Statistische Energieanalyse (SEAl

P. Geißler
Statistische Energieanalyse (SEAl
Statistical Energy Analysis (SEA)
Ein numerisches Berechnungsverfahren für die konstruktive Lärmbekämpfung
A numerical computation method
'INHALT
ABSTRACT
Der Beitrag steHt die "Statistische Energieanalyse" als Berechnungs-
The paper introduces the method ofStatistical Energy Analysis as a
numerical tool for noise and vibration engineering. It is emphasized
that SEA is complementary to the FEMe and BEM-method. The principle ideas, assun.1ptions and equations me discussed. The essential
steps in the practical application ofSEA are explained.
werkzeug für die konstruktive Lärmbekämpfung und für AufgabensteIlungen der Maschinen- und Fa.hrzeugakustik vor. Die Komplementarität der SEA zu FEM- und BEM-Verfahren wird gezeigt. Die Prinzipien,
Grundannahmen und Grundgleichungen werden vorgestellt. An Beispielen werden die wesentlichen Schritte bei der praktischen Anwendung der SEA erläutert.
1 Numerische Berechnungsverfahren
für die konstruktive Lärmbekämpfung
tire Informationen über das die Konstruktion umgebende Fluid erforderlich.
Diese Art zur Berechnung und Analyse schwingungs- und ab-
Neben den klassischen numerischen Berechnungsverfahren
strahlungsfähiger Systeme wird heute - trotz des teilweise erhebli-
- der Finite Elemente Methode [FEM) und der Randwertmethode
chen Aufwands - erfolgreich in vielen Bereichen der industriellen
oder" Boundary Elemente Methode" [BEMI - hat sich in den letzten
Entwicklung eingesetzt.
, -'ehren die Statistische Energieanalyse [SEAl als Berechnungsver-
Im Automobilbau z.B. werden heute die Moden des Antriebs-
ahren für Fragestellungen aus dem Bereich der Maschinen- und
strangs, des Fahrwerks und der Gesamtkarosserie bis etwa 300 Hz
Fahrzeugakustik etabliert.
- je nach Fahrzeuggröße - mit diesem Verfahren berechnet. Bei der
Anwendung des Verfahrens für den Frequenzbereich oberhalb von
1.1 FEM und BEM
Bei der FEM werden für eine gegebene Konstruktion, z.B. für ein
ausforderungen stellt - zeigte sich jedoch, daß die individuelle Be-
Getriebegehäuse, die Eigenfrequenzen und Schwingungsformen der
trachtung einzelner Moden an ihre Grenzen stößt.
Moden berechnet. Aufbauend auf diesen Moden ergibt sich für eine
bestimmte Last- oder Anregungssituation eine Schnelleverteilung
etwa 300 Hz - der für die Innenraumakustik meist die größten Her-
Mit steigender Frequenz werden nämlich für alle Strukturen die·
Abstände zwischen den relativen Maxima und Minima der Schwin-
auf dem "Rand" der Konstruktion. Mit Hilfe der BEM läßt sich auch
gungsformen - also die "Wellenlänge" einer Mode - immer kleiner.
die daraus resulüerende Abstrahlung des Luftschalls für beliebige
Außerdem steigt auch die Zahl der Moden, die sich in einem be-
Punkte berechnen. Bei diesen beiden Verfahren steht die exakte Er-
stimmten Frequenzband ergeben, immer mehr an. Schließlich
mittlung der individuellen Moden und ihrer Schwingungsformen im
kommt ein Frequenzbereich, in dem die "Wellenlänge" deutlich klei-
Vordergrund. Als Ergebnis einer Eigenwertanalyse erhält der Kon-
ner ist als die geometrischen Abmessungen und die" modale Dichte"
strukteur eine Tabelle mit den Eigenfrequenzen der Moden und eine
so groß, daß es oft keinen Sinn mehr macht, nach der exakten Eigen-
graphische Ausgabe der Relativverformung dieser Moden.
frequenz zu fragen.
