Algebraische Geometrie II

Algebraische Geometrie II
Prof. Dr. Uwe Jannsen
Sommersemester 2009
Inhaltsverzeichnis
0 Erinnerung
1
1 Verkleben und Faserprodukte
3
1.A Darstellbare Funktoren und Limiten
16
2 Endlichkeitseigenschaften von Schemata und Schema-Morphismen
27
3 Garben
33
3.A Adjungierte Funktoren und abelsche Kategorien
46
4 Quasi-kohärente Modulgarben
54
5 Tensorprodukte, Pushforwards und Pullbacks von OX -Moduln
62
5.A Direkte Bilder von quasi-kohärenten OX -Moduln
70
6 Abgeschlossene Unterschemata
72
7 Divisoren und invertierbare Moduln
79
7.A Diskrete Bewertungsringe
93
8 Projektive Schemata und Aufblasungen
95
8.A Projektive Schemata und homogene Ideale
116
0
Erinnerung
0.1 Ein lokal geringter Raum ist ein topologischer Raum X zusammen mit einer Garbe von
Ringen OX , so dass die Halme OX,x für alle x ∈ X lokale Ringe sind.
0.2 Ein Morphismus (X, OX ) → (Y, OY ) von lokal geringten Räumen ist ein Paar (f, f ] )
wobei f : X → Y eine stetige Abbildung ist und
f ] : O Y → f∗ O X
ein Morphismus von Ringgarben, so dass für jedes x ∈ X die kanonisch induzierte Abbildung
fx] : OY,f (x) → OX,x
ein Homomorphismus von lokalen Ringen ist (fx] (mf (x) ) ⊆ mx ).
0.3 Für jeden Ring A erhält man einen lokal geringten Raum (X, OX ), wobei X = Spec(A)
mit der Zariski-Topologie ist, und die Garbe OX die beiden folgenden Eigenschaften hat
OX (D(f )) = Af
OX,x = Ap
für
für
f ∈A
x = p ∈ Spec(A) .
0.4 Affine Schemata sind lokal-geringte Räume, die isomorph zu einem solchen (X, OX ) sind.
0.5 Ein lokal geringter Raum (X, OX ) heißt Schema, wenn jedes x ∈ X eine offene Umgebung
U ⊆ X besitzt, so dass (U, OU := OX |U ) ein affines Schema ist.
0.6 Ist (X, OX ) ein lokal geringter Raum und (Y, OY ) ein affines Schema, isomorph zu
(Spec(A), OSpec(A) ), so ist die Abbildung
Hom((X, OX ), (Y, OY )) → Hom(A, OX (X))
(f, f ] )
7→ fY] : A = OY (Y ) → OX (X)
eine Bijektion (Alg.Geo. I, 10.1).
0.7 Ist (X, OX ) ein Schema und U ⊆ X beliebig offen, so ist (U, OX|U ) ein Schema (Alg.Geo
I, 10.6) und heißt offenes Unterschema. Man hat einen Morphismus j : (U, OU ) → (X, OX ).
0.8 Seien (X, OX ) und (Y, OY ) Schemata (oder lokal geringte Räume). Ist V ⊆ Y offen, so
hat man eine Bijektion
Hom((X, OX ), (V, OV )) = {g : (X, OX ) → (Y, OY ) | g(X) ⊆ V }
f 7→ jf ,
wobei j : (V, OV ) ,→ (Y, OY ) der kanonische Morphismus ist (Alg.Geo. I. 10.7).
Im Folgenden lassen wir meist die Strukturgarbe OX in den Bezeichnungen weg und schreiben
nur X statt (X, OX ).
1
0.9 Sei X ein topologischer Raum und seien F, G Garben von abelschen Gruppen auf X.
Dann hat man eine Garbe Hom(F, G) von abelschen Gruppen auf X, definiert durch
Hom(F, G)(U )
=
HomU (F |U , G |U ) ,
wobei rechts die Gruppe der Morphismen von Garben auf U steht (Alg.Geo. I, Übungsblatt
13, Aufgabe 1). Entsprechendes gilt auch für Garben von Ringen, wobei dann aber Hom(F, G)
nur noch eine Garbe von Mengen ist (selbst überlegen!).
0.10 Sind X und Y Schemata, so ist die Zuordnung
U 7→ Hom(U, Y ) ,
U ⊆ X offen
mit den Restriktionsabbildungen
Hom(U, Y ) → Hom(U 0 , Y ) , U 0 ⊆ U
f 7→ f |U 0
eine Garbe von Mengen. Das heißt: Ist U ⊆ X offen und (Ui )i∈I eine offene Überdeckung
von U , so gilt
(a) Sind f, g : U → Y Morphismen mit f |U = g |U für alle i ∈ I, so ist f = g.
i
i
(b) Sind fi : Ui → Y Morphismen (i ∈ I) mit
fi |U ∩U = fj |U ∩U
i
j
i
j
∀ i, j ∈ I ,
so gibt es einen (nach (a) eindeutig bestimmten) Morphismus f : U → Y mit
f |U i = f i
∀i∈I
(Alg.Geo. I, Übungsblatt 13, Aufgabe 2).
2
1
Verkleben und Faserprodukte
Satz 1.1 (Verkleben von Garben) Sei X ein topologischer Raum und (Ui )i∈I eine offene
Überdeckung von X. Es seien gegeben
(i) für jedes i ∈ I eine Garbe (von Mengen) Fi ,
(ii) für alle i, j ∈ I ein Isomorphismus von Garben
∼
ϕij : Fi |U → Fj |U ,
ij
ij
mit Uij = Ui ∩ Uj , so dass gilt
(iii) ϕii = idFi ,
(iv) (Kozykelbedingung) für alle i, j, k:
ϕik |U
= ϕik |U ◦ ϕij |U ,
ijk
ijk
ijk
wobei Uijk := Ui ∩ Uj ∩ Uk . Dann gibt eine Garbe F auf X und Isomorphismen
∼
ψ i : F |U → F i
i
mit
(v)
ψ j |U
ij
= ϕij ◦ ψi |U
ij
für alle i, j ∈ I .
Diese Garbe F ist bis auf kanonische Isomorphie eindeutig: Gibt es eine zweite Garbe F 0
mir entsprechenden Isomorphismen ψi0 , so gibt es genau einen Isomorphismus
α : F → F0 ,
der für jedes i ∈ I das Diagramm
F |U
i
α|
BB
BB∼
BB
ψi BB
!
Ui
Fi
/ F 0|
Ui
{
∼ {{
{
{{ 0
}{{ ψi
kommutativ macht.
Beweis (a) Existenz: Für jedes U ⊆ X offen definiere
Q
F(U ) = {(si ) ∈
Fi (U ∩ Ui ) | ∀ i, j ∈ I gilt sj |U ∩U = ϕij,U ∩Uij (si |U ∩U )} .
ij
ij
i∈I
Die Restriktionen für die Fi definieren dann Restriktionen für F, und man überprüft ohne
Schwierigkeiten, dass F eine Garbe ist. Der Garbenmorphismus ψi : F |U → Fi ist definiert
ij
durch
ψi,U : F(U ) → Fi (U )
(sj )j∈I 7→ si
für U ⊆ Ui offen, und diese Abbildung ist bijektiv: Definiere die Umkehrabbildung ϕi,U durch
ϕi,U (si ) = (sj )j∈I , mit
3
sj = ϕij,U ∩Uj (si |U ∩U ) ∈ Fj (U ∩ Uj )
j
für si ∈ F (U ) = F(U ∩ Ui ) (Dies ist wohldefiniert und invers zu ψi,U nach (iii) und (iv)).
Die Eigenschaft (v) ist klar.
(b) Eindeutigkeit: Da α|U eindeutig festgelegt ist, folgt die Existenz von α aus der Garbeni
eigenschaft von Hom(F, F 0 ) (siehe 0.10).
Bemerkung 1.2 Der Satz gilt entsprechend für Garben von Gruppen, bzw. von Ringen,
wobei die fij , ψi und α entsprechende Morphismen sind.
Satz 1.3 (Verkleben von (lokal) geringten Räumen) Sei (Vi )i∈I eine Familie von (lokal)
geringten Räumen, und seien gegeben:
(i) für alle i, j ∈ I offene Mengen Vij ⊆ Vi ,
(ii) für alle i, j ∈ I Isomorphismen von (lokal) geringten Räumen
∼
fij . Vij → Vji
wobei gilt
(iii) Vii = Vi und fii = idVii ,
(iv) fij (Vij ∩ Vik ) = (Vji ∩ Vjk ) und fik = fik ◦ fij auf Vij ∩ Vik .
Dann gibt es einen (lokal) geringten Raum X, eine offene Überdeckung (Ui )i∈I von X und
Isomorphismen von (lokal) geringten Räumen
∼
gi : Vi → Ui
so dass gilt
(v)
Vij = gi−1 (Ui ∩ Uj ) und
fij = gj−1 |U ∩U ◦ gi |V
(= (gj |Vji )−1 ◦ gi |Vij ) .
j
i
ij
Dieser (lokal) geringte Raum X ist bis auf kanonische Isomorphie eindeutig: Gibt es einen
∼
zweiten (lokal) geringten Raum X 0 mit entsprechenden Isomorphismen gi0 : Vi → Ui0 ⊆ Xi ,
so gibt es genau einen Isomorphismus von (lokal) geringten Räumen
h : X → X0
so dass für alle i ∈ I gilt: h(Ui ) = Ui0 , und das Diagramm
h|U
i
:
Ui ^>
∼
>>
>>
gi >>>
Vi
kommutiert.
4
/ U0
? i
¡¡
¡
¡
¡¡ 0
¡¡ gi
fi
Vj
Vji
Uj
Uij
ϕij
Ui
Vij
fi
Vi
Diese Daten reichen, um
X zu definieren
Beweis: (a) Konstruktion von X: Setze
µ
X =
`
¶
Vi / ∼ ,
i∈I
wobei
`
Vi die disjunkte Vereinigung der Vi ist und ∼ die folgende Äquivalenzrelation
x i ∼ xj
:⇔
xi ∈ Vij
und fij (xi ) = xj
`
für xi ∈ Vi und xj ∈ Vj (in X werden
also xi und xj identifiziert). Weiter sei i Vi mit der
`
Summentopologie versehen (U 0 ⊆ i Vi offen ⇔ U 0 ∩ Vi offen für alle i ∈ I) und X mit der
Quotiententopologie
(U ⊆ X offen ⇔ das Urbild von U unter der kanonischen Surjektion
`
p : i Vi ³ X ist offen). Sei
`
p
gi : Vi →
Vi →
X
i∈I
xi
7→
Klasse von xi
die kanonische Abbildung. Dann ist gi injektiv (dies folgt aus Eigenschaft (iii)) und stetig.
Genauer ist eine Menge U ⊆ X genau dann offen, wenn gi−1 (U ) offen für alle i ∈ I ist
(Übungsaufgabe). Insbesondere ist
Ui := gi (Vi )
offen in X, und
∼
gi : Vi → Ui
ein Homöomorphismus. Weiter ist (Ui )i∈I eine offene Überdeckung von X und es gelten die
Eigenschaften (v), d.h.,
Vij = gi−1 (Ui ∩ Uj ) und fig = gj−1 |Ui ∩Uj ◦ gi |Vij .
5
Wir definieren nun die Strukturgarbe OX durch Verklebung der Ringgarben
Oi := (gi )∗ OVi
mittels der Isomorphismen
auf Ui
∼
ϕij : Oi |Ui ∩Uj → Oj |Ui ∩Uj ,
die die Inversen zu den Isomorphismen
Oj |Ui ∩Uj = (gj )∗ OVji
]
(gj )∗ (fij
)
−→ (gj )∗ (fij )∗ OVij = (gi )∗ OVij
sind. Dies liefert den gewünschten lokal geringten Raum (X, OX ), zusammen mit den Isomorphismen
∼
(gi , gi] ) : (Vi , OVi ) → (Ui , OUi ) ,
mit
gi] : OUi ∼
= Oi = (gi )∗ OVi .
(b) Eindeutigkeit : selbst.
Bemerkung 1.4 Sind in 1.3 alle Vi Schemata, so ist X offenbar ein Schema.
Wir kommen nun zum wichtigen Begriff des Faserprodukts.
Satz 1.5 Sei ein Diagramm
Y
²
α
X
β
/S
von Morphismen von Schemata gegeben. Dann existiert ein Schema X ×S Y und ein kommutatives Diagramm
pr2
/Y
X ×S Y
pr1
β
²
α
X
²
/S
mit der folgenden universellen Eigenschaft: Ist Z ein Schema und sind f : Z → X g : Z → Y
Morphismen mit αf = βg, so gibt es genau einen Morphismus h : Z → X ×S Y mit f = pr1 h
und g = pr2 h:
Z
g
∃!h
$
f
X ×S Y
à ²
X
&/
Y
²
/S.
X ×S Y heißt das Faserprodukt von X und Y über S, und der zu f und g assoziierte
Morphismus h wird auch mit (f, g) bezeichnet. Die Morphismen pr1 und pr2 heißen die erste
bzw. zweite Projektion.
6
Definition 1.6 Ein kommutatives Diagramm
Z
β0
²
X
α0
α
/Y
β
²
/S
heißt kartesisch, wenn der induzierte Morphismus
Z → X ×S Y
ein Isomorphismus ist. Der Morphismus α0 heißt der Basiswechsel von α mit β (entsprechend heißt β der Basiswechsel von β mit α).
Bemerkungen 1.7 (a) Für ein Diagramm
N
M
α
²
β
/T
von Abbildungen von Mengen definiert man das Faserprodukt von M und N über T als
M ×T N := {(m, n) ∈ M × N | α(m) = β(n)} .
Es hat eine entsprechende universelle Eigenschaft für Abbildungen von Mengen. Die universelle Eigenschaft von 1.5 ist dann äquivalent dazu, dass für jedes Schema Z die Abbildung
Hom(Z, X ×S Y ) → Hom(Z, X) ×Hom(Z,S) Hom(Z, Y )
h 7→ (pr1 ◦ h, pr2 ◦ h)
bijektiv ist. Hierdurch sind auch pr1 und pr2 bestimmt (betrachte Z = X ×S Y und h = id).
(b) Warnung: für Schemata ist der unterliegende topologische Raum von X ×S Y im Allgemeinen nicht gleich dem Faserprodukt der topologischen Räume!
Beweis von Satz 1.5: Wir benötigen einige Lemmata, die auch für sich von Interesse sind.
Lemma 1.8 Wenn das Faserprodukt X ×S Y existiert, so ist es bis auf kanonische Isomorphie
eindeutig.
Beweis Dies folgt wie bei allen universellen Problemen (siehe auch den Anhang 1.A): Ist Z0
eine weitere Lösung des universellen Problems, so betrachte die kommutativen Diagramme
X ×S Y
/Y
Z0
/Y
²
²
/S
X
²
²
/S.
