Variation von Grundfunktionen - Musterlösung -

Didaktik III (SS 2011)
Variation von Grundfunktionen
Martin Stolz, 11. 05. 2011
- Musterlösung Aufgabe 1
Begründe in dieser Aufgabe deine Entscheidungen sowohl am Graphen, als auch an der
Wertetabelle!
a)
Du kennst die quadratische Grundfunktion f(x) = x². Gib die Funktion in deinen GTR
ein und lasse dir den Graphen der Funktion (Normalparabel) anzeigen.
b)
Betrachte nun die Funktion f(x) = ax². "a" ist hierbei ein sogenannter Parameter, d.
h. a steht für eine beliebige Zahl. Setze für a verschiedene Zahlen ein (auch
negative!) und beschreibe, wie sich der Graph der Funktion verändert.
Bei negativen Zahlen ist die Parabel nach unten geöffnet, bei positiven nach
oben. Außerdem wird die Parabel gestreckt, bzw. gestaucht.
c)
Betrachte nun die Funktion f(x) = x² + c. Was bewirkt eine Variation von c ?
Achte auch hier besonders auf die Scheitelpunkte!
Der Parameter c verschiebt die Funktionswerte, bzw. den Graphen um |c|
nach unten für c < 0 und nach oben für c > 0.
d)
Betrachte nun die Funktion f(x) = (x - b)². Variiere wieder b und beschreibe, was mit
dem Graphen der Funktion passiert.
Der Graph wandert auf der x-Achse.
e)
Fasse deine Beobachtungen der Aufgabenteile a) bis f) zusammen, indem du
erläuterst, was die Parameter bei der Funktion f(x) = a(x - b)² + c bedeuten. Wie
kannst du die folgende quadratischen Funktion erzeugen?
a streckt den Graphen und beeinflusst seine Öffnung, b verschiebt ihn in xRichtung und c verschiebt ihn in y-Richtung. Durch die Funktionsgleichung
f(x) = –(x – 1)² +1 lässt sich eine solche Funktion definieren.
Aufgabe 2
(vgl. Aufg. 18, S. 114 in Neue Wege (Rheinland-Pfalz), Schroedel 2009)
An welcher Stelle x hat der Graph der quadratischen Funktion einen "Hochpunkt", bzw.
einen "Tiefpunkt"?
Es gibt verschiedene Lösungsmöglichkeiten, z. B. mithilfe einer Wertetabelle oder dem
Graphen der jeweiligen Funktion. Wende jedes der beiden Verfahren zumindest einmal an.
a)
f(x) = x² – 4x
Der Graph hat seinen Tiefpunkt an der Stelle x = 2.
b)
f(x) = x² – 4x – 5
Der Graph hat seinen Tiefpunkt bei x = 2.
Aufgabe 3
a)
Betrachte die Funktionen l(x) = 2(x – 1)² – 8
g(x) = 2x² – 4x – 6
h(x) = 2(x – 3)(x + 1)
Lasse die Funktionen mit dem GTR zeichnen. Was beobachtest du?
Die Graphen liegen übereinander, folglich müssen die Funktionen gleich sein.
Alternativ überzeugt man sich leicht durch nachrechnen, dass l(x)=g(x) =h(x).
b)
l(x), g(x) und h(x) bezeichnen also alle eine Funktion f. Betrachte dir nun den
Graphen dieser Funktion genauer und untersuche, welche Eigenschaften des
Graphen du an den Funktionsvorschriften l(x), g(x) und h(x) schnell ablesen kannst.
Hinweis:
Eigenschaften einer Parabel sind zum Beispiel y-Achsen-Abschnitt,
Nullstellen und Scheitelpunkt. Möglicherweise kannst du auch deine
Erkenntnisse aus Aufgabe 1 verwenden!
An l(x) kann man den Scheitelpunkt ablesen, an g(x) den y-Achsenabschnitt
und an h(x) die Nullstellen den Graphen.
c)
Man kann quadratische Funktion f auf drei verschiedene Arten darstellen. In
allgemeiner Parameterdarstellung (wie in Aufgabe 1) lauten die drei
Funktionsgleichungen wie folgt:
f(x)
= a(x – b)² + c
= ax² + nx + z
= a(x – p)(x – q)
(1)
(2)
(3)
Wie würdest du die Gleichungen (1) – (3) benennen (Bedenke was du bei welcher
Gleichung schnell ablesen kannst!). Wann kann man Gleichung (3) nicht
anwenden?
(1) Scheitelpunktform, (2) y-Achsen-Abschnitt-Form, (3) Nullstellenform.
Aufgabe 4
Betrachte eine quadratische Funktion f mit der Funktionsgleichung in Nullstellenform:
f(x) = a(x – p)(x – q)
Setze für a, p und q Zahlen ein und betrachte die entstehenden Funktionsgraphen.
Variiere die Parameter nun systematisch (zuerst nur a, dann nur p und q, dann alle) und
beobachte die Auswirkungen am Graphen. Nutze hierzu z. B. auch die DynaGraphFunktion auf deinem GTR und erstelle eine Kurvenschar!
Eine Variation von p und q bewirkt eine Variation der Nullstellen und eine
Verschiebung. Eine Variation von k bewirkt eine Streckung, wobei die Nullstellen
erhalten bleiben.
Aufgabe 5
Betrachte die Funktionenschar fn in Normalform:
fn(x) = x² – nx
für n
∈ ℤ
Auf welcher Kurve liegen die Scheitelpunkte der Funktionenschar? Nutze auch hierfür z.
B. die DynaGraph-Funktion auf deinem GTR und erstelle eine Kurvenschar. Tausche dich
auch mit deinem Banknachbarn aus.