Die Lage der Eigenfrequenzen und die Schwingungsformen hän-
Die "exakte" Eigenfrequenz hängt in der experimentellen Praxis
gen außer von den Materialparametern und der Konstruktion .auch
von Fertigungstoleranzen des Bauteils, von wechselnden Umge-
von den Randbedingungen ab. So hängt z.B. die Lage der ersten Bie-
bungsbedingungen und von Wiederholstreuungen aufgrund des
geeigenfrequenz einer Brücke davon ab, wo und wie die Fahrbahn-
Meßverfahrens ab. Auf der Berechnungsseite werden - um numeri-
platten gelagert sind. In die Berechnung des Antwortverhaltens sind
sche Sicherheit zu geWährleisten - die FE-Modelle sehr aufwendig.
zusätzlich Anregung und Dämpfungsverhalten der Struktur einzube-
Vor diesem Hintergrund erscheint es technisch-wirtschaftlich nahe-
ziehen. Für die Berechnung des abgestrahlten Luftschalls sind wei-
liegend, für den höheren Frequenzbereich von Beginn an einen stati-
Konstruktion Juli / August 7/8 - 1999
29
AUFSATZ
Akustik
d,
,,)
zufuhr stehen Verluste, also negative Leistungen, wegen der Dissi pation innerhalb des Subsystems und der Kopplung zu benachbarten
Subsystemen gegenüber.
Das Ergebnis dieser statistischen Betrachtung ist, daß die SEA als
Resultat nur räumliche Mittelwerte des Antwortverhaltens liefert.
unbegrenzt
Dieses mittlere Antwortverhalten ist jedoch für viele AufgabensteIlungen des mittleren und hohen Frequenzbereichs völlig ausrei-
StrUkturen!
Räume
chend; es reicht nicht mehr aus im unteren Frequenzbereich, in dem
.:::::::::
::::::::::
.:::::::::
die Moden global auf der Struktur vorhanden sind und die Wellenlängen vergleichbar mit oder größer als die geometrischen Abmessun-
TSEA
gen sind. Das ist die Domäne der erstgenannten numerischen Me-
::::::::::
begrenzt
thoden FEM/BEM. Diese und die SEA können somit als komplementäre numerische Werkzeuge zur Lösung von Schall- und Schwingungsproblemen angesehen werden [Bild
11.
2 Grundlagen der SEA
Zu den Grundlagen der SEA gehören die beiden folgenden Annahmen:
Es wird zum einen angenommen, daß die Energie innerhalb der
stischen Ansatz zu wählen, anstatt erst mit [scheinbarl großer Ge-
Moden einer Modengruppe gleich verteilt ist. Mit dieser Annahme
nauigkeit FE-/BE-Berechnungen durchzuführen, um am Ende die
läßt sich zeigen [1], daß die mittlere Energie eines Subsystems in ei-
Ergebnisse für konstruktive Aussagen zu mitteln.
nem betrachteten Frequenzband t,w durch
~:.?~.~~.~!~.~!~.~.~~J~.~f.g.i.~~.~~~'y'~~..1.~.~~!
< E>
,..,..,.
=
2
< F >/),(j)
Mi]OJ
/),(j)
Hier setzen die Grundannahmen der Statistischen Energieanalyse
t1N
2 t10J
Ir
111
[SEA] an. Im Unterschied zu FEM und BEM verzichtet die SEAvon An-
gegeben ist. Dabei sind M pie Masse, Tl der Verlustfaktor, F der Effek-
fang an darauf, individuelle einzelne Moden zu betrachten, Sie be-
tivwert der anregenden Kraft und t,N die Zahl der Moden im betrach-
trachtet vielmehr als kleinste Einheiten Modengruppen [Subsyste-
teten Frequenzband.
me] und die Wechselwirkung dieser Modengruppen untereinander.
Die Moden innerhalb eines Subsystems werden so behandelt, als
Dieser Ausdruck ist erstaunlich einfach: Er besagt, daß die sich
einstellende Energie neben der Anregungskraft nur noch von der
wären sie zufallsverteilt. Statt diskreter Eigenfrequenzen rechnet die
Masse, der Dämpfung und der Zahl der Moden im betrachteten Fre-
SEA mit mittleren modalen Dichten, statt individueller Schwingungs-
quenzband abhängt. Details zur Lage der Eigenfrequenz und der
formen rechnet sie mit mittleren Wellenzahlen oder mittleren Wel-
Schwingungsformen spielen in diesem Ausdruck keine Rolle mehr,
lenlängen. Das ist der ;. statistische" Aspekt der SEA.
