VII. Taylorreihen - TU Darmstadt/Mathematik

VII.1. Taylorentwicklung
143
VII. Taylorreihen
In diesem Kapitel werden wir eine Methode kennenlernen, differenzierbare Funktionen lokal durch Polynome zu approximieren. Im gleichen Sinne wie die Differenzierbarkeit einer Funktion es erlaubt, sie lokal durch eine affine Funktion
anzunähern, werden wir sehen, dass die n -malige Differenzierbarkeit die lokale
Approximierbarkeit durch Polynome n -ten Grades liefert. Die Methoden dieses
Abschnitts sind eine zentrale Grundlage für viele Anwendungen der Analysis,
da sie es erlauben, mit Näherungen zu rechnen, wenn die exakten Formeln zu
kompliziert werden.
In diesem Abschnitt steht D immer für ein Intervall in R , das mindestens
zwei Punkte enthält.
VII.1. Taylorentwicklung
Um die Grundidee der Taylorentwicklung
zu verstehen, betrachten wir zunächst
Pn
eine Polynomfunktion f (x) = k=0 ak (x − p)k auf R . Durch m -faches Ableiten
erhalten wir
f [m] (x) =
=
n
X
ak · k(k − 1)(k − 2) · · · (k − m + 1) · (x − p)k−m
k=0
n
X
k=m
k
ak
m! · (x − p)k−m .
m
Insbesondere ist f [m] (p) = am · m! . Daher ist
(1.1)
f (x) =
n
X
f [k] (p)
k=0
k!
(x − p)k .
Diese Formel zeigt insbesondere, dass jedes Polynom vom Grade ≤ n eindeutig
durch seine Ableitungen bis zur Ordnung n im Punkte p bestimmt ist.
Pn
Beachte: Dass wir das Polynom f direkt in der Gestalt f (x) = k=0 ak (x−p)k
geschrieben haben, stellt keine Einschränkung der Allgemeinheit dar. Denn ist
144
VII. Taylorreihen
zunächst f (x) =
f (x) =
Pn
k
k=0 bk x ,
n
X
so erhalten wir
bk (x − p) + p
k
=
k=0
=
31. Oktober 2007
n
X
k=0
n
X
n
X
j=0
k=0
bk
k X
k
j
j=0
(x − p)j · pk−j
!
k k−j
bk
p
(x − p)j .
j
Jedes Polynom in x lässt sich also auch als Polynom in x − p schreiben.
In diesem Abschnitt werden wir uns mit dem Problem beschäftigen, zu
einer n -mal differenzierbaren Funktion f : D → R ein Polynom vom Grade n
zu finden, das sich in einem Punkt p ∈ D möglichst gut an f anschmiegt. Die
Formel (1.1) zeigt uns, wie wir das zu tun haben.
Definition VII.1.1.
Sei f : D → R eine n -mal differenzierbare Funktion
und p ∈ D . Dann heißt
Tpn (f )(t)
:=
n
X
f [k] (p)
k!
k=0
tk
das n-te Taylorpolynom von f bei p. Ist f in einer Umgebung von p beliebig oft
differenzierbar, so heißt die Potenzreihe
Tp∞ (f )(t)
:=
∞
X
f [k] (p)
k=0
k!
tk
die Taylorreihe von f bei p.
Bemerkung VII.1.2.
Das n -te Taylorpolynom Tpn (f ) ist das eindeutig
bestimmte Polynom vom Grad ≤ n mit
Tpn (f )[k] (0) = f [k] (p)
für k = 0, . . . , n.
Dies bedeutet, dass die Ableitungen bis zur Ordnung n des Restgliedes
rn (x) := f (x) − Tpn (f )(x − p)
in p verschwinden. Für n = 1 ist
Tp1 (f )(x − p) = f (p) + (x − p) · f 0 (p)
diejenige affine Funktion, die sich in p am besten an f in dem Sinne anschmiegt,
dass sie in p den gleichen Wert und die gleichen Ableitungen bis zur Ordnung n
besitzt.
145
VII.1. Taylorentwicklung
rn (x) := f (x) − Tpn (f )(x − p) heißt das n-te Restglied
Definition VII.1.3.
[k]
von f bei p. Beachte, dass für k = 0, . . . , n die Beziehung rn (p) = 0 gilt.
Satz von Taylor—Taylorformel
Satz VII.1.4. Seien n ∈ N0 und f eine (n + 1) -mal stetig differenzierbare
Funktion f : D → R sowie p, x ∈ D . Dann gilt
f (x) =
Tpn (f )(x
− p) + rn (x)
1
rn (x) =
n!
mit
Z
x
(x − t)n · f [n+1] (t) dt.
p
Beweis. Es ist nur die Integraldarstellung des Restglieds rn (x) zu beweisen.
[n+1]
[k]
[n+1]
Zunächst ist rn (p) = 0 für k = 0, . . . , n , und wegen Tpn
≡ 0 ist rn
=
[n+1]
f
. Wir berechnen das Integral durch partielle Integration:
Z
x
n [n+1]
(x − t) f
Z
(t) dt =
p
x
(x − t)n rn[n+1] (t) dt
p
h
n
= (x − t) ·
ix
rn[n] (t)
Z
+
p
x
n(x − t)n−1 rn[n] (t) dt.
p
[n]
Ist n > 0 , so ist (x − x)n = 0 und rn (p) = 0 , also
Z
x
(x −
t)n rn[n+1] (t) dt
p
Induktiv erhalten wir:
Z x
Z
n
[n+1]
(x − t) · rn
(t) dt = n!
Bemerkung VII.1.5.
(x − t)n−1 rn[n] (t) dt.
=n
p
p
x
Z
x
rn0 (t) dt = n! rn (x) − rn (p) = n!rn (x).
p
Für n = 0 liefert der Taylorsche Satz VII.1.4
Z
f (x) = f (p) +
x
f 0 (t) dt,
p
was wir schon aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kennen.
Die einfachste Darstellung des Restglieds ist die folgende. Sie ist für viele
Abschätzungen sehr wichtig.
146
VII. Taylorreihen
31. Oktober 2007
Restglieddarstellung nach Lagrange
Satz VII.1.6. Mit den Bezeichnungen und Voraussetzungen aus VII.1.4 existiert ein ξ zwischen x und p mit
(x − p)n+1 [n+1]
rn (x) =
f
(ξ).
(n + 1)!
Beweis. Sei zunächst p ≤ x. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
VI.1.14 existiert ein ξ ∈ [p, x] mit
1
rn (x) =
n!
x
Z
n
p
(x − t) f
| {z }
[n+1]
(t) dt = f
[n+1]
1
(ξ) ·
n!
Z
x
(x − t)n dt
p
≥0
= f [n+1] (ξ) ·
(x − p)n+1
.
(n + 1)!
Für x < p ist (t − x)n ≥ 0 und somit der Mittelwertsatz der Integralrechnung
auch anwendbar.
Beachte: Das Lagrange-Restglied hat dieselbe Gestalt wie alle anderen Glieder
des Taylorpolynoms, nur dass f [n+1] nicht an p sondern in ξ ausgewertet wird.
Bemerkung VII.1.7.
Unter den Voraussetzungen von Satz VII.1.4 folgt
direkt aus Satz VII.1.6 wegen der Stetigkeit von f [n+1] in p :
rn (x)
f [n+1] (p)
=
.
x→p (x − p)n+1
(n + 1)!
lim
Die Abbildung




rn (x)
, falls x 6= p
(x − p)n+1
ψ(x) :=
f [n+1] (p)