Die Scheitelpunkte liegen alle auf der nach unten geöffneten Normalparabel.
Beweis:
f(x) = x² – nx = x² – nx + ¼ n² – ¼ n² = (x – ½ n)² + ¼ n²
=> Scheitelpunkte: (½ n | 3 – ¼ n²)
=> setze ½ n := x
=> Kurve der Scheitelpunkte: g(x) = – x²
Alternativ: f(x) = x² – nx
f'(x) = 2x – n = 0
(da Scheitelpunkt bei quadrat. Funktionen einziges
Extremum ist)
=> n = 2x
=> g(x) = x² – 2xx = –x²
Aufgabe 6
Thorben hat in den Ferien ein Foto von einer Brücke geschossen. Das Foto ist auf dem
CASIO fx-CG 20 im Menüpunkt PicturePlot im Ordner CASIO, im Unterordner g3p unter
dem Dateinamen Bridge.g3p abgespeichert.
Gib einen Funktionsterm an, der den Verlauf des Brückenbogens möglichst gut beschreibt!
Setze hierzu ein passendes Koordinatensystem und nähere den Verlauf des Bogens mit
dem Graph einer quadratischen Funktionen an!
Z. B. mithilfe der Nullstellenform und systematischen Variierden des Vorfaktors.
Aufgabe 7
Zeichne folgendes Bild mit dem CASIO fx-CG 20 nach.
Hinweis:
Funktionen abschnittsweise definieren!
Blau:
Scheitelpunkt bei (1|4), weiterer Punkt: (0|2)
=> 2 = a(0 – 1)² + 4 => a = –2 => f1(x) = –2(x-1)² + 4, x aus [0 ; 2]
Rot:
Scheitelpunkt bei (1|0), weiterer Punkt: (0|3)
=> 3 = a(0 – 1)² => a = 3 => f2(x) = 3(x – 1)², x aus [0 ; 2]
Grün:
f3(x) = 2,5, x aus [0,25 ; 0,75]
Lila:
f4(x) = 2,5, x aus [1,25 ; 1,75]
Schwarz:
Scheitelpunkt bei (1|1), systematisches Probieren ergibt gleiche
Streckung wie f2(x).
=> f5(x) = 3(x – 1)² + 1, x aus [0,5 ; 1,5]
Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe)
Thorben glaubt, ein Experte auf dem Gebiet der quadratischen Funktionen zu sein und
behauptet folgendes:
1. "Die Funktion f(x) = 3(4x – 4)² hat einen Streckfaktor von 3!"
Nein, der Streckfaktor beträgt 48, denn: 3(4x – 4)² = 3•4²•(x – 1)² = 48(x – 1)²
2. "Die Funktionen f(x) = (x – 2)² +1 und g(x) = 2x² + x + 1 sind beide gegenüber der
Normalparabel um 1 nach oben verschoben, weil bei beiden +1 hinten steht!"
Falsch, denn der Summand +1 gibt bei g(x) den y-Achsenabschnitt an!
3. "Die Funktion f(x) = –4(x + 2)(x + 1) hat die Nullstellen 2 und 1!"
Falsch, die Nullstellen sind -1 und -2 !
4. "Die Funktion f(x) = 2(2 – x)(x + 1) + 1 kann keine Nullstellen haben, da sie nach
oben geöffnet und um 1 nach oben verschoben ist!"
Die Funktione Nullstellen, denn: 2(2 – x)( x+ 1) +1 = – 0,5(2x – 1)² + 11/2, ist
also nach unten geöffnet und um 11/2 nach oben verschoben.
Wo liegt Thorben falsch und warum sollte er sich das Thema "Quadratische Funktionen"
besser nochmal ansehen?
Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe)
(vgl. Aufg. 22 und 21, S. 11 in Neue Wege 10 (Niedersachsen), Schroedel 2009)
a)
Untersuche die Graphen von sin(x), sin(2x), sin(3x), sin(0,5x) und sin(0,2x).Was
stellst du fest? Beschreibe die Wirkung des Faktors b in der Funktion f(x) = sin(bx).
Beachte insbesondere die Fälle, b > 0 oder b < 0, sowie |b| > 1 oder |b| < 1.
Die Faktoren 2 und 5 stauchen den Graphen in x-Richtung, die Faktoren 0,2
und 0,5 strecken ihn. Mit b lässt sich die Frequenz variieren, negative Werte
für b spiegeln den Grapen an der x-Achse (sin(–x) = –sin(x)).
b)
Erweitere deine Untersuchungen, indem du die Wirkung der Parameter a, c und d
auf den Graphen der Funktion f(x) = a sin(bx – c) + d betrachtest. Du kannst hierzu
ähnlich wie in Aufgabe 1 vorgehen! Vergleiche deine Erkenntnisse auch mit der
Funktion f(x) = a(x + b)² +c aus Aufgabe 1! Tausche dich auch mit deinem
Banknachbar aus.
a ist auch hier ein Streckfaktor (für die Amplitude), b variiert die Frequenz, c
verschiebt den Graphen in x-Richtung und d verschiebt ihn in y-Richtung.
c)
Untersuche nun auch das Zusammenwirken der Parameter b und c anhand der
Funktionen f(x) = sin(2x + 3) und g(x) = sin(2(x+3)). Was fällt dir auf?
Die Parameter b und c bedingen sich. So muss bei f(x) die 2 im Argument
ausgeklammert werden: 2x + 3 = 2 (x + 3/2). Erst jetzt erkennt man, dass die
Funktion um 3/2 verschoben wurde (nach links) und nicht um 3. Variiert man
in f(x) den Parameter b, so ändert sich auch die Verschiebung in x-Richtung:
f(x) = sin(4x + 3) = sin(4(x + ¾)).