X
Die universelle Eigenschaft von X ×S Y liefert einen kanonischen Morphismus
α : Z0 → X × S Y ,
7
und die universelle Eigenschaft von Z0 liefert einen kanonischen Morphismus
β : X × S Y → Z0 .
Ebenfalls liefern die universellen Eigenschaften, dass
β ◦ α = idZ0
und α ◦ β = idX×S Y .
Lemma 1.9 Sind X = Spec(A), Y = Spec(B) und S = Spec(R) alle affin, so ist
X ×S Y = Spec(A ⊗R B) ,
mit den Projektionen
(1.1)
Spec(A ⊗R B)
/ Spec(B)
²
Spec(A)
die durch die Ringhomomorphismen
A → A ⊗R B , B → A ⊗R B
a 7→ a ⊗ 1
b →
7
1⊗b
(1.2)
gegeben sind.
Beweis: Dies folgt aus 0.6 (und Bemerkung 1.7): Ist Z ein beliebiges Schema, so gilt:
Hom(Z, Spec(A ⊗R B))
∼
= HomRinge (A ⊗R B, Γ(Z, OZ ))
(nach 0.6)
(∗)
∼
= Hom(A, Γ(Z, OZ )) ×Hom(R,Γ(Z,OX )) Hom(B, Γ(Z, OZ ))
(universelle Eingenschaft des Tensorprodukts, siehe Alg.Geo I, 1.A.11)
∼
= Hom(Z, Spec(A)) ×Hom(Z Spec R) Hom(Y, Spec R)
(nach 0.6) ,
wobei (∗) durch die Abbildungen (1.2) gegeben ist. Spec(A ⊗R B) hat also die universelle
Eigenschaft des Faserprodukts, mit den Projektionen (1.1).
Lemma 1.10 Existiert X ×S Y und ist U ⊆ X offen, so ist
U ×S Y = pr1−1 (U ) ,
wobei pr1 : X ×S Y → X die erste Projektion ist. Entsprechendes gilt für V ⊆ Y offen und
pr2 .
8
Beweis Es ist
Hom(Z, pr1−1 (U ))
= {f ∈ Hom(Z, X ×S Y ) | f (Z) ⊆ pr1−1 (U )}
(universelle Eigenschaft offener Unterschemata, 0.8)
= {f ∈ Hom(Z, X ×S Y ) | (pr1 ◦ f )(Z) ⊆ U }
= {f ∈ Hom(Z, X ×S Y ) | pr1 ◦ f ∈ Hom(Z, U )}
(universelle Eigenschaft offener Unterschemata)
= Hom(Z, U ) ×Hom(Z,X) Hom(Z, X ×S Y )
= Hom(Z, U ) ×Hom(Z,X) ×(Hom(Z, X) ×Hom(Z,S) Hom(Z, Y ))
(universelle Eigenschaft des Faserprodukts)
= Hom(Z, U ) ×Hom(Z,S) Hom(Z, Y ) .
pr1−1 (U ) hat also die universelle Eigenschaft von U ×S Y .
Lemma 1.11 Faktorisieren die Morphismen
Y
X
α
²
β
/S
beide über eine offene Menge U ⊆ S, d.h., gilt α(X) ⊆ U, β(Y ) ⊆ U , so ist kanonisch
X ×S Y = X ×U Y .
Beweis Nach der universellen Eigenschaft von offenen Unterschemata sind die universellen
Eigenschaften für beide Seiten die gleichen.
Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis der Existenz des Faserprodukts. Seien Morphismen α : X → S und β : Y → S gegeben.
Schritt 1 Sei (Xi )i∈I eine offene Überdeckung von X. Existiert Xi ×S Y für alle i ∈ I, so
existiert auch X ×S Y .
Beweis Sei pi : Xi ×S Y → Xi die Projektion und
Uij = p−1
i (Xi ∩ Xj ) ⊆ Xi ×S Y
für alle (i, j) ∈ I 2 . Nach Lemma 1.10 ist
Uij = (Xi ∩ Xj ) ×S Y
ein (das) Faserprodukt von Xi ∩ Xj und Y über S. Das gleiche gilt aber auch für Uji ⊆
Xj ×S Y . Nach Lemma 1.8 gibt es also einen kanonischen Isomorphismus (von Schemata)
∼
fij : Uij → Uji .
9
Wegen Lemma 1.8 und der Eindeutigkeit des Faserprodukts gelten auch die Kozykelbedingungen (iii) und (iv) aus Satz 1.3. Daher können wir die Schemata Xi ×S Y entlang (mittels)
der fij zu einem Schema Z0 verkleben, welches eine offene Überdeckung (Ui )i∈I besitzt mit
Ui ∼
= X i ×S Y .
Behauptung Z0 ist ein Faserprodukt für X und Y , d.h., Z0 = X ×S Y .
Beweis Mit der Garbeneigenschaft von Morphismen erhält man aus den Projektionen
(1.3)
X ⊇ Xi ← Ui = Xi ×S Y → Y
auch Projektionen
(1.4)
p
q
X ← Z0 → Y .
Diese sind mit den Morphismen α und β nach S verträglich, weil das für die Morphismen
(1.3) gilt. Wir zeigen die universelle Eigenschaft: Ist Z ein Schema, und sind f : Z →
X und g : Z → Y zwei Morphismen mit αf = βg, so sei Zi = f −1 (Xi ); dies ist ein
offenes Unterschema von Z. Nach Eigenschaft des Faserproduktes erhalten wir aus g und
den Morphismen fi : Zi → Xi Morphismen
hi : Zi → Xi ×S Y
mit pr1 hi = fi und pr2 hi = g|Zi und durch Komposition mit der Inklusion Xi ×S Y ⊆ Z0
auch Morphismen
hi : Zi → Z0
mit p hi = fi und q hi = g|Zi . Wegen der Eindeutigkeit der hi ist
hi |Zi ∩Zj = hj |Zi ∩Zj .
Also verkleben sich die hi zu einem Morphismus
h : Z → Z0
(siehe 0.10) für den (wieder nach 0.10) gilt
ph = f
und g h = g .
Weiter ist h eindeutig mit dieser Eigenschaft, da h auf den Zi eindeutig ist.
Schritt 2 Nach Lemma 1.9 existiert X ×S Y , wenn X, Y und S affin sind.
Schritt 3 Durch Betrachtung einer affinen offenen Überdeckung von X folgt mit Schritt 1,
dass X ×S Y existiert, falls Y und S affin sind.
Schritt 4 Genauso folgt nun, dass X ×S Y existiert, wenn S affin ist.
Schritt 5 Seien nun X, Y und S beliebig, und sei (Si )i∈I eine affine offene Überdeckung von
S. Sei Xi = α−1 (Si ) und Yi = β −1 (Si ). Nach Schritt 4 existiert Xi ×Si Yi , und nach Lemma
1.11 ist
Xi ×Si Yi = Xi ×S Yi
10
für alle i ∈ I. Weiter ist
Xi ×S Yi = X ×S Yi
für alle i ∈ I. Sind nämlich f : Z → X und g : Z → Yi Morphismen, so dass αf = β|Yi g,
so folgt (βg)(Z) ⊆ Si und damit auch (af )(Z) ⊆ Si , d.h., f (Z) ⊆ Zi . Wir erhalten also ein
kommutatives Diagramm
Z6
g
66
66 ∃!h
66
66 $
66Xi ×S Yi
66
66
6½ ²
f
/ & Yi
Xi
∩|
²
/S,
½
X
in dem der Morphismus h nach der universellen Eigenschaft von Xi ×S Yi existiert. Letzteres
Schema erfüllt also die universelle Eigenschaft von
X ×S Yi .
Dieses Faserprodukt existiert also für alle i ∈ I, und wieder mit Schritt 1 existiert also
X ×S Y .
Damit ist Satz 1.5 bewiesen.
Wir kommen nun zu einer Hauptanwendung des Faserprodukts, nämlich den Fasern von
Morphismen. Wir brauchen eine Vorbereitung.
Lemma 1.12 Sei X ein Schema und x ∈ X. Dann gibt es kanonische Morphismen
α
ix : Spec(k(x)) → Spec(OX,x ) →x X ,
der den einzigen Punkt ∗ von Spec(k(x)) auf x ∈ X schickt.
Beweis Der erste Morphismus entspricht dem Ringhomomorphismus
OX,x ³ OX,x /mx = k(x) .
Er sendet ∗ auf den abgeschlossenen Punkt von Spec(OX,x ) (d.h., das maximale Ideal mx ).
Sei U = Spec(A) eine affine offene Umgebung von x. Dann sei der zweite Morphismus αx als
die Komposition
j
αx : Spec(OX,x ) → U ,→ X
definiert, wobei der erste Morphismus dem Ringhomomorphismus A = Γ(U, OX ) → OX,x
entspricht. Nach Definition des Halms hat man einen solchen Ringhomomorphismus, und αx
hängt nicht von der Wahl der (affinen offenen) Umgebung U ab. Ist nämlich U 0 eine zweite
11
Wahl, so gibt es eine affine offene Umgebung U 00 von x mit U 00 ⊆ U, U 0 . Die Eindeutigkeit
folgt dann aus dem kommutativen Diagramm
> U ³BpB
BB j
~~
~
BB
~
~
BB
~
Ã
/² ~~
/ U0 ² o
X,
@@
}>
@@
j 0 }}
@@
}
@@ ± }}}
à .}
Spec(OX,x )
U0
wobei die obere Verknüpfung αx ist und die untere der entsprechende Morphismus für U 0 .
Schließlich ist klar, dass αx das Ideal mx auf x abbildet.
Satz/Definition 1.13 (Fasern von Morphismen) Sei f : X → S ein Morphismus von
Schemata, und sei s ∈ S. Dann heißt
Xs := X ×S Spec(k(s))
die schematheoretische Faser von f über s. Die kanonische Abbildung pr1 : Xs → X
induziert einen Homöomorphismus
ϕ : Xs → f −1 (s)
auf die mengentheoretische Faser über s der stetigen Abbildung f : X → S.
Beweis der Behauptung:
1) pr1 (Xs ) ⊆ f −1 (s):
Dies folgt aus den kommutativen Diagramm
/ Spec(k(s))
Xs
pr1
∗_
is
²
f
X
²
²
/S
s
.
2) Die induzierte stetige Abbildung
pr1 : Xs → f −1 (s)
ist ein Homöomorphismus:
Da f −1 (s) ⊆ X die Relativtopologie trägt, genügt es hierfür zu zeigen: Es gibt eine offene
Überdeckung (Ui )i∈I von X, so dass für alle i ∈ I die von pr1 induzierte Abbildung
pr1−1 (Ui ) → f −1 (s) ∩ Ui
ein Homöomorphismus ist.
Für U ⊆ X offen und den induzierten Morphismus fU : U → S gilt aber f −1 (s) ∩ U = fU−1 (s)
und pr1−1 (U ) = Us (nach Lemma 1.10). Es genügt also zu zeigen, dass jedes x ∈ Xs eine
offene Umgebung U ⊆ X besitzt, so dass Behauptung 2) für U → S gilt. Ist nun x ∈ X mit
12
f (x) = s, so gibt es eine affine offene Umgebung V von s und eine affine offene Umgebung
U von x in f −1 (V ), und nach Lemma 1.11 können wir U → S durch U → V ersetzen.
Es sind also ohne Einschränkung X = Spec(A) und S = Spec(R) beide affin, und s durch
das Primideal p ⊆ R gegeben. Dann ist aber nach Lemma 1.9
Xs = Spec(A ⊗R k(p)) ,
und die Behauptung folgt aus Alg. Geo. I Corollar 5.19.
Wir notieren noch einige Eigenschaften des Faserprodukts.
Lemma 1.14 (a) (Kommutativität) Für S-Schemata X und Y hat man einen kanonischen
Isomorphismus von S-Schemata
X ×S Y ∼
= Y ×S X .
(b) (Assoziativität) Für S-Schemata X, Y und Z hat man einen kanonischen Isomorphismus
(X ×S Y ) ×S Z ∼
= X ×S (Y ×S Z) .
(c) (Transivität/Kürzbarkeit) Für ein Diagramm von Schemata
Y
X0
/X
²
/S
hat man einen kanonischen Isomorphismus
X 0 ×X (X ×S Y ) ∼
= X 0 ×S Y .
(d) (Funktorialität) Sind f : X → X 0 und f : Y → Y 0 Morphismen von S-Schemata, so
induzieren diese einen eindeutig bestimmten Morphismus von S-Schemata
f × g : X ×S Y → X 0 ×S Y 0 ,
der die Diagramme
/ X0 × Y 0
S
X ×S Y
pr1
pr1
²
X
f
/ X0 × Y 0
S
X ×S Y
pr2
²
pr2
²
/ X0
Y
g
²
/Y0
kommutativ macht.
Beweis: Dies gilt in jeder Kategorie, in der Faserprodukte existieren und folgt aus der
universellen Eigenschaft.
Für affine Schemata benutzt man auch Bezeichnungen wie X ×R Y statt X ×Spec(R) Y oder
X ×R R0 statt X ×Spec(R) Spec(R0 ), falls R0 eine R-Algebra ist. Im letzteren Fall schreibt
13
man manchmal noch kürzer XR0 für den Basiswechsel von R nach R0 (also von Spec(R) nach
Spec(R0 )).
Bemerkungen 1.15 Für jedes Schema X gibt es genau einen Morphismus X → Spec(Z),
nämlich den, der (vermöge 0.6) dem kanonischen Ringhomomorphismus Z → Γ(X, OX )
entspricht.
Hier und im Folgenden benutzen wir die
Bezeichnung 1.16 Sei X ein topologischer Raum und F eine Garbe auf X. Für U ⊆ X
offen schreiben wir auch
Γ(U, F) := F(U )
für die Menge der Schnitte von F über U .
Definition 1.17 Sei S ein Schema und n ∈ N.
(a) Der n-dimensionale affine Raum über S wird definiert als das S-Schema
AnS := AnZ ×Z S
(:= AnZ ×Spec(Z) S) .
(b) Der n-dimensionale projektive Raum über S wird definiert als das S-Schema
PnS := PnZ ×Z S
(:= PnZ ×Spec(Z) S) .
Für S = Spec(R) ist offenbar
(∗)
AnS = Spec(Z[X1 , . . . , Xn ] ⊗Z R) = Spec(R[X1 , . . . , Xn ]) = AnR
wobei (∗) die Definition nach Alg. Geo. I 10.17 ist.
Ebenso gilt
Lemma 1.18 Für S = Spec(R) gibt es einen kanonischen Isomorphismus
PnS ∼
= PnR ,
wobei PnR wie in Alg. Geo. I 10.16 definiert ist, nämlich als PnR = P roj(R[X0 , . . . , Xn ]).
Dies folgt aus dem folgenden allgemeineren Lemma (durch Anwendung auf A = Z[X0 , . . . , Xn ]
und Z → R).