,
falls x = p
(n + 1)!
ist also stetig und es gilt
f (x) = Tpn (f )(x − p) + (x − p)n+1 ψ(x).
Beachte, dass dies für n = 1 analog zur Definition der Differenzierbarkeit ist
(vgl. Lemma V.1.5).
Der folgende Satz ist eine Verschärfung der Restglieddarstellung von Lagrange, denn hier wird f [n+1] nicht als stetig vorausgesetzt und θx liegt im
offenen Intervall ] 0, 1 [.
147
VII.1. Taylorentwicklung
Satz VII.1.8. (Verschärfte Restglieddarstellung von Lagrange) Die Funktion f
sei im Intervall [p, p + x] mindestens (n + 1) -mal differenzierbar. Dann existiert
ein θx ∈ ] 0, 1 [ mit
f (p + x) = Tpn (f )(x) +
Beweis.
f [n+1] (p + θx · x) n+1
x
.
(n + 1)!
Wir wenden den allgemeinen Mittelwertsatz (Satz V.3.1) mit
r(x) = f (p + x) − Tpn (f )(x)
und
g(x) = xn+1
an. Wir erhalten hiermit induktiv
r(x)
r0 (θ1 x)
r00 (θ1 θ2 x)
=
=
xn+1
(n + 1)(θ1 x)n
(n + 1)n(θ1 θ2 x)n−1
= ... =
r[n+1] (θ1 . . . θn+1 x)
f [n+1] (p + θx · x)
=
(n + 1)!
(n + 1)!
mit θx := θ1 · · · θn+1 ∈ ] 0, 1 [.
Beispiel VII.1.9. Die Taylorentwicklung kann man insbesondere zur effizienten Berechnung von Grenzwerten verwenden. Wir diskutieren hierzu ein Beispiel.
x
Gesucht sei limx→0 1−cos
.
x2
Setze f (x) := 1 − cos x. Dann ist f (0) = 0 = f 0 (0) und f 00 (0) = cos 0 = 1 .
Es folgt f (x) = 1 − cos x = 12 x2 + x3 · ψ(x) mit einer stetigen Funktion ψ
(Folgerung VII.1.7). Also ist
lim
x→0
1
f (x)
1
1
= + lim xψ(x) = + 0 · ψ(0) =
2
x→0
x
2
2
2
Das Konvergenzverhalten von Taylorreihen ist in der Regel sehr schlecht.
Ist f in einer Umgebung von p beliebig oft differenzierbar, so muß die Taylorreihe
Tp∞ f
(x − p) =
∞
X
f [k] (p)
k=0
k!
(x − p)k
trotzdem nicht konvergieren. Und wenn sie konvergiert, so muß sie nicht gegen
f (x) konvergieren! Man betrachte hierzu die Taylorreihe T0∞ (f ) der Funktion
f ∈ C ∞ (R) aus Bemerkung V.2.10. In diesem Fall verschwindet die Taylorreihe,
aber trotzdem ist f (x) > 0 für alle x > 0 . Der folgende Satz von Borel zeigt
sogar, dass jede Folge als Koeffizientenfolge einer Taylorreihe auftreten kann.
Satz von Borel: Für jede Folge reeller Zahlen (an )n∈N existiert eine Funktion
f ∈ C ∞ (R) mit f [n] (0) = n!an für alle n ∈ N .
Für den Beweis verweisen wir auf Satz 4.5 in Th. Bröcker’s Analysis I“.
”
Der folgende Satz zeigt wenigstens, dass Funktionen, die durch konvergente
Potenzreihen dargestellt werden, mit ihrer Taylorreihe übereinstimmen.
148
VII. Taylorreihen
31. Oktober 2007
Satz VII.1.10. Ist f in einer Umgebung von p durch eine konvergente Potenzreihe dargestellt, so stimmt diese mit der Taylorreihe von f in p überein.
P∞
Beweis. Ist f (x) = k=0 ak (x − p)k für |x − p| < r , so ist gemäß Satz VI.3.5:
f
[n]
(x) =
∞
X
ak · k · (k − 1) · · · (k − n + 1) · (x − p)k−n ,
k=n
also f [n] (p) = n! an und somit an =
Satz VII.1.11.
f [n] (p)
n! .
Sei f auf D beliebig oft differenzierbar und M > 0 mit
supx∈D |f [n] (x)| ≤ M
für alle
n ∈ N.
Dann gilt
f (x) = Tp∞ (f )(x − p)
für alle x ∈ D , d.h., die Funktion f wird durch ihre Taylorreihe dargestellt.
Beweis.
Mit Satz VII.1.6 erhalten wir
|rn (x)| =
da e|x−p| =
P∞
1
n=0 n! |x
|x − p|n+1
|x − p|n+1 n+1 f
(ξ) ≤ M ·
→ 0,
(n + 1)!
(n + 1)!
− p|n konvergiert. Also gilt
f (x) = lim Tpn (f )(x − p) = Tp∞ (f )(x − p).
n→∞
Beispiel VII.1.12. (1) Für f (x) = cos(x) gilt
f [4n] (x) = cos x,
f [4n+1] (x) = − sin x
und
f [4n+2] (x) = − cos x
und
f [4n+3] (x) = sin x.
Die Voraussetzungen von Satz VII.1.11 sind also erfüllt, und wir haben für alle
x ∈ R:
cos x =
T0∞ (cos)(x)
∞
∞
∞
X
cos[n] (0) n X cos[2n] (0) 2n X (−1)n 2n
=
x =
x =
x .
n!
2n!
(2n)!
n=0
n=0
n=0
(2) Analog deutet man die Reihenentwicklung der Sinusfunktion:
∞
X
(−1)n 2n+1
sin x =
x
.
(2n + 1)!
n=0
Satz VII.1.13.
α
(Die binomische Reihe) Für |x| < 1 und α ∈ R gilt
(1 + x) =
∞ X
α
k=0
k
k
x
mit
α
α(α − 1) · · · (α − k + 1)
=
.
k!
k
VII.1. Taylorentwicklung
149
α−k xa
.
Wegen
x
Beweis. Für ak := αk xk ist ak+1 = α−k
k
k+1
k+1 → |x| folgt die
Konvergenz
für |x| < 1 aus dem Quotientenkriterium. Wir setzen
P∞der Reihe
f (x) := k=0 αk xk für |x| < 1 . Dann ist f gliedweise differenzierbar (Satz
VI.3.5), also gilt
0
(1 + x) · f (x) = (1 + x)
∞ X
α
k=1
∞
X
k
k · xk−1
α(α − 1) · · · (α − k + 1) k−1
x
(k − 1)!
k=1
∞ X
α − 1 k−1
= α(1 + x)
x
k−1
k=1
!
∞ ∞ X
α−1 k X α−1 k
=α
x +
x
k
k−1
k=0
k=1
!
∞
X
α−1
α−1
=α 1+
+
xk
k
k−1
k=1
!
∞ X
α k
=α 1+
x
= α · f (x).
k
= (1 + x)
k=1
Wir erhalten (1 + x) · f 0 (x) = α · f (x) . Weiter ist f (0) = 1 = (1 + 0)α . Für
f (x)
g(x) := (1+x)
α gilt daher g(0) = 1 und
f 0 (x)(1 + x)α − α(1 + x)α−1 f (x)
g (0) =
(1 + x)2α
αf (x)(1 + x)α−1 − αf (x)(1 + x)α−1
=
= 0.
(1 + x)2α
0
Die differenzierbare Funktion g ist also auf dem Intervall D =]−1, 1[ konstant 1 .
Daher gilt f (x) = (1 + x)α für |x| < 1 .
Beachte: Ist α ∈ N0 , so ist (1 + x)α ein Polynom. Die Reihe bricht nach dem
(α + 1) -ten Glied ab, da αk = 0 für k > α gilt. Spezialfälle sind:
∞
∞ X
1
−1 n X
−1
•
= (1 + x) =
x =
(−1)n xn = 1 − x + x2 − x3 + . . .
1+x
n
n=0
n=0
∞ ∞
X
1
−2 n X
−2
•
= (1 + x) =
x =
(−1)n (n + 1)xn
(1 + x)2
n
n=0
n=0
∞ 1
X
√
2 xn = 1 + 1 x − 1 x2 + 1 · 3 x3 − 1 · 3 · 5 x4 ± . . .,
•
1+x=
n
2
2·4
2·4·6
2·4·6·8
n=0
150
VII. Taylorreihen
denn
1
2
n
31. Oktober 2007
· ( 12 − 1) · · · ( 12 − n + 1)
(n − 32 )(n − 25 ) · · · 23 ·
= (−1)n−1
n!
n!
1 (2n − 3)(2n − 5) · · · 3 · 1
= (−1)n−1 n
2
n!
(2n
−
3)(2n
−
5) · · · 3 · 1
= (−1)n−1
(2n)(2n − 2)(2n − 4) · · · 2
=
1
2
1
2
·
1
2
Man erhält aus der obigen Diskussion eine brauchbare Näherungsformel für
die Wurzelfunktion:
√
1+x≈1+
x
2
für
”
kleine“ x.
Insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie werden oft Näherungen
des Typs
1 v2
v 2 − 21
≈1+
1− 2
c
2 c2
verwendet.
Beispiel VII.1.14. Für die Funktion arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ] erhalten wir
für |x| < 1 :
∞ 1
∞ X
X
−2
n − 21 2n
1
2 − 12
n 2n
arcsin (x) = √
=
(−1) x =
x .
= (1 − x )
n
n
1 − x2
n=0
n=0
0
Wegen arcsin(0) = 0 erhalten wir aus Satz VI.3.2 damit die Entwicklung
arcsin x =
∞ X
n− 1
2
n=0
n
1
x2n+1 .
2n + 1
Und wegen
n−
n
1
2
(n − 21 )(n − 32 ) · · · 12
1
1
(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1
=
=
2n + 1
n(n − 1) · · · 2 · 1 2n + 1
(2n + 1)(2n)(2n − 2) · · · 4 · 2
ist
arcsin x = x +
1 3
1·3 5
1·3·5 7
x +
x +
x + ··· .
2·3
2·4·5
2·4·6·7
151
VII.2. Rechnen mit Taylorreihen
VII.2. Rechnen mit Taylorreihen
Für eine Funktion f : D → R mit 0 ∈ D , die im Nullpunkt mindestens n -mal
differenzierbar ist, setzen wir T n (f ) := T0n (f ) (das n -te Taylorpolynom in 0 ).
Ist f beliebig oft differenzierbar, so setzen wir T (f ) := T0∞ (f ) .
Die allgemeine Produktregel/Leibnizformel
Satz VII.2.1.
R , so gilt
Sind f und g beide n -mal differenzierbare Funktionen auf D ⊆
[n]
(f · g)
=
n X
n
k=0
Beweis.
k
f [k] · g [n−k] .
Übung.
Satz VII.2.2. Sind f und g im Nullpunkt mindestens n -mal differenzierbar,
so gelten
(1) T n (f + g) = T n (f ) + T n (g) und
(2) T n (f · g) = T n T n (f ) · T n (g) .
Beweis. (1) Dies folgt sofort aus (f +g)[k] (0) = f [k] (0)+g [k] (0) für 0 ≤ k ≤ n .
(2) Es gilt
T n (f )(x) T n (g)(x)
n
n
X
f [k] (0) k X g [l] (0) l
=
x
x
k!
l!
k=0
=
l=0
X f [k] (0) g [l] (0)
xk+l +
k!
l!
k+l≤n
n
X
1
=
m!
m=0
m X
m
k=0
k
2n
X
...
m=n+1
| {z }
Terme höherer Ordnung
!
f [k] (0) · g [m−k] (0)
· xm +
2n
X
...
m=n+1
| {z }
Terme höherer Ordnung
Mit der allgemeinen Produktregel (Satz VII.2.1) erhalten wir also
T
n
n
X
1
T (f ) · T (g) (x) =
(f · g)[m] (0) · xm = T n (f · g)(x).
m!
m=0
n
n
Anschaulich bedeutet Teil (2) des vorigen Satzes, dass man das Taylorpolynom von f · g erhält, indem man die Taylorpolynome T n (f ) und T n (g)
152
VII. Taylorreihen
31. Oktober 2007
multipliziertP
und anschließend alle Terme der Ordnung
≥ n + 1 weglässt: Für
Pn 1 [k]
n
1 [k]
f (p)xk und Tpn (g)(x) = k=0 k!
g (p)xk ist
Tpn (f )(x) = k=0 k!
n
X
1
Tpn (f · g)(x) =
m!
m=0
n
X
m
X
m=0
k=0
=
m X
m
k=0
k
!
f [k] (p) · g [m−k] (p)
f [k] (p) g [m−k] (p)
k! (m − k)!
· xm
!
· xm .
Beispiel VII.2.3. (a) Gesucht ist die Taylorreihe von
x 7→
log(1 + x)
1+x
in p = 0 . Für |x| < 1 haben wir schon gesehen, dass
log(1 + x) =
∞
X
k=1
(−1)k
xk
k
∞
und
X
1
=
(−1)k xk (geometrische Reihe)
1+x
k=0
gilt, wobei die Reihen absolut konvergieren. Wegen Satz VII.2.1 und der absoluten Konvergenz der Reihen, dürfen wir die Taylorreihe des Produktes mit der
Cauchy-Produktformel berechnen und erhalten daher
!
!
∞
n
∞
n
k+1
X
X
X
X
(−1)
1
log(1 + x)
=
(−1)n−k · xn =
(−1)n+1
· xn .
1+x
k
k
n=0
n=0
k=0
k=0
(b) Hat die Funktion f (x) := x(1 + x − cos x) ein Extremum am Nullpunkt?
Hierzu berechnen wir das Taylorpolynom zweiter Ordnung von f .
k
P∞
2k
Für g(x) = 1 + x − cos x ist T0 (g)(x) = 1 + x − k=0 (−1)
(2k)! x , also
2
T02 (g)(x) = x + x2 . Ferner ist T02 (h)(x) = x für h(x) = x. Durch Zusammensetzen erhält man
T02 (f )(x) = T02 (g · h)(x) = T02 T02 (g) · T02 (h) (x) = x2 ,
2
3
da (x + x2 )x = x2 + x2 . Man erkennt also, dass f (0) = 0 = f 0 (0) und
f 00 (0) = 2 > 0 ist, so dass f im Nullpunkt ein isoliertes Minimum besitzt.
Beispiel VII.2.4. (Methode der unbestimmten Koeffizienten) Genügt eine
Funktion f einer Gleichung oder einer Differentialgleichung (dies ist eine Gleichung,
Ableitungen von f vorkommen), so kann man f als PotenzreiP∞in der auch
n
he n=0 an x ansetzen und bestimmt hieraus die Koeffizienten an , soweit dies
möglich ist. Danach bestimmt man den Konvergenzbereich der so erhaltenen
Potenzreihe.
(a) Gesucht ist die Taylorentwicklung des Tangens im Nullpunkt. Wir
haben die Differentialgleichung tan0 = 1 + tan2 ; ferner wissen wir tan(0) = 0 .
153
VII.2. Rechnen mit Taylorreihen
P∞
Wir machen nun den Ansatz f (x) = n=0 an xn mit f (0) = 0 und f 0 = 1 + f 2 .
Aus f (0) = 0 erhalten wir a0 = 0. Durch gliedweises Ableiten erhalten wir
weiter
∞
∞
X
X
f 0 (x) =
n · an · xn−1 =
(n + 1)an+1 xn .
n=1
n=0
Die rechte Seite der Differentialgleichung f 0 = 1 + f 2 liefert
!
∞
n
X
X
1 + f (x)2 = 1 +
ak · an−k · xn .
n=0
k=0
Falls f der Differentialgleichung genügt, müssen diese beiden Reihen übereinstimmen, weswegen wir einen Koeffizientenvergleich für die an anstellen können.
Wir erhalten für n = 0 die Beziehung a1 = 1 + a20 = 1 und ferner eine
Rekursionsgleichung für die Koeffizienten mit höherem Index:
an+1 =
n−1
1 X
ak · an−k
n+1
für n ≥ 1.
k=1
Die sechs ersten Koeffizienten errechnen sich mit Hilfe dieser Rekursionsgleichung
zu
a0 = 0,
a1 = 1,
a2 = 12 (a0 a1 + a1 a0 ) = 0,
a3 =
1
1
(a0 a2 + a21 + a2 a0 ) = ,
3
3
1
2
(a1 a3 + a3 a1 ) =
.
5
15
Wir stellen nun zwei Behauptungen auf.
(1) Es gilt a2n = 0 für alle n ∈ N .
Dies zeigt man durch Induktion: Wir wissen schon, dass a0 = 0 ist. Für
n ≥ 0 ist
2n
1 X
ak · a2n+1−k .
a2n+2 =
2n + 2
a4 = 0,
a5 =
k=1
Ist in dieser Summe der Index k ungerade, so ist 2n+1−k gerade und umgekehrt.
Damit ist die ganze Summe 0 , da nach der Induktionsannahme a2k = 0 für alle
k = 0, . . . , n − 1 gilt.
(2) Für alle n ∈ N gilt 0 ≤ an ≤ 1 .
Aus der Rekursionsformel folgt sofort 0 ≤ an für alle n ; speziell ist
0 ≤ a0 ≤ 1 . Ist nun 0 ≤ ak ≤ 1 für k = 0, . . . , n , so folgt auch
an+1
n−1
n−1
1 X
1 X
n
=
ak an−k ≤
1=
≤ 1.
n+1
n+1
n+1
k=0
k=0
p
Damit ist insbesondere auch lim n→∞ n |an | ≤ 1 und somit der Konvergenzradius
der Reihe ≥ 1 . Wir erhalten also eine Funktion f : ] − 1, 1[ → R durch f (x) =
154
VII. Taylorreihen
31. Oktober 2007
P∞
an xn . Gemäß unserer Konstruktion ist f (0) = 0 und f 0 = 1 + f 2 ≥ 1
(Satz VI.3.2). Damit ist f streng monoton wachsend, also f : ] − 1, 1[ →
f ( ]−1, 1[ ) umkehrbar mit differenzierbarer Umkehrfunktion f −1 : f ( ]−1, 1[ ) →
] − 1, 1[ , und es gilt
k=0
0
f −1 (x) =
1
f 0 (f −1 (x))
=
1
1
=
.
1 + f (f −1 (x))2
1 + x2
R x dt
Wegen f −1 (0) = 0 ist damit f −1 (x) = 0 1+t
2 = arctan x und folglich f (x) =
tan x für |x| < 1 . Wir haben also gesehen, dass sich die Tangensfunktion auf
dem Intervall ] − 1, 1[ durch eine Potenzreihe
tan x =
∞
X
an xn
n=1
darstellen lässt. Die Koeffizienten erhält man aus der obigen Rekursionsformel.
(b) Wir betrachten die Funktion
ex −1
x ,
f : R → R, x 7→
1,
falls x 6= 0
sonst.
Für x 6= 0 ist also
∞
∞
∞
1 X 1 n X 1 n−1 X xn
ex − 1
=
x =
x
=
f (x) =
x
x n=1 n!
n!
(n + 1)!
n=1
n=0
1
und ebense f (0) = 1!
= 1 . Also ist f auf ganz R durch eien konvergente
Potenzreihe darstellbar und daher beliebig oft differenzierbar (Satz VI.3.2).
Für alle x ∈ R ist f (x) 6= 0 , und folglich ist
1
g(x) :=
=
f (x)
x
ex −1 ,
1,
falls x 6= 0
sonst
eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Wir setzen nun für die Funktion g
wie oben eine Potenzreihe an:
T0 (g)(x) =
∞
X
βn n
x .
n!
n=0
Die Koeffizienten βn = g [n] (0) heißen Bernoulli-Zahlen.
Die Gleichung g(x)f (x) = 1 liefert g(x)(ex −1) = x, also T0 (g)·T0 (ex −1) =
x, das heißt
n−1
X βk
1
1, n = 1
=
0, sonst.
k! (n − k)!
k=0
155
VII.2. Rechnen mit Taylorreihen
Somit ergibt sich β0 = g(0) = 1 . Für n ≥ 2 erhält man aus der Summe eine
Rekursionsgleichung für βn−1 :
βn−1 = −(n − 1)!
n−2
X
k=0
1
βk
.
k! (n − k)!
Damit können wir weitere Bernoulli-Zahlen berechnen:
β0
1
1
1
1 1
1 1
1
β1 = −
= − , β2 = −2!
−
= −2
−
= − =
2
2
3! 2 · 2!
6 4
2 3
6
und
β4 = −4!
1
1
1
−
+
5! 2 · 4! 6 · 2! 3!
=−
1 1 1
− +
5 2 3
=−
1
.
30
Für alle k ∈ N gilt β2k+1 = 0 : Hierzu betrachten wir die um β1 x modifizierte
Funktion g .
x · 1 + 21 (ex − 1)
x
1
1
g(x) + 2 x = x
+ x=
e −1 2
ex − 1
x
x
x
x
x e 2 (e 2 + e− 2 )
x cosh( x2 )
xe +1
=
=
.
=
x
x
x
2 ex − 1
2 e 2 (e 2 − e− 2 )
2 sinh( x2 )
Hierbei sind die Funktionen sinh und cosh jeweils definiert durch
cosh(x) =
ex + e−x
2
und
sinh(x) =
ex − e−x
.
2
Wir schließen hieraus, dass g(x) + 12 x eine gerade Funktion ist. Also gilt
g [2k+1] (0) = β2k+1 = 0
Bemerkung VII.2.6.
für alle
k ∈ N0 .
Es gilt
∞
X
22n (22n − 1)
tan x =
(−1)n+1 β2n x2n−1
(2n)!
n=1
für |x| <
π
.
2
Die Bernoullizahlen liefern also auch die Entwicklung der Tangensfunktion (sogar
für |x| < π2 ).
Wir wenden uns nun einer Verallgemeinerung der Kettenregel zu. Die Kettenregel macht eine Aussage über die Ableitung einer Komposition von Funktionen:
0
g ◦ f = (g 0 ◦ f ) · f 0
Die Ableitung einer Funktion bekommt man aus ihrem Taylorpolynom erster
Ordnung. Man kann die Kettenregel wie folgt mit Taylorpolynomen schreiben:
Tp1 (g ◦ f ) = Tf1(p) (g) · Tp1 (f ).
Diese Regel lässt sich verallgemeinern.
156
VII. Taylorreihen
31. Oktober 2007
Allgemeine Kettenregel
Satz VII.2.7.
Gegeben seien n -mal differenzierbare Funktionen
f : D → B ⊆ R,
g:B→R
und ein Punkt p ∈ D mit f (p) = q . Dann gilt
Tpn (g ◦ f ) = T0n Tqn (g) ◦ (Tpn (f ) − q) .
Beweis. Ersetzen wir f durch x 7→ f (p + x) − q und g durch x 7→P
g(x + q) ,
n
so dürfen wir p = q = 0 annehmen. Für den Spezialfall, dass g(y) = `=0 a` y `
eine Polynomfunktion vom Grad ≤ n ist, liefert Satz VII.2.2(2)
!
n
n
n
X
X
X
T0n (g ◦ f ) =
a` · T0n (f ` ) =
aj · T0n T0n (f )` = T0n
a` · T0n (f )`
=
`=0
T0n
g◦
T0n (f )
=
`=0
T0n
`=0
T0n (g)
◦
T0n (f )
,
da g = T0n (g)) ist. Für eine allgemeine Funktion g setzen wir ge := g − T0n (g) .
Dann ist T0n (g) eine Polynomfunktion vom Grad ≤ n , und wir erhalten
T0n (g ◦ f ) = T0n T0n (g) ◦ f + T0n (e
g ◦ f ) = T0n T0n (g) ◦ T0n (f ) + T0n (e
g ◦ f ).
Wir behaupten nun, dass T0n (e
g ◦ f ) = 0 ist. Dies zeigen wir, indem wir durch
Induktion nach k nachweisen, dass aus h[j] (0) = 0 für j = 0, 1, . . . , k ≤ n die
Beziehung T0k (h ◦ f ) = 0 folgt. Diese Aussage können wir dann auf h = ge
anwenden.
(A) Für k = 0 ist T00 (h ◦ f )(0) = h(f (0)) = h(0) = 0 .
(S) k → k + 1 : Für k < n haben wir
h◦f
[k+1]
[k]
[k]
(0) = (h ◦ f )0 (0) = (h0 ◦ f ) · f 0 (0)
k X
[m]
k
=
h0 ◦ f
(0) ·f [k+1−m] (0),
m
{z
}
|
m=0
=0
denn wir können die Induktionsvoraussetzung auf die Funktion h0 anwenden,
deren Ableitungen bis zur Ordnung k in 0 verschwindet. Damit ist
h◦f
Die Induktion zeigt jetzt, dass h ◦ f
T0n (h ◦ f ) = 0 . Wir haben also
[k+1]
[k]
(0) = 0.
(0) = 0 für alle k = 0, . . . , n gilt, folglich
T0n (g ◦ f ) = T0n T0n (g) ◦ T0n (f )
gezeigt.
157
VII.2. Rechnen mit Taylorreihen
Beispiel VII.2.8. Wie berechnet man die dritte Ableitung von g ◦ f ? Man
[j]
schreibt Tq3 (g)(y) = a0 + a1 y + a2 y 2 + a3 y 3 , wobei aj = g j!(q) ist, und
Tp3 (f )(x) − q = b1 x + b2 x2 + b3 x3
mit
bj =
f [j] (p)
.
j!
Die gerade bewiesene Aussage entspricht dann
Tp3 (g ◦ f ) = T03 Tq3 (g) ◦ (Tp3 (f ) − q) .
Den Term dritter Ordnung erhält man durch Einsetzen:
a1 b3 + 2a2 b1 b2 + a3 b31 =
(g ◦ f )000 (p)
.
3!
Die allgemeine Formel lautet:
3
(g ◦ f )000 (p) = g 0 (q)f 000 (p) + 3g 00 (q)f 0 (p)f 00 (p) + g 000 (q) f 0 (p) .
158
VIII. Uneigentliche Integrale
31. Oktober 2007
VIII. Uneigentliche Integrale
In diesem Abschnitt werden wir die Integration verwenden, um die Konvergenz
von Reihen zu untersuchen. Hierbei wird sich eine interessante Analogie zwischen
unendlichen Reihen und den sogenannten uneigentlichen Integralen zeigen. Aus
dieser Korrespondenz lassen sich sehr feine Resultate über das Konvergenzverhalten von Reihen gewinnen, da uns nun der Kalkül der Differentialrechnung zur
Verfügung steht.
Definition VIII.1.
Sei a ∈ R und b ∈ ]a, ∞] . Weiter sei f : [a, b[ → R eine
Funktion, sodass für alle x ∈ [a, b[ die Einschränkung f|[a,x] Riemann-integrabel
ist. Falls er existiert, heißt der Grenzwert
Z b
Z x
f (t)dt := lim
f (t) dt
x→b
x<b
a
a
Rx
das uneigentliche Integral von f auf [a, b[ . Die Integrale F (x) := a f (t) dt heißen
Partialintegrale (analog zu den Partialsummen von Reihen). Analog definiert
man uneigentliche Integrale für a ∈ R ∪ {−∞}, wenn f auf allen Intervallen
[x, b] , x ∈]a, b] Riemann-integrabel ist.
Bemerkung VIII.2. Ist F : [a, b[ → R stetig differenzierbar, Rso ist nach dem
x
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung F (x)−F (a) = a F 0 (t) dt . Die
Rb 0
Existenz des uneigentlichen Integrals a F (t) dt ist also äquivalent zur Existenz
des Grenzwerts limx%b F (x) .
Der folgende Satz zeigt, dass wir Reihen als eine spezielle Form von uneigentlichen Integralen ansehen dürfen.
P∞
Satz VIII.3. Ist
k=0 ak eine Reihe, so definieren wir
f : [0, ∞[ → R, t 7→ ak
für
k ≤ t < k + 1.
P∞
Reihe
k=0 ak konvergiert genau dann, wenn das uneigentliche Integral
RDie
∞
f
(t)
dt
existiert.
In diesem Fall sind beide Werte gleich.
0
Rx
Beweis. Für F (x) := 0 f (t) dt und n ≤ x < n + 1 ist
Z
F (x) =
n
Z
x
f (t) dt +
0
f (t) dt =
n
n−1
X
k=0
ak + (x − n) · an .
159
VIII. Uneigentliche Integrale
Pn−1
ist F (n) =
k=0 ak . Existiert nun das uneigentliche Integral
RInsbesondere
∞
f
(t)
dt
,
so
existiert
auch
0
∞
X
k=0
Z
ak = lim F (n) =
n→∞
∞
f (t) dt.
0
P∞
Konvergiert andererseits die Reihe k=0 ak , so ist für ausreichend große n ∈ N
und x ∈ [n, n + 1[:
∞
∞
∞
X X
X
ak < ε.
ak ≤ |an | + ak = (x − n)an −
F (x) −
k=0
k=n
k=n
Wegen obiger Bemerkung verwundert es nicht, dass sich einige Konvergenzsätze für Reihen auf uneigentliche Integrale übertragen lassen.
Satz über die monotone Konvergenz
Satz VIII.4. Ist f ≥ 0 und f | [a,x] ∈ Rax für alle x ∈ [a, b[, so existiert das
Rb
uneigentliche Integral a f (t) dt genau dann, wenn die Funktion F : [a, b[ →
Rx
R, x 7→ a f (t) dt beschränkt ist.
Beweis. Wir setzen s := sup F ([a, b[) . Wir nehmen zuerst s < ∞ an. Da das
Partialintegral F monoton wächst (beachte f ≥ 0 ) und für ein x ∈ [a, b[ die
Beziehung F (x) > s − ε gilt, erhalten wir F (y) > s − ε für alle y ∈ [x, b[ . Also
ist |s − F (y)| < ε für alle y ∈ [x, b[ . Hieraus folgt limx→b F (x) = s.
Ist s = ∞, so folgt analog limx→b F (x) = ∞, d.h., das uneigentliche
Rb
Integral a f (t) dt existiert nicht.
Majorantenkriterium
Satz VIII.5. Ist 0 ≤ f ≤ g und existiert das uneigentliche Integral
Rb
so existiert auch a f (t) dt.
Rx
Rx
Rb
Beweis. Dies folgt wegen a f ≤ a g ≤ a g aus Satz VIII.4.
Rb
a
g(t) dt ,
Sei a = 1 , b = ∞ und f (x) = x−α mit α > 0 . Dann ist
Z x
1−x1−α
−α
α−1 , falls α 6= 1
F (x) =
t dt =
log x,
falls α = 1.
1
R∞
Für α < 1 ist 1 − α > 0 und folglich limx→∞ x−α+1 = ∞, d.h. 1 t−α dt
R∞
existiert nicht. Für α = 1 existiert 1 dt
t ebenfalls nicht, da limx→∞ log x = ∞.
Für α > 1 jedoch ist 1 − α < 0 und daher limx→∞ x−α+1 = 0 . In diesem Fall
existiert das Integral, und es gilt für α > 1 :
Z ∞
dt
1
=
.
α
t
α−1
1
Beispiel VIII.6.
160
VIII. Uneigentliche Integrale
31. Oktober 2007
Man beachte, dass diese Rechnung
viel einfacher war als diejenige, die wir
P∞
gemacht haben, um die Reihen n=1 n1α auf Konvergenz zu untersuchen. Man
sieht also, dass der Kalkül der Differential- und Integralrechnung vieles einfacher
macht. Wie man Ergebnisse über Reihen aus solchen für uneigentliche Integrale
direkt gewinnen kann, zeigt der folgende Satz:
Satz VIII.7. Sei f : [1, ∞[ → R eine nichtnegative monoton fallende Funktion.
Dann ist die Folge (an )n∈N mit
Z n+1
n
X
an :=
f (t) dt
f (k) −
1
k=1
nicht negativ, monoton wachsend, und sie konvergiert mit
0 ≤ lim an ≤ f (1).
n→∞
Insbesondere
konvergiert das uneigentliche Integral
P∞
die Reihe
k=1 f (k) konvergiert.
R∞
1
f (t) dt genau dann, wenn
Beweis. Da f monoton fallend ist, ist f | [1,x] für alle x ≥ 1 integrabel
(vgl. Satz VI.1.10). Aus der Monotonie ergibt sich
Z k+1
(7.1)
f (k + 1) ≤
f (t) dt ≤ f (k).
k
Also ist insbesondere ak − ak−1 ≥ 0 und mit a0 = 0 sehen wir, dass die Folge
(ak ) nichtnegativ und monoton wachsend ist. Weiter erhalten wir aus (7.1) durch
Summation
an ≤
n
X
k=1
f (k) −
n+1
X
f (k) = f (1) − f (n + 1) ≤ f (1).
k=2
Aus dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt nun, dass limn→∞ an existiert. Die Beziehung
0 ≤ lim an ≤ f (1)
n→∞
folgt aus 0 ≤ an ≤ f (1) für alle n ∈ N , und der Rest der Behauptung direkt aus
dem Bewiesenen und Satz VIII.4.
Beispiel VIII.8. (a) Wir wenden Satz VIII.7 auf die Funktion f : x 7→ x−α an
(α > 0 ). Dann existiert das Integral
Z ∞
Z ∞
dt
f (t) dt =
tα
1
1
nach Beispiel VIII.6 genau dann, wenn α > 1 ist. Nach dem vorstehenden Satz
ist dies genau dann der Fall, wenn die Reihe
∞
X
k=1
∞
X
1
f (k) =
kα
k=1
161
VIII. Uneigentliche Integrale
konvergiert. Wir erhalten sogar die Abschätzung
Z ∞
∞
∞
X
dt X 1
1
1
−
≤
−
≤ f (1) = 1,
0≤
α
α
α
k
t
k
α−1
1
k=1
k=1
das heißt
∞
X 1
1
1
α
≤
≤
+1=
.
α
α−1
k
α−1
α−1
k=1
Für α > 1 schreibt man
∞
X
1
.
ζ(α) :=
kα
k=1
Die Funktion ζ : ] 1, ∞ [ → R heißt Riemannsche Zetafunktion. Sie spielt in der
Zahlentheorie, als Funktion im Komplexen, eine zentrale Rolle.
1
α
Wegen ζ(α) ≥ 11α = 1 und α−1
≤ ζ(α) ≤ α−1
ist
lim ζ(α) = 1
α→∞
lim ζ(α) = ∞.
und
α→1
(b) Für α = 1 erhalten wir wie im Beweis von Satz VIII.7:
Z
n+1
log(n + 1) =
1
n
n
k=1
k=2
X1
dt X 1
≤
≤1+
≤ 1 + log n.
t
k
k
Die nach Satz VIII.7 konvergente Folge
an :=
n
X
1
k
!
− log n
k=1
hat als Grenzwert die Euler-Mascheronische Konstante
c := lim 1 +
n→∞
1
2
+ ... +
1
n
− log n = 0,5772 . . . ,
d.h., die harmonische Reihe wächst genauso wie log n .
Wir übertragen jetzt noch einige Konvergenzkriterien für Reihen auf uneigentliche Integrale.
Satz VIII.9. (Cauchykriterium) Sei F : D → R eine Funktion, b ∈ R∪{±∞},
und es gebe mindestens eine Folge (xn )n∈N in D , die gegen b konvergiert. Dann
existiert limx→b F (x) genau dann, wenn gilt:
(1) b 6= ±∞: (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, z ∈ Uδ (b) ∩ D) : |F (x) − F (z)| < ε.
(2) b = ∞: (∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀x, z ∈ D, x, z > N ) : |F (x) − F (z)| ≤ ε .
(3) b = −∞: (∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀x, z ∈ D, x, z < −N ) : |F (x) − F (z)| ≤ ε .
Beweis.
Sei zunächst b 6= ±∞.
162
VIII. Uneigentliche Integrale
31. Oktober 2007
Wir nehmen zuerst an, dass a := limx→b F (x) existiert. Dann existiert ein
δ > 0 mit |F (x) − a| < 2ε und |F (z) − a| < 2ε für x, z ∈ D ∩ Uδ (b) . Damit ist
|F (x) − F (z)| ≤ |F (x) − a| + |a − F (z)| ≤
ε ε
+ = ε.
2 2
Sei nun (1) erfüllt und (xn )n∈N eine Folge in D mit xn → b . Weiter sei
ε > 0 und δ > 0 gemäß (1) gewählt. Wegen xn → b existiert ein Nδ ∈ N
mit |xn − b| < δ für alle n > Nδ . Damit ist |F (xn ) − F (xm )| < ε für
alle n, m > Nδ . Die Folge F (xn ) n∈N ist also eine Cauchyfolge und daher
konvergent. Sei a := limn→∞ F (xn ) . Ist (yn )n∈N eine weitere Folge in D mit
yn → b , so konvergiert auch die Folge (zn )n∈N := (x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , . . .) gegen
b . Also ist
lim F (yn ) = lim F (zn ) = lim F (xn ) = a.
n→∞
n→∞
n→∞
Der Grenzwert hängt also nicht von der gewählten Folge ab, d.h. limx→b F (x) =
b.
Die Fälle b = ±∞ behandelt man analog.
Wir wollen das Cauchysche Konvergenzkriterium insbesondere auf uneigentliche Integrale anwenden, d.h., wir betrachten
Z x
F (x) =
f (t) dt, x ∈ D = [a, b[.
a
Definition VIII.10. Das uneigentliche Integral
Rb
vergent, wenn das Integral a |f (t)| dt konvergiert.
Rb
a
f (t) dt heißt absolut kon-
Satz VIII.11.
Ein absolut konvergentes uneigentliches Integral konvergiert.
Rx
Rx
Beweis. Für x ≥ a sei F (x) := a f (x) dx und G(x) := a |f (x)| dx . Dann
gilt für z ≤ x:
Z z
Z z
|F (z) − F (x)| = f (t) dt ≤
|f (t)| dt = G(z) − G(x).
x
x
Die Behauptung folgt nun, indem wir das Cauchysche Konvergenzkriterium
VIII.9 verwenden, um die Existenz des Grenzwertes limx→b F (x) einzusehen.
Folgerung VIII.12.
Sei f : [a, ∞[ → R eine Funktion, die von höherer als
erster Ordnung in ∞ verschwindet, d.h. es existieren α > 1 , ein c > a und ein
K > 0, so dass für alle t ≥ c gilt |f (t)| ≤ tKα . Dann konvergiert das Integral
R∞
f (t) dt absolut. Gilt dagegen f (t) ≥ Kt für ein K > 0 und alle t ≥ c, so
a
divergiert das Integral.
Beweis. Ist f (t) ≥ Kt für t ≥ c ≥ a, so würden wir aus der Konvergenz des
R∞
R∞
Integrals c f (t) dt nach dem Majorantenkriterium die Konvergenz von c dt
t
R∞
R∞
folgern können. Folglich ist das Integral c f (t) dt und damit auch a f (t) dt
divergent.
163
VIII. Uneigentliche Integrale
Gilt hingegenR |f (t)| ≤ tKα für α > 1 und alle t ≥ c, so folgt die Konver∞
genz des Integrals c |f (t)| dt aus dem Majorantenkriterium, Satz VIII.11 und
Beispiel VIII.6, d.h., das Integral
Z ∞
Z c
Z ∞
f (t) dt =
f (t) dt +
f (t) dt
a
a
c
ist absolut konvergent.
1
1
Beispiel VIII.13. Wegen 1+x
für x ≥ 1 konvergiert das Integral
2 ≤ x2
R ∞ dt
R ∞ dt
. Wir wissen schon, dass 0 1+t2 = limt→∞ arctan t = π2 ist.
0 1+t2
Natürlich betrachtet man auch Integrale, die an beiden Integralenden un”
eigentlich“ sind. Allgemein definieren wir
Z c
Z b
Z c
Z ∞
Z 0
Z ∞
f,
f+
f=
f und
f+
f :=
−∞
−∞
a
a
0
b
für a < b < c , wenn es sich an den Intervallenden a, c ∈ R ∪ {±∞} um
uneigentliche Integrale handelt.
Beispiel VIII.14.
Integral
(Die Gammafunktion) Für jedes t > 0 konvergiert das
Z
Γ(t) :=
∞
xt−1 · e−x dx
0
(die Gamma-Funktion), wobei das Integral an beiden Intervallenden als uneigentliches Integral zu verstehen ist. Für alle x ≥ 0 ist xt−1 e−x ≤ xt−1 , und
somit existiert das folgende uneigentliche Integral nach dem Majorantenkriterium
Z 1
Z 1
t−1 −x
x e dx = lim
xt−1 e−x dx,
y→0
0
denn es gilt
Z 1
t−1
x
0
Z
1
dx = lim
x→0
t−1
s
x
y
st
ds = lim
x→0 t
1
=
x
1
xt
1
− lim
= .
t x→0 t
t
Weiter gilt:
x2 · (xt−1 e−x ) = xt+1 e−x −→ 0.
x→∞
Nach den de l’Hospitalschen Regeln ist nämlich
xt+1
xt
=
lim
(t
+
1)
x→∞ ex
x→∞
ex
t−1
x
= lim (t + 1) · t x = 0,
falls t ∈]0, 1] ist, da xt−1 ≤ 1
x→∞
e
xt−2
= lim (t + 1) · t · (t − 1) x = 0,
falls t ∈]1, 2] ist, da xt−2 ≤ 1
x→∞
e
···.
lim
164
VIII. Uneigentliche Integrale
31. Oktober 2007
Damit existiert also ein K >R 0 , so dass xt−1 · e−x ≤ xK2 für alle x ≥ 1 gilt, und
∞
daher existiert das Integral 1 xt−1 e−x dx nach dem Majorantenkriterium.
Eigenschaften der Gammafunktion: Es gilt die Funktionalgleichung der
Gammafunktion
(∀t > 1) Γ(t) = (t − 1)Γ(t − 1).
Dies beweisen wir mittels partieller Integration:
Z ∞
Γ(t) =
xt−1 e−x dx
0
= lim −y
t−1 −y
y→∞
e
− lim y
y→0
∞
Z
t−1 −y
e
(t − 1)xt−2 e−x dx
+
0
= 0 + 0 + (t − 1)Γ(t − 1),
da y t−1 → 0 wegen t > 1 gilt. Für natürliche Zahlen n ∈ N erhalten wir speziell:
Z ∞
y
Γ(1) =
e−x dx = lim −e−x 0 = lim 1 − e−y = 1,
y→∞
y→∞
0
und für alle n ∈ N folgt aus der Funktionalgleichung
Γ(n + 1) = n!
Dies erhält man durch Induktion: Für n = 0 haben wir Γ(0 + 1) = 0! = 1 . Beim
Induktionsschluss verwenden wir die Funktionalgleichung und rechnen Γ(n+1) =
n · Γ(n) = n · (n − 1)! = n!.
Beispiel VIII.15. (Fresnelsche
Integrale) Durch Anwendung des Transforma√
tionssatzes mit t = ϕ(u) = u rechnet man
Z
∞
Z
2
sin(t ) dt = lim
x→∞
0
0
x
Z
1
sin(t ) dt = lim
x→∞ 2
2
x2
0
1
sin u
√ du = lim
x→∞
2
u
Z
0
x
sin u
√ du
u
√ = ϕ0 (u) · du ). Wir fragen nach der Konvergenz dieses Integrals.
(mittels 2du
u
Hierzu rufen wir uns zunächst in Erinnerung, dass für alle k ∈ N und alle u
zwischen 2kπ und (2k + 1)π der Wert sin(u) ≥ 0 ist; zwischen (2k + 1)π und
(2k + 2)π ist sin(u) ≤ 0 . Weiter ist
Z
(2k+2)π
−
(2k+1)π
Z (2k+1)π
sin u
sin(u + π)
√ du = −
√
du
u
u+π
2kπ
Z (2k+1)π
Z (2k+1)π
sin u
sin u
√
√ du.
=
du ≤
u
u+π
2kπ
2kπ
Analog erhält man
Z
(2k+1)π
2kπ
sin u
√ du ≤ −
u
Z
2kπ
(2k−1)π
sin u
√ du.
u
165
VIII. Uneigentliche Integrale
R (n+1)π sin u
√
du nichtnegativ, monoton fallend,
Somit ist die Folge an := (−1)n nπ
u
und es gilt
Z (n+1)π
du
1
√ ≤√
|an | ≤
→ 0.
u
nπ
nπ
Nach dem Leibnizkriterium existiert daher
n
X
lim
n→∞
Sei nun F (x) :=
Rx
0
(−1) ak = lim
n→∞
k=0
sin
√u
u
(n+1)π
Z
k
0
sin u
√ du.
u
du. Für nπ ≤ x ≤ (n + 1)π ist dann
Z
F (x) − F (nπ) = x
nπ
Z (n+1)π
sin u
du
1
√ du ≤
√ ≤√
→ 0,
u
u
nπ
nπ
und somit existiert das uneigentliche Integral
∞
Z
lim F (x) =
x→∞
0
sin u
√ du
u
nach dem Cauchykriterium VIII.9. Es sei bemerkt, dass der ursprüngliche Integrand t 7→ sin(t2 ) für t → ∞ nicht gegen Null konvergiert. Wir haben sogar
Z
∞
∞
Z
2
2t · sin(t4 ) dt
sin(u ) du =
0
0
(über die Transformationsformel mit ϕ(t) = t2 und ϕ0 (t) dt = 2t dt ), und der
Integrand ist in diesem Fall sogar unbeschränkt.
Beispiel VIII.16.
Wir betrachten das folgende uneigentliche Integral:
Z
0
1
dt
√
=
1 − t2
Z
π
2
du =
0
π
.
2
Hierzu verwendet man die Transformationsformel mit ϕ(t) = arcsin t , also
ϕ0 (t) = √
1
1 − t2
für 0 ≤ t < 1 (Bemerkung V.4.17). Daher folgt
Z
0
1
dt
√
= lim
x→1
1 − t2
Z
0
x
ϕ0 (t) dt = lim arcsin x =
x→1
π
.
2
166
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
Im weiteren Verlauf der Analysis-Vorlesung beschäftigen wir uns mit Funktionen
von einem Bereich des Rn in den Rm , d.h. Funktionen von n Argumenten,
deren Werte m Komponenten besitzen. Wir werden solche Funktionen auf
Stetigkeit untersuchen, einen geeigneten Differenzierbarkeitsbegriff kennenlernen
und sehen, wie man n -dimensionale Integrale und Volumina berechnet. Zuerst
müssen wir uns dazu mit der geometrischen Struktur des Rn auseinandersetzen.
IX.1. Der n-dimensionale normierte Raum
Im folgenden steht K immer für einen der Körper R oder C .
Konvexe Funktionen
Definition IX.1.1. Sei D ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f : D → R heißt
konvex, wenn für alle a, b ∈ D und alle 0 < λ < 1 gilt:
f ((1 − λ)a + λb) ≤ (1 − λ)f (a) + λf (b).
Die Funktion f heißt konkav, wenn −f konvex ist.
Geometrisch läßt sich die Eigenschaft der Konvexität so interpretieren, dass
für a < b in D der Graph von f unterhalb des Graphen der Sekanten durch die
Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) verläuft. In der Tat ist diese Sekante der Graph
der affinen Funktion
S(x) =
Für λ =
x−a
b−a
b−x
x−a
f (a) +
f (b).
b−a
b−a
und x ∈]a, b[ ist λ ∈]0, 1[ , x = (1 − λ)a + λb und
S(x) = (1 − λ)f (a) + λf (b).
Satz IX.1.2. Sei D ⊆ R ein Intervall und f : D → R differenzierbar. Dann
ist f genau dann konvex, wenn f 0 monoton wachsend ist. Ist f sogar zweimal
differenzierbar, so ist f genau dann konvex, wenn f 00 ≥ 0 ist.
IX.1. Der n-dimensionale normierte Raum
167
Beweis. Ist f zweimal differenzierbar, so ist f 0 differenzierbar und da D ein
Intervall ist, ist f 0 genau dann monoton wachsend, wenn f 00 ≥ 0 ist (Folgerung
V.2.3). Wir haben daher nur die erste Behauptung zu zeigen.
Zuerst nehmen wir an, dass f 0 monoton wachsend ist und zeigen, dass dies
die Konvexität von f zur Folge hat. Sei dazu o.B.d.A. a < b und 0 < λ < 1 .
Wir setzen c := (1 − λ)a + λb , so dass a < c < b gilt. Nach dem Mittelwertsatz
der Differentialrechnung existieren ξ1 ∈]a, c[ und ξ2 ∈]c, b[ mit
f (b) − f (c)
f (c) − f (a)
= f 0 (ξ1 ) ≤ f 0 (ξ2 ) =
.
c−a
b−c
Wegen c − a = λ(b − a) und b − c = (1 − λ)(b − a) folgt daraus
(1 − λ)(f (c) − f (a)) ≤ λ(f (b) − f (c))
und durch Umstellen der Ungleichung erhalten wir
f (c) ≤ (1 − λ)f (a) + λf (b).
Also ist f konvex.
Jetzt nehmen wir an, f sei konvex und zeigen, dass f 0 (a) ≤ f 0 (b) für a < b
in D gilt. Aus
f ((1 − λ)a + λb) − f (a)
λ(f (b) − f (a))
f (b) − f (a)
≤
=
λ(b − a)
λ(b − a)
b−a
erhalten wir
f ((1 − λ)a + λb) − f (a)
f (b) − f (a)
≤
.
λ→0
λ(b − a)
b−a
f 0 (a) = lim
Analog erhalten wir mit
f (b) − f ((1 − λ)a + λb)
(1 − λ)(f (b) − f (a))
f (b) − f (a)
≥
=
(1 − λ)(b − a)
λ(b − a)
b−a
für λ → 1 die Beziehung
f 0 (b) ≥
f (b) − f (a)
≥ f 0 (a).
b−a
Folgerung IX.1.3.
Seien p, q ∈ ]1, ∞[ mit p1 + 1q = 1 . Dann gilt für alle
x, y ≥ 0 die Ungleichung
1
1
x y
xp · y q ≤ + .
p
q
Beweis. Für x = 0 oder y = 0 ist die Behauptung trivial. Seien also x, y > 0 .
Dann ist die Behauptung äquivalent zu
1
1
1
1
1
1
x y
x p y q = e p log x e q log y = e p log x+ q log y ≤ + .
p
q
Wegen exp00 = exp > 0 ist die Exponentialfunktion konvex und mit λ = 1q und
1−λ = p1 ergibt sich daher die gewünschte Ungleichung sofort aus der Konvexität
der Exponentialfunktion.
168
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
Aufgabe IX.1.1. Sei D ⊆ R ein Intervall und f : D → R .
(a) Zeigen Sie zunächst durch Rechnung: Ist f affin, d.h. existieren c, d ∈ R mit
f (x) = cx + d für alle x ∈ D , so ist f sowohl konvex als auch konkav.
(b) Warum folgt dies aus der geometrischen Interpretation der Konvexität?
(c) Ist f konvex und konkav, so ist f affin.
(d) Die Funktion f ist genau dann affin, wenn für alle a, b ∈ D und alle 0 < λ < 1
gilt:
f ((1 − λ)a + λb) = (1 − λ)f (a) + λf (b).
(e) Sind f1 und f2 konvex, so ist f1 + f2 konvex.
(f) Ist f konvex und λ ≥ 0 , so ist λf konvex.
Aufgabe IX.1.2. Zeigen Sie:
(a) Ist D ein offenes Intervall und f : D → R konvex sowie x0 ∈ D ein globales
Maximum, so ist f konstant. Gehen Sie hierzu in folgenden Schritten vor:
(1) Es existieren x1 < x0 < x2 in D mit f (x1 ), f (x2 ) ≤ f (x0 ) .
(2) f (x1 ) = f (x2 ) = f (x0 ) . Hinweis: Wir schreiben x0 als x0 = λx2 + (1 − λ)x1 .
(3) x0 ist ein globales Minimum: Ist x < x0 , so schreibe man x0 = λx2 +(1−λ)x
und wende die Definition an. Es ergibt sich f (x) ≥ f (x0 ) . Analog verfährt man
für x > x0 .
(4) f ist konstant.
(b) Auf dem Intervall D := [0, 1] existiert eine konvexe Funktion mit einem
globalen Maximum, die nicht konstant ist.
(c) Ist f : R → R nach oben beschränkt und konvex, so ist f konstant. Hinweis:
Sei f ≤ M und x1 < x2 ∈ R . Zu λ ∈]0, 1[ wähle x3 so, dass x2 = λx3 +(1−λ)x1
gilt. Hieraus ergibt sich f (x2 ) ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λM . Für λ → 0 ergibt sich
f (x2 ) ≤ f (x1 ) . Die umgekehrte Ungleichung erhält man durch ein ähnliches
Argument.
Normen auf Kn
Definition IX.1.4.
Für p ≥ 1 definieren wir auf Kn :
kxkp := |x1 |p + |x2 |p + . . . + |xn |p
p1
und kxk∞ := max{|x1 |, . . . , |xn |} für x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn .
Wir wollen zeigen, dass k · kp eine Norm auf Kn ist. Dazu benötigen wir
einige wichtige Ungleichungen.
IX.1. Der n-dimensionale normierte Raum
169
Höldersche Ungleichung
Satz IX.1.5. Seien p, q ∈ ]1, ∞[ mit
(y1 , . . . , yn ) ∈ Kn gilt
n
X
1
p
+ 1q = 1. Für alle x = (x1 , . . . , xn ), y =
|xj ·yj | ≤ kxkp ·kykq = |x1 |p +|x2 |p +. . .+|xn |p
p1
|y1 |q +|y2 |q +. . .+|yn |q
q1
.
j=1
Beweis. Ist kxkp = 0 , so ist x = 0 und die Behauptung trivial. Wir dürfen
also kxkp 6= 0 und kykq 6= 0 annehmen. Wir setzen
αj :=
|xj |p
kxkpp
und
βj :=
|yj |q
.
kykqq
Pn
Pn
Dann ist j=1 αj = 1 = j=1 βj . Wenden wir Folgerung IX.1.3 auf αj und βj
an, so ergibt sich
1
1
|xj | |yj |
αj
βj
·
= αjp · βjq ≤
+ .
kxkp kykq
p
q
Durch Summation über j erhalten wir
n
X
1 1
1
|xj | · |yj | ≤ + = 1.
kxkp kykq j=1
p q
Bemerkung IX.1.6. (a) Für p = q = 2 ergibt sich die Cauchy-Schwarzsche
Ungleichung:
n
n
X
X
xj · yj ≤
|xj | · |yj | ≤ kxk2 · kyk2 .
j=1
j=1
(b) Für p = 1 und q = ∞ gilt trivialerweise
n
X
j=1
|xj · yj | ≤ kxk∞ ·
n
X
|yj | = kxk∞ · kyk1 .
j=1
Minkowskische Ungleichung
Satz IX.1.7.
Für p ∈ [1, ∞] gilt für alle x, y ∈ Kn :
kx + ykp ≤ kxkp + kykp .
Beweis. Wir dürfen o.B.d.A. annehmen, dass x, y und x + y jeweils nicht 0
sind, denn sonst ist die Ungleichung trivial. Dann gilt insbesondere
kxkp , kykp , kx + ykp > 0.
170
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
Für p = 1 und p = ∞ folgt dies sofort aus |xj +yj | ≤ |xj |+|yj | für j = 1, . . . , n .
Sei nun p ∈]1, ∞[ und q definiert durch 1q + p1 = 1 . Sei zj := |xj + yj |p−1 . Dann
p/q
ist zjq = |xj + yj |pq−q = |xj + yj |p , also kzkq = kx + ykp . Nach der Hölderschen
Ungleichung gilt daher
kx +
ykpp
=
n
X
|xj + yj | · |zj | ≤
j=1
n
X
|xj | · |zj | +
j=1
n
X
|yj | · |zj |
j=1
≤ kxkp kzkq + kykp kzkq = kxkp + kykp · kx + ykp/q
p
p−p/q
Also ist kx + ykp = kx + ykp
≤ kxkp + kykp .
Für den folgenden Satz erinnern wir uns an den Begriff der Norm (Definition IV.2.5).
Satz IX.1.8. Die Funktionen k · kp : Kn → R sind für alle p ∈ [1, ∞] Normen,
d.h. sie haben die Normeigenschaften:
(N1) (∀x ∈ Kn ) kxkp ≥ 0 und kxkp = 0 ⇐⇒ x = 0.
(N2) Positive Homogenität: kλ · xkp = |λ| · kxkp für alle x ∈ Kn und λ ∈ K.
(N3) Subadditivität: kx + ykp ≤ kxkp + kykp für alle x, y ∈ Kn .
Beweis. Für p = ∞ ist die Behauptung trivial. Für p < ∞ sind die Aussagen
(N1) und (N2) ebenfalls trivial. Der einzige nichttriviale Teil ist die Subadditivität und das ist die Minkowski-Ungleichung.
Für jedes p ≥ 1 erhalten wir also auf Kn die Struktur eines normierten
Raumes (Kn , k · kp ) , und aus Lemma IV.2.7 erhalten wir somit Metriken auf Kn
durch
p1
dp (x, y) := kx − ykp = |x1 − y1 |p + |x2 − y2 |p + . . . + |xn − yn |p
und
d∞ (x, y) := kx − yk∞ = max{|x1 − y1 |, . . . , |xn − yn |}
für x, y ∈ Kn .
Die Norm kxk∞ = max{|x1 |, . . . , |xn |} heißt Maximumnorm.
qP
n
2
Die Norm kxk2 =
j=1 |xj | heißt euklidische Norm. Die zugehörige Metrik
qP
n
2
d2 (x, y) := kx − yk2 =
j=1 |xj − yj | heißt euklidischer Abstand.
Bezüglich der p -Normen sehen die Einheitskugeln“ im R2 , d.h. die Men”
gen B1 = {x ∈ R2 : kxkp = 1} , recht verschieden aus. Um das einzusehen,
skizziere man sie für p = 1 , p = 2 und p = ∞ und für jeweils ein weiteres
p ∈]1, 2[ bzw. p > 2 .
Für viele Zwecke ist die euklidische Norm am zweckmäßigsten, beispielsweise für geometrische Überlegungen. Für komplexe Zahlen haben wir
p
|x + iy| = k(x, y)k2 = x2 + y 2 .
171
IX.2. Mehr über metrische Räume
Satz IX.1.9. Sei 1 ≤ p ≤ ∞.
(1) Eine Folge in (Kn , dp ) konvergiert genau dann, wenn sie komponentenweise
konvergiert. Insbesondere hängt dies nicht von p ab.
(2) (Kn , k · kp ) ist ein Banachraum, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert.
Beweis.
(1) Sei (z (m) )m∈N eine Folge in Kn und
(m)
z (m) = (z1
(m)
, z2
, . . . , zn(m) ).
Gilt limm→∞ z (m) = z , d.h. kz (m) − zkp → 0 , so gilt für alle j die Beziehung
(m)
(m)
|zj − zj | ≤ kz (m) − zkp → 0 , also zj
→ zj für jedes j , d.h., die Folge
konvergiert komponentenweise.
(m)
Gilt andererseits zj → zj für jedes j , so gilt auch
kz
(m)
− zkp =
n
X
(m)
|zj
p
− zj |
p1
→ 0,
j=1
d.h. limm→∞ z (m) = z .
(2) Sei (z (m) )m∈N eine Cauchy-Folge in (Kn , k · kp ) . Wegen
(m)
|zj
(n)
− zj | ≤ kz (m) − z (n) kp
(m)
für alle m, n ∈ N ist dann auch jede Komponentenfolge (zj )m∈N eine CauchyFolge in K, also konvergent (Folgerung III.2.33). Wegen (1) ist damit auch die
Folge (z (m) )m∈N konvergent.
Beispiele IX.1.10. (a) Die Folge (x(m) )m∈N in R2 mit x(m) = 21m , 1 − 21m
konvergiert komponentenweise gegen (0, 1) , also auch bzgl. jeder der Normen
k · kp .
1
(b) Die Folge (x(m) )m∈N in R2 mit x(m) = 2m , 1 + m
konvergiert nicht
komponentenweise, denn die erste Komponentenfolge kovergiert nicht. Also
konvergiert sie bzgl. keiner der Normen k · kp .
IX.2. Mehr über metrische Räume
Im nächsten Abschnitt werden wir das grundlegende Konzept der Kompaktheit
kennenlernen, das hinter vielen Existenzsätzen der Analysis steht. Um dieses
Konzept in der angemessenen Allgemeinheit einführen zu können, müssen wir
unsere Kenntnisse über metrische Räume etwas vertiefen.
Definition IX.2.1. (Vgl. Definition III.1.5) Sei (X, d) ein metrischer Raum.
(a) Für p ∈ X und ε > 0 heißt
Uε (p) := {x ∈ X: d(x, p) < ε}
172
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
die ε -Umgebung von p oder die offene Kugel vom Radius ε um p .
(b) Eine Umgebung von p ist eine Teilmenge U ⊆ X , für die ein ε > 0 mit
Uε (p) ⊆ U existiert. Man beachte, dass für jede Umgebung U des Punkte p
auch jede Obermenge V ⊇ U eine Umgebung von p ist.
(c) Eine Teilmenge U ⊆ X heißt offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte
ist, d.h.
(∀p ∈ U )(∃ε > 0) Uε (p) ⊆ U.
(d) Eine Teilmenge F ⊆ X heißt abgeschlossen, wenn X \ F offen ist.
Bemerkung IX.2.2. (1) Ist (V, k·k) ein normierter Raum, so sind die offenen
Kugeln bzgl. der zugehörigen Metrik d(x, y) := kx − yk gegeben durch
Uε (p) = {x ∈ V : kx − pk < ε}.
(2) Offene Kugeln, d.h. Mengen der Gestalt Ur (p) , r > 0 , in einem metrischen
Raum (X, d) sind offen im Sinne von Definition IX.2.1(d) (Lemma III.1.6).
Satz IX.2.3. (Eigenschaften offener Mengen, Satz III.1.7) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gelten folgende Aussagen:
(O1) Ø und X sind offen.
(O2) Sind U1 , . . . , Un offene Mengen, so ist auch U1 ∩ . . . ∩ Un offen.
S
(O3) Ist (Uj )j∈J eine Familie offener Teilmengen von X , so ist auch j∈J Uj
offen.
Folgerung IX.2.4.
(Eigenschaften abgeschlossener Mengen) Sei (X, d) ein
metrischer Raum.
(A1) Ø und X sind abgeschlossen.
(A2) Sind A1 , . . . , An ⊆ X abgeschlossen, so ist auch A1 ∪. . .∪An abgeschlossen.
(A3) T
Ist (Aj )j∈J eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X , so ist auch
j∈J Aj abgeschlossen.
Beweis. Man wendet IX.2.3 auf die Komplemente an. Wir führen beispielhaft
einen Beweis von (A2). Sind die Mengen A1 , . . . , An abgeschlossen, so sind die
Mengen Uj := X \ Aj , j = 1, . . . , n , offen. Nach (O2) ist dann
U1 ∩ . . . ∩ Un = X \ (A1 ∪ . . . ∪ An )
offen, also A1 ∪ . . . ∪ An abgeschlossen. (A1) ist trivial, und (A3) zeigt man
analog zum gerade durchgeführten Beweis von (A2).
Beispiel IX.2.5.
(a) Die Intervalle Un := ] − n1 , 1 + n1 [ ⊆ R sind offen, aber
T∞
ihr Schnitt n=1 Un = [0, 1] ist nicht offen in R . Die Bedingung (O2) gilt also
im allgemeinen nicht für unendliche Durchschnitte.
S∞
(b) Die Intervalle An := [ n1 , 1− n1 ] ⊆ R sind abgeschlossen, aber n=1 An = ]0, 1[
ist nicht abgeschlossen. Die Bedingung (F2) gilt also im allgemeinen nicht für
unendliche Vereinigungen.
IX.2. Mehr über metrische Räume
Definition IX.2.6.
(a) Die Menge
173
Sei (X, d) ein metrischer Raum M ⊆ X eine Teilmenge.
M :=
\
{F ⊆ X: F abgeschlossen, M ⊆ F }
heißt Abschluß von M. Wegen (A3) ist M abgeschlossen. Die Menge M
ist die kleinste abgeschlossene Menge, die M enthält. Man nennt sie daher
auch die abgeschlossene Hülle von M.
(b) Die Menge
[
M ◦ := {U ⊆ X: U offen, U ⊆ X}
heißt das Innere oder der offene Kern von M. Nach (O3) ist M ◦ eine offene
Teilmenge von X . Sie ist die größte offene Teilmenge, die in M enthalten
ist.
(c) Die Menge
∂M := M \ M ◦
heißt Rand von M.
Mit den obigen Definitionen gelten folgende Beziehungen:
M ◦ ⊆ M ⊆ M = M ◦ ∪ ∂M,
M offen ⇐⇒ M = M ◦ ⇐⇒ ∂M ∩ M = Ø
und
M abgeschlossen ⇐⇒ M = M ⇐⇒ ∂M ⊆ M.
Satz IX.2.7. Sei M eine Teilmenge des metrischen Raumes (X, d) und p ∈
X . Dann gelten:
(1) p ∈ M ⇐⇒ jede Umgebung von p schneidet M .
(2) p ∈ M ◦ ⇐⇒ M ist Umgebung von p .
(3) p ∈ ∂M ⇐⇒ jede Umgebung von p schneidet M und X \ M .
Beweis. (1) Ist x 6∈ M , so ist X \ M eine offene Menge, die x enthält, und
damit eine Umgebung von x, die M nicht schneidet.
Ist andererseits x ∈ X ein Punkt, der eine Umgebung U besitzt, die
M nicht schneidet, so existiert ein δ > 0 mit Uδ (x) ⊆ U . Da Uδ (x) offen
ist, ist X \ Uδ (x) eine abgeschlossene Menge, die M enthält, und daher ist
M ⊆ X \ Uδ (x) . Insbesondere ist x 6∈ M .
(2) Ist p ∈ M ◦ , so ist die offene Menge M ◦ eine Umgebung von p , also M
ebenfalls. Für die Umkehrung sei M Umgebung von p . Dann existiert ein ε > 0
mit Uε (p) ⊆ M . Da Uε (p) offen ist, gilt Uε (p) ⊆ M ◦ . Folglich ist p ∈ M ◦ .
(3) Wegen ∂M = M \ M ◦ und (1) und (2) besteht ∂M aus denjenigen Punkten
p von X , für die jede Umgebung die Menge M schneidet, aber nicht in M
enthalten ist, d.h. auch X \ M schneidet.
174
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
Folgerung IX.2.8. Es gilt genau dann p ∈ M , wenn eine Folge (xn )n∈N in
M existiert mit limn→∞ xn = p .
Beweis.
⇒“: Ist p ∈ M , so existiert nach Satz IX.2.7(1) zu jeder Zahl n ∈ N
”
ein Punkt xn ∈ U1/n (p) ∩ M . Damit ist d(xn , p) < n1 , also limn→∞ xn = p .
⇐“: Ist p ∈
/ M , so existiert nach Satz IX.2.7(1) ein ε > 0 mit Uε (p) ∩ M = Ø.
”
Also kann in M keine Folge (xn ) existieren, die gegen p konvergiert.
Beispiele IX.2.9. (1) Wir betrachten zunächst den metrischen Raum X = R
mit d(x, y) = |x − y|.
(a) Für die Menge M = [0, 1[ verifiziert man direkt mit Satz X.2.7:
M 0 =]0, 1[,
M = [0, 1]
∂M = {0, 1}.
und
(b) Für die Menge M = [0, 1] erhalten wir ebenfalls mit Satz X.2.7:
M 0 =]0, 1[,
M = [0, 1] = M
und
∂M = {0, 1}.
(c) Für die Menge M = R erhalten wir
M 0 = R,
M =R
und
∂M = Ø.
(d) FürM = { n1 : n ∈ N} ist
M 0 = Ø,
M = M ∪ {0}
und
∂M = M.
(2) Die Konzepte: Inneres, Rand, Abschluß hängen ganz wesentlich von dem
Raum X ab, in dem man die Menge M betrachtet. Hier ist ein instruktives
Beispiel:
In dem metrischen Raum X = [0, 1] mit der Metrik d(x, y) = |x − y|
