Monte-Carlo-Simulation und Ising
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Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Monte-Carlo-Simulation und Ising-Modell
Simon Dinter
Betreuer: Prof. Dr. Müller-Preußker
Seminar zur theoretischen Physik, SS 2007
5. Juli 2007
S. Dinter
MCS & Ising-Modell
Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Gliederung
1 Das Ising Modell
2
Monte Carlo Simulation
Motivation
Prinzip der MCS
Algorithmen
Statistischer Fehler
3
Phasenübergang
Kritische Exponenten und Ordnungsparameter
Finite Size Scaling
4
Zusammenfassung etc.
Zusammenfassung
Ausblick
Literatur
S. Dinter
MCS & Ising-Modell
Zusammenfassung etc.
Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Was ist das Ising Modell?
Einschränkung des Heisenberg-Modells auf eine
Raumrichtung.
Halbwegs realistisches Modell eines Viel-Teilchen-Systems, das
Phasenübergang zeigt und (eingeschränkt) mathematisch
streng behandelbar ist
Anschauliches Demonstrationsmodell für
Pfadintegral-Simulation in QM
Einfaches Modell für magnetische Vielteilchen-Systeme mit
auf eine Raumrichtung fixierten permanenten magnetischen
Momenten ⇒ Verständnis von Ferromagnetismus
Modell einer Flüssigkeit (Hard Core WW-Potential zwischen
Molekülen), ”Gittergasmodell”
Beschreibung binärer Legierungen (z.B Zn - Cu)
Erschließung des Verhaltens von Ionenkanälen in Membranen,
Kohärenzerscheinungen auf Kapitalmärkten, . . .
S. Dinter
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Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Hamiltonian (1)
Definition
Seinen N auf Gitterplätzen lokalisierte permanente magnetische
Momente (Spins) si (i = 1, . . . , N) mit je 2
Einstellungsmöglichkeiten si = ±1 und externes Magnetfeld h
Dann lautet der Hamiltonian:
H=−
N
X
ji,j si sj − h
i,j=1
S. Dinter
N
X
si
i=1
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Hamiltonian (2)
Kommentare
Erster Summand: WW der Spins untereinander, zweiter
Summand: WW Spin mit Magnetfeld
Ferromagnetismus : j ≥ 0, Anitferromagnetismus: j ≤ 0
Meist Einschränkung auf Nächste-Nachbar-Wechselwirkung:
jij ≡ j, falls i, j Indizes nächste Nachbarn, 0 sonst
Randbedingungen erforderlich
Dimensionalität des Systems bestimmt Anzahl nächster
Nachbarn
S. Dinter
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Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Mathematische Behandlung (1)
Zustandssumme
Alle relevanten thermodynamischen Größen lassen sich aus der
Zustandssumme Z ableiten.
!!
Ĥ
Z (T ) := Sp exp −
kB T
Hier:
Z (T , N, h) =
X
{si,j }
Ĥ ({si,j } ; h)
exp −
kB T
!
2 mögliche Einstellungen für jeden Spin → 2N Summanden in
Z
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Mathematische Behandlung (2)
Beispiele für thermodynamische Größen
Mit β ≡ 1/kB T gilt:
Innere Energie
U = hHi = −
∂
ln Z
∂β
Freie Energie
F = −kB T ln Z
Magnetisierung
M=N
S. Dinter
∂
ln Z
∂βh
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Zusammenfassung etc.
Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Mathematische Behandlung (3)
Das Ising-Modell ist exakt lösbar für
Nächste-Nachbar-Wechselwirkung in d = 1 für beliebiges h
Nächste-Nachbar-Wechselwirkung in d = 2 für h = 0
Bisher nicht analytisch gelöst für d = 3
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Motivation für Monte Carlo Simulation
Grundsätzliche Vorteile der Simulation
Physikalische bzw. statistische Probleme häufig zu kompliziert
für analytische Lösung
Schneller und einfacher als streng analytische Lösung
Unabhängige Überprüfung analytischer Resultate möglich
Einschränkungen
Benötigen schnelle Rechner, denn relativer statistischer Fehler
proportional zur ”Rechenzeit”
1
1
∼√ ∼√
τcomp
N
Guter Zufallszahlengenerator erforderlich
Größe des simulierten Systems durch Speicher beschränkt
S. Dinter
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Motivation für Monte Carlo Simulation
Grundsätzliche Vorteile der Simulation
Physikalische bzw. statistische Probleme häufig zu kompliziert
für analytische Lösung
Schneller und einfacher als streng analytische Lösung
Unabhängige Überprüfung analytischer Resultate möglich
Einschränkungen
Benötigen schnelle Rechner, denn relativer statistischer Fehler
proportional zur ”Rechenzeit”
1
1
∼√ ∼√
τcomp
N
Guter Zufallszahlengenerator erforderlich
Größe des simulierten Systems durch Speicher beschränkt
S. Dinter
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Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Prinzip am Beispiel des Ising-Modells
Erzeuge statistisches Ensemble { {s}i } (i = 1, . . . , M),
M 2N hinreichend groß
Dabei grundsätzlich verschiedene Methoden der Erzeugung
(Sampling):
Sampling Methoden
Simple Sampling
Biased Sampling
Importance Sampling
Werden im Folgenden nur Importance Sampling behandeln.
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Importance Sampling (1)
Erzeugung der Konfigurationen unter Berücksichtigung des
statistischen Gewichts
H ({s}i )
1
exp −
P ({s}i ) =
Z
kB T
für jede Konfiguration
Der Mittelwert eines Operators O
hOi =
H ({s}i )
1X
O ({s}i ) exp −
Z
kB T
{s}i
Lässt sich dann wie folgt abschätzen
hOi '
M
1 X
O ({s}i )
M
i=1
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Zusammenfassung etc.
Importance Sampling (2)
Wie erzeugt man Konfigurationen mit diesem Gewicht?
Man kann zeigen, dass als Hinreichende Bedingung die
”Detailed Balance” Bedingung
Detailed Balance
P ({s}i ) W ({s}i → {s}i0 ) = P ({s}i0 ) W ({s}i0 → {s}i )
erfüllt sein muss.
W ist nicht eindeutig! Spezielle Wahl kann Algorithmus
optimieren/vereinfachen.
Trivialerweise erfüllt, falls
W ({s}i → {s}i0 ) ≡ W ({s}i0 ) = P ({s}i0 )
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Importance Sampling (2)
Wie erzeugt man Konfigurationen mit diesem Gewicht?
Man kann zeigen, dass als Hinreichende Bedingung die
”Detailed Balance” Bedingung
Detailed Balance
P ({s}i ) W ({s}i → {s}i0 ) = P ({s}i0 ) W ({s}i0 → {s}i )
erfüllt sein muss.
W ist nicht eindeutig! Spezielle Wahl kann Algorithmus
optimieren/vereinfachen.
Trivialerweise erfüllt, falls
W ({s}i → {s}i0 ) ≡ W ({s}i0 ) = P ({s}i0 )
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Phasenübergang
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Importance Sampling (2)
Wie erzeugt man Konfigurationen mit diesem Gewicht?
Man kann zeigen, dass als Hinreichende Bedingung die
”Detailed Balance” Bedingung
Detailed Balance
P ({s}i ) W ({s}i → {s}i0 ) = P ({s}i0 ) W ({s}i0 → {s}i )
erfüllt sein muss.
W ist nicht eindeutig! Spezielle Wahl kann Algorithmus
optimieren/vereinfachen.