Lemma 1.19 Sei R ein Ring, A = ⊕ An eine graduierte R-Algebra und R → R0 ein
n≥0
Ringhomomorphismus. Dann hat man einen kanonischen Isomorphismus (von R-Schemata)
P roj(A ⊗R R0 ) ∼
= P roj(A) ×R R0 .
Beweis Für jedes homogene f ∈ A
D+ (f ⊗ 1) ∼
=
∼
=
∼
=
hat man kanonische Isomorphismen von Schemata
Spec((A ⊗R R0 )(f ⊗1) )
Spec(A(f ) ⊗R R0 )
Spec(A(f ) ) ×R R0 ∼
= D+ (f ) ×R R0
14
für die Standard-offenen Mengen D+ (f ⊗ 1) ⊆ P roj(A ⊗R R0 ) und D+ (f ) ⊆ P roj(A). Diese
Isomorphismen verkleben sich kanonisch zu dem gewünschten Isomorphismus.
Man beachte: Ist (fi )i∈I ein Erzeugendensystem der R-Algebra A aus homogenen Elementen,
so ist (fi )i∈I auch ein Erzeugendensystem der graduierten R0 -Algebra A0 . Die Mengen D+ (f ),
bzw. D+ (f ⊗1), bzw. D+ (f )×R R0 bilden also Überdeckungen von P roj(A), bzw. P roj(A⊗R
R0 ) bzw. P roj(A) ×R R0 .
15
1.A Darstellbare Funktoren und Limiten
Sei C eine Kategorie.
Definition 1.A.1 (a) Ein kontravarianter Funktor
F : C → Sets
heißt darstellbar, wenn es ein Objekt X in C gibt, so dass F isomorph zum kontravarianten Hom-Funktor
(siehe Alg. Geo. I 9.A.21)
hX = HomC (−, X) :
C → Sets
A 7→ HomC (A, X)
ist, d.h., wenn es einen in A funktoriellen Isomorphismus
F (A) = HomC (A, X)
gibt.
(b) Ein kovarianter Funktor
G : C → Sets
heißt darstellbar, wenn er isomorph zum kovarianten Homfunktor
hX = HomC (X, −) :
C → Sets
A 7→ HomC (X, A)
für ein Objekt X in C ist, d.h., wenn es eine funktorielle Bijektion
G(A) = HomC (X, A)
gibt.
Nach Definition sind hX und hX darstellbar. In der Situation von 1.A.1(a) (bzw. (b)) heißt X darstellendes
Objekt für F (bzw. G). Das Objekt X ist – wenn es existiert – jeweils bis auf Isomorphie eindeutig: Dies
folgt aus dem berühmten
Lemma 1.A.2 (Yoneda-Lemma) (a) Ist
F : C → Sets
ein kontravarianter Funktor, so hat man für jedes Objekt X in C eine kanonische Bijektion
eX
∼
: Hom(hX , F ) →
ϕ 7→
F (X)
ϕX (idX ) .
(b) Ist
G : C → Sets
ein kovarianter Funktor, so hat man für jedes Objekt Y in C eine kanonische Bijektion
eY
:
Hom(hY , G)
ϕ
∼
→
7
→
G(Y )
ϕY (idY ) .
Beweis (a): Die Umkehrabbildung mX ordnet einem Element a ∈ F (X) den folgenden Morphismus mX (a) :=
ϕa von Funktoren zu
ϕaA
:
hX (A) = HomC (A, X) →
f 7→
16
F (A)
ϕaA (f ) := F (f )(a) .
Beachte: Für f : A → X haben wir F (f ) : F (X) → F (A), da F kontravariant ist. Dies ist wirklich ein
Morphismus von Funktoren: Für einen Morphismus g : A → A0 in C haben wir ein kommutatives Diagramm
ϕa
A0
HomC (A0 , X)
/ F (A0 )
g∗
F (g)
²
HomC (A, X)
f_0
Â
ϕa
A
²
/ F (A)
/ F (f 0 )(a)
_
²
F (g)(F (f 0 )(a))
²
Â
f 0g
/ F (f 0 g)(a) ,
da F (f 0 g) = F (g) ◦ F (f 0 ).
Es ist eX mX = id: Für a ∈ F (X) ist eX (ϕa ) = ϕaX (idX ) = a, da F (idX ) = idF (X) . Umgekehrt ist
mX eX = id: Sei ϕ : hX → F gegeben und eX (ϕ) = ϕX (idX ) ∈ F (X); sowie ϕeX (ϕ) : hX → F wie oben
konstruiert. Für jedes A ∈ ob(C) sind dann die Abbildungen
e (ϕ)
ϕAX
= ϕA
HomC (A, X) → F (A)
gleich, denn es ist
e (ϕ)
ϕAX
(f ) = F (f )(ϕX (idX )) = ϕA (f ) ,
da das Diagramm
idX ∈ HomC (X, X)
_
ϕX
f∗
/ F (X)
F (f )
²
²
f ∈ HomC (A, X)
ϕA
²
/ F (A)
kommutativ ist (ϕ ist Morphismus von Funktoren).
Der Beweis von (b) ist analog.
Durch Anwendung von 1.A.2 auf F = hY bzw. G = hX folgt:
Corollar 1.A.3 Für Objekte X, Y in C hat man kanonische Bijektionen
∼
HomC (X, Y ) → Hom(hX , hY )
∼
HomC (X, Y ) → Hom(hY , hX )
Hieraus folgt, dass die darstellenden Objekte bis auf Isomorphie eindeutig sind: Ist
hX ∼
= F ∼
= hY ,
so ist X ∼
= Y ; entsprechend für kovariante Funktoren. Aus 1.A.3 folgt auch
Corollar 1.A.4 (Yoneda-Einbettung) Der Funktor
C → C ∼ := (kontravariante Funktoren F : C → Sets)
x 7→ hX
ist volltreu, liefert also eine Einbettung von C in C ∼ . Das essentielle Bild ist die volle Unterkategorie der
darstellbaren Funktoren.
17
Wir definieren nun Faserprodukte und Fasernummern.
Definition 1.A.5 Seien
Y
β
²
/S
α
X
Morphismen in C. Das Faserprodukt von α und β – oder von X und Y über S, Bezeichnung X ×S Y , wird
durch die folgende Eigenschaft charakterisiert:
(a) Es gibt ein kommutatives Diagramm
pr2
X ×S Y
/Y
pr1
β
²
X
²
/S
α
(Man nennt pr1 bzw. pr2 die erste bzw. zweite Projektion).
(b) Ist
W
α̃
β
β̃
²
X
/Y
α
²
/S
ein weiteres kommutatives Diagramm, so gibt es genau einen Morphismus γ : W → X ×S Y mit pr1 γ = α̃
und pr2 γ = β̃, d.h., derart dass das Diagramm
W H
H
α̃
H∃!γ
H
β̃
H$
X ×S Y
pr2
&/
Y
pr1
β
à ²
X
α
²
/S
kommutativ ist.
Bemerkung 1.A.6 (a) Faserprodukte müssen nicht existieren; wenn sie existieren, sind sie aber bis auf
kanonische Isomorphie eindeutig (Übungsaufgabe!).
α
β
(b) In der Kategorie Sets der Mengen existieren Faserprodukte: Es ist für Abbildungen M → T ← N von
Mengen
M ×T N = {(m, n) ∈ M × N | α(m) = β(n)} .
(c) Die universelle Eigenschaft eines Faserproduktes X ×S Y in einer Kategorie C ist äquivalent dazu, dass
für jedes weitere Objekt Z in C die Abbildung
HomC (Z, X ×S Y ) → HomC (Z, X) ×HomC (Z,S) HomC (Z, Y )
γ 7→ (pr1 γ, pr2 γ)
bijektiv ist. Das rechte Faserprodukt ist hierbei vermöge der Abbildungen
HomC (Z, Y )
HomC (Z, X)
f
α∗
²
β∗
/ HomC (Z, S)
Â
/ αf
18
g_
²
βg
genommen.
(d) Eine etwas andere Deutung ist wie folgt: Sei C/S die Kategorie der Objekte in C über S: Objekte in
C/S sind Objekte X in C zusammen mit einem Morphismus α : X → S; man kann auch α selbst als Objekt
auffassen, denn durch α ist X bereits gegeben. Ein Morphismus von α : X → S nach α0 : X 0 → S ist ein
Morphismus f : X → X 0 , der das Diagramm
X@
@@
@@
α @@
Â
f
S
/ X0
}
}
}}
}} α0
}
}~
kommutativ macht.
Dann ist ein Faserprodukt X ×S Y dasselbe wie ein Produkt von X → S und Y → S in C/S, weil sich die
universellen Eigenschaften entsprechen.
Lemma 1.A.7 Die Eigenschaften aus Lemma 1.14 (Kommutativität, Assoziativität, Transivität und Funktoralität) gelte für Faserprodukte in einer beliebigen Kategorie C (wenn sie existieren).
Beweis Wir zeigen zum Beispiel die Funktoralität. Wir haben ein kommutatives Diagramm in C
XA
Y
AA
|
β ||
AAα
AA
||
AÃ }|||
g
f
? S `A
~~ AAA
~
AA
~
AA
~~ 0
β0
²
² ~~ α
Y0,
X0
d.h., X, X 0 , Y und Y 0 sind Objekte über S (vermöge α, α0 , β und β 0 ) und f und g sind Morphismen von
Objekten über S (Kommutativität der Dreiecke). Existieren die Faserprodukte, so haben wir ein Diagramm
X ×S YM
pr2
M
M∃!h
M
pr1
²
X
/Y
M&
X 0 ×S Y 0
g
pr20
pr10
β0
²
/ X0
f
²
/ Y0
α0
²
/ S,
wobei das innere und das äußere Quadrat kommutativ sind (beachte α0 f = α und β 0 g = β). Nach der
universellen Eigenschaft von X 0 ×S Y 0 gibt es genau einen Morphismus h : X ×S Y → X 0 ×S Y 0 , der das
ganze Diagramm kommutativ macht; diesen bezeichnen wir mit f × g, und er erfüllt die Behauptung von
Lemma 1.14 (d).
Bemerkung 1.A.7 Durch Umdrehen aller Pfeile erhält man den Begriff der Fasersumme X
Diagramm
S
β
/Y
α
²
X
wobei man die dualen universellen Eigenschaften und anderen Eigenschaften hat.
19
`
S
Y für ein
Beispiel 1.A.8 In der Kategorie der Ringe existiert für jedes Diagramm von Ringhomomorphismen
β
R
/B
α
²
A
die Fasersumme und ist durch das Tensorprodukt gegeben: Man hat ein kommutatives Diagramm
β
R
/B
α
²
/ A ⊗R B
²
A
und für jedes Diagramm von Ringen
R
β
/B
α
²
A
²
/ A ⊗R B
G
f
g
G
G∃!h
G
G# ¸
,C
mit f α = gβ existiert ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus h, der das gesamte Diagramm kommutativ macht.
Warnung: Der Rest dieses Anhangs wird nicht in der Vorlesung benötigt und ist nur für
diejenigen gedacht, die Limiten und Colimiten in einem allgemeinen Rahmen verstehen wollen.
Wir kommen nun zu der allgemeinen Theorie von Limiten und Colimiten.
Definition 1.A.9 Eine Kategorie I heißt klein (oder Diagrammkategorie), wenn die Objekte eine Menge
bilden.
Beispiele 1.A.10 Oft sind die betrachteten kleinen Kategorien “wirklich klein” in dem Sinne, dass man alle
Objekte und Morphismen hinschreiben kann.
(a) Die diskrete Kategorie I über einer Menge I hat die Elemente von I als Objekte und nur die Identitäten
als Morphismen.
(b) Es bezeichne
•@
@@
@@
@@
Â
?•
Ä
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
•
die Kategorie, die drei Objekte hat (durch Punkte gekennzeichnet) und außer den Identitäten nur die beiden
angegebenen Pfeile (alle Kompositionen sind dann klar!).
(c) Für jede Gruppe G hat man die kleine Kategorie G mit einem Objekt ∗ und allen Elementen σ ∈ G als
Morphismen (Alg. Geo. I, 9.A.2 (e)).
(d) Für jede geordnete Menge (I, ≤) hat man die Kategorie mit Objekte i ∈ I und genau einem Morphismus
i → j, wenn i ≤ j (Alg. Geo. I, 9.A.2 (c)).
20
Definition 1.A.11 Sei I eine kleine Kategorie, und sei C eine beliebige Kategorie. Ein Diagramm in C über
I (oder ein I-Objekt in C) ist ein (kovarianter) Funktor X : I → C.
Die I-Objekte in C bilden eine Kategorie
CI ,
wobei die Morphismen die Morphismen von Funktoren sind. Man bezeichnet oft die Objekte von I mit
kleinen Buchstaben i, j,... und schreibt Xi für X(i).
Beispiele 1.A.12 Sei C eine Kategorie.
(a) Für die Kategorie • −→ • ←− • aus 1.A.6 (b) ist ein zugehöriges Diagramm in C wirklich durch ein
Diagramm
g
β
X −→ Y ←− Z
mit Morphismen α und β in C gegeben. Morphismen solcher Diagramme sind kommutative Diagramme
α
X
²
X0
α0
β
/Y o
²
/ Y0 o
β0
Z
²
Z0 .
(b) Betrachte die kleine Kategorie • −→ • (2 Objekte, außer den Identitäten nur ein Pfeil). Diagramme
hierüber sind C sind einfach Morphismen
f
A −→ B
in C, wobei Morphismen von diesen wiederum kommutative Diagramme
A
²
A0
f
f0
/B
²
/ B0
sind. Dies nennt man die Kategorie der Pfeile in C, Bezeichnung Ar(C).
(c) Ist (I, ≤) eine induktiv geordnete Menge, aufgefasst als Kategorie nach 1.A.6 (d), so ist ein kovarianter
Funktor
X : (I, ≤) → C
dasselbe wie ein induktives System über I in C (Definition Alg. Geo. I, 9.A.12). Ein kontravarianter Funktor
X 0 : (I, ≤) → C
ist dasselbe wie ein projektives System in C über I (loc. cit. 9.A.13).
Sei nun I eine kleine Kategorie und C eine beliebige Kategorie.
Definition 1.A.13 Für ein Objekt A ∈ C definiere das konstante I-Objekt A als den Funktor
A :
I →
i 7→
i → j 7→
C
A
idA .
Beispiel 1.A.14 Im Beispiel 1.A.12 (a) I = • −→ • ←− • ist das konstante Objekt A
id
id
A
A
A −→
A ←−
A.