erhalten wir für die Teilmenge M = X :
M = M0 = M
und
∂M = Ø.
Für dieselbe Menge M , betrachtet als Teilmenge des metrischen Raums (R, d) ,
haben wir unter (b) ganz andere Eigenschaften terhalten.
(3) Für X = R2 mit d(a, b) = ka − bk∞ = max(|a1 − b1 |, |a2 − b2 |) und
M = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1} = [0, 1[×[0, 1[
(Skizze!), erhalten wir
M 0 = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1} =]0, 1[×]0, 1[
M = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0, 1] × [0, 1]
∂M = {(x, y) ∈ R2 : (|x| ≤ 1, |y| = 1) oder (|x| = 1, |y| ≤ 1)}.
IX.3. Kompaktheit
Aufgabe IX.2.1.
175
Ist (V, k · k) ein normierter Raum und
B = {v ∈ V : kvk ≤ 1},
so gelten B ◦ = U1 (0) = {v ∈ V : kvk < 1}, B = B und ∂B = {v ∈ V : kvk = 1} .
Aufgabe IX.2.2. (a) Für X = R gilt ∂Q = R und für X = Q gilt ∂Q = Ø.
(b) Für X = R und a < b gelten [a, b]◦ = ]a, b[ und [a, b[ = [a, b] .
Aufgabe IX.2.3.
so gilt
Ist (X, d) ein metrischer Raum und M ⊆ X eine Teilmenge,
X \ M = (X \ M )0 .
Aufgabe IX.2.4. Eine Folge (xn )n∈N in einem metrischen Raum (X, d) konvergiert genau dann gegen p ∈ X , wenn für jede Umgebung U von p ein NU ∈ N
existiert, so dass xn ∈ U für alle n > NU gilt.
Aufgabe IX.2.5. Sind A ⊆ Rk und B ⊆ Rm abgeschlossen, so ist die Menge
A × B ⊆ Rk+m abgeschlossen.
Aufgabe IX.2.6. Sei A eine abgeschlossen Teilmenge des metrischen Raums
(X, dX ) und B eine abgeschlossene Teilmenge des metrischen Raums (A, dA ) ,
wobei dA := d |A×A die eingeschränkte Metrik ist. Dann ist B auch in (X, d)
abgeschlossen.
IX.3. Kompaktheit
In diesem Abschnitt behandeln wir den Begriff der kompakten Teilmenge eines
metrischen Raumes und das Verhalten von stetigen Funktionen auf kompakten
Mengen (Satz vom Maximum, gleichmäßige Stetigkeit). Wir erhalten hierbei
von einem abstrakten Standpunkt aus Sätze, die wir schon für den Spezialfall
von Funktionen auf abgeschlossenen beschränkten Intervallen in der Analysis I
kennengelernt haben.
Definition IX.3.1. Sei A eine Teilmenge des metrischen Raums (X, d) .
(a) Eine offene Überdeckung
von A ist eine Familie (Uj )j∈J offener Teilmengen
S
von X mit j∈J Uj ⊇ A .
(b) A heißt kompakt, wenn zu jederSoffenen Überdeckung (Uj )j∈J von A eine
endliche Teilmenge F ⊆ J mit j∈F Uj ⊇ A existiert. Man nennt (Uj )j∈F
dann eine endliche Teilüberdeckung.
Man beachte, dass in der Definition der Kompaktheit nicht verlangt wird,
dass A eine endliche offene Überdeckung besitzt, sondern dass jede offene Überdeckung eine solche enthält. Die Eigenschaft, die unter (b) von einer kompakten
Menge gefordert wird, heißt die Heine-Borelsche Überdeckungseigenschaft.
Wir machen uns zuerst etwas mit dem Kompaktheitsbegriff vertraut.
176
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
Satz IX.3.2. Sei (X, d) ein metrischer Raum und (xn )n∈N eine Folge in X ,
die gegen p ∈ X konvergiert. Dann ist die Menge
A := {xn : n ∈ N} ∪ {p}
kompakt.
Beweis. Sei (Uj )j∈J eine offene Überdeckung von A. Dann existiert ein j0 ∈ J
mit p ∈ Uj0 . Da Uj0 eine Umgebung von p ist, existiert ein ε > 0 mit
Uε (p) ⊆ Uj0 und weiter ein Nε ∈ N mit xn ∈ Uε (p) ⊆ Uj0 für alle n ≥ Nε . Wir
wählen nun zu jedem n < n0 ein jn mit xn ∈ Ujn . Für F := {jn : n < n0 } ∪ {j0 }
S
ist dann A ⊆ j∈F Uj . Wir haben somit gezeigt, dass jede offene Überdeckung
von A eine endliche Teilüberdeckung enthält. Also ist A kompakt.
Beispiel IX.3.3. Der Satz besagt insbesondere, dass die Teilmenge
n1
n
o
: n ∈ N ∪ {0} ⊆ R
kompakt ist. Beachte dabei, dass die Menge { n1 : n ∈ N} in R nicht kompakt
ist: Die Intervalle ( ]ε, 2[ )ε>0 bilden eine offene Überdeckung, die keine endliche
Teilüberdeckung enthält.
Definition IX.3.4.
Wir betrachten auf dem Rn die Norm k · k∞ und die
zugehörige Metrik d∞ (x, y) := kx − yk∞ . Für a, b ∈ Rn mit aj ≤ bj für alle
j = 1 . . . , n heißt
[a, b] := {x ∈ Rn : (∀j = 1, . . . , n) aj ≤ xj ≤ bj }
ein Quader. Die Menge
[(−1, 1), (1, 2)] = {x ∈ R2 : −1 ≤ x1 ≤ 1, 1 ≤ x2 ≤ 2}
ist ein Beispiel eines Quaders. Für eine Teilmenge A des metrischen Raums
(X, d) heißt
diam(A) := sup{d(x, y): x, y ∈ A} ∈ [0, ∞]
der Durchmesser von A (engl.: diameter). Die Mente A heißt beschränkt, wenn
ihr Durchmesser endlich ist. Ist [a, b] ein Quader in (Rn , d∞ ) , so ist
diam([a, b]) = kb − ak∞ = max{bj − aj : j = 1 . . . n},
denn für alle x, y ∈ [a, b] und alle j = 1 . . . , n gilt xj , yj ∈ [aj , bj ] , also
|xj −yj | ≤ bj −aj für alle j und daher kx−yk∞ ≤ kb−ak∞ . Man verifiziert leicht,
dass jeder Quader Q eine abgeschlossene Teilmenge des Rn ist (vgl. Folgerung
IX.2.8).
Nach diesen Vorbereitungen kommen wir zu einem wichtigen Lemma.
177
IX.3. Kompaktheit
Lemma IX.3.5.
In (Rn , d∞ ) ist jeder Quader [a, b] kompakt.
Beweis. Wie beweisen die Kompaktheit von [a, b] indirekt. Sei dazu (Uj )j∈J
eine offene Überdeckung von Q0 := [a, b] , von der wir annehmen, dass sie keine
endliche Teilüberdeckung besitzt. Wie werden induktiv eine Folge Qm , m ∈ N ,
von Quadern mit diam(Qm ) = 21m kb − ak∞ konstruieren, die sich nicht durch
endlich viele Uj überdecken lassen und ineinander liegen, d.h.
Q0 ⊇ Q1 ⊇ . . . ⊇ Qm−1 ⊇ Qm ⊇ . . .
gelten. Sei Qm schon konstruiert und Qm = [c, d] . Wir zerlegen Qm in 2n
Teilquader der gleichen Größe:
1 ,...,εn )
Q(ε
:= [cε , dε ],
m
ε = (ε1 , . . . , εn ) ∈ {0, 1}n .
Dabei sei
dj − cj
dj − cj
und dεj := cεj +
.
2
2
Nach Induktionsvoraussetzung läßt sich Qm nicht durch endlich viele Uj überdecken; also existiert auch ein Qεm0 mit dieser Eigenschaft, denn sonst würde
sich
[
Qm =
Qεm
cεj := cj + εj
ε
entgegen der Voraussetzung mit endlichen vielen Mengen Uj überdecken lassen.
Wir setzen Qm+1 := Qεm0 und beachten
diam(Qm+1 ) =
1
1
diam(Qm ) = m+1 kb − ak∞ .
2
2
Die Folge (Qm )m∈N , die wir so induktiv erhalten, besitzt nun die gewünschten
Eigenschaften.
Sei jetzt xm ∈ Qm beliebig. Dann ist (xm )m∈N eine Cauchy-Folge im
metrischen Raum (Rn , d∞ ) , denn für n ≥ m ist
d∞ (xn , xm ) ≤ diam(Qm ) ≤
1
kb − ak∞ .
2m
Wegen Satz IX.1.9 über die Vollständigkeit von (Rn , d∞ ) konvergiert diese Folge
gegen ein x ∈ Rn . Da alle Qm abgeschlossen sind (Aufgabe IX.2.5), gilt
x = limn→∞ xn ∈ Qm , da xn ∈ Qm für alle n ≥ m . Sei nun j0 ∈ J mit x ∈ Uj0 .
Da Uj0 offen ist, existiert ein ε > 0 mit Uε (x) ⊆ Uj0 . Für diam(Qm ) < ε
ist dann auch Qm ⊆ Uε (x) ⊆ Uj0 , was einen Widerspruch zur Konstruktion von
Qm darstellt.
Satz IX.3.6. Sei (X, d) ein metrischer Raum.
(1) Ist A ⊆ X kompakt, so ist A beschränkt und abgeschlossen.
(2) Ist (X, d) kompakt und A ⊆ X abgeschlossen, so ist A kompakt.
178
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
Beweis. (1) Sei o.B.d.A. A 6= Ø und a ∈ A . Dann ist das System Un (a) n∈N
der offenen Kugeln vom Radius n um a eine offene Überdeckung von A, hat also
eine endliche Teilüberdeckung: Es gibt n1 , . . . , nk mit A ⊆ Un1 (a)∪. . .∪Unk (a) .
Für n := max{n1 , . . . , nk } gilt dann sogar A ⊆ Un (a) . Insbesondere ist
diam(A) ≤ 2n,
d.h., A ist beschränkt.
Um die Abgeschlossenheit von A zu zeigen, sei a 6∈ A. Wir zeigen a 6∈ A;
hieraus folgt dann A ⊆ A und somit die Abgeschlossenheit von A. Das System
der Mengen Vn := {x ∈ X: d(x, a) > n1 } ist eine offene Überdeckung von A, hat
also eine endliche Teilüberdeckung. Da diese Mengen alle ineinander enthalten
sind, gibt es folglich eine Zahl n0 mit A ⊆ Vn0 . Dann ist U1/n0 (a) ∩ A = Ø und
daher a ∈
/ A; es folgt A ⊆ A und damit die Abgeschlossenheit von A .
(2) Sei (Uj )j∈J eine offene Überdeckung
von A. Da A abgeschlossen ist, ist
S
X \ A offen, also (X \ A) ∪ j∈J Uj = X , d.h. X \ A bildet zusammen mit
den Mengen Uj , j ∈ J , eine offene Überdeckung von X . Da
S X kompakt ist,
existiert eine endliche Teilmenge F ⊆ J mit X = (X \ A) ∪ j∈F Uj . Damit ist
(Uj )j∈F eine endliche Teilüberdeckung von A .
Folgerung IX.3.7.
beschränkt.
In einem metrischen Raum ist jede konvergente Folge
Beweis. Sei (xn )n∈N eine konvergente Folge mit Grenzwert x. Nach
Satz IX.3.2 ist A := {xn : n ∈ N}∪{x} kompakt, also beschränkt nach Satz IX.3.6.
Satz von Heine-Borel
Theorem IX.3.8.
Eine Teilmenge A des metrischen Raums (Rn , d∞ ) ist
genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Beweis. Ist A kompakt, so ist A nach Satz IX.3.6(1) abgeschlossen und
beschränkt. Ist andererseits A beschränkt, so ist A in einem ausreichend großen
Quader Q enthalten. Ist A zusätzlich in (Rn , d∞ ) abgeschlossen, so ist A in
(Q, d∞ ) abgeschlossen (Aufgabe IX.2.6), also kompakt nach Satz IX.3.6(2), da
(Q, d∞ ) nach Lemma IX.3.5 kompakt ist.
Der folgende Satz ist die abstrakte Version des Satzes von Bolzano-Weierstraß, den wir schon für R kennen.
Satz von Bolzano-Weierstraß
Satz IX.3.9. Sei A eine kompakte Teilmenge des metrischen Raums (X, d).
Dann hat jede Folge (xn )n∈N in A eine Teilfolge, die gegen einen Punkt a ∈ A
konvergiert.
Beweis. Wir führen einen indirekten Beweis. Angenommen, keine Teilfolge
der Folge (xn )n∈N konvergiert gegen ein a ∈ A . Wir behaupten, dass für jedes
IX.3. Kompaktheit
179
a ∈ A eine Umgebung Ua existiert, für die die Menge {n ∈ N: xn ∈ Ua } endlich
ist.
Ist dies für ein a ∈ A nicht der Fall, so finden wir zu jedem m ∈ N ein nm > m
mit xnm ∈ U1/m (a) . Dann bilden diese xnm eine gegen a konvergente Teilfolge,
was nach unserer Annahme nicht sein kann.
S
Nun ist A ⊆ a∈A Ua , und da A kompakt ist, existieren a1 , . . . , an ∈ A
mit A ⊆ Ua1 ∪ . . . ∪ Uan . Damit liegen in A nur endlich viele Folgenglieder, und
dies ist ein Widerspruch.
Von Satz IX.3.9 gilt auch die Umkehrung: Eine Teilmenge K eines metrischen Raumes (X, d) ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in K eine
in K konvergente Teilfolge besitzt (siehe J. Jost, “Postmodern Analysis”,
Theorem 7.38).
Folgerung IX.3.10.
konvergente Teilfolge.
Jede beschränkte Folge (xn )n∈N in (Rn , d∞ ) hat eine
Beweis. Das folgt aus Satz IX.3.9, da die Folge in einem (ausreichend großen)
Quader enthalten ist, und dieser nach Lemma IX.3.5 kompakt ist.
Kompaktheit und Stetigkeit
Wir kommen nun zu den Anwendungen des Konzepts der Kompaktheit
auf stetige Abbildungen. Zuerst eine kleine Wiederholung zur Stetigkeit (siehe
Satz IV.1.3 und Satz IV.1.4).
Satz IX.3.11. (a) Für eine Funktion f : X → Y zwischen metrischen Räumen
(X, dX ) und (Y, dY ) sind äquivalent:
(1) Die Funktion f ist stetig in p .
(2) (∀ε > 0) (∃δ > 0) f Uδ (p) ⊆ Uε f (p) .
(3) Aus limn→∞ xn = p in X folgt limn→∞ f (xn ) = f (p) in Y .
(b) f ist genau dann stetig, wenn für jede offene Teilmenge U ⊆ Y das Urbild
f −1 (U ) ⊆ X offen ist.
Satz IX.3.12. Ist f : X → Y stetig und A ⊆ X kompakt, so ist auch
f (A) ⊆ Y kompakt.
Beweis. Sei (Uj )j∈J eine offene Überdeckung von f (A) . Dann ist die Familie
f −1 (Uj ) j∈J in X eine offene Überdeckung von A (beachte, dass f −1 (Uj )
wegen der Stetigkeit
eine endliche
Teilmenge
S von f offen ist). Damit existiert
S
S
F ⊆ J mit A ⊆ j∈F f −1 (Uj ) . Dann ist f (A) ⊆ j∈F f f −1 (Uj ) ⊆ j∈F Uj ,
d.h., das System (Uj )j∈F ist eine endliche Teilüberdeckung von f (A) .
Lemma IX.3.13. Ist Ø 6= A ⊆ R eine kompakte Menge, so besitzt A ein
Minimum und ein Maximum.
180
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
Beweis. Nach dem Satz von Heine-Borel ist A abgeschlossen und beschränkt.
Wir zeigen nun sup A, inf A ∈ A. Für jedes ε > 0 existiert ein a ∈ A
mit a > sup A − ε . Also ist a ∈ Uε (sup A) und somit sup A ∈ A = A
(Satz IX.2.7(1)). Für das Infimum argumentiert man analog.
Aufgabe IX.3.
mit D = [a, b].
Sei D ⊆ R ein kompaktes Intervall. Dann existieren a, b ∈ R
Satz vom Maximum
Satz IX.3.14. Ist (X, d) ein kompakter metrischer Raum und f : X → R
stetig, so nimmt die Funktion f ein Maximum und ein Minimum an, d.h., es
existieren Elemente x, y ∈ X mit f (x) = min f (X) und f (y) = max f (X).
Beweis. (Siehe Satz IV.1.12) Nach Satz IX.3.12 ist f (X) ⊆ R kompakt, besitztat also nach Lemma IX.3.13 Maximum und Minimum.
Folgerung IX.3.15. Sei A ⊆ X kompakt und a ∈ X . Dann enthält A einen
Punkt x kleinsten Abstands von a, d.h., es gilt
d(a, x) = min{d(a, y): y ∈ A}.
Beweis. Wir betrachten die Funktion f : A → R, y 7→ d(a, y) . Dann ist f
stetig, da |f (y1 ) − f (y2 )| = |d(a, y1 ) − d(a, y2 )| ≤ d(y1 , y2 ) gilt (Aufgabe III.1.1).
Also nimmt f nach Satz IX.3.14 ein Minimum an.
Bemerkung IX.3.16.
(a) Ist A nicht abgeschlossen (und damit auch nicht
kompakt), so wird die Behauptung von Satz IX.3.14 in der Regel falsch, denn
für jeden Punkt p ∈ A \ A ist d(p, x) > 0 für alle x ∈ A. Also ist
f : A → R,
x 7→
1
d(x, p)
eine stetige Funktion, die auf A unbeschränkt ist, denn es existiert eine Folge
(xn )n∈N in A mit xn → p , d.h. d(p, xn ) → 0 .
(b) Punkte kleinsten Abstands von einer Menge sind in der Regel nicht eindeutig.
Hierzu betrachten wir X = R2 mit der Metrik d(x, y) = kx − yk∞ und A =
{x ∈ Rn : kxk∞ ≤ 1} sowie den Punkt a = (2, 0) . Man verifiziert leicht, dass
d(a, x) ≥ 1 für alle x ∈ A gilt. Für alle Punkt x = (1, x2 ) mit |x2 | ≤ 1
ist allerdings x ∈ A und d(x, a) = 1 . Warum tritt dieser Effekt nicht für die
Metriken dp , p ∈]1, ∞[ auf? Man konstruiere ein ähnliches Beispiel für p = 1 .
Wir erinnern uns, dass eine Funktion f : X → Y zwischen zwei metrischen
Räumen gleichmäßig stetig heißt, wenn gilt
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀p, q ∈ X)
dX (p, q) < δ =⇒ dY f (p), f (q) < ε.
Ist die Funktion f Lipschitz-stetig, d.h. existiert ein L ≥ 0 , so dass für alle
p, q ∈ X gilt
dY f (p), f (q) ≤ L · dX (p, q),
so ist f gleichmäßig stetig (setze δ :=
ε
L
).
181
IX.3. Kompaktheit
Lemma IX.3.17.
Ist k · k eine Norm auf dem K-Vektorraum V , so gilt:
kxk − kyk ≤ kx − yk für alle x, y ∈ V.
Beweis. Da d(x, y) = kx − yk eine Metrik auf V definiert, folgt dies aus
|d(x, 0) − d(y, 0)| ≤ d(x, y) (Aufgabe III.1.1).
Bemerkung IX.3.18.
(a) Ist (V, k · k) ein normierter Raum, so ist die
Normfunktion f : V → R, v 7→ kvk Lipschitz-stetig mit L = 1 , denn wegen
Lemma IX.3.17 gilt f (v) − f (w) ≤ kv − wk .
(b) Sei D ⊆ R ein Intervall und f : D → R differenzierbar mit |f 0 (x)| ≤ M für
alle x ∈ D . Dann ist f Lipschitz-stetig. Dies folgt aus dem Mittelwertsatz; ihm
zufolge gibt es zu x < y in D ein z ∈ ]x, y[ mit |f (y) − f (x)| = |f 0 (z)| · |y − x| ≤
M |y − x|.
(c) Ist (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X eine Teilmenge, so betrachten
wir die Distanzfunktion
dA (x) := inf{d(x, a): a ∈ A}.
Wir behaupten, dass dA Lipschitz-stetig mit Konstante L = 1 ist. Für
x, y ∈ X und a ∈ A gilt zunächst d(x, a) ≤ d(y, a) + d(x, y) und daher
dA (x) ≤ d(y, a)+d(x, y) , somit dA (x) ≤ dA (y)+d(x, y) . Aus Symmetriegründen
gilt auch dA (y) ≤ dA (x) + d(x, y) und daher
|dA (x) − dA (y)| ≤ d(x, y).
Also ist dA Lipschitz-stetig mit Konstante L = 1 , insbesondere gleichmäßig
stetig.
Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit
Satz IX.3.19. Ist X ein kompakter metrischer Raum und f : X → Y eine
stetige Funktion, so ist f gleichmäßig stetig.
Beweis. Sei ε > 0 . Da f stetig ist, existiert zu jedem x ∈ X ein δx > 0
mit dY f (x), f (y) < 2ε für dX (x, y) < δx . Nun ist Uδx /2 (x) x∈X eine offene
Überdeckung von X . Da X kompakt ist, existieren
x1 , . . . , xn ∈ X
mit
X⊆
n
[
Uδxj /2 (xj ).
j=1
Sei δ := 21 min{δx1 , . . . , δxn } und y, z ∈ X mit dX (y, z) < δ . Dann existiert ein
j ∈ {1, . . . , n} mit dX (y, xj ) < 21 δxj . Also ist auch
dX (z, xj ) < δ + dX (y, xj ) < 2 21 δxj = δxj .
Somit sind y, z ∈ Uδxj (xj ) . Es folgt nun
ε ε
dY f (y), f (z) ≤ dY f (y), f (xj ) + dY f (xj ), f (z) < + = ε.
2 2
182
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
IX.4. Stetige Funktionen und lineare Abbildungen
In diesem Abschnitt werden wir zunächst einige spezielle Aspekte stetiger Abbildungen in mehreren Veränderlichen diskutieren. Danach werden wir die
Stetigkeitseigenschaften linearer Abbildungen betrachten.
Stetige Funktionen auf Kn
Definition IX.4.1.
Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume sowie
f : X → Y eine Funktion. Wir haben in Satz IV.1.3(3) das Folgenkriterium
für die Stetigkeit von f kennengelernt: Die Abbildung f ist genau dann stetig
in p ∈ X , wenn für jede Folge (xn )n∈N in X mit limn→∞ xn = p die Beziehung
limn→∞ f (xn ) = f (p) in Y gilt. Im folgenden schreiben wir dies abkürzend als:
lim f (x) = f (p).
x→p
Lemma IX.4.2. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und Km sei versehen mit
einer der Metriken dp , p ∈ [1, ∞]. Eine Abbildung
f = (f1 , . . . , fm ): X → Km
ist genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen fj : X → K, j =
1, . . . , m , stetig sind.
Beweis. Die Stetigkeit von f in x ∈ X ist gleichbedeutend mit lim f (xn ) =
f (x) für alle Folgen (xn ) in X mit xn → x. Wegen Satz IX.1.9 ist lim f (xn ) =
f (x) gleichbedeutend mit lim fj (xn ) = fj (x) und hieraus folgt die Behauptung
sofort.
Lemma IX.4.3. Sei K× := K \ {0}. Folgende Abbildungen sind stetig:
(i) add: K × K → K, (x, y) 7→ x + y .
(ii) mult: K × K → K, (x, y) 7→ xy .
(iii) quot: K × K× → K, (x, y) 7→ xy −1 .
Beweis. Da die Projektionen K2 → K, (x, y) 7→ x und (x, y) 7→ y beide stetig
sind (Lemma IX.4.2), folgt dies aus Satz IV.1.7.
Ebenfalls aus Satz IV.1.7 ergibt sich:
Folgerung IX.4.4. Ist (X, d) ein metrischer Raum und sind f, g, h: X → K
stetig mit h(X) ⊆ K× , so sind die Funktionen
f + g: X → K,
stetig.
f · g: X → K
und
f
:X → K
h
IX.4. Stetige Funktionen und lineare Abbildungen
Beispiel IX.4.5.
Funktion
183
Sei α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn0 und |α| := α1 + . . . + αn . Die
αn
1
f (x) = xα := xα
1 · . . . · xn
f : Kn → K,
heißt Monom vom Exponenten α . Eine Funktion der Gestalt
X
P (x) =
cα xα
|α|≤k
heißt Polynomfunktion vom Grad k , wenn ein α mit |α| = k und cα 6= 0
existiert. Durch sukzessives Anwenden von Folgerung IX.4.4 erhalten wir unmittelbar die Stetigkeit aller Polynomfunktionen f : Kn → K.
Bemerkung IX.4.6.
(Richtungsgrenzwerte und Stetigkeit) Sei U ⊆ Rn ,
f : U → Rm eine Funktion und p ∈ U ◦ ein innerer Punkt von U . Sei 0 6= v ∈ Rn .
Dann existiert ein ε > 0 mit Uε (p) ⊆ U , und folglich gilt p + hv ∈ U für
ε
|h| < kvk
. Falls er existiert, heißt
lim f (p + hv)
h→0
h>0
der Richtungsgrenzwert von f in Richtung v .
Ist f stetig, so folgt aus hn → 0 sofort p + hn v → p , und wir erhalten
lim f (p + hv) = f (p)
h→0
h>0
für alle Richtungen v . Man könnte nun glauben, dass die Existenz und Gleichheit der Richtungsgrenzwerte mit f (p) für alle Richtungen auch umgekehrt die
Stetigkeit der Funktion f im Punkt p impliziert. Das ist aber falsch, wie das
folgende Beispiel zeigt.
Wir betrachten hierzu auf U = R2 die Funktion
0 falls (x, y) = (0, 0) oder y 6= x2
2
f : R → R,
f (x, y) :=
1 falls y = x2 6= 0.
Für p = (0, 0) ist dann f (0, 0) = 0 und
lim f (hv) = 0 = f (0, 0)
h→0
h>0
für alle v ∈ R2 \ {(0, 0)} , denn ist v = (v1 , v2 ) , so gilt hv2 6= h2 v12 für alle
ausreichend kleinen h (Nachweis!). Andererseits ist die Funktion f in p nicht
stetig, da
1 1 1=f
,
6→ f (0, 0) = 0
n n2
gilt.
184
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
Beispiel IX.4.7. Wir betrachten die Funktion
xy
falls (x, y) 6= (0, 0)
2
2
2
f : R → R,
f (x, y) := x +y
0
falls (x, y) = (0, 0).
Diese Funktion ist in (0, 0) unstetig, denn
1 1 1
= 6= f (0, 0) = 0.
,
lim f
n→∞
n n
2
Für diese Funktion existieren die Richtungsgrenzwerte für alle Richtungen
0 6= v ∈ R2 :
lim f (hv) = lim
h→0
h>0
h→0
h>0
v1 v2
v1 v2
h2 v1 v2
= lim 2
= 2
,
2
2
2
2
2
h→0 v + v
h v1 + h v2
v1 + v22
1
2
h>0
d.h., der Richtungsgrenzwert hängt von der Richtung ab und stimmt in der Regel
nicht mit dem Funktionswert f (0, 0) überein.
Stetigkeit und lineare Abbildungen
Definition IX.4.8. Zwei Normen k · k1 und k · k2 auf einem Vektorraum V
heißen äquivalent, k · k1 ∼ k · k2 , wenn
(∃c, C > 0)(∀v ∈ V ) ckvk1 ≤ kvk2 ≤ Ckvk1 .
Aufgabe IX.4.1. Sei V ein Vektorraum. Zeigen Sie, dass durch ∼ auf der
Menge N aller Normen auf V eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
Satz IX.4.9. Alle Normen auf Rn sind äquivalent.
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass alle Normen zu k · k∞ äquivalent sind, denn
die Äquivalenz von Normen ist eine Äquivalenzrelation (Aufgabe IX.4.1). Sei
ej := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) derjenige Vektor, der an der j -ten Stelle eine 1 besitzt,
und e1 , . . . , en die kanonische Basis des Rn . Sei weiter k · k eine Norm auf Rn .
Dann ist
X
X
n
n
X
n
xj · ej ≤
|xj | · kej k ≤ kxk∞
kej k.
kxk = j=1
Sei C :=
Pn
j=1
j=1
j=1
kej k. Die Norm k · k : (Rn , d∞ ) → R ist stetig, denn es gilt
kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ C · kx − yk∞ .
Die Menge
S := {x ∈ Rn : kxk∞ = 1} = ∂U1∞ (0)
ist abgeschlossen und beschränkt, also nach dem Satz von Heine-Borel kompakt.
Da k · k auf S stetig ist, existiert c := min{kyk : kyk∞ = 1} > 0 . Für y 6= 0 ist
dann
y
y ≥ kyk∞ · c.
kyk = · kyk∞ = kyk∞ · kyk∞
kyk∞ Insgesamt folgt
∀y ∈ Rn : ckyk∞ ≤ kyk ≤ C · kyk∞ .
IX.4. Stetige Funktionen und lineare Abbildungen
185
Folgerung IX.4.10.
(i) Der Raum Rn ist bezüglich jeder Norm vollständig.
(ii) Alle Normen liefern auf Rn die gleichen offenen Mengen.
(iii) Die Stetigkeit einer Abbildung f : X → Rn oder g : Rn → Y , wobei X
und Y metrische Räume sind, hängt nicht von der Wahl der Norm auf Rn
ab.
Beweis. (i) Zwei äquivalente Normen haben die gleichen Cauchy-Folgen. Die
Behauptung folgt also aus der Vollständigkeit von (Rn , k · k∞ ) und Satz IX.4.9.
(ii) Wir zeigen, dass äquivalente Normen die gleichen Umgebungen und daher
auch die gleichen offenen Mengen definieren: Es gelte
ckxk ≤ kxk∗ ≤ Ckxk
für alle x ∈ Rn . Ist U Umgebung von p bezüglich k · k, so existiert ein ε > 0
mit Uε (p) ⊆ U . Dann ist auch
∗
Ucε
(p) := {q ∈ Rn : kq − pk∗ < c · ε} ⊆ Uε (p) ⊆ U,
d.h., U ist Umgebung von p bezüglich k · k∗ . Die Umkehrung folgt aus der
Symmetrie der Äquivalenzrelation.
(iii) folgt aus (ii) und der Tatsache, dass eine Abbildung f genau dann stetig ist,
wenn die Urbilder offener Mengen unter f offen sind (Satz IV.1.4).
Aufgabe IX.4.2. Zeigen Sie, dass sich Satz IX.4.9 und Folgerung IX.4.10 auch
auf den C n übertragen lassen.
Definition IX.4.11. Seien (V, k · kV ) und (W, k · kW ) normierte Räume und
Hom(V, W ) der Raum der linearen Abbildungen von V nach W . Wir definieren
für A ∈ Hom(V, W ) die Operatornorm
kAk := sup{kAvkW : v ∈ V, kvkV ≤ 1} ∈ [0, ∞],
und wir setzen
L(V, W ) := {A ∈ Hom(V, W ) : kAk < ∞}.
Satz IX.4.12. Für eine lineare Abbildung A : V → W zwischen normierten
Räumen sind äquivalent:
(1) Es ist A ∈ L(V, W ), d.h. kAk < ∞.
(2) Es existiert ein C ≥ 0 mit kAvk ≤ C · kvk für alle v ∈ V .
(3) A ist stetig.
(4) A ist im Nullpunkt stetig.
kvk
v
v
Beweis. (1) ⇒ (2): Ist v 6= 0 , so ist k kvk
k = kvk
= 1 und daher kA kvk
k≤
kAk . Folglich gilt kAvk ≤ kAk · kvk für alle v ∈ V .
(2) ⇒ (3): Für v, w ∈ V gilt kAv −Awk ≤ Ckv −wk, also ist A sogar Lipschitzstetig und insbesondere stetig.
(3) ⇒ (4): Das ist trivial.
(4) ⇒ (1): Sei ε > 0 und δ > 0 mit kAvk < ε für kvk ≤ δ . Dann ist
kA(δv)k < ε für kvk ≤ 1 , also kAk ≤ δε < ∞.
186
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
Lemma IX.4.13. Seien V, W und U normierte Räume.
(a) Die Menge L(V, W ) ist bezüglich der Operatornorm ein normierter Raum.
(b) Für A ∈ L(V, W ) und B ∈ L(W, U ) ist BA := B ◦ A ∈ L(V, U ), und es
gilt kBAk ≤ kAk · kBk .
Beweis.
Übung!
Beispiele IX.4.14. (a) Sei [a, b] ⊆ R ein Intervall und C([a, b]) der Vektorraum der stetigen Funktionen f : [a, b] → R , versehen mit der Supremumsnorm
kf k := sup{|f (x)|: a ≤ x ≤ b}.
Wir betrachten die lineare Abbildung
Z
I: C([a, b]) → R,
b
f (x) dx,
I(f ) =
a
die durch das Riemann-Integral gegeben ist. Dann ist I stetig, denn wir haben
die Abschätzung
Z
|I(f )| ≤
b
|f (x)| dx ≤ (b − a)kf k
für alle
f ∈ C([a, b]),
a
d.h. kIk ≤ b − a. (Wieso gilt hier sogar Gleichheit?)
(b) Sei C 1 ([0, 1]) der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen
f : [0, 1] → R , ebenfalls versehen mit der Supremumsnorm. Wir betrachten die
lineare Abbildung
D: C 1 ([0, 1]) → C([0, 1]),
D(f ) = f 0 ,
die durch die Ableitung gegeben ist. Dann ist D unstetig, denn für die Funktionen fn (x) = xn auf [0, 1] gilt kfn k = 1 und kD(fn )k = kfn0 k = n . Folglich
ist
kDk ≥ sup{kD(fn )k: n ∈ N} = ∞.
(c) Wir versehen Rn mit der Norm k · k∞ und betrachten eine lineare Abbildung
A: Rn → Rm , die bezüglich der kanonischen Basis durch die Matrix (ajk )j,k
gegeben sei. Für x ∈ Rn gilt dann
kA(x)k∞
n
n
X
X
= max ajk xk ≤ kxk∞ max
|ajk |,
j=1,...,m
j=1,...,m
k=1
also
kAk ≤ max
j=1,...,m
n
X
k=1
|ajk |.
k=1
187
IX.4. Stetige Funktionen und lineare Abbildungen
Wir zeigen, dass sogar Gleichheit gilt. Ist A = 0 , so ist dies trivial. Wir nehmen
daher A 6= 0 an. Nun wählen wir j0 so, dass
max
n
X
j=1,...,m
|ajk | =
k=1
n
X
|aj0 k |
k=1
gilt, und betrachten den Vektor x ∈ Rn mit xk = sgn(aj0 k ) . Da mindestens ein
k mit aj0 k 6= 0 existiert, ist kxk∞ = 1 . Weiter ist
kAk ≥ kA(x)k∞ ≥
X
aj0 k xk =
X
k
|aj0 k | = max
j=1,...,m
k
und wir erhalten
kAk = max
j=1,...,m
n
X
n
X
|ajk |,
k=1
|ajk |.
k=1
Theorem IX.4.15. Alle linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen
normierten Räumen sind stetig.
Beweis. Da jeder endlichdimensionale reelle Vektorraum V zu Rn mit n =
dim V isomorph ist (Lineare Algebra), können wir uns auf lineare Abbildungen
A : Rn → Rm beschränken. Wegen Folgerung IX.4.10(iii) dürfen P
wir weiter
m
annehmen, dass beide Räume mit k · k∞ versehen sind. Für Aej = i=1 aij ei
gilt dann wegen Beispiel IX.4.14:
kAk = max
j=1,...,m
n
X
|ajk | < ∞,
k=1
insbesondere ist A stetig.
Sind V1 , V2 , W Vektorräume, so nennen wir eine Abbildung
A: V1 × V2 → W
bilinear, wenn die Abbildungen
v2 7→ A(v1 , v2 )
bzw.
v1 7→ A(v1 , v2 )
für alle v1 ∈ V1 bzw. v2 ∈ V2 linear sind.
Beispiele IX.4.16. (für bilineare Abbildungen)
(a) Sind V und W Vektorräume, so ist die Abbildung
Hom(V, W ) × V → W,
bilinear.
(A, v) 7→ A(v)
188
IX. Die Geometrie des n-dimensionalen Raumes
31. Oktober 2007
(b) Ist Mn,m (R) der Raum der reellen n × m -Matrizen, so ist die Multiplikationsabbildung
Mn,m (R) × Mm,k (R) → Mn,k (R),
(A, B) 7→ A ◦ B
bilinear.
(c) Das Skalarprodukt
n
n
R × R → R,
(x, y) 7→ hx, yi :=
n
X
xj yj
j=1
ist bilinear. Sind p, q ∈ [1, ∞] mit
1
p
+
1
q
= 1 , so besagt die Hölder-Ungleichung
|hx, yi| ≤ kxkp · kykq .
Man vergleiche dies mit der Aussage von Satz IX.4.17.
Satz IX.4.17. Es seien V1 , V2 und W normierte Räume und A: V1 ×V2 → W
eine bilineare Abbildung. Wir versehen V1 × V2 mit der Norm k(v1 , v2 )k :=
max{kv1 k, kv2 k}. Dann sind äquivalent:
(1) Die Abbildung A ist stetig.
(2) Die Abbildung A ist im Nullpunkt stetig.
(3) Es existiert eine Zahl C > 0 , so dass für alle (v1 , v2 ) ∈ V1 × V2 gilt
kA(v1 , v2 )k ≤ C · kv1 k · kv2 k.
Beweis. (1) ⇒ (2) ist trivial.
(2) ⇒ (3): Sei ε > 0 und δ > 0 so, dass für alle Paare (v1 , v2 ) mit k(v1 , v2 )k ≤ δ
die Ungleichung kA(v1 , v2 )k ≤ ε erfüllt ist. Dann gilt A(v1 , v2 ) = 0 , falls v1 = 0
oder v2 = 0 , und sonst
kv1 k · kv2 k
v
v
ε
1
2
·
A
δ
kA(v1 , v2 )k = ,
δ
≤ 2 kv1 k · kv2 k,
2
kv1 k kv2 k
δ
δ
v
v
da δ kv11 k , δ kv22 k = δ ist.
(3) ⇒ (1): Wir rechnen
kA(v1 , v2 ) − A(v10 , v20 )k ≤ kA(v1 , v2 ) − A(v1 , v20 )k + kA(v1 , v20 ) − A(v10 , v20 )k
= kA(v1 , v2 − v20 )k + kA(v1 − v10 , v20 )k
≤ C · kv1 k · kv2 − v20 k + C · kv1 − v10 k · kv20 k.
Hieraus folgt, dass A stetig ist.
Analog zu Theorem IX.4.15 zeigt man:
Satz IX.4.18. Sind V1 , V2 und W endlichdimensionale normierte Räume, so
ist jede bilineare Abbildung A : V1 × V2 → W stetig.
Folgerung IX.4.19.
Sind V1 , V2 und V3 endlichdimensionale normierte
Räume, so ist die Kompositionsabbildung
Hom(V1 , V2 ) × Hom(V2 , V3 ) → Hom(V1 , V3 ),
stetig. Es gilt sogar kB ◦ Ak ≤ kBk · kAk .
(A, B) 7→ B ◦ A
X.1. Kurven im
Rn
189
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
In diesem Kapitel wenden wir uns der Differentialrechnung von vektorwertigen
Funktionen zu, die zudem von mehreren Argumenten abhängen, d.h., wir werden Funktionen f : U → Rm betrachten, wobei U ⊆ Rn in der Regel eine offene
Teilmenge sein wird. In Abschnitt X.1 diskutieren wir zunächst differenzierbare
Kurven, d.h. den Fall n = 1, und in Abschnitt X.2 wenden wir uns dem allgemeinen Fall zu.
X.1. Kurven im Rn
Nach den eher abstrakten Überlegungen des vorangegangenen Kapitels wenden
wir uns nun konkreten geometrischen Objekten zu, nämlich Kurven im Rn . Wir
definieren Tangenten an eine Kurve und die Bogenlänge einer Kurve.
Definition X.1.1.
Seien a < b reelle Zahlen und
γ : [a, b] → Rn , t 7→ γ(t) = γ1 (t), . . . , γn (t)
eine Abbildung.
(a) Ist γ stetig, so heißt γ eine stetige Kurve oder ein Weg in Rn .
(b) Der Weg γ heißt (stetig) differenzierbar, wenn alle Komponenten γj , j =
1, . . . , n , (stetig) differenzierbar sind. Er heißt stückweise stetig differenzierbar,
wenn γ stetig ist und eine Zerlegung
a = t0 < t1 < . . . < tk = b
existiert, so dass die Kurven γ |[ti ,ti+1 ] stetig differenzierbar sind.
(c) Ist γ in t differenzierbar, so heißt
γ̇(t) := γ 0 (t) := γ10 (t), . . . , γn0 (t)
die Ableitung oder der Geschwindigkeitsvektor von γ bei t . Die Zahl
kγ̇(t)k2 :=
n
X
j=1
|γj0 (t)|2
21
190
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
heißt Geschwindigkeit von γ in t . (Wir lassen den Index bei kγ̇(t)k2 meistens
weg, wenn dadurch keine Verwechslungen möglich sind.)
(d) Ist D = [a, b], so heißt γ(a) Anfangspunkt und γ(b) Endpunkt der Kurve.
(e) Ist γ komponentenweise integrierbar auf [a, b] , so setzen wir
Z b
Z b
Z b
γ(t) dt :=
γ1 (t) dt, . . . ,
γn (t) dt ∈ Rn .
a
Beispiel X.1.2.
a
a
(a) Die Abbildung
γ : [0, 2π] → R2 , t 7→ p + r(cos t, sin t)
beschreibt eine Kreiskurve vom Radius r um den Punkt p ∈ R2 .
(b) Eine Ellipse um den Ursprung mit den Halbachsen a und b läßt sich durch
die Kurve
γ : [0, 2π] → R2 , t 7→ (a cos t, b sin t)
beschreiben.
(c) Die einfachsten Kurven sind (affine) Geraden:
γ : R → Rn , t 7→ p + tv,
wobei p, v ∈ Rn sind. Dann ist γ̇(t) = v konstant.
(d) Die Neilsche Parabel
γ : R → R2 , t 7→ (t2 , t3 )
ist überall differenzierbar, auch wenn ihr Bild im Nullpunkt eine Spitze besitzt.
Es gilt γ̇(0) = 0 .
(e) Eine Schraubenlinie im R3 läßt sich durch die Kurve
γ : R → R3 , γ(t) = (cos t, sin t, t)
beschreiben.
Definition X.1.3. Die Gesamtbogenlänge einer stückweise stetig differenzierbaren Kurve γ : [a, b] → R ist
s(γ) :=
k−1
X Z tj+1
j=0
kγ̇(t)k2 dt,
tj
wenn a = t0 < t1 < . . . tk = b eine Unterteilung ist, für die γ | [tj ,tj+1 ] für
alle j = 0, . . . , k − 1, stetig differenzierbar ist. Dieses Integral existiert, weil die
Integranden jeweils stetig sind. Die Funktion
s : [a, b] → R, t 7→ s(γ |[a,t] )
wird Bogenlängenfunktion genannt. Sie ist eine stetige, monoton wachsende
Funktion (Nachweis!). Ist γ stetig differenzierbar, so auch s, und es gilt (nach
dem Hauptsatz)
s0 (t) = kγ̇(t)k2 .
X.1. Kurven im
Beispiel X.1.4.
Rn
191
(a) Wir betrachten das Geradenstück
γ : [0, 1] → Rn ,
t 7→ a + t(b − a).
Dann ist
Z
1
1
Z
kb − ak dt = kb − ak.
kγ̇(t)k dt =
s(γ) =
0
0
(b) Für den Kreisbogen γ : [0, 2π] → R, t 7→ (r cos t, r sin t) gilt
kγ̇(t)k = k(−r sin t, r cos t)k = r,
also
2π
Z
r dt = 2πr.
s(γ) =
0
(c) Wir können für stückweise stetig differenzierbare Funktionen f : [a, b] → R
die Bogenlänge des Funktionsgraphen γ : [a, b] → R2 , t 7→ (t, f (t)) berechnen.
Mit γ̇(t) = (1, f 0 (t)) erhalten wir
Z
s(γ) =
b
p
1 + f 0 (t)2 dt.
a
Für den Viertel-Einheitskreis erhalten wir so aus f (t) =
−t
:
und f 0 (t) = √1−t
2
r
p
1 + f 0 (t)2 =
1+
√
1 − t2 für 0 ≤ t ≤ 1
t2
1
=√
= arcsin0 (t),
2
1−t
1 − t2
und hieraus
Z
0
1
Z
p
0
2
1 + f (t) dt =
0
1
arcsin0 (t) dt = arcsin(1) − arcsin(0) =
π
.
2
Man beachte, dass dieses Integral an der Stelle 1 uneigenlich ist, da der Integrand dort unbeschränkt ist. Nachdem wir die Zahl π in der Analysis I durch
die Nullstellen der Cosinusfunktion definiert haben, zeigt uns obige Rechnung,
dass die geometrische Interpretation der Zahl π als die Bogenlänge der halben
Einheitskreislinie mit unserer Definition konsistent ist.
Definition X.1.5.
Ist γ: [a, b] → Rn eine stückweise stetig differenzierbare
Kurve und ϕ : [c, d] → [a, b] stückweise stetig differenzierbar, so ist die Komposition γ ◦ ϕ : [c, d] → Rn wieder stückweise stetig differenzierbar. Ist ϕ bijektiv
mit ϕ0 ≥ 0 , so heißt ϕ eine Umparametrisierung. Insbesondere ist dann ϕ(c) = a
und ϕ(d) = b .
192
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Satz X.1.6. Ist ϕ eine Umparametrisierung der stückweise stetig differenzierbaren Kurve γ : [a, b] → Rn , so gilt s(γ) = s(γ ◦ ϕ), d.h. Umparametrisieren
erhält die Bogenlänge.
Beweis. Sei t0 = a < t1 < . . . < tn = b eine Zerlegung, für die alle Wege
γ |[ti ,ti+1 ] stetig differenzierbar sind. Da ϕ : [c, d] → [a, b] bijektiv und monoton
wachsend ist, gilt c = ϕ−1 (t0 ) < ϕ−1 (t1 ) < . . . < ϕ−1 (tn ) = d . Wenden wir die
Kettenregel komponentenweise an, so folgt (γ ◦ ϕ)0 (t) = γ̇(ϕ(t)) · ϕ0 (t) und daher
wegen ϕ0 (t) ≥ 0 :
Z
ϕ−1 (ti+1 )
Z
0
ϕ−1 (ti+1 )
k(γ ◦ ϕ) (t)k dt =
kγ̇(ϕ(t))k · ϕ0 (t) dt
ϕ−1 (ti )
Z ti+1
ϕ−1 (ti )
kγ̇(τ )k dτ = s(γ |[ti ,ti+1 ] ).
=
ti
Durch Zusammensetzen der Stücke erhält man die Behauptung.
Bemerkung X.1.7.
Oft ist es bequem, eine Kurve auf ihre Bogenlänge zu
parametrisieren. Ist γ : [a, b] → Rn stetig differenzierbar mit γ̇(t) 6= 0 für
alle t ∈ [a, b], so ist die Bogenlänge s : [a, b] → R stetig differenzierbar mit
s0 (t) = kγ̇(t)k > 0 , also eine Bijektion s : [a, b] → [0, s(γ)] mit einer stetig
differenzierbaren Umkehrfunktion s−1 (vgl. den Satz über die Differenzierbarkeit
der Umkehrfunktion V.1.11). Die Kurve γ
e := γ ◦ s−1 : [0, s(γ)] → Rn ist daher
stetig differenzierbar mit
γ
e˙ (t) = γ̇(s−1 (t)) · (s−1 )0 (t) = γ̇(s−1 (t))
1
s0 (s−1 (t))
=
γ̇(s−1 (t))
.
kγ̇(s−1 (t))k
Dies ist offensichtlich ein Einheitsvektor. Es gilt also kγ
e˙ k = 1 für alle t ∈
[0, s(γ)] . Daher heißt γ
e über die Bogenlänge parametrisiert.
Definition X.1.8. (Kurvenintegral) Sei γ : [a, b] → X ⊆ Rn stückweise stetig
differenzierbar und f : X → Rk eine Funktion, für die die Komposition f ◦ γ
integrabel ist. Dann heißt
Z
Z b
f :=
f (γ(t)) · kγ̇(t)k dt ∈ Rk
γ
a
das Integral von f längs γ . Hierbei beachten wir, dass das Produkt der beiden
integrablen Funktionen f ◦ γ und kγ̇k ebenfalls integrabel ist (Lemma VI.1.13).
R
Bemerkung X.1.9. (a) Man beachte, dass γ f ein Punkt im Rk ist.
R
(b) Die Bogenlänge der Kurve γ läßt sich mit dieser Definition als s(γ) = γ 1
schreiben.
R
(c) Wir zeigen in den Übungen, dass das Integral γ f von der Parametrisierung
von γ unabhängig ist.
R
Rb
(d) Ist speziell γ = id[a,b] (als Kurve in R ), so ist γ f = a f (t) dt .
X.1. Kurven im
Rn
193
Integralabschätzung
Satz X.1.10. Sei X ⊆ Rn eine Teilmenge, γ : [a, b] → X stückweise stetig
differenzierbar und f : X → Rk eine stetige Funktion. Dann ist
Z
Z kf k2 ≤ s(γ) · supa≤t≤b kf (γ(t))2 .
f ≤
2
γ
γ
Für γ = id[a,b] und X = [a, b] erhalten wir insbesondere für jede Kurve f : [a, b] →
Rk die Abschätzung
b
Z
a
Z
f (t) dt ≤
2
b
kf (t)k2 dt ≤ M (b − a).
a
Pn
Beweis. Sei hu, vi = j=1 uj vj das euklidische Skalarprodukt von u, v ∈ Rk .
Die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung (Bemerkung IX.1.6) besagt dann
|hu, vi| ≤ kuk2 kvk2 .
Für v ∈ Rk und integrable Kurven ϕ : [a, b] → Rk gilt dann wegen der Linearität
des Integrals
Z
b
Z
hϕ(t), vi dt =
a
n
bX
ϕj (t)vj dt =
a j=1
Für v :=
R
γ
n Z
X
j=1
b
Z
ϕj (t) dt · vj = h
a
b
ϕ(t) dt, vi.
a
f ergibt sich damit aus der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung
kvk22
Z
Z b
= h f, vi =
hf ◦ γ(t), vikγ̇(t)k2 dt
γ
a
Z
≤ kvk2
b
Z
kf (γ(t))k2 · kγ̇(t)k2 dt = kvk2
a
kf k2 ,
γ
also
Z
kvk2 ≤
Z
kf k2 =
γ
b
b
Z
kf (γ(t))k2 · kγ̇(t)k2 dt ≤
a
Folgerung X.1.11.
Kurve, so gilt
kγ̇(t)k2 dt · supa≤t≤b kf (γ(t))k.
a
Ist γ: [a, b] → Rn eine stückweise stetig differenzierbare
s(γ) ≥ kγ(b) − γ(a)k.
Die Geraden sind also die kürzesten Verbindungen zweier Punkte.
Beweis.
Wir wenden den zweiten Teil von Satz X.1.10 an und erhalten
Z
Z b
b
kγ(b) − γ(a)k =
γ̇(t) dt ≤
kγ̇(t)k dt = s(γ).
a
a
194
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Satz X.1.12. (Rechenregeln
Pn für Ableitungen von Skalarprodukten) Sei D ⊆ R
ein Intervall und hx, yi := j=1 xj yj das Skalarprodukt auf dem Rn .
(1) Sind γ, ϕ : D → Rn in einem Punkt t ∈ D differenzierbar, so ist auch
hγ, ϕi : D → R, t 7→ hγ(t), ϕ(t)i in t differenzierbar, und es gilt
hγ, ϕi0 (t) = hγ̇(t), ϕ(t)i + hγ(t), ϕ̇(t)i.
(2) Sind γ : D → Rn und ϕ : D → R wie oben, so ist
ϕ · γ : D → Rn , t 7→ ϕ(t)γ(t)
in t differenzierbar mit
(ϕ · γ)0 (t) = ϕ̇(t)γ(t) + ϕ(t)γ̇(t).
Beweis.
Wir wenden die Produktregel komponentenweise an (Übung).
X.2. Differenzierbare Abbildungen
In diesem Abschnitt werden wir sehen, wie sich das Konzept der Differenzierbarkeit in geeigneter Weise auf Funktionen in mehreren Veränderlichen
übertragen lässt. Der begriffliche Aufwand wird hier dadurch etwas höher als im
Eindimensionalen, dass die Ableitung einer Funktion f : U → Rm , U ⊆ Rn offen,
in einem Punkt p jetzt eine lineare Abbildung df (p): Rn → Rm ist. Im Eindimensionalen kann man lineare Abbildungen R → R mit Zahlen identifizieren, so
dass die Ableitung wieder eine Funktion f 0 : U → R wird, aber in der allgemeinen
Situation erhalten wir eine Funktion
df : U → Hom(Rn , Rm ),
und der Raum Hom(Rn , Rm ) , den wir mit dem Raum Mm,n (R) der (m × n) Matrizen identifizieren können, hat die Dimension nm .
Im folgenden betrachten wir nur die euklidische Norm k · k := k · k2 auf
n
R . Da alle Normen auf dem Rn äquivalent sind, spielt es keine Rolle, welche
Norm wir hier verwenden.
Definition X.2.1. Sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rm eine Funktion.
(a) Die Funktion f heißt in x ∈ U differenzierbar, wenn eine lineare Abbildung
A ∈ Hom(Rn , Rm ) existiert, so dass
(2.1)
f (x + h) = f (x) + A(h) + ϕ(h)
ϕ(h)
=0
h→0 khk
mit lim
gilt. Die Abbildung h 7→ f (x) + A(h) ist eine affine Abbildung, die f im Sinne
von (2.1) in x von erster Ordnung approximiert.
195
X.2. Differenzierbare Abbildungen
(b) Ist f in x differenzierbar, so möchte man auch von der Ableitung von f
in x reden. Hierzu hat man die Eindeutigkeit der linearen Abbildung A zu
verifizieren. Sei dazu (2.1) erfüllt und v ∈ Rn . Für ausreichend kleine t ∈ R ist
dann x + tv ∈ U , und wir erhalten
A(tv) + ϕ(tv)
ϕ(tv)
f (x + tv) − f (x)
= lim
= Av + lim
= Av.
t→0
t→0
t→0
t
t
t
lim
Also ist die lineare Abbildung A eindeutig durch f bestimmt.
Abbildung
df (x) := A ∈ Hom(Rn , Rm )
Die lineare
heißt Ableitung oder Differential von f im Punkt x. Für v ∈ Rn heißt
(2.2)
df (x)(v) = lim
t→0
f (x + tv) − f (x)
t
die Richtungsableitung von f in x in Richtung v .
(c) Die Funktion f heißt in U differenzierbar, wenn sie in allen Punkten x ∈ U
differenzierbar ist.
(d) Sie heißt in U stetig differenzierbar, wenn f in U differenzierbar und die
Funktion
df : U → Hom(Rn , Rm ) ∼
= Mm,n (R) ∼
= Rnm
stetig ist. Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen f : U → Rm
bezeichnet man mit C 1 (U, Rm ) .
Bemerkung X.2.2.
(a) Wir müssen den Begriff der Differenzierbarkeit im
Mehrdimensionalen anders definieren als im Eindimensionalen, da der Ausdruck
f (x + h) − f (x)
h
für Vektoren h ∈ Rn keinen Sinn ergibt.
(b) Die Definition X.2.1 passt jedoch gut mit der eindimensionalen Situation zusammen: Für n = 1 ist f eine Kurve und
f (x + h) − f (x)
f˙(x) = lim
= df (x)(1).
h→0
h
Beachte dabei, dass df (x) : R → Rn eine lineare Abbildung ist, die Größe
f˙(x) = df (x)(1) ∈ Rm also ein Vektor.
Lemma X.2.3. Ist U ⊆ Rn offen und f : U → Rm eine Funktion, so ist f in
x ∈ U genau dann differenzierbar, wenn dies für alle Komponentenfunktionen
fj : U → R , j = 1, . . . , m , gilt.
Beweis.
Sei zunächst f in x differenzierbar und A ∈ Hom(Rn , Rm ) mit
f (x + h) = f (x) + A(h) + ϕ(h)
ϕ(h)
= 0.
h→0 khk
mit lim
196
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Sind Aj ∈ Hom(Rn , R) die Komponentenfunktionen der linearen Abbildung A,
so erhalten wir für die Komponentenfunktionen von f
(2.3)
ϕj (h)
= 0,
h→0 khk
fj (x + h) = fj (x) + Aj (h) + ϕj (h)
mit lim
denn da Konvergenz mit komponentenweiser Konvergenz gleichbedeutend ist
ϕj (h)
(Satz IX.1.9), ist insbesondere limh→0 ϕ(h)
khk = 0 äquivalent zu limh→0 khk = 0
für alle j ∈ {1, . . . , m}. Also ist jede Komponentenfunktion fj in x differenzierbar.
Ist dies umgekehrt der Fall und gilt (2.3) für alle j , so betrachten wir
die lineare Abbildung A = (A1 , . . . , Am ): Rn → Rm und erhalten mit ϕ =
(ϕ1 , . . . , ϕm ) die Beziehung
ϕ(h)
= 0.
h→0 khk
f (x + h) = f (x) + A(h) + ϕ(h)
mit lim
Das obige Lemma macht deutlich, dass die höhere Komplexität von Funktionen f : U → Rm bzgl. Differenzierbarkeitseigenschaften weniger von der Anzahl m der Komponenten im Bildbereich kommt, als vielmehr von der Anzahl
n der Komponenten im Urbildbereich.
Lemma X.2.4. Ist U ⊆ Rn offen und f : U → Rm in x ∈ U differenzierbar,
so ist f in x stetig.
Beweis.
Gemäß (2.1) haben wir
f (x + h) = f (x) + df (x)(h) + ϕ(h)
ϕ(h)
= 0.
h→0 khk
mit lim
Aus der Stetigkeit der linearen Abbildung df (x) (Theorem IX.4.15) folgt
lim df (x)(h) = 0,
h→0
und weiter ist limh→0 ϕ(h) = limh→0
ϕ(h)
khk khk
= 0 . Also erhalten wir
lim f (x + h) − f (x) = 0,
h→0
d.h., f ist in x stetig.
Wir kommen nun zu einer Charakterisierung der Differenzierbarkeit, die
im folgenden einige Beweise vereinfacht.
Satz X.2.5. Die Abbildung f : U → Rm ist genau dann in x ∈ U differenzierbar, wenn eine Abbildung
Φ : U → Hom(Rn , Rm )
197
X.2. Differenzierbare Abbildungen
so existiert, dass Φ im Punkt x stetig ist und die Beziehung
f (x + h) = f (x) + Φ(x + h)(h)
für x + h ∈ U gilt. In diesem Fall ist df (x) = Φ(x).
Beweis.
Sei zunächst
f (x + h) = f (x) + Φ(x + h)(h),
wobei Φ in x stetig ist. Für
A := Φ(x)
und ϕ(h) := Φ(x + h) − Φ(x) (h) = Φ(x + h)(h) − A(h)
gilt dann f (x + h) = f (x) + A(h) + ϕ(h) sowie
h ϕ(h)
= 0,
= lim Φ(x + h) − Φ(x)
h→0 khk
h→0
khk
lim
da für h 6= 0 die Beziehung
h h ) ≤ Φ(x + h) − Φ(x) · Φ(x + h) − Φ(x) (
khk
khk
= kΦ(x + h) − Φ(x)k −→ 0
h→0
gilt.
Sei jetzt f in x differenzierbar und (2.1) erfüllt. Wir definieren Φ(x + h) ∈
Hom(Rn , Rm ) durch
A(v)
für h = 0
Φ(x + h)(v) :=
ϕ(h)
A(v) + hh, vi khk2 für h 6= 0.
Dann gilt für h 6= 0 :
f (x + h) = f (x) + A(h) + ϕ(h) = f (x) + A(h) + hh, hi
ϕ(h)
khk2
= f (x) + Φ(x + h)(h).
Die Stetigkeit von Φ in x erhalten wir mit der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung: Zunächst ist
kΦ(x + h)(v) − Φ(x)(v)k = |hh, vi|
kϕ(h)k
kϕ(h)k
kϕ(h)k
≤ khk · kvk
= kvk
2
2
khk
khk
khk
für alle v ∈ Rn . Für kvk ≤ 1 erhalten wir also
kΦ(x + h) − Φ(x)k ≤
Damit ist Φ in x stetig.
kϕ(h)k
−→ 0.
khk h→0
198
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Satz X.2.6. (Rechenregeln für Ableitungen)
(a) Sind f, g : U → Rm in einem Punkt x ∈ U ⊆ Rn differenzierbare Funktionen, so ist die Funktion λf + µg für alle λ, µ ∈ R in x differenzierbar,
und es gilt
d(λf + µg)(x) = λ · df (x) + µ · dg(x)
(Linearität).
(b) Seien U ⊆ Rn und V ⊆ Rm offene Mengen, f : U → V im Punkte x ∈ U
differenzierbar und g : V → Rk im Punkte f (x) ∈ V differenzierbar. Dann
ist die Funktion g ◦ f : U → Rk in x differenzierbar, und es gilt die
Kettenregel
d(g ◦ f )(x) = dg f (x) ◦ df (x).
Beweis. (a) Mit Satz X.2.5 erhalten wir Funktionen Φ, Ψ: U → Hom(Rn , Rm ) ,
die in x stetig sind, so dass folgende Beziehungen für x + u ∈ U gelten:
f (x + h) = f (x) + Φ(x + h)(h)
und
g(x + h) = g(x) + Ψ(x + h)(h).
Dann ist
(λf + µg)(x + h) = (λf + µg)(x) + (λΦ + µΨ)(x + h)(h),
und die Funktion λΦ + µΨ: U → Hom(Rn , Rm ) ist in x stetig. Hieraus folgt die
Differenzierbarkeit von f in x und
d(λf + µg)(x) = λΦ(x) + µΨ(x) = λ df (x) + µ dg(x).
(b) Mit Satz X.2.5 erhalten wir eine Funktion Φ: U → Hom(Rn , Rm ) , die in x
stetig ist, und eine Funktion Ψ: V → Hom(Rm , Rk ) , die in f (x) stetig ist, so
dass folgende Beziehungen gelten:
f (x+h) = f (x)+Φ(x+h)(h),
und g(f (x)+k) = g f (x) +Ψ(f (x)+k)(k).
Dann ist f (x + h) = f (x) + k mit k = Φ(x + h)(h) und daher
(g ◦ f )(x + h) = g f (x) + Ψ f (x + h) Φ(x + h)(h) .
Wir haben Ψ f (x + h) ◦ Φ(x + h) ∈ Hom(Rn , Rk ) und
lim Ψ f (x + h) ◦ Φ(h + x) = Ψ f (x) ◦ Φ(x),
h→0
da f in x stetig ist (Lemma X.2.4) und die Komposition
Hom(Rm , Rk ) × Hom(Rn , Rm ) → Hom(Rn , Rk ),
(A, B) 7→ A ◦ B
wegen kA ◦ Bk ≤ kAk · kBk stetig ist, denn sie ist eine bilineare Abbildung (Satz
IX.4.18). Also ist g ◦ f in x differenzierbar, und das Differential ist gegeben
durch
d(g ◦ f )(x) = Ψ f (x) ◦ Φ(x) = dg f (x) ◦ df (x).
X.2. Differenzierbare Abbildungen
Beispiel X.2.7.
199
(a) Für eine affine Abbildung
f : Rn → Rm , x 7→ A(x) + b
ist df (x) = A für alle x ∈ Rn (vgl. Def. X.2.1).
Allgemeine Produktregel
(b) Ist f : Rn × Rm ∼
= Rn+m → Rk bilinear, so ist f überall differenzierbar mit
df (x, y)(v, w) = f (x, w) + f (v, y).
Hierbei schreiben wir Elemente aus Rn × Rm ∼
= Rn+m jeweils als Paare (x, y)
bzw. (v, w) mit x, v ∈ Rn und y, w ∈ Rm . Für den Beweis schreiben wir
f (x + h, y + k) = f (x, y) + f (x, k) + f (h, y) + f (h, k).
Da f stetig ist, existiert wegen Satz IX.4.17 ein C > 0 mit
kf (h, k)k ≤ Ckhk · kkk
für (h, k) ∈ Rn × Rm . Für das quadratische Restglied f (h, k) ergibt sich daher
kf (h, k)k
khk · kkk
≤C
≤ Ckkk,
k(h, k)k
k(h, k)k
also lim(h,k)→(0,0)
kf (h,k)k
k(h,k)k
= 0 . Da die Abbildung
Rn × R m → Rk ,
(h, k) 7→ f (x, k) + f (h, y)
linear ist, ergibt sich hieraus die Differenzierbarkeit von f in (x, y) sowie die
Formel für df (x, y) .
Definition X.2.8.
Ist f : U → Rm im Punkt x ∈ U ⊆ Rn differenzierbar,
so ist df (x) ∈ Hom(Rn , Rm ) durch eine Matrix darstellbar. Wir wollen ihre
Komponenten berechnen. Sei dazu


