Formelsammlung

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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Inhaltsverzeichnis:
Thema
Pegel
Relative Pegel
Absolute Pegel
Skin-Effekt
Leitungen
Verlustlose HF-Leitungen
Stand: 11.11.2001
Unterpunkt
Definition
Pegelangabe und –umrechnung
Normgeneratoren
Dämpfung und Verstärkung
Definition
relativer Spannungs-, Strom-, Leistungspegel
Dämpfung/Verstärkung aus relativen Pegeln
Zusammenhang relativer Leistungspegel –
relativer Spannungspegel / relativer Strompegel
Definition
absoluter Spannungs-, Strom-, Leistungspegel
Dämpfung/Verstärkung aus absoluten Pegeln
Zusammenhang absoluter Leistungspegel –
absoluter Spannungspegel / abs. Strompegel
Definition
Eindringtiefe für runde und eckige Leiter
Wechselstrom- und Gleichstromwiderstand für
rechteckige Leiter
Wechselstrom- und Gleichstromwiderstand für
runde Leiter
Gegenmaßnahmen bei Skin-Effekt
Leitungsbeläge
Ersatzschaltbild
Dämpfungskonstante α
Spannung und Strom an bestimmter Stelle
Dämpfungsmaß a
Berechnung Dämpfungskonstante mit Belägen
Wellenlänge λ
Phasenkonstante β
Fortpflanzungsgeschwindigkeit
Fortpflanzungskonstante γ ( Übertragungskonst.)
Fortpflanzungsmaß g
Berechnung des Fortpflanzungsmaß mit γ und l:
Wellenwiderstand ZL
Reflexionsfaktor r
Anpassung und Reflexion
Spezialfälle von Reflexion
elektrisch lange Leitungen
Eingangswiderstand
Fortpflanzungskonstante γ
Fortpflanzungsgeschwindigkeit
Zusammenhang Wellenlänge,
Fortpflanzungsgeschwindigkeit, Periodendauer
Hochfrequenter Wellenwiderstand
Spannungs- und Stromverteilung auf HFLeitungen (Lecherleitung) / Resonanzlänge
Eingangswiderst. HF-Leitung, Kurzschl., Leerl.
Reaktanz- oder Stichleitungen
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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Definition von Pegeln:
Darstellung einer Spannung, eines Stromes, des Leistungsverlaufes entlang einer Strecke
bezogen auf einen Bezugspunkt (Bezugswert).
Pegelangaben:
1dB = 0,115 Np
1 Np = 8,696 dB
dB = dezibel
Np = Neper
Beide Einheiten sind dimensionslos !!
Normgeneratoren:
Normgenerator normal:
U 0 = 0,775V R0 = 600 Ω
I 0 = 1,29 mA
Normgenerator Antennentechnik:
U 0 = 1µ V
P0 = 1mW
R0 = 75 Ω
Dämpfungspegel und Verstärkungspegel:
Spannungsdämpfung:
U
au = ln 1
U X

 in Np

U
au = 20 • log 1
U X
Spannungsverstärkung:
a u = − vu

 in dB


 in Np

I
ai = 20 • log 1
 IX
P
1
• ln 1
2
 PX
a i = − vi

 in dB


 in Np

P
a = 10 • log 1
 PX

 in dB


 in dB

Stromverstärkung:
I
vi = ln X
 I1

 in Np

I
vi = 20 • log X
 I1
Leistungsdämpfung:
a=

 in Np

U
vu = 20 • log X
 U1
Stromdämpfung:
I
ai = ln 1
 IX
U
vu = ln X
 U1

 in dB

Leistungsverstärkung:
a = −v
v=
P
1
• ln X
2
 P1

 in Np

P
v = 10 • log X
 P1

 in dB

UX , IX , PX = Spannung, Strom und Leistung an einem Punkt der Übertragungsstrecke
U1 , I1 , P1 = Spannung, Strom und Leistung am Anfang der Übertragungsstrecke
Stand: 11.11.2001
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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Relative Pegel:
Definition:
Bezugswerte (Spannung, Strom, Leistung) sind die Wert am Anfang der
Übertragungsstrecke.
Relative Spannungspegel:
U 
pur = ln X  in Np
 U1 
U
pur = 20 • log X
 U1

