) =
1
−1
s
Z
g(s) (t) =
∞
s
Z
L f (σ)dσ
t
0
L
g (σ)dσ
−1
9. Faltungssatz
L f1 ∗ f2 = L f1 · L f2
L
−1
−1
g1 · g2 = L g1 ∗ L g2
−1
2.39 Beispiel
Offensichtlich gilt
L 1 (s) =
Z
∞
0
it=∞
h
1
1
= .
e−st dt = − e−st
s
s
t=0
Hieraus folgt mit Hilfe des Multiplikationssatzes:
dn 1
n!
L tn (s) = L tn · 1 (s) = (−1)n n
= n+1 .
ds
s
s
Mit dem Dämpfungssatz folgt hieraus wiederum
n!
L e−at tn (s) =
.
n+1
❐
(s + a)
Die folgende Tabelle gibt ein paar Beispiele von Laplacetransformierten.
f (t)
1
tn
eαt
tn eαt
L {f }(s)
1
s
n!
sn+1
1
s−α
n!
(s−α)n+1
cos(αt) sin(αt) cosh(αt) sinh(αt)
s
α
s
α
s2 +α2
s2 +α2
s2 −α2
s2 −α2
c Klaus Schindler SS 2017
69
Differenzen
Die entsprechende Tabelle für die inverse Laplacetransformation hat folgendes Aussehen.
Differentialgleichungen
g(s)
1
s
L −1 {g}(t)
1
1
sn+1
tn
n!
1
s−α
1
(s−α)n+1
eαt
tn eαt
n!
s
1
s
1
s2 +α2
s2 +α2
s2 −α2
s2 −α2
cos(αt)
sin(αt)
α
cosh(αt)
sinh(αt)
α
Das folgende Beispiel zeigt die früher schon erwähnte Anwendung der Laplacetransformation
bei der Lösung von Differentialgleichungen.
2.40 Beispiel
i) Wir betrachten die lineare AWA
...
y (t) − 3ÿ(t) + ẏ(t) − 3y(t) = 6 e3t ;
y(0) = 1, ẏ(0) = 0, ÿ(0) = 1
Anwendung des Laplaceoperators auf die DGL liefert:
...
L y (t) − 3ÿ(t) + ẏ(t) − 3y(t) (s) = 6L e3t (s)
Bezeichnen wir L y mit Y , so liefert die Anwendung der Rechenregeln für den
Laplaceoperator:
s3 Y(s)−[s2 y(0)+sẏ(0)+ ÿ(0)]−3 s2 Y(s)−[sy(0)+ ẏ(0)] +sY(s)−y(0)−3Y (s) =
6
s−3
Einsetzen der Anfangsbedingungen und Zusammenfassen liefert:
(s2 + 1)(s − 3)Y (s) =
6
s−3
+ s2 − 3s + 2
Löst man diese Gleichung nach Y auf, ergibt sich nach einigen algebraischen Umformungen:
Y (s) =
29s
1
25 s2 + 1
−
s2
3
+1
+
15
(s − 3)2
−
4 s−3
Die Rücktransformation (siehe vorherige Tabelle) ergibt
y(t) = L
1
Y (s) (t) =
29 cos(t) − 3 sin(t) + 15t e3t −4 e3t
−1
25
ii) Auch DGL-Systeme lassen sich auf diese Art lösen. Betrachten wir hierzu das lineare
DGL-System
ẏ1 = y1 − y2 + t
ẏ2 = 4y1 − 3y2 + 2
70
c Klaus Schindler SS 2017
2.3. Laplace-Transformation
Da Anfangsbedingungen fehlen, definieren wir y1 (0) := c1 , y2 (0) := c2 und wenden auf
beide Gleichungen des DGL-Systems die Laplacetransformation an. Es ergibt sich das
folgende Gleichungssystem für die Laplacetransformierten Yi := L yi
(s − 1)Y1 + Y2 =
−4Y1 + (s + 3)Y2 =
1
+ c1
s2
2
+ c2
s
Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet
Y1 (s) =
Y2 (s) =
c1 s3 + (3c1 − c2 )s2 − s + 3
s2 (s + 1)2
3
c2 s + (2 + 4c1 − c2 )s2 − 2s + 4
s2 (s + 1)2
Die Rücktransformation ergibt dann die gesuchte Lösung
Y1 (s) (t) = 3t − 7 + e−t (C1 t + C2 )
−1
y2 (t) = L Y2 (s) (t) = 4t − 10 + e−t (2C1 t + 2C2 − C1 )
y1 (t) = L
−1
mit den Kurzbezeichnungen C1 := 4 + 2c1 − c2 und C2 := 7 + c1 .
iii) Betrachtet man die lineare AWA
ẏ(t) = Ay(t) + b(t),
y(0) = y0
mit der (n×n)-Matrix A, so liefert die Laplacetransformation mit Y := L y wie in
Beispiel 2.37 gezeigt die Lösung
Y (s) = (s−A)−1 · L b (s) + y0
Beachtet man, dass - genau wie im eindimensionalen - gilt
L
(s −A)−1 (t) = eAt ,
−1
c Klaus Schindler SS 2017
71
Differentialgleichungen
Laplace-Transformation
Differenzen
so ergibt sich die gesuchte Lösung der AWA mit Hilfe der Faltungsregel als
Y (s) (t)
−1
−1
= L (s−A)−1 · L b(t) (s) (t) + L (s−A)−1 · y0 (t)
−1
−1
= L (s−A)−1 ∗ L L b(t) (s) (t) + eAt y0
Differentialgleichungen
y(t) = L
−1
= eAt ∗b(t) + eAt y0
Z t
=
eA(t−τ ) b(τ )dτ + eAt y0
0
Z t
At
= e
e−Aτ b(τ )dτ + eAt y0
0
Dies ist gerade dies Aussage von Satz 2.29 mit der Lösungsmatrix Φ(t) = eAt .
iv) Wendet man die Laplacetransformation auf eine partielle DGL mit n unabhängigen
Veränderlichen an, entsteht eine partielle DGL mit „nur“ noch n−1 unabhängigen Veränderlichen. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Anfangswerte hinsichtlich der Variablen,
die man der Laplacetransformation unterwerfen will, gegeben sind. Insbesondere kann
man aus einer partiellen DGL mit zwei unabhängigen Veränderlichen eine gewöhnliche
DGL machen, wie das folgende Beispiel zeigt.
Der Wert C = C(x, t) eines europäischen Call in Abhängigkeit vom Aktienkurs x und
der Laufzeit t des Calls ist bestimmt durch die partielle DGL von Black/Scholes:
2
1 2 2∂ C
σ x
2
∂x2
+ bx
∂C
∂C
− iC =
∂x
∂t
Hierbei bezeichnet b bzw. i die stetigen Bestandshaltekosten bzw. den stetigen Zinssatz
und σ die Volatilität des Aktienkurses. Die Randbedingung dieser DGL ist durch den
Wert C(x, 0) des Call zum Verfallszeitpunkt t=0 gegeben.
Unterwirft man
n dieseoDGL der Laplacetransformation Lt bzgl. der Variablen t, setzt
c(x, s) := Lt C(x, t) (s) und beachtet, dass gilt
n
o
n ∂nC o
dn
dn c(x, s)
(s) = n Lt C(x, t) (s) =
,
Lt
∂xn
dx
dxn
so erhält man folgende gewöhnliche lineare DGL in der Variablen x:
2
(∗)
1 2 2d c
σ x
2
dx2
+ bx
dc
− ic(x, s) = sc(x, s) − C(x, 0)
dx
Wie früher gesehen lautet die allgemeine Lösung dieser DGL
c(x, s) = λ1 (s)ϕ1 (x, s) + λ2 (s)ϕ2 (x, s) + ψ(x, s) .
72
c Klaus Schindler SS 2017
2.3. Laplace-Transformation
Hierbei sei ϕ1 , ϕ2 ein Fundamentalsystem der homogenen und ψ eine partikuläre Lösung der DGL (∗).
Etwas Vorsicht ist bei den Integrationskonstanten λj angebracht. Diese sind nämlich
Funktionen in Abhängigkeit von s, da bei der Integration der DGL (∗) (bzgl. der Variablen x !!!) die Größe s als Konstante behandelt wird. λ1 und λ2 sind so zu bestimmen,
dass die Anfangsbedingung(-en) für C bzw. die Laplacetransformierte c erfüllt sind.
Aufgrund dieser s-Abhängigkeit der λj wird die Rücktransformation deutlich erschwert.
❐
c Klaus Schindler SS 2017
73
Differentialgleichungen
Laplace-Transformation
A
Differentialrechnung
A.1 Definition
Eine Funktion f : R → R heißt differenzierbar im Punkt t0 , wenn der Grenzwert
a := lim
t→t0
f (t) − f (t0 )
t − t0
existiert. a∈R wird Differential oderAbleitung von f im Punkt t0 genannt und man schreibt
df (t0 ),
df
˙ 0 ).
(t0 ), f ′ (t0 ) oder f(t
dt
Die Funktion f ′ : R→R mit t7→f ′ (t) heißt Differential oder Ableitung von f und gibt das
momentane absolute Änderungsverhalten von f im Punkt t an. Alternative Schreibweisen
˙
sind df oder f.
❐
Wesentlich bei der Ableitungsdefinition ist die Konvergenzuntersuchung, ob der „Differen(t0 )
gegen a konvergiert. Dies geschieht, indem man zeigt, dass
zenquotient“ f (t)−f
t−t0
f (t) − f (t0 )
− a
beliebig klein wird, wenn t nur hinreichend nahe bei t0 liegt.
Definition A.1 soll zunächst auf vektor- bzw. matrizenwertige Abbildungen in einer (!!)
Veränderlichen ausgedehnt werden. Sei hierzu f : R → Rm×n eine vorgegebene matrizenwertige Abbildung. Offensichtlich kann auch in diesem Fall der Differenzenquotient
f (t) − f (t0 )
t − t0
=
1
t − t0
· f (t) − f (t0 )
gebildet werden. Zur Verallgemeinerung der Ableitungsdefinition müssen wir nur noch entscheiden, ob dieser Differenzenquotient für t→t0 konvergiert. Das Problem hierbei ist jedoch,
1
dass f (t)−f (t0 ) und damit auch
· f (t)−f (t0 ) eine (m×n)-Matrix ist1 .
t−t0
Wir benötigen daher eine Funktion k · k auf der Menge Rm×n mit den gleichen Eigenschaften
wie der Betrag auf den reellen Zahlen. Beispielhaft für solche Normen geben wir die p-Norm
und die Maximumsnorm an.
1
Man beachte, dass Rm×n = Rm·n gilt, so dass es im Prinzip genügt, Vektorräume der Form Rk als Bildbereich der auftretenden Abbildungen zu betrachten.
169
Differentialrechnung
t − t0
Für eine konstante reelle Zahl p>1 definiert man die p-Norm k · kp : Rm×n → R durch
kAkp :=
X
i,j
|aij |
p
1p
für A = (aij ) i=1,...,m ∈ Rm×n
j=1,...,n
Im Spezialfall p = ∞ ergibt sich die sog. ∞-Norm oder Maximumsnorm
kAk∞ = kAkmax := max |aij |
i,j
Da diese Normen äquivalent sind2 und daher der Stetigkeits -und Ableitungsbegriff normunabhängig sind, werden wir in Zukunft nicht explizit angeben, welche Norm verwendet
wird. Um die Analogie zu den reellen Zahlen möglichst groß zu halten (der Betrag ist eine
Norm auf R), werden wir in Zukunft auch die Betragsstriche | · | statt der Normstriche k · k
verwenden.
A.2 Definition
Eine Abbildung f : R → Rm×n heißt differenzierbar im Punkt t0 , wenn der Grenzwert
A := lim
t→t0
f (t) − f (t0 )
t − t0
existiert. Die Matrix A ∈ Rm×n wird das Differential oder die Ableitung von f im Punkt t0
genannt. Man schreibt
df (t0 ),
df
(t0 ), f ′ (t0 ) oder f˙(t0 ).
dt
Differentialrechnung
Die Abbildung f ′ : R → Rm×n mit t 7→ f ′ (t)=df (t) heißt Differential oder Ableitung von
f und man schreibt df , f ′ oder f˙ . Interpretiert man f als Bahn eines (oder mehrerer)
Teilchen, gibt f ′ (t0 ) die momentane Geschwindigkeit, d.h. das momentane Ortsänderungsverhalten des Teilchens, an.
❐
Am einfachsten ist die Verwendung der Maximumsnorm bei der Grenzwertdefinition.
∞
Man sieht dabei nämlich sofort, dass eine Folge von Matrizen (Ak )k=1
in Rm×n mit
(k)
Ak = (aij ) i=1,...,m genau dann gegen die Matrix G = (gij ) i=1,...,m konvergiert, wenn jede
j=1,...,n
j=1,...,n
∞
Komponente der Matrizenfolge (Ak )k=1
einzeln in R (!) gegen die entsprechende Komponente von G konvergiert, d.h.
(k)
lim Ak = G ⇐⇒ ∀i = 1, . . . , m ∀j = 1, . . . , n : lim ai,j = gi,j .
k→∞
k→∞
Dies führt zu folgender Ableitungsregel.
2
Dies bedeutet, dass die Konvergenz einer Folge in Rm×n unabhängig von der Wahl der gewählten Norm ist.
170
c Klaus Schindler SS 2017
Differentialrechnung