Damit einhergehend wechselt die Kenngröße zur Beschreibung
Noch einfacher ist der Ausdruck für die in das Subsystem eing
brachte Leistung:
des Antwortverhaltens von den lokalen Kenngrößen - der Beschleunigung, der Schnelle oder der Auslenkung bei Strukturen oder dem
2
=<F
< P>
/),(j)
Schalldruck bei einem Fluid - zur globalen Kenngröße Energie. Die
Wahl dieser Kenngröße ermöglicht es, Bilanzgleichungen auf der
> /),(j) Ir t1N
M
2 t10J
[2)
Die mögliche Leistungszufuhr in ein Subsystem hängt neben der
Basis des Energieerhaltungssatzes aufzustellen, Die Energie erlaubt
Kraft nur noch von der Masse und der Modenzahl ab,
darüber hinaus eine einheitliche Betrachtung der verschiedenen
Der Zusammenhang zwischen der Leistungszufuhr und der sich
einstellenden Energie ist mit
Schall- und Schwingungsvorgänge unter einem Dach. Das ist der
Aspekt der "Energie" in der SEA,
Die typischen SEA-Parameter - die modale Dichte und der Kopp-
[3)
lungsverlustfaktor - hängen von den geometrischen Parametern
[Volumen, Seitenlänge, Dicke] sowie von den Materialkonstanten wie
gegeben,
Elastizitätsmodul, Dichte, Poissonzahl einer Konstruktion ab, Das
Zum anderen wird angenommen, daß die Moden zweier Subsyste-
erlaubt dem Anwender, die Bedeutung dieser Parameter und die
me im isolierten Zustand sich nicht wesentlich aufgrund der Kopp-
L schwache Kopplung"l. Mit die-
Wirkung konstruktiver Modifikationen zu analysieren. Deshalb eig-
lung der beiden Subsysteme ändern
net sich die SEA zur Analyse komplexer Gesamtsysteme.
ser Annahme läßt sich zeigen [1], daß die insgesamt von einem Sub-
Grundlegende Kenngröße zur Beschreibung der Anregung ist in
der SEA die einem Subsystem mit Wechselkräften oder -drücken zu-
system 1auf ein Subsystem 2 übertragene Leistung allein von der Differenz der modalen Energien bestimmt wird, d.h,
geführte Leistung, also die Energie pro Zeiteinheit. Die Leistung läßt
[41
sich meßtechnisch ermitteln, bei einer Punktkraft z.B. mittels
gleichzeitiger Messung von Kraft und Schnelle oder Messung von
Kraft und Eingangsadmittanz am Einleitungspunkt. Der Leistungs-
30
beziehungsweise
Konstruktion Juli
1August 7/8 - 1999
AUFSATZ
Akustik
[51
Die Faktoren Tl12 und Tl21 werden Kopplungsverlustfaktoren ge-
P 2 in
P1,in
nannt, im Unterschied zu Tl, und Tl2' die zur besseren Abgrenzung ge-
I
legentlich auch als Dämpfungsverlustfaktoren bezeichnet werden.
3 Die Grundgleichungen der SEA
,r
"
Mit den Gleichungen 3 und 5 stehen die Grundgleichungen der
E1
E2
P21
N2
-
....
SEA zur physikalischen Beschreibung zweier gekoppelter Subsysteme zur Verfügung. Werden die eckigen Klammern von jetzt an, wenn
P 12 _
N1
--
keine Verwechslungen möglich sind, weggelassen, dann ergeben
sich folgende Bilanzgleichungen [Bild 21:
(6)
" P 1,dISS
ld
,r P 2,di ss
[71
In der Praxis werden die Dämpfungsverlustfaktoren Tl, empirisch
Die Matrixschreibweise für zwei Subsysteme lautet entsprechend
[~ ] = CO [ 7)1 + 7)12
~
-7)12
vorgegeben oder aus Messungen ermittelt. Für die Kopplungsverlustfaktoren Tl'i gelten analytische Lösungen, die für viele Kopplun-
-7)21] [E1 ]
7)2 + 7)21 E2
(81
gen bekannt sind, und in kommerziellen SEA-Programmen praxisgerecht zur Verfügung gestellt werden. Kopplungsverlustfaktoren
sind auch mit Hilfe der FE-Methode berechenbar.
und für k Subsysteme
Dämpfungs- und Kopplungsverlustfaktoren sind jedoch auch
k
7)1
P1
~
meßtechnisch zu ermitteln. Hierzu wird die Gl. [91 invertiert, so daß
+ .L 7)1;
-7)12
-7)lk
;*1
k
-7)21
=CO
7)2
+ .L 7)2i
-7)2k
die Kopplungsmatrix als Unbekannte auf der linken Seite steht. Bei
E1
E2
diesem Verfahren, das auch als experimentelle oder Inverse SEA bekannt ist, werden über die Messung der zugeführten Leistungen und
;*2
der mittleren Energien aller Subsysteme die Elemente der Kopp-
Pk
k
-7)kl
7)k
+ .L 7)k;
Ek
lungsmatrix ermittelt [2].