 in dB

pur = relativer Spannungspegel in Np oder dB
U1 = Spannung am Anfang der Übertragungsstrecke in V
UX = Spannung an einem Punkt der Übertragungsstrecke in V
Relative Strompegel:
I 
pir = ln X  in Np
 I1 
I
pir = 20 • log X
 I1

 in dB

pir = relativer Strompegel in Np oder dB
I1 = Strom am Anfang der Übertragungsstrecke in A
IX = Strom an einem Punkt der Übertragungsstrecke in A
Relative Leistungspegel:
P 
p r = 0,5 • ln X  in Np
 P1 
P
p r = 10 • log X
 P1

 in dB

pr = relativer Leistungspegel in Np oder dB
P1 = Leistung am Anfang der Übertragungsstrecke in W
PX = Leistung an einem Punkt der Übertragungsstrecke in W
Dämpfung bzw. Verstärkung und relative Pegel:
a = p r1 − p r 2
au = pur1 − pur 2
ai = pir1 − pir 2
v = p r 2 − p r1
vu = pur 2 − pur1
vi = pi 2 − pi1

Z
a = au +  0,5 • ln X
 Z1


 



Z
a = ai +  0,5 • ln 1
 ZX


 


a , au , ai = Dämpfungspegel der Übertragungsstrecke in Np oder dB
v , vu , vi = Verstärkungspegel der Übertragungsstrecke in Np oder dB
pr1 , pur1 , pir1 = rel. Dämpfungspegel am Anfang der Übertragungsstrecke in Np oder dB
pr2 , pur2 , pir2 = rel. Dämpfungspegel am Ende der Übertragungsstrecke in Np oder dB
Z1 = Eingangswiderstand der Übertragungsstrecke in Ω
ZX = Widerstand an einem Punkt der Übertragungsstrecke in Ω
Stand: 11.11.2001
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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Zusammenhang relativer Leistungspegel – relativer Spannungspegel:

Z
pr = pur +  0,5 • ln 1
 ZX


  in Np



Z
pr = pur + 10 • log 1
 ZX


  in dB


pr = relativer Leistungspegel in Np oder dB
pur = relative Spannungspegel in Np oder dB
Z1 = Eingangswiderstand der Übertragungsstrecke in Ω
ZX = Widerstand an einem Punkt der Übertragungsstrecke in Ω

 Z 
 0,5 • ln 1   = Spannungskorrekturfaktor.
 Z 

 X 

Bei Z1 = Z X ⇒ Identität, dann gilt: pr = pur
Zusammenhang relativer Leistungspegel – relativer Strompegel:

Z
pr = pir +  0,5 • ln X
 Z1


  in Np



Z
pr = pir + 10 • log X
 Z1


  in dB


pr = relativer Leistungspegel in Np oder dB
pir = relative Strompegel in Np oder dB
Z1 = Eingangswiderstand der Übertragungsstrecke in Ω
ZX = Widerstand an einem Punkt der Übertragungsstrecke in Ω

 Z 
 0,5 • ln X   = Stromkorrekturfaktor.
 Z 

 1 

Bei Z1 = Z X ⇒ Identität, dann gilt: pr = pir
Stand: 11.11.2001
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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Absolute Pegel:
Definition:
Bezugswerte (Spannung, Strom, Leistung) sind die Werte eines Normgenerators.
Absolute Spannungspegel:
U 
pu = ln X  in Np
 U0 
U
pu = 20 • log X
 U0

 in dB

pu = absoluter Spannungspegel in Np oder dB
UX = Spannung an einem Punkt der Übertragungsstrecke in V
U0 = Spannung des Normgenerators in V (Normal = 0,775V, Antennentechnik = 1µV)
Absolute Strompegel:
U 
pi = ln X  in Np
 U0 
I
pi = 20 • log X
 I0