f1n (t)
.. 

. ,
. . . fmn (t)
A.3 Satz
f11 (t) . . .

.. . .
m×n
Ist f : R → R
differenzierbar mit f (t) = 
.
.

fm1 (t)


′
′
f11
(t) . . . f1n
(t)


..
..
..
f ′ (t) = 
.

.
.
′
′
fm1
(t) . . . fmn
(t)
so gilt:
❑
Eine Verallgemeinerung dieser Ableitungsdefinition auf Abbildungen, deren Definitionsbereich mehrdimensional ist, d.h., bei denen mehr als eine Variable vorliegt, ist nicht ohne
1
· (f (t)−f (t0 ))
weiteres möglich. In diesem Fall kann nämlich der Differenzenquotient
t−t0
nicht mehr gebildet werden, weil t−t0 ein Vektor ist, durch den man nicht „dividieren“ kann.
Aus diesem Grund benötigt man eine äquivalente Ableitungsdefinition, die auch auf den Fall
mehrerer Veränderlicher übertragen werden kann. Dies leistet der folgende Satz.
A.4 Satz
Eine Abbildung f : R → Rm×n ist im Punkt t0 genau dann differenzierbar, wenn eine
(ℓ×n)-Matrix A existiert mit
f (t) − f (t0 ) + A·(t − t0 ) lim
=0
t→t0
|t − t0 |
In diesem Fall gilt f ′(t0 ) = A.
❑
A.5 Definition
Eine Abbildung f : Rk → Rℓ heißt im Punkt x0 (total) differenzierbar , wenn eine (ℓ×k)Matrix A existiert mit3
f (x) − f (x0 ) + A(x − x0 ) lim
=0.
x→x0
|x − x0 |
A heißt das Differential oder die Ableitung von f an der Stelle x0 . Es sind folgende Schreibweisen für A üblich:
f ′ (x0 ) , Df (x0) , df (x0) oder
df
(x )
dx 0
Die Abbildung x 7→ df (x) = f ′ (x) heißt Differential bzw. Ableitung von f und man
schreibt Df (df ) bzw. f ′ .
❐
3
Nimmt f Werte in Rm×n an, d.h. ist ℓ=m×n, ist A entsprechend eine „dreidimensionale“ (m×n)×k-Matrix.
c Klaus Schindler SS 2017
171
Differentialrechnung
Der letzte Satz zeigt, wie sich die Ableitungsdefinition auf Funktionen verallgemeinern
lässt, deren Definitionsbereich aus Vektoren besteht.
Der große Nachteil von Definition A.5 ist, dass eine explizite Rechenvorschrift zur Bestimmung der Ableitung nicht gegeben wird. Eine direkte Berechnung der Ableitung wie im
klassischen Fall als Grenzwert des Differenzenquotienten ist nicht möglich. Definition A.5
ist daher für die direkte Berechnung der Ableitung kaum zu verwenden.
Glücklicherweise lässt sich in den meisten praktischen Fällen die Berechnung der Ableitungsmatrix auf den Fall einer Veränderlichen zurückführen. Hierzu arbeitet man mit den sog.
partiellen Ableitungen. Diese entstehen dadurch, dass man eine Abbildung in mehreren Veränderlichen künstlich zu einer Abbildung in einer Veränderlichen macht, indem man nur
noch eine Variable verändert und die anderen konstant hält.
A.6 Definition
Sei f : Rn → Rℓ , x = (x1 , . . . , xn ) 7→ f (x) eine Abbildung. Hält man alle Variablen mit
Ausnahme der i-ten konstant, entsteht eine Abbildung in einer Veränderlichen:
x 7→ f (x1 , . . . , xi−1 , x, xi+1 , . . . , xn ) .
Ist diese eindimensional differenzierbar im Sinne von Definition A.2, so wird die zugehörige
Ableitung als partielle Ableitung von f bezeichnet. Man schreibt
Di f oder
∂f
.
∂xi
❐
Mit dem Begriff der partiellen Ableitung lässt sich die gesuchte Ableitungsmatrix von f
nun einfach berechnen.
A.7 Satz
Sei f : Rn → Rℓ eine Abbildung. f bestehe aus den Komponentenfunktionen f1 , . . . , fℓ , d.h.
es ist f (x) = (f1 (x), . . . , fℓ (x)). Dann folgt:
a) Ist f in x0 differenzierbar, so gilt:
Differentialrechnung



f ′ (x0 ) = (D1 f , . . . , Dn f )(x0) = 


D1 f1 (x0 ) D2 f1 (x0 )
D1 f2 (x0 ) D2 f2 (x0 )
..
..
.
.
D1 fℓ (x0 ) D2 fℓ (x0 )
. . . Dn f1 (x0 )
. . . Dn f2 (x0 )
..
..
.
.
. . . Dn fℓ (x0 )






bzw. in Differentialschreibweise
df = f ′ =
∂f
∂f
dx1 + . . . +
dxn = (D1 f )dx1 + . . . + (Dn f )dxn .
∂x1
∂xn
b) f ′ existiert und ist stetig genau dann, wenn alle partiellen Ableitungen Dj fi existieren
und stetig sind. f heißt in diesem Fall stetig differenzierbar.
❑
Beachtet man, dass durch die Abbildung x 7→ f (x0 ) + A(x−x0 ) gerade die Tangente
bzw. Tangentialebene an den Graphen von f beschrieben wird, ergibt sich aus Definition
172
c Klaus Schindler SS 2017
Differentialrechnung
A.5 der allgemeinen Ableitung die bekannte Eigenschaft, dass in einer Umgebung von x0 die
Tangente bzw. Tangentialebene, d.h. die Abbildung x 7→ f (x0 ) + f ′(x0 )(x−x0 ) die beste
affin-lineare Approximation für f ist. Führt man nämlich in Definition A.5 die Bezeichnung
R(x) :=
h
i
f (x) − f (x0 ) + A(x−x0 )
|x − x0 |
ein, erhält man die folgende Aussage.
A.8 Satz
Sei f : Rk → Rℓ im Punkt x0 differenzierbar. Dann gilt
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x−x0 ) + |x−x0 | · R(x) .
R hat hierbei die Eigenschaft lim R(x) = 0.
❑
x→x0
Satz A.8 ist ein Spezialfall des Satzes von Taylor. Ist die vorgegebene Funktion f sogar
mehrfach differenzierbar, sind bessere Approximationen durch Polynome höherer Ordnung
möglich. Die zugehörige Aussage (Satz von Taylor) soll für Funktionen in einer Veränderlichen formuliert werden, gilt aber analog für Funktionen in mehreren Veränderlichen.
A.9 Satz (Taylor)
Sei f : ]a, b[→ R eine (n+1)-mal differenzierbare Funktion und sei x0 ∈ ]a, b[. Dann existiert
zu jedem x ∈ ]a, b[ ein ξ zwischen x und x0 , so dass gilt
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x−x0 ) +
+ ...+
f (n) (x0 )
(x−x0 )n
n!
f (n+1) (ξ)
(x−x0 )n+1 .
(n + 1)!
❑
Nachfolgende Reihenentwicklungen (Taylorreihen) einiger wichtiger Funktionen ergeben
sich, wenn man im Satz von Taylor x0 =0 und n=∞ wählt.
sin(x) = x −
1 3
x
3!
cos(x) = 1 −
1 2
x
2!
ex = 1 + x +
ln(1+x) = x −
+
1 4
x
4!
+
x2
2!
1 2
x
2
ln(1−x) = − x +
1 5
x
5!
+
x3
3!
−
1 7
x
7!
−
1 6
x
6!
+
1
3
x4
4!
+
+
+
1 9
x
9!
1 8
x
8!
x5
5!
− ... =
− ... =
+ ... =
1
4
+
1 3
x
3
+
1 4
x
4
+ ...
∞
X
n=0
∞
X
n=0
∞
X
x2n+1
(2n+1)!
(−1)n ·
x2n
(2n)!
xn
n!
(−1)n+1 ·
= −
c Klaus Schindler SS 2017
(−1)n ·
n=0
n=0
+ x3 − x4 + . . . =
1 2
x
2
∞
X
∞
X
xn
n=0
n
xn
n
;
;
−1 6 x < 1
−1 < x 6 1
173
Differentialrechnung
+
f ′′ (x0 )
(x−x0 )2
2
Die folgenden Taylorreihen lassen auch den Ursprung der Bezeichnungen Sinus bzw. Cosinus
hyperbolicus für die Funktionen 12 ex − e−x bzw. 21 ex + e−x erkennen.
ln
sinh(x) :=
cosh(x) :=
1+x
1−x
1 3
x
3
= 2 x+
ex − e−x
2
= x+
ex + e−x
2
= 1+
arctan(x) = x −
1
x−a
= −
1
x
=
1 3
x
3!
1 2
x
2!
1 3
x
3
+
1 5
x
5!
+
1 4
x
4!
+
+
1 5
x
5
∞
X
xn
n=0
∞
X
n=0
1 5
x
5
an+1
+
1 7
x
7!
+
1 6
x
6!
+
−
= −
(1 − x)n ;
1 7
x
7
1 7
x
7
1
a
+ ...
= 2
n=0
+ ... =
∞
X
n=0
∞
X
x n
a
n=0
;
;
−1 < x < 1
(2n+1)!
∞
X
x2n
n=0
+ ... =
2n+1
∞
X
x2n+1
n=0
+ ... =
∞
X
x2n+1
(2n)!
(−1)n ·
x2n+1
2n+1
|x| < |a| (Geometrische Reihe)
0<x<2
Die Taylordarstellung von Funktionen gestattet es, den Definitionsbereich von Funktionen
auf Matrizen oder Operatoren auszuweiten. Für den Differentialoperator D erhält man z.B.4
sin(D) = D −
1 3
D
3!
+
1 5
D
5!
−
1 7
D
7!
+
1 9
D
9!
−...
Ist M eine quadratische Matrix, definiert man
eM = 1 + M +
M2
2!
+
M3
3!
+
M4
4!
+
M5
5!
+ ...
Das folgende Beispiel zeigt, wie man konkret die Exponentialmatrix eM berechnet.
Differentialrechnung
A.10 Beispiel
i) Für eine Blockdiagonalmatrix