f1 (x)
 · 


f (x) =  · 


·
fm (x)
mit fi : U → R , i = 1, . . . , m . Ist ej ∈ Rn , j = 1, . . . , n , der j -te kanonische
Basisvektor des Rn (die einzige Komponente ungleich 0 ist eine 1 an der i-ten
Stelle), so heißt
∂f
1
Dj f (x) :=
(x) := lim f (x + tej ) − f (x) = df (x)(ej )
t→0 t
∂xj
∂fi
die j-te partielle Ableitung von f in x ∈ U . Entsprechend definiert man
(x) .
∂xj
Die Matrix
 ∂f1

∂f1
(x)
·
·
·
(x)
∂x
∂xn
 ∂f21

∂f2
(x)
·
·
·

∂fi
∂x1
∂xn (x) 


(x)
=
Jx (f ) :=

..
..
∂xj
i=1,...,m


.
.
j=1,...,n
∂fm
∂fm
∂x1 (x) · · ·
∂xn (x)
heißt Jacobimatrix von f in x.
200
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Ist U ⊆ Rn offen und die Funktion f : U → Rm in p ∈ U
∂fi
differenzierbar, so existieren alle partiellen Ableitungen
in p , und die lineare
∂xj
Abbildung df (p) wird bzgl. der kanonischen Basen in Rn und Rm durch die
Jacobimatrix Jp (f ) dargestellt.
Satz X.2.9.
Beweis. Die Existenz der partiellen Ableitungen wurde in Definition X.2.1
gezeigt. Ist




df1 (p)(v)
f1 (x)
·


 · 




·
f (x) =  ·  , so ist df (p)(v) = 
 ∈ Rm ,




·
·
dfm (p)(v)
fm (x)
Pn
wenn v ∈ Rn ist (siehe Lemma X.2.3). Für v = j=1 vj ej folgt hieraus
n
X
n
X
∂fi
dfi (p)(v) =
dfi (p)(ej ) · vj =
(p)vj ,
∂xj
j=1
j=1
also



df (p)(v) = 


∂f1
∂x1 (x)
∂f2
∂x1 (x)
···
···
..
.
∂fm
∂x1 (x)
···
∂f1
∂xn (x)
∂f2
∂xn (x)


v1

  v2 
  .  = Jp (f ) · v,
 . 
..
.

.
∂fm
v
n
(x)

∂xn
d.h., das Differential df (p) wird durch die Jacobimatrix Jp (f ) dargestellt.
In diesem Sinne können wir f (x + h) − f (x) = df (x)(h) + ϕ(h) wie folgt
durch Matrizen und Vektoren beschreiben:
 f (x + h) − f (x)
1
1
 f2 (x + h) − f2 (x)

..

.
fm (x + h) − fm (x)
Beispiel X.2.10.



 
=
 

∂f1
∂x1 (x)
∂f2
∂x1 (x)
···
···
..
.
∂fm
∂x1 (x)
···
∂f1
∂xn (x)
∂f2
∂xn (x)

  ϕ (h) 
h1
1

  h2   ϕ2 (h) 
 .  +  . .
 .   . 
..
.
.

.
∂fm
h
ϕm (h)
n
(x)

∂xn
Wir betrachten die Funktion
x·y
3
2
f : R → R , (x, y, z) 7→
.
sin x + cos y
Dann ist
f1 (x, y, z) = xy
und
f2 (x, y, z) = sin x + cos y.
Die partiellen Ableitungen sind
∂f1
(x, y, z) = y,
∂x
∂f1
(x, y, z) = x,
∂y
∂f2
(x, y, z) = cos x,
∂x
201
X.2. Differenzierbare Abbildungen
∂f2
(x, y, z) = − sin y,
∂y
und
∂f1
∂f2
(x, y, z) =
(x, y, z) = 0.
∂z
∂z
Damit wird das Differential von f in (x, y, z) durch die Matrix
J(x,y,z) (f ) =
∂f1
∂x (x, y, z)
∂f2
∂x (x, y, z)
∂f1
∂y (x, y, z)
∂f2
∂y (x, y, z)
∂f1
∂z (x, y, z)
∂f2
∂z (x, y, z)
!
=
y
x
cos x − sin y
0
0
dargestellt.
Bemerkung X.2.10b.
Ist g ◦ f eine Komposition differenzierbarer Abbilm
dungen f : U → R und g: V → Rk , wobei U ⊆ Rn offen ist, so erhalten wir aus
der Kettenregel die Beziehung
d(g ◦ f )(p) = dg(f (p)) ◦ df (p)
für die Ableitungen. Auf der Ebene der zugehörigen Jacobi-Matrizen wird hieraus
die Produktformel
Jp (g ◦ f ) = Jf (p) (g) · Jp (f ),
wobei · für das Produkt einer (k×m) -Matrix mit einer (m×n) -Matrix steht. Für
die partiellen Ableitungen der Komposition g ◦ f ergibt sich damit insbesondere
m
X ∂g
∂(g ◦ f )
∂f`
(p) =
(f (p))
(p),
∂xj
∂x`
∂xj
`=1
wenn man sich überlegt, wie die Einträge der Produktmatrix aussehen.
Ein wichtiger Spezialfall hiervon ergibt sich für n = 1 . Dann sind
f : U → Rm und g ◦ f : U → Rk Kurven und wir erhalten
(g ◦ f )0 (t) = d(g ◦ f )(t)(1) = dg(f (t))df (t)(1) = dg(f (t))(f 0 (t))
bzw.
(g ◦ f )0 (t) =
m
X
∂g
(f (p))f`0 (t).
∂x`
`=1
Definition X.2.11.
Ist f : U → R , U ⊆ Rn offen, im Punkt x ∈ U
differenzierbar, so heißt der (Zeilen-)Vektor
∂f
∂f
grad f (x) := ∇f (x) = D1 f (x), · · · , Dn f (x) = Jx (f ) =
(x), · · · ,
(x)
∂x1
∂xn
der Gradient von f in x.
202
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Für jedes v ∈ Rn ist die Ableitung in Richtung v dann durch
df (x)(v) = h∇f (x), vi =
n
X
Dj f (x) · vj
j=1
gegeben. Für alle Vektoren v ∈ Rn mit kvk = 1 gilt mit der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung |df (x)(v)| = |h∇f (x), vi| ≤ k∇f (x)k . Für den speziellen
∇f (x)
Einheitsvektor v = k∇f
(x)k gilt sogar ohne k · k Gleichheit:
h∇f (x), vi =
k∇f (x)k2
= k∇f (x)k
k∇f (x)k
(falls ∇f (x) 6= 0). Der Gradient zeigt also in die Richtung des steilsten Anstiegs
der Funktion f im Punkt x.
Für den Fall n = 2 nennt man die Teilmengen Hc := {x ∈ U : f (x) = c}
Höhenlinien der Funktion f . Man kann diese Linien verwenden, um sich das
Verhalten der Funktion f zu veranschaulichen (Man denke zum Beispiel an eine
Landkarte, die den Bereich U beschreibt, auf der man die Höhe des jeweiligen
Punktes durch Höhenlinien einträgt). Ist nun D ⊆ R ein Intervall und γ: D → U
eine Kurve, die in einer Höhenlinie verläuft, d.h. γ(D) ⊆ Hc bzw. f (γ(t)) = c
für alle t ∈ D , so erhalten wir durch Ableiten mit der Kettenregel
0=
d
f (γ(t)) = h∇f (γ(t)), γ̇(t)i.
dt
Geometrisch interpretiert man dies so, dass die Geschwindigkeit der Kurve γ
senkrecht zum Gradienten ∇f (γ(t)) in dem Punkt γ(t) ist. Die Höhenlinien
verlaufen also in jedem Punkt senkrecht zum Gradienten. Beschreibt f die
Höhenfunktion einer Landkarte und ist γ: D → U ein Weg, den ein Wanderer
durchläuft, so bedeutet f (γ(t)) = c, dass der Wanderer auf einem Höhenweg
entlangläuft. Das ist zwar nicht anstrengend, er legt dabei aber auch keinen
Höhenunterschied zurück. Ein Bergsteiger würde eher einen Weg mit
γ̇(t) = ∇f (γ(t)),
einen sogenannten Gradientenweg, vorziehen.
∂fi (x)
ist zwar
∂xj
notwendig, aber nicht hinreichend für die Differenzierbarkeit (Stetigkeit) im
Punkt x. Als Beispiel betrachten wir die Funktion
0,
falls (x, y) = 0
2
f : R → R, (x, y) 7→
xy
, sonst.
Beispiel X.2.12.
Die Existenz der partiellen Ableitungen
x2 +y 2
Im Punkt (x, y) = (0, 0) ist dann
∂f
1
(0, 0) = lim f (t, 0) − f (0, 0) = 0 und
t→0 t
∂x
∂f
(0, 0) = 0.
∂y
X.2. Differenzierbare Abbildungen
203
Aber die Funktion f ist im Nullpunkt unstetig, da für alle t 6= 0 gilt
t2
1
=
.
t2 + t 2
2
Setzt man etwas stärkere Regularität der partiellen Ableitungen voraus, so lässt
sich die Differenzierbarkeit allerdings doch durch die partiellen Ableitungen
nachprüfen.
f (t, t) =
Satz X.2.13. Die Funktion f : U → Rm sei überall partiell differenzierbar, und
die partiellen Ableitungen seien in x ∈ U stetig. Dann ist f in x differenzierbar.
Beweis. Wir dürfen o.B.d.A.
Pn m = 1 annehmen (vgl. Lemma X.2.3). Wir
schreiben h ∈ Rn als h = j=1 hj ej . Dann ist
f (x + h) − f (x) =
n
X
f (x1 + h1 , . . . , xk−1 + hk−1 , xk + hk , xk+1 , . . . , xn )
k=1
− f (x1 + h1 , . . . , xk−1 + hk−1 , xk , xk+1 , . . . , xn ).
Wenden wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf jeden Summanden
(als Funktion von hk ) an, so finden wir Zahlen ϑj ∈ ]0, 1[ , j = 1, . . . , n , mit
n
X
f (x+h)−f (x) =
Dk f (x1 +h1 , . . . , xk−1 +hk−1 , xk +ϑk hk , xk+1 , . . . , xn )·hk .
k=1
Wir definieren nun Φ(x + h) ∈ Hom(Rn , Rm ) durch
n
X
Φ(x + h)(v) :=
Dk f (x1 + h1 , . . . , xk−1 + hk−1 , xk + ϑk hk , xk+1 , . . . , xn ) · vk .
k=1
Dann erhalten wir
f (x + h) − f (x) = Φ(x + h)(h).
Da
lim Φk (x + h) = lim (Dk f )(x1 + h1 , . . . , xk−1 + hk−1 , xk + ϑk hk , xk+1 , . . . , xn )
h→0
h→0
= Dk f (x) = Φk (x)
nach Voraussetzung gilt, ist Φ in x stetig und daher f in x differenzierbar.
Mittelwertsatz
Satz X.2.14. Sei U ⊆ Rn offen und f : U → R differenzierbar. Sei x+th ∈ U
für alle t ∈ [0, 1]. Dann existiert ein ϑ ∈ ]0, 1[ mit
f (x + h) − f (x) = df (x + ϑh)(h).
Beweis.
Wir betrachten die differenzierbare Funktion
g : [0, 1] → R,
t 7→ f (x + th)
mit
g 0 (t) = df (x + th)(h).
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung V.2.2 existiert ein ϑ ∈ ]0, 1[
mit
f (x + h) − f (x) = g(1) − g(0) = g 0 (ϑ) = df (x + ϑh)(h),
wobei die letzte Gleichung aus der Kettenregel folgt.
204
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Bemerkung X.2.15.
Für Funktionen : U → Rm mit m ≥ 2 gilt der
Mittelwertsatz im allgemeinen nicht. Als Beispiel hierzu betrachten wir die
Spiralkurve:
γ : R → R3 , t 7→ (cos t, sin t, t).
Dann ist γ(0) = (1, 0, 0) , γ(2π) = (1, 0, 2π) und
γ̇(t) = dγ(t)(1) = (− sin t, cos t, 1).
Für 0 < t < 2π zeigt γ̇(t) nie in Richtung von γ(2π) − γ(0) , also ist
γ(2π) − γ(0) 6= γ̇(t) · 2π
für alle t ∈ [0, 2π].
Für m ≥ 2 ist die folgende Version des Mittelwertsatzes die nächstbeste
und sehr nützlich:
Satz vom endlichen Zuwachs
Satz X.2.16. Sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rm stetig differenzierbar sowie
x + th ∈ U für alle t ∈ [0, 1]. Dann ist
1
Z
f (x + h) − f (x) =
df (x + th)(h) dt.
0
Ist kdf (x + th)k ≤ M für alle t ∈ [0, 1], so gilt
kf (x + h) − f (x)k ≤ M · khk.
Beweis. Für g(t) := f (x + th) gilt g 0 (t) = df (x + th)(h) (Bemerkung X.2.10b)
und daher
Z
f (x + h) − f (x) = g(1) − g(0) =
1
0
1
Z
g (t) dt =
df (x + th)(h) dt,
0
0
womit die erste Aussage schon gezeigt wäre. Für die zweite wenden wir die
Integralabschätzung aus Satz X.1.9 auf γ = id[0,1] an und erhalten so:
kf (x + h) − f (x)k = 1
Z
Z
Z
df (x + th)(h) dtk ≤
0
1
M · khk dt = M · khk.
=
0
1
kdf (x + h)(h)k dt
0
205
X.3. Höhere partielle Ableitungen und Taylorentwicklung
X.3. Höhere partielle Ableitungen und Taylorentwicklung
In diesem Abschnitt werden wir den Taylorschen Satz für differenzierbare Funktionen von mehreren Veränderlichen kennenlernen. Nachdem wir uns
überlegt haben, wie wir die vielen Glieder, die in der Taylorentwicklung auftreten,
geschickt bezeichnen, werden wir sehen, dass man im Prinzip genauso wie im
Eindimensionalen vorgehen kann.
Es seien U ⊆ Rn eine offene Menge und f : U → Rm eine Funktion. Wir
∂f
(x) für alle x ∈ U
nehmen an, dass die partiellen Ableitungen Dj f (x) =
∂xj
und j ∈ {1, . . . , n} existieren. Für jedes j ∈ {1, . . . , n} ist dann Dj f eine
Funktion Dj f : U → Rm .
Definition X.3.1.
(a) Sind die Funktionen Dj f : U → Rm , j ∈ {1, . . . , n}
wieder partiell differenzierbar, so können wir für alle x ∈ U die höheren partiellen
Ableitungen
∂2f
(x)
Di Dj f (x) := Di Dj f (x) =:
∂xi ∂xj
definieren. Die Funktion f heißt dann zweimal partiell differenzierbar.
(b) Die Funktion f heißt k-mal partiell differenzierbar (k ≥ 2 ), wenn sie (k − 1) mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen
Dik−1 Dik−2 . . . Di1 f := Dik−1 Dik−2 . . . (Di1 f ) · · ·
wieder partiell differenzierbar sind. Für jedes k -Tupel (i1 , . . . , ik ) ∈ {1, . . . , n}k
erhalten wir dann wieder Funktionen
Dik Dik−1 . . . Di1 f =
∂kf
: U → Rm ,
∂xik · · · ∂xi1
die k-ten partiellen Ableitungen von f.
(c) Die Funktion f heißt k-mal stetig partiell differenzierbar, falls sie k -mal
partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen k -ter Ordnung stetig
sind.
Als Beispiel betrachten wir die Funktion f : R2 → R, f (x, y) = 3x2 y + y 3 .
Dann ist f zweimal stetig partiell differenzierbar mit den partiellen Ableitungen:
D1 f (x, y) = 6xy, D1 D1 f (x, y) = 6y, D2 f (x, y) = 3x2 + 3y 2 ,
D2 D2 f (x, y) = 6y, D1 D2 f (x, y) = 6x = D2 D1 f (x, y).
dass die gemischten“ Ableitungen in der letzten Zeile übereinstimmen, ist kein
”
Zufall:
206
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Satz von Schwarz
Satz X.3.2. 1 Sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rm zweimal stetig partiell
differenzierbar. Dann gilt für alle i, j ∈ {1, . . . , n}
Di Dj f = Dj Di f.
Beweis. Wir dürfen o.B.d.A. m = 1 annehmen, da wir die Komponenten von
f getrennt behandeln können. Sei u ∈ U . Da U offen ist, existiert ein ε > 0 ,
so dass u + sei + tej ∈ U für alle Zahlen s und t mit |s|, |t| < ε gilt. Sei
U 0 :=] − ε, ε[×] − ε, ε[⊆ R2 und
ϕ: U 0 → R,
ϕ(s, t) := f (u + sei + tej ).
Dann besagt die Voraussetzung insbesondere, dass D1 D2 ϕ existiert und stetig
ist. Zu zeigen ist nun
(Di Dj f )(u) = (D1 D2 ϕ)(0, 0) = (D2 D1 ϕ)(0, 0) = (Dj Di f )(u).
Nach Definition ist
ϕ(s, t) − ϕ(0, t)
d lim
dt t=0 s→0
s
1
s ϕ(s, t) − ϕ(0, t) −
= lim lim
t→0 s→0
t
D2 D1 ϕ(0, 0) =
1
s
ϕ(s, 0) − ϕ(0, 0)
.
Wir wenden den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf die zweite Variable
dieses Ausdrucks an und erhalten so
1
(D2 ϕ)(s, ϑs,t t) − (D2 ϕ)(0, ϑs,t t)
t→0 s→0 s
D2 D1 ϕ(0, 0) = lim lim
für ein ϑs,t ∈ ]0, 1[, das von t und s abhängt. Auf den so entstandenen Ausdruck
wenden wir den Mittelwertsatz noch einmal an, diesmal für die erste Variable,
und erhalten
D2 D1 ϕ(0, 0) = lim lim D1 D2 ϕ(ϑes,t s, ϑs,t t)
t→0 s→0
mit 0 < ϑs,t , ϑes,t < 1 . Da D1 D2 ϕ nach Voraussetzung stetig ist, folgt somit
D2 D1 ϕ(0, 0) = D1 D2 ϕ(0, 0).
1
Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), deutscher Mathematiker. Schüler von Kum-
mer und Weierstraß in Berlin. Er war Professor in Halle, Zürich, Göttingen und der Berliner
Akademie der Wissenschaften. Schwarz beschäftigte sich insbesondere mit der Funktionentheorie und zeigte vielfache Anwendungsmöglichkeiten auf. Nach ihm benannt sind die CauchySchwarz-Ungleichung und der Satz von Schwarz.
X.3. Höhere partielle Ableitungen und Taylorentwicklung
207
Beispiel X.3.3. Der Satz von Schwarz hat eine interessante Konsequenz für die
Existenz von Stammfunktionen“ von Funktionen in mehreren Veränderlichen.
”
Gegeben sei eine stetig partiell differenzierbare Funktion v : R2 → R2 (ein sogenanntes Vektorfeld) und gesucht sei eine zweimal stetig partiell differenzierbare
Funktion f : R2 → R mit
v = grad f = (D1 f, D2 f ),
d.h., f ist eine Lösung der partiellen Differentialgleichung
∂f
= v1 ,
∂x1
∂f
= v2 .
∂x2
Der Satz von Schwarz liefert eine notwendige Bedingung für die Funktion v . Ist
obige Gleichung erfüllt, so erhalten wir
D2 v1 = D2 D1 f = D1 D2 f = D1 v2 .
Wir betrachten hierzu ein konkretes Beispiel: Für die Funktion
v : R2 → R2 , (x, y) 7→ (−y, x)
ist D2 v1 (x, y) = −1 6= 1 = D1 v2 (x, y) , also existiert keine Funktion f mit
v = grad f . In diesem Sinn hat das Vektorfeld v keine Potentialfunktion (es
ist kein Gradientenfeld). Dies ist gleichbedeutend zu der Tatsache, dass es keine
stetig differenzierbare Funktion f : R2 → R gibt, die die beiden Gleichungen
∂f
(x, y) = −y
∂x
und
∂f
(x, y) = x
∂y
erfüllt.
Wir führen einige Bezeichnungen ein, die uns in diesem Abschnitt sehr viel
Schreibarbeit ersparen werden.
Definition X.3.4. (a)
• Ein n -Tupel α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn0 heißt Multi-Index.
• Die Zahl |α| := α1 + . . . + αn heißt Ordnung von α .
• Die Zahl α! := α1 ! · . . . · αn ! heißt α -Fakultät.
Qn
β
• Die Zahl α
:= j=1 αβjj heißt Binomialkoeffizient.
αn
1
• Die Funktion Rn → R, x 7→ xα := xα
1 · . . . · xn heißt Monom vom
Exponenten α .
P
α
• Ist P (x) =
ein Polynom (die Summe sei endlich), so
α cα x
definieren wir seinen Grad durch deg P := max{|α|: cα 6= 0} .
Auf der Menge der Multiindizes definiert man Addition und Subtraktion
sowie eine partielle Ordnung:
208
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
• Wir definieren β ≤ α : ⇐⇒ βi ≤ αi für alle i ∈ {1, . . . , n} , und
• α ± β := (α1 ± β1 , . . . , αn ± βn ) , wobei α − β nur für β ≤ α definiert
ist.
∂k
0
(b) Für k ∈ N sei Dik f := Di (Dik−1 f ) =: ∂x
k f und Di f := f . Nun definieren
i
wir eine Kurzschreibweise für höhere gemischte Ableitungen. Für α ∈ Nn0 sei
Dα f := D1α1 D2α2 · · · Dnαn f =:
1
∂xα
1
∂ |α|
f,
n
· · · ∂xα
n
D0 f := f.
(c) Eine Funktion f : U → Rm heißt C k -Funktion oder k -mal stetig differenzierbar, kurz: f ∈ C k (U, Rm ) , falls sie k -mal stetig partiell differenzierbar ist
(vgl. Satz X.2.13). Weiter sei
∞
m
C (U, R ) :=
∞
\
C k (U, Rm ).
k=0
Man beachte, dass sich für f ∈ C k (U, Rm ) jede partielle Ableitung der Ordnung
≤ k als ein Dα f schreiben lässt (Satz von Schwarz). Schließlich setzen wir noch
C k (U ) := C k (U, R).
Beispiel X.3.5.
gilt
Ist β ∈ Nn0 und fβ : Rn → R, fβ (x) = xβ = xβ1 1 · . . . · xβnn , so
β!
β−α
,
(β−α)! x
falls α ≤ β
0,
sonst.
Um dies einzusehen, wendet man mehrfach die Produktregel an und erhält
α
D fβ (x) =
Dα xβ = (D1α1 xβ1 1 ) · . . . · (Dnαn xβnn )
β1 −α1
β1 !
n!
· . . . · (βnβ−α
xβn −αn
= (β1 −α1 )! x1
n )! n
0
für α ≤ β
sonst
für alle α ≤ β . An der Stelle x = 0 erhalten wir insbesondere
0, falls α 6= β
α β
(D x )(0) =
α!, sonst.
Definition X.3.6.
Sei f : U → Rm eine k -mal stetig differenzierbare
Funktion. Das k-te Taylorpolynom von f bei u ∈ U ist das Polynom
X (Dα f )(u)
Tuk (f )(x) =
xα
α!
|α|≤k
= f (u) + (D1 f )(u)x1 + (D2 f )(u)x2
1
1
+ (D12 f )(u)x21 + (D22 f )(u)x22 + (D1 D2 f )(u)x1 x2 + . . . .
2
2
Man beachte dabei, dass (Dα f )(u) jeweils ein Vektor in Rm ist.
Wir erhalten die gleiche Charakterisierung des Taylorpolynoms wie in Kapitel VIII:
X.3. Höhere partielle Ableitungen und Taylorentwicklung
209
Bemerkung X.3.7. (a) Das Polynom Tuk (f ) hat in 0 bis zur Ordnung k die
gleichen Ableitungen wie f in u , d.h., für alle α mit |α| ≤ k gilt
Dα (Tuk (f ))(0) = (Dα f )(u).
Dies folgt aus Beispiel X.3.5:
β
D
f
(u) β x (0)
Dα (Tnk (f ))(0) =
Dα
β!
|β|≤k
X Dβ f (u)
Dα f (u)
α β
=
D x (0) =
α! = Dα f (u).
β!
α!
X
|β|≤k
(b) Diese
ist
P Eigenschaft bestimmt das k -te Taylorpolynom eindeutig, denn
p(x) = |α|≤k aα · xα mit aα ∈ Rm ein Polynom mit Dα p (0) = Dα f (u) für
alle α mit |α| ≤ k , so ist
Dα p (0)
Dα f (u)
=
= aα .
α!
α!
Rechenregeln für Taylorpolynome
Analog zum Fall n = m = 1 leiten wir die folgenden Rechenregeln ab.
Satz X.3.8. Sei U ⊆ Rn offen und u ∈ U .
(a) Sind f, g ∈ C k (U, Rm ), λ, µ ∈ R und u ∈ U , so gilt
Tuk (λf + µg) = λTuk (f ) + µTuk (g).
(b) Ist f ∈ C k (U ) und g ∈ C k (U, Rm ), so gilt die Produktregel:
Tuk (f · g) = T0k Tuk (f ) · Tuk (g) .
(c) Ist V ⊆ Rm offen und g ∈ C k (U, Rm ) mit g(U ) ⊆ V sowie f ∈ C k (V, R` ),
so gilt für g(u) = v die allgemeine Kettenregel
Tuk (f ◦ g) = T0k Tvk (f ) ◦ (Tuk (g) − v) .
Beweis.
(a) Dies folgt aus der Linearität der Abbildungen
Dα : C k (U, Rm ) → C k−|α| (U, Rm ).
(b) Nach Verschieben um u dürfen wir o.B.d.A. u = 0 annehmen. Wir setzen
k
α
k
ϕ(x) :=
f (x) − T0 (f )(x) und ψ(x) := g(x) − T0 (g)(x) . Dann ist D ϕ (0) =
α
D ψ (0) = 0 für alle α mit |α| ≤ k und
(3.1)
(f · g)(x) = T0k (f )(x) · T0k (g)(x) + ϕ(x) · T0k (g)(x) + f (x) · ψ(x).
210
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Wir erinnern uns nun an die Leibnizformel
[n]
(h1 · h2 )
=
n X
n
k=0
k
[k]
[n−k]
h1 · h2
für die Ableitung von Produkten von Funktionen einer Veränderlichen
(Satz VII.2.1). Diese Formel lässt sich leicht auf den Fall von mehreren Veränderlichen verallgemeinern:
α1
X
αn X
α1
αn
D (h1 · h2 ) =
···
···
Dβ (h1 )Dα−β (h2 )
β1
βn
β1 =0
βn =0
X α
=
Dβ (h1 )Dα−β (h2 ),
β
α
(3.2)
β≤α
α
indem man die Faktoren Dj j von Dα nacheinander anwendet. An (3.2) lesen
wir nun unmittelbar ab, dass
Dα (ϕ · T0k (g))(0) = Dα (f · ψ)(0) = 0
für alle α mit |α| ≤ k gilt, d.h., die Restglieder in (3.1) liefern keinen Beitrag
zum k -ten Taylorpolynom. Also gilt (b).
(c) Nach Ersetzen von g durch die Funktion ge(x) := g(u + x) − v und f durch
die Funktion fe(x) := f (v + x) , dürfen wir o.B.d.A. annehmen, dass u = v = 0
ist, denn die verschobenen Funktionen haben, bis auf den konstanten Term, die
gleichen Taylorpolynome. Insbesondere ist dann g(0) = 0 . Nun vereinfacht sich
die Behauptung zu
T0k (f ◦ g) = T0k T0k (f ) ◦ T0k (g) .
Fall 1: Wir zeigen zuerst durch Induktion nach k , dass aus T0k (f ) = 0 schon
T0k (f ◦ g) = 0 folgt.
Für k = 0 folgt dies aus (f ◦ g)(0) = f (g(0)) = f (0) = 0 .
Wir nehmen nun an, dass die Behauptung für k − 1 gilt, d.h., T0k−1 (fe) = 0
impliziert T0k−1 (fe ◦ g) = 0 für C k−1 -Funktionen fe ∈ C k−1 (V, R` ) . Ist nun
|α| = k und αj > 0 , so erhalten wir mit der Kettenregel (Bemerkung X.2.10b)
und der Leibnizformel:
α
D (f ◦ g)(0) = D
α−ej
Dj (f ◦ g)(0) =
n
X
Dα−ej (Di (f ) ◦ g) · Dj (gi ) (0)
i=1
=
n
X
X α − ej Dβ (Di (f ) ◦ g)(0) ·Dα−β (gi )(0),
{z
}
|
β
i=1 β≤α−ej
=0
denn wir können die Induktionsvoraussetzung auf die Funktionen Di (f ) anwenden, deren partielle Ableitungen bis zur Ordnung k−1 in 0 verschwinden. Damit
X.3. Höhere partielle Ableitungen und Taylorentwicklung
211
ist Dα (f ◦ g)(0) = 0 . Für |α| < k folgt Dα (f ◦ g)(0) = 0 ohnehin aus der Induktionsvoraussetzung. Daher ist T0k (f ◦ g) = 0 . Wir haben also
0 = T0k (f ◦ g) = T0k T0k (f ) ◦T0k (g)
| {z }
=0
gezeigt.
Fall 2: Allgemein setzen wir ϕ := f − T0k (f ) und beachten T0k (ϕ) = 0 . Dann
können wir (1) anwenden und erhalten mit Fall 1:
T0k (f ◦ g) = T0k T0k (f ) ◦ g + ϕ ◦ g = T0k T0k (f ) ◦ g .
Da T0k (f ) ein Polynom ist, erhalten wir durch mehrmaliges Anwenden von (a)
und (b):
T0k (f ◦ g) = T0k T0k (f ) ◦ T0k (g) .
Beispiel X.3.9.
Gesucht sei das Taylorpolynom T02 (f ) der Funktion
f : R2 → R,
2
f (x1 , x2 ) = ex1 +cos x2 .
Wir wollen die allgemeine Kettenregel Satz X.3.8(c) anwenden und schreiben
dazu f = g ◦ h für
g: R → R,
g(x) = ex
und
h: R2 → R,
h(x1 , x2 ) = x21 + cos x2 .
In unserem Fall ist u = (0, 0) und v = h(u) = 1 . Wir haben also
T02 (f ) = T02 T12 (g) ◦ (T02 (h) − 1) .
Über die Reihenentwicklung der Kosinusfunktion erhalten wir direkt
T02 (h)(x) = x21 + 1 −
x22
,
2
denn alle Terme höherer Ordnung tragen nichts zu den Ableitungen bis zur
Ordnung 2 in 0 bei. Weiter ist
1
1
T12 (g)(y) = g(1) + g 0 (1)y + g 00 (1) = e + ey + ey 2 .
2
2
Wir erhalten also
1
1
T12 (g) ◦ (T02 (h) − 1) = e + e(x21 − x22 ) + e2 (x21 − x22 )2 .
2
2
Das Taylorpolynom der Ordnung 2 von diesem Polynom an der Stelle u = 0
erhalten wir durch Weglassen der Terme höherer Ordnung:
1
T02 (f )(x) = T02 T02 (g) ◦ (T12 (h) − 1) (x) = e + e(x21 − x22 ).
2
212
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Bemerkung X.3.10. Sei U ⊆ Rn offen und f ∈ C k (U ) . Weiter sei x + sh ∈
U für s ∈ [0, 1]. Wir betrachten die Funktion g: [0, 1] → Rn , s 7→ x + sh. Für
k ≥ 1 und τ ∈ [0, 1] gilt dann Tτk (g)(t) = g(τ ) + t · h , also Tτk (g)(t) − g(τ ) = t · h .
k
Mit Satz X.3.8(c) und der Tatsache, dass Tg(τ
) (f )(th) schon ein Polynom der
Ordnung ≤ k in t ist, erhalten wir
X (Dα f )(g(τ ))
k
k
(f
)(th)
=
T
(f
)(th)
=
hα · t|α| .
Tτk (f ◦ g)(t) = T0k Tg(τ
)
g(τ )
α!
|α|≤k
Aus
Tτk (f
k
X
(f ◦ g)[m] (τ ) m
t
◦ g)(t) =
m!
m=0
(der Formel für das Taylorpolynom von f ◦ g: D → R ) folgt daher durch Koeffizientenvergleich
(3.3)
Dα f (x + τ h) α
h .
α!
X
1 dm (f ◦ g)[m] (τ )
f
(x
+
sh)
=
=
m!
m! dsm s=τ
|α|=m
Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns der Taylorschen Formel zu,
die angibt, wie gut eine Funktion durch ihr Taylorpolynom der Ordnung k
approximiert wird. Die wesentliche Idee ist, dass wir die Taylorformel für eine
Veränderliche auf die Verbindungsstrecke von x und x + h anwenden.
Satz von Taylor
Satz X.3.11. Sei U ⊆ Rn offen, f ∈ C k+1 (U ), und die Verbindungsstrecke
{x + sh | 0 ≤ s ≤ 1} sei in U enthalten. Dann existiert ein θ ∈ ]0, 1[ mit
f (x + h) = Txk (f )(h) +
X
|α|=k+1
Dα f (x + θh) α
h .
α!
Beweis. Sei ϕ(s) := f (x + sh) für 0 ≤ s ≤ 1 . Dann besagt die Taylorformel
mit der Restglieddarstellung nach Lagrange (VII.1.6)
ϕ(1) =
k
X
1 [j]
1
ϕ (0) +
ϕ[k+1] (θ)
j!
(k
+
1)!
j=0
für ein θ ∈ ]0, 1[. Setzen wir (3.3) hier ein, so ergibt sich
f (x + h) = ϕ(1) =
X
|α|≤k
Dα f (x) α
h +
α!
X
|α|=k+1
Dα f (x + θh) α
h .
α!
213
X.4. Das lokale Verhalten von Funktionen
Satz X.3.12.
(Restgliedabschätzung) Für f ∈ C k+1 (U ) gilt
f (x + h) = Txk+1 (f )(h) + ϕ(h)
ϕ(h)
= 0.
h→0 khkk+1
mit
lim
Beweis. Da U offen ist, dürfen wir annehmen, daß Uε (x) ⊆ U ist und khk < ε.
Nach Satz X.3.11 gilt für ein τ ∈]0, 1[ :
ϕ(h) := f (x + h) − Txk+1 (f )(h) = f (x + h) − Txk (f )(h) −
X
|α|=k+1
X
=
|α|=k+1
(Dα f )(x) α
h
α!
Dα f (x + τ h) − Dα f (x) α
h .
α!
Wegen |hj | ≤ khk = khk2 erhalten wir
|hα | = |h1 |α1 · . . . · |hn |αn ≤ khkα1 +...+αn = khk|α| = khkk+1
und daher
|hα |
khkk+1
≤ 1 . Der Ausdruck
Dα f (x + τ h) − Dα f (x)
α!
in der obigen Summe geht für h → 0 gegen Null, da f ∈ C k+1 (U ) ist. Hiermit
ϕ(h)
erhalten wir limh→0 khk
k+1 = 0 .
Man beachte, dass diese Restgliedabschätzung die Approximation
f (x + h) = f (x) + df (x)(h) + ϕ(x)
mit
ϕ(h)
−→ 0
khk
verallgemeinert, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist. In der Tat erhalten
wir für k = 0 das Taylorpolynom
Tx1 (f )(h)
= f (x) + df (x)(h) = f (x) +
n
X
(Di f )(x)hi .
j=1
X.4. Das lokale Verhalten von Funktionen
In diesem Abschnitt werden wir Extrema von differenzierbaren reellwertigen
Funktionen studieren, die auf offenen Teilmengen des Rn definiert sind. Wir
werden hierbei sehen, dass das Verhalten der Funktion in Bezug auf Extrema im
wesentlichen durch das Taylorpolynom zweiter Ordnung bestimmt wird.
214
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Sei U ⊆ Rn eine offene Teilmenge und f ∈ C 2 (U, R) . Dann ist das
Taylorpolynom zweiter Ordnung in u ∈ U gegeben durch
Tu2 (f )(x)
= f (u) +
= f (u) +
n
X
i=1
n
X
i=1
n
1 X
Di Dj f (u)xi xj
Di f (u) · xi +
2 i,j=1
n
∂f
1 X ∂2f
(u) · xi +
(u)xi xj .
∂xi
2 i,j=1 ∂xi ∂xj
Hierbei beachten wir, dass jeder Multiindex α vom Grad 1 die Gestalt
(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
(eine 1 an der i-ten Stelle) besitzt. Multiindizes vom Grad haben die Gestalt
(0, . . . , 0, 2, 0, . . . , 0)
oder (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0).
In diesem Abschnitt werden wir das Taylorpolynom der Ordnung 2 einer
Funktion verwenden, um ihr lokales Verhalten zu beschreiben.
Definition X.4.1.
Ist f ∈ C 2 (U, R) und u ∈ U , so heißt
2
∂ f
Hu (f ) :=
(u)
∂xi ∂xj
i,j=1,...,n
die Hessematrix von f in u . Nach dem Satz von Schwarz ist Hu (f ) eine
symmetrische Matrix. Die Abbildung
e u (f ) : Rn → R, x 7→ hHu (f )x, xi =
H
n
X
∂2f
(u)xi xj
∂x
∂x
i
j
i,j=1
heißt Hesseform von f in u . Sie ist eine quadratische Form auf Rn .
Mit der obigen Definition gilt für das Taylorpolynom zweiter Ordnung einer
Funktion f ∈ C 2 (U, R)
e u (f )(h) = f (u) + Ju (f )h + 1 h> Hu (f )h
Tu2 (f )(h) = f (u) + df (u)(h) + 12 H
2
und f (u + h) = Tu2 (f )(h) + ϕ(h) mit
|ϕ(h)|
khk2
−→ 0 für h → 0 (vgl. X.3.11).
Definition X.4.2.
Sei U ⊆ Rn offen und f ∈ C 1 (U ) . Ein Punkt u ∈ U
heißt kritischer Punkt, wenn df (u) = 0 ist. In diesem Fall heißt f (u) kritischer
Wert von f .
Wir beachten, dass u genau dann kritischer Punkt ist, wenn alle partiellen
Ableitungen von f in u verschwinden, d.h.
D1 (f )(u) = . . . = Dn (f )(u) = 0
gilt.
X.4. Das lokale Verhalten von Funktionen
215
Definition X.4.3. Sei f : U → R differenzierbar.
(a) Ein Punkt u ∈ U heißt ein (isoliertes) lokales Maximum von f , wenn ein
ε > 0 so existiert, dass Uε (u) ⊆ U und f (u + h) ≤ f (u) (f (u + h) < f (u) ) für
alle h mit 0 6= khk < ε gilt. Der Begriff des (isolierten) lokalen Minimums wird
analog definiert. Die Funktion f hat in u ein lokales Extremum, wenn sie in u
ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum hat.
(b) Der Punkt u heißt globales Maximum bzw. globales Minimum, falls für alle
v ∈ U gilt f (v) ≤ f (u) (bzw. f (v) ≥ f (u) ).
Notwendige Bedingung für Extrema
Lemma X.4.4. Hat f ∈ C 1 (U ) in u ein lokales Extremum, so ist u ein
kritischer Punkt.
Beweis. Sei u ∈ U ein lokales Extremum von f und v ∈ Rn . Wir haben zu
zeigen, dass df (u)(v) = 0 gilt. Hierzu wählen wir δ > 0 so klein, dass u+tv ∈ U
für |t| ≤ δ gilt (die Existenz folgt aus der Offenheit von U ). Wir betrachten nun
die Funktion
ϕv : [−δ, δ] → R, t 7→ f (u + tv).
Diese Funktion hat im Nullpunkt ein lokales Extremum und daher ist
0 = ϕ0v (0) = df (u)(v).
Beispiel X.4.5.
(a) Sei f : R2 → R, f (x, y) = x2 + y 2 . Dann ist
∇f (x, y) = (2x, 2y) = 0
genau dann, wenn (x, y) = (0, 0) ist. Daher ist der Nullpunkt der einzige kritische
Punkt, und es liegt dort ein globales Minimum vor.
(b) Genauso hat die Funktion f (x, y) = −x2 − y 2 im Nullpunkt ein globales
Maximum.
(c) Die Funktion f : R2 → R, (x, y) 7→ x2 − y 2 hat zwar in (0, 0) einen kritischen Punkt, aber trotzdem kein Extremum. Der Nullpunkt ist ein sogenannter
Sattelpunkt.
Definition X.4.6.
(Wiederholung aus der linearen Algebra) Sei A eine
symmetrische (n × n) -Matrix.
(a) A heißt positiv definit, wenn hAx, xi > 0 für alle x 6= 0 gilt.
(b) A heißt positiv semidefinit, wenn hAx, xi ≥ 0 für alle x ∈ Rn gilt.
(c) A heißt negativ (semi-)definit, wenn −A positiv (semi-)definit ist.
(d) A heißt indefinit, wenn es x, y ∈ Rn gibt, so dass hAx, xi > 0 und
hAy, yi < 0 gelten.
216
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Hauptachsentransformation
Bemerkung X.4.7.
(a) Zu jeder symmetrischen Matrix A existiert eine
Orthonormalbasis v1 , . . . , vn von Rn aus Eigenvektoren von A ,P
d.h., dass für
n
jedes j = 1, . . . , n ein λj ∈ R mit Avj = λj vj existiert. Für x = j=1 xj vj gilt
dann
n
X
hAx, xi =
x2j λj .
j=1
Daraus folgt, dass A genau dann positiv (semi-)definit ist, wenn alle Eigenwerte
λj > 0 ( λj ≥ 0 ) sind. Die Matrix ist genau dann indefinit, wenn es sowohl
positive als auch negative Eigenwerte gibt.
(b) Ist A eine positiv definite symmetrische Matrix und B ∈ GLn (R) eine
invertierbare Matrix, so ist A genau dann positiv definit, wenn B > AB positiv
definit ist. Für v ∈ Rn haben wir nämlich
hB > ABv, vi = hABv, Bvi,
und da Multiplikation mit B bijektiv ist, ist dieser Ausdruck genau dann für all
0 6= v ∈ Rn positiv, wenn hA.w, wi > 0 für alle 0 6= w ∈ Rn gilt. Also ist A
genau dann positiv definit, wenn dies für B > AB der Fall ist.
Hurwitzkriterium
Satz X.4.8. 1 Eine symmetrische n × n -Matrix A ist genau dann positiv
definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind, d.h. wenn für alle k ∈ {1, . . . , n}
gilt