 in dB

pi = absoluter Strompegel in Np oder dB
IX = Strom an einem Punkt der Übertragungsstrecke in A
I0 = Strom des Normgenerator in A (Normal = 1,29 mA)
Absolute Leistungspegel:
P 
p = 0,5 • ln X  in Np
 P0 
P
p r = 10 • log X
 P0

 in dB

p = absoluter Leistungspegel in Np oder dB
PX = Leistung an einem Punkt der Übertragungsstrecke in W
P0 = Leistung des Normgenerators in W (Normal = 1 mW)
Dämpfung bzw. Verstärkung und absolute Pegel:
a = p1 − p 2
a u = p u1 − p u 2
ai = pi1 − pi 2
v = p 2 − p1
vu = p u 2 − p u 1
vi = pi 2 − pi1

Z
a = au +  0,5 • ln X
 R0


 



R
a = ai +  0,5 • ln 0
 ZX


 


a , au , ai = Dämpfungspegel der Übertragungsstrecke in Np oder dB
v , vu , vi = Verstärkungspegel der Übertragungsstrecke in Np oder dB
p1 , pu1 , pi1 = abs. Dämpfungspegel am Anfang der Übertragungsstrecke in Np oder dB
p2 , pu2 , pi2 = abs. Dämpfungspegel am Ende der Übertragungsstrecke in Np oder dB
R0 = Widerstand des Normgenerators in Ω (Normal = 600Ω, Antennentechnik = 75Ω)
ZX = Widerstand an einem Punkt der Übertragungsstrecke in Ω
Stand: 11.11.2001
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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Zusammenhang absoluter Leistungspegel – absoluter Spannungspegel:

R
p = pu +  0,5 • ln 0
 ZX


  in Np



R
p = pu + 10 • log 0
 ZX


  in dB


p = absoluter Leistungspegel in Np oder dB
pu = absoluter Spannungspegel in Np oder dB
R0 = Widerstand des Normgenerators in Ω (Normal = 600Ω, Antennentechnik = 75Ω)
ZX = Widerstand an einem Punkt der Übertragungsstrecke in Ω

 R 
 0,5 • ln 0   = Spannungskorrekturfaktor.
 Z 

 X 

Bei Z X = R0 ⇒ Identität, dann gilt: p = pu
Zusammenhang absoluter Leistungspegel – absoluter Strompegel:

Z
p = pi +  0,5 • ln X
 R0


  in Np



Z
p = pi + 10 • log X
 R0


  in dB


p = absoluter Leistungspegel in Np oder dB
pi = absoluter Strompegel in Np oder dB
ZX = Widerstand an einem Punkt der Übertragungsstrecke in Ω
R0 = Widerstand des Normgenerators in Ω (Normal = 600Ω, Antennentechnik = 75Ω)