B1
 O
M = diag(B1 , . . . , Bk ) = 
 ..
.
O
···
B2
..
..
.
.
..
···
O
.
O

.. 
. 

O
Bk
mit quadratischen Matrizen B1 , . . . , Bk und passenden Nullmatrizen O gilt offensichtlich:
 B j O ··· O 
1
.
..

. .. 
O
B2j
j


M = . .
..
.. ... O 
O
4
O
···
O
Bkj
Hierbei ist immer die Frage der Konvergenz zu klären.
174
c Klaus Schindler SS 2017
Differentialrechnung
Daraus ergibt sich:
M
e
diag(B1 ,...,Bk )
=e
B1
Bk
= diag e , . . . , e

eB1
 O
=
 ..
.
O
···
eB2
..
..
O
.
.
..
···
O
.
O

.. 
. 

O
eBk
Insbesondere erhält man für eine Diagonalmatrix M = diag(λ1 , λ2 , . . . , λk ) mit λi ∈C:
M
e
λ1
λ2
λk
= diag e , e , . . . , e

eλ1
 0
=
 ..
.
0
0
···
..
e λ2
..
.
..
···
0
.
.
0

.. 
. 

0
eλk
ii) Sind M , N und B quadratische (n×n)-Matrizen mit M = B·N ·B−1 , so folgt:
M j = BNB−1
j
woraus wiederum folgt:
M
e
=
= BNB−1 · BNB−1 · · · BNB−1 = BN jB−1
j
∞
X
BNB−1
j=0
j!
=
∞
X
j=0
Nj
B B−1
j!
=B
∞
X
j=0
Nj
j!
B−1 = BeNB−1
eM = B·diag eλ1 , eλ2 , . . . , eλk ·B−1
iii) Der unangenehmste Fall bei der Berechnung der Exponentialmatrix eM liegt vor, wenn
keine Basis von Eigenvektoren (der Stufe 1) der Matrix M existiert, da dann eine
Diagonalisierung von M nicht mehr möglich ist. In dieser Situation greift man auf
die sog. Jordan-Normalform von Matrizen zurück (siehe Satz D.6 dieses Anhangs),
die eine zu M äquivalente „fast“ diagonale (bidiagonale) Jordanmatrix J liefert. Man
bestimmt hierzu eine invertierbare Matrix B mit
M = B·diag J1 , . . . , Jℓ ·B −1
und den Jordanblöcken J1 , . . . , Jℓ . Nach Teil ii) dieses Beispiels gilt dann
eM = B·diag eJ1 , . . . , eJℓ ·B−1 ,
c Klaus Schindler SS 2017
175
Differentialrechnung
Diese Eigenschaft zur Berechnung von eM ist immer dann nützlich, wenn eine Basis von
Eigenvektoren der Matrix M existiert. In genau diesem Fall kann M nämlich in der
Form B·diag(λ1 , . . . , λn )·B−1 dargestellt werden, wobei λi (evtl. gleiche) Eigenwerte
sind und die Spalten der Matrix B aus Eigenvektoren (der Stufe 1) von M bestehen
und man erhält
so dass wir also nur noch klären müssen, wie eJk aussieht.
Definiert man die „Nebendiagonaleinheitsmatrix“ E (k) ∈Rn×n , die auf der k-ten Nebendiagonale nur Einsen besitzt, d.h.
E (k)
i,j
:= δi,j+k ,
so lässt sich ein Jordanblock J ∈Rn×n



J =

 
···
0
. . ..
.

0
.. .λ. .1. . . . 

.
.
. 0 
..
=

.. . . . . . . λ 1  
λ
1
0
0
···
···
0
λ
 
···
0
. . ..
.

0
.. .λ. . 0. . . . 

.
.
. 0 
..
+

.. . . . . . . λ 0  
λ
0
0
0
···
···
0
λ

···
0
. . ..
.
0
.. . 0. .1. . . . 
.
.
. 0 
..

.. . . . . . . 0 1 
0
1
0
0
···
···
0
0
darstellen in der Form
J = λ· + E (1) .
Mit den Rechenregeln
1) E (k) = O für |k|>n−1
2) E (k) ·E (ℓ) = E (k+ℓ)
ℓ
3) E (1) = E (ℓ)
soll nun die Exponentialmatrix eJ ·t berechnet werden5 . Mit dem binomischen Lehrsatz
und Rechenregeln 1) und 3) folgt zunächst
J
m
= λ· + E
Differentialrechnung
(1) m
=
m X
m
j=0
j
λ
m−j
E
(1) j
n−1 X
m m−j (j)
=
λ
E
j=0
Damit ergibt sich
e
J ·t
=
∞
X
tm
m=0
=
m!
·J
m
∞
n−1 X
tm X m
λm−j E (j)
=
·
m!
j
m=0
j=0 |{z}
0 für m<j
∞
n−1 X
tm X m m−j (j)
·
λ
E
m=j
m!
j=0
j
=eλt
=
n−1
X
tj
j=0
5
j!
·E
(j)
}|
{
z
∞
X
m−j m−j
t
λ
m=j
(m−j)!
λt
= e ·
n−1
X
tj
Der Faktor t tritt bei der Lösung von DGLen auf.
176
c Klaus Schindler SS 2017
j=0
j!
·E (j)
j
Differentialrechnung
Als Matrix hat eJ ·t folgendes Aussehen (beachte: E (0) = )
e


= e ·

λt
1
t
t
2
···
..
.
.. . 1. . .t . .
.
.
.
... . . . .
.
. 1
.
0
0
···
···
0
tn−1
(n−1)!
..
.
t
2
t
1