a11 . . . a1k
.
.. 
det  ..
> 0.
.
ak1
Beweis.
...
akk
Für k ≤ n setzen wir
a11
.
Ak :=  ..
ak1

...

a1k
.. 
.
.
...
akk
Notwendigkeit der Bedingung: Ist A positiv definit, so sind auch alle Matrizen Ak positiv definit. In der Tat, für 0 6= x ∈ Rk sei x
e = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0)
n
der zugehörige Vektor im R . Dann ist
hAk x, xi = hAe
x, x
ei > 0.
1
Adolf Hurwitz (1859–1919), deutscher Mathematiker. Er studierte bei Felix Klein in
München und bei Kummer, Kronecker und Weierstraß in Berlin. Professor in Königsberg und
Zürich. Er beschäftigte sich vor allem mit Zahlentheorie, aber auch mit Funktionentheorie, wo
er das Geschlecht von Riemannschen Flächen untersuchte. Nach ihm sind z.B. das Hurwitzpolynom und das Hurwitzkriterium aus der Stabilitätstheorie dynamischer Systeme benannt; Satz
X.4.8 ist eine Variation davon.
217
X.4. Das lokale Verhalten von Funktionen
Insbesondere sind dann alle Eigenwerte von Ak positiv, also auch det Ak > 0 .
Die Bedingung ist hinreichend: Wir zeigen dies durch Induktion nach n .
Für n = 1 ist die Behauptung trivial. Sei nun n > 1 . Nach Induktionsvoraussetzung ist die Matrix An−1 dann positiv definit. Also existiert eine orthogonale
(n − 1) × (n − 1) -Matrix S (d.h. SS > = S > S = 1) mit


α1 . . .
0
.
.. 
S > An−1 S =  ..
, α1 , . . . , αn−1 > 0.
.
0 . . . αn−1
Sei Se die n × n -Matrix, die durch
Se =
S
0
0
1
gegeben ist. Dann ist Se ebenfalls orthogonal und wir erhalten


α1 . . .
0
b1
..
.. 
 ..
.
.
. .
B := Se> ASe = 
 0 ... α
bn−1 
n−1
b1 . . . bn−1
bn
Nach Voraussetzung ist det B = det A > 0 . Wir setzen


1 ... 0
c1
..
.. 
 ..
.
.
.  mit cj := − bj
T := 

0 ... 1 c
αj
n−1
0 ... 0
1
und erhalten
α1
 ..
.
C := T > BT = 
 0

0
...
0
..
.

0
.. 
. 
0 
. . . αn−1
...
0
mit
αn = bn −
b2
b21
− . . . − n−1 .
α1
αn−1
αn
Wegen det T = 1 ist die Determinante dieser Matrix α1 · · · αn positiv und somit
e )> AST
e positiv definit und somit auch A
αn > 0 . Daher ist die Matrix C = (ST
(Bemerkung X.4.7(b)).
Das Hurwitzkriterium lässt sich nicht analog zu einem Kriterium für die
positive Semidefinitheit verallgemeinern. Für die Matrix