 Z 
 0,5 • ln X   = Stromkorrekturfaktor.
 Z 

 1 

Bei Z X = R0 ⇒ Identität, dann gilt: p = pi
Stand: 11.11.2001
Seite 1-6
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Skineffekt bei Wechselstrom-Leitern:
Definition:
Bei einem stromdurchflossenen Leiter bildet sich auch im Leiterinneren ein Magnetfeld. Da
sich dieses Magnetfeld im Wechselfeld befindet, induziert es im Inneren des Leiters
Ströme, die sich dem ursprünglichen Strom entgegensetzen bzw. ihn überlagern.
Eindringtiefe für RUNDE und ECKIGE Leiter:
Definition:
Die Eindringtiefe δ ist der Faktor, bei dem die Stromdichte im Leiter um den Faktor e −1
abgesunken ist.
δ=
2
ω •κ • µ0 • µr
mit ω = 2 • π • f
δ=
⇒
1
π • f •κ • µ0 • µr
!!!! Gilt für rechteckige und runde Leiter !!!!
δ = Eindringtiefe in m
ω = Kreisfrequenz in
1
s
S
m
bzw.
m
Ω • mm 2
Vs
µ0 = Permeabilitätskonstante 1,257 • 10 −6
Am
µr = Permeabilität (ohne Einheit !!)
κ = spezifische Leitfähigkeit in
f = Frequenz in Hz
Wechselstrom- und Gleichstromwiderstand für RECHTECKIGE Leiter:
R≈ =
l
κ •δ • b
R= =
l
l
=
κ • A κ • h•b
R≈ = Wechselstromwiderstand für eckige Leiter in Ω
l = Länge des Leiters in m
S
m
κ = spezifische Leitfähigkeit in
bzw.
m
Ω • mm 2
δ = Eindringtiefe in m
b = Breite des Leiters in m
R= = Gleichstromwiderstand des Leiters in Ω
A = Fläche des Leiters in m2
h = Höhe oder Dicke des Leiters in m
Stand: 11.11.2001
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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Wechselstrom- und Gleichstromwiderstand für RUNDE Leiter:
Gleichstromwiderstand:
l
4•l
R= =
⇒ R= =
κ•A
κ • d 2 •π
⇒
R= =
l
κ • r 2 •π
R= = Gleichstromwiderstand in Ω
l = Länge des Leiters in m
S
m
κ = spezifische Leitfähigkeit in
bzw.
m
Ω • mm 2
2
A = Fläche des Leiters in m
d = Durchmesser des Leiters in m
r = Radius des Leiters in m
Wechselstromwiderstand:
d
d
≤δ ≤
gilt:
10
4
für δ << d gilt:
für
(=bei hohen Frequenzen)
d
R≈ = R= •
4 •δ
d 
1
R≈ = R= •  +

 4 4 •δ 
für
d
d
≤δ ≤
gilt:
4
2
  d 4 
R≈ = R= • 1 + 
 
  5,3 • δ  


d
gilt:
2
(= bei niedrigen Frequenzen)
für δ >
R≈ = R=
R≈ = Wechselstromwiderstand für eckige Leiter in Ω
R= = Gleichstromwiderstand des Leiters in Ω
d = Durchmesser des Leiters in m2
δ = Eindringtiefe in m
Gegenmaßnahmen beim Skineffekt auf HF-Leitungen:
-
Versilbern ⇒ höhere spez. Leitfähigkeit ⇒ R≈ sinkt
-
Leiterquerschnitt aufteilen auf mehrere isolierte Leiter
⇒ Leiteroberfläche steigt ⇒ R≈ sinkt
-
Vergolden ⇒ Minimierung der Oberflächenrauigkeit ⇒ kürzerer Stromweg
⇒ Stromweg l sinkt ⇒ R≈ sinkt
Stand: 11.11.2001
Seite 1-8
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Leitungstheorie / Leitungsbeläge:
Jede homogene Leitung besitzt folgende Eigenschaften die entlang der Leitung überall
gleich sind:
-
R’ als Widerstandsbelag der Leitung (Hin- und Rückleitung)
L’ als Induktivitätsbelag der Leitung
C’ als Kapazitätsbelag zwischen den Leitern
G’ als Isolationsleitwertbelag zwischen den Leitern (auch Ableitbelag)
Als Belag versteht man eine Angabe, die auf eine bestimmt Länge bezogen ist.
Bei Leitungsbelägen ist das meist 1 km.
Eine Leitung kann mit folgendem Ersatzschaltbild dargestellt werden:
Bei kurzen Leitungen und niedrigen Frequenzen spielen L’ und C’ in der Regel keine
Rolle.
Bei langen Leitungen oder hohen Frequenzen haben sie jedoch einen großen Einfluß
auf das Leitungsverhalten.
Aus den Größen L’ und R’ kann folgender komplexer Widerstand zusammengefasst
werden:
Z ' = R'+ jωL'
Aus den Größen C’ und G’ kann folgender komplexer Ableitungswert zusammengefasst
werden:
Y ' = G '+ jωC '
Stand: 11.11.2001
Seite 1-9
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Dämpfungskonstante:
Definition:
Spannung und Strom auf einer Leitung werden nach der e-Funktion gedämpft. Die
Dämpfung zwischen den Punkten x und x+1 bezeichnet man als Dämpfungskonstante α.
 U (x ) 