❐
Differentialrechnung
J ·t

c Klaus Schindler SS 2017
177
B
Banachscher Fixpunktsatz
Mathematische Modelle führen fast zwangsläufig auf Gleichungen bzw. Gleichungssysteme
der Form g(x) = α (α konstant) mit einer i.d.R. nichtlinearen Funktion g. Diese Gleichungen können äquivalent als Fixpunktproblem formuliert werden, bei denen man für eine
vorgegebene Funktion F ein x mit F (x) = x sucht. So ist die Gleichung g(x) = α äquivalent zu dem Fixpunktproblem
F (x) := g(x) − α + x = x
Der folgende Fixpunktsatz liefert ein elegantes Verfahren zur Berechnung solcher Fixpunkte.
Mit seiner Hilfe kann z.B. auch das Newton-Verfahren zur numerischen Berechnung von
Nullstellen abgeleitet werden. Er gilt auch in beliebigen normierten Räumen und nicht nur
im Rn
B.1 Satz (Banachscher Fixpunktsatz)
Sei D ⊂ Rn eine abgeschlossene Menge und Φ : D → D eine Kontraktion1 , d.h. es existiert
eine Konstante K mit 0 < K < 1, so dass |Φ(x) − Φ(y)| 6 K·|x − y| gilt. Dann besitzt die
Gleichung Φ(x) = x genau eine Lösung z, und für jeden Startwert x0 ∈ D konvergiert die
∞
❑
mit xk+1 := Φ(xk ) gegen den Fixpunkt z.
iterativ definierte Folge (xk )k=0
Beweis:
Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Seien hierzu z1 , z2 ∈ D zwei Fixpunkte. Dann gilt
nach Voraussetzung:
Wegen 0 < K < 1 muss daher |z1 − z2 | = 0 und damit z1 − z2 = 0 gelten.
∞
Wir zeigen nun, dass bei beliebig vorgegebenem x0 ∈ D die Folge (xk )k=0
konvergiert und
dass der Grenzwert ein Fixpunkt von Φ ist.
∞
∞
Um die Konvergenz der Folge (xk )k=1
zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass (xk )k=0
eine
Cauchy-Folge ist. Hierzu beachte man zunächst die Ungleichung
|xj+1 − xj | = |Φ(xj ) − Φ(xj−1)| 6 K·|xj − xj−1 |.
1
Daraus folgt insbesondere die Stetigkeit von Φ.
179
Banachscher
Fixpunktsatz
|z1 − z2 | = |Φ(z1 ) − Φ(z2 )| 6 K·|z1 − z2 |
y
✻
y=x
✲
✻
✻
z
✲
❄
❄
✛
y = φ(x)
✛
x1
x3
z x4
✲
x2
x0
x
Abbildung B.1.: Iteration zur Fixpunktbestimmung im Fall n = 1
Mehrfache Anwendung dieser Ungleichung liefert
|xj − xj−1 | 6 K j−1 ·|x1 − x0 | .
Sind nun m, n ∈ N zwei natürliche Zahlen mit n > m, so ergibt sich aus der Dreiecksungleichung und der Summenformel für geometrische Reihen:
n
n
n
X
X
X
|xj − xj−1 | 6 |x1 − x0 |
K j−1
(xj − xj−1) 6
|xn − xm | = j=m+1
j=m+1
=
Kn − Km
·|x1
K −1
− x0 | 6
Kn
·|x1
K −1
j=m+1
− x0 |
∞
Da der letzte Ausdruck mit n → ∞ gegen 0 konvergiert, ist (xk )k=0
eine Cauchy-Folge und
damit konvergent. Wegen der Abgeschlossenheit von D liegt z := lim xk in D. Aus der
Banachscher
Fixpunktsatz
Stetigkeit von Φ folgt schließlich die Fixpunkteigenschaft von z.
z = lim xk+1 = lim Φ(xk ) = Φ( lim xk ) = Φ(z) .
k→∞
180
k→∞
k→∞
c Klaus Schindler SS 2017
k→∞
C
Komplexe Zahlen
Der Aufbau des Zahlensystems ist am leichtesten zu verstehen, wenn man ihn im Zusammenhang mit der Lösung von Gleichungen betrachtet. Zum Beispiel besitzt die Gleichung
a·x=b
(a, b ∈ Z)
nur in Ausnahmefällen eine ganzzahlige Lösung x. Erst durch die Konstruktion der rationalen Zahlen Q ist es möglich, diese Gleichung für alle a 6= 0 zu lösen. Die Grundidee, die
sich bei den reellen und komplexen Zahlen in gleicher Weise finden lässt, besteht darin, eine
größere Zahlenmenge Q zu schaffen, in der die ganzen Zahlen Z „eingebettet“ sind. Diese
größere Menge muss also zwei Eigenschaften haben:
1. Sie muss die ganzen Zahlen Z als Teilmenge enthalten, bzw. eine Teilmenge besitzen,
die mit den ganzen Zahlen in eindeutiger Weise identifiziert werden kann.
2. Die größere Menge muss eine algebraische Struktur (Addition, Multiplikation) besitzen, die auf der Teilmenge Z mit der ursprünglichen algebraischen Struktur übereinstimmt.
Diese Erweiterung der Zahlenmenge wird man als sinnvoll empfinden, wenn die Gleichung
a·x=b
(a, b ∈ Z)
innerhalb des neuen Zahlenkörpers in mehr Fällen als früher lösbar ist. Akzeptabel wird
diese Vorgehensweise vor allem dann, wenn man diese „neuen“ Lösungen auch praktisch
verwerten kann. Dies liegt daran, dass die nicht ganzzahligen Lösungen neue Objekte sind,
die erst einer Interpretation bedürfen. Diese nicht zu unterschätzende Schwierigkeit wird
z.B. bei Kindern deutlich, für die eine Zahl wie 1, 734 zunächst unverständlich ist.
Wie sieht der Übergang vonZzu Q nun mathematisch aus.
p
Wir definieren Q := Z2 = {
| p, q ∈ Z, q 6= 0} und überprüfen die vorher erwähnten
q
zwei Kriterien. Hier sollte beachtet werden, dass
p
q
später als „Bruch“
p
q
bezeichnet wird.
Punkt 1: Z ist eine Teilmenge von Q.
Da Q eine Menge von Zahlenpaaren ist, kann Z unmöglich eine Teilmenge
von Q sein. Wir
p
erreichen das Ziel jedoch dadurch, dass wir die Zahlenpaare der Form
mit der ganzen
1
=
b p.
181
Komplexe Zahlen
Zahl p identifizieren. Dies entspricht gerade der Identifikation
p
1
Punkt 2: Definition
und Multiplikation auf Q.
von
Addition
p1
p2
Wir definieren für
,
∈ Q:
q1
p1
p
⊕ 2
q1
q2
p
p1
⊙ 2
q2
q1
:=
:=
q2
p1 · q2 + p2 · q1
q1 · q2
p1 · p2
q1 · q2
Trotz der im Vergleich zu den ganzen Zahlen befremdend wirkenden Addition (Hauptnenner!) lässt sich schnell nachweisen, dass diese beiden Verknüpfungen auf den ganzen Zahlen
mit der ursprünglichen
bzw. Multiplikation übereinstimmen.
Addition
z
z2
z1
∈ Q, so gilt (mit der Identifikation
=
b z)
,
Sind nämlich
1
z
z1
⊕ 2
1
1
1
1
und
z1 ⊕ z2 =
b
z1 ⊙ z2 =
b
z
z1
⊙ 2
1
1
Def.
=
Def.
=
z1 · 1 + z2 · 1
1·1
z1 · z2
1·1
Führt man die Kurzschreibweise
=
z1 + z2
1
=
b z1 + z2
z1 · z2
=
b z1 · z2
=
1
p
p
anstelle von
ein1 und
q
q
notiert die Addition und
Multiplikation wie vorher, erhält man die gewohnte Menge der rationalen Zahlen mit ihrer
gewohnten algebraischen Struktur. Insbesondere besitzt die Gleichung a · x = b in Q die
Lösung
x=
b
a
=
b
b
a
Die Vorgehensweise beim Aufbau der komplexen Zahlen ist vollkommen analog. Ausgangspunkt ist auch hier die Feststellung, dass die reellen Zahlen unvollkommen sind, da sich
bestimmte „elementare“ Gleichungen innerhalb der reellen Zahlen nicht lösen lassen, z.B.
die Gleichung
x2 = −1 .
Die Ursache dieser Nichtlösbarkeit liegt darin, dass das Produkt einer reellen Zahl mit sich
selbst immer eine positive reelle Zahl liefert. Anders ausgedrückt heißt dies, dass die Wurzel
aus einer negativen Zahl (in R) nicht existiert.
Die Vorgehensweise zur Erweiterung des Zahlenbereiches folgt der Konstruktion der rationalen Zahlen. Wir definieren
n o
a 2
C := R =
a, b ∈ R
b
1
Komplexe Zahlen
Das ist so nicht ganz richtig, da es bedeuten würde, dass 12 6= 24 , d.h. 21 6= 24 gilt. Dieses Problem der
Mehrdeutigkeit bei der Darstellung von Brüchen,
wird
beseitigt,
indem man einen Bruch als Äquivalenzklasse
von Zahlenpaaren auffasst. So ist etwa 21 = { 12 , 24 , 36 , 48 , . . .}.
182
c Klaus Schindler SS 2017
und überprüfen nach Wahl einer geeigneten Addition und Multiplikation die früher erwähnten zwei Kriterien.
Punkt 1: R ist eine Teilmenge von C.
Da C eine Menge von Zahlenpaaren ist, kann R keine Teilmenge
sein. Wir erreichen das
p
Ziel in diesem Fall dadurch, dass wir die Zahlenpaare der Form
mit der reellen Zahl p
0
identifizieren. Dies sind gerade die komplexen Zahlen, deren „Imaginärteil“ 0 ist.
Punkt
2: Definition
von Addition und Multiplikation auf C.
p2
p1
∈ C sei
,
Für
q2
q1
p
p1
⊕ 2
q2
q1
p
p1
⊙ 2
q2
q1
p1 + p2
q1 + q2
p1 · p2 − q1 · q2
p1 · q2 + p2 · q1
:=
:=
Überraschend - wenn nicht gar unverständlich - wirkt hier die Definition der Multiplikation.
p
Wir müssen überprüfen, dass auf den reellen Zahlen, also für die „Zahlen“ der Form
,
0
die ursprüngliche
der Addition und Multiplikation entsteht.
Definition
x
x2
x1
∈ C. Dann gilt (mit der Identifikation
=
b x)
,
Seien hierzu
0
0
0
x
x1
⊕ 2
0
0
x2
x1
⊙
0
0
x1 ⊕ x2 =
b
x1 ⊙ x2 =
b
Def.
=
Def.
=
x1 + x2
x1 + x2
=
b x1 + x2
=
0
0+0
x1 · x2 − 0 · 0
x1 · x2
=
b x1 · x2
=
0
x1 · 0 + x2 · 0
Welchen Vorteil bieten die komplexen Zahlen? Betrachten wir hierzu die komplexe Zahl
0
1
i :=
.
Für diese gilt
2
i =i⊙i=
0
0
⊙
1
1
=
0·1−1·1
0·1+0·1
=
−1
0
=
b − 1,
so dass i eine Lösung der quadratischen Gleichung x2 = −1 ist. Wir haben damit das
Problem, die Wurzeln negativer Zahlen zu berechnen, beseitigt. Zum Beispiel gilt
√
−36 =
p
36 · (−1) =
√
36 ·
√
−1 = 6i
Der Rest der Arbeit besteht darin, die Notation den vertrauten reellen Zahlen anzupassen.
Hierzu notiert man die Addition und Multiplikation wie früher mit + und ·. Auch die
Darstellung der
lässt sich suggestiver gestalten.
komplexen Zahlen
Hierzu beachte man,
0
1
x
dass mit i =
und 1 =
b
für eine beliebige komplexe Zahl
folgt:
x
y
=
0
1
0
x·
+y·
0
1
y
= x · 1 + y · i = x + iy
c Klaus Schindler SS 2017
183
Komplexe Zahlen
1
x heißt der Realteil, y der Imaginärteil der komplexen Zahl
x
.
y
Diese Darstellung gestattet
es, mit komplexen Zahlen wie mit reellen Zahlen umzugehen, weil die zweidimensionale
Struktur in dem Symbol i verborgen bleibt. Zum Beispiel kann das Produkt komplexer
Zahlen mit der üblichen Distributivregel a(b + c) = ac + bc berechnet werden
(x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 · x2 ) + (x1 · y2 i) + (y1 i · x2 ) + (y1 i · y2 i)
= (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i ,
weil y1 i · y2 i = y1 y2 i2 = y1 y2 (−1) = −y1 y2 gilt.
Die Division komplexer Zahlen ist etwas trickreicher, wenn man den Quotienten in der
Form (Realteil + i·Imaginärteil) darstellen will. Auch hier erweist sich die gerade eingeführte Schreibweise als sehr nützlich, wenn man (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 beachtet.
x1 + iy1
x1 + iy1 x2 − iy2
=
·
x2 + iy2
x2 + iy2 x2 − iy2
(x1 x2 + y1 y2 ) + (x2 y1 − x1 y2 )i
x22 + y22
x1 x2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
=
+i
2
2
2
2
=
x2 + y2
x2 + y2
C.1. Eigenschaften komplexer Zahlen
Wie gerade gesehen, ist es nützlich, mit der komplexen Zahl x + iy auch die komplexe Zahl
x − iy zu betrachten. Wir definieren daher
C.1 Definition
Ist z = x + iy eine komplexe Zahl, so heißt x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. Sie
wird häufig auch mit z̄ bezeichnet. Es gilt also
z̄ = x + iy = x − iy
In der komplexen Zahlenebene ist es die an der reellen Achse zu z gespiegelte komplexe Zahl
(siehe Abschnitt C.2).
❐
Offensichtlich gelten folgende leicht einzusehende Aussagen für komplexe Zahlen z, z1 , z2 .
C.2 Satz
a) z ∈ R ⇐⇒ z = z̄
b) z1 + z2 = z̄1 + z̄2
Komplexe Zahlen
c) z1 · z2 = z̄1 · z̄2
184
❑
c Klaus Schindler SS 2017
C.2. Darstellung komplexer Zahlen
Der folgende Satz zeigt, dass in polynomialen Gleichungen mit reellen Koeffizienten die
komplexen Lösungen immer konjugiert komplex auftreten müssen. Er ist eine unmittelbare
Folge von Satz C.2.
C.3 Satz
Sind a0 , a1 , a2 , . . . , am reelle Zahlen, so besitzt die Gleichung
(∗) a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + am xm = 0
genau dann die Lösung z, wenn auch z̄ eine Lösung von (∗) ist.
❑
Dass die komplexen Zahlen in der Tat die gewünschten Vollständigkeitseigenschaften besitzen, belegt der folgende Satz.
C.4 Satz (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes reelle Polynom P (x) = a0 + a1 x + . . . + am xm vom Grad n (a0 , a1 , . . . , am ∈ R) besitzt
in C genau m Nullstellen z1 , . . . , zm , so dass gilt:
P (x) = c · (x − z1 )(x − z2 ) . . . (x − zm )
❑
C.2. Darstellung komplexer Zahlen
Da komplexe Zahlen geordnete Paare reeller Zahlen sind, können sie mit Hilfe eines zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystems dargestellt werden. Wir tragen hierzu den
Realteil auf der horizontalen und den Imaginärteil auf der vertikalen Achse ab. Man spricht
dann von der komplexen Zahlenebene. Wie früher können die reellen Zahlen, deren Imaginärteil gleich 0 ist, mit der horizontalen (reellen) Achse identifiziert werden.
imaginäre Achse
✻
p
z = q + ip
p
✲ reelle Achse
c Klaus Schindler SS 2017
185
Komplexe Zahlen
q
Diese zweidimensionale Interpretation der komplexen Zahlen lässt eine weitere Darstellungsmöglichkeit erkennen. Zur Beschreibung verwendet man hierbei den Abstand der komplexen Zahl z vom Ursprung und den Winkel, den die Verbindungsstrecke vom Ursprung
nach z mit der horizontalen reellen Achse einschließt.
imaginäre Achse
✻
✯
|z|
|
α ■
{z
q
}
❥
z = q + ip