0 0 0
A = 0 0 0 
0 0 −1
gilt
det(0) ≥ 0,
det
0
0
0
0
≥0
und
det A ≥ 0,
aber A ist nicht positiv semidefinit.
Der Vorteil des Hurwitzkriteriums ist, dass man die Eigenwerte nicht kennen muss, um auszurechnen, ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist.
218
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Folgerung X.4.9. Sei A = (aij ) eine symmetrische (2 × 2)-Matrix.
(1) Ist det A < 0, so ist A indefinit.
(2) Ist det A > 0 und a11 > 0 , so ist A positiv definit.
(3) Ist det A > 0 und a11 < 0 , so ist A negativ definit.
Beweis. (1) Ist det(A) < 0 , so haben die beiden Eigenwerte von A verschiedene Vorzeichen. Also ist A indefinit.
(2), (3) folgen direkt aus dem Hurwitzkriterium.
Hinreichende Bedingung für Extrema
Satz X.4.10. Sei U ⊆ Rn eine offene Menge, f ∈ C 2 (U, R) und x ∈ U ein
kritischer Punkt von f . Dann gilt:
(a) Ist die Hessematrix Hx (f ) positiv definit, so ist x ein isoliertes lokales
Minimum.
(b) Ist Hx (f ) negativ definit, so ist x ein isoliertes lokales Maximum.
(c) Ist Hx (f ) indefinit, so handelt es sich bei x nicht um einen Extremalpunkt.
Kritische Punkte, die keine lokalen Extrema sind, nennt man Sattelpunkte.
Beweis.
Nach Definition X.4.1 gilt
1
f (x + h) = f (x) + df (x)(h) + hHx (f )(h), hi + ϕ(h)
2
1
= f (x) + hHx (f )(h), hi + ϕ(h)
2
ϕ(h)
mit limh→0 khk
2 = 0 . Zu jedem ε > 0 existiert also ein δ > 0 mit Uδ (x) ⊆ U
und |ϕ(h)| ≤ ε · khk2 für alle h mit khk < δ .
(a) Sei A := 21 Hx (f ) positiv definit und λ1 > 0 der kleinste Eigenwert
Pn von A.
Ist v1 , . . . , vn eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und h = j=1 hj vj , so
ist
n
X
hAh, hi =
|hj |2 λj ≥ λ1 khk2
j=1
für alle h ∈ Rn . Sei nun ε :=
λ1
2
und δ wie oben. Für khk < δ gilt dann
f (x + h) = f (x) + hAh, hi + ϕ(h)
λ1
λ1
≥ f (x) + λ1 khk2 − khk2 = f (x) + khk2 .
2
2
Also ist x ein isoliertes lokales Minimum.
(b) Wende (a) auf −f an.
(c) Ist v ∈ Rn ein Vektor mit hAv, vi > 0 , so ist
f (x + tv) = f (x) + t2 hAv, vi + ϕ(tv) mit
ϕ(tv)
−→ 0.
t2 t→0
Ist t so klein, dass ϕ(tv)
> −hAv, vi gilt, so ist f (x + tv) > f (x) . Analog
t2
zeigt man für einen Vektor w mit hAw, wi < 0 die Existenz eines δ > 0 mit
f (x + tw) < f (x) für |t| < δ . Folglich ist x ein Sattelpunkt.
219
X.4. Das lokale Verhalten von Funktionen
Aus dem Beweis von (c) erhalten wir eine wichtige Folgerung, die wir als
notwendige Bedingung für Extrema verstehen können:
Folgerung X.4.11. Sei U ⊆ Rn eine offene Menge, f ∈ C 2 (U, R) und x ∈ U
ein kritischer Punkt von f . Dann gilt:
(a) Ist x ein lokales Minimum, so ist Hx (f ) positiv semidefinit.
(b) Ist x ein lokales Maximum, so ist Hx (f ) negativ semidefinit.
Beweis. (a) Ist Hx (f ) nicht positiv semidefinit und hHx (f )v, vi < 0 , so
folgt aus dem Beweis von Satz X.4.10(c) die Existenz eines δ > 0 , so dass
f (x + tv) < f (x) für alle t mit |t| < δ gilt. Also kann x kein lokales Minimum
sein.
(b) Wir wenden (a) auf −f an.
Bemerkung X.4.12.
Ist die Hessematrix semidefinit, so lassen sich keine
allgemeinen Aussagen machen. Die Funktionen fj : R2 → R :
f1 (x, y) = x2 + y 4 ,
f2 (x, y) = x2
f3 (x, y) = x2 + y 3
und
besitzen alle im Nullpunkt die Hessematrix
H0 (f1 ) = H0 (f2 ) = H0 (f3 ) =
2
0
0
0
.
Die Funktion f1 hat im Nullpunkt ein isoliertes Minimum; f2 hat dort ein (nichtisoliertes) Minimum, und f3 besitzt kein Extremum.
Beispiel X.4.13.
Wir wollen für die Funktion
f : R2 → R, f (x, y) = 3x + 4y + sin(xy) 2x + y − (cos x)(1 − cos y)
das lokale Verhalten im Nullpunkt bestimmen. Dazu berechnen wir ihr Taylorpolynom der Ordnung 2 (siehe die Bemerkung unten):
T02 (f )(x, y)
x2
y 2 =
3x + 4y + xy 2x + y − (1 − )(1 − (1 − ))
2
2
= (3x + 4y)(2x + y) = 6x2 + 8xy + 3xy + 4y 2 = 6x2 + 11xy + 4y 2 ,
T02
d.h., die Hessematrix ergibt sich zu
H0 (f ) =
12
11
11
8
.
Daher ist der Nullpunkt wegen 12 > 0 und det H0 (f ) = 96 − 121 < 0 ein
Sattelpunkt.
Bemerkung zur Berechnung der Taylorpolynome: Zunächst wissen wir, dass
die Funktion sin sich auf R durch eine Potenzreihe darstellen lässt:
∞
X
(−1)k 2k+1
x
.
sin x =
(2k + 1)!
k=0
220
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Da sich konvergente Potenzreihen gliedweise differenzieren lassen, stimmt diese
Reihe mit der Taylorreihe T0 (sin) überein.
Betrachten wir nun die Funktion f : R2 → R, f (x, y) = sin(xy) , so ist f
beliebig oft partiell differenzierbar und hat die Reihenentwicklung
(†)
∞
X
(−1)k 2k+1 2k+1
x
y
.
f (x, y) =
(2k + 1)!
k=0
Halten wir jeweils x oder y fest, so ergibt sich eine überall konvergente Potenzreihe in einer Variablen, die wir gemäß Satz VI.5.3 gliedweise differenzieren
dürfen. Wir erhalten daher sukzessive für die partiellen Ableitungen:
∞
X
(−1)k
=
D1m (x2k+1 )D2k (y 2k+1 ).
(2k + 1)!
D1m D2k f (x, y)
k=0
Hieraus erkennen wir insbesondere, dass († ) mit der Taylorreihe der Funktion f
übereinstimmt. Insbesondere ist
T02 (f )(x, y) = xy,
was wir oben verwendet haben. Alternativ kann man mit der Kettenregel für
Taylorpolynome argumentieren (Satz X.3.8(c)).
X.5. Vertauschbarkeit von Ableitung und Integral
In diesem kurzen Abschnitt lernen wir eine wichtige Rechenmethode kennen,
die das Vertauschen von Ableiten und Integration betrifft, sofern verschiedene
Variablen betroffen sind.
Satz X.5.1. Sei U ⊆ Rn eine offene Menge und D = [a, b] ⊆ R ein Intervall.
Die Funktion f : D × U → R sei stetig. Dann ist die Funktion
b
Z
F : U → R, x 7→
f (t, x) dt
a
∂f
: D × U → R , i = 1, . . . , n , so ist
stetig. Hat f stetige partielle Ableitungen ∂x
i
auch F stetig nach xi differenzierbar, und es gilt
∂
∂xi
Z
b
Z
f (t, x) dt =
a
a
b
∂f
(t, x) dt.
∂xi
Beweis. (a) Sei x ∈ U . Da U offen ist, existiert ein r > 0 mit U2r (x) ⊆ U .
Die Menge
D × Ur (x) = D × {y ∈ Rn : ky − xk ≤ r} ⊆ Rn+1
X.5. Vertauschbarkeit von Ableitung und Integral
221
ist nach dem Satz von Heine–Borel kompakt, denn sie ist abgeschlossen und
beschränkt, also ist f auf D × Ur (x) gleichmäßig stetig (Satz IX.3.19). Zu
jedem ε > 0 existiert also ein δ ∈]0, r[ mit
|f (t, x + h) − f (t, x)| <
ε
für alle h mit khk < δ.
b−a
Es folgt
b
Z
|F (x + h) − F (x)| ≤
|f (t, x + h) − f (t, x)| dt ≤
a
ε
(b − a) = ε
b−a
für alle h mit khk < δ , d.h., F ist stetig.
(b) Für x ∈ U und h ∈ R mit x + hei ∈ U definieren wir
(
f (t,x+hei )−f (t,x)
, falls h 6= 0
h
g(t, x, h) :=
∂f
falls h = 0.
∂xi (t, x),
Wir behaupten, dass diese Funktion auf der Menge
e := {(t, x, h) ∈ D × U × R: x + hei ⊆ U }
U
stetig ist. In allen Punkten (x, y, h) mit h 6= 0 ist dies klar. Wir müssen die
Stetigkeit also nur in den Punkten der Gestalt (x, y, 0) nachweisen. Nach dem
Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist
f (t, x + hei ) − f (t, x)
∂f
=
(t, x + ϑh hei )
h
∂xi
für ein ϑh ∈]0, 1[, falls x + [0, 1]hei ⊆ U ist. Gilt (tn , xn , hn ) → (t0 , x0 , 0) , so
auch ϑhn hn −→ 0 . Für ausreichend große n ist xn + [0, 1]hn ⊆ U . Für solche
n erhalten wir daher
∂f
f (tn , xn + hn ei ) − f (tn , xn )
=
(tn , xn + ϑn hn ei )
h
∂xi
∂f
−→
(t0 , x0 ) = g(t0 , x0 , 0),
∂xi
g(tn , xn , hn ) =
d.h., die Funktion g ist stetig. Es gilt also wegen (a)
Z b
Z b
Z b
∂F
∂f
(a)
(x) = lim
g(t, x, h) dt =
g(t, x, 0) dt =
(t, x) dt,
h→0
∂xi
a
a
a ∂xi
h6=0
und diese Funktion hängt nach dem ersten Teil stetig von x ab.
Bemerkung X.5.2.
so sieht man induktiv
Hat f stetige partielle Ableitungen der Ordnung ≤ k ,
α
Z
D F (x) =
b
D(0,α) f (t, x) dt
a
für alle |α| ≤ k , wobei (0, α) = (0, α1 , . . . , αn ) ∈ Nn+1
ist.
0
222
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
X.6. Kurvenintegrale und Pfaffsche Formen
In diesem Abschnitt lernen wir eine neue Variation zu dem Thema Kurvenintegrale kennen. Die Kurvenintegrale, die wir in Abschnitt X.1 behandelt haben,
waren von dem Typ
Z
Z b
f (γ(t))kγ̇(t)k dt,
f=
a
γ
wobei γ: [a, b] → Rn eine Kurve war. Der Nachteil dieser Kurvenintegrale ist,
dass hier der Geschwindigkeitsvektor der Kurve nur als Skalar eingeht und nicht
als vektorielle Größe. Will man zum Beispiel die Arbeit modellieren, die man
entlang eines Weges in einem Kraftfeld verrichtet, so sollte das Ergebnis eine
skalare Größe sein, auch wenn das Kraftfeld eine vektorielle Funktion ist. Den
angemessenen Rahmen für solche Integrale bildet der Kalkül der Differentialformen. Die Differentialformen, die bei den Kurvenintegralen auftreten, nennt
man Pfaffsche Formen bzw. Differentialformen erster Ordnung oder 1 -Formen.
Mit ihnen lässt sich zum Beispiel die Frage danach, ob ein gegebenes Vektorfeld
ein Gradient einer Funktion ist, in der ihr angemessenen Allgemeinheit diskutieren. In der Sprache der Pfaffschen Formen ist es die Frage nach der Existenz
einer Stammfunktion einer gegebenen Pfaffschen Form. Diese wiederum lässt sich
durch das Verschwinden von Integralen der Pfaffschen Form entlang geschlossener
Wege charakterisieren.
Definition X.6.1. Sei U ⊆ Rn offen.
(a) Eine Pfaffsche Form auf U ist eine Funktion
ω: U → Hom(Rn , R),
d.h., für jedes x ∈ U ist ω(x): Rn → R eine lineare Abbildung. Wir schreiben
Ω1 (U ) für den Raum der Pfaffschen Formen auf U .
Um die (1 × n) -Matrix zu erhalten, die die lineare Abbildung ω(p) bzgl.
der kanonischen Basis des Rn darstellt, betrachten wir die Funktionen
fj : U → R,
fj (p) := ω(p)(ej )
und erhalten die darstellende Zeilenmatrix ( f1 (p), · · · , fn (p) ) .
(b) Jeder differenzierbaren Funktion F : U → R können wir eine Pfaffsche Form
zuordnen, denn die Ableitung
dF : U → Hom(Rn , R)
ordnet jedem Punkt x ∈ U eine lineare Abbildung dF (x): Rn → R zu. Die
Pfaffsche Form dF nennen wir das totale Differential von F .
X.6. Kurvenintegrale und Pfaffsche Formen
223
(c) Ist γ: [a, b] → U eine stetig differenzierbare Kurve und ω auf U eine stetige
Pfaffsche Form mit den Komponentenfunktionen fj (x) := ω(x)(ej ) , so definieren
wir das Integral von ω über γ wir folgt:
Z
Z b
Z bX
n
ω :=
ω γ(t) γ̇(t) dt =
fj γ(t) γj0 (t) dt.
γ
a
a j=1
Ist γ lediglich stückweise stetig differenzierbar und
a = x0 < x1 < . . . < xm = b
eine Unterteilung, so dass die Wege
γj := γ |[xj ,xj+1 ] : [xj , xj+1 ] → U
stetig differenzierbar sind, so definieren wir
Z
m−1
XZ
ω :=
γ
j=0
ω.
γj
Möchte man konkret mit Pfaffschen Formen rechnen, so erweist es sich als
praktisch, sie in den natürlichen Koordinaten des Rn zu beschreiben. Für jedes
j ∈ {1, . . . , n} betrachten wir dazu die Funktion
xj : Rn → R,
p = (p1 , . . . , pn ) 7→ pj .
Da xj stetig differenzierbar ist, erhalten wir Pfaffsche Formen dxj ∈ Ω1 (Rn ) ,
j = 1, . . . , n . Für jedes p ∈ Rn ist dann
dxj (p)(h) = hj ,
d.h., dxj : Rn → Hom(Rn , R) ist die konstante Abbildung, die jedem p die
lineare Abbildung xj zuordnet. In diesem Sinn haben wir dxj (p) = xj für
alle p ∈ Rn . Es ist klar, dass die linearen Abbildungen x1 , . . . , xn eine Basis des
n -dimensionalen Vektorraums Hom(Rn , R) bilden.
Ist nun ω ∈ Ω1 (U ) eine Pfaffsche Form und definieren wir die Funktionen
fj : U → R durch fj (p) := ω(p)(ej ) , so erhalten wir für jedes p ∈ U :
ω(p) =
n
X
fj (p) · dxj (p),
j=1
also
(6.1)
ω=
n
X
fj dxj .
j=1
Wir können daher jede Pfaffsche Form wie in (6.1) darstellen, und diese Darstellung ist eindeutig.
Ist ω = dF das totale Differential einer stetig differenzierbaren Funktion,
so erhalten wir insbesondere
n
X
∂F
dxj
(6.2)
dF (x) =
∂xj
j=1
(man vergleiche dies mit der Kettenregel).
224
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Verhalten bei Parametertransformation
Natürlich müssen wir uns überlegen, in welcher Form das Integral einer
Pfaffschen Form über eine Kurve von ihrer Parametrisierung abhängt.
P
Sei ω = j fj dxj eine stetige Pfaffsche Form in der offenen Menge U ⊆ Rn
und γ: [a, b] → U eine stetig differenzierbare Kurve. Weiter sei ϕ: [c, d] → [a, b]
stetig differenzierbar mit ϕ(c) = a und ϕ(d) = b . Dann ist γ ◦ ϕ: [c, d] → U
ebenfalls eine stetig differenzierbare Kurve mit dem gleichen Bild sowie dem
gleichen Anfangs- und Endpunkt wie γ .
Lemma X.6.2.
R
ω=
R
ω (Parametrisierungsinvarianz).
Beweis. Nach der Kettenregel gilt (γ ◦ ϕ)0 (t) = ϕ0 (t)γ 0 ϕ(t) . Aus der Transformationsformel für eindimensionale Integrale (Substitutionsregel) ergibt sich
daher
Z
Z d
ω γ ◦ ϕ(t) (γ ◦ ϕ)0 (t) dt
ω=
γ
γ◦ϕ
γ◦ϕ
c
Z
d
ω γ ϕ(t) γ 0 ϕ(t) ϕ0 (t) dt
=
c
Z
=
b
ω γ(s) γ 0 (s) ds =
a
Z
ω.
γ
Bemerkung X.6.3.
Analog zeigt man, dass für eine stetig differenzierbare
Bijektion ϕ: [c, d] → [a, b] mit ϕ(c) = b und ϕ(d) = a die Beziehung
Z
Z
ω=−
γ◦ϕ
ω
γ
gilt.
Wir stellen hier ein interessantes Phänomen fest: durch die Umkehrung der
Orientierung ändert das Kurvenintegral sein Vorzeichen. Anschaulich bedeutet
dies, dass beim Durchlaufen der Kurve in umgekehrter Richtung das Kurvenintegral sein Vorzeichen umkehrt.
Wir berechnen nun das Kurvenintegral eines totalen Differentials.
Satz X.6.4. Sei U ⊆ Rn offen und F : U → R stetig differenzierbar sowie
γ: [a, b] → U eine stückweise stetig differenzierbare Kurve. Dann gilt
Z
dF = F (γ(b)) − F (γ(a)).
γ
X.6. Kurvenintegrale und Pfaffsche Formen
225
Beweis. Wir nehmen zuerst an, dass γ stetig differenzierbar ist. Aus der
Kettenregel und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt
Z
b
Z
dF γ(t) γ 0 (t) dt =
dF =
γ
a
Z
b
(F ◦ γ)0 (t) dt
a
= (F ◦ γ)(b) − (F ◦ γ)(a) = F (γ(b)) − F (γ(a)).
Der allgemeine Fall eines stückweise stetig differenzierbaren Weges ergibt sich
nun durch Zusammensetzen der einzelnen Integrale, was zu einer Teleskopsumme
führt.
Satz X.6.4 besagt insbesondere, dass das Integral eines totalen Differentials
NUR von Anfangs- und Endpunkt des Weges abhängt. Ist γ ein geschlossener
Weg, d.h. gilt γ(a) = γ(b) , so erhalten wir insbesondere
Z
dF = 0.
γ
Beispiel X.6.5.
In U := R2 \ {0} betrachten wir die Pfaffsche Form
ω(x, y) = −
x2
x
y
dx + 2
dy
2
+y
x + y2
und den geschlossenen Weg
γ: [0, 2π] → U,
t 7→ (cos t, sin t).
Dann ist γ 0 (t) = (− sin t, cos t) und daher
Z
Z
ω=
γ
0
2π
(sin t)2 + (cos t)2
dt =
(sin t)2 + (cos t)2
Z
2π
1 dt = 2π.
0
Wir sehen insbesondere, dass ω kein totales Differential sein kann, da das Integral
über die geschlossene Kurve γ nicht verschwindet.
Ein Einschub über Zusammenhang
In diesem Unterabschnitt werden wir kurz einige Aspekte des Zusammenhangsbegriffs diskutieren.
Definition X.6.6. (a) Ein metrischer Raum (U, d) heißt zusammenhängend,
wenn er nicht disjunkte Vereinigung von zwei offenen nichtleeren Teilmengen ist.
D.h., sind U1 , U2 ⊆ U offen mit
(6.3)
U = U1 ∪ U2
und
U1 ∩ U2 = Ø,
226
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
so ist eine der Mengen Uj leer.
Ist eine Zerlegung wie in (6.3) gegeben, so ist ist U1c = U \ U1 = U2 offen,
also ist U1 auch abgeschlossen. Man überlegt sich leicht, dass die Zerlegungen
wie in (6.3) genau denjenigen Mengen entsprechen, die gleichzeitig offen und
abgeschlossen sind. Triviale Fälle erhalten wir für U1 = Ø oder U1 = U . Der
Raum U ist also genau dann zusammenhängend, wenn Ø und X die einzigen
Teilmengen sind, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind.
(b) Man nennt einen metrischen Raum (U, d) bogenzusammenhängend, wenn für
jedes Paar x, y ∈ U eine stetige Kurve γ: [a, b] → U mit γ(a) = x und γ(b) = y
existiert, d.h., x und y lassen sich durch die Kurve γ verbinden.
Das folgende Lemma ist von grundlegender Bedeutung für die Analysis. Es
liefert eine topologische Charakterisierung der Intervalle in R .
Lemma X.6.7. Eine Teilmenge I ⊆ R ist genau dann zusammenhängend,
wenn sie ein Intervall ist.
Beweis. Ist I kein Intervall, so existieren a < b in I und ein c ∈]a, b[\I . Dann
sind die Mengen
U1 := {x ∈ I: x < c}
und
U2 := {x ∈ I: x > c}
nichtleer, offen und disjunkt mit U1 ∪U2 = I . Also ist I nicht zusammenhängend.
Wir haben noch zu zeigen, dass jedes Intervall zusammenhängend ist. Dazu
argumentieren wir indirekt. Wir nehmen an, dass I = U1 ∪ U2 eine Zerlegung in
zwei nichtleere disjunkte Mengen ist, die in dem metrischen Raum I jeweils offen
sind. Dann existieren a ∈ U1 und b ∈ U2 und wir dürfen o.B.d.A. annehmen,
dass a < b gilt.
Wir betrachten die disjunkten Teilmengen
J1 := U1 ∩ [a, b]
und
J2 := U2 ∩ [a, b]
des Intervalls [a, b]. Wegen [a, b] ⊆ I ist J1 ∪ J2 = [a, b] . Wegen U1 = I \ U2
und U2 = I \ U1 sind die beiden Teilmengen Ui auch abgeschlossen in I , so dass
auch die Teilmengen Ji von [a, b] jeweils offen und abgeschlossen sind.
Sei c := sup J1 . Da J2 in [a, b] offen ist und b enthält, ist c < b.
Andrerseits ist c ∈ J1 , da jede Umgebung von c die Menge J1 schneidet
(vgl. Lemma IX.3.13). Da J1 auch in [a, b] offen ist, existiert ein ε > 0 mit
]c−ε, c+ε[⊆ J1 , im Widerspruch zur Definition von c. Damit ist unser indirekter
Beweis abgeschlossen.
Lemma X.6.8. Ist f : X → Y eine stetige Abbildunge zwischen metrischen
Räumen und X (bogen-)zusammenhängend, so ist auch die Teilmenge f (X) ⊆ Y
(bogen-)zusammenhängend.
Beweis. Bogenzusammenhang: Sei X bogenzusammenhängend und p, q ∈
f (X) . Dann existieren Punkte x, y ∈ X mit f (x) = p und f (y) = q . Aus dem
Bogenzusammenhang von X folgt die Existenz einer stetigen Kurve γ: [a, b] → X
X.6. Kurvenintegrale und Pfaffsche Formen
227
mit γ(a) = x und γ(b) = y . Dann ist f ◦ γ: [a, b] → f (X) eine stetige Kurve,
die p und q verbindet. Also ist f (X) bogenzusammenhängend.
Zusammenhang: Sei X zusammenhängend und seien U1 , U2 ⊆ f (X)
offene Teilmengen mit
f (X) = U1 ∪ U2
und
U1 ∩ U2 = Ø.
Dann sind Oi := f −1 (Ui ) offene Teilmengen von X mit
X = O1 ∪ O2
und
O1 ∩ O2 = Ø.
Da X zusammenhängend ist, ist eine der Mengen Oi leer. Dann ist aber auch
Ui = f (Oi ) leer. Hieraus folgt, dass f (X) zusammenhängend ist.
Lemma X.6.9. Ist (U, d) ein bogenzusammenhängender metrischer Raum, so
ist (U, d) auch zusammenhängend.
Beweis. Sei U = U1 ∪ U2 eine disjunkte Zerlegung in nichtleere offene Teilmengen. Dann existieren x ∈ U1 und y ∈ U2 , und wir finden eine stetige Kurve
γ: [a, b] → U mit γ(a) = x und γ(b) = y . Dann ist
γ([a, b]) = γ([a, b]) ∩ U1 ∪ (γ([a, b]) ∩ U2 )
eine Zerlegung von γ([a, b]) in zwei paarweise disjunkte offene Teilmengen, was
im Widerspruch zum Zusammenhang von γ([a, b]) steht (Lemma X.6.7 und
Lemma X.6.8).
Definition X.6.10. (a) Ist U eine offene Teilmenge von Rn , so ist jede offene
Teilmenge von U auch eine offene Teilmenge von Rn (Nachweis!). D.h., U ist
genau dann zusammenhängend, wenn keine zwei nichtleeren offenen Teilmengen
U1 , U2 ⊆ Rn so existieren, dass
U = U1 ∪ U2
und
U1 ∩ U2 = Ø.
Eine nichtleere offene zusammenhängende Teilmenge U ⊆ Rn nennen wir ein
Gebiet.
(b) Wir nennen eine Teilmenge U ⊆ Rn sternförmig bzgl. p ∈ U , wenn für jeden
Punkt q ∈ U die ganze Verbindungsstrecke
[p, q] := {λp + (1 − λ)q: λ ∈ [0, 1]}
in U liegt.
Ist U sternförmig bzgl. dem Punkt p , so ist U auch wegzusammenhängend,
denn sind x und y Punkte in U , so kann man sie durch eine Kurve verbinden,
die zuerst die Strecke [x, p] und dann die Strecke [p, y] durchläuft (Übung).
(c) Ist U ⊆ Rn konvex, d.h., liegt mit x, y ∈ U auch deren Verbindungsstrecke
[x, y] in U , so ist U sternförmig bzgl. jedem Punkt p ∈ U , insbesondere also
auch zusammenhängend.
(d) Die Menge U :=]0, 1[∪]1, 2[⊆ R ist nicht zusammenhängend.
228
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Lemma X.6.11. Ist U ⊆ Rn ein Gebiet, d.h. offen und zusammenhängend,
sowie x, y ∈ U , so existiert eine stückweise stetig differenzierbare Kurve
γ: [0, 1] → U mit γ(0) = x und γ(1) = y .
Beweis. Wir betrachten die Teilmenge Ux aller Punkte p ∈ U , für die eine
stückweise stetig differenzierbare Kurve
η: [0, 1] → U
mit η(0) = x und η(1) = p existiert.
Ux ist offen: Ist p ∈ Ux , so folgt aus der Offenheit von U die Existenz
eines ε > 0 , so dass die Kugel Uε (p) ganz in U enthalten ist. Sei q ∈ Uε (p)
und η: [0, 1] → U eine stückweise stetig differenzierbare Kurve mit η(0) = x und
η(1) = p . Wir verlängern nun diese Kurve wie folgt:
ηe: [0, 1] → U,
t 7→
η(2t)
für t ∈ [0, 21 ],
p + (2t − 1)(q − p) für t ∈] 12 , 1].
Dann ist ηe eine stückweise stetig differenzierbare Kurve in U , die x mit q
verbindet. Also ist Uε (p) ⊆ Ux , folglich ist Ux offen.
U \Ux ist offen: Ist p 6∈ Ux , so finden wir wie oben ein ε > 0 mit Uε (p) ⊆
U . Wäre ein Punkt q ∈ Uε (p) in der Menge Ux enthalten, so könnten wir die
Kurve von x nach q durch ein Streckenstück, das q in Uε (p) mit p verbindet,
verlängern und würden so wie oben eine stückweise stetig differenzierbare Kurve
von x nach p erhalten, ein Widerspruch. Also ist Uε (p) ganz in U \Ux enthalten
und U \ Ux somit offen.
Nun ist U = Ux ∪ (U \ Ux ) eine Zerlegung von U in zwei offene disjunkte
Teilmengen. Da Ux nicht leer ist und U zusammenhängend, muss U \ Ux leer
sein. Also ist U = Ux . Insbesondere ist y ∈ Ux , und dies war zu zeigen.
Lokal konstante Funktionen
Definition X.6.12.
Eine Funktion f : X → R auf einem metrischen Raum
(X, d) heißt lokal konstant, wenn für jedes p ∈ X ein ε > 0 existiert, so dass f
auf der Kugel Uε (p) konstant ist.
Bemerkung X.6.13. Für eine lokal konstante Funktion ist jede Niveaumenge
f −1 (c) , c ∈ R , offen und wegen
f −1 (c) = X \
[
f −1 (d)
d6=c
auch abgeschlossen.
Hieraus folgt insbesondere, dass auf einem zusammenhängenden metrischen
Raum alle lokal konstanten Funktionen schon konstant sind. Ist umgekehrt
X.6. Kurvenintegrale und Pfaffsche Formen
229
˙ 2 eine disjunkte Zerlegung in zwei
X nicht zusammenhängend und X = U1 ∪U
nichtleere offene Teilmengen, so wird durch
f : X → R,
f (x) :=
1
2
für x ∈ U1
für x ∈ U2
eine lokal konstante Funktion auf X definiert, die nicht konstant ist.
Satz X.6.14. Sei U ⊆ Rn ein Gebiet. Eine stetig differenzierbare Funktion
F : U → R ist genau dann konstant, wenn dF = 0 gilt.
Beweis. Ist F konstant, so gilt trivialerweise dF = 0 .
Wir nehmen nun an, dass dF = 0 gilt, und fixieren einen Punkt x ∈ U .
Nach Lemma X.6.11 existiert zu jedem y ∈ U eine stückweise stetig differenzierbare Kurve γ: [a, b] → U mit γ(a) = x und γ(b) = y . Mit Satz X.6.4 ergibt sich
nun
Z
Z
F (y) − F (x) =
dF =
0 = 0.
γ
γ
Also ist F konstant.
Folgerung X.6.15.
Ist U ⊆ Rn offen und F : U → R differenzierbar, so ist
F genau dann lokal konstant, wenn dF = 0 ist.
Beweis. Ist F lokal konstant, so gilt trivialerweise dF = 0 . Ist andererseits
dF = 0 und p ∈ U , so existiert ein ε > 0 mit Uε (p) ⊆ U . Da die offene Kugel
Uε (p) zusammenhängend ist, also ein Gebiet, folgt aus Satz X.6.14, dass F auf
Uε (p) konstant ist. Folglich ist F lokal konstant.
Beispiel X.6.16. Die Teilmenge U :=]0, 1[∪]1, 2[⊆ R ist offen, aber kein Gebiet. Die Funktion
0 für x ∈]0, 1[
F : U → R, F (x) :=
1 für x ∈]1, 2[
ist beliebig oft differenzierbar, und es gilt dF = 0, aber sie ist nicht konstant.
Stammfunktionen Pfaffscher Formen
Definition X.6.17.
Sei ω eine stetige Pfaffsche Form auf der offenen Teilmenge U ⊆ Rn . Eine stetig differenzierbare Funktion F : U → R heißt Stammfunktion von ω , wenn dF = ω gilt.
Bemerkung X.6.18.
(a) Ist F eine Stammfunktion von ω und c: U →
R, p 7→ c die konstante Funktion mit Wert c, so ist auch F + c eine Stammfunktion von ω , da d(F + c) = dF + dc = dF = ω gilt.
230
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Sind umgekehrt F1 und F2 zwei Stammfunktionen von ω , so gilt die
Beziehung d(F1 − F2 ) = 0 . Ist U ein Gebiet, so schließen wir mit Satz X.6.14,
dass F1 − F2 konstant ist.
Auf einem Gebiet U sind Stammfunktionen also bis auf eine additive
Konstante eindeutig bestimmt, sofern sie existieren.
(b) Sei n = 1 und U ein offenes Intervall. Ist ω eine stetige Pfaffsche Form auf
U , so können wir ω schreiben als
ω = f · dx.
Ist F : U → R eine stetig differenzierbare Funktion, so ist
dF = F 0 · dx.
Also ist F genau dann eine Stammfunktion der Pfaffschen Form ω , wenn F
eine Stammfunktion der Funktion f im Sinne der Differentialrechnung einer
Veränderlichen ist (Satz VI.2.2).
Insbesondere folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung die Existenz einer Stammfunktion für jede stetige Pfaffsche Form ω auf
einem Intervall. Man bekommt sie zum Beispiel durch
Z x
F (x) :=
f (t) dt,
x0
wobei x0 ∈ U ein fester Punkt ist .
(c) Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall existiert für n = 2 nicht für jede
stetige Pfaffsche Form eine Stammfunktion. Ein Gegenbeispiel hierzu liefert für
U := R2 \ {0} die Pfaffsche Form
ω=−
x2
x
y
dx + 2
dy
2
+y
x + y2
aus Beispiel X.6.5. RWir haben gesehen, dass eine geschlossene Kurve existiert,
für die das Integral γ ω nicht verschwindet. Also hat ω keine Stammfunktion.
Kriterium für die Existenz von Stammfunktionen
Satz X.6.19. Genau dann besitzt die stetige Pfaffsche Form ω auf dem Gebiet
U eine Stammfunktion, wenn für jeden geschlossenen Weg γ in U das Integral
von ω über γ verschwindet.
Beweis. Die Notwenigkeit der Bedingung, dass Integrale über geschlossene
Kurven verschwinden, folgt aus Satz X.6.4.
Wir nehmen nun an, dass diese Bedingung erfüllt ist. Wir wählen einen
festen Punkt p ∈ U . Zu jedem Punkt q ∈ U existiert dann eine stückweise stetig
differenzierbare Kurve γ: [0, 1] → U mit γ(0) = p und γ(1) = q (Lemma X.6.11).
Wir definieren
Z
Fγ (q) :=
ω.
γ
231
X.6. Kurvenintegrale und Pfaffsche Formen
Um so eine Funktion auf U definieren zu können, müssen wir einsehen,
dass Fγ (p) nicht von der Wahl der Kurve γ abhängt. Sei also η: [0, 1] → U eine
weitere stückweise stetig differenzierbare Kurve mit η(0) = p und η(1) = q . Wir
betrachten die Kurve
α: [0, 2] → U,
t 7→
γ(t),
für t ∈ [0, 1]
η(2 − t), für t ∈]1, 2].
Dann ist α eine stückweise stetig differenzierbare Kurve mit α(0) = γ(0) = p =
η(0) = α(2) , d.h., α ist geschlossen. Gemäß unserer Voraussetzung ist daher
Z
Z
0=
Z
ω−
ω=
α
ω,
γ
η
da im zweiten Teilstück von α die Kurve η rückwärts durchlaufen wird (siehe
Bemerkung X.6.3). Hieraus ergibt sich
Z
Z
Fγ (q) =
ω=
ω = Fη (q).
γ
η
Wir können daher durch
F : U → R,
q 7→ Fγ (q)
eine Funktion definieren. Da es nicht auf die Kurve ankommt, die p und q
verbindet, schreiben wir
Z q
Z
F (q) =
ω :=
ω,
p
γ
wobei γ irgendeine Kurve von p nach q ist. Wir zeigen
Pn jetzt, dass F eine
Stammfunktion von ω ist. Dazu schreiben wir ω = j=1 fj dxj mit stetigen
Funktionen fj : U → R . Wir haben zu zeigen, dass F stetig differenzierbar ist
mit
∂F
= fj , j = 1, . . . , n.
∂xj
Sei dazu x ∈ U und ε > 0 mit Uε (x) ⊆ U . Für khk < ε haben wir dann
Z
F (x + h) =
x+h
Z
ω=
p
x
Z
x+h
ω+
p
Z
x+h
ω = F (x) +
x
ω.
x
Da die Verbindungsstrecke der Punkte x und x + h ganz in Uε (x) und damit
auch in U liegt, können wir den Weg
γh : [0, 1] → U,
t 7→ x + th
232
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
betrachten, der x und x + h verbindet. Damit erhalten wir mit γ̇h (t) = h für
alle t :
Z x+h
Z
Z 1
F (x + h) − F (x) =
ω=
ω=
ω(x + th)(h) dt
x
=
γh
n Z
X
j=1
0
1
fj (x + th)hj dt =
0
n Z
X
j=1
1
fj (x + th) dt · hj .
0
Für die Ableitungen ergibt sich hieraus mit Satz X.5.1:
1
∂F (x)
= lim
F (x + hj ej ) − F (x)
hj →0 hj
∂xj
Z 1
1
fj (x + thj ej ) dt · hj
= lim
hj →0 hj 0
Z 1
Z 1
= lim
fj (x + thj ej ) dt =
fj (x) dt = fj (x).
hj →0
0
0
Beispiel X.6.20. In einem Gebiet U ⊆ R3 sei das Vektorfeld F : U → R3
gegeben. Wir denken uns F als ein zeitlich konstantes Kraftfeld, z.B. ein elektrisches Feld. Sind F1 , F2 , F3 die Komponenten dieses Feldes, so können wir
diese auch als eine Pfaffsche Form interpretieren:
ω := F1 · dx1 + F2 · dx2 + F3 · dx3 .
Ist nun γ: [a, b] → U eine stückweise stetig differenzierbare Kurve, so interpretieren wir das Integral
Z
Z
ω=
γ
b
X
Fj γ(t) γj0 (t) dt =
a j=1
Z
b
hF γ(t) , γ̇(t)i dt
a
als die Arbeit, die man aufwenden muss, um sich von dem Punkt γ(a) zum
Punkt γ(b) entlang des Weges γ zu bewegen. Das ist dadurch gerechtfertigt,
dass man für ein kleines Stück des Weges näherungsweise annehmen kann, dass
F konstant ist und
γ(t) = γ(ti ) +
t − ti
γ(ti+1 ) − γ(ti )
ti+1 − ti
gilt. Dann ist
hF γ(t) , γ̇(t)i · (ti+1 − ti ) = hF γ(ti ) , γ(ti+1 ) − γ(ti )i.
Dieser Ausdruck ist proportional zu der Länge des Weges, die hier durch die
Differenz γ(ti+1 ) − γ(ti ) gegeben ist, zu der Größe des Kraftfelds F im Punkt
X.6. Kurvenintegrale und Pfaffsche Formen
233
γ(ti ) und zum Kosinus cos α des Winkels α zwischen diesen beiden Vektoren,
da
hF γ(ti ) , γ(ti+1 ) − γ(ti )i = cos α · kF γ(ti ) k · kγ(ti+1 ) − γ(ti )k
gilt. Ist das Kraftfeld senkrecht zur Richtung des Weges, so wird keine Arbeit
verrichtet; ist es dagegen parallel zum Weg, so kommt es auf seine Richtung an,
ob Energie notwendig ist, um dagegen anzukämpfen, oder ob potentielle Energie
dadurch frei wird, dass man in Richtung des Feldes gezogen wird.
(a) Ist F = E ein elektrostatisches Feld, so ist die Arbeit, die man zum Verschieben einer Ladung entlang eines Weges γ verrichten muss, aus physikalischen Gründen nur abhängig von Anfangs- und Endpunkt des Weges, denn sonst
würde sich Energie dadurch billig gewinnen lassen, dass man eine Ladung auf
eine geschlossene Bahn schickt, auf der sie Energie gewinnen kann. Man spricht
daher auch von konservativen Kraftfeldern.
R
In diesem Fall hängt das Integral γ ω also nur vom Anfangs- und Endpunkt
des Weges ab und verschwindet insbesondere für geschlossene Wege. Nach Satz
X.6.19 hat die Pfaffsche Form ω daher auf jedem Gebiet U eine Stammfunktion,
die gegeben ist durch
Z
p
Φ(p) :=
ω,
p0
wobei p0 ∈ U ein fest gewählter Punkt ist. Die Funktion −Φ nennt man ein
Potential des Kraftfelds, das durch ω beschrieben wird. Ist γ eine Kurve von p
nach q , so ist
Z
ω = Φ(q) − Φ(p),
γ
d.h., die Differenz der Werte der Potentialfunktion Φ gibt die Arbeit an, die
entlang des Weges verrichtet wurde.
(b) Ein besonders einfaches Feld ist das elektrische Feld einer Punktladung im
R3 . Ist eine Ladung der Größe q im Punkt p0 ∈ R3 positioniert, so ist das
zugehörige elektrische Feld gegeben durch
x − p0
q
,
E: R3 \ {p0 } → R3 ,
E(x) =
4πε0 kx − p0 k3
wobei ε0 die elektrische Feldkonstante ist.
Wir behaupten, dass die Funktion
q
1
Φ: R3 \ {p0 } → R,
Φ(x) =
4πε0 kx − p0 k
eine Potentialfunktion dieses Vektorfeldes ist. In der Tat haben wir
∂
1
1
1
1
=−
2x1 = −
x1 ,
3
∂x1 kx − p0 k
2 kx − p0 k
kx − p0 k3
1
1
1
1
∂
∂
=−
x
,
=
−
x3
2
∂x2 kx − p0 k
kx − p0 k3
∂x3 kx − p0 k
kx − p0 k3
und daher
∇Φ = −E.
Das Gravitationsfeld einer Masse im R3 lässt sich vollkommen analog
behandeln, da es die gleiche Struktur besitzt.
234
X. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Geschlossene Pfaffsche Formen
Die Bedingung, dass die Integrale einer Pfaffschen Form über alle geschlossenen
Kurven verschwinden, kann man in der Regel nicht so leicht nachprüfen. Die
folgende Bedingung ist eng damit verwandt, lässt sich aber sehr leicht verifizieren.
Definition X.6.21.
Sei U P
⊆ Rn eine offene Teilmenge. Eine stetig differenzierbare Pfaffsche Form ω = j fj dxj auf U heißt geschlossen, wenn für alle
j, k ∈ {1, . . . , n} gilt:
∂fj
∂fk
=
.
∂xj
∂xk
Besitzt die stetig differenzierbare Pfaffsche Form ω auf U eine Stammfunktion, so ist ω geschlossen, denn aus
ω = dF =
X ∂F
X
dxj =
fj dxj
∂xj
j
j
folgt
∂2F
∂2F
∂fj
∂fk
=
=
=
∂xj
∂xj ∂xk
∂xk ∂xj
∂xk
aus dem Satz von Schwarz X.3.2. Die Geschlossenheit einer Pfaffschen Form ist
also notwendig für die Existenz einer Stammfunktion.
In der Regel ist sie aber nicht hinreichend. Für U := R2 \ {0} und die
Pfaffsche Form
y
x
ω=− 2
dx + 2
dy
2
x +y
x + y2
ist
f1 (x, y) = −
x2
y
+ y2
und
f2 (x, y) =
x2
x
.
+ y2
Damit ergibt sich
1
2y 2
2y 2 − x2 − y 2
y 2 − x2
∂f1
=− 2
+
=
=
∂y
x + y2
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
und
2x2
x2 + y 2 − 2x2
y 2 − x2
∂f2
1
= 2
− 2
=
= 2
.
∂x
x + y2
(x + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
(x + y 2 )2
Also ist ω geschlossen. Andererseits haben wir schon mehrfach gesehen, dass ω
keine Stammfunktion besitzt.
Ob die Geschlossenheit einer Pfaffschen Form für die Existenz einer Stammfunktion hinreichend ist, entscheidet sich an der geometrischen bzw. topologischen Struktur des Gebietes U . Hierüber kann man in einer Vorlesung über
Algebraische Topologie“ mehr lernen. Wir diskutieren hier nur eine einfache
”
Bedingung.
235
X.6. Kurvenintegrale und Pfaffsche Formen
Satz X.6.22. Ist U ein Gebiet, das sternförmig bzgl. dem Punkt p ∈ U ist, so
besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form auf U eine Stammfunktion.
Beweis.PNach Translation des Gebiets dürfen wir o.B.d.A. p = 0 annehmen.
Sei ω = j fj dxj . Wir definieren eine Funktion F : U → R durch das Integral
1
Z
F (x) :=
n
X
0
Z
fj (tx)xj dt =
ω,
γx
j=1
wobei wir γx : [0, 1] → U, γx (t) = tx, setzen. Man beachte, dass wegen der
Sternförmigkeit von U bzgl. 0 das Bild der Kurve γx in U liegt.
Mit Satz X.5.1 sehen wir zunächst, dass F differenzierbar ist, und dass wir
die Ableitungen erhalten durch
n
X
∂F
(x) =
∂xk
j=1
1
Z
0
n Z
X
∂
fj (tx)xj dt
∂xk
n Z 1
X
∂fj (tx)
∂xj
=
txj dt +
fj (tx)
dt
∂xk
∂xk
j=1 0
j=1 0
Z 1X
Z 1
n
∂fk (tx)
=
txj dt +
fk (tx) dt.
∂xj
0 j=1
0
1
Setzen wir L(t) := fk (tx) , so folgt aus der Kettenregel
L0 (t) =
n
X
∂fk (tx)
j=1
∂xj
xj ,
und wir erhalten
∂F
(x) =
∂xk
Z
1
0
Z
L (t)t dt +
0
Z
=
1
L(t) dt
0
1
0
tL(t) dt = 1 · L(1) − 0 · L(0) = L(1) = fk (x).
0
Beispiel X.6.23. Wir kommen nochmal auf das Beispiel X.6.5 zurück. Natürlich ist das Gebiet U = R2 \ {0} nicht sternförmig bzgl. einem seiner Punkte.
Nehmen wir allerdings einen ganzen Strahl, zum Beispiel ]−∞, 0]×{0} = −R+ e1
heraus, so ist das Restgebiet
U1 := R2 \ ] − ∞, 0] × {0})
sternförmig bzgl. dem Punkt (1, 0) . Nach Satz X.6.22 hat ω daher auf dem
kleineren Gebiet U1 eine Stammfunktion.
236
XI. Der Satz über die Umkehrfunktion
31. Oktober 2007
XI. Der Satz über die Umkehrfunktion
In diesem Kapitel werden wir sehen, wie man die differenzierbare Version des
Satzes über die Umkehrfunktion auf Funktionen in mehreren Veränderlichen verallgemeinert. In der eindimensionalen Situation konnten wir die Ordnungsstruktur von R ausnutzen, da stetige Funktionen auf Intervallen genau dann injektiv
sind, wenn sie monoton sind. Im Mehrdimensionalen wird die Situation komplizierter. Der entsprechende Satz über die Umkehrfunktion ist ein zentrales
Ergebnis der Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher. Er hat wichtige Anwendungen auf die Beschreibung von Lösungsmengen von Gleichungen, der wir
uns im nächsten Kapitel zuwenden.
XI.1. Der Banachsche Fixpunktsatz
Wir betrachten auf dem metrischen Raum Rn immer die euklidische Norm
n
X
12
kxk := kxk2 :=
x2j .
j=1
n
m
Auf dem Raum Hom(R , R ) der linearen Abbildungen von Rn nach Rm betrachten wir die zugehörige Operatornorm kAk := sup{kAxk : x ∈ Rn , kxk ≤ 1}.
Wir werden oft den linearen Abbildungen A ∈ Hom(Rn , Rm ) ihre Matrix bzgl.
der kanonischen Basen in Rn und Rm zuordnen. Wir erhalten so eine bijektive
lineare Abbildung
m
X
Hom(Rn , Rm ) → Mm,n (R), A 7→ (aij ), wobei A(ej ) =
aij ei
i=1
gilt.
Definition XI.1.1.
Es sei n ∈ N . Dann heißt die Menge
n
GL(R ) := Aut(Rn ) = {A ∈ End(Rn ) : A invertierbar }
die allgemeine lineare Gruppe (general linear group). Identifizieren wir lineare
Endomorphismen von Rn mit ihren Matrizen bzgl. der kanonischen Basis, so
führt diese zu einer Identifikation von End(Rn ) mit dem Raum Mn (R) der
(n × n) -Matrizen. In diesem Sinn schreiben wir auch GLn (R) für die Menge
der invertierbaren (n × n) -Matrizen.
237
XI.1. Der Banachsche Fixpunktsatz
Bemerkung XI.1.2.
(a) Für A ∈ End(Rn ) ist
A ∈ GL(Rn ) ⇐⇒ det A 6= 0.
(b) Die Abbildung
2
det : Mn (R) ∼
= Rn → R,
A = (aij ) 7→ det A =
X
sgn(σ)a1,σ(1) · · · an,σ(n)
σ∈Sn
ist eine stetige Funktion. Sie ist ein Polynom des Grades n . Hierbei ist Sn
die n! -elementige Gruppe der Permutationen der Menge {1, . . . , n} (vgl. Bemerkung I.4.5).
Aufgabe XI.1.1. Sei U ⊆ Rn offen und k ∈ N . Ist f ∈ C k (U, Rm ) und
g ∈ C k (U ) mit g(x) 6= 0 für alle x ∈ U , so ist g1 f ∈ C k (U, Rm ) . Die
entsprechende Aussage gilt auch für k = ∞.
Satz XI.1.3. (a) Die Gruppe GL(Rn ) ist eine offene Teilmenge von End(Rn ).
(b) Die Inversion GL(Rn ) → GL(Rn ) ⊆ End(Rn ) ist beliebig oft differenzierbar.
Beweis. Für den Beweis identifizieren wir lineare Abbildungen mit Matrizen.
(a) Nach Teil (a) von Bemerkung XI.1.2 ist
GLn (R) = det−1 (R \ {0}).
Da R \ {0} in R offen ist und det stetig, ist GLn (R) offen (vgl. Satz IV.1.4).
(b) Dies folgt aus der expliziten Formel zur Berechnung der Inversen. Die
Cramersche Regel besagt
A−1 =
1
(−1)i+j det Aji ,
det A
wobei Aji die Matrix ist, die durch Streichen der j -ten Zeile und der i-ten Spalte
entsteht. Insbesondere ist jeder Eintrag der inversen Matrix A−1 eine beliebig
oft differenzierbare Funktion der Einträge der Matrix A, denn wegen det(A) 6= 0
ist der Nenner immer 6= 0 (siehe Aufgabe XI.1.1).
Die folgende Aufgabe enthält eine wichtige Verallgemeinerung des Weierstraßschen Konvergenzkriteriums, das wir im Kontext der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen kennengelernt hatten.
Aufgabe XI.1.2. (Allgemeines Majorantenkriterium)
Sei (V, k·k) ein BanachP∞
raum. Ist (vn )n∈N eine Folge in V mit n=1 kvn k < ∞, so ist die Reihe
∞
X
k=1
vk := lim
n→∞
n
X
vk
k=1
konvergent. Hinweis: Die Folge der Teilsummen ist eine Cauchy-Folge.
238
XI. Der Satz über die Umkehrfunktion
31. Oktober 2007
Satz XI.1.4. Ist A ∈ End(Rn ) mit kAk < 1 und 1 := idRn , so ist 1 − A
invertierbar und die Neumannsche Reihe
−1
(1 − A)
=
∞
X
Ak
k=0
konvergiert.
Beweis. Wegen der Submultiplikativität der Norm ist kAk k ≤ kAkk für alle
k ∈ N0 . Es folgt
∞
∞
X
X
1
k
.
kA k ≤
kAkk =
1 − kAk
k=0
k=0
P∞
k
n
Also ist die Reihe
k=0 A in (End(R ), k · k) nach dem Majorantenkriterium
konvergent (Aufgabe XI.1.2). Weiter ist
(1 − A)
∞
X
k
A =
k=0
also
P∞
k=0
∞
X
k
A −
k=0
∞
X
Ak = 1,
k=1
Ak = (1 − A)−1 .
Der Banachsche Fixpunktsatz
Definition XI.1.5. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung
f : X → X heißt Kontraktion mit Kontraktionskonstante λ < 1 , wenn für alle
x, y ∈ X die Beziehung
d f (x), f (y) ≤ λ · d(x, y)
gilt. Da Kontraktionen Lipschitz-stetig sind, sind sie insbesondere stetig.
Banachscher Fixpunktsatz
Satz XI.1.6. Ist (X, d) ein nichtleerer vollständiger metrischen Raum, so hat
jede Kontraktion f : X → X genau einen Fixpunkt, d.h. es existiert genau ein
x ∈ X mit f (x) = x. Es gilt sogar
x = lim f n (y)
n→∞
für jeden beliebigen Punkt y ∈ X .
Beweis. Sei λ < 1 die Kontraktionskonstante.
Eindeutigkeit: Seien x und y Fixpunkte. Dann gilt
d(x, y) = d f (x), f (y) ≤ λ · d(x, y),
XI.1. Der Banachsche Fixpunktsatz
239
woraus d(x, y) = 0 folgt, d.h. x = y .
Existenz: Wir zeigen zuerst, dass für beliebiges y ∈ X die Folge f n (y) n∈N
konvergiert. Da X nach Voraussetzung vollständig ist, haben wir zu zeigen, dass
dies eine Cauchy-Folge ist. Durch vollständige Induktion erhalten wir zunächst,
dass für alle n ∈ N und a, b ∈ X die Beziehung
d f n (a), f n (b) ≤ λn · d(a, b)
gilt. Für n, k ∈ N folgt hieraus durch wiederholtes Anwenden der Dreiecksungleichung
d f n+k (y), f n (y) ≤ λn · d f k (y), y
k
k−1
k−1
k−2
n
(y) + d f
(y), f
(y) + . . . + d f (y), y
≤ λ d f (y), f
≤ λn λk−1 d f (y), y + . . . + λd f (y), y + d f (y), y
= λn (λk−1 + . . . + λ + 1) · d f (y), y
1 − λk
λn
= λn
· d f (y), y ≤
· d f (y), y .
1−λ
1−λ
Wegen λn → 0 für n → ∞ ist die Folge f n (y) n∈N eine Cauchy-Folge und
konvergiert daher gegen ein x ∈ X . Dann gilt wegen der Stetigkeit von f
f (x) = f
lim f n (y) = lim f n+1 (y) = x.
n→∞
n→∞
Also ist x ein Fixpunkt von f .
Der Banachsche Fixpunktsatz ist ein wichtiges Werkzeug der Analysis, das
uns auch in anderen Situationen wieder begegnen wird. Des öfteren wird dabei
X eine Kugel im Rn sein, oder auch eine Teilmenge eines Funktionenraums
(z.B. in der Vorlesung über Differentialgleichungen). Insbesondere in der numerischen Mathematik ist der Banachsche Fixpunktsatz ein Instrument, mit
dem sich die Konvergenz von Approximationsverfahren bzw. von numerischen
Lösungsmethoden in vielen Fällen beweisen lässt.
Kriterium für Vollständigkeit
Lemma XI.1.7. Ist (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, so ist eine Teilmenge A ⊆ X genau dann abgeschlossen, wenn der metrische Raum
(A, d |A×A ) vollständig ist.
Beweis. “ ⇒” Ist A abgeschlossen und (xn )n∈N eine Cauchy-Folge in A, so ist
sie auch eine Cauchy-Folge in X . Daher existiert ein x ∈ X mit x = limn→∞ xn .
Dann ist x ∈ A = A, da A abgeschlossen ist. Folglich konvergiert (xn )n∈N in A.
“ ⇐” Sei andererseits A nicht abgeschlossen und x ∈ A \ A . Dann existiert eine
Folge in A, die gegen x konvergiert. Dies ist dann eine Cauchy-Folge in A, die
in A nicht konvergiert. Somit ist A nicht vollständig.
240
XI. Der Satz über die Umkehrfunktion
31. Oktober 2007
Bemerkung XI.1.8.
Der Banachsche Fixpunktsatz hat eine anschauliche
Konsequenz, die man leicht selbst beobachten kann. Hierzu sei X das Stadtgebiet Darmstadts, das wir als abgeschlossene Teilmenge des R2 auffassen. Dann
ist X ein vollständiger metrischer Raum (Lemma IX.1.7). Wir breiten nun einen
Stadtplan von Darmstadt an irgendeiner Stelle auf dem Boden in Darmstadt aus
und betrachten die Abbildung f : X → X , die jedem Punkt x ∈ X denjenigen
Punkt f (x) zuordnet, über dem das Bild des Punktes x auf dem Stadtplan liegt.
Ist der Stadtplan eine Karte im Maßstab 1 : n , so ist f eine Kontraktion des
metrischen Raumes X mit der Kontraktionskonstante λ = n1 < 1 . Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Punkt x ∈ X im Darmstädter
Stadtgebiet für den f (x) = x gilt, d.h. x liegt genau unter demjenigen Punkt
des Stadtplans, der diesen Punkt abbildet.
Bemerkung XI.1.9. (a) Die Bedingung der Vollständigkeit ist wesentlich. So
ist beispielsweise der metrische Unterraum X = ]0, 1] von R bzgl. der üblichen
Metrik nicht vollständig, da er nicht abgeschlossen ist. Die Abbildung f : X →
X , f (x) = 21 x ist eine Kontraktion, die in X keinen Fixpunkt besitzt.
(b) Sei A ∈ End(Rn ) , y ∈ Rn und kAk < 1 . Wir wollen die Gleichung
(1 − A)x = y
(†)
lösen. Hierzu betrachten wir die Abbildung
f : Rn → Rn , z 7→ Az + y.
Die Fixpunkte dieser Abbildung sind dann genau die Lösungen der Gleichung
(†) . Es gilt
kf (z1 ) − f (z2 )k = kA(z1 − z2 )k ≤ kAk · kz1 − z2 k
mit kAk < 1 , das heißt, f ist eine Kontraktion. Damit hat f genau einen
Fixpunkt in Rn , d.h., die Gleichung (†) hat genau eine Lösung. Wir erhalten
aus dem Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes sogar ein Verfahren, mit
dem
wir die Lösung näherungsweise berechnen können. Die Folge f n (y) n∈N ist
gegeben durch
f 0 (y) = y,
f 1 (y) = Ay + y,
f 2 (y) = A(Ay + y) + y = A2 y + Ay + y,
und für allgemeine n ist
n
f (y) =
n
X
Ak y,
k=0
was man leicht per Induktion beweist. Es folgt
(1 − A)−1 y = x = lim f n (y) =
n→∞
∞
X
Ak y.
k=0
Insbesondere erhalten wir so einen neuen Beweis für Satz XI.1.4.
XI.2. Der Satz über die Umkehrfunktion
241
XI.2. Der Satz über die Umkehrfunktion
Definition XI.2.1.
Seien U ⊆ Rn und V ⊆ Rm offen. Eine Abbildung
f : U → V heißt C k -Diffeomorphismus, wenn sie eine C k -Abbildung ist, bijektiv
und ihre Umkehrabbildung f −1 : V → U ebenfalls C k ist.
Lemma XI.2.2. Seien U ⊆ Rn und V ⊆ Rm offen und f : U → V ein
C 1 -Diffeomorphismus mit f ∈ C k (U, Rm ). Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Für jedes u ∈ U ist das Differential df (u) ∈ Hom(Rn , Rm ) invertierbar
mit
df (u)−1 = d(f −1 )(f (u)).
(b) m = n .
(c) Die Abbildung f −1 : V → Rn ist k -mal stetig differenzierbar.
Beweis. (a) Sei u ∈ U und v = f (u) . Dann folgt aus f −1 ◦ f = idU und
f ◦ f −1 = idV mit der Kettenregel
d f −1 f (u) ◦ df (u) = d(f −1 ◦ f )(u) = idRn
df f −1 (v) ◦ d f −1 (v) = d(f ◦ f −1 )(v) = idRm ,
−1
also d f −1 f (u) = df (u)
, und df (u) ist eine invertierbare lineare Abbildung.
(b) Dies folgt sofort aus der Invertierbarkeit von df (u) (Lineare Algebra).
(c) Wir erinnern uns, dass die Inversion GL(Rn ) → GL(Rn ), g 7→ g −1 , beliebig
oft differenzierbar ist (Satz XI.1.3(b)). Ist f ∈ C k und f −1 ∈ C ` , wobei
0 ≤ ` ≤ k − 1 , so ist die Funktion
d(f −1 ) : V → GL(Rn ),
−1
v 7→ df f −1 (v)
`-mal stetig differenzierbar, also f −1 mindestens `+1 mal stetig differenzierbar.
Induktiv ergibt sich also f −1 ∈ C k (V, Rn ) .
Bemerkung XI.2.3.
Sei f : U → V eine stetig differenzierbare, surjektive
Funktion, deren Differential df (x) in allen Punkten x ∈ U invertierbar ist. Kann
man hieraus schon schließen, dass f ein Diffeomorphismus ist? Sind U, V ⊆ R
offene Intervalle, so ist dies richtig, denn die Invertierbarkeit des Differentials
df (x) ist im Eindimensionalen genau die Bedingung, dass f 0 (x) 6= 0 ist. Ist dies
für alle x ∈ U der Fall, so ist f streng monoton, insbesondere also injektiv. Im
Mehrdimensionalen trifft dies jedoch nicht mehr zu. Hierzu betrachten wir die
Funktion
f : ]0, ∞[ ×R →
R2 \ {(0, 0)}
(r, ϕ)
7→ (r cos ϕ, r sin ϕ).
242
XI. Der Satz über die Umkehrfunktion
Die Jacobimatrix
J(r,ϕ) (f ) =
cos ϕ
sin ϕ
31. Oktober 2007
−r sin ϕ
r cos ϕ
ist wegen det J(r,ϕ) (f ) = r 6= 0 immer invertierbar. Die Funktion f ist auch
surjektiv. Wegen f (r, 2π + ϕ) = f (r, ϕ) für alle (r, ϕ) ist sie nicht injektiv, also
kein Diffeomorphismus.
Trotzdem hat f lokale Umkehrfunktionen“: Ist beispielsweise
”
U := ]0, ∞[ × ]ϕ0 − π, ϕ0 + π[
für ein ϕ0 ∈ R , so ist f |U : U → f (U ) injektiv, und
V := f (U ) = R2 \ R+ · (cos(ϕ0 + π), sin(ϕ0 + π))
ist offen in R2 . Man kann also eine Umkehrfunktion f −1 : V → U definieren.
Im folgenden werden wir uns der Frage zuwenden, wie es mit den Differenzierbarkeitseigenschaften solcher Umkehrfunktionen steht.
Definition XI.2.4.
Eine C k -Abbildung f : U → Rn heißt lokal um u ∈ U
invertierbar, wenn es offene Umgebungen U1 von u und V1 von f (u) derart
gibt, dass f |U1 : U1 → V1 ein Diffeomorphismus ist. Die Abbildung
f |U1
−1
: V1 → U1
heißt dann lokale Umkehrfunktion von f . Ist f in jedem Punkt u ∈ U lokal
invertierbar, so heißt f lokaler Diffeomorphismus.
Satz über die Umkehrfunktion
Theorem XI.2.5.
Sei U ⊆ Rn offen, u ∈ U und f : U → Rn eine C k Abbildung. Genau dann ist f um u lokal invertierbar, wenn df (u) invertierbar
ist. Die lokale Umkehrfunktion ist dann ebenfalls eine C k -Abbildung.
Beweis. Ist f um u lokal invertierbar, so ist df (u) = d(f | U1 )(u) nach
Lemma XI.2.2 invertierbar. Sei nun umgekehrt df (u) invertierbar. Wir zeigen,
dass f lokal um u invertierbar ist. Dazu reduzieren wir die Situation zunächst
auf eine einfachere. Zunächst können wir wegen Lemma XI.2.2(c) annehmen,
dass k = 1 ist. Ferner können wir
u = 0,
f (u) = 0
und
df (0) = 1 = idRn
annehmen, indem wir die Funktion f durch fe(x) := df (u)−1 f (u + x) − f (u)
ersetzen. Dann ist
f (x) = df (u) fe(x − u) + f (u)
für
x∈U
XI.2. Der Satz über die Umkehrfunktion
243
e := U − u invertierbar sein sollte, erhalten
und falls fe auf einer Teilmenge von U
wir direkt eine Umkehrfunktion der entsprechenden Einschränkung von f durch
f −1 (y) = fe−1 df (u)−1 (y − f (u)) + u
indem wir die Formel für f nach y = f (x) auflösen.
Nun wollen wir also für kleine“ y die Gleichung f (x) = y nach x auflösen.
”
Definieren wir
gy : U → Rn , x 7→ y + x − f (x) ,
so entspricht dies der Fixpunktgleichung
x = gy (x) = y + x − f (x) .
Wir suchen also Fixpunkte der Abbildungen gy . Wir müssen eine offene Menge
finden, so dass für alle y aus dieser Menge die Abbildung gy eine Kontraktion
ist, denn dann wissen wir nach dem Banachschen Fixpunktsatz, dass gy in
jeder abgeschlossenen Teilmenge von U , die unter gy invariant ist, genau einen
Fixpunkt besitzt. Zunächst betrachten wir y = 0 .
Für g(x) := g0 (x) = x − f (x) gilt g(0) = 0 und dg(0) = id − id = 0 .
Wegen g ∈ C 1 (U, Rn ) existiert ein r > 0 mit U2r (0) ⊆ U und kdg(x)k ≤ 12
für alle x mit kxk ≤ r (ε - δ -Stetigkeit von df ). Aus dem Satz vom endlichen
Zuwachs X.2.16 folgt damit
kg(x) − g(x0 )k ≤ 12 kx − x0 k
für alle x und x0 mit kxk, kx0 k ≤ r . Insbesondere erhalten wir für x0 = 0 die
Beziehung kg(x)k ≤ 2r für kxk ≤ r . Sei X := {x ∈ Rn : kxk ≤ r} . Dann ist
gy : X → X,
für alle y mit kyk ≤
r
2
gy (x) := g(x) + y
ebenfalls eine Kontraktion, denn wir haben für x ∈ X :
kgy (x)k = ky + g(x)k ≤ kyk + kg(x)k ≤
r
r
+ = r.
2 2
Da X in dem vollständigen metrischen Raum (Rn , d2 ) abgeschlossen ist, also
nach Lemma XI.1.7 ein vollständiger metrischer Raum, folgt die Existenz genau
eines x ∈ X mit gy (x) = x aus dem Banachschen Fixpunktsatz XI.1.6. Wir
haben also gezeigt, dass zu jedem y mit kyk ≤ 2r genau ein x mit kxk ≤ r und
f (x) = y existiert.
Sei
U1 := {x ∈ Rn : kxk < r, kf (x)k <
r
} = Ur (0) ∩ f −1 (U r2 (0)).
2
Da f stetig ist, ist diese Menge offen (Urbilder offener Mengen sind offen). Sei
weiter V1 := f (U1 ) . Für zwei Punkte x, x0 ∈ Ur (0) erhalten wir
kx − x0 k = kg(x) + f (x) − g(x0 ) + f (x0 ) k
≤ kg(x) − g(x0 )k + kf (x) − f (x0 )k
≤ 12 kx − x0 k + kf (x) − f (x0 )k,
244
XI. Der Satz über die Umkehrfunktion
31. Oktober 2007
woraus sich kx − x0 k ≤ 2kf (x) − f (x0 )k ergibt. Für x0 = 0 folgt speziell kxk < r ,
wenn kf (x)k < 2r ist. Damit ist V1 = f (U1 ) = {y ∈ Rn : kyk < 2r } ; diese Menge
ist offen. Ferner sehen wir, dass f | U1 : U1 → V1 bijektiv ist. Also existiert
−1
eine Umkehrabbildung ϕ := f |U1
: V1 → U1 , und mit obiger Abschätzung
erhalten wir
kϕ(y) − ϕ(y 0 )k ≤ 2ky − y 0 k,
indem man x = ϕ(y) und x0 = ϕ(y 0 ) setzt. Die Funktion ϕ ist also stetig.
Nun zeigen wir, dass df (x) für alle x ∈ U1 invertierbar ist. Wir wissen,
dass für alle x ∈ U1 die Beziehung
kdf (x) − 1k = kdg(x)k ≤
1
2
gilt, und nach Satz XI.1.4 ist daher df (x) invertierbar.
ϕ ist stetig differenzierbar: Sei v ∈ V1 ; dann ist v = f (u) für ein u ∈ U1 . Da
f in u differenzierbar ist, existiert eine in u stetige Funktion Φ : U1 → End(Rn )
mit
f (u + h) − f (u) = Φ(u + h)(h)
für alle u + h ∈ U1 . Wegen der Invertierbarkeit von Φ(u) = df (u) und der
Stetigkeit von Φ existiert ein δ > 0 mit Φ(u + h) ∈ GL(Rn ) für alle h ∈ Rn mit
khk < δ , denn GL(Rn ) ist in End(Rn ) offen und für stetige Abbildungen sind
Urbilder offener Mengen offen. Für solche h ist dann
ϕ f (u + h) − ϕ f (u) = u + h − u = h = Φ(u + h)−1 f (u + h) − f (u) .
Da ϕ stetig ist, ist die Menge
{y ∈ V1 : kϕ(y) − uk < δ} = ϕ−1 (Uδ (0))
in Rn offen. Für y ∈ V1 setzen wir h := ϕ(y) − u . Dann ist y = f (u + h) , also
−1
ϕ(y) − ϕ(v) = Φ ϕ(y)
(y − v),
−1
und die Abbildung y 7→ Φ ϕ(y)
ist in v stetig, da ϕ stetig ist und die Invern
sion in GL(R ) ebenfalls. Damit haben wir bewiesen, dass ϕ in v differenzierbar
ist mit
−1
−1
dϕ(v) = Φ ϕ(v)
= Φ(u)−1 = df (u)−1 = df ϕ(v)
.
Da dϕ auch stetig ist, erhalten wir ϕ ∈ C 1 (V1 , Rn ).
Folgerung XI.2.6.
Sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rn eine stetig differenzierbare Funktion sowie p ∈ U und r > 0 mit Ur (p) ⊆ U und
kdf (x) − 1k ≤
Dann gilt:
1
2
für x ∈ Ur (p).
245
XI.2. Der Satz über die Umkehrfunktion
(a) Zu jedem y mit ky − f (p)k ≤ 2r existiert genau ein x ∈ Ur (p) mit f (x) = y ,
und es gilt für alle x, x0 ∈ Ur (p):
kx − x0 k ≤ 2kf (x) − f (x0 )k.
Insbesondere ist f auf Ur (p) injektiv.
(b) Ist ρ < 3r , so gilt
U ρ2 f (p) ⊆ f Uρ (p) ⊆ U r2 (f (p))
und f |Uρ (p) ist ein Diffeomorphismus auf eine offene Bildmenge.
Beweis. (a) folgt sofort aus dem ersten Teil des Beweises.
(b) Ist y ∈ U ρ2 (f (p)) , so erhalten wir mit (a) sofort ein x ∈ Ur (p) mit
f (x) = y . Weiter ist
kx − pk ≤ 2kf (x) − f (p)k = 2ky − f (p)k < ρ,
also U ρ2 f (p) ⊆ f Uρ (p) . Um die zweite Inklusion einzusehen, beachten wir,
dass für alle x ∈ Ur (p) gilt
kdf (x)k ≤ kdf (x) − 1k + k1k ≤
3
,
2
also nach dem Satz vom endlichen Zuwachs X.2.16
die Beziehung kf (x)−f (p)k ≤
3
kx
−
pk
.
Daher
ist
f
(U
(p))
⊆
U
f
(p)
.
Dass
die Einschränkung von f
ρ
r/2
2
auf Uρ (p) ein Diffeomorphismus auf eine offene Bildmenge ist, folgt aus dem
Beweis des Satz über die Umkehrfunktion (alternativ kann man Folgerung XI.2.7
verwenden, da df (x) für x ∈ Uρ (p) invertierbar ist und f auf dieser Menge
injektiv).
Der Vorteil der Folgerung XI.2.6 ist, dass man nur wissen muss, dass
kdf (x) − 1k ≤
1
2
für alle x ∈ U3ρ (u)
gilt. Dann kann man direkt eine Umgebung von u angeben, auf der f injektiv
ist, und mit Folgerung XI.2.6 eine Umgebung von f (u) , die ganz im Bild von f
liegt.
Der Satz über die Umkehrfunktion ist ein wichtiges Werkzeug der Analysis.
Er dient beispielsweise dazu, in vielen Situationen geeignete Koordinaten“
”
einzuführen. Hierbei denken wir uns lokal invertierbare Abbildungen als Ko”
ordinatenwechsel“, genau wie die Basistransformationen in der Linearen Algebra.
Die folgende Konsequenz aus dem Satz über die Umkehrfunktion findet
häufige Anwendung, da sie es erlaubt, sich den Nachweis der Differenzierbarkeit
der Umkehrfunktion zu ersparen. Man hat nur Daten zu betrachten, die unmittelbar durch die Funktion f selbst gegeben sind.
246
XI. Der Satz über die Umkehrfunktion
31. Oktober 2007
Folgerung XI.2.7.
Sei k ∈ N ∪ {∞}, U ⊆ Rn offen und f ∈ C k (U, Rn )
injektiv, so dass df (x) für alle x ∈ U invertierbar ist. Dann ist f (U ) ⊆ Rn
offen und f −1 ∈ C k (f (U ), Rn ), d.h. die Umkehrfunktion ist automatisch eine
C k -Funktion.
Beweis. Aus dem Satz über die Umkehrfunktion folgt sofort, dass für jedes
x ∈ U die Menge f (U ) eine Umgebung von f (x) ist. Also ist V := f (U ) ⊆ Rn
offen. Da f : U → V nach Voraussetzung bijektiv ist, existiert eine Umkehrfunktion f −1 : V → U . Ist v = f (u) ∈ V , so finden wir mit dem Satz über die
Umkehrfunktion offene Umgebungen U1 von u in U und V1 von v in V , so
dass f |U1 : U1 → V1 ein C k -Diffeomorphismus ist. Also ist f −1 |V1 = (f |U1 )−1
eine C k -Abbildung und somit ist f −1 ∈ C k (V, Rn ) .
XII.1. Der Satz über implizite Funktionen
247
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
Es ist eines der Grundanliegen der Mathematik, Gleichungen der Gestalt
F (x) = y
für eine gegebene rechte Seite y zu lösen, bzw. die Struktur ihrer Lösungsmengen
zu beschreiben. In diesem Kapitel werden wir den Fall behandeln, wo F : U → Rm
eine stetig differenzierbare Funktion und U ⊆ Rn offen ist. Der Satz über
implizite Funktionen, den wir in Abschnitt XII.1 behandeln, ist eine wichtige
Folgerung aus dem Satz über die Umkehrfunktion. Er gibt uns die Möglichkeit,
die Lösungsmenge
{x ∈ U : F (x) = y}
geeignet zu parametrisieren. Insbesondere werden wir hierdurch auf den Begriff
der Untermannigfaltigkeit des Rn geführt. In Abschnitt XII.2 wenden wir uns
einer weiteren wichtigen Klasse von Problemen zu, die in vielen Anwendungen
eine Rolle spielt: den Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen, die durch
Gleichungen gegeben sind.
XII.1. Der Satz über implizite Funktionen
Um den folgenden Satz besser zu verstehen, betrachten wir zuerst das folgende
lineare Problem. Sei hierzu
f : Rn+k → Rk
eine lineare Abbildung. Wir schreiben die Elemente von Rn+k als Paare (x, y)
mit x ∈ Rn und y ∈ Rk . Wir möchten nun die Gleichung f (x, y) = 0 nach
y auflösen. Da f linear ist, existieren lineare Abbildungen f1 : Rn → Rk und
f2 : Rk → Rk mit
f (x, y) = f1 (x) + f2 (y)
für
(x, y) ∈ Rn+k .
In dieser Darstellung von f sehen wir, dass sich die Gleichung 0 = f (x, y) =
f1 (x) + f2 (y) eindeutig nach y auflösen lässt, wenn die lineare Abbildung f2
invertierbar ist. In diesem Fall erhalten wir
y = −f2−1 (f1 (x))
⇐⇒
f (x, y) = 0.
248
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
31. Oktober 2007
Der Satz über implizite Funktion ist eine Verallgemeinerung dieser Beobachtung
auf nichtlineare Abbildungen. Wegen der Nichtlinearität erhält man allerdings
nur eine lokale Aussage.
Satz über implizite Funktionen
Theorem XII.1.1.
Seien U ⊆ Rn und V ⊆ Rk offen und f : U × V → Rk
eine C m -Abbildung. Für (x, y) ∈ U × V spalten wir das Differential df von f
in zwei Bestandteile auf:
df (x, y) = d1 f (x, y), d2 f (x, y) ,
mit
d1 f (x, y) = df (x, y) |Rn ×{0} ∈ Hom(Rn , Rk ),
d2 f (x, y) = df (x, y) |{0}×Rk ∈ End(Rk )
.
Ist (x0 , y0 ) ∈ U ×V mit f (x0 , y0 ) = 0 und d2 f (x0 , y0 ) invertierbar, so existieren
offene Umgebungen U1 von x0 in U und V1 von y0 in V sowie eine C m Abbildung η : U1 → V1 mit η(x0 ) = y0 und
{(x, y) ∈ U1 × V1 : f (x, y) = 0} = { x, η(x) : x ∈ U1 }.
Insbesondere gilt f x, η(x) = 0 für alle x ∈ U1 .
Beweis.
Die Abbildung
ϕ : U × V → Rn × Rk ,
(x, y) 7→ x, f (x, y)
hat die Jacobimatrix
 1