α = ln
 U ( x + 1) 
 I (x ) 
[α ] = Np

α = ln
 I ( x + 1) 
km
Np
km
U(x) = Spannung am Punkt x in V
U(x+1) = Spannung am Punkt (x+1) in V
I(x) = Strom im Punkt x in A
I(x+1) = Strom im Punkt (x+1) in A
α = Dämpfungskonstante in
Spannung/Strom an einer bestimmten Stelle der Leitung:
U X = U 1 • e −α • x
I X = I1 • e −α • x
U 1 = U X • eα • x
U
ln 1
U
x=  X



U
ln 1
U
α=  X
x



I 1 = I X • eα • x
I
ln 1
I
x=  X



I
ln 1
I
α=  X
x



α
α
UX = Spannung an der Stelle x in V
U1 = Spannung am Anfang der Leitung in V
Np
α = Dämpfungskonstante in
km
x = Länge der Leitung in m, gemessen vom Leitungsanfang
IX = Strom in der Stelle x in A
I1 = Strom im Anfang der Leitung in A
Dämpfungsmaß:
a =α •l
a = Dämpfungsmaß der gesamten Leitung in Np
Np
α = Dämpfungskonstante in
km
l = Länge der gesamten Leitung in m (km)
Stand: 11.11.2001
Seite 1-10
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Berechnung der Dämpfungskonstante mit Leitungsbelägen:
α=
ω • L'•C '
 ε •δ 
• sin 

cos ε • cos δ
 2 
mit tan δ =
arctan = tan −1
G'
R'
 G' 
 R' 
⇒ δ = arctan
⇒ ε = arctan
 und tan ε =

ω • C'
ω • L'
 ω • C' 
 ω • L' 
α = Dämpfungskonstante in
ω = Kreisfrequenz in
Np
(Taschenrechner umstellen auf RAD!!!)
km
1
s
H
km
F
C' = Kapazitiver Leitungsbelag in
km
S
G' = Leitwertbelag in
km
Ω
R' = Widerstandsbelag in
km
L' = Induktiver Leitungsbelag in
Wellenlänge:
Der Abstand zwischen zwei gleichen
Spannungs- oder Stromwerten auf der
Leitung wird Wellenlänge λ genannt.
λ=
c
f
λ = c •T
λ = Wellenlänge in m
c = Lichtgeschwindigkeit ( 299,79 • 10 6
m
m
≈ 300 • 10 6 )
s
s
f = Frequenz in Hz
T = Periodendauer in s
Phasenkonstante:
Den Winkel, um den zwei Spannungen oder Ströme im Abstand von 1 km phasenverschoben sind, nennt man Phasenkonstante β
β=
2 •π
λ
β=
ω • L'•C '
 ε •δ 
• cos