p






✲ reelle Achse
z̄ = q − ip
Aus dem Satz von Pythagoras folgt, dass der Abstand von z = q +ip zum Ursprung gleich
p
p
√
q 2 + p2 = (q + ip)(q − ip) = zz̄ = |z|
ist. Weiter gilt:
sin(α) =
p
,
|z|
cos(α) =
q
|z|
sin(α)
cos(α)
=⇒ tan(α) =
=
p
q
Damit ergibt sich die sog. Polarkoordinatendarstellung von z:
z = q + ip = |z| cos(α) + i|z| sin(α) = |z| cos(α) + i sin(α)
Mittels vollständiger Induktion ergibt sich daraus zusammen mit den Additionstheoremen
für Sinus und Cosinus folgende Aussage.
C.5 Satz (DeMoivre)
Für eine komplexe Zahl z=q+ip=|z|· cos(α)+i sin(α) und jede natürliche Zahl n gilt:
z n = (q + ip)n = |z|n · cos(nα) + i sin(nα)
❑
In △GL und DGL ist man oft daran interessiert, mit dem Ausdruck ez , z∈C zu arbeiten.
Dies ist möglich, wenn man an die Darstellung von ex für reelle x auf Seite 173 denkt:
x
e =
∞
X
xj
j=0
j!
=1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ...+
xn
n!
+ ...
C.6 Definition
Für jede komplexe Zahl z definiert man ez als den Grenzwert
ez =
∞
X
zj
j=0
Komplexe Zahlen
186
j!
=1+z+
z2
2!
+
z3
3!
+
z4
4!
+ ...+
zn
n!
+ ...
c Klaus Schindler SS 2017
❐
C.2. Darstellung komplexer Zahlen
Man beachte, dass Definition C.6 für rein reelle Zahlen z den vertrauten Wert ez liefert.
Ist z = it rein imaginär (t∈R), ergibt sich wegen i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, . . . und der
Reihendarstellung von Sinus und Cosinus aus Satz A.9 die sog. Euler-Gleichung:
eit = 1 + (it) +
=
1−
t2
2!
+
(it)2
2!
t4
4!
+
(it)3
3!
+
(it)4
4!
+ ...+
(it)n
n!
+ ...
t3
t5
+ ... + i · t − + + ...
3!
5!
= cos(t) + i sin(t)
Speziell für t = π folgt daraus
eiπ = −1
oder in etwas ästhetischerer Form
eiπ + 1 = 0 .
Die Polarkoordinatendarstellung von z = |z|· cos(α) + i sin(α) lautet damit in Kurzform
c Klaus Schindler SS 2017
187
Komplexe Zahlen
z = |z| eiα .
D
Lineare Gleichungssysteme,
Eigenwerte, Eigenvektoren
D.1 Satz (Lösung linearer Gleichungssysteme)
Sei A eine (m×n)-Matrix und b∈Rm . Bezeichnet L := {x∈Rn | Ax=b} den Lösungsraum
des linearen Gleichungssystems Ax=b und Lh := {x∈Rn | Ax=0} den Lösungsraum des
homogenen linearen Gleichungssystems Ax=0, so gelten folgende Aussagen:
a) Lh ist ein Untervektorraum des Rn mit der Dimension n − Rg(A).
b) Ist x0 eine spezielle (inhomogene) Lösung von Ax = b, so gilt
L = {x0 } + Lh := {x0 +n | n∈Lh } .
c) Ist A eine quadratische Matrix, so besitzt das homogene lineare Gleichungssystem
Ax = 0 genau dann eine von 0 verschiedene Lösung, wenn det(A) = 0 gilt.
❑
D.2 Definition
Sei A eine quadratische (n×n)-Matrix.
a) Das Polynom P (λ):= det(A−λ ) heißt das charakteristische Polynom der Matrix A.
Jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms wird als Eigenwert der Matrix A bezeichnet.
b) Ein Vektor v∈Rn heißt Eigenvektor der Stufe k (k∈N), wenn gilt:
(A−λ )k−1 v 6= 0 und (A−λ )k v = 0 .
1
In der Literatur werden Eigenvektoren der Stufe k>2 auch als Hauptvektoren bezeichnet.
189
Lineare
Gleichungssysteme,
Ein Eigenvektor der Stufe k=1 wird als Eigenvektor bezeichnet, d.h. ohne Angabe der
Stufe1 .
c) Ist λ ein Eigenwert der Matrix A, so bezeichnen wir mit
Eλ := {v∈Rn | (A−λ )v = 0}
die Menge aller Eigenvektoren der Stufe 1 (inklusive des Nullvektors) und mit
Hλ := {v∈Rn | ∃k∈N : (A−λ )k v = 0}
die Menge aller Eigenvektoren beliebiger Stufe (inklusive des Nullvektors).
❐
D.3 Bemerkung
i) Gemäß Definition D.2 ist insbesondere jeder Eigenvektor ungleich dem Nullvektor.
ii) Die Dimension von Eλ heißt geometrische Vielfachheit. Sie ist i.A. ungleich der algebraischen Vielfachheit, mit der λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms auftritt.
iii) Hλ wird in der Literatur als Hauptvektorraum zum Eigenwert λ bezeichnet.
❐
D.4 Satz
a) Eλ und Hλ sind (nichtleere) Untervektorräume des Rn mit Eλ ⊂Hλ . Insbesondere
ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kleiner gleich der algebraischen
Vielfachheit.
b) Eigenvektoren (beliebiger Stufe) zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
c) Die Dimension des Hauptvektorraumes Hλ ist gleich der algebraischen Vielfachheit. ❑
Beweis:
Wir beweisen beispielhaft die für „klassische“ Eigenvektoren bekannte Aussage b).
Seien v1 6=0, v2 6=0 Hauptvektoren zu den Eigenwerten λ1 6= λ2 . D.h. es existieren natürliche Zahlen k, m mit k>m und
(A−λ1 )k−1 v1 6= 0,
(A−λ2 )m−1 v2 6= 0,
(A−λ1 )k v1 = 0
(A−λ2 )m v2 = 0
Sind nun α, β ∈ C mit
Lineare
Gleichungssysteme,
Eigenwerte,
Eigenvektoren
αv1 + βv2 = 0,
190
c Klaus Schindler SS 2017
so folgt
0
=
(A−λ1 )k−1 (A−λ2 )m [αv1 + βv2 ]
=
α(A−λ1 )k−1 (A−λ2 )m v1 + 0
| {z }
α(A−λ1 )k−1
=
(A−λ1 +λ1 −λ2 )m
m X
j=1
(A−λ1 )k v1 =0
m
j
(A−λ1 )j (λ1 − λ2 )m−j v1
α(λ1 − λ2 )m (A−λ1 )k−1 v1
| {z } |
{z
}
=
6=0
6=0
Daher gilt α = 0 und damit β = 0.