Trivialerweise erfüllt, falls
W ({s}i → {s}i0 ) ≡ W ({s}i0 ) = P ({s}i0 )
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Vorbereitungen
Gegeben sei d-dimensionales Gitter mit N Gitterplätzen, auf
denen Spins mit 2 Einstellmöglichkeiten lokalsisiert sind, z.B.
dreidimensionales Gitter mit L Gitterplätzen in jeder
Raumrichtung
Definiere Randbedingungen (z.B. periodisch in alle
Raumrichtungen fortgesetztes Gitter)
Stelle beliebige Anfangskonfiguration her
Beispiele für Anfangskonfigurationen
”Kaltstart”: Alle Spins gleichgerichtet
”heißer Start”: Alle Spins beliebig gerichtet
Beliebige andere Konfiguration denkbar, z.B. ”Schachbrett”
(nächste Nachbarn entgegengerichtet)
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Vorbereitungen
Gegeben sei d-dimensionales Gitter mit N Gitterplätzen, auf
denen Spins mit 2 Einstellmöglichkeiten lokalsisiert sind, z.B.
dreidimensionales Gitter mit L Gitterplätzen in jeder
Raumrichtung
Definiere Randbedingungen (z.B. periodisch in alle
Raumrichtungen fortgesetztes Gitter)
Stelle beliebige Anfangskonfiguration her
Beispiele für Anfangskonfigurationen
”Kaltstart”: Alle Spins gleichgerichtet
”heißer Start”: Alle Spins beliebig gerichtet
Beliebige andere Konfiguration denkbar, z.B. ”Schachbrett”
(nächste Nachbarn entgegengerichtet)
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Phasenübergang
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Lokaler Algorithus (1)
Erzeuge nun sukzessive neue Zustände, indem immer ein Spin
gemäß Boltzmann-Statistik geändert wird wobei alle anderen
fixiert bleiben. Spin ist ”im Wärmebad seiner Nachbarn” ⇒
Heat Bath Algorithmus.
Dann betrachten wir für festes k:
!
N
X
X
X
H = −sk j
si + h −h
sl − j
sm sl
i∈N.N.
|
{z
A
l=1, l6=k
m,lN.N.
}
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, bei fixierten Spins Si6=k den
Spin sk zu erhalten, mit a = A/kB T :
W (sk ) = const · e +ask
S. Dinter
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Zusammenfassung etc.
Lokaler Algorithus (2)
Wir erhalten:
W (sk = +1) =
e +a
e +a + e −a
W (sk = −1) =
e −a
e +a + e −a
W erfüllt per Konstruktion Detailed Balance Bedingung!
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Zusammenfassung etc.
Heat Bath Algorithmus
Umsetzung des Heat Bath Algorithmus:
1
2
3
4
5
Wähle einen (beliebigen) Gitterplatz k aus
Berechne a und damit W (sk = ±1)
Wähle Zufallszahl η aus [0; 1] und setze
sk
= +1 falls
η < W (sk = +1)
sk
= −1
η ≥ W (sk = +1)
falls
Schritte 1 bis 3 so oft wiederholen, bis statistische
Unabhängigkeit (asymptotisch) gewährleistet ist, d.h. dass
aktuelle Spinkonfiguration und Startkonfiguration unkorreliert
sind. (Mindestens einmal das gesamte Gitter durchlaufen)
Konfiguration dann als neue Konfiguration ins Ensemble
aufnehmen oder Mittelwert gewünschter Observablen
speichern.
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Statistischer Fehler
Wir betrachten den Erwartungswert des Quadrates des
statistischen Fehlers bei M Messungen einer Größe A. Nach einigen
Umformungen und Annahmen erhalten wir als Endergebnis mit
Beobachtungszeit τobs :
Statistische Fehlerabschätzung
D
E
τA 2 (δA)2 ≈ 2
A − hAi2
τobs
Diese Abschätzung gilt nur für Korrelationszeiten τA τobs /M,
für den umgekehrten Fall erhalten wir das gleiche Ergebnis wie im
unkorellierten Fall (Simple Sampling)
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Cluster Algorithmen (1)
Problem beim lokalen Algorithmus: Schlechte Performance in
der Nähe des Kritischen Punktes, da (im thermodyn. Limes)
Korrelationslänge und -zeit divergieren
Vorteil Cluster-Algorithmen: Cluster können sehr groß werden,
bis Ordnung Korrelationslänge.