21
Definition 1.A.15 (a) Man sagt, dass der Limes (oder inverse Limes) eines I-Objekts (Ai )i∈I in C existiert,
wenn der kontravariante Funktor
C → Sets
X 7→ HomC I (X, (Ai )i∈I )
darstellbar ist. Das darstellende Objekt heißt der Limes von (Ai )i∈I , Bezeichnung
lim (Ai )i∈I
oder
lim Ai .
i∈I
(b) Man sagt, dass der Kolimes (oder direkte Limes) von (Ai )i∈I existiert, wenn der kovariante Funktor
C
X
→
7→
Sets
HomC I ((Ai )i∈I , X)
darstellbar ist. Das darstellende Objekt heißt der Kolimes von (Ai )i∈I , Bezeichnung
colim (Ai )i∈I = colim Ai .
i∈I
Wir machen diese elegante Definition nun expliziter.
Bemerkungen 1.A.16 (explizite Beschreibung) (a) Ein Element aus HomC I (X, (Ai )i∈I ) ist offenbar durch
das Folgende gegeben:
(i) Für jedes i ∈ I hat man einen Morphismus in C
ϕi : X → Ai .
(ii) Für jeden Morphismus i → j ist das Diagramm
Ai
}>
}
}}
}}
}}
ϕi
XA
AA
AA
ϕj AA
à ²
Aj
kommutativ, wobei der vertikale Morphismus zu i → j gehört (man hat einen Funktor a : I → C, wir
schreiben a(i) = Ai , und dann ist der rechte Morphismus a(i → j)).
(b) Existiert lim (Ai )i∈I (andere Bezeichnung lim a), und fixieren wir einen in X funktoriellen Isomorphismus
I
(1.A.16.1)
∼
α : HomC (X, lim (Ai )) → HomC I (X, (Ai )) ,
I
so erhalten wir für X = lim (Ai )i∈I als Bild von idlim(Ai ) ein Element ϕuniv ∈ HomC I (lim(Ai ), (Ai )), nach
(a) also Morphismen pi : lim(Ai ) → Ai für alle i ∈ I und kommutative Dreiecke
(1.A.16.2)
A
t: i
tt
t
tt
tt
tt
pi
lim(Ai )i∈I
II
II
II
pj III
I$ ²
Aj
22
für jeden Morphismus i → j in I. Der Morphismus pi heißt die i-te Projektion. Ist weiter ein Element
α ∈ HomC I (X, (Ai )) gegeben, also Morphismen ϕi : X → Ai für alle i ∈ I und kommutative Diagramme
(1.A.16.3)
Ai
}>
}
}}
}}
}}
ϕi
XA
AA
AA
ϕj AA
à ²
Aj
für alle Morphismen i → j, so gibt es genau einen Morphismus
ϕ : X → lim (Ai )
(nämlich das Urbild von α unter (1.A.16.1)) mit
ϕi = p i ϕ
(dies folgt aus der Wahl von ϕuniv und der Funktorialität von (1.A.16.1)).
(c) Für colim (Ai ) erhält man analoge Aussagen, durch Umdrehen aller Pfeile.
Beispiele 1.A.17 (a) Ist I eine Menge und I die diskrete Kategorie zu I (1.A.10 (a)), so ist ein I-Objekt
in C einfach durch eine Familie (Ai )i∈I in C gegeben (es gibt keine Morphismen zwischen i 6= j), und es ist
Q
Ai ,
lim (Ai ) =
I
i∈I
falls dieses Produkt in C existiert, denn die universellen Eigenschaften von lim (Ai ) (1.A.16 (b)) und
I
Q
Ai
i∈I
(Alg. Geo. I, 9.A.8) sind gleich. Entsprechend ist
`
colim (Ai ) =
I
Ai ,
i∈I
die Summe oder das Koprodukt der Ai (Alg. Geo. I, 9.A.9), falls dies in C existiert.
(b) Entsprechend zeigt man: Ist (I, ≤) eine filtrierend geordnete Menge (aufgefasst als Kategorie), so ist für
jedes I-Objekt in C, also jedes induktive System (Ai )i∈I über I in C,
colim (Ai )i∈I = lim Ai
→
i∈I
der induktive Limes des Systems (siehe Alg. Geo. I, 9.A.12), falls dieser existiert. Entsprechend ist für jedes
I ◦ -Objekt (Ai )i∈I in C (wobei I ◦ die duale Kategorie zu I bezeichnet), also jedes projektive System über I
in C
lim (Ai )i∈I ◦ = lim Ai
←
i∈I
der projektive Limes des Systems (siehe Alg. Geo. I, 9.A.13), falls dieser existiert.
(c) Betrachte die Kategorie • −→ • ←− • 1.A.10 (b). Für ein entsprechendes Diagramm
Z
²
/Y
X
in C folgt aus den universellen Eigenschaften, dass der Limes das Faserprodukt
X ×Y Z
ist C ist – wenn dieses existiert.
23
Wir kommen nun zu einem speziellen, aber sehr wichtigen Beispiel. Betrachte die folgende kleine Kategorie
•⇒•
(zwei Objekte, und abgesehen von den beiden Identitäten nur die beiden angegebenen Pfeile). Ein Diagramm
in C hierüber ist
α
A⇒B.
β
Definition 1.A.18 (a) Der Limes dieses Diagramms heißt der Differenzkern von α und β, Bezeichnung
ker(α, β) .
(b) Der Kolimes dieses Diagramms heißt der Differenzkokern von α und β, Bezeichnung
coker(α, β) .
(Jeweils wenn diese in C existieren).
Wir beschreiben nun die universellen Eigenschaften:
Lemma 1.A.19 (a) Man hat einen Morphismus
i
ker(α, β) → A
mit αi = βi. Ist
γ
X→A
ein weiterer Morphismus mit αγ = βγ, so gibt es genau einen Morphismus γ 0 : X → ker(α, β) der das
Diagramm
i
/A
ker(α, β)
?
dH
Ä
H
ÄÄ
H
Ä
ÄÄ γ
∃γ 0 H H
ÄÄ
X
kommutativ macht.
π
(b) Man hat einen Morphismus B → coker(α, β) mit πα = πβ. Ist
ρ
B→X
ein weiterer Morphismus mit ρα = ρβ, so gibt es genau einen Morphismus ρ0 : coker(α, β) → X, der das
Diagramm
/ coker(α, β)
B?
??
t
??
t
t 0
ρ ???
 zt t ρ
X
kommutativ macht.
Beweis: Dies folgt sofort aus der expliziten Beschreibung in 1.A.16.
Differenzkerne und -kokerne sind nicht-additive Analoga von Kernen und Kokernen in additiven Kategorien
(siehe 3.A.7). Wie dort gilt:
Lemma 1.A.20 Seien α, β : A → B Morphismen.
(a) Falls ker(α, β) existiert, so ist
i : ker(α, β) → A
24
ein Monomorphismus.
(b) Falls coker(α, β) existiert, so ist
π : B → coker(α, β)
ein Epimorphismus.
Beweis (a): Seien f, g : Z → ker(α, β) zwei Morphismen mit if = ig. Wegen αi = βi gilt auch
αif = βif .
Nach der universellen Eigenschaft des Differenkerns (1.A.19 (a)) gibt es also genau einen Morphismus h :
Z → ker(α, β) mit
ih = if .
Da auch noch if = ig gilt, muss h = f = g gelten, also insbesondere f = g.
Der Beweis von (b) ist dual.
Differenzkerne und-kokerne spielen wegen des folgenden Resultats eine Rolle.
Satz 1.A.21 (a) In C existieren genau dann beliebige (bzw. beliebige endliche) Limiten, wenn in C beliebige
Differenzkerne und beliebige (bzw. beliebige endliche) Produkte existieren.
(b) In C existieren genau dann beliebige (bzw. beliebige endliche) Kolimiten, wenn in C beliebige Differenzkokerne und beliebige (bzw. beliebige endliche) Summen existieren.
Hierbei spricht man von endlichen Limiten oder Kolimiten, wenn die zugrundeliegende Indexkategorie I
endlich ist, d.h., endlich viele Objekte und nur endliche Morphismenmengen hat.
Beweis Wir beweisen nur (a); dann folgt (b) durch Übergang zur dualen Kategorie, wodurch Kolimiten zu
Limiten, Summen zu Produkten und Differenzkokerne zu Differenzkernen werden.
Sei I eine kleine (bzw. endliche) Kategorie. Sei ob(I) die Menge aller Objekte in I und sei mor(I) die Menge
aller Morphismen in I. Für einen Morphismus f : A → B in C sei q(f ) := A die Quelle und z(f ) := B das
Ziel von f . Für ein I-Diagramm a : I → C betrachte die Morphismen
Y
(1.A.21.1)
Y
α
a(i) ⇒
β
i∈ob(I)
a(z(f ))
f ∈mor(I)
die wie folgt definiert sind (nach Voraussetzung existieren die jeweiligen Produkte): Die “f -Komponente”
von α (siehe die universelle Eigenschaft des Produkts, Alg. Geo. I 9.A.8) ist der Morphismus
Y
prz(f )
a(i) −→ a(z(f )) ,
i∈ob(i)
die f -Komponente von β ist der Morphismus
Y
prq(f )
a(f )
a(i) −→ a(q(f )) −→ a(z(f ))
i∈ob(i)
Behauptung: ker(α, β) = lim a(i).
i∈I
Beweis: Nach der universellen Eigenschaft von ker(α, β) entspricht ein Morphismus Z → ker(α, β) einem
Morphismus
Y
ϕ : Z →
a(i)
i∈ob(I)
mit αϕ = βϕ. Nach der universellen Eigenschaft des Produkts entspricht ϕ der Vorgabe von Morphismen
ϕi : Z → a(i)
25
für alle i ∈ I, und αϕ = βϕ bedeutet gerade, dass für jedes f : i → j in I das Diagramm
a(i)
|=
|
||
||
|
|
a(f )
ZB
BB
BB
B
ϕj BB
! ²
a(j)
ϕi
kommutativ ist. Dies ergibt gerade die universelle Eigenschaft von lim a(i) (siehe 1.A.16).
i∈I
26
2
Endlichkeitseigenschaften von Schemata und SchemaMorphismen
Definition 2.1 (a) Ein Schema heißt quasi-kompakt, wenn der unterliegende topologische
Raum dies ist.
(b) Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt quasi-kompakt, wenn es eine affine
offene Überdeckung (V )i∈I von Y gibt, so dass f −1 (Vi ) für alle i ∈ I quasi-kompakt ist.
Beispiele 2.2 (a) Affine Schemata sind quasi-kompakt (Alg. Geo. I, Lemma 9.9).
(b) Jeder Morphismus Spec(A) → Spec(B) affiner Schemata ist quasi-kompakt.
Proposition 2.3 Ein Schema ist genau dann quasi-kompakt, wenn es durch endlich viele
offene, affine Teilmengen überdeckt werden kann.
Beweis Ist X ein Schema und (Ui )i∈I eine offene affine Überdeckung von X (existiert immer!), und ist X quasi-kompakt, so gibt es hierin eine endliche Teilüberdeckung.
Umgekehrt
S
gilt in jedem topologischen Raum, dass eine endliche Vereinigung Y = ni=1 Yi von quasikompakten Mengen wieder quasi-kompakt ist: Ist (Uj )j∈I eine offene Überdeckung, so ist
für jedes i = 1, . . . , n (Uj ∩ Yi )j∈I eine offene Überdeckung von Yi und enthält eine endliche
Teilüberdeckung. Insgesamt erhalten wir so endlich viele Uj , die ganz Y überdecken.
Satz 2.4 Für einen Morphismus f : X → Y von Schemata sind äquivalent:
(a) f ist quasi-kompakt.
(b) Für jede affine offene Teilmenge V ⊆ Y ist f −1 (V ) quasi-kompakt.
(c) Für jede offene, quasi-kompakte Teilmenge V ⊆ Y ist f −1 (V ) quasi-kompakt.
Beweis (c) ⇒ (b) ⇒ (a) ist trivial.
(a) ⇒ (c): Sei (Vi = Spec(Bi ))i∈I eine offene, affine Überdeckung von Y derart, dass
f −1 (Vi ) für jedes i ∈ I quasi-kompakt ist. Für jedes i ∈ I und jedes g ∈ Bi ist dann
für D(g) ⊆ Spec(Bi ) = Vi das Urbild f −1 (D(g)) quasi-kompakt: Nach 2.3 besitzt f −1 (Vi )
eine endliche affine offene Überdeckung (Wij = Spec(Aij ))j∈Ii und für den Ringhomomorphismus ϕij : Bi → Aij , der der Einschränkung fij : Wij → Vi von f entspricht, ist
fij−1 (D(g)) = D(ϕij (g)) = Spec((Aij )ϕij (g) ) affin und f −1 (D(g)) ist die Vereinigung dieser
Affinen für die endlich vielen j ∈ Ii , so dass die Behauptung mit Lemma 2.3 folgt.
Da (Vi )i∈I eine Überdeckung von Y ist, bilden die Mengen der Form D(g) ⊆ Vi für ein
g ∈ Bi aber eine Basis der Topologie von Y . Ist nun V ⊆ Y quasi-kompakt, so lässt sich V
durch endlich viele dieser D(g) überdecken, f −1 (V ) also durch endlich viele quasi-kompakte
Mengen.
Lemma/Definition 2.5 Ein Morphismus f : Y → X von Schemata heißt lokal von
endlichem Typ, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
(a) Für alle affinen offenen Teilmengen U = Spec(A) von X und V = Spec(B) von Y mit
f (V ) ⊆ U ist (bezüglich des Ringhomomorphismus A → B zu V → U ) B eine A-Algebra
von endlichem Typ (d.h., als A-Algebra endlich erzeugt).
27
(b) Es gibt eine affine offene Überdeckung (Ui = Spec Ai )i∈I von X und für jedes i ∈ I eine
affine offene Überdeckung (Vij = Spec Bij )j∈Ji von f −1 (Ui ), so dass Bij eine Ai -Algebra von
endlichem Typ ist.
Beweis der Äquivalenz: (a) ⇒ (b) ist klar! Seien umgekehrt Ui = Spec(Ai ) ← Vij =
Spec(Bij ) wie in (b), und sei V = Spec(B) → U = Spec(A) wie in (a). Wir haben zu zeigen,
dass B von endlichem Typ über A ist.
1. Schritt V = Spec(B) kann durch Mengen der Form D(h) = Spec(Bh ) (mit h ∈ B)
überdeckt werden, so dass Bh von endlichem Typ über A ist.
Beweis Sei y ∈ V und x = f (y) ∈ U . Dann gibt es ein i ∈ I mit x ∈ Ui = Spec(Ai ) und ein
j ∈ Ji mit y ∈ Vij = Spec(Bij ). Sei g ∈ A mit x ∈ D(g) = Spec(Ag ) ⊆ U ∩Ui ⊆ U = Spec(A)
und h1 ∈ B mit
y ∈ V 0 = DB (h1 ) = Spec(Bh1 ) ⊆ V ∩ Vij ∩ f −1 (D(g)) ⊆ V = Spec(B) .