D.5 Beispiel

Die Matrix A = 
0
0
1
0
0
−1
0
1
0
−2
1
1
1
−1
1
−1
det(A−λ ) = λ(λ+1)3


 besitzt das charakteristische Polynom
und damit die Eigenwerte λ1 = 0 und λ2 = −1, letzteren mit der Vielfachheit 3.
Eigenvektor (der Stufe 1) ist z.B. (1, 1, 0, 0)T und der zu λ1 gehörende Eigenraum
 
1  1 
Eλ1 = {x∈R4 | (A−λ1 )x = 0} = LH  0 
0
hat die Dimension 1 (=geometrische Vielfachheit).
Der zu λ2 gehörende Eigenraum
Eλ2 = {x∈R4 | (A−λ2 )x = 0}
hat ebenfalls die Dimension 1 (=geometrische Vielfachheit), da der Rang der Matrix
A−λ2 = A + gleich 3 ist. Neben v1 = (1, 0, −1, 0)T gibt es daher keinen weiteren
linear unabhängigen Eigenvektor der Stufe 1 zu λ2 .
Der Eigenwert λ2 = −1 hat also die Vielfachheit 3, während der zugehörige Eigenraum Eλ2
nur eindimensional ist. Der zugehörige Raum aller Hauptvektoren Hλ2 ist dreidimensional.
Es gilt nämlich:




und
1
0
1
0
0
1
0
1
−1
1
1
−1
−1
1
1
0


(A−λ2 )3 = 
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0

,

(A−λ2 )2 = 
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
−1
0
1
0
0
0




.
c Klaus Schindler SS 2017
191
Lineare
Gleichungssysteme,
A−λ2

=
Daher ist v3 :=(0, 1, 0, 0)T ein Hauptvektor der Stufe 3 und v2 :=(A−λ2 )v3 =(0, 1, 1, −1)T
ein Hauptvektor der Stufe 2. Mit dem Eigenvektor v1 := (A−λ2 )2 v3 = (1, 0, −1, 0)T bilden
v2 und v3 eine Basis von Hλ2 .
❐
Mit den Eigenvektoren lässt sich jede quadratische Matrix M in eine äquivalente Diagonalbzw. Bidiagonalmatrix, die als Jordanmatrix bezeichnet wird, transformieren. Ist M diagonalisierbar, liefert die Jordanmatrix gerade die Diagonalmatrix der Eigenwerte. In diesem
Sinne ist die Jordanform eine Verallgemeinerung der Diagonalform von Matrizen und als
solche zur Berechnung von Exponentialmatrizen besonders nützlich (siehe Beispiel A.10).
Es gilt folgender Satz.
D.6 Satz
Ist M ∈Rn×n eine quadratische Matrix, so existiert eine (evtl. komplexe) invertierbare
(n×n)-Matrix B, die M in eine äquivalente Jordanmatrix J transformiert, d.h.


J1
O


..
B −1 M B = diag J1 , · · · , Jℓ = 
 =: J
.
O
Die Matrizen Ji
den Form:

λi

0
.
.
Ji = 
 ..
.
.
0
Jℓ
heißen Jordanblöcke und sind quadratische Bidiagonalmatrizen der folgen
0
.. 
.

0


1
λi
1
0 ···
..
.
λi 1
.. .. ..
.
.
.
.. ..
.
. λi
··· ··· 0
Die λi sind hierbei die Eigenwerte von M . Zu jedem Eigenwert λ gibt es seiner geometrischen
Vielfachheit (=Dimension des Eigenraumes) entsprechend viele Jordanblöcke.
Die Spalten der (nicht eindeutig bestimmten) transformierenden Matrix B sind Eigenvektoren (evtl. höherer Stufe) von M .
❑
D.7 Beispiel
i) Die Matrix M sei definiert durch


M := 

25
13
−16
−7
30
18
−44
−26
−12
−6
−18
12
−21
36
12
−9
11
6
−8
−12
15
21
−22
6
−3


.

Diese besitzt den fünffachen Eigenwert 3. Mit der invertierbaren Matrix


Lineare
Gleichungssysteme,
Eigenwerte,
Eigenvektoren

B := 

192
22
1
−16
0
2
13
−18
0
0
−10
12
1
0
0
0
−9
11
0
0
6
−8
0
0
1
0



c Klaus Schindler SS 2017
erhält man folgende Jordanform der Matrix M :


B −1 M B = J = 

3
1
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
3
0
1
3
0
0
0
0
0
0
3




J besteht aus drei Jordanblöcken, zwei Blöcke der Größe 2 und ein Block der Größe 1.
Die erste, dritte und fünfte Spalte von B sind Eigenvektoren (der Stufe 1), die zweite
und vierte Spalte von B sind Eigenvektoren der Stufe 2.
ii) Die Matrix


M =

3
0
0
0
0
0
0
3
0
1
2
−1
1
0
0
0
0
0
2
0
0
−1
−2
2
2




hat den Eigenwert 3 mit der algebraischen Vielfachheit 2 und den Eigenwert 2 mit der
algebraischen Vielfachheit 3.
Der Eigenraum E3 zum Eigenwert 3 ist zweidimensional, d.h. die geometrische ist
gleich der algebraischen Vielfachheit. Eine Basis von E3 bilden z.B. die Vektoren




1
0
0
0
0
 
 
, 
 
0
1
0
0
−1




Der Eigenraum E2 zum Eigenwert 2 ist nur eindimensional, d.h. die geometrische ist
ungleich der algebraischen Vielfachheit. Eine Basis von H3 bilden z.B. die Vektoren




0
0
0
0
1
 
 
, 
 
0
1
0
0
−1
 
 
, 
 
0
1
−1
−1
0


.

Der Erste ist ein Eigenvektor, der Zweite ein Eigenvektor der Stufe 2 und der Dritte
ein Eigenvektor der Stufe 3. Bildet man aus diesen 5 Eigenvektoren die Matrix B und
ihre Inverse, erhält man

B=

1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
−1
1
−1
0
0
0
−1
0
1
0
−1
−1
0




, B −1 = 


1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
−1
0
1
−1
0
0
c Klaus Schindler SS 2017




193
Lineare
Gleichungssysteme,

und es folgt die Jordandarstellung von M
B
−1



MB = J = 


3
0
0 0 0
0
3
0 0 0
0
0
0
0
0
0
2 1 0
0 2 1
0 0 2






Die Jordanmatrix besteht in diesem Fall aus drei Blöcken, zwei der Größe 1 und einem
der Größe 3.
❐
Lineare
Gleichungssysteme,
Eigenwerte,
Eigenvektoren
194
c Klaus Schindler SS 2017
E
Quadratische Formen, Definitheit
Auch im mehrdimensionalen Fall lässt sich die Konvexität mit Hilfe der zweiten Ableitung
charakterisieren. Da f ′′ (x) dann jedoch eine Matrix ist, wird ein Positivitätsbegriff für Matrizen benötigt. Dieser muss im 1-dimensionalen Fall mit dem Begriff der Positivität für
reelle Zahlen, d.h. für (1×1)-Matrizen, übereinstimmen.
Die Idee für die folgende Definition besteht darin, die Eigenschaft, dass eine reelle Zahl a
genau dann positiv ist, wenn das zugehörige quadratische Polynom x 7→ a·x2 für x 6= 0
immer positive Werte liefert, auf Matrizen zu übertragen.
E.1 Definition
n
Sei A = (aij )i,j=1
eine (n×n)-Matrix. Die zur Matrix A gehörende quadratische Form ist
die Funktion QA : Rn → R definiert durch
QA (x) = xT · A · x =
a)
n
n X
X
i=1 j=1
aij · xi · xj
• A heißt positiv bzw. negativ definit (Schreibweise: A > 0 bzw. A < 0), wenn
∀x∈Rn \{0} : QA (x) > 0 bzw. QA (x) < 0 .
• A heißt positiv bzw. negativ semidefinit (A > 0 bzw. A 6 0), wenn gilt
∀x∈Rn \{0} : QA (x) > 0 bzw. QA (x) 6 0 .
• A heißt indefinit, wenn QA positive und negative Werte annimmt.
b) Ist B eine (k×n)-Matrix, so heißt A positiv bzw. negativ definit unter der Nebenbedingung B · x = 0, wenn gilt
❐
195
Quadratische Formen,
Definitheit
∀x∈Rn \ {0} : B · x = 0 =⇒ QA (x) > 0 bzw. QA (x) < 0 .
E.2 Beispiel
Betrachten wir die (2×2)-Matrix A =
−1
1
1 −2
!
, so ist QA : R2 → R gegeben durch
QA (x) = QA (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) ∗ (−x1 + x2 , x1 − 2x2 )
= −x21 + 2x1 x2 − 2x22
= −(x21 − 2x1 x2 + x22 ) − x22
= −[(x1 − x2 )2 + x22 ]
Wie man sieht, gilt QA (x) < 0 für x 6= 0. A ist daher negativ definit.
❐
E.3 Bemerkung
i) Ist A = (aij ) eine zur Hauptdiagonale symmetrische (n×n)-Matrix, d.h. für die A =
AT gilt, lässt sich die Definitheit mittels Determinanten untersuchen.
Bezeichnet man nämlich mit Aii die Matrix der Elemente von A deren Zeilenindex
und Spaltenindex kleiner gleich i ist (i-ter Hauptabschnitt), so gilt:
• A ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptabschnittsdeterminanten positiv
sind, d.h. wenn
det(Arr ) > 0 für r = 1, . . . , n
• A ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptabschnittsdeterminanten im
Vorzeichen alternieren (beginnend mit < 0), d.h. wenn
(−1)r det(Arr ) > 0 für r = 1, . . . , n
ii) Sei B eine (k×n)-Matrix. Definiert man die (k+n)×(k+n)-Matrix C durch1
C :=
0
BT
B
A
!
,
so gilt:
• A ist genau dann positiv definit unter der Nebenbedingung Bx = 0, wenn die
letzten n−k Hauptabschnittsdeterminanten von C das gleiche Vorzeichen wie
(−1)k besitzen, d.h. wenn
(−1)k det(C rr ) > 0 für r = 2k+1, . . . , k+n .
• A ist genau dann negativ definit unter der Nebenbedingung Bx = 0, wenn
die letzten n−k Hauptabschnittsdeterminanten von C im Vorzeichen alternieren,
wobei sgn(det(C)) = sgn(−1)n gilt, d.h. wenn
(−1)r−k det(C rr ) > 0 für r = 2k+1, . . . , k+n
Quadratische Formen,
Definitheit
1
C wird als die zu A geränderte Matrix bezeichnet.
196
c Klaus Schindler SS 2017
❐
Für B = 0 (k=0) ergibt sich die Charakterisierung der Definitheit ohne Nebenbedingung wie in Teil i).
iii) Eine (n×n)-Matrix A ist offensichtlich genau dann negativ (semi-)definit, wenn −A
positiv (semi-)definit ist.