cos ε • cos δ
 2 
β = Phasenkonstante in
β=
2 •π • f ω
=
c
c
λ=
2 •π
β
rad
(Taschenrechner umstellen auf RAD!!!)
km
λ = Wellenlänge in m
ω, L’, C’, ε, δ, c siehe gleiche Seite oben ⇑
Stand: 11.11.2001
Seite 1-11
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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Fortpflanzungsgeschwindigkeit:
v=
λ
T
v=λ• f
2 •π
β •T
v=
v=
ω
β
m
s
v = Fortpflanzungsgeschwindigkeit in
λ = Wellenlänge in m
T = Periodendauer in s
f = Frequenz in Hz
β = Phasenkonstante in
ω = Kreisfrequenz in
rad
km
1
s
Fortpflanzungskonstante (Übertragungskonstante):
γ = α + jβ
[]
Vorsicht !!!!: γ =
γ = Z '•Y ' ⇒ γ =
Np
rad
+j
km
km
1rad =
1° • 2 • π
360
1° =
1rad • 360
2 •π
(R'+ jωL') • (G '+ jωC ')
⇒ Spannung und Strom an einer bestimmten Stelle x werden wie folgt berechnet:
U X = U 1 • e − (α + jβ )• x
U X =U1 •e
⇒ U X = U 1 • e −α • x • e − jβ • x oder
I X = I 1 • e − (α + jβ )• x
Vorsicht !! Einheit von γ
U X = U 1 • e jϕU • e
I X = I1 •e
−γ • x
γ = Fortpflanzungskonstante in [γ ] =
−γ • x
⇒ U X = U 1 • e −α • x • e j (ϕU −( β • x ))
Vorsicht !! Einheit von γ
I X = U 1 • e jϕ I • e
⇒ I X = I 1 • e −α • x • e − jβ • x oder
α = Dämpfungskonstante in
−γ • x
−γ • x
⇒ I X = I1 • e −α • x • e j (ϕ I −( β • x ))
Np
rad
+j
km
km
Np
km
rad
km
x = Abstand vom Anfang der Leitung in km
φU = Phasenwinkel des Spannung U1
φI = Phasenwinkel des Stromes I1
Ω
R' = Widerstandsbelag in
km
H
L' = Induktiver Leitungsbelag in
km
S
G' = Leitwertbelag in
km
F
C' = Kapazitiver Leitungsbelag in
km
β = Phasenkonstante in
Stand: 11.11.2001
Seite 1-12
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NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Fortpflanzungsmaß (Übertragungsmaß):
g = γ •l
daraus folgt:
U 2 =U1 •e
−g
I 2 = I1 • e
−g
g = Fortpflanzungsmaß in Np + jRAD
γ = Fortpflanzungskonstante in [γ ] =
Np
rad
+j
km
km
l = gesamte Länge der Leitung im km
U2 = Spannung am Ende der Leitung in V
U1 = Spannung am Anfang der Leitung in V
I2 = Strom am Ende der Leitung in A
I1 = Strom am Anfang der Leitung in A
Berechnung des Fortpflanzungsmaß mit γ und l:
 Np 
 rad 
 + j • d