Ist nun h2 ∈ Bij mit
y ∈ V 00 = DBij (h2 ) ⊆ V 0 ⊆ Vij = Spec(Bij ) ,
so folgt aus dem Diagramm
β
V 00 = DBij (h2 ) ⊆ V 0 = Spec(Bh1 ) ,→ Spec(Bij )
die Gleichheit V 00 = β −1 (DBij (h2 )) = DBh1 (β ] (h2 )) und damit eine Isomorphie
(Bh1 )h3 ∼
= (Bij )h2
mit h3 = Bild von h2 unter β ] : Bij → Bh1 . Weiter induziert B → (Bh1 )h3 einen Isomorphismus
∼
Bh → (Bh1 )h3
für ein h ∈ B (falls h3 =
(2.5.1)
h0
,
hn
1
so kann man h3 = h1 · h0 nehmen). Das kommutative Diagramm
(Bij )h2
O
∼
/ (Bh )h o ∼
1
O 3
BO h
Bij
O
/ Bh o
O 1
BO
Ai
/ Ag o
A
zeigt nun, dass Bh von endlichem Typ über A ist, da dies für Ag über A gilt (Ag ∼
= A[x]/(xg−
1)), für Bij über Ai (nach Voraussetzung), für (Bij )h2 über Bij , also auch für (Bij )h2 über
Ai , also trivialerweise auch für Bh über Ag .
2. Schritt B ist von endlichem Typ über A.
Beweis Es gibt nach dem 1. Schritt h1 , . . . , hn ∈ B, so dass D(h1 ) ∪ . . . ∪ D(hn ) = Spec(B) =
V und Bhi von endlichem Typ über A ist. Es gibt also für jedes i eine endliche Menge Fi ⊆ B
28
und ein n ∈ N, so dass Bhi von den Elementen hbn mit b ∈ Fi über A erzeugt wird. Wegen
i
S
Spec(B) = ni=1 D(hi ) ist < h1 , . . . , hn >= B; es gibt also g1 , . . . , gn ∈ B mit
n
X
(2.5.2)
gi hi = 1 .
i=1
Wir behaupten nun, dass B = B 0 für die endlich erzeugte Unteralgebra B 0 = A[hi , gi , Fi ]:
Sei b ∈ B. Nach Lokalisieren nach hi ist Bhi = Bh0 i . Es gibt also ein m ∈ N mit
0
hm
i ·b ∈ B
0
für alle i = 1, . . . , n. Nun S
gilt in B 0 auch
und gi ∈ B 0 .
S < hm1 , . . . , hn >= B , wegen (2.5.2)
0
0
Dies bedeutet Spec(B ) = i D(hi ) = i D(hi ). Es gilt also c1 , . . . , cn ∈ B mit
n
X
ci hm
i = 1.
i=1
Es folgt
b=
n
X
0
ci hm
i b ∈ B .
i=1
Definition 2.6 Ein Morphismus f : Y → X heißt von endlichem Typ, wenn f lokal von
endlichem Typ und quasi-kompakt ist.
Lemma 2.7 f : Y → X ist genau dann von endlichem Typ, wenn es eine affine, offene
Überdeckung (Ui = Spec(Ai ))i∈I von X gibt, so dass für jedes i ∈ I f −1 (Ui ) eine endliche
affine offene Überdeckung (Vij = Spec(Bij ))j∈Ji besitzt, so dass jedes Bij von endlichem Typ
über Ai ist.
Beweis: Klar!
Lemma/Definition 2.8 Ein Schema X heißt lokal noethersch, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
(a): Es gibt eine affine, offene Überdeckung (Ui = Spec(Ai ))i∈I von X, so dass jedes Ai ein
noetherscher Ring ist.
(b) Für jede affine, offene Teilmenge U = Spec(A) von X ist A ein noetherscher Ring.
Beweis der Äquivalenz: (b) ⇒ (a) ist klar. Für die Rückrichtung sei (Ui = Spec(Ai ))i∈I
wie in (a) gegeben, und U = Spec(A) ⊆ X affin offen. Wir benutzen
Lemma 2.9 Ist A ein noetherscher Ring und S eine multiplikative Teilmenge, so ist die
Lokalisierung AS noethersch.
Beweis Es gibt zwei kanonische Abbildungen
Φ
{ Ideale a ⊆ A} À { Ideale a0 ⊆ AS }
Ψ
29
vermöge
Φ:
Ψ:
a →
7
aS ,
0
a →
7
ϕ−1 (a) ,
wobei ϕ : A → AS der kanonische Morphismus ist, und man sieht leicht, dass ΦΨ = id.
Ist nun
a01 ⊆ a02 ⊆ . . . ⊆ a0n ⊆
eine aufsteigende Idealkette in AS , so wird die Kette der Ψ(a0i ) konstant, da A noethersch
ist, also auch die Kette der a0i = Φ(Ψ(a0i )).
Weiter im Beweis von 2.8:
1. Schritt: Jedes x ∈ U = Spec(A) besitzt eine Umgebung D(f ) = Spec(Af ) für ein f ∈ A,
so dass Af noethersch ist:
Denn es existiert ein i ∈ I mit x ∈ Ui = Spec(Ai ) und ein f ∈ Ai mit
x ∈ DAi (f ) = Spec((Ai )f ) ⊆ Ui ∩ U ⊆ Ui = Spec(Ai ) .
Weiter gibt es ein g ∈ A mit
α
x ∈ DA (g) ⊆ DAi (f ) ,→ U = Spec(A) ,
und wie im Beweis von 2.5 folgt aus α−1 (DA (g)) = DA (g), dass
Ag ∼
= ((Ai )f )h ,
wobei h das Bild von g unter A → (Ai )f ist. Dieser Ring ist nach 2.9 noethersch, da Ai
noethersch ist.
2. Schritt: Da U = Spec(A) quasi-kompakt ist, gibt es also eine endliche affine offene
Überdeckung (D(fi ) = Spec(Afi ))i=1,...,n von U , so dass jedes Afi noethersch ist, und wir
haben zu zeigen:
Lemma 2.10 Ist A ein Ring, und sind f1 , . . . , fn ∈ A, so dass < f1 , . . . , fn >= A und Afi
noethersch ist für alle i, dann ist A noethersch.
Beweis Sei
a1 ⊆ a2 ⊆ a3 ⊆ . . .
eine aufsteigende Kette von Idealen in A. Für jedes i wird dann die Kette
(a1 )fi ⊆ (a2 )fi ⊆ . . .
konstant. Da wir nur endlich viele fi haben, gibt es also ein n ∈ N mit
(an )fi = (an+1 )fi = . . .
für alle i = 1, . . . , r. Hieraus folgt aber
an = an+1 = . . . ,
30
denn für jedes Primideal p gilt
(2.10.1)
(an )p = (an+1 )p = . . . ,
weil für p ∈ D(fi ) gilt: (an )p ∼
= ((an )fi )pfi . Aus (2.10.1) (für alle p ∈ Spec(A)) folgt aber
an = an+1 = . . . nach dem folgenden Lemma.
Lemma 2.11 Ein Morphismus ϕ : M → N von Moduln über einem Ring A ist bijektiv
(bzw. injektiv, bzw. surjektiv), wenn dies für alle Primideale p ⊆ A für den induzierten
Morphismus
ϕp : Mp → Np
der Lokalisierungen gilt.
Beweis Da Lokalisierung exakt ist (Alg. Geo. I, 3.A.10), genügt es zu zeigen, dass für einen
beliebigen A-Modul gilt:
(2.11.1)
M = 0
⇔
Mp = 0
für alle p ∈ Spec(A) .
Für die nicht-triviale Richtung sei Mp = 0 für alle p, und sei m ∈ M . Der Annihilator von
m,
ann(m) = {a ∈ A | am = 0} ,
ist ein Ideal von A, und es ist zu zeigen, dass ann(m) = A (dann ist m = 1m = 0). Falls
nicht, ist ann(m) in einem maximalen Ideal m ⊆ A enthalten. Wegen Mm = 0 gibt es ein
a ∈ A r m mit am = 0. Dies ist aber ein Widerspruch zu ann(m) ⊆ m.
Definition 2.12 Ein Schema X heißt noethersch, wenn es lokal noethersch und quasikompakt ist.
Lemma 2.13 Ein Schema ist genau dann noethersch, wenn es eine endliche affine offene
Überdeckung U1 = Spec A1 , . . . , Un = Spec An besitzt, so dass alle Ai noethersche Ringe
sind.
Beweis Klar!
Corollar 2.14 Für einen Ring A sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) A ist noethersch.
(b) Das Schema Spec A ist noethersch.
(c) Das Schema Spec A ist lokal noethersch.
Dies ist klar, da Spec A quasi-kompakt ist.
Corollar 2.15 Ist X ein noethersches Schema, so ist der unterliegende topologische Raum
noethersch. Insbesondere hat X nur endlich viele irreduzible Komponenten.
Beweis Ein topologischer Raum X, der Vereinigung von endlich vielen noetherschen Unterräumen ist, ist noethersch. Die Behauptung folgt also aus Lemma 2.13 und der Tatsache,
31
dass für einen noetherschen Ring A der topologische Raum Spec(A) noethersch ist (Alg.
Geo. I 5.28).
Die beiden folgenden Sätze liefern die häufigsten Konstruktionen von (lokal) noetherschen
Schemata.
Satz 2.16 Ist S ein lokal-noethersches Schema und f : X → S lokal von endlichem Typ, so
ist X lokal noethersch.
Beweis Ist A ein noetherscher Ring, so ist nach dem Hilbertschen Basissatz jeder Polynomring A[X1 , . . . , Xn ] noethersch, also auch jede A-Algebra von endlichem Typ B ∼
=
A[X1 , . . . , Xn ]/a. Hieraus folgt leicht die Behauptung (Übungsaufgabe).
Satz 2.17 Ist S ein noethersches Schema und f : X → S von endlichem Typ, so ist X
noethersch.
Beweis Übungsaufgabe.
Beispiele 2.18 (a) Ist S ein (lokal) noethersches Schema, so sind AnS und PnS (lokal) noethersche Schemata, da sie von endlichem Typ über S sind (Übungsaufgabe 7).
(b) Sei A = k[x1 , x2 , x3 , . . .] der Polynomring in abzählbar vielen Variablen über einem
Körper k. Als affines Schema ist X = Spec(A) quasi-kompakt, aber für das Ideal m =<
x1 , x2 , x3 , . . . > ist die offene Menge U = Xr{m} nicht quasi-kompakt: Die offene Überdeckung
(D(xi ))i∈N besitzt keine endliche Teilüberdeckung: Das Komplement von D(xi1 )∪. . .∪D(xin )
ist V (xi1 , . . . , xin ) und damit nicht leer (es enthält das Primideal < xi1 , . . . , xin >). Insbesondere ist die Einbettung j : U ,→ Spec(A) nicht quasi-kompakt.
Es gilt aber:
Proposition 2.19 Ist das Schema X lokal noethersch, so ist für jede offene Teilmenge U ⊆ X
der Morphismus j : U ,→ X quasi-kompakt.
Beweis Es ist zu zeigen: Ist A ein noetherscher Ring, so ist jede offene Teilmenge U ⊆
Spec(A) quasi-kompakt. Beweis der letzten Aussage: Siehe Übungsaufgabe 11.
32
3
Garben
In diesem Abschnitt vertiefen wir die Theorie der Garben (auf beliebigen topologischen
Räumen). Sei X ein topologischer Raum.
Satz/Definition 3.1 Sei P eine Prägarbe auf X. Dann gibt es eine Garbe P + und einen
Morphismus ϕuniv : P → P + mit der folgenden universellen Eigenschaft: Ist F eine Garbe
und ϕ : P → F ein Morphismus, so gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus ϕ :
P + → F der
P ??
??
ϕ
kommutativ macht, d.h., mit ϕ̃ ◦ ϕ
Isomorphie eindeutig.
univ
Beweis Konstruktion von P + : Setze
P + (U ) = {f : U →
ϕuniv
??
??
Â
F
/ P+
|
|
||
|| ∃! ϕ̃
|
|}
= ϕ. Das Paar (P + , ϕuniv ) ist bis auf kanonische
`
Px | für alle x ∈ U gelten die
x∈U
unten stehenden Bedingungen (i) und (ii)}
(i) f (x) ∈ Px .
(ii) Es existiert eine offene Umgebung V von x in U und ein s ∈ P (V ) mit sy = f (y) für alle
y ∈V.
Dann hat man offensichtliche Restriktionsabbildungen
P + (U ) → P + (U 0 ) für U 0 ⊆ U offen
f 7→ f |U 0 ,
die P + zu einer Prägarbe machen, sowie einen Morphismus von Prägarben
ϕuniv : P → P +
definiert durch
P (U ) → P + (U ) für U ⊆ X offen
s 7→ f mit f (x) = sx .
Es folgt sofort aus der Definition von P + , dass P + eine Garbe ist. Weiter gilt
Lemma 3.2 ϕuniv induziert Isomorphismen
∼
(ϕuniv )x : Px → (P + )x
der Halme.
Beweis Die obige Abbildung ist nach Definition von P + (Eigenschaft (ii)) surjektiv. Weiter
haben wir für jede offene Umgebung U von x in X eine Abbildung
P + (U ) → Px
f 7→ f (x) .
33
Dies induziert offenbar eine Abbildung
ψx : (P + )x → Px ,
wobei die Komposition
(ϕuniv )x
ψx
Px −→ (P + )x −→ Px
die Identität ist. Also ist (ϕuniv )x auch injektiv.
Lemma 3.3 Ist α : P → Q ein Morphismus von Prägarben, so induziert α einen eindeutig
bestimmten Morphismus a+ : P + → Q+ , der das Diagramm
(3.3.1)
P
ϕuniv
P
²
P+
α
/Q
α+
²
ϕuniv
Q
/ Q+
kommutativ macht.
Beweis Für U ⊆ X definiere
αU+ : P + (U ) → Q+ (U )
f 7→ (x 7→ αx (f (x))) ,
wobei αx : Px → Qx die von α induzierte Halmabbildung ist. Man sieht leicht, dass αU+
wohldefiniert ist (die rechte Abbildung erfüllt (i) und (ii), d.h., liegt in Q+ (U )) und dass
die αU+ einen Morphismus von Prägarben definieren (d.h., mit den Restriktionen verträglich
sind). Weiter ist für jedes x ∈ X das Diagramm
Px
αx
/ Qx
)x
o (ϕuniv
Q
(ϕuniv
)x o
P
²
(P + )x
²
/ (Q+ )x
(α+ )x
kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen nach Lemma 3.2 Isomorphismen sind. Dies
zeigt, zusammen mit dem folgenden Lemma, dass das Diagramm (3.3.1) kommutiert und
dass α+ eindeutig ist.
Lemma 3.4 Für Morphismen von Prägarben
α, β : P → G ,
wobei G eine Garbe ist, gilt α = β genau dann wenn αx = βx für alle x ∈ X.