E.4 Beispiel
0 1 1

Gegeben sei die indefinite2 (3×3)-Matrix A = 
 1 0 1  und die (1×3)-Matrix B =
1
1 0
(2, 2, 2). Wir wollen A auf Definitheit unter der Nebenbedingung Bx = 0 untersuchen.
Wegen k = 1 und N = 3, müssen die Determinanten der Matrizen C rr für r = 2k+1 = 3
und r = k+n = 4 bestimmt werden. Es gilt
C = C 44 =





0
2
2
2
2
0
1
1
2
1
0
1
2
1
1
0





, C 33 =

0

 2
2

2 2

0 1 
1 0
.
Die Berechnung der Hauptabschnittsdeterminanten ergibt det(C 33 ) = 8, (C 44 ) = −12 und
damit:
(−1)k det(C 33 ) = −8 < 0 , (−1)k det(C 44 ) = 12 > 0
(−1)2 det(C 33 ) =
8 > 0 , (−1)3 det(C 44 ) = 12 > 0
Daher ist A nicht positiv, jedoch negativ definit unter der Nebenbedingung Bx = 0.
❐
E.5 Bemerkung
Ist die Matrix A nicht symmetrisch, so kann das Determinantenkriterium aus Bemerkung
1
2
Es ist QA (x1 , x2 , x3 ) = 2(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) und daher QA (1, 1, 0) = 2 und QA (−1, 1, 0) = −2.
c Klaus Schindler SS 2017
197
Quadratische Formen,
Definitheit
E.3 dennoch verwendet werden, wenn man beachtet, dass die Matrix B := (A + AT )
2
symmetrisch ist und dass QA = QB gilt.
❐
F
Statische Optimierung
Ein wesentlicher Nachteil der klassischen Formulierung des Satzes von Lagrange ist, dass
die Nebenbedingungen in Gleichungsform vorliegen müssen, so dass Nebenbedingungen in
Ungleichungsform nicht direkt verarbeitet werden können. In diesem Sinne stellt der Satz
von Kuhn-Tucker bzw. das Theorem von Fritz John die Verallgemeinerung des Satzes von
Lagrange dar.
Für stetig differenzierbare Abbildungen f : Rn → R und g : Rn → Rm betrachten wir
daher folgende Problemstellung:
u.d.N.
f (x) −→ max
(F.1)
g(x) 6 0.
Wie üblich sei L(x, λ) := f (x)−λ·g(x) die Lagrange-Funktion des Problems. X bezeichne
den Zulässigkeitsbereich, d.h. die Menge X = {x∈Rn | g(x) 6 0}. Dann gilt folgende
Aussage:
F.1 Satz (Satz von Kuhn-Tucker)
Ist (x⋆ , λ⋆ ) ein nichtnegativer Sattelpunkt der Lagrangefunktion L, d.h. ist x⋆ ein Maximum
von L bzgl. x und λ⋆ ein Minimum von L bzgl. λ, gilt also
∀x ∈ X ∀λ > 0 : L(x, λ⋆ ) 6 L(x⋆ , λ⋆ ) 6 L(x⋆ , λ) ,
so ist x⋆ eine Lösung des Maximumproblems (F.1).
(F.2)
❑
Beweis:
Sei (x⋆ , λ⋆ ) ein nichtnegativer Sattelpunkt der Lagrangefunktion L. Wir zeigen
i) x⋆ ist zulässig, d.h. es gilt g(x⋆ ) 6 0
ii) x⋆ maximiert f .
ad i): Aufgrund der Sattelpunktsbedingung L(x⋆ , λ) > L(x⋆ , λ⋆ ) gilt für alle λ > 0:
(F.3)
199
Statische
Optimierung
0 > L(x⋆ , λ⋆ ) − L(x⋆ , λ) = (λ − λ⋆ ) · g(x⋆ )
Wählt man speziell λ = λ⋆ + ei für i = 1, . . . , m folgt gi (x⋆ ) 6 0 für die i-te Komponente gi
von g, d.h. es gilt g(x⋆ ) 6 0.
Wegen λ⋆ > 0 folgt λ⋆ · g(x⋆ ) 6 0 und da sich für λ = 0 außerdem λ⋆ · g(x⋆ ) > 0 in
Ungleichung (F.3) ergibt, muss insbesondere gelten:
λ⋆ · g(x⋆ ) = 0
ad ii): Ist x zulässig, d.h. gilt g(x) 6 0, so folgt wegen λ⋆ > 0
f (x)
6
(F.2)
f (x) − λ⋆ · g(x) = L(x, λ⋆ )
6
L(x⋆ , λ⋆ )
=
f (x⋆ ) − λ⋆ · g(x⋆ ) = f (x⋆ )
| {z }
= 0
F.2 Bemerkung
i) Der Satz von Kuhn-Tucker erscheint plausibel, wenn man beachtet, dass ein Sattelpunkt versucht, die Funktion f zu maximieren unter minimalem Einfluss der Nebenbedingung g.
ii) Ist f konkav und g konvex, so gilt mit einer kleinen technischen Zusatzbedingung in
der Sattelpunkt-Aussage von Kuhn-Tucker sogar die Äquivalenz.
❐
Da die globalen Kuhn-Tucker-Bedingungen offensichtlich nur schwer nachprüfbar sind, ist
es wünschenswert gleichwertige lokale Bedingungen zu haben. Stellt man zusätzlich noch
Differenzierbarkeitsforderungen an f und g, erhält man folgende Aussage. Sie ist die Verallgemeinerung des Satzes von Lagrange.
F.3 Satz (Theorem von Fritz John)
Ist x⋆ eine Lösung von (F.1), so existiert ein λ⋆ mit folgenden Eigenschaften
a)
∂L ⋆ ⋆
(x , λ )
∂x
b) λ⋆ ·
=0
∂L ⋆ ⋆
(x , λ )
∂λ
= 0 (komplementärer Schlupf )
c) λ⋆ > 0
d)
∂L ⋆ ⋆
(x , λ )
∂λ
>0
❑
Beweis:
Zum besseren Verständnis des letzten Satzes soll hier eine geometrische Erläuterung des Beweises im Falle zweier Veränderlicher (n = 2) gegeben werden. Wir verwenden hierbei zwei
bekannte Aussagen aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung (siehe z.B. SCHINDLER, Mathematik für Ökonomen):
Statische
Optimierung
200
c Klaus Schindler SS 2017
a) Der Ableitungsvektor einer Funktion f steht im Definitionsbereich senkrecht auf den
Isoquanten von f und zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs der Funktionswerte.
b) Die Richtungsableitung
∂f
∂v
einer Funktion f in Richtung v (kvk = 1) ist f ′ · v.
Ist x⋆ eine Lösung des Maximumproblems (F.1), so muss insbesondere die Nebenbedingung
∂L ⋆ ⋆
g(x⋆ ) 6 0 gelten. Wegen
(x , λ ) = −g(x⋆ ) ist damit Aussage d) automatisch erfüllt und
∂λ
es müssen nur die Aussagen a), b) und c) nachgewiesen werden. Für die Lage des maximalen
Punktes x⋆ sind nun zwei Möglichkeiten denkbar.
I) x⋆ liegt im Innern des Zulässigkeitsbereiches {x | g(x)60}, d.h. es ist g(x)<0. Da die
Menge {x | g(x)<0} aufgrund der Stetigkeit von g offen ist, liegt ein freies Extremum
vor, d.h. es ist f ′ (x⋆ )=0. Wählt man λ⋆ =0 ergibt sich Aussage a) wegen
∂L ⋆ ⋆
(x , λ )
∂x
= f ′ (x⋆ ) − 0 · g ′(x⋆ ) = f ′ (x⋆ ) = 0
Aussagen b) und c), d.h. λ⋆ ·
∂L ⋆ ⋆
(x , λ )=0
∂λ
und λ⋆ >0, sind wegen λ⋆ =0 ebenfalls erfüllt.
II) x⋆ liegt auf dem Rand des Zulässigkeitsbereiches X, d.h. die Nebenbedingung ist
∂L ⋆ ⋆
(x , λ ) = −g(x⋆ ) = 0 Aussage b) erfüllt
bindend, so dass g(x⋆ )=0 gilt und wegen
∂λ
ist. Es bleibt der Nachweis der Aussagen a) und c). Betrachtet man die Isoquante
(Niveaulinie) von f durch x⋆ , d.h. die Menge I := {x∈Rn | f (x)=f (x⋆ )}, so können
zwei Situationen eintreten.
)
g (x
I ={x | f (x)=f
⋆ )}
(x
α) I schneidet den Rand der Nebenbedingungsmenge N :={x∈Rn | g(x)=0}. Bezeichnen i und n die Richtungsvektoren, die im Punkt x⋆ tangential zu I und
tangential zu N verlaufen, erhält man nachfolgende Skizze.
>0
g (x
)= 0
i
x⋆
f ′ (x⋆ )
g (x
)=
0
n
0
g (x )
g(x) > 0
=0
g(x) > 0
c Klaus Schindler SS 2017
201
Statische
Optimierung
<
g(
x)=
0
)
g (x
Für die Richtungsableitungen
∂f ⋆
(x )
∂i
∂f
(x⋆ )
∂n
f ′ (x⋆ ) · i =
f ′ (x⋆ ) · n =
∂f
∂i
und
∂f
∂n
im Punkt x⋆ gilt:
= 0
(F.4)
= 0
(F.5)
Gleichung (F.4) gilt, weil f in Richtung i konstant ist. Gleichung (F.5) gilt, weil
f in Richtung der Nebenbedingung ein lokales Maximum besitzt. Wegen der
linearen Unabhängigkeit von i und n (I und N schneiden sich!!), existieren
reelle Zahlen α1 , α2 , β1 , β2 mit:
e1 = α1 i + β1 n
e2 = α2 i + β2 n
Daraus folgt aber f ′ (x⋆ ) = 0, denn es ist
∂f
(x⋆ )
∂x1
= f ′ (x⋆ ) · e1 = f ′ (x⋆ ) · (α1 i + β1 n)
= α1 f ′ (x⋆ ) · i + β1 f ′ (x⋆ ) · n
= 0.
Analog folgt
∂f
(x⋆ )
∂x2
= 0 und damit f ′ (x⋆ ) = (
∂f
∂f
(x⋆ ),
(x⋆ ))
∂x1
∂x2
= 0. Wir
⋆
befinden uns daher wieder im Fall I) und können λ = 0 wählen.
β) I berührt die Menge N = {x∈Rn | g(x) = 0}.
g ′ (x⋆ )
eh
m
en
d
e
0
)= 0
|f
(x
)=
f (x⋆
)}
vo
n
=
{x
f
I
x⋆
N
g (x
)=
iv
ea
ul
0
in
ie
n
g (x
zu
n
)>
g (x
W
er
t
e
vo
n
f
f ′ (x⋆ )
<
0
g(
x)=
0
)
g (x
g (x )
g(x) > 0
=0
g(x) > 0
Da f ′ (x⋆ ) und g ′(x⋆ ) jeweils senkrecht auf den Isoquanten I und N stehen,
müssen beide Vektoren parallel (linear abhängig) sein und es existiert ein λ⋆ ∈ R
mit f ′ (x⋆ ) = λ⋆ · g ′(x⋆ ), d.h. es gilt Aussage a). Da f ′ (x⋆ ) in die Richtung des
Statische
Optimierung
202
c Klaus Schindler SS 2017
stärksten Anstiegs von f zeigt, muss dieser Vektor außerdem ins Äußere der
Menge X zeigen, da f ansonsten - im Widerspruch zur lokalen Maximalität von
x⋆ - in X größere Werte annehmen würde. Weil g ′(x⋆ ) ebenfalls in diese Richtung
zeigt (die Funktionswerte von g nehmen nach außen zu) zeigen g ′(x⋆ ) und f ′ (x⋆ )
in die gleiche Richtung, d.h. es ist λ⋆ > 0, womit auch Aussage c) erfüllt ist. F.4 Bemerkung
i) Der wesentliche Unterschied zur klassischen Lagrangeschen-Multiplikator-Methode besteht in Forderung F.3 c). Da bei einer Ungleichung a priori nicht entschieden werden
kann, ob die Restriktion bindend ist (g(x⋆)=0) oder nicht (g(x⋆ )<0, λ∗ =0), muss die
∂L
Lagrangebedingung
= 0 ersetzt werden durch
∂λ
−g(x⋆ , λ⋆ ) =
∂L ⋆ ⋆
(x , λ )
∂λ
> 0 und λ⋆ · g(x⋆ , λ⋆ ) = λ⋆ ·
∂L ⋆ ⋆
(x , λ )
∂λ
=0.
ii) Aufgrund der Äquivalenz
g=0 ⇐⇒ g60 ∧ −g60
können in Satz F.3 auch Restriktionen in Gleichungsform behandelt werden. Man
erhält dann gerade die klassische Aussage von Lagrange.
c Klaus Schindler SS 2017
203
Statische
Optimierung
iii) Ist f konkav und g konvex, so gilt (mit einer kleinen technischen Zusatzbedingung)
wie im Sattelpunktsatz von Kuhn-Tucker wiederum die Äquivalenz.
❐
Index
Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Abschreibung
lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Additionssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
Ähnlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Algebra
Fundamentalsatz der . . . . . . . . . . . . . 185
algebraische Vielfachheit . . . . . . . . . . 64, 190
allgemeines Kontrollproblem . . . . . . . . . . 114
Anfangswertaufgabe (AWA) . . . . . . . . . . . . . . . 39
zeitpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Approximation
sukzessive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
asymptotische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . 76
autonome DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B
Backshiftoperator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Bedingung
von Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Bellman-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bernoullische DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Bifurkation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Black/Scholes DGL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
Bolza
Problem von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Brachistochronenproblem. . . . . . . . . . . . .112
C
charakteristisches Polynom einer Matrix
189
Cobweb-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Cosinus hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Costate-Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
D
d’Alembert
Reduktionsverfahren von . . . . . . . 51, 53
Dämpfungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
definit
negativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
positiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
DeMoivre
Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Determinante
Hauptabschnitts- . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Diagramm
Cobweb- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Differential-gleichung (DGL)
autonome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Bernoullische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Black/Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
exakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
explizite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
gebrochen rationale . . . . . . . . . . . . . . 46
gewöhnliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
implizite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
mit getrennten Variablen . . . . . . . . 44
mit homogenen Funktionen . . . . . . 45
mit konstanten Koeffizienten . . . . . 61
partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
205
INDEX
A
Riccatische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
zeitunabhängige . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
-gleichungssystem
explizites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
implizites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
inhomogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
-operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
-rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Differentiationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Differenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Differenzen-gleichung (△GL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
explizite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
implizite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
-gleichungssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . .13
explizites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
homogenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
implizites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
inhomogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
-intervall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
-operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
differenzierbare Funktion . . . . . . . . . . . . . 169
dissipatives System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Divisionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Dynamische Programmierung . . . . . . . . 146
E
Eckenbedingung
von Weierstraß/Erdmann . . . . . . . . . 131
Eigenvektor einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 189