 km 
 km 
γ = a • e jb = a • ∠b durch Umrechng in Polar- bzw. Versorform ⇒ γ = c
mit der Länge l multipliziert wird das Fortpflanzungsmaß berechnet:
 Np 
 rad 
g = γ • l ⇒ g = c
 •l + j • d
 • l ⇒ g = x( Np ) + j • y (rad )
 km 
 km 
Für die Verwendung in der Formel mit den Winkelangaben von Strom oder Spannung muß
nun nur noch der Imaginärteil in GRAD zurückverwandelt werden:
j • y (rad ) ⇒ j • y (°)
b = Phasenwinkel in GRAD
Wellenwiderstand:
Der Wellenwiderstand ist auf der ganzen Übertragungsstrecke unabhängig und
konstant !!
ZL =
U1
I1
ZL =
U2
I2
ZL =
Z'
Y'
U1 = Spannung am Anfang de Leitung in V
I1 = Strom am Anfang der Leitung in A
U2 = Spannung am Ende der Leitung in V
I2 = Strom am Ende der Leitung in A
Z’ = komplexer Widerstandsbelag der Leitung in
Y’ = komplexer Ableitbelag der Leitung in
Stand: 11.11.2001
ZL =
(R'+ jωL')
(G '+ jωC ')
Ω
km
S
km
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Formelsammlung
NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Reflexionsfaktor:
r=
Z2 −ZL
Z2 +ZL
r=
U 2 ''
U 2'
U 2 '' = r •U 2 '
 I '' 
r = − 2 
 I 2' 
I 2 '' = − r • I 2 '
r = Reflexionsfaktor (ohne Einheit !!)
Z2 = Abschlußwiderstand der Leitung in Ω
ZL = Wellenwiderstand der Leitung in Ω
U1’ = Spannung der Grundwelle am Eingang der Leitung in V
U2’ = Spannung der Grundwelle am Ausgang der Leitung in V
U2’’ = Spannung der reflektierten Welle am Ausgang der Leitung in V
U1’’ = Spannung der reflektierten Welle am Eingang der Leitung in V
I1’ = Strom der Grundwelle am Eingang der Leitung in A
I2’ = Strom der Grundwelle am Ausgang der Leitung in A
I2’’ = Strom der reflektierten Welle am Ausgang der Leitung in A
I1’’ = Strom der reflektierten Welle am Eingang der Leitung in A
Anpassung und Reflexion:
Abschlusswiderstand = Wellenwiderstand:
⇒ Anpassung = keine Reflexion
Z 2 = Z L ⇒ r = 0 ⇒ U 1 = U 1 ' und U 2 = U 2 ' = U 1 • e
−g
Abschlusswiderstand ≠ Wellenwiderstand:
⇒ Fehlanpassung = Reflexion
U 2 = U 2 '+U 2 ' ' mit U 2 ' ' = r • U 2 ' ⇒ U 2 = (1 + r ) • U 2 '
I 2 = I 2 '+ I 2 ' ' mit I 2 ' ' = −r • I 2 ' ⇒ I 2 = (1 − r ) • I 2 '
⇒
(
⇒ U 1 = 1+ r • e
(
I 1 = 1− r • e
−2 g
−2 g
)• U '
1
)• I '
1
g = Fortpflanzungsmaß in Np + jRAD
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Speziallfälle von Reflexion:
Leitung offen:
Z 2 = ∞ ⇒ r = 1 ⇒ U 2 '' = U 2 ' ⇒ U 2 = 2 •U 2 ' ⇒ I 2 '' = −I 2 ' ⇒ I 2 = 0
Leitung kurzgeschlossen:
Z L = 0 ⇒ r = −1 ⇒ U 2 ' ' = −U 2 ' ⇒ U 2 = 0 ⇒ I 2 ' ' = I 2 ' ⇒ I 2 = 2 • I 2 '
Elektrisch lange Leitung:
Man spricht von einer elektrisch langen Leitung wenn der Dämpfungspegel größer gleich
2 Np ist. In diesem Fall findet praktisch keine Rückwirkung des Abschlusswiderstandes auf
den Eingang statt.
⇒ elektrisch lange Leitung bei α ≥ 2 Np
a = α • l ⇒ U 1 '' = 0 ⇒ U 1 = U 1 '
Vorsicht !! U 2 ≠ U 2 '
Eingangswiderstand:
U
Z1 = 1
I1
Z1
(
)
=
I '•(1 − r • e )
U 1 '• 1 + r • e
−2 g
(1 + r • e )
•
(1 − r • e )
−2 g
Z1 = Z L
−2 g
1
−2 g
Beim Rechnen aufpassen:
- Summand „1“ nur zum Realteil von r • e −2 g addieren !!
- Vorzeichen im Nenner beachten !!
(
)
Z1 = Eingangswiderstand der Leitung in Ω
U1 = Spannung am Eingang der Leitung in V
I1 = Strom am Eingang der Leitung in A
ZL = Wellenwiderstand der Leitung in Ω
g = Fortpflanzungsmaß in Np + jRAD
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Verlustlose Hochfrequenzleitung:
Bei Hochfrequenz sind R’ und G’ im Verhältnis zu jωL’ und jωC’ so klein, daß sie vernachlässigt werden können.
⇒
Z ' = jωL'
Y ' = + jωC '
Für ein Paralleldrahtsystem gilt:
µ0 • µr
 2•a 
• ln

π
 d 
1
 2•a 
ln

 d 
Vs
µ0 = magnetische Feldkonstante 1,257 • 10 −6
Am
µr = Permeabilität (ohne Einheit !!)
As
ε0 = elektrische Feldkonstante 8,85 • 10 −12
Vm
εr = Dielektrizitätszahl (ohne Einheit !!)
a = Abstand der Drahtachsen in m
d = Durchmesser der Drähte im m2
L' =
C'= ε0 • ε r •π •
Fortpflanzungskonstante(Übertragungskonstante):
γ = α + jβ ⇒ γ = Z '•Y ' ⇒ γ = jω • L'•C ' ⇒ γ = jβ
Fortpflanzungsgeschwindigkeit:
da die Dämpfung vernachlässigt werden kann (α=0) gilt:
β = ω • L'•C ' mit v =
1
c
ω
⇒ v=
⇒ v=
β
µr • ε r
L'•C '
v = Fortpflanzungskonstante in
m
s