Beweis Wir haben für U ⊆ X offen ein kommutatives Diagramm
P (U )
Q²
Px
α
(αx )
x∈U
/
/ G(U )
Ä_
Q²
x∈U
34
Gx
wobei die rechte vertikale Abbildung injektiv ist (siehe Alg. Geo. I 9.5).
Lemma 3.5 Ist F eine Garbe, so ist
ϕuniv : F → F +
ein Isomorphismus.
Beweis Sei U ⊆ X offen. Aus der ersten Garbenbedingung folgt, dass F (U ) →
(sx ), injektiv ist. Daher ist
Q
Fx , s 7→
x∈U
F (U ) → F + (U )
injektiv. Die Surjektivität folgt aus der zweiten Garbenbedingung: Ist f ∈ F + (U ), so gibt
es eine offene B̈erechnung (Ui )i∈I von U und Schnitte si ∈ P (Ui ), so dass f (x) = (si )x für
x ∈ Ui , und die si verkleben sich zu einem Schnitt s ∈ F (U ) mit s|Ui = si , also s(x) = f (x)
für alle x ∈ U .
Damit folgt nun die universelle Eigenschaft von P + : Ist F eine Garbe und ϕ : P → F ein
Morphismus von Prägarben, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm
ϕuniv
P
P
ϕ
/ P+
ϕ+
²
ϕuniv
F
/ +
∼ F ,
²
F
in dem ϕuniv
nach Lemma 3.5 ein Isomorphismus ist. Die universelle Eigenschaft aus Satz 3.1
F
ergibt sich nun wie folgt: Wir setzen ϕ̃ = (ϕuniv
)−1 ◦ ϕ+ ; damit erhalten wir das gewünscrew
F
≈
≈
, so zeigt das
kommutative Diagramm in 3.1. Ist ϕ ein weiterer Morphismus mit ϕ = ϕ ◦ϕuniv
P
kommutative Diagramm
ϕuniv
P
/ P+
|
ϕ ||
≈
ϕ
||
ϕuniv
◦ϕ
F
|univ
|
²
² ~|ϕF
/ F+
F
P
≈
zusammen mit der Eindeutigkeit in Lemma 3.3 die Gleichheit
≈
ϕuniv
◦ ϕ = ϕ+
F
≈
und damit ϕ = (ϕuniv
)−1 ◦ ϕ+ = ϕ̃.
F
Die Eindeutigkeit von (P + , ϕuniv ) folgt wie üblich aus der universellen Eigenschaft. Damit
ist Satz 3.1 bewiesen.
Bemerkungen 3.6 Die universelle Eigenschaft der assoziierten Garbe kann man auch so
ausdrücken, dass man eine kanonische Bijektion
(3.6.1)
HomPrägarben (P, F ) ∼
= HomGarben (P + , F )
ϕ 7→ ϕ̃
35
(mit Umkehrabbildung ψ 7→ ψ ◦ ϕuniv ) hat. Diese Bijektion ist funktoriell in P und F . Dies
bedeutet, dass für die Kategorien
Prä(X) =
Gar(X) =
{Prägarben auf X}
{Garben auf X}
und die Funktoren
i : Gar(X) ,→ Prä(X)
(Inklusion als volle Unterkategorie) und
a : Prä(X) → Gar(X)
P 7→ P +
ϕ 7→ ϕ+
(assoziierte Garbe) a linksadjungiert zu i ist, d.h., man hat Isomorphismen für jede Prägarbe
P und jede Prägarbe F
HomGar(X) (aP, F ) ∼
= HomPrä(X) (P, iF ) ,
funktoriell in P und F (siehe den Anhang 3.A). Hier seien Prägarben und Garben mit Werten
in derselben Kategorie betrachtet (also z.B. Mengen, oder abelsche Gruppen,...).
Der Begriff der assoziierten Garbe erlaubt die folgenden beiden Konstruktionen 3.7 und 3.10.
Definition 3.7 (konstante Garbe) Sei A eine abelsche Gruppe (oder Menge, oder ein Ring...).
Die konstante Prägarbe zu A ist die Prägarbe AP (von abelschen Gruppen,...) die durch
AP (U ) = A für U ⊆ X
offen
und resU,V = idA für V ⊆ U definiert wird. Die konstante Garbe zu A ist die zu AP
assoziierte Garbe; sie wird wieder mit A bezeichnet, oder auch mit AX .
Lemma 3.8 (a) Für jedes x ∈ X ist der Halm Ax = A.
(b) Für U ⊆ X offen gilt kanonisch
A(U ) ∼
= Aπ0 (U ) ,
wobei π0 (U ) die Menge der Zusammenhangskomponenten von U ist.
Beweis selbst – Übungsaufgabe!
Insbesondere ist nicht immer A(U ) = A.
Bemerkungen 3.9 (a) Ist F eine Garbe, so hat F (∅) genau ein Element (also ist zum
Beispiel F (∅) = {0}, wenn es eine Garbe von abelschen Gruppen ist). Dies ergibt sich aus
dem Garbenaxiom (ii) für die leere Überdeckung.
(b) Ist X = {∗} ein Ein-Punkt-Raum, so hat man eine Kategorien-Äquivalenz
∼
{Garbe von Mengen auf X} → {Mengen}
F 7→ Fx = F (X) ,
36
denn nach (a) sind F (∅) und res : F (X) → F (∅) eindeutig bestimmt.
Definition 3.10 (Urbildgarbe) Sei f : X → Y eine stetige Abbildung topologischer Räume.
(a) Für eine Prägarbe Q auf Y definiere die Urbild-Prägarbe (oder das Prägarben-Urbild,
oder Prägarben-Pullback) f P Q auf X durch
(f P Q)(U ) = lim Q(V )
→
(3.10.1)
f (U )⊆V
für U ⊆ X offen. Hier ist der induktive Limes über alle offenen Mengen V ⊆ Y mit f (U ) ⊆ V
genommen, bezüglich der Restriktionen Q(V ) → Q(V 0 ) für V 0 ⊆ V als Übergangsabbildungen.
(b) Für eine Garbe G auf Y definiere die Urbildgarbe (oder das Garben-Urbild, oder GarbenPullback) als
f −1 G := (f P G)+ ,
die zu f P G assoziierte Garbe.
Bemerkungen 3.11 Beachte: f (V ) ist im Allgemeinen nicht offen. Die Menge
U(f (U )) = {V ⊆ Y offen | f (U ) ⊆ V }
ist induktiv geordnet bezüglich der Ordnung
V ≤V0
:⇔
V0 ⊆V ,
denn für V 0 , V 00 ∈ U (f (U )) ist V 0 ∩ V 00 ∈ U (f (U )). Daher ist der induktive Limes definiert.
Nach Definition ist jeder Schnitt in (f P Q)(U ) durch ein Element s0 ∈ Q(V 0 ) für f (U ) ⊂
offen
offen
V 0 ⊆ Y repräsentiert, und s00 ∈ Q(V 00 ) mit f (U ) ⊆ V 00 ⊆ Y definiert dasselbe Element in
offen
(f P Q)(U ), wenn es ein f (U ) ⊆ W ⊆ Y gibt mit W ⊆ V 0 ∩ V 00 und s0 |W = s00 |W .
Beispiele 3.12 Sei A eine Menge (oder abelsche Gruppe, oder ...) und AY die zugehörige
konstante Garbe auf Y . Dann ist
f −1 AY = AX
(Übungsaufgabe!). Urbilder von konstanten Garben sind also wieder konstant.
Lemma 3.13 Sei f : X → Y eine stetige Abbildung, und sei x ∈ X.
(a) Für eine Prägarbe Q auf Y gilt kanonisch
(f P Q)x = Qf (x) .
(b) Für eine Garbe G und Y gilt kanonisch
(f −1 G)x = Gf (x) .
Beweis (a): Es ist
(f P Q)x = lim (f P Q)(U )
→
x∈U
(∗)
= lim lim Q(V ) → lim Q(V ) = Qf (x) .
→ →
∼ →
x∈U f (U )⊆V
f (x)∈V
37
Denn für f (x) ∈ V ist x ∈ f −1 (V ) ⊆ X offen, also laufen die induktiven Limiten auf beiden
Seiten von (∗) über dieselben offenen Mengen V .
(b) folgt hieraus, da (f −1 G)x = (f P G)x .
Beispiel 3.14 Sei x ∈ X und ix : {x} ,→ X die Inklusion. Für eine Garbe F auf X ist i−1
x F
die (nach 3.9 (b)) eindeutig bestimmte Garbe auf {x} mit
(i−1
x F )x = Fx
(Halm von F bei x). Dies folgt aus 3.13 (b), oder direkt: Es ist (iPx F )({x}) = lim F (V ) = Fx
→
x∈V
P
P
und damit (i−1
x F )x = (ix F )x = (ix F )({x}) = Fx .
Satz 3.15 (Adjunktion von f∗ und f −1 ). Sei f : X → Y eine stetige Abbildung.
(a) Für Prägarben P auf X und Q auf Y hat man kanonische Bijektionen, funktoriell in P
und Q,
HomPrä(X) (f P Q, P ) ∼
= HomPrä(Y ) (Q, f∗ P )
(d.h., f P ist linksadjungiert zu f∗ ).
(b) Für Garben F auf X und G auf Y hat man kanonische bifunktorielle Bijektionen
HomGar(X) (f −1 G, F ) ∼
= HomGar(Y ) (G, f∗ F )
(d.h., f −1 ist linksadjungiert zu f∗ ).
Beweis (a): 1) Ist ϕ : Q → f∗ P gegeben, so erhält man für U ⊆ X offen und W ⊆ Y offen
mit f (U ) ⊆ W (also U ⊆ f −1 (W )) einen Morphismus
ϕ
W
Q(W ) →
(f∗ P )(W ) = P (f −1 (W )) → P (U ) .
Dies ist verträglich mit Restriktionen für W 0 ⊆ W offen (und f (U ) ⊆ W 0 ), und wir erhalten
daher einen Morphismus
ψU : (f P Q)(U ) = lim Q(W ) → P (U )
→
W
(universelle Eigenschaft des induktiven Limes). Die Morphismen ψU sind wiederum verträglich mit Restriktionen in U und liefern einen Prägarben-Morphismus
ψ = (ψU ) : f P Q → P .
2) Umgekehrt erhält man aus einem solchen ψ einen Morphismus ϕ : Q → f∗ P wie folgt: Ist
V ⊆ Y offen, so ist f −1 (V ) ⊆ X offen, f (f −1 (V )) ⊆ V , und wir erhalten
ψ
ϕV : Q(V ) → (f P Q)(f −1 (V )) → P (f −1 (V )) .
Dies ist verträglich mit Restriktionen in V und liefert ϕ = (ϕV ).
Wir zeigen nun, dass die Zuordnungen
Ψ : ϕ 7→ ψ
und Φ : ψ 7→ ϕ
38
zueinander invers sind.
3) Ist ϕ : Q → f∗ P gegeben, dazu ψ = Ψ(ϕ) : f P Q → P nach 1) konstruiert, und zu diesem
wieder ϕ0 = Φ(ψ) : Q → f∗ P nach 2), so haben wir für V ⊆ Y offen ein kommutatives
Diagramm (betrachte U = f −1 (V ) ⊆ X offen und W = V ⊃ f f −1 (V ) = f (U ))
ψ
−1 (V )
/ (f P Q)(f −1 (V )) f
m6
mmm
m
m
m
mmm
mmm ϕV
id
/ (f∗ P )(V )
Q(V )
ϕ0V : Q(V )
/ P (f −1 (V ))
/ P (f −1 (V )) ,
also ϕ0 = ϕ, d.h., Φ(Ψ(ϕ)) = ϕ.
4) Ist umgekehrt ψ : f P Q → P gegeben, dazu ϕ : Q → f∗ P konstruiert, und dazu wieder
ψ 0 : f P Q → P , so ist für U ⊆ X offen und W ⊆ Y offen mit f (U ) ⊆ W das Diagramm
ϕW : Q(W )
ψf −1 (W )
/ P (f −1 (W ))
/ (f P Q)(f −1 (W ))
res
²
Q(W )
/ (f P Q)(U )
res
ψU
0
ψU
//
²
P (U )
kommutativ mit ψU und ψU0 . Da dies für alle W ⊇ f (U ) gilt, folgt wegen (f P Q)(U ) =
lim Q(W ) die Gleichheit ψU = ψU0 , also Ψ(Φ(ψ)) = ψ.
→
(b) folgt aus (a) wegen
HomGar(X) (f −1 G, F ) = HomPrä(X) (f P G, F )
für Garben F und G (Eigenschaft der assoziierten Garbe).
Wir charakterisieren nun Monomorphismen und Epimorphismen von Prägarben und Garben.
Lemma 3.16 Sei ϕ : P → Q ein Morphismus von Prägarben von abelschen Gruppen auf X
(man spricht auch von abelschen Prägarben). Dann ist ϕ genau dann ein Monomorphismus
(bzw. Epimorphismus, bzw. Isomorphismus), wenn dies für alle Homomorphismen
ϕU : P (U ) → Q(U )
(U ⊆ X offen)
gilt.
Die Situation bei Garben ist wie folgt.
Satz 3.17 Sei ϕ : F → G ein Morphismus von Garben von abelschen Gruppen auf X (man
spricht auch von abelschen Garben).
(a) (Monomorphismen) Äquivalent sind:
(i) ϕ ist ein Monomorphismus.
(ii) ϕx : Fx → Gx ist injektiv für alle x ∈ X.
(iii) ϕU : F (U ) → G(U ) ist injektiv für alle offenen U ⊆ X.
39
(b) (Epimorphismen) Äquivalent sind:
(i) ϕ ist ein Epimorphismus.
(ii) ϕx ist surjektiv für alle x ∈ X.
(iii) Ist U ⊆ X offen und t ∈ G(U ), so gibt es eine offene Überdeckung (Ui )i∈I von U und
Schnitte si ∈ F (Ui ) mit ϕUi (si ) = t|Ui für alle i ∈ I.
(c) (Isomorphismen) Äquivalent sind:
(i) ϕ ist ein Isomorphismus.
(ii) ϕx ist bijektiv für alle x ∈ X.
(iii) ϕU ist bijektiv für alle offenen U ⊆ X.
Für die Beweise benötigen wir einige Vorbereitungen, die auch für sich von Interesse sind.
Definition 3.18 (a) Sei ϕ : P → Q ein Morphismus von abelschen Prägarben auf X.
Definiere die Prägarben kerP ϕ (Prägarben-Kern von ϕ), imP ϕ (Prägarben-Bild von ϕ) und
cokerP ϕ (Prägarben-Kokern von ϕ) durch
(kerp ϕ)(U ) = ker(ϕU : P (U ) → Q(U )),
(imP ϕ)(U ) = im ϕU ,
(cokerP ϕ)(U ) = coker ϕU = Q(U )/im ϕU
für U ⊆ X offen und die von P bzw. Q induzierten Restriktionen.