Problem: Volumenabhängigkeit
Cluster Algorithmen u.a. von Swendsen & Wang und U. Wolff
S. Dinter
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Cluster Algorithmen (2)
Prinzip des Swendsen Wang Cluster-Algorithmus
Wenn benachbarte Spins gleichgerichtet, diese mit gewisser
Wahrscheinlichkeit w zu Clustern zusammenfassen, für jeden
Cluster zufälligen Spinwert auswählen und diesen jedem Spin
im Cluster zuweisen.
w ≤ exp −δH/kB T
Prinzip des Cluster-Algorithmus von Wolff
Beim Swendsen Wang Algorithmus werden viele Cluster
erzeugt.
Idee: Einen Spin zufällig auswählen (”Dartwurf”) und um
diesen einen einzigen Cluster konstruieren.
Verschiedene Vor- und Nachteile, siehe Literatur
S. Dinter
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Phasenübergang
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Cluster Algorithmen (2)
Prinzip des Swendsen Wang Cluster-Algorithmus
Wenn benachbarte Spins gleichgerichtet, diese mit gewisser
Wahrscheinlichkeit w zu Clustern zusammenfassen, für jeden
Cluster zufälligen Spinwert auswählen und diesen jedem Spin
im Cluster zuweisen.
w ≤ exp −δH/kB T
Prinzip des Cluster-Algorithmus von Wolff
Beim Swendsen Wang Algorithmus werden viele Cluster
erzeugt.
Idee: Einen Spin zufällig auswählen (”Dartwurf”) und um
diesen einen einzigen Cluster konstruieren.
Verschiedene Vor- und Nachteile, siehe Literatur
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Kritische Exponenten (1)
Beschreibt das Verhalten einer Funktion f () nahe des
kritischen Punktes Tc . weiter
Definition
Funktion f () sei positiv und stetig für geeignet kleine Werte von
≡
T − Tc
.
Tc
Dann ist
ln f ()
ln
der kritische Exponent von f , falls der Grenzwert existiert.
λ ≡ lim
→0
Notation f () ∝ λ Impliziert nicht: f () = Aλ
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Kritische Exponenten (1)
Beschreibt das Verhalten einer Funktion f () nahe des
kritischen Punktes Tc . weiter
Definition
Funktion f () sei positiv und stetig für geeignet kleine Werte von
≡
T − Tc
.
Tc
Dann ist
ln f ()
ln
der kritische Exponent von f , falls der Grenzwert existiert.
λ ≡ lim
→0
Notation f () ∝ λ Impliziert nicht: f () = Aλ
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Kritische Exponenten (2)
Universalitätshypothese
Kritische Exponenten sind fast universell, sprich für alle
thermodynamischen Systeme gleich, hängen nur ab von
Dimension d des Systems
Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung
Spindimensionalität (wichtig bei magnetischen Systemen)
Durch Simulation und exakte Rechnung: β = 0, 125 für d = 2
Durch Simulation in d = 3 ergeben sich typische Werte
β ≈ 0, 325 ± 0, 04
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Kritische Exponenten (2)
Universalitätshypothese
Kritische Exponenten sind fast universell, sprich für alle
thermodynamischen Systeme gleich, hängen nur ab von
Dimension d des Systems
Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung
Spindimensionalität (wichtig bei magnetischen Systemen)
Durch Simulation und exakte Rechnung: β = 0, 125 für d = 2
Durch Simulation in d = 3 ergeben sich typische Werte
β ≈ 0, 325 ± 0, 04
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Ordnungsparameter (1)
Wie wird Phasenübergang charakterisiert?
Phasenübergänge mit spontaner Symmetriebrechung:
Ordnungsparameter
Ordnungsparameter sind im einem Zustand des Systems Null
und nehmen im anderen einen Wert 6= 0 an
Beispiele:
Phasenübergang
magnetischer PÜ
flüssig/gasförmig
Supraleitung
Ordnungsparameter
spontane Magnetisierung
Dichtedifferenz
Amplitude der kohärenten Wellenfunktion
Bemerkung: Ordnungsparameter kann auch richtungsabhängig
sein (→ Supraleiter)
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Ordnungsparameter (2)
weiter
Ordnungsparameter für das Ising-Modell: Spontane Magnetisierung
pro Gitterplatz
m ∼ hsi
m0 (T ) := lim+ lim m (T , h)
h→0 N→∞
Wichtige Bemerkung
In einem endlichen System findet aber kein Phasenübergang statt,
da Korrelationslänge und Korrelationszeit endlich sind. Das
bedeutet insbesondere für die spontane Magnetisierung, dass die
Wahrscheinlichkeit, von einem Zustand m > 0 in einen anderen mit
m < 0 zu kommen, nicht Null ist.