Einige Kopplungsverlustfaktoren hängen darüber hinaus mit an-
i*k
deren Kenngrößen der Akustik zusammen, die in genormten akustischen Prüfeinrichtungen ermittelt werden können. Der Abstrahlgrad
'I
'" t
Anwendung der SEA Grundgleichungen
und das Schalldämmaß sind Beispiele hierfür.
Für Aufgaben der Lärmbekämpfung wird meist das "Prognose-
weisen der Thermodynamik und Hydrodynamik [Bild 31.
Interessant ist die Ähnlichkeit des SEA-Konzepts mit den Denkpotential" der Gl. [91 genutzt: Dabei werden die Energien der Subsysteme als Unbekannte betrachtet, die bei vorgegebenen Eingangs-
5 Vorgehensweise
leistungen mittels Inversion der Kopplungsmatrix berechnet werden.
Aus den Energien lassen sich die Mittelwerte der üblichen Antwort-
.~:~.. ~f.!~.~.!p.
größen berechnen.
Für die mittlere Schnelle von Bauteilen gilt die Beziehung
.
Das prinzipielle Vorgehen wird zunächst an einem für die konstruktive Lärmbekämpfung typischen Problem veranschaulicht: Ein
[10)
Der mittlere Schalldruck p, eines Raums oder eines Fluids ist über
< Ei >
= -Vi2 < Pi2 >
pe
mit der Energie verknüpft. V, ist das Volumen, p die Dichte und
~
die
Schallgeschwindigkeit des Fluids.
Die Elemente der Kopplungsmatrix, die Dämpfungsverlustfaktoren Tl, und die Kopplungsverlustfaktoren Tl'i' werden hier als bekannt
vorausgesetzt.
Konstruktion Juli 1August
7/8 - 1999
31
AUFSATZ
Akustik
Leistung
~
'1Jl~
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\<!-------t>f
U
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····:-····:<:'~:·<·J.
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.
]7..
-~/
Platte
Rohr
dem frequenzabhängigen Verlustfaktor als Dämpfungsmaß definiert. Die Kopplungslänge und die gegenseitige Orientierung der
steifes Bauteil, das von einer Kraft angeregt wird, ist an eine biege-
Bauteile zueinander definieren die Kopplung.
weiche Konstruktion gekoppelt, die Schall abstrahlt. Bei diesem La-
Die Eingangsleistung wurde hier aus der meßtechnisch ermittel-
boraufbau handelte es sich um ein Stahlblech [2 m x 3 m, 15 mm
ten Punktadmittanz des Rohr-Endes und der dort eingeleiteten Kraft
dick!, das mit einem Rohr [3 m lang, Wanddicke 2 mm, Durchmesser
ermittelt und als Terzspektrum vorgegeben. Der Verlustfaktor wurde
74 mml gekoppelt war. Am Ende des Rohrs wurde mit einem Schwin-
an den voneinander isolierten Teilen gemessen und ebenfalls als
gungserreger bandbegrenztes Rauschen eingeleitet. Es war zu be-
Terzspektrum in das Programm eingelesen. In Bild 5 ist das SEA-be-
rechnen, welche mittlere Schnelle sich bei dieser Anregung auf dem
rechnete mittlere Schnellespektrum dem an 20 Meßpunkten gemes-
Stahlblech einstellt.
senen mittleren Schnellespektrum gegenübergestellt.
In diesem Fall genügen die in Bild 4 gezeigte Einteilung in zwei
Subsysteme und die Veranschaulichung im zweidimensionalen Netzwerk. Die Subsysteme werden mit dem Material (Dichte, Elastizitäts-
.~.:~..~.C?m,p'~.~~~ ..~.ry,~~.~~.~f.I.9~.~
.
Am Beispiel des Programms AutoSEA2 werden kurz die wesentli-
modul, Poissonzahll, der Geometrie [Länge, Breite, Dicke!, den Quer-
chen Schritte bei der Modellierung eines Gesamtsystems - hier einer
schnittseigenschaften [Querschnittsfläche, Flächenmomentel und
Automobilkarosserie - dargestellt [3].