J(x,y) (ϕ) = 
 0

0
..
.
1
∂fi
(x,
y)
∂xl
i,l
0 ... 0
..
..
.
.
0 ... 0
∂fi
(x,
y)
∂yj



,


i,j
das heißt,
det J(x0 ,y0 ) (ϕ) = det
∂fi
(x0 , y0 ) = det((d2 f )(x0 , y0 )) 6= 0.
∂yj
Das Differential dϕ(x0 , y0 ) ist also invertierbar. Nach dem Satz über die Umkehrfunktion existiert daher eine Umgebung W von (x0 , y0 ) , so dass
ϕ |W : W → ϕ(W ) ⊆ Rn × Rk
ein C 1 -Diffeomorphismus ist. Die Umkehrfunktion ψ := (ϕ |W )−1 : ϕ(W ) → W
hat dann die Gestalt
ψ(x, y) = x, g(x, y)
mit einer C 1 -Abb. g: ϕ(W ) → Rk .
XII.1. Der Satz über implizite Funktionen
249
Wir definieren
η: {x ∈ Rn : (x, 0) ∈ ϕ(W )} → Rk ,
η(x) := g(x, 0).
Dann ist
ψ(x, 0) = (x, g(x, 0)) = (x, η(x))
und daher
(x, 0) = ϕ(ψ(x, 0)) = ϕ x, η(x) = x, f (x, η(x)) ,
d.h. f (x, η(x)) = 0 . Ist andererseits f (x, y) = 0 für (x, y) ∈ W , so ist ϕ(x, y) =
(x, 0) und daher (x, y) = ψ(x, 0) = (x, η(x)) , also y = η(x) . Wir haben also
gezeigt, dass
(1.1)
{(x, y) ∈ W : f (x, y) = 0} = {(x, η(x)) ∈ W : (x, 0) ∈ ϕ(W )}.
Wir wählen jetzt offene Umgebungen U10 von x0 und V1 von y0 zunächst
so klein, dass U10 × V1 ⊆ W gilt. Wegen der Stetigkeit von η finden wir eine
offene Umgebung U1 ⊆ U10 von x0 mit η(U1 ) ⊆ V1 . Da η |U1 ∈ C m (U1 , Rk ) aus
dem Satz über die Umkehrfunktion folgt, ist damit wegen (1.1) alles gezeigt.
Bemerkung XII.1.2. (a) Die Voraussetzung von Theorem XII.1.1 lässt sich
wie folgt nachprüfen. Wir schreiben hierzu x = (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yk ) für die
Elemente von Rn+k . Dann ist die Matrix der linearen Abbildung d2 f (x, y)
gegeben durch
∂f
∂fi
(x, y) :=
(x, y)
.
∂y
∂yj
i,j=1,...,k
Man hat also die Invertierbarkeit dieser Matrix zu überprüfen.
Ist diese Bedingung an einer Stelle (x0 , y0 ) erfüllt, so garantiert der Satz
über implizite Funktionen lokal die Auflösbarkeit der Gleichung
f (x, y) = 0
auf U1 × V1 nach y durch die Funktion η , denn für (x, y) ∈ U1 × V1 mit
f (x, y) = 0 gilt y = η(x) . Man kann dies auch so interpretieren, dass der
Schnitt von U1 × V1 mit der Nullstellenmenge von f der Graph der Funktion η
ist. Die Bedingung
∂f
det
(x0 , y0 ) 6= 0
∂y
denkt man sich daher als eine hinreichende Bedingung für die lokale Auflösbarkeit
der Gleichung f (x, y) = 0 nach y .
(b) Ist diese Bedingung in einem Punkt (x0 , y0 ) mit c := f (x0 , y0 ) 6= 0 erfüllt,
so beschreibt sie eine hinreichende Bedinung für die Auflösbarkeit der Gleichung
f (x, y) = c
nach y , denn man kann statt f die Funktion f − c betrachten.
250
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
31. Oktober 2007
(c) Eine notwendige Bedingung für die Anwendbarkeit von Theorem XII.1.1 ist,
dass die lineare Abbildung df (x0 , y0 ): Rn+k → Rk den Rang k besitzt, d.h.
surjektiv ist. Es kann allerdings durchaus passieren, dass dies der Fall ist, ohne
dass d2 f (x0 , y0 ) invertierbar ist.
Wir nehmen an, dass df (x0 , y0 ) den Rang k besitzt, also surjektiv ist und
schreiben x = (x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xn+k ) für die Elemente von Rn+k . Dann
existieren verschiedene Indizes r1 , . . . , rk ∈ {1, . . . , n + k} , so dass die Matrix
∂fi
(x0 , y0 )
∂xrj
i,j=1,...,k
invertierbar ist. In diesem Fall schreiben wir
Rn+k = E1 ⊕E2 , mit E1 = span{ei : (∀j)i 6= rj },
E2 = span{erj : j = 1, . . . , k}.
Dann ist E1 ∼
= Rn und E2 ∼
= Rk . Wir schreiben die Elemente von E1 als
(z1 , . . . , zn ) und die Elemente von E2 als (zn+1 , . . . , zn+k ) bzgl. einer Basis, die
durch eine Permutation aus der kanonischen Basis entsteht, die die Menge der
Indizes {r1 , . . . , rk } auf {n+1, . . . , n+k} abbildet. So erhalten wir die Situation
aus Theorem XII.1.1, denn nun ist
∂fi
(x0 , y0 )
6= 0
det
∂zn+j
i,j=1,...,k
i
(x
,
y
)
invertierbar.
und daher ∂z∂f
0 0
n+j
i,j=1,...,k
Insbesondere spielt es keine Rolle, wie wir den Rn+k aufteilen. Wichtig ist,
dass man in zwei Unterräume E1 und E2 aufteilt, so dass df (x0 , y0 ) |E2 : E2 → Rk
invertierbar ist.
Beispiel XII.1.3. Wir betrachten die Funktion:
2
x − y2
3
2
f : R → R , f (x, y, z) =
x2 − z 2
mit der Jacobimatrix
J(x,y,z) (f ) =
2x −2y
2x
0
0
−2z
.
In diesem Fall ist k = 2 und n = 1 . Die lokale Auflösbarkeitsbedingung nach
(y, z) ist erfüllt, wenn
∂f
−2y0
0
(x0 , y0 , z0 ) = det
= 4y0 z0 6= 0
det
0
−2z0
∂(y, z)
ist. In diesem Fall existieren offene Umgebungen U von x0 und V von (y0 , z0 )
in R2 sowie eine Funktion η: U → R2 (eine Kurve), so dass für ein Tripel
(x, y, z) ∈ U × V die Gleichung
f (x, y, z) = f (x0 , y0 , z0 )
XII.1. Der Satz über implizite Funktionen
251
genau dann erfüllt ist, wenn (y, z) = η(x) ist, d.h., wenn der Punkt (x, y, z) auf
dem Graphen der Kurve η liegt.
Ist obige Lösungsbedingung nicht erfüllt, d.h. y0 = 0 , z0 6= 0 und x0 6= 0 ,
so ist
∂f
2x0
0
(x0 , y0 , z0 ) = det
det
= −4x0 z0 6= 0
2x0 −2z0
∂(x, z)
und wir erhalten entsprechend lokale Auflösbarkeit nach dem Variablenpaar
(x, z) .
Der Satz über implizite Funktionen ermöglicht uns, die Nullstellenmenge
einer Funktion f lokal als Graph einer Funktion η zu beschreiben, wenn die
Bedingung an das Differential erfüllt ist.
Betrachtet man beispielsweise den Einheitskreis, d.h. die Nullstellenmenge
von
f : R2 → R, f (x, y) = x2 + y 2 − 1,
so ist die lokale Lösbarkeitsbedingung nach y für U = V = R gegeben durch
0 6=
∂f
(x0 , y0 ) = 2y0 ,
∂y
d.h., in den Punkten
mit y0 = 0 kann
√
√ man kein η finden. Für y0 > 0 findet
2
man η(x) = 1 − x , und η(x) = − 1 − x2 für y0 < 0 . Um die Punkte (1, 0)
und (−1, 0) ist der Kreisbogen nicht als Graph einer Funktion beschreibbar.
Allerdings kann man hier die in Bemerkung XII.1.2(c) beschriebene Methode
verwenden. Die Bedingung für die Auflösbarkeit der Gleichung nach x ist
0 6=
∂f
(x0 , y0 ) = 2x0
∂x
und ist p
in den Punkten (±1, 0) erfüllt. Entsprechend
erhalten wir Funktionen
p
2
2
η(y) = 1 − y für x0 > 0 und η(y) = − 1 − y für x0 < 0 .
Bemerkung XII.1.5.
(a) Es ist instruktiv, sich klarzumachen, wie der
Satz über implizite Funktionen im Kontext der Linearen Algebra aussieht. In
diesem Fall ist f : Rn × Rk → Rk eine lineare Abbildung. Gesucht ist eine
Parametrisierung von
ker f = {v ∈ Rn+k : f (v) = 0}.
Die Bedingung aus Theorem XII.1.1 bedeutet, dass f |{0}×Rk surjektiv ist. Für
die zugehörige Matrix bedeutet dies, dass die letzten k Spalten linear unabhängig
sind. In diesem Fall ist η: Rn → Rk eine lineare Abbildung, deren Graph
{(x, η(x)): x ∈ Rn } der Kern von f ist. Die Vektoren (ej , η(ej )) , j = 1, . . . , n ,
bilden also eine Basis des Kerns. Im allgemeinen kann man nicht erwarten,
dass die Lösungsbedingung erfüllt ist, wenn man nicht vorher die Koordinaten
geeignet permutiert.
252
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
31. Oktober 2007
(b) Theorem XII.1.1 besagt letztendlich, dass die nichtlineare Gleichung
f (x, y) = 0
in einer Umgebung von (x0 , y0 ) eindeutig und stetig differenzierbar nach y
auflösbar ist, falls ihre lineare Approximation
0 = df (x0 , y0 )(u, v) = d1 f (x0 , y0 )(u) + d2 f (x0 , y0 )(v)
eindeutig nach v auflösbar ist (siehe die Diskussion vor Theorem XII.1.1). Wir
beachten hierbei, dass die Bedingung der Invertierbarkeit von d2 f (x0 , y0 ) im
allgemeinen nicht notwendig ist. So hat zum Beispiel für
f : R2 → R,
f (x, y) = (x − y)2
die Gleichung f (x, y) = 0 die eindeutige Lösung y = η(x) = x; aber für x0 = y0
gilt
J(x0 ,y0 ) (f ) = 2(x0 − y0 ), 2(y0 − x0 ) = (0, 0).
Anwendung XII.1.6. (Algebraische Funktionen) Ein traditionelles Problem
der Algebra ist das Auflösen von Polynomgleichungen. Wir schauen uns jetzt an,
was uns der Satz über implizite Funktionen hierüber sagt.
Sei f : Rn × R → R das Polynom
n
f (x, t) = t +
n
X
xk tn−k = tn + x1 tn−1 + . . . + xn−1 t + xn .
k=1
Dann ist f (x, P
t) = 0 genau dann, wenn t eine Nullstelle des Polynoms fx (t) :=
n
f (x, t) = tn + k=1 xk tn−k ist. Sei t0 ∈ R eine einfache Nullstelle von fx0 , d.h.
fx0 0 (t) 6= 0 . Dann ist
∂f
(x0 , t0 ) = fx0 0 (t0 ) 6= 0.
∂t
Dies entspricht der Lösbarkeitsbedingung nach t im Satz über implizite Funktionen XII.1.1. Es existieren also eine Umgebung U von x0 = (x0,1 , . . . ,x0,n )
und eine beliebig oft differenzierbare Funktion η ∈ C ∞ (U ) mit f x, η(x) = 0
für alle x ∈ U und η(x0 ) = t0 . Damit haben wir folgende bemerkenswerte Aussage bewiesen: Die einfachen Nullstellen eines Polynoms hängen lokal beliebig
oft differenzierbar von seinen Koeffizienten ab.
Funktionen wie das oben beschriebene η nennt man algebraische Funktionen, weil sie Lösungen von polynomialen Gleichungen sind. Als Beispiel sei für
n = 2 das Polynom f (x, y, t) = t2 + xt + y angeführt. Die Bedingung für die
lokale Auflösbarkeit der Gleichung f (x, y, t) = 0 nach t an der Stelle (x0 , y0 , t0 )
mit f (x0 , y0 , t0 ) ist 2t0 + x0 6= 0 . Wegen
f (x, y, t) = t +
x2
x 2
+y−
2
4
XII.1. Der Satz über implizite Funktionen
253
bedeutet dies, dass t0 keine zweifache Nullstelle des Polynoms t2 + x0 t + y0 ist,
x2
d.h. y0 < 40 . Wir nehmen zuerst
r
x20
x0
t0 = − +
− y0
2
4
an. Eine hierzu passende Funktion η ist dann gegeben durch
r
x2
x
η(x, y) = − +
−y
2
4
2
auf der Menge U1 := {(x, y): x4 > y}. Gilt
r
x20
x0
− y0 ,
t0 = − −
2
4
so erhalten wir
r
x
x2
η(x, y) = − −
−y
2
4
2
auf der Menge U1 := {(x, y): x4 > y} . Man kann dies so interpretieren, dass über
jedem Punkt (x, y) der offenen Menge U1 genau zwei Lösungen der Gleichung
2
f (x, y, t) = 0 liegen. Über den Randpunkten (x, y) ∈ ∂U1 gilt x4 = y , und über
diesen liegt nur eine Lösung. Die Lösungsmenge sieht also aus wie eine Fläche,
die man an der Kurve ∂U1 (eine Parabel) über sich selbst gefaltet hat.
Implizites Differenzieren
Bemerkung XII.1.7. (Die Ableitung von η ) Die Voraussetzungen seien wie
im Satz über implizite Funktionen. Wir schreiben wieder
df (x, y) = d1 f (x, y), d2 f (x, y) ,
mit d1 f (x, y) ∈ Hom(Rn , Rk ) und d2 f (x, y) ∈ End(Rk ) . Aus f x, η(x) = 0 für
x ∈ U1 folgt dann mit der Kettenregel
0 = df x, η(x) ◦ id, dη(x) = d1 f x, η(x) + d2 f x, η(x) ◦ dη(x)
Ist d2 f x, η(x) invertierbar, so ergibt sich hieraus
−1
dη(x) = −d2 f x, η(x)
◦ d1 f x, η(x) .
Speziell ergibt sich für n = k = 1 :
η 0 (x) = −
für f x, η(x) = 0 , falls
∂f
∂y
∂f
∂x
∂f
∂y
x, η(x)
x, η(x)
x, η(x) 6= 0 ist.
Wir betrachten die Funktion η : U1 → V1 als eine lokale Parametrisierung
der Lösungsmenge der Gleichung f (x, y) = 0 . Letztere wird somit lokal als
Graph der Funktion η dargestellt. Der folgende Begriff beschreibt allgemein
Teilmengen des Rn , die sich so beschreiben lassen, unabhängig davon, ob sie
Lösungsmenge einer Gleichung sind oder nicht.
254
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
31. Oktober 2007
Untermannigfaltigkeiten des Rn
Definition XII.1.8.
Eine Teilmenge M ⊆ Rn heißt k -dimensionale C m Untermannigfaltigkeit, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Für jeden Punkt
p ∈ M existiert eine offene Umgebung U ⊆ Rn , eine offene Teilmenge U 0 ⊆ Rn
und ein C m -Diffeomorphismus
ϕ : U → U 0 ⊆ Rn
mit
ϕ(U ∩ M ) = U 0 ∩ Rk × {0} .
Eine solche Abbildung heißt Umgebungskarte
von M. Eine Familie (ϕj )j∈J von
0
k
Umgebungskarten
S ϕj : Uj → Uj ∩ R × {0} von M heißt Umgebungsatlas von
M, wenn M ⊆ j∈J Uj ist.
Eine Untermannigfaltigkeit ist also eine Menge, die in geeigneten krummlinigen Koordinaten (beschrieben durch ϕ ) lokal wie Rk in Rn aussieht.
Beispiel XII.1.9. (a) (Funktionsgraphen) Sei n = m + k , V ⊆ Rk offen und
f : V → Rm eine stetig differenzierbare Funktion. Wir zeigen, dass
M := Γ(f ) = {(x, f (x)): x ∈ V }
eine k -dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit von Rm+k ist.
Hierzu sei U := V × Rm . Dies ist eine offene Menge, die Umgebung aller
Punkte in M ist. Wir betrachten die Abbildung
ϕ: U → U ⊆ Rn ,
ϕ(x, y) = x, y − f (x) .
Dann ist ϕ ein C 1 -Diffeomorphismus
der Menge U mit der inversen Abbildung
−1
ϕ (x, y) = x, y + f (x) . Weiter gilt
ϕ(U ∩ M ) = ϕ(M ) = V × {0} = U ∩ (Rk × {0}).
Die Abbildunge ϕ liefert also einen einelementigen Umgebungsatlas von M .
(b) (Die n -Sphäre) Wir betrachten die n -Sphäre
n
S := x ∈ R
n+1
n
n
o
X
n+1
: kxk2 = 1} = x ∈ R
:
x2j = 1 .
j=1
Wir zeigen, dass Sn eine n -dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn+1 ist.
Für jeden Index j ∈ {1, . . . , n + 1} betrachten wir die offenen Mengen
n
o
X
Uj± = x ∈ Rn+1 :
x2i < 1, ±xj > 0 .
i6=j
255
XII.1. Der Satz über implizite Funktionen
Jede der Mengen Uj± ist offen, und diese Mengen überdecken Sn . Wir betrachten
die Abbildungen
±
ϕ±
j : Uj
→R
n+1
,
ϕ±
j (x)
= x1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xn , xj ∓ 1 −
X
x2i
21 .
i6=j
±
±
Dann ist ϕ±
j ein Diffeomorphismus auf ϕj (Uj ) (Nachweis als Übung!), und es
gilt
±
±
±
n
ϕ±
j (Uj ∩ M ) = ϕj (Uj ) ∩ (R × {0}).
Hiermit sieht man, dass die 2(n + 1) Umgebungskarten ϕ±
j , j = 1, . . . , n + 1
einen Umgebungsatlas von Sn bilden.
Aufgabe XII.1. Sei M ⊆ Rn eine Teilmenge. Zeigen Sie: Die Eigenschaft
von M , eine k -dimensionale C m -Untermannigfaltigkeit zu sein, ist in dem folgenden Sinne lokal. Die Teilmenge M ist genau dann eine k -dimensionale C m Untermannigfaltigkeit von Rn , wenn für jeden Punkt p ∈ M eine offene Umgebung U existiert, so dass U ∩M eine k -dimensionale C m -Untermannigfaltigkeit
ist.
Bemerkung XII.1.10.
(a) Erfüllt f : U × V → Rk (U ⊆ Rn , V ⊆ Rk ) in
(x0 , y0 ) die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen XII.1.1, d.h., ist
d2 f (x0 , y0 ) invertierbar, so besagt Definition XII.1.8, dass die Menge
M := {(x, y) ∈ U1 × V1 : f (x, y) = 0}
eine k -dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn+k ist, denn sie ist ein Funktionsgraph. Die Abbildung
ϕ : U1 × V1 → Rn+k
aus dem Beweis ist eine Umgebungskarte. Möchte man zeigen, dass die gesamte
f := {(x, y) ∈ U × V : f (x, y) = 0} eine Untermannigfaltigkeit
Lösungsmenge M
f eine Umgebungskarte zu
ist, so hat man allerdings für jeden Punkt (x0 , y0 ) ∈ M
finden (vgl. Beispiel XII.1.4).
(b) Ist speziell f : Rn → Rk eine surjektive lineare Abbildung, so ist M :=
ker f eine (n − k) -dimensionale Untermannigfaltigkeit
von Rn (vgl. Rangsatz:
dim ker f = dim Rn − dim im f = n − dim im f ).
Definition XII.1.11.
Funktion, so heißt
Ist U ⊆ Rn offen und f : U → Rk eine differenzierbare
rgu (f ) := rg df (u)
der Rang von f in u . Der Punkt u heißt kritischer Punkt, wenn rgu (f ) < k
ist. In diesem Fall heißt f (u) ∈ Rk kritischer Wert. Ein Punkt y ∈ Rk heißt
regulärer Wert, wenn y kein kritischer Wert ist, d.h., wenn die Menge f −1 (y)
keine kritischen Punkte enthält. Beachte, dass alle Punkte y ∈
/ f (U ) reguläre
−1
Werte sind, weil f (y) = Ø ist.
256
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
31. Oktober 2007
Den folgenden Satz kann man als eine globale Version des Satz über implizite Funktionen verstehen, denn er gibt nicht nur Auskunft über die lokale
Struktur der Lösungsmenge einer Gleichung, sondern über ihre globale Struktur.
Rangsatz
Satz XII.1.12. Sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rk eine C m -Abbildung.
Ist w ∈ f (U ) ⊆ Rk ein regulärer Wert von f , so ist das Urbild f −1 (w) eine
(n − k)-dimensionale C m -Untermannigfaltigkeit von Rn .
Für n = 2 und k = 1 heißen die Mengen f −1 (w) Höhenlinien von f . Im
allgemeinen spricht man von Niveaumengen oder Niveauflächen.
Beweis. Sei u ∈ f −1 (w) . Wegen der Regularität von u ist rgu (f ) = k . Also
k
ist die Abbildung
g : U → R , x 7→ f (x) − w im Punkt u regulär, d.h., es
∂gi
gilt rg
(u)
= k . Nach geeigneter Umnumerierung der Koordinaten
∂xj
i=1...,k
j=1,...,n
dürfen wir o.B.d.A. annehmen, dassdie ersten
k Spalten der Matrix Ju (g) linear
∂gi
unabhängig sind, d.h., es ist det
6= 0 (vgl. die Diskussion in
∂xj i,j=1...,k
Bemerkung XII.1.2). Sei nun
ϕ : U → Rn ,
x 7→ g1 (x), . . . , gk (x), xk+1 , . . . , xn .
Dann ist

∂gi
∂xj

i=1...,k
j=1,...,n


1 ··· 0 

..

.
0 ··· 1
∂gi
eine (n × n) -Matrix mit det Ju (ϕ) = det
6= 0 . Nach dem Satz
∂xj i,j=1...,k
über die Umkehrfunktion gibt es also eine offene Umgebung V von u , so dass
ϕ |V : V → ϕ(V ) ein Diffeomorphismus ist. Dann ist


Ju (ϕ) = 
 0 ··· 0
..

.
0 ··· 0
ϕ f −1 (w) ∩ V = ϕ g −1 (0) ∩ V = {0} × Rn−k ∩ ϕ(V ).
Also ist ϕ eine Umgebungskarte von f −1 (w) um u , und dim f −1 (w) = n−k .
Beispiel XII.1.13. (a) Sei A ∈ GLn (R) eine invertierbare symmetrische Matrix und f : Rn → R gegeben durch f (x) = hAx, xi = x> Ax. Nach der Produktregel ist dann
df (x)(h) = 2hAx, hi,
also Jx (f ) = 2x> A (Nachweis als Übung). Ein Punkt x ∈ Rn ist genau dann
ein kritischer Punkt, wenn Ax = 0 ist. Da A invertierbar ist, gilt dies genau
dann, wenn x = 0 ist. Der einzige kritische Wert ist also t = 0 . Somit
XII.2. Extrema mit Nebenbedingungen
257
ist die Menge f −1 (t) für alle t 6= 0 eine Untermannigfaltigkeit von Rn . Für
A = diag(λ1 , . . . , λn ) , λi > 0 , ergeben sich Ellipsoide:
n
n
o
X
f −1 (t) = x ∈ Rn :
λj x2j = t .
j=1
Für A = 1 erhalten wir einen neuen Beweis dafür, dass die Sphäre
Sn−1 := {x ∈ Rn : kxk = 1}
eine (n−1) -dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn ist (Beispiel XII.1.9(b)).
(b) Sei f : R2 → R, (x, y) 7→ x4 − y 4 . Dann ist ∇f (x, y) = (4x3 , −4y 3 ) .
Also ist (x, y) genau dann kritischer Punkt, wenn (x, y) = (0, 0) ist, und der
einzige kritische Wert ist t = 0. Für t 6= 0 sind also alle Höhenlinien von f
Untermannigfaltigkeiten von R2 . Für t = 0 ist die zugehörige Höhenlinie keine
Untermannigfaltigkeit, da sie aus zwei Geraden besteht, die sich im Nullpunkt
schneiden.
(c) Ist f : Rn → Rk eine lineare Abbildung, so ist ein Punkt w ∈ f (Rn ) ⊆ Rk
genau dann ein regulärer Wert, wenn rg(f ) = k ist (beachte, dass f = df (u)
für alle u ∈ Rn gilt, so dass rgu (f ) = rg df (u) = rg(f ) von u unabhängig ist).
Dann ist für jeden Punkt w ∈ Rk die Menge f −1 (w) ein affiner Unterraum von
Rn : Ist f (x) = w , so ist f −1 (w) = x + ker f . Dies sind spezielle Untermannigfaltigkeiten der Dimension dim(ker f ) = n − k .
Aufgabe XII.1.
Sei 1 < p < ∞. Wir betrachten die Einheitssphäre
M := {x ∈ Rn : kxkp = 1} = {x ∈ Rn : |x1 |p + . . . + |xn |p = 1}.
Für welche p ist die Funktion f (x) := |x1 |p + . . . + |xn |p auf Rn stetig differenzierbar? Wie hoch ist die Differenzierbarkeitsordnung? Diskutieren sie zuerst die
Funktion R → R, x 7→ |x|p . Für welche k ist M eine C k -Untermannigfaltigkeit?
XII.2. Extrema mit Nebenbedingungen
Nachdem wir in Abschnitt X.4 Extrema von Funktionen studiert haben, die auf
offenen Mengen U ⊆ Rn definiert sind, wenden wir uns nun einer Situation zu,
die in praktischen Problemen viel häufiger zu finden ist. Wir werden Extrema
mit Nebenbedingungen studieren, d.h. Extrema von Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten M ⊆ Rn . Der wesentliche Punkt hierbei ist, dass man dies nicht
direkt durch eine Parametrisierung der Untermannigfaltigkeit auf die Situation
von Abschnitt X.4 zurückführen möchte, da dies im allgemeinen recht kompliziert
sein kann. Vielmehr möchte man direkter notwendige Bedingungen ableiten, die
sich mit Daten formulieren lassen, die sich aus der Funktion g ergeben, die die
Untermannigfaltigkeit als Niveaumenge g −1 (0) beschreibt.
258
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
31. Oktober 2007
Definition XII.2.1. Sei M ⊆ Rn eine k -dimensionale Untermannigfaltigkeit
und p ∈ M . Ein Vektor v ∈ Rn heißt Tangentialvektor an M in p, wenn
eine stetig differenzierbare Kurve γ : ] − ε, ε[ → M ⊆ Rn mit γ(0) = p und
γ̇(0) = v existiert. Die Menge Tp (M ) aller Tangentialvektoren von M in p
heißt Tangentialraum von M in p. Die Menge p + Tp (M ) heißt Tangente an p.
Satz XII.2.2. Der Tangentialraum Tp (M ) ist ein k -dimensionaler Untervektorraum von Rn . Beschreiben kann man ihn wie folgt:
(a) Ist ϕ : U → U 0 ⊆ Rn eine Umgebungskarte
um p mit ϕ(p) = 0 und
k
ϕ(U ∩ M ) = ϕ(U ) ∩ R × {0} , so ist
−1 k
Tp (M ) = dϕ(p)
R × {0} = d ϕ−1 (0) Rk × {0} .
(b) Ist U ⊆ Rn offen, g : U → Rn−k eine stetig differenzierbare Funktion,
w ∈ Rn−k ein regulärer Wert von g und
M := g −1 (w) = {x ∈ U : g(x) = w} =
6 Ø,
so ist
Tp (M ) = ker dg(p) .
Es ist klar, dass aus (a) und (b) jeweils folgt, dass Tp (M ) ein Vektor-
Beweis.
raum ist.
Zuerst führen
wir (b) auf (a) zurück. In der Situation von (b) sei ϕ(x) =
x1 , . . . , xk , g(x) wie im Beweis von Theorem XII.1.12, wobei die Matrix
∂gi
(p)
∂xj
i=1,...,n−k,j=k+1,...,n
invertierbar ist. Dann liefert ϕ eine Umgebungskarte um p in M und


1k
0
1
0
k
=
Jp (ϕ) =  ∂gi
Jp (g)
(p)
∂xj
i,j
wobei 1k die (k × k) -Einheitsmatrix ist. Dann ist
−1 k
dϕ(p)
R × {0} = ker dg(p).
Nun beweisen wir (a). Ist γ : ]−ε, ε[ → M ⊆ Rn eine stetig differenzierbare
Kurve mit γ(0) = p und γ̇(0) = v , so ist
0
ϕ ◦ γ (0) = dϕ γ(0) γ̇(0) ∈ Rk × {0},
−1 k
d.h., v = γ̇(0) ∈ dϕ(p)
R × {0} . Ist umgekehrt
−1 k
v ∈ dϕ(p)
R × {0}
und ist ε > 0 , so dass t · dϕ(p)(v) ∈ ϕ(U ) für alle t mit |t| < ε gilt, so definieren
wir
γ : ] − ε, ε[ → M, t 7→ ϕ−1 t · dϕ(p)(v) .
Dann ist γ stetig differenzierbar mit γ(0) = ϕ−1 (0) = p und
−1
γ̇(0) = d ϕ−1 (0) dϕ(p)(v) = dϕ(p)
◦ dϕ(p) (v) = v.
−1 k
Es folgt Tp (M ) = dϕ(p)
R × {0} .
259
XII.2. Extrema mit Nebenbedingungen
Wir fassen zusammen:
(a) Lokal sieht eine Untermannigfaltigkeit M aus wie eine verbogene Kopie einer
offenen Teilmenge von Rk im Rn . Der Tangentialraum Tp (Rk ) an Rk ist in allen
Punkten p gleich Rk selbst; entsprechend überträgt sich der Tangentialraum
durch das Differential der Parametrisierungsabbildung auf die Mannigfaltigkeit.
(b) Wird M durch die Gleichung g(x) = 0 beschrieben, so wird der Tangentialraum Tp (M ) durch die Gleichung dg(p)(v) = 0 beschrieben. Ist speziell
g : U → R , U ⊆ Rn , so ist M = g −1 (w) eine Niveaufläche der Funktion g . Ist
w ein regulärer Wert, so ist
Tp (M ) = ker dg(p) = {v ∈ Rn : h∇g(p), wi = 0}.
Der Gradient ist also orthogonal zu den Niveauflächen bzw. dem Tangentialraum.
Beispiel XII.2.3. (a) Sei M = Sn−1 ⊆ Rn die Einheitssphäre. Man kann sie
als Nullstellenmenge der Funktion g(x) = kxk2 −1 = hx, xi−1 beschreiben, d.h.,
es ist M = g −1 (0) . Null ist ein regulärer Wert. Wegen ∇g(x) = 2x ist
Tp (M ) = {v ∈ Rn : hv, pi = 0},
und die Tangente in p ist gleich
p + Tp (M ) = {v ∈ Rn : hv, pi = 1}.
(b) Sei U ⊆ Rn eine offene Menge und f : U → Rk eine C m -Abbildung. Dann
ist der Funktionsgraph
M := Γ(f ) :=
x, f (x) : x ∈ U ⊆ U × Rk
eine n -dimensionale Untermannigfaltigkeit, denn für
g : U × Rk → R k ,
g(x, y) := y − f (x)
ist M = g −1 (0) und