⇒ Müssen vom endlichen System auf ein unendlich ausgedehntes
System skalieren: Finite Size Scaling
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Ordnungsparameter (2)
weiter
Ordnungsparameter für das Ising-Modell: Spontane Magnetisierung
pro Gitterplatz
m ∼ hsi
m0 (T ) := lim+ lim m (T , h)
h→0 N→∞
Wichtige Bemerkung
In einem endlichen System findet aber kein Phasenübergang statt,
da Korrelationslänge und Korrelationszeit endlich sind. Das
bedeutet insbesondere für die spontane Magnetisierung, dass die
Wahrscheinlichkeit, von einem Zustand m > 0 in einen anderen mit
m < 0 zu kommen, nicht Null ist.
⇒ Müssen vom endlichen System auf ein unendlich ausgedehntes
System skalieren: Finite Size Scaling
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Phasenübergang
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Ordnungsparameter (3)
Magnetisierung pro Gitterplatz in Abhängigkeit eines äußeren
Magnetfeldes bei verschiedenen Temperaturen
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Ordnungsparameter (4)
Entwicklung der Magnetisierung für bei MC-Simulation für kleines
System, wir sehen, dass Magnetisierung ”umklappt”
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Finite Size Scaling (1)
Phänomenologische Aussagen der Finite Size Scaling Theorie
Skaleneffekte werden gesteuert durch den Quotienten L/ξ, ξ
ist Korrelationslänge
Dabei gilt für T ≈ TC :
L
' Lν
ξ
Definition Ergebnis für die Magnetisierung (→ Brankov, Kap. 4.3):
mL (T , h) ' bL−β/ν Y aL1/ν , bhLδ/ν
Y ist universelle Skalierungsfunktion, hängt aber von
Randbedingungen und Systemgeometrie ab.
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Finite Size Scaling (1)
Phänomenologische Aussagen der Finite Size Scaling Theorie
Skaleneffekte werden gesteuert durch den Quotienten L/ξ, ξ
ist Korrelationslänge
Dabei gilt für T ≈ TC :
L
' Lν
ξ
Definition Ergebnis für die Magnetisierung (→ Brankov, Kap. 4.3):
mL (T , h) ' bL−β/ν Y aL1/ν , bhLδ/ν
Y ist universelle Skalierungsfunktion, hängt aber von
Randbedingungen und Systemgeometrie ab.
S. Dinter
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Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Finite Size Scaling (2)
Spontane Magnetisierung
Spontane Magnetisierung m0 (T ) als Ordnungsparameter:
Doppelte Grenzwertbildung unhandlich und unüblich, denn für
T < TC ist in hinreichend großen Systemen Magnetisierung
+m oder −m ausreichend metastabil, so dass vernünftige
Abschätzungen gemacht werden können.
Aber: Für T > TC findet man womöglich Magnetisierung
δm 6= 0, da sich Fluktuationen wegen endlicher
Beobachtungszeit und endlicher Systemgröße nicht vollständig
herausmitteln.
Benötigen hinreichend lange Beobachtungszeiten
S. Dinter
MCS & Ising-Modell
Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Finite Size Scaling (3)
Jedoch: Bei T % TC nimmt m ab und δm zu, bis
Fluktuationen in O (m)
Lösung: Root Mean Square des Ordnungsparameters bilden:
1/2
mrms
* N
!2 +
q
X
= hm2 i =
Si /N
i=1
=
1
N
Abschätzung ergibt für T = TC mit N = Ld
mrms (T = TC ) ∝ L−β/ν
S. Dinter
MCS & Ising-Modell
N
X
i,j=1
1/2
hSi Sj i
Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Finite Size Scaling (4)
Im endlichen System ist der Ordnungsparameter
wahrscheinlichkeitsverteilte Größe
Die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist symmetrisch.