(b) Sei ϕ : F → G ein Morphismus von Garben auf X. Dann definiere die Garben
ker := kerP ϕ
im ϕ := (imP ϕ)+
coker ϕ := (cokerP ϕ)+
(Garben-Kern)
(Gaben-Bild)
(Garben-Kokern) .
Beweis dass kerP ϕ im Fall (b) eine Garbe ist: Sei U ⊆ X offen und (Ui )i∈I eine offene
Überdeckung von U .
Ist s ∈ (kerP ϕ)(U ) und s|Ui = 0 für alle i ∈ I, so ist s = 0, da (ker ϕ)(U ) ⊆ F (U ) und F
eine Garbe ist.
Sind weiter si ∈ (kerP ϕ)(Ui ) für i ∈ I mit si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj für alle i, j ∈ I, so gibt
zunächst ein s ∈ F (U ) mit sUi = si für alle i ∈ I, da F eine Garbe ist. Aber es ist auch
s ∈ kerP ϕ: Für ϕ(s) ∈ G(U ) gilt nämlich ϕ(s)|Ui = ϕUi (s|Ui ) = ϕUi (si ) = 0 für alle i ∈ I,
da si ∈ (kerP ϕ)(Ui ) = ker ϕUi . Es folgt ϕ(s) = 0, da G eine Garbe ist.
Bemerkungen 3.19 (a) Ist P eine abelsche Prägarbe auf X und ist für jedes offene U ⊆ X
eine Untergruppe P 0 (U ) ⊆ P (U ) gegeben, so dass die Restriktionen von P die Untergruppen
P 0 (U ) ineinander überführen (resU,U 0 (P 0 (u)) ⊆ P 0 (U 0 )), so definieren die P 0 (U ) mit den
Einschränkungen der Restriktionen eine Prägarbe P 0 und man nennt P 0 eine Unter-Prägarbe
von P . Sind P und P 0 Garben, so nennt man P 0 eine Untergarbe von P .
(b) In 3.18 (a) ist kerp ϕ eine Unter-Prägarbe von P und imP ϕ eine Unter-Prägarbe von Q.
(c) In 3.18 (a) ist ker ϕ eine Untergarbe von F , und wir werden später im ϕ mit einer
Untergarbe von G identifizieren.
40
Definition/Lemma 3.20 (a) Eine Sequenz
(3.20.1)
ϕn−1
ϕn
. . . −→ Pn−1 −→ Pn −→ Pn+1 −→ . . .
von abelschen Prägarben auf X heißt Komplex, wenn ϕn ◦ ϕn−1 = 0 für alle n ∈ Z (⇔
imP ϕn−1 ⊆ kerP ϕn für alle n ∈ Z ⇔ für alle offene U ⊆ X ist die induzierte Sequenz
(3.20.1)U
. . . → Pn−1 (U ) → Pn (U ) → Pn+1 (U ) → . . .
ein Komplex).
(b) Ein Komplex (3.20.1) heißt exakt an der Stelle n (oder bei Pn ), wenn imP ϕn−1 = kerP ϕN
(⇔ für alle offenen U ⊆ X ist (3.19.1)U exakt bei n), und exakt, wenn er exakt an allen
Stellen ist.
(c) Ist eine Sequenz (3.20.1) exakt bei n, so ist für alle x ∈ X die induzierte Sequenz
(3.20.1)x
. . . → (Pn−1 )x → (Pn )x → (Pn+1 )x → . . .
der Halme exakt an der Stelle n (Halmbildung ist ein exakter Funktor).
Beweis der Behauptung in (c): 1) Mit ϕn ◦ ϕn−1 = 0 ist natürlich auch (ϕn )x ◦ (ϕn−1 )x =
(ϕn ◦ ϕn−1 )x = 0, also im(ϕn−1 )x ⊆ ker(ϕn )x .
2) Sei sx ∈ ker(ϕn )x , s ∈ Pn (U ), U ⊆ X offene Umgebung von x. Wegen 0 = (ϕn )x (sx ) =
ϕn,U (s)x gibt es eine offene Umgebung V ⊆ U von x mit 0 = ϕn,U (s)|V = ϕn,V (s|V ) Wegen
Exaktheit von (3.20.1)V gibt es ein t ∈ Pn−1 (V ) mit ϕn−1,V (t) = s|V . Es folgt ϕn−1,x (tx ) = sx ,
d.h., sx ∈ im(ϕn−1 )x .
Beweis von Lemma 3.16: Sei ϕ : P → Q ein Morphismus von abelschen Prägarben.
1) Sind alle ϕU (U ⊆ X offen) injektiv, so sieht man sofort, dass ϕ ein Monomorphismus ist
(ϕα = 0 ⇒ α = 0). Sind nicht alle ϕU injektiv, so ist kerP ϕ 6= 0 und in der Sequenz
j
ϕ
kerP ϕ ,→ P → Q
ist j nicht die Nullabbildung, aber ϕj = 0. Also ist ϕ kein Monomorphismus.
2) Der Beweis für Epimorphismen ist dual (alle Pfeile umdrehen, kerP ϕ durch cokerP ϕ
ersetzen): Sind alle ϕU surjektiv, so folgt sofort, dass ϕ ein Epimorphismus ist (βϕ = 0 ⇒
β = 0). Sind nicht alle ϕU surjektiv, so ist in der kanonischen Sequenz
ϕ
π
P → Q → cokerP ϕ
cokerP ϕ 6= 0 und π 6= 0, aber πϕ = 0, also ϕ kein Epimorphismus.
3) Sind alle ϕU Isomorphismen, so ist ϕ−1 = (ϕ−1
U ) ein Inverses von ϕ. Besitzt umgekehrt ϕ
ein Inverses ψ, so ist ψU ein Inverses von ϕU .
Beweis von Satz 3.17 Sei ϕ : F → G ein Morphismus von abelschen Garben.
(a): Da kerP ϕ bereits eine Garbe ist, zeigt der Beweis von 3.16 für Monomorphismen bereits:
Ist ϕ ein Monomorphismus, so ist ϕU injektiv für alle U (offen in X). Gilt Letzteres, so ist
0 → F → G exakt als Sequenz von Prägarben, und mit 3.20 (c) folgt die Injektivität von
41
ϕx : Fx → Gx für alle x ∈ X. Gilt letzteres, so ist ϕ offenbar ein Monomorphismus: Ist
α
H → F ein Morphismus von abelschen Garben, und ist ϕα = 0, so ist 0 = (ϕα)x = ϕx αx für
alle x ∈ X, wegen der Injektivität der ϕx , also αx = 0 für alle x und damit α = 0 (Lemma
3.4).
(b): Wir haben eine exakte Sequenz von abelschen Prägarben
ϕ
π
F → G → cokerP ϕ → 0 ,
und nach 3.20 (c) sind die Sequenzen
(∗)
ϕx
π
Fx → Gx →x (cokerp ϕ)x → 0
für alle x ∈ X exakt. Der Morphismus γ : cokerP ϕ → (cokerP ϕ)+ = coker ϕ induziert
Isomorphismen
(∗∗)
∼
(cokerP ϕ)x → (coker ϕ)x
(Lemma 3.2). Betrachte nun die induzierte Sequenz von Garben
ϕ
π0
F → G → coker ϕ
mit π 0 = γπ. In dieser ist π 0 ϕ = 0. Ist ϕ ein Epimorphismus, so ist π 0 = 0, wegen der
Surjektivität von πx0 : Gx → (coker ϕ)x , also (coker ϕ)x = 0 für alle x ∈ X, wegen (∗∗) also
auch (cokerP ϕ)x = 0 für alle x ∈ X. Ist also U ⊆ X offen, s ∈ G(U ) und s ∈ G(U )/im ϕU =
(cokerP ϕ)(U ) das Bild von s, dann gibt eine offene Überdeckung (Ui )i∈I von U , so dass
s|Ui = 0 in (cokerP ϕ)(Ui ), also s|Ui ∈ im ϕUi (Eigenschaft (iii) in 3.17 (b)). Gilt andererseits
letztere Eigenschaft für alle U und s ∈ G(U ), so folgt umgekehrt, dass (cokerP ϕ)x = 0 für
alle x ∈ X, wegen Exaktheit der Sequenz (∗) also die Surjektivität von
ϕx : Fx ³ Gx
für alle x ∈ X (Eigenschaft (ii) in 3.17 (b)). Hieraus folgt wiederum, dass ϕ ein Epimorphismus ist (Eigenschaft (i) in 3.17 (b)): Ist β : G → K ein Morphismus von abelschen Garben,
und ist
ϕ
β
F → G → K
die Nullabbildung, so folgt aus der Surjektivität der ϕx , dass alle βx = 0, also dass β = 0
(Lemma 3.4).
Behauptung (c) von 3.17 folgt wie im Beweis von 3.16.
Lemma 3.21 Sei ϕ : F → G ein Morphismus von abelschen Garben auf X.
(a) Für x ∈ X gilt kanonisch (ker ϕ)x ∼
= ker ϕx .
(b) Der von i : imP ϕ ,→ G induzierte Morphismus ĩ : im ϕ → G ist ein Monomorphismus;
im ϕ kann also als Untergarbe von G aufgefasst werden. Für jedes x ∈ X ist kanonisch
(im ϕ)x ∼
= im ϕx .
(c) Der von π : G → cokerP ϕ induzierte Morphismus π 0 : G → coker ϕ ist ein Epimorphismus,
und es ist kanonisch (coker ϕ)x ∼
= coker ϕx .
42
Beweis Wir haben exakte Sequenzen von Prägarben
0
/ ker ϕ i
ϕ
/F
/G
CC
{=
CC
{
{
CC
{{
CC
{{
C!
{
{
π
/ cokerP ϕ
/0
P
im
ϕE
<
0
EE
EE
EE
EE
"
z
zz
zz
z
z
zz
0
(d.h., die obere Sequenz ist exakt, und weiter sind
0 → ker ϕ → F → imP ϕ → 0
0 → imP ϕ → G → cokerP ϕ → 0
exakt); dabei ist das Dreieck
/G
z<
z
zz
zz
z
z
F DD
DD
DD
DD
"
imP ϕ
kommutativ. Nach 3.20 (c) erhalten wir exakte Sequenzen
0
/ (ker ϕ)x ix
ϕx
/ Fx
/ G πx / (cokerP ϕ)
x
GG
; x
GG
ww
w
GG
w
w
GG
ww
G#
ww
/0
P
(im
ϕ)Ix
:
0
II
II
II
II
I$
v
vv
vv
v
vv
vv
0
mit kommutativen Dreieck in der Mitte. Hieraus folgen sofort (a) und die letzten Aussagen
in (b) und (c). Weiter induzieren die Morphismen
ĩ
i : imP ϕ →
im ϕ
→ G
π
P
0
π :
G
→ coker ϕ → coker ϕ
in den Halmen Abbildungen
(ĩ)x
∼
ix
: (imP ϕ)x →
(im ϕ)x
→ Gx
∼
P
0
(π )x :
Gx
→ (coker ϕ)x → (coker ϕ)x
Daher ist (ĩ)x injektiv und (π 0 )x surjektiv für alle x ∈ X, und die Behauptungen in (b) und
(c) folgen mit 3.17.
Lemma/Definition 3.22 (a) Sei
(3.22.1)
ϕn−1
ϕn
. . . −→ Fn−1 −→ Fn −→ Fn+1 → . . .
eine Sequenz von abelschen Garben auf X. Für n ∈ Z gilt ϕn ◦ ϕn−1 = 0 genau dann, wenn
im ϕn−1 ⊆ ker ϕn . Gilt dies für alle n ∈ Z, dann heißt (3.22.1) ein Komplex von Garben.
43
(b) Ein Komplex von Garben (3.22.1) heißt exakt an der Stelle n (oder bei Fn ), wenn im
ϕn−1 = ker ϕn . Dies gilt genau dann, wenn für alle x ∈ X die assoziierte Sequenz der Halme
(3.22.1)
. . . → (Fn−1 )x → (Fn )x → (Fn+1 )x → . . .
exakt an der Stelle n ist. Der Komplex (3.22.1) heißt exakt, wenn er exakt an allen Stellen
ist.
Beweis der Behauptungen:
(a): Offenbar gilt ϕn ◦ ϕn−1 = 0 genau dann, wenn imP ϕn−1 ⊆ ker ϕn ist. Gilt Letzteres, so
haben wir wegen der universellen Eigenschaft der assoziierten Garbe eine Faktorisierung
ker ´ q
qq8 O GGGG
q
q
q
GG
GG
qqq
GG
+ ® qqq
#
imP ϕn−1
;w G
¶ Ms
MMM
ww
MMM
ww
w
MMM
ww
& Â ? - ° ww
im ϕn−1
also im ϕn−1 ⊆ ker ϕn . Aus dieser Inklusion folgt umgekehrt imP ϕn−1 ⊆ im ϕn−1 ⊆ ker ϕn .
(b): Für zwei Untergarben G ⊆ H ⊆ Fn gilt G = H genau dann, wenn Gx = Hx für alle
x ∈ X. Wenden wir dies auf im ϕn−1 ⊆ ker ϕn an, so folgt die Behauptung wegen (im
ϕn−1 )x = im(ϕn−1 )x und (ker ϕn )x = ker(ϕn )x (Lemma 3.21).
Proposition 3.23 (universelle Eigenschaft von Kern und Kokern) Sei ϕ : F → G ein
Morphismus von abelschen Garben.
(a) Ist ψ : H → F ein Morphismus von abelschen Garben mit ϕψ = 0, so gibt es einen
eindeutig bestimmten Morphismus ψ 0 : H → ker ϕ, der das Diagramm
ker ϕbFÂ
Ä
F
∃! ψ 0
ϕ
/F
O
F
/G
ψ
F
H
kommutativ macht.
(b) Ist ψ : G → H ein Morphismus von abelschen Garben mit ψϕ = 0, so gibt es einen
eindeutig bestimmten Morphismus ψ : coker ϕ → H, der das Diagramm
F
ϕ
HO cH
H ∃! ψ
H
ψ
H
H
/G
/ / coker ϕ
kommutativ macht.
Beweis Übungsaufgabe! (Tipp: Die Behauptungen folgen aus dem entsprechenden Resultat
für Prägarben-Kerne und -Kokerne)
44
Definition 3.24 (a) Für eine abelsche Prägarbe Q auf X und eine Unter-Prägarbe P ⊆ Q
definiere den Prägarben-Quotienten als
(Q/P )P = cokerP (P ,→ Q) ,
also durch (Q/P )P (U ) = Q(U )/P (U ), mit den offensichtlichen Restriktionen.
(b) Für eine abelsche Garbe F auf X und eine Untergarbe (von abelschen Gruppen) E ⊆ F
definiere den Garben-Quotienten als
F/E = coker(E ,→ F )
= ((F/E)P )+ .