J(x,y) (g) =

−Jx (f )
|
{z
n
}
1
0
..
.
|0 {z
k
}1


 k
 ,
d.h., für alle p ∈ M gilt die Beziehung rgp (g) = k ; insbesondere ist 0 ein
regulärer Wert. Um den Tangentialraum zu berechnen, verwenden wir, dass
genau dann dg(x, y)(v, w) = −df (x)(v) + w = 0 gilt, wenn w = df (x)(v) ist.
Damit erhalten wir
T(x,f (x)) (M ) =
v, df (x)(v) : v ∈ Rn = Γ df (x) ;
260
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
die Tangente als
”
31. Oktober 2007
affine Approximation“ von M ist dann
x, f (x) + T(x,f (x)) (M ) = x + v, f (x) + df (x)(v) : v ∈ Rn .
Passenderweise ist sie also der Graph der affinen Funktion
Tx1 (f )(v) = f (x) + df (x)(v).
Definition XII.2.4. Sei M eine C 1 -Untermannigfaltigkeit der offenen Teilmenge U ⊆ Rn und f : U → R eine stetig differenzierbare Funktion. Dann heißt
p ∈ M kritischer Punkt von f |M , wenn
df (p) |Tp (M ) = 0
gilt. Er heißt dann ein kritischer Punkt unter der Nebenbedingung M .
Wir fügen an dieser Stelle einen Satz ein, der eigentlich in die lineare
Algebra gehört; wir brauchen ihn im Beweis des nachfolgenden Satzes.
Satz XII.2.5. Ist V ein Vektorraum, und sind α, β1 , . . . , βn : V → R lineare
Abbildungen, so ist die Bedingung
n
\
ker α ⊇
ker βj
(2.1)
j=1
äquivalent zur Existenz von λ1 , . . . , λn ∈ R mit
α = λ1 β1 + . . . + λn βn .
(2.2)
Beweis. Die Richtung (2.2) ⇒ (2.1) ist trivial. Zum Beweis der Richtung
(2.1) ⇒ (2.2) betrachten wir die lineare Abbildung
ϕ : V → Rn , v 7→ β1 (v), . . . , βn (v) .
Dann ist ker ϕ =
Tn
i=1
ker βi . Wegen α(ker ϕ) = {0} wird durch
α
e : ϕ(V ) → R,
ϕ(v) 7→ α(v)
eine lineare Abbildung definiert, die sich zu einer linearen Abbildung α
e : Rn → R
mit
e ◦ ϕ = α fortsetzen lässt. Nun existieren Zahlen
λ1 , . . . , λn mit α
e(x) =
P
Pn α
n
n
λ
β
(v)
für alle
λ
x
für
alle
x
∈
R
.
Dann
gilt
α(v)
=
α
e
ϕ(v)
=
i
i=1 i i
i=1 i
v ∈ V , d.h.,
α = λ1 β1 + . . . + λn βn .
XII.2. Extrema mit Nebenbedingungen
261
Satz XII.2.6. Sei U ⊆ Rm+n eine offene Teilmenge, und die m-dimensonale
C 1 -Untermannigfaltigkeit M ⊆ U sei durch
M := {x ∈ U : g(x) = 0}
gegeben, wobei g : U → Rn eine stetig differenzierbare Funktion und 0 ein
regulärer Wert sei.
(a) Dann ist p ∈ M genau dann ein kritischer Punkt von f ∈ C 1 (U ) unter
der Nebenbedingung g = 0 , wenn Zahlen λ1 , . . . , λn ∈ R so existieren, dass
n
X
df (p) =
λj dgj (p)
j=1
gilt, d.h. df (p) ist von den dgj (p) linear abhängig.
Notwendige Bedingung für Extrema
(b) Hat f in p ∈ M ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung g = 0,
so ist p ein kritischer Punkt von f |M . Dass p ein lokales Maximum ist,
bedeutet in diesem Kontext, dass ein δ > 0 so existiert, dass f (x) ≤ f (p)
für alle x ∈ M mit kx − pk ≤ δ gilt.
Beweis. (b) Sei p ein lokales Extremum von f | M . Es ist zu zeigen, dass
df (p) |Tp (M ) = 0 gilt, dass also Tp (M ) ⊆ ker df (p) ist. Sei v ∈ Tp (M ) . Dann
existiert eine Kurve γ : ] − ε, ε[ → M mit γ(0) = p und γ̇(0) = v . Nun ist 0 ein
lokales Extremum der Funktion ] − ε, ε[→ R, t 7→ f γ(t) , also gilt
d
0=
f γ(0) = df γ(0) γ̇(0) = df (p)(v).
dt t=0
Damit ist Tp (M ) ⊆ ker df (p) , also p ein kritischer Punkt von f |M .
(a) Nach Satz XII.2.2 ist
n
\
Tp (M ) = ker dg(p) =
ker dgi (p) für g = (g1 , . . . , gn ).
i=1
Tn
Die Bedingung, dass p kritischer Punkt ist, ist also zu ker df (p) ⊇ i=1 ker dgi (p)
äquivalent. Nach Satz XII.2.5 bedeutet dies, dass Zahlen λ1 , . . . , λn ∈ R mit
n
X
df (p) =
λi dgi (p)
i=1
existieren.
Methode der Lagrange-Multiplikatoren
Die Zahlen λ1 , . . . , λm in Satz XII.2.6 heißen Lagrange-Multiplikatoren.
Will man die lokalen Extrema von f |M bestimmen, so hat man also die 2n + m
Gleichungen
n
X
g(x) = 0 und df (x) −
λi dgi (p) = 0
i=1
zu lösen. In ihnen kommen 2n + m Unbekannte vor, nämlich x1 , . . . , xm+n und
λ1 , . . . , λ n .
262
XII. Gleichungen und Mannigfaltigkeiten
31. Oktober 2007
Beispiel XII.2.7. (a) Sei M = Sk−1 ⊆ Rk die Einheitskugel, also die Nullstellenmenge von g(x) = kxk2 − 1 , und f (x) = hAx, xi für eine symmetrische
Matrix A. Wir suchen die kritischen Punkte von f | M . Hier ist n = 1 und
m = k − 1 , also m + 2n = k + 1 . Es ist ∇f (x) = 2Ax und ∇g(x) = 2x. Die
Gleichungen, die wir lösen müssen, sind also g(x) = 0 und ∇f (x)−λ·∇g(x) = 0 ,
d.h.
kxk2 = 1 und Ax − λx = 0.
Ein Punkt x ∈ M ist also genau dann kritischer Punkt von f | M , wenn er
Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist. Wegen f (x) = hAx, xi ergibt sich als
zugehöriger Funktionswert in x ∈ Sk−1 :
f (x) = hAx, xi = λhx, xi = λ.
Folglich ist x genau dann ein Minimum von f |M , wenn x Eigenvektor zum minimalen Eigenwert von A ist und ein Maximum genau dann, wenn x Eigenvektor
zum maximalen Eigenwert ist.
Man beachte: Aus dem Satz vom Maximum folgt die Existenz eines Maximums von f auf der kompakten Menge M = Sk−1 , was bedeutet, dass A
mindestens einen reellen Eigenwert hat! Induktiv schließt man hieraus leicht,
dass die nach Voraussetzung symmetrische Matrix A reell diagonalisierbar ist
(Lineare Algebra II).
(b) Sei M = {x ∈ U : g(x) = 0} ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit, wobei 0 ein
regulärer Wert der stetig differenzierbaren Funktion g: U → R ist. Weiter sei
p ∈ Rn \ M . Wir suchen in M einen Punkt minimalen Abstands von p . Wir
betrachten dazu die Funktion
n
X
f : U → R, f (x) = kx − pk2 =
(xj − pj )2 .
j=1
Wir nehmen an, dass x ∈ M ein lokales Minimum der Funktion f unter
der Nebenbedingung g = 0 ist. Nun ist
∇f (x) = 2(x − p),
so dass genau dann ein λ ∈ R mit
df (x) + λdg(x) = 0
existiert, wenn df (x) kollinear zu dg(x) ist. Da der Tangentialraum Tx (M ) mit
ker dg(x) übereinstimmt, bedeutet dies, dass
(x − p) ⊥ Tx (M )
gilt. Wir finden also die notwendige Bedingung, dass die Verbindungsstrecke von
p und x senkrecht zu Tp (M ) ist, d.h., diese Verbindungsstrecke trifft orthogonal
auf die Untermannigfaltigkeit M .
Aufgabe XII.2.
Gegeben sei die Untermannigfaltigkeit
M = {(x, y, z) ∈ R3 : z = y 2 + x2 }
und p = (0, 0, t) . Bestimmen sie (in Abhängigkeit von t ), alle Punkte auf M ,
die von p minimalen Abstand haben.
XIII.1. Das mehrdimensionale Riemann–Integral
263
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
In diesem letzten Kapitel der Analysis in mehreren Veränderlichen werden wir uns
noch kurz der Integrationstheorie zuwenden. Für eine ausführliche Diskussion
der Integralrechnungen in mehreren Veränderlichen reicht die uns verbleibende
Zeit hier nicht aus und dafür ist ohnehin die Vorlesung Mehrfachintegration“
”
vorgesehen. Wir werden daher nur kurz die wichtigsten Eckpfeiler der Theorie
kennenlernen (im wesentlichen ohne Beweise) und sehen, dass man damit durchaus für viele praktische Zwecke genug weiß, um konkrete Integrale berechnen zu
können.
XIII.1. Das mehrdimensionale Riemann–Integral
Wie in der eindimensionalen Integrationstheorie betrachten wir nur beschränkte Funktionen
f : [a, b] := {x ∈ Rn : (∀i) ai ≤ xi ≤ bi } → R,
die auf Quadern [a, b] in Rn definiert sind.
Auch hier beginnen wir mit dem Konzept einer Stufenfunktion, das allerdings durch die höhere Dimension etwas komplizierter wird.
Definition XIII.1.1. Sei Q = [a, b] ⊆ Rn ein Quader.
(a) Eine Menge Z = {Q1 , . . . , Qm } von nicht überlappenden Quadern Qj
heißt Zerlegung von Q, wenn
m
[
Q=
Qj .
j=1
Mit “nicht überlappend” meinen wir hier, dass der Schnitt Qi ∩ Qj zwar nicht
leer sein muss, aber keine inneren Punkte enthalten darf (vgl. Aufgabe 1.1).
(b) Die Zahl
n
Y
voln (Q) := µ(Q) :=
bi − ai
i=1
heißt Maß oder n -dimensionales Volumen von Q.
264
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
(c) Die Zahl δ(Q) := kb − ak∞ heißt Durchmesser von Q. Ist δ(Qk ) der
Durchmesser von Qk , so heißt
kZk := max δ(Qk )
1≤k≤m
Norm der Zerlegung.
Aufgabe 1.1.
Dann ist
(Durchschnitte von Quadern) Seinen a ≤ b und c ≤ d in Rn .
[a, b] ∩ [c, d] = [max(a, c), min(b, d)]
wieder ein Quader. Hierbei ist
max(a, c) := (max(a1 , c1 ), . . . , max(an , cn ))
und
min(b, d) := (min(b1 , d1 ), . . . , min(bn , dn )).
Definition XIII.1.2.
Eine Funktion f : [a, b] → R heißt Treppenfunktion,
wenn es eine Zerlegung Z = (Q1 , . . . , Qm ) von [a, b] und Zahlen c1 , . . . , cm ∈ R
gibt mit
f (x) = ck für x ∈ Q0k .
Wir sprechen dann von einer Treppenfunktion bzgl. der Zerlegung Z . Von den
Funktionswerten an den Rändern der Quader Qk wird nichts verlangt. Wir
schreiben Tab für die Menge der Treppenfunktionen f : [a, b] → R .
Wie im Eindimensionalen stellt man leicht fest, dass Tab ein Vektorraum
ist und dass man auf Tab einen wohldefinierten (also von der Zerlegungn unabhängigen) Integralbegriff durch
Z
Z
f :=
[a,b]
f (x) dx :=
[a,b]
m
X
f (ξi )µ(Qi )
i=1
definieren kann, wobei ξi ∈ Q0i ist und die Funktion f auf dem Innern Q0i des
Zerlegungsquaders Qi konstant ist. Unmittelbar aus der Definition folgt, dass
das Integral auf Tab monoton und linear ist.
Definition XIII.1.3.
(a) Ist f : [a, b] → R eine beschränkte Funktion, so
definieren wir das Oberintegral
Z
f := inf
[a,b]
und das Unterintegral
Z
f := sup
[a,b]
nZ
ψ: f ≤ ψ, ψ ∈ Tab
o
[a,b]
nZ
[a,b]
o
ϕ: ϕ ≤ f, ϕ ∈ Tab .
265
XIII.1. Das mehrdimensionale Riemann–Integral
Um die Endlichkeit dieser Werte einzusehen, beachten wir, dass aus der
Beschränktheit von f die Existenz von m, M ∈ R mit m ≤ f ≤ M folgt.
b
Insbesondere
solche Paare gilt
R
R existieren ϕ, ψ ∈ Ta mit ϕ ≤ f ≤ ψ . Für
b
ϕ ≤ [a,b] ψ wegen der Monotonie des Integrals auf Ta . Insbesondere sind
R[a,b]
R
f
und
f reelle Zahlen mit
[a,b]
[a,b]
Z
Z
f≤
f.
[a,b]
[a,b]
(b) Eine beschränkte Funktion f : [a, b] → R heißt Riemann-integrabel
(Riemann-integrierbar), wenn
Z
Z
f
f=
[a,b]
[a,b]
b
gilt, Rd.h., wenn
R zu jedem ε > 0 Treppenfunktionen ϕ, ψ ∈ Ta mit ϕ ≤ f ≤ ψ
und [a,b] ϕ − [a,b] ψ ≤ ε existieren. In diesem Fall definieren wir das RiemannIntegral von f durch
Z
Z
Z
f :=
[a,b]
f=
[a,b]
f
[a,b]
Die Menge der Riemann-integrablen Funktionen auf [a, b] bezeichnen wir mit
Rab . Wir bemerken, dass Tab ⊆ Rab trivialerweise gilt.
Wie im Eindimensionalen zeigt man nun, dass auch Rab ein Vektorraum
ist und das Integral darauf eine monotone lineare Abbildung. Sind f und g
Riemann-integrabel, so auch
max(f, g),
min(f, g),
f ± g,
f ·g
und
|f |.
Von zentraler Bedeutung ist allerdings, dass alle stetigen Funktionen Riemann-integrabel sind:
Satz XIII.1.4.
Jede stetige Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrabel.
Beweis. Sei ε > 0 . Nach Satz IX.3.19 ist f gleichmäßig stetig. Es existiert
also ein δ > 0 mit |f (x) − f (y)| ≤ ε für alle x, y mit kx − yk∞ ≤ δ . Wir wählen
−ai
nun ein N ∈ N , so dass bi N
< δ für alle i gilt. Für j ∈ Nn0 mit 0 ≤ ji ≤ N − 1
bilden die Quader
n
ji (bi − ai )
(ji + 1)(bi − ai ) o
Qj := Q(j1 ,...,jn ) := x ∈ Rn : (∀i) ai +
≤ xi ≤ ai +
N
N
dann eine Zerlegung Z von [a, b] mit kZk ≤ δ . In der Tat erhalten wir N n
Quader des Durchmessers N1 δ([a, b]) = N1 kb − ak∞ . Für jedes j sei
mj := inf f (Qj )
und
Mj := sup f (Qj ).
266
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Sei ϕ ≤ f eine Treppenfunktion, die auf Q0j den Wert mj annimmt und ψ ≥ f
eine Treppenfunktion, die auf Q0j den Wert Mj annimmt. Dann ist ϕ ≤ f ≤ ψ
und aus δ(Z) ≤ δ folgt Mj − mj ≤ ε für alle j , also ψ − ϕ ≤ ε . Hieraus ergibt
sich
Z
Z
Z
Z
f−
[a,b]
f≤
[a,b]
ψ−
[a,b]
ϕ ≤ εµ([a, b]).
[a,b]
Da ε beliebig war, folgt die Gleichheit von Ober- und Unterintegral, also die
Integrabilität von f .
Definition XIII.1.5.
(a) Eine beschränke Teilmenge S ⊆ Rn , die natürlich
in einem ausreichend großen Quader Q liegt, heißt Riemann-messbar, wenn ihre
charakteristische Funktion
1 für x ∈ S
χS (x) :=
0 für x 6∈ S
Riemann-integrabel ist. Ist dies der Fall, so heißt
Z
µ(S) := µn (S) :=
χS (x) dx
Q
das n -dimensionale Volumen der Menge S .
(b) Eine Riemannsche Nullmenge ist eine Riemann-messbare Menge N ,
für die µn (N ) = 0 ist.
Zunächst einmal wissen wir recht wenig über Riemann-messbare Mengen,
so dass es gar nicht so einfach ist, eine solche zu erkennen bzw. RiemannMessbarkeit einer gegebenen Menge nachzuweisen. Wir stellen hierzu einige
Hilfsmittel zusammen.
Satz XIII.1.6. Eine beschränkte Teilmenge S ⊆ Rn ist genau dann Riemannmessbar, wenn ihr Rand ∂S eine Riemannsche Nullmenge ist.
Ein typisches Beispiel einer nicht Riemann-messbaren Teilmenge von R ist
die Menge [0, 1] ∩ Q der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 . Der Rand dieser
Menge ist das ganze Intervall [0, 1] , also keine Nullmenge. Analog sieht man,
dass ([0, 1] ∩ Q)n eine nicht Riemann messbare Teilmenge von Rn ist.
Satz XIII.1.6 reduziert das Problem der Riemann-Messbarkeit auf das
Problem zu erkennen, ob gewissen Menge Riemannsche Nullmengen sind.
Lemma XIII.1.7. (a) Endliche Vereinigungen und Teilmengen Riemannscher
Nullmengen sind Riemannsche Nullmengen.
(b) Jede kompakte Teilmenge einer affinen Hyperbene in Rn ist eine Riemannsche Nullmenge.
(c) Ist K ⊆ Rn−1 kompakt und f : K → R eine stetige Funktion, so ist der Graph
Γ(f ) ⊆ Rn eine Riemannsche Nullmenge.
XIII.2. Berechnung von mehrdimensionalen Integralen
267
XIII.2. Berechnung von mehrdimensionalen Integralen
In diesem Abschnitt lernen wir Methoden kennen, mit denen man mehrdimensionale Integrale berechnen kann. Im Eindimensionalen besteht die Hauptmethode zur Berechnung von Integralen darin, den Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung anzuwenden, also durch Bestimmung einer Stammfunktion
Integrale auszuwerten. Im Mehrdimensionalen wiederum besteht die wichtigste
Methode darin, Mehrfachintegrale auf einfache Integrale zurückzuführen. Die
wichtigsten Werkzeuge hierzu sind der Satz von Fubini und das Prinzip von Cavalieri.
Wir beginnen mit dem zweidimensionalen Fall des Satzes von Fubini:
Satz XIII.2.1. (Fubini) Sei n = 2 und die Funktion f : [a, b] → R sei integrierbar. Für jedes x ∈ [a1 , b1 ] existiere das Integral
Z
b2
f (x, y) dy.
F (x) :=
a2
Dann existiert das iterierte Integral
Z
b1
Z
b2
Z
b1
f (x, y) dy dx =
a1
a2
F (x) dx
a1
und stimmt mit dem Riemann-Integral
Z
f (x, y) d(x, y)
[a,b]
überein.
Bemerkung XIII.2.2.
(a) Man beachte, dass wir bei Satz XIII.2.1 voraussetzen, dass die Funktion f Riemann-integrabel ist und dass dies i.a. nicht aus
der Existenz des interierten Integrals folgt.
(b) Existieren beide iterierten Integrale, so folgt aus Satz XIII.2.1 insbesondre,
dass sie den gleichen Wert haben.
(c) Ist die Funktion in Satz XIII.2.1 stetig, so ist sie gemäß Satz XIII.1.4 integrierbar. In diesem Fall existieren alle Integrale F (x) und definieren eine stetige
Funktion auf [a1 , b1 ] (Satz X.5.1). Hieraus folgt insbesondere, dass wir das Integral von f über [a, b] als Doppelintegral berechnen können.
Bemerkung XIII.2.3.
Mit dem Satz von Fubini können wir einsehen, dass
die Deutung des Integrals einer Riemann-integrierbaren Funktion konsistent mit
unserer Definition des zweidimensionalen Volumens (Flächeninhalts) ist.
268
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Sei dazu f : [a, b] → [0, M ] eine beschränkte Riemann-integrable Funktion.
Man sieht sehr leicht ein, dass die Menge
S := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}
eine Riemann-messbare Menge ist. Mit dem Satz von Fubini erhalten wir daher
Z
b
M
Z
b
Z
Z
f (x)
a
0
a
Beispiel XIII.2.4.
0
b
f (x) dx.
dy dx =
χS (x, y) dy dx =
µ2 (S) =
Z
a
Auf
Q := {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2}
betrachten wir die durch
f (x, y) := xy = ey log x
definierte stetige Funktion (Nachweis der Stetigkeit als Übung!). Wegen der
Stetigkeit ist f Riemann-integrabel und wir erhalten mit dem Satz von Fubini
Z
Z 2Z 1
Z 2 h y+1 i1
x
y
f (x, y) dx dy =
dy
x dx dy =
y+1 0
Q
1
0
1
Z 2
1
3
dy = [log(1 + y)]21 = log(3) − log(2) = log .
=
2
1 y+1
Im folgenden führen wir für x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn und k ∈ {1, . . . , n} die
abkürzende Schreibweise
x0 = (x1 , . . . , x
ck , . . . , xn ) := (x1 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xn )
ein.
Satz XIII.2.5. (Fubini) Die Funktion f : [a, b] → R sei integrierbar.
(a) Für ein k ∈ {1, . . . , n} sei
[a, b]k = {(x1 , . . . , x
bk , . . . , xn ) ∈ Rn−1 : (∀i) ai ≤ xi ≤ bi }.
Existiert für jedes xk ∈ [ak , bk ] das Integral
Z
F (xk ) :=
f (x1 , . . . , xk−1 , xk , xk+1 , . . . , xn ) d(x1 , . . . , x
bk , . . . , xn ),
[a,b]k
so existiert das iterierte Integral
mann-Integral
Z
R bk
ak
F (xk ) dxk und stimmt mit dem Rie-
f (x) dx
[a,b]
XIII.2. Berechnung von mehrdimensionalen Integralen
269
überein.
(b) Existiert für jedes x0 ∈ [a, b]k das Integral
Z
0
bk
G(x ) :=
f (x1 , . . . , xk−1 , xk , xk+1 , . . . , xn ) dxk ,
ak
so existiert das iterierte Integral
Z
G(x0 ) dx0
[a,b]k
und stimmt mit dem Riemann-Integral
R
f (x) dx überein.
[a,b]
Bemerkung XIII.2.6. Ist f : [a, b] → R stetig, so auch alle Einschränkungen
auf die (n−1) -dimensionalen Quader [a, b]k , und aus Satz XIII.1.4 folgt die Existenz aller Integrale. Aus Satz X.5.1 folgt sogar die Stetigkeit der Funktionen F
bzw. G .
Beispiel XIII.2.7.
Sei
Q := {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 2 ≤ z ≤ 4} = [(0, 0, 2), (2, 1, 4)]
und
f : Q → R,
f (x, y, z) := x + y + z.
Da f stetig ist, ist f Riemann-integrabel. Mit
Q3 = [(0, 0), (2, 1)]
ergibt sich aus dem Satz von Fubini XIII.2.5 induktiv
Z
Z
4
Z
f (x, y, z) d(x, y, z) =
Q
Z 4
(x + y + z) d(x, y) dz
2
Z
1
Z
Q3
2
=
(x + y + z) dx dy dz
2
Z
0
4
Z
=
2
Z
=
2
0
1
0
2
x
[ + x(y + z)]20 dy dz =
2
Z
4
Z
1
2 + 2(y + z) dy dz
2
0
4
2 + 2z + 1 dz = 6 + [z 2 ]42 = 6 + 16 − 4 = 18.
270
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Bemerkung XIII.2.8. Im Eindimensionalen erhält man direkt aus der Substitutionsregel die Formel
Z b
Z cb
c
f (ct) dt =
f (x) dx.
a
ca
Ist der Satz von Fubini anwendbar, d.h., die iterierten Integrale existieren,
dann lässt sich das n -dimensionale Integral als iteriertes Riemann-Integral berechnen, so dass wir für c > 0 direkt die Formel
Z
Z
n
c
f (cx) dx =
f (x) dx
[a,b]
[ca,cb]
erhalten.
Ist f = χS die charakteristische Funktion einer Riemann-messbaren Menge
S ⊆ [a, b] , so ist χcS (x) = χS (c−1 x) und daher
Z
Z
−1
n
µn (cS) =
χS (c x) dx = c
χS (x) dx = cn µn (S),
[ca,cb]
[a,b]
also
µn (cS) = cn µn (S).
(2.1)
Für die Berechnung n -dimensionaler Volumina ist das Prinzip von Cavalieri sehr nützlich:
Satz XIII.2.9. (Cavalieri) Sei S ⊆ [a, b] ⊆ Rn eine beschränkte Riemannmessbare Menge. Sei k ∈ {1, . . . , n} und für alle t ∈ [ak , bk ] die Menge
St := {x ∈ S: xk = t}
im (n − 1)-dimensionalen Raum
At := {x ∈ Rn : xk = t} ∼
= Rn−1
Riemann-messbar mit dem (n − 1)-dimensionalen Volumen µn−1 (St ). Dann ist
Z bk
µn (S) =
µn−1 (St ) dt.
ak
Beweis.
Nach Satz XIII.2.5 ist
Z
Z
µn (S) =
χS (x) dx =
[a,b]
Z
bk
ak
bk
=
Z
[a,b]k
Z
bk
µn−1 (St ) dt.
µn−1 (Sxk ) dxk =
ak
χS (x) d(x1 , . . . , x
bk , . . . , xn ) dxk
ak
271
XIII.2. Berechnung von mehrdimensionalen Integralen
Aufgabe 1.2. Sei B ⊆ Rn eine beschränkte Teilmenge. Wir definieren den
Kegel über der Basis B durch
K(B) := { (1 − t)x, t ∈ Rn × R: 0 ≤ t ≤ 1, x ∈ B}.
Sind B und K(B) Riemann-messbar, so gilt
µn+1 K(B) =
1
µn (B).
n+1
Kommt Ihnen diese Formel aus der Schule bekannt vor? Vergleichen Sie
insbesondere mit den bekannten Formeln für das Volumen eines Kegels, einer
Pyramide oder die Fläche eines Dreiecks.
Das Volumen der n -dimensionalen Kugel
Beispiel XIII.2.10. Sei Bn := {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} die n -dimensionale
Einheitskugel und cn := µn (Bn ) ihr Volumen. Aus Bemerkung XIII.2.8 wissen wir schon, dass
µn ({x ∈ Rn : kxk ≤ R}) = µn (RBn ) = cn Rn
(2.2)
gilt, so dass es in der Tat ausreicht, das Volumen cn der Einheitskugel zu
bestimmen, um die Volumina beliebiger Kugeln zu kennen.
Wir kennen schon c1 = 2 (denn B1 = [−1, 1] hat die Länge 2 ) und wissen
vielleicht auch noch aus der Schule, welche Werte wir für c2 und c3 erwarten.
Wir gehen nach dem Cavalierischen Prinzip vor und zerschneiden die Kugel
Bn für −1 ≤ s ≤ 1 in die Scheiben
Bn,s = {x0 ∈ Rn−1 : (x0 , s) ∈ Bn }
p
p
= {x0 ∈ Rn−1 : kx0 k2 ≤ 1 − s2 } = 1 − s2 Bn−1 .
Mit dem Cavalierischen Prinzip erhalten wir für n > 1 mit (2.2):
Z
1
cn =
Z
1
µn−1 (Bn,s ) ds =
−1
p
1−
s2
n−1
Z
1
cn−1 ds = cn−1
−1
p
1 − s2
n−1
ds.
−1
Damit ist die rekursive Berechnung von cn auf die Berechnung des Integrals
Z
1
In :=
p
n−1
1 − s2
ds
−1
reduziert. Substituieren wir mit
h π πi
s: − ,
→ [−1, 1],
2 2
s(t) = sin t,
272
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
so erhalten wir
Z
Z 1p
n−1
2
1−s
ds =
In =
π
2
p
1−
s(t)2
31. Oktober 2007
Z
n−1 0
(cos t)n dt.
s (t) dt =
−π
2
−1
π
2
−π
2
Diese Integrale lassen sich nun durch partielle Integration rekursiv berechnen.
Für n > 1 haben wir
Z π2
In =
(cos t)(cos t)n−1 dt
−π
2
n−1
= [(sin t)(cos t)
Z
π
2
π
2
Z
π
2
|− π −
2
2
= (n − 1)
(sin t)(n − 1)(cos t)n−2 (−(sin t)) dt
−π
2
n−2
(sin t) (cos t)
Z
π
2
dt = (n − 1)
−π
2
(1 − (cos t)2 )(cos t)n−2 dt
−π
2
= (n − 1)In−2 − (n − 1)In .
Damit ergibt sich für n > 1 die Rekursionsformel
(2.3)
In =
n−1
In−2 .
n
Aus I0 = π und I1 = 2 erhalten wir allgemein
I2n
(n − 12 )(n − 23 ) · · · 32 · 12
(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1
=
π=
π=
2n(2n − 2) · · · 2
n(n − 1) · · · 1
n−
n
1
2 π
und
I2n+1
(2n)(2n − 2) · · · 2
n(n − 1) · · · 1
=
2=
2=
(2n + 1)(2n − 1) · · · 3
(n + 21 )(n − 12 ) · · · 23
n+
n
1 −1
2
2.
Hieraus ergibt sich
I2n+1 I2n =
2π
2n + 1
und
I2n I2n−1 =
π
.
n
Damit erhalten wir
c2n = I2n c2n−1 = I2n I2n−1 c2n−2 =
π
π n−1
c2n−2 = . . . =
c2
n
n···2
π n−1
π n−1 π
πn
=
I2 c1 =
2=
n···2
n···2 2
n!
und analog
c2n+1 = I2n+1 I2n c2n−1 =
2n π n
2n+1 π n
2π
c2n−1 =
c1 =
.
2n + 1
(2n + 1) · · · 3
(2n + 1) · · · 3
XIII.2. Berechnung von mehrdimensionalen Integralen
273
Für n = 2 ergibt sich insbesondere die bekannte Formel
c2 = π
für die Fläche der Einheitskreisscheibe. Für n = 3 erhalten wir für das Volumen
der dreidimensionalen Einheitskugel:
4
π.
3
c3 =
Verwendet man die Gamma-Funktion:
∞
Z
Γ: ]0, ∞[→ R,
tx−1 e−t dt,
x 7→
0
so kann man die Formel für cn wie folgt einheitlich schreiben:
n
π2
.
cn =
Γ( n2 + 1)
(2.4)
Hierzu erinnern wir uns an die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion
Γ(x + 1) = xΓ(x)
für
x > 0,
aus der insbesondere Γ(n) = (n − 1)! für n ∈ N folgt.
Für n = 2k folgt (2.4) aus
πk
πk
=
= c2k .
Γ(k + 1)
k!
Für n = 2k + 1 erhalten wir für die rechte Seite:
√
√
πk π
πk π
=
.
Γ(k + 1 + 21 )
(k + 12 )(k − 12 ) · · · 12 Γ( 21 )
Es bleibt also nur noch einzusehen, dass
Γ( 12 )
Z
=
0
∞
√
e−t
√ dt = π
t
gilt. Diese Formel werden wir erst später beweisen, wenn uns die Transformationsformel zur Verfügung steht (Beispiel XIII.3.8).
274
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Beispiel XIII.2.11. Wir wollen das Volumen V eines dreidimensionalen Kugelsegments der Höhe h bestimmen, für das die Basiskreisscheibe den Radius r
besitzt.
Ist R der Radius der Kugel, so betrachten wir also eine Menge der Gestalt
S = {x ∈ R3 : kxk2 ≤ R, x3 ≥ R − h},
wobei
R2 = r2 + (R − h)2
ist, also
r2 − 2Rh + h2 = 0
bzw. R =
r 2 + h2
.
2h
Die Hyperebene x3 = t , R − h ≤ t ≤ R , schneidet dieses Segment in der
Menge
St = {(x1 , x2 , t): x21 + x22 ≤ R2 − t2 },
√
einer Kreisscheibe vom Radius R2 − t2 . Mit c2 = π erhalten wir daher
Z
R
Z
µ3 (S) =
π(R2 − t2 ) dt = πR2 h −
µ2 (St ) dt =
R−h
R−h
= πR2 h −
Mit Rh =
R
r 2 +h2
2
π 3
(R − (R − h)3 )
3
π
h3 (3R2 h − 3Rh2 + h3 ) = π Rh2 −
.
3
3
ergibt sich
µ3 (S) =
πh
πh 2
(3(r2 + h2 ) − 2h2 ) =
(3r − h2 ).
6
6
Für h = R = r ist S eine Halbkugel und wir erhalten
µ3 (S) =
2 3
πR .
3
Hier erkennen wir insbesondere eine Einsicht, die schon auf Archimedes zurückgeht, nämlich, dass das Verhältnis des Volumens einer Halbkugel zum Volumen
des Kreiszylinders von Radius und Höhe R (in den die Halbkugel gerade hineinpasst) 32 ist.
XIII.3. Die Transformationsformel für Mehrfachintegrale
Bisher haben wir im wesentlichen nur Integrale über Quader berechnet,
wobei der Satz von Fubini eine bequeme Methode bereitstellt, durch die man
solche Integrale durch sukzessive eindimensionale Integrale berechnen kann. Für
viele Problemstellungen reicht dieser Ansatz nicht aus, denn oft hat man über
Bereiche des Rn zu integrieren, die sich in kartesischen Koordinaten nur mühsam
XIII.3. Die Transformationsformel für Mehrfachintegrale
275
beschreiben lassen. Ebenso kann es vorkommen, das zwar die Integrationsbereiche unproblematisch sind, dafür aber die zu integrierenden Funktionen in kartesischen Koordinaten unangemessen kompliziert, was ihre Integration erschweren
kann. Aus diesen Gründen führt man oft dem Problem angemessene neue Koordinaten ein, indem man mit einem geeigneten C 1 -Diffeomorphismus transformiert.
Dieser Abschnitt ist dem mehrdimensionalen Analogon der Substitutionsregel, der Transformationsformel, gewidmet. Die Transformation eines mehrdimensionalen wird Integrals dadurch komplizierter als im Eindimensionalen, dass man
schon für die Transformation des Volumens einer Menge nicht nur die Länge eines
Bildintervalls messen muss, sondern durchaus geometrisch recht komplizierte
Bildmengen haben kann.
Die Koordinatentransformationen, die man zur Berechnung von Mehrfachintegralen heranzieht, sind immer Einschränkungen von C 1 -Diffeomorphismen
ϕ: U → ϕ(U ) = V ⊆ Rn , wobei U ⊆ Rn offen ist. Da ϕ ein Diffeomorphismus ist, ist die lineare Abbildung dϕ(x) , die durch die Jacobimatrix Jx (ϕ)
beschrieben wird, für alle x ∈ U invertierbar, und es gilt
det(dϕ(x)) = det(Jx (ϕ)).
Transformationsformel
Satz XIII.3.1. Sei K ⊆ Rn eine kompakte Riemann-messbare Teilmenge. Auf
einer offenen Obermenge U ⊇ K sei ϕ: U → ϕ(U ) ein C 1 -Diffeomorphismus.
Ist f : ϕ(K) → R stetig, so gilt dann
Z
Z
(3.1)
f (ϕ(x))| det dϕ(x)| dx =
f (y) dy.
K
ϕ(K)
Diese Formel wird in einem wesentlich allgemeineren Kontext in der Vorlesung Mehrfachintegration“ bewiesen. Wir wollen uns aber trotzdem etwas
”
klarmachen, was sie bedeutet. Wendet man (3.1) auf die konstante Funktion 1
an, so ergibt sich
Z
(3.2)
µn (ϕ(K)) =
| det dϕ(x)| dx
K
für das Volumen des Bildes einer kompakten Riemannn-meßbaren Menge K
unter ϕ . Ist die Funktion | det dϕ(x)| konstant c, so spezialisiert sich dies weiter
zu
µn ϕ(K) = c · µn (K).
D.h. die Konstante c bzw. | det dϕ(x)| ist ein Verzerrungsfaktor, der angibt,
wie sich das Volumen einer Menge verändert, wenn man ϕ anwendet. Einen
besonders einfachen Fall erhält man, wenn ϕ = T |U für eine lineare Abbildung
T : Rn → Rn gilt. Dann ist dϕ(x) = T für alle x ∈ Rn und somit
µn T (K) = | det T | · µn (K).
276
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Ein wichtiger Spezialfall ist T (x) = cx, und in diesem Fall ergibt sich die Formel
(2.1) in Bemerkung XIII.2.8.
Für U = Rn und den Einheitswürfel
W = [0, 1]n = {x ∈ Rn : (∀j) 0 ≤ xj ≤ 1}
ergibt sich mit
µn T (W ) = | det T |
gerade die anschauliche Bedeutung der Determinante als ein Maß für das Volumen des Bildes des Einheitswürfels. Eine Menge der Gestalt T (W ) nennt man
ein Paralleltop oder Spat. Für n = 2 erhalten wir Parallelogramme. Man kann
sie beschreiben als
n
nX
o
X
[0, 1]aj =
xj aj : 0 ≤ xj ≤ 1 ,
j=1
j
wobei a1 , . . . , an ∈ Rn Vektoren sind, die man als die Bilder der kanonischen
Basisvektoren unter T , d.h. die Spalten der zugehörigen Matrix erhält.
Wir halten noch eine wichtige Folgerung aus der Transformationsformel
fest. Eine affine Abbildung der Gestalt ϕ(x) = M · x + v , wobei M eine
orthogonale Matrix ist, nennen wir eine Bewegung des Rn .
Folgerung XIII.3.2.
ϕ des Rn gilt
(Bewegungsinvarianz des Integrals) Für jede Bewegung
µn ϕ(K) = µn (K)
für jede Riemann-messbare kompakte Menge K .
Beweis. Wir schreiben ϕ(x) = M · x + v mit einer orthogonalen Matrix M .
Dann ist M M > = 1 (M > steht für die transponierte Matrix), so dass wir für die
Determinanten 1 = det M det M > = (det M )2 erhalten. Also ist | det M | = 1 ,
und die Behauptung folgt aus der Transformationsformel.
Da wir das Riemann-Integral zunächst basisabhängig konstruiert haben,
da es durch seine Werte auf Quadern festgelegt wurde, ist seine Invarianz unter
Drehungen bei weitem nicht evident. Die Bewegungsinvarianz des RiemannIntegrals zeigt, dass seine Konstruktion nicht von der Wahl der Orthonormalbasis
in Rn abhängt, durch die man Koordinaten einführt. Allgemeiner folgt mit dem
gleichen Argument, dass man jede Basis nehmen darf, die Bild der kanonischen
Basis unter einer linearen Abbildung T mit | det T | = 1 ist, d.h. für die der
zugehörige Spat (das Bild des Einheitswürfels) das Volumen 1 hat.
Beispiel XIII.3.3. (Polarkoordinaten in der Ebene) Wir betrachten die Abbildung
P : [0, ∞[×[0, 2π] → R2 , (r, ϕ) 7→ (r cos ϕ, r sin ϕ).
Die Jacobimatrix von P ist gegeben durch
cos ϕ −r sin ϕ
,
J(r,ϕ) (P ) =
sin ϕ r cos ϕ
XIII.3. Die Transformationsformel für Mehrfachintegrale
277
so dass wir für die Determinante erhalten:
det(dP (r, ϕ)) = det J(r,ϕ) (P ) = r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r.
Man beachte, dass nur die Einschränkung von P auf die offene Menge
]0, ∞[×]0, 2π[ einen Diffeomorphismus auf die Menge R2 \ (R+ × {0}) liefert
(Nachweis!).
Beispiel XIII.3.4. (Zylinderkoordinaten im Raum) Wir betrachten die Abbildung
P : [0, ∞[×[0, 2π] × R → R3 (r, ϕ, z) 7→ (r cos ϕ, r sin ϕ, z).
Die Jacobimatrix von P ist gegeben durch

cos ϕ
J(r,ϕ,z) (P ) =  sin ϕ
0
−r sin ϕ
r cos ϕ
0

0
0
1
und daher
det dP (r, ϕ, z) = det(J(r,ϕ,z) (P )) = r.
Die Einschränkung von P auf die offene Menge ]0, ∞[×]0, 2π[×R ist ein
Diffeomorphismus auf die Menge R3 \ (R+ × {0} × R) .
Beispiel XIII.3.5. (Sphärische Polarkoordinaten im Raum) Wir betrachten
die Abbildung
Q: [0, ∞[×[0, 2π] × [0, π] → R3 ,
(r, ϕ, θ) 7→ (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ).
Die Jacobimatrix von Q ist gegeben durch

cos ϕ sin θ

J(r,ϕ,θ) (Q) = sin ϕ sin θ
cos θ
−r sin ϕ sin θ
r cos ϕ sin θ
0

r cos ϕ cos θ
r sin ϕ cos θ  ,
−r sin θ
so dass wir für die Determinante erhalten:
det J(r,ϕ,θ) (Q) = −r2 (sin θ)(cos θ)2 − r2 (sin θ)(sin θ)2 = −r2 sin θ.
Die Einschränkung von Q auf die offene Menge ]0, ∞[×]0, 2π[×]0, π[ ist
ein Diffeomorphismus auf die Menge R3 \ (R+ × {0} × R) .
Die ϕ -Koordinate entspricht auf den Sphären vom Radius r jeweils der
geographischen Länge und π2 − θ entspricht der geographischen Breite.
278
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
Beispiel XIII.3.6.
Abbildung
31. Oktober 2007
(Polarkoordinaten im Rn , n ≥ 3 ) Wir definieren eine
Pn : [0, ∞[×[0, 2π] × [0, π]n−2 → Rn ,
die induktiv festgelegt ist durch
(r, ϕ, θ1 , . . . , θn−2 ) 7→ (sin θn−2 )Pn−1 r, ϕ, θ1 , . . . , θn−3 ), r cos θn−2 ),
wobei man für n = 2 die Polarkoordinaten in der Ebene zugrunde legt. Die
Jacobimatrix von Pn ist für θ = (θ1 , . . . , θn−2 ) und θ0 = (θ1 , . . . , θn−3 ) gegeben
durch


(sin θn−2 )J(r,ϕ,θ0 ) (Pn−1 ) (cos θn−2 )Pn−1 (r, ϕ, θ0 )
.
J(r,ϕ,θ) (Pn ) = 
cos θn−2 0 0 . . . 0
−r sin θn−2
Um diese Determinante berechnen zu können, beachten wir zuerst
Pn−1 (r, ϕ, θ0 ) = rPn−1 (1, ϕ, θ0 ),
was man direkt durch Induktion erhält. Damit ist
∂Pn−1
(r, ϕ, θ0 ) = Pn−1 (1, ϕ, θ0 ) = r−1 Pn−1 (r, ϕ, θ0 ).
∂r
Folglich stimmt die erste Spalte der Jacobimatrix von Pn−1 mit r−1 Pn−1 überein. Die Determinante der (n−1)×(n−1) -Untermatrix, die man durch Streichen
der ersten Spalte und der der letzten Zeile von J(r,ϕ,θ) (Pn ) erhält, ist daher
gegeben durch
(−1)n−2 (sin θn−2 )n−2 (cos θn−2 ) · r · det J(r,ϕ,θ0 ) (Pn−1 ) .
Bei dieser Rechnung hat man zu beachten, dass die fehlende erste Spalte der Matrix, versehen mit den jeweiligen Faktoren, in der letzten Spalte der Restmatrix
auftaucht. Hiermit erhalten wir schließlich durch Entwicklung der Determinante
nach der letzten Zeile:
det J(r,ϕ,θ) (Pn )
= − r(sin θn−2 )n det J(r,ϕ,θ0 ) (Pn−1 )
+ (−1)n−1 (cos θn−2 )2 (sin θn−2 )n−2 r(−1)n−2 det J(r,ϕ,θ0 ) (Pn−1 )
= − r(sin θn−2 )n−2 det(J(r,ϕ,θ0 ) )(Pn−1 ) .
Induktiv ergibt sich also
det J(r,ϕ,θ) (Pn ) = (−1)n rn−1 (sin θn−2 )n−2 (sin θn−3 )n−3 · · · sin θ1 .
Einen Diffeomorphismus mit offenem Bild liefert die Abbildung Pn nur auf
der offenen Teilmenge
]0, ∞[×]0, 2π[×]0, π[n−2 .
Die Menge, die man hierbei herausnehmen muss, schneidet jeden Quader in einer
Riemannschen Nullmenge und das gleiche gilt im Bildbereich. Man kann daher
zeigen, dass die Transformationsformel trotzdem richtig bleibt.
XIII.3. Die Transformationsformel für Mehrfachintegrale
279
In der Physik spielen rotationssymmetrische Massenverteilungen im R3
eine wichtige Rolle. Hierbei treten Integrale der Gestalt
Z
ρ(x)
dx
Rn kxk
auf. Diese Integrale wollen wir jetzt etwas genauer studieren.
Seien 0 ≤ R1 < R2 und
Satz XIII.3.7.
K := {x ∈ Rn : R1 ≤ kxk ≤ R2 }
die zugehörige Kugelschale sowie h: [R1 , R2 ] → R eine stetig Funktion. Dann ist
Z
Z
R2
h(r)rn−1 dr,
h(kxk) dx = ncn
K
R1
wobei cn das Volumen der n -dimensionalen Einheitskugel ist.
Beweis. Wir verwenden sphärische Polarkoordinaten im Rn und beachten,
dass K = Pn ([R1 , R2 ] × [0, 2π] × [0, π]n−2 ) gilt. Für 0 < ε < π betrachten wir
die kompakte Menge
Kε := Pn ([R1 + ε, R2 ] × [ε, 2π − ε] × [ε, π − ε]n−2 ),
so dass Pn ein Diffeomorphismus auf einer offenen Umgebung von Kε ist
(Übung). Aus der Beschränktheit von h (Satz vom Maximum) und
lim µn (Kε ) = µn (K)
ε→0
folgt nun leicht, dass
Z
Z
h(kxk) dx = lim
ε→0
K
h(kxk) dx
Kε
gilt, so dass wir aus der Transformationsformel mit anschließendem Grenzübergang ε → 0 erhalten:
Z
h(kxk) dx
Z
K
R2
Z
2π
Z
π
Z
π
h(r)| det dPn (r, ϕ, θ) | dr dϕ dθ1 · · · dθn−2
···
=
R1
R2
Z
0
Z
0
2π
Z
0
π
Z
π
···
=
R1
0
Z
0
0
R2
= 2π
R1
h(r)rn−1 (sin θn−2 )n−2 (sin θn−3 )n−3 · · · sin θ1
h(r)rn−1 dr ·
Z
0
π
dr dϕ dθ1 · · · dθn−2
Z π
n−2
(sin θn−2 )
dθn−2 · · ·
sin θ1 dθ1 .
0
280
XIII. Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
31. Oktober 2007
Für R1 = 0 und R2 = 1 und h ≡ 1 ergibt sich das Volumen cn der Einheitskugel
Bn , also
1
Z
cn = 2π
r
n−1
n−2
dr ·
(sin θn−2 )
0
2π
=
n
π
Z
Z
dθn−2 · · ·
sin θ1 dθ1
0
0
π
Z
π
n−2
(sin θn−2 )
π
Z
dθn−2 · · ·
0
sin θ1 dθ1 .
0
Daher ist
Z
R2
Z
h(r)rn−1 dr.
h(kxk) dx = ncn
K
R1
Es seien a0 , . . . , an ∈ Rn . Man nennt die Menge
Aufgabe III.2.1.
S(a0 , . . . , an ) :=
n
nX
X
λj aj : 0 ≤ λj ≤ 1,
j=0
λj = 1
o
j
das von a0 , . . . , an aufgespannte Simplex. Zeigen Sie:
(a) Ein Simplex ist Riemann-messbar. Hinweis: Satz XIII.1.6, Lemma XIII.1.7.
(b) Zeige:
1
µn S(a0 , . . . , an ) = | det(a1 − a0 , . . . , an − a0 )|.
n!
Hinweis: Man betrachte den Fall, dass die Vektoren aj − a0 , j = 1, . . . , n , linear
abhängig sind, separat.
Beispiel XIII.3.8. Ein eindrucksvolles Beispiel, das die Nützlichkeit der Polarkoordinaten demonstriert, ist das folgende. Wir möchten das eindimensionale
uneigentliche Integral
Z
∞
2
e−x dx
−∞
berechnen. Hierzu betrachten wir die Funktion
f : R2 → R,
2
(x, y) 7→ e−x
−y 2
.
Für die Kreisscheibe
KR := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ R}
erhalten wir in Polarkoordinaten mit Satz XIII.3.7 und anschließender Substitution u = r2 :
Z
Z
R
Z
f (x, y) dx dy =
KR
−r 2
e
0
=
2π
Z
r dϕdr = 2π
0
2
π[−e−u |R
0
= π(1 − e
).
−r 2
e
0
−R2
R
Z
r dr = π
0
R2
e−u du
XIII.3. Die Transformationsformel für Mehrfachintegrale
281
Mit dem Satz von Fubini erhalten wir andererseits für das Quadrat
QR := {(x, y) ∈ R2 : |x|, |y| ≤ R}
Z
Z
R
Z
R
e
f (x, y) dx dy =
−R
R
QR
Z
=
Z
−x2 −y 2
e
dx dy =
−R
−x2
e
R
−R
Z
R
dx
−R
−y 2
e
dy =
Z
−R
R
Z
2
2
e−x dx e−y dy
−R
R
−x2
e
2
dx .
−R
Wegen
KR ⊆ QR ⊆ K√2R
gilt weiterhin
Z
Z
f (x, y) d(x, y) ≤
KR
Z
f (x, y) d(x, y) ≤
also
−R2
π(1 − e
)≤
f (x, y) d(x, y),
K√2R
QR
Z
R
2
2
2
e−x dx ≤ π(1 − e−2R ).
−R
Für R → ∞ erhalten wir daher das uneigentliche Integral
Z
∞
−x2
e
−∞
Z
R
dx = lim
R→∞
2
e−x dx =
√
π.
−R
Wir haben in diesem kurzen Abriss der mehrdimensionalen Integrationstheorie den Riemannschen Zugang verfolgt. In der Vorlesung Mehrfachinteg”
ration“ werden Sie den Lebegueschen Zugang zur Integrationstheorie kennenlernen, der gegenüber dem Riemannschen sehr viele Vorteile besitzt. Es ist damit
sehr viel leichter, Integrierbarkeit von Funktionen nachzuweisen, man hat sehr
einfach anzuwendende Sätz für Vertauschung von Integration und Grenzübergängen und man kann die Theorie unmittelbar auf unbeschränkte Funktionen und
Integrationsbereiche anwenden. Darüber hinaus hat man eine größere Klasse von
Nullmengen, so dass z.B. die Transformationsformel für Lebesgue-Integrale sehr
viel leichter zu handhaben ist als die Riemannsche Variante, die wir hier kennen
gelernt haben.
Ende