wert einer Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . .189
einfach zusammenhängende Menge . . . . 47
Elementarkatastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Endzeitpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
INDEX
206
erste Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Euler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
-Langrange-Gleichung . . . . . . . . . . . . 123
-Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 130
Euler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Evans
Preisfestsetzungsmodell von . . . . . . . 37
exakte
DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Existenzsatz von Peano . . . . . . . . . . . . . . . . 41
explizite
DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Differenzengleichung . . . . . . . . . . . . . . . 13
explizites
△GL-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
DGL-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
F
Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Faltungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Fibonaccifolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
finale Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Fixpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Form
quadratische. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
Forwardoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Fritz John
Theorem von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Fundamentallemma der Variationsrechnung . . . . 123
satz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Fundamentalsystem
einer linearen
△GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
eines linearen
△GL-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
c Klaus Schindler SS 2017
G
gebrochen rationale DGL . . . . . . . . . . . . . . 46
geometrische Vielfachheit . . . . . . . . . . . . . . 64
geränderte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
gewöhnliche DGL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Gleichung
von Bellman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
von Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
von Euler-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 130
von Hamilton-Jakobi . . . . . . . . . . . . . 150
Gleichungssystem
lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
globale asymptotische Stabilität . . . . . . . 76
Goldener Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Gradientensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
H
Hamilton-Jakobi Gleichung . . . . . . . . . . . 150
Harrod
Wachstumsmodell von . . . . . . . . . . . . . 12
Hauptvektor einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 189
Hauptabschnittsdeterminante. . . . . . . . .196
Hauptvektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
homogene Lösung
einer linearen △GL . . . . . . . . . . . . . . . . 20
eines linearen Gleichungssystems . 189
homogenes
△GL-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I
Imaginärteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
implizite
DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Differenzengleichung . . . . . . . . . . . . . . . 13
implizites
△GL-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
DGL-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
indefinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
inhomogene Lösung
einer linearen △GL . . . . . . . . . . . . . . . . 20
eines linearen Gleichungssystems . 189
inhomogenes
△GL-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Integrationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
intermediäre Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 116
invariante Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Isoklinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
isoperimetrisches Problem . . . . . . . . . . . . 139
J
Jordanblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Jordanform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Jordanmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
K
klassisches Variationsproblem. . . . . . . . .122
komplexe Zahl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
konjugiert komplexe Zahl . . . . . . . . . . . . . 184
Kontroll-menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
-problem, allgemeines. . . . . . . . . . . . .114
-theorie, optimale . . . . . . . . . . . . . . . . 154
-vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Kuhn-Tucker
Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
L
Lösung
homogene
einer linearen
eines linearen
inhomogene
einer linearen
eines linearen
c Klaus Schindler SS 2017
△GL . . . . . . . . . . . . . . 20
Gleichungssystems189
△GL . . . . . . . . . . . . . . 20
Gleichungssystems189
207
INDEX
DGL-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Funktion
differenzierbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
intermediäre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
partikuläre
einer linearen DGL . . . . . . . . . . . . . . 55
einer linearen △GL . . . . . . . . . . . . . . 20
eines linearen △GL-Systems . . . . . 25
schwache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
starke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
stationäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Lösungen
stationäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Lag-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Lagoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Lagrange
Problem von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 66
Legendre-Bedingung. . . . . . . . . . . . . . . . . .143
lineare
△GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Abschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
lineares
△GL-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
DGL-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Lipschitz-Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ljapunov-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
logistisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
lokale asymptotische Stabilität . . . . . . . . 76
M
Malthus-Gesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Matrix
charakteristisches Polynom . . . . . . . 189
definit unter Nebenbedingung . . . . 195
Eigenvektor einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Eigenwert einer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
geränderte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
Hauptvektor einer . . . . . . . . . . . . . . . . 189
indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
negativ (semi)definite . . . . . . . . . . . . 195
INDEX
208
positiv (semi)definite . . . . . . . . . . . . . 195
symmetrische. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Maximumsnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Mayer
Problem von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Menge
einfach zusammenhängend . . . . . . . . . 47
invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Modell
logistisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Spinnweb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
von Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
von Harrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
von Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
von Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
momentane Wachstumsrate. . . . . . . . . . . . 38
Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
N
Nebenbedingung
negativ definit unter einer . . . . . . . . 195
positiv definit unter einer . . . . . . . . . 195
negativ definit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
negativ definit unter Nebenbedingung 195
Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
O
optimale Kontrolltheorie. . . . . . . . . . . . . .154
Optimalitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
P
partielle Differentialgleichung . . . . . . . . . . 37
partikuläre Lösung
einer linearen
△GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
eines linearen
△GL-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Peano
c Klaus Schindler SS 2017
Q
quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
R
Realteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Reduktionsverfahren von d’Alembert . . 51,
53
Riccatische DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Richtungsfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
S
Sattelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Sattelpunktstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Satz
Banachscher Fixpunkt- . . . . . . . . . . . 179
vom komplementären Schlupf . . . . . 138
von DeMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
von Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
von Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
von Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
von Picard-Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . .42
von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
schwache Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Schweinezyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
semidefinit
positiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Sinus hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Spinnweb-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
stabil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
asymptotische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
global asymptotische . . . . . . . . . . . . . . 76
lokal asymptotische . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Sattelpunkts- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
starke Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
stationäre Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
stationäre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Steuerbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
sukzessive Approximation . . . . . . . . . . . . . 43
symmetrische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
System
dissipatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
T
Taylor
Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Theorem von Fritz John . . . . . . . . . . . . . . 199
Trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Transversalitätsbedingung . . . . . . . . . . . . 116
U
Übergangsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
V
Variable
Costate- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Variation
der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
erste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
zweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
c Klaus Schindler SS 2017
209
INDEX
Existenzsatz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Phasendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 96, 99
portrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95, 98
vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Politik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
positiv definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
positiv definit unter einer Nebenbedingung
195
positiv semidefinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Preisfestsetzungsmodell
von Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Problem
isoperimetrisches . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
von Bolza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
von Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
von Mayer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
Variationsproblem
klassisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Fundamentallemma der. . . . . . . . . . .123
Verhulst
Wachstumsmodell von . . . . . . . . . . . . . 38
Verschiebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Vielfachheit
algebraische . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 190
geometrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
W
Wachstumsmodell
von Harrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
von Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Wachstumsrate
momentane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Weierstraß/Erdmann
Eckenbedingung von . . . . . . . . . . . . . . 131
Z
Zahl
komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
konjugiert komplexe . . . . . . . . . . . . . . 184
zeitunabhängige DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Zielbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Zulässigkeitsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Zustandsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
zweite Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
INDEX
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c Klaus Schindler SS 2017