Für T > TC und L ξ ist die
Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte für einen
Ordnungsparameter von Gauß’scher Form.
Für T ≈ TC wird diese breiter und verliert ihre Gaußsche
Form, sie bildet ein abgeflachtes Plateau.
Für T < TC und wiederum L ξ besitzt sie in der Nähe der
Werte +m0 und −m0 jeweils Gauß’sche Form weicht jedoch
für m → 0 davon ab.
S. Dinter
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Finite Size Scaling (5)
Wahrscheinlichkeitsverteilung für spontane Magnetisierung im
endlichen System bei Temperatur T < TC
S. Dinter
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Finite Size Scaling (6)
Für große L sollte auch h|s|iL eine gute Näherung der
spontanen Magnetisierung sein, da bei akzeptablen
Beobachtungszeiten kein Wechsel von positiver zu negativer
Magnetisierung stattfindet, wir ”sehen” also nur die Hälfte der
Wahrscheinlichkeitsverteilung. ⇒ hsiL ' h|s|iL .
Auf der nächsten Folie werden verschiedene Abschätzungen
für spontane Magnetisierung verglichen. Wir stellen fest, dass
sich diese für große L dem gleichen Wert annähern.
S. Dinter
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Finite Size Scaling (7)
S. Dinter
MCS & Ising-Modell
Zusammenfassung etc.
Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Finite Size Scaling (8)
Bisher nur L ξ für Abschätzungen betrachtet
In der Praxis ist Korrelationslänge ξ meist unbekannt
Gauß’scher Charakter der Verteilungsfunktion kann durch
Berechnung der sogenannten 4.-Ordnung- oder
Binderkumulante:
4
s L
UL = 1 −
3 hs 2 i2L
getestet werden.
S. Dinter
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Finite Size Scaling (9)
S. Dinter
MCS & Ising-Modell
Zusammenfassung etc.
Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Zusammenfassung
Ising Modell äußerst vielseitig
Monte-Carlo-Simulationen mächtiges Werkzeug zur Lösung
komplizierter statistischer Probleme
Phasenübergang: Konzepte und Schwierigkeiten
S. Dinter
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Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Ausblick
Monte-Carlo-Simulationen werden benötigt
zur Kalkulation hochdimensionaler Integrale, z.B.
Pfadintegrale in QM und OFT
für numerische Behandlung statistischer Modelle, z.B.
Supraleitung bei hohen Temperaturen zu verstehen
speziell um Quantenfeldtheorien zu simulieren, insbesondere
Quantenchromodynamik:
Berechnung des Massenspektrums von Hadronen
S. Dinter
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Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Dank
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
S. Dinter
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Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Links
Java-Applet mit lokalem Algorithmus
http://bartok.ucsc.edu/peter/java/ising/keep/ising.html
Zusätzlich Cluster-Algorithmen
http://www-fcs.acs.i.kyoto-u.ac.jp/˜harada/monte-en.html
S. Dinter
MCS & Ising-Modell
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Das Ising Modell
Monte Carlo Simulation
Phasenübergang
Zusammenfassung etc.
Literatur
Binder, Heermann: Monte Carlo Simulation in Statistical
Physics
W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Bd.4, Kap.4
H. Eugene Stanley: Introduction to Phase Transitions and
Critical Phenomena
Rodney J. Baxter: Exactly Solved Models in Statistical
Mechanics
Brankov, Danchev, Tonchev: Theory of Critical Phenomena in
Finite Size Systems
U. Wolff: Comparison between Cluster Monte Carlo
Algorithms in the Ising Model
U. Wolff: Cluster Algorithms for Non-Linear Sigma Models
(→ HEP-Spires)
Deckblatt
S. Dinter
MCS & Ising-Modell