Die Geometrie wird von CAD-Dateien oder FE-Modellen übernommen. Mit diesen Knoten lassen sich die Subsysteme definiere!;'
[Bild
61.
In dieser Weise werden alle weiteren Komponenten der Karosserie mittels Balken-, Platten- oder Schalen-Subsystemen definiert.
Ein typisches SEA-Modell ist in Bild 7 zu sehen.
Schnelle in
75+-....+llcH
dB re:Se-ooB
m1sec
10
100
1000
10000
Hz
32
Konstruktion juli / August 7/8 -1999
AUFSATZ
Akustik
\ustfaktoren bestimmt. Für die erstmalige Berechnung eines komplexen Gesamtmodells werden auf einem modernen PC etwa ein bis
zwei Stunden benötigt. Die Berechnung nachfolgender Modifikationen - z.B. Untersuchungen zur Wirkung unterschiedlicher Schalldämmungs- oder Absorptionsmaßnahmen - geschieht typischerweise in ein bis zwei Minuten.
Die SEA ist ein Entwicklungswerkzeug, das bereits in der frühen
Designphase für Machbarkeitsstudien, die Definition akustischer
Ziele und das Erstellen von Bauteil- und Schnittstellenspezifikationen eingesetzt werden kann. Während der Entwicklung lassen sich
Berechnungs- und Versuchsergebnisse von Subsystemen eingliedern und sofort bezüglich ihrer Wirkungen auf die akustischen Eigenschaften des Gesamtfahrzeugs beurteilen.
6 Ausblick
Die SEA wurde in ihren Grundzügen bereits in den 60er-Jahren
entwickelt [1, 4]. Seither wurden die Grundlagen der SEA erweitert
und in vielen Anwendungen überprüft [3, 5, 6]. Seit 1990 haben kOmmerzielle SEA-Programme mit benutzerfreundlicher BedienungsDer Innenraum wird über entsprechende Knotendefinitionen
ebenfalls in SEA-Subsysteme eingeteilt IBild 81.
Schließlich werden die Anregungsbedingungen definiert. Sowohl
die Luftschall- als auch die Körperschall-Anregungen sind durch ih-
oberfläche zu ihrer großen Verbreitung in der Industrie geführt. Moderne SEA-Programme mit dreidimensionalen Modellierungsmöglichkeiten können heute als bewährte Berechnungswerkzeuge Im
CAE-basierten Akustikdesign angesehen werden.
re Leistungen oder Kräfte und Momente zu beschreiben. In Bild 9 ist
dargestellt, wie die vom Motorlager in die Tragstruktur eingeleiteten
Kräfte dem SEA-Programm vorgegeben werden.
LITERATUR
Das so erstellte SEA-Modelliiefert nach der anschließenden Berechnung die Schnelle- und Schalldruckspektren für alle Subsysteme. In dieser Phase stehen darüber hinaus Werkzeuge und Ergebnisse bereit, die dem Anwender helfen, die akustischen Schwachstellen der Konstruktion zu diagnostizieren, die Bedeutung der ver-
[IJ
(3)
151
Lyon, R. H.; de Jong, R.
D.: Statistical energy
analysis, 2. Auf/.
Boston: ButterworthHeinemann 1995
Bremner, P. G. u, a.:
Lang/er, R. 5.; Brem-
schiedenen Schallquellen zu bewerten und Übertragungspfade zu
[2]
analysieren. Als Beispiel zeigt Bild 10 ein Thermogramm der moda-
Bies, D. A.j Hamid, S.:
len Energie.
Die Bewertung konstruktiver Modifikationen kann sehr rasch erfolgen. Bei rein geometrischen Änderungen, bei denen die Topologie
beibehalten wird, sind nur die veränderte CAD-Datei einzulesen und
die Berechnung erneut auszuführen. Die Rechenzeit selbst wird im
wesentlichen von der Zahl der neu zu berechnenden Kopplungsver-
Konstruktion Juli / August 7/8 - 1999
III-situ determination of
[ass and coupiing lass
(actors by the power iniection metllOd. f. Sound
Vib. 70 (1980) H. 1,
S.187-204
AutoSEA2 - a new design evaluation tool (ar
noise and vibration en-
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[4]
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thod (ar the vibration
analysis o(complex
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33