1
m
c = Lichtgeschwindigkeit  c =
= 299,98 • 10 6 

s 
µ0 • ε 0

Zusammenhang Wellenlänge, Fortpflanzungsgeschwindigkeit und Periodendauer:
λ = v •T ⇒ λ =
v
300
⇒ In Luft: µ r = ε r = 1 ⇒ v = c ⇒ λ =
f
f
in einem Medium:
1
300
•
λ=
f
µr • ε r
λ = Wellenlänge in m
v, c = siehe oben ⇑
f = Frequenz in MHz !!!!!!!!!
µr = Permeabilität (ohne Einheit !!)
εr = Dielektrizitätszahl (ohne Einheit !!)
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Hochfrequenter Wellenwiderstand:
ZL =
Z'
Y'
⇒
ZL =
L'
C'
Für Paralleldrahtleitungen gilt:
Z L = 120Ω •
µr
 2•a 
• ln

εr
 d 
Sonstige Berechnungen an anderen Leitungsformen:
Stand: 11.11.2001
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Spannung- und Stromverteilung entlang verlustloser HF-Leitungen (Lecherleitung):
Ist eine verlustlose HF-Leitung
am Ende offen, wird die komplette
Welle reflektiert. Dies führt zu
sogenannten stehenden Wellen.
(siehe Diagramm)
Bei einer stehenden Welle pendelt
die Energie zwischen den Bauchstellen von Spannung und Strom.
⇒ Es wird keine Wirkleistung
transportiert !!!
Dabei entstehen 2 Extremwerte:
Bei 1 •
λ
4
, 3•
λ
4
, 5•
λ
4
usw. :
- Spannung hat ein Maximum
- Strom = 0
Bei 2 •
λ
4
, 4•
λ
4
, 6•
λ
4
usw. :
- Spannung =0
- Strom hat ein Maximum
Die Spannungs- und Stromwerte ändern sich nicht,
wenn die Leitung im
Abstand
λ
vom Ende
4
kurzgeschlossen wird.
Für die Höhe der Strombzw. Spannungsmaxima
ist die Abstimmung, also die
genaue Länge der Leitung (Resonanzlänge lres) wichtig. Sie lässt sich wie folgt berechnen:
Für offene Leitung:
l res = (2 • n + 1) •
λ
4
mit n = 0, 1, 2, 3 , 4, ...
Für kurzgeschlossene Leitungen:
l res = 2 • n •
λ
4
mit n = 1, 2, 3, 4, ...
Stand: 11.11.2001
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Eingangswiderstand einer verlustfreien HF-Leitung:
ZL
• tan (β • l )
R2
Z 1 = R2 •
(RAD !!!)
R2
1+ j
• tan (β • l )
ZL
1+ j
ZL
l

• tan 2 • π • 
R2
λ

Z 1 = R2 •
(RAD !!!)
R2
l

1+ j
• tan 2 • π • 
ZL
λ

1+ j
Z1 = Eingangswiderstand der Leitung in Ω
ZL = Wellenwiderstand der Leitung in Ω
R2 = Abschlusswiderstand in Ω
rad
β = Phasenkonstante in
km
l = Länge der Leitung in km
λ = Wellenlänge in m
Für Leerlauf gilt:
ZL
Z 1L = − j
( RAD !!!)
tan (β • l )
Z 1L = − j
ZL
l

tan 2 • π • 
λ

(RAD !!!!)
Für Kurzschluß gilt:
Z 1K = j Z L • tan (β • l ) ( RAD !!!)
l

Z 1K = j Z L • tan 2 • π •  ( RAD !!!!)
λ

Reaktanz oder Stichleitungen:
Länge
l<
l=
l>
λ
Ausgang offen
Leitung wirkt als Kapazität
Ausgang kurzgeschlossen
Leitung wirkt als Induktivität
Leitung wirkt als Reihenschwingkreis
RE = 0
Leitung wirkt als Induktivität
Leitung wirkt als Parallelschwingkreis
Re = ∞
Leitung wirkt als Kapazität
4
λ
4
λ
4
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