Bemerkung 3.25 In der Situation von 3.23 (a) bzw. (b) haben wir eine exakte Sequenz
von Prägarben
0 → P → Q → Q/P → 0
bzw. eine exakte Sequenz von Garben
0 → E → F → F/E → 0 .
Lemma 3.26 (Homomorphiesatz) Ein Morphismus ϕ : F → G von abelschen Garben
induziert einen Garbenisomorphismus
∼
F/ ker ϕ → im ϕ .
Beweis Wir haben einen Isomorphismus von abelschen Prägarben
∼
(F/ ker ϕ)P → imP ϕ ,
und die Behauptung folgt durch Garbifizierung (Übergang zu den assoziierten Garben).
Bemerkung 3.27 Proposition 3.23 und Lemma 3.26 sind die Hauptpunkte um zu zeigen,
dass die abelschen Garben auf X eine sogenannte abelsche Kategorie bilden (siehe den Anhang 3.A).
45
3.A Adjungierte Funktoren und abelsche Kategorien
Adjungierte Funktoren treten sehr oft auf; viele universelle Probleme hängen mit adjungierten Funktoren
zusammen bzw. werden durch diese gelöst.
Definition 3.A.1 Seien A, B zwei Kategorien, und seien f : A → B und g : B → A zwei (kovariante)
Funktoren. Dann heißt g linksadjungiert zu f (und f rechtsadjungiert zu g), wenn es Bijektionen
∼
(3.A.1.1)
aA,B : HomA (g(B), A) → HomB (B, f (A))
für alle Objekte A in A und B in B gibt, die funktoriell in A und in B sind: Das heißt, für jeden Morphismus
α : A → A0 in A ist das Diagramm
γ_
HomA (g(B), A)
∼
α∗
²
αγ
²
HomA (g(B), A0 )
/ HomB (B, f (A))
f (α)∗
∼
²
/ HomB (B, f (A0 ))
_δ
²
f (α)δ
kommutativ, und für β : B → B 0 ist
γg(β)
O
HomA (g(B), A0 )
O
∼
/ HomB (B, f (A0 ))
O
g(β)∗
_
γ
δβO
β∗
HomA (g(B 0 ), A)
∼
/ HomB (B 0 , f (A))
_
δ
kommutativ.
Sei g : B → A linksadjungiert zu f : A → B. Für jedes Objekt A in A und jedes Objekt B in B erhalten wir
den Bijektionen (3.A.1.1) kanonische Morphismen (im Folgenden lassen wir einige Klammern weg)
(3.A.1.2)
adB : B → f gB
(das Bild von idgB unter agB,B in (3.A.1.1)) und
(3.A.1.3)
AdA : gf A → A
(das Urbild von idf A unter aA,f A in (3.A.1.1)).
Aus der Bifunktorialität von (3.A.1.1) folgt:
Lemma 3.A.2 (a) Die Abbildung (3.A.1.1) bildet γ : gB → A auf die Komposition
f (γ)
ad
B
B −→
f dB −→ f A
ab.
Das Urbild von δ : B → f A unter (3.A.1.1) ist die Komposition
g(δ)
Ad
A
gB −→ gf A −→
A.
46
Beweis (a) folgt aus dem kommutativen Diagramm
idgB Â
_
/ adB
_
/ Hom(B, f gB)
Hom(gB, gB)
γ∗
f (γ)∗
²
/ Hom(B, f A)
²
Hom(gB, A)
²
/ f (γ)adB
²
γÂ
(b) ist analog.
Insbesondere wird die Adjunktion durch die adB und AdA bestimmt.
Corollar 3.A.3 (a) Für B in B ist die Komposition
gB
g(adB )
/ gf gB
AdgB
/ gB
adf A
/ f gf A
f (AdA )
/ fA
die Identität.
(b) Für A in A ist die Komposition
fA
die Identität.
Dies folgt daraus, dass die Zuordnungen in 3.A.2 (a) und (b) zueinander invers sind.
Aus der Bifunktorialität von 3.A.1.1) folgt weiter:
Lemma 3.A.4 (a) adB ist funktoriell in B, d.h., für β : B → B 0 in B ist das Diagramm
adB
B
/ f gB
β
f g(β)
²
B0
adB 0
²
/ f gB 0
kommutativ.
(b) AdA ist kommutativ in A, d.h., für α : A → A0 in A ist das Diagramm
AdA
gf A
/A
α
gf (α)
²
gf A0
AdA0
²
/ A0
kommutativ.
Beweis (a) bedeutet die Gleichheit
f g(β)adB = adB 0 β
47
und folgt aus dem kommutativen Diagramm.
idg(B) Â
_
/ adB
_
/ Hom(B, f gB)
Hom(gB, gB)
g(β)∗
²
g(β)
O
f g(β)∗
²
Hom(gB, gB 0 )
O
²
/ Hom(B, f gB 0 )
O
g(β)∗
²
f g(β)adB
adBO 0 β
f g(β)∗
/ Hom(B 0 , f gB 0 )
Hom(gB 0 , gB 0 )
_
id( g(B 0 ) Â
_
/ adB 0
(b) ist analog.
Lemma 3.A.4 bedeutet, dass wir Morphismen von Funktoren
(3.A.4.1)
ad : idB → f g
(3.A.4.2)
Ad : gf → idA
erhalten.
Umgekehrt sieht man leicht: Hat man Morphismen von Funktoren (3.A.4.1) und (3.A.4.2), die die Eigenschaften von Lemma 3.A.2 erfüllen, so ist g linksadjungiert zu f , wobei die Abbildung (3.A.1.1) gerade durch
die Vorschrift 3.A.2 gegeben ist.
Wir bemerken noch:
Lemma 3.A.5 (a) Besitzt f ein Linksadjungiertes g, so ist dies bis auf kanonische Isomorphie eindeutig.
(b) Besitzt g ein Rechtsadjungiertes f , so ist dies bis auf kanonische Isomorphie eindeutig.
Beweis Dies folgt aus dem Yoneda-Lemma (siehe 1.A.2). Ist nämlich B in B fest, so ist der kovariante
Funktor
A → Sets
A 7→ HomB (B, f A)
durch g(B) darstellbar; dies bedeutet die Bijektion
(3.A.5.1)
HomA (g(B), A ∼
= HomB (B, f A) ,
die funktoriell in B ist. Ist diese Bijektion vorgegeben (für alle A in A), so ist g(B) bis auf kanonische
Isomorphismen eindeutig. Die Funktorialität von (3.A.5.1) in B impliziert, dass die Zuordnung B 7→ gB
funktoriell ist.
(b) ist analog.
Beispiele 3.A.6 Beispiele für adjungierte Funktoren gibt es in 3.6 und 3.15, aber auch 4.6 ist ein Beispiel:
Für ein affines Schema X = Spec(A) ist der Funktor
(A-Moduln)
M
→ (OX -Moduln)
7→ M̃
48
linksadjungiert zum Funktor
F(X) ←p F .
Aber auch Satz 5.9 (man halte F oder G fest) und Satz 5.18 sind Beispiele für Adjunktionen.
Adjunktionsmorphismen werden in Abschnitt 6 benutzt (siehe Bemerkung 6.7 und den Beweis von 6.6)
Wir kommen nun zu abelschen Kategorien.
Abelsche Kategorien sind Kategorien, in denen man mit den gleichen Begriffen arbeiten kann wie in der
Kategorie Ab der abelschen Gruppen oder, allgemeiner, der Kategorie M odR der Moduln über einem Ring
R. Insbesondere kann man Morphismen addieren, und man hat Begriffe wie Kerne, Kokerne und exakte
Sequenzen.
Definition 3.A.7 Sei C eine Kategorie.
(a) Ein Objekt I in C heißt initial, wenn es für jedes Objekt X in C genau einen Morphismus I → X gibt.
(b) Ein Objekt F in C heißt final, wenn es für jedes Objekt X in C genau einen Morphismus X → F gibt.
Beispiele 3.A.8 (a) In der Kategorie aller Ringe ist Z ein initiales Objekt.
(b) In der Kategorie aller Schemata ist Spec(Z) ein finales Objekt: Für jedes Schema X besteht
Hom(X, Spec(Z)) = Hom(Z, OX (X))
nur aus einem Element.
(c) In der Kategorie Sets aller Mengen ist die leere Menge ein initiales und jede Menge mit einem Element
ein finales Objekt.
Bemerkung 3.A.9 Initiale oder finale Objekte müssen nicht existieren; zum Beispiel hat die Kategorie der
Körper weder initiale noch finale Objekte. Existieren aber initiale oder finale Objekte, so sind sie bis auf
kanonische Isomorphie eindeutig.
Definition 3.A.10 Eine Kategorie C heißt additiv, wenn gilt:
(a) Für alle Objekte A, B in C ist auf HomC (A, B) eine Verknüpfung + gegeben, die diese Menge zu einer
abelschen Gruppe macht, und sind A, B, C drei Objekte in C, so ist die Abbildung
HomC (B, C) × HomC (A, B)
(g, f )
bilinear:
g(f1 + f2 )
(g1 + g2 )f
→
7→
HomC (A, C)
gf
= gf1 + gf2 ,
= g1 f + g2 f .
(b) Es gibt ein Objekt 0 in C mit
HomC (A, 0) = 0 = HomC (0, A)
für jedes Objekt A in C.
(c) In C existiert zu je zwei Objekten A, B die Summe A ⊕ B.
Bemerkungen 3.A.11 (a) Bedingung 3.A.10 (b) bedeutet, dass 0 initiales und finales Objekt in C ist.
(b) Es folgt, dass in C auch zu je zwei Objekten auch das Produkt existiert – und zwar erfüllt A ⊕ B auch
die universelle Eigenschaft des Produkts: Seien iA : A → A ⊕ B und iB : B → A ⊕ B die kanonischen
Morphismen der Summe und definiere
pA
pB
= idA + 0
= 0 + idB
:
:
49
A⊕B
A⊕B
→
→
A
B,
d.h., pA und pB sind mittels der universellen Eigenschaft der Summe dadurch festgelegt, dass
pA iA
pB iA
(3.A.11.1)
=
=
idA
0
und pA iB
und pB iB
= 0
= idB .
Ist nun X ein Objekt in C und sind Morphismen
fA : X → A , fB : X → B
gegeben, so gibt es genau einen Morphismus
f : X → A⊕B
mit pA f = fA und pB f = fB , nämlich den Morphismus
f := iA fA + iB fB ∈ HomC (X, A ⊕ B) .
Denn aus (3.A.11.1) folgt sofort pA f = fA und pB f = fB . Weiter folgt aus der universellen Eigenschaft der
Summe A ⊕ B, dass
(3.A.11.2)
h := iA pA + iB pB = idA⊕B ,
denn es gilt hiA = iA und hiB = iB . Ist nun g : Z → A ⊕ B ein weiterer Morphismus mit pA g = fA und
pB g = fB , so folgt
g = hg = iA pA g + iB pB g = iA fA + iB fB = f .
n
(c) Natürlich existieren in C auch beliebige Summen und Produkte (durch Iteration), und es ist ⊕ Ai =
n
Q
i=1
i=1
Ai .
Corollar 3.A.12 Die Gruppenstruktur auf HomC (A, B) ist eindeutig bestimmt, d.h., hängt nur von C ab.
Beweis Für f, g : A → B ist f + g die Komposition
A
(idA ,idA )
f ⊕g
/ A⊕A
/ B⊕B
idB +idB
/B ,
wobei der erste bzw. letzte Morphismus durch die universellen Eigenschaften von Produkt bzw. Summe
gegeben sind und f ⊕ g durch die Funktorialität der Summe, die leicht aus der universellen Eigenschaft folgt
(vergleiche den analogen Fall in 1.A.7).
Definition 3.A.13 Sei C eine additive Kategorie und sei f : A → B ein Morphismus in C.
(a) Ein Objekt K mit einem Morphismus i : K → A heißt Kern von f , wenn gilt:
(i) f i = 0.
(ii) Ist g : X → A ein Morphismus mit ig = 0, so existiert genau ein Morphismus g 0 : A → K mit g = ig 0 :
K `A
i
A
∃!g 0
/A
O
A
f
/B
g
A
X
(b) Ein Objekt C mit einem Morphismus π : B → C heißt Kokern von f , wenn gilt:
(i) πf = 0.
(ii) Ist h : B → Y ein Morphismus mit hf = 0, so gibt es genau einen Morphismus h : C → Y mit h = hπ:
YO `B
h
A
f
/B
50
B ∃!h
B
B
π /
C.
Kerne und Kokerne müssen nicht existieren; wenn sie aber existieren, sind die Paare (K, i), bzw. (C, π) bis
auf kanonische Isomorphie eindeutig (wie man leicht sieht), und wir schreiben ker f bzw. cokerf für K bzw
C.
Bemerkung 3.A.14 Mit den Bezeichnungen aus 1.A.18 und 1.A.19 ist ker f = ker(f, 0) und coker(f ) =
coker(f, 0), wobei 0 der Nullmorphismus in HomC (A, B) ist.
Lemma 3.A.15 Sei C eine additive Kategorie, und sei f : A → B ein Morphismus in C.
(a) f ist genau dann ein Monomorphismus, wenn ker(f ) = 0.
(b) f ist genau dann ein Epimorphismus, wenn coker(f ) = 0.
Beweis Wir zeigen nur (a); der Beweis von (b) ist dual (Umdrehen aller Pfeile). Zunächst ist f genau dann
ein Monomorphismus, wenn für jeden Morphismus g : X → A gilt
(3.A.15.1)
fg = 0
⇒
g = 0.
Sind nämlich g1 , g2 : X → A zwei Morphismen und g = g1 − g2 , so gilt
f g1
g1
= f g2
= g2
⇔
⇔
fg
g
=
=
0
0.
Gilt aber (3.A.15.1), so faktorisiert jeder Morphismus g : X → A mit f g = 0 über das Nullobjekt 0,
notwendigerweise in eindeutiger Weise, also existiert ker(f ) und ist gleich 0. Die Umkehrung ist klar.
Lemma 3.A.16 Sei f : A → B ein Morphismus.
(a) Existiert der Kern von f , so ist
i
ker(f ) → A
ein Monomorphismus.
(b) Existiert der Kokern von f , so ist
π
B → coker(f )
ein Epimorphismus.
Beweis (vergleiche auch 1.A.20) Wir zeigen (a); der Beweis von (b) ist dual (Umdrehen aller Pfeile). Sei
g : X → ker(g) ein Morphismus mit ig = 0. Dann ist auch f ig = 0. Nach der universellen Eigenschaft des
Kerns gibt es genau einen Morphismus g 0 : X → ker(g) mit ig 0 = ig = 0. Dies kann nur sein, wenn g = 0 ist.
Nach 3.A.15 haben wir also gezeigt, dass i ein Monomorphismus ist.
Definition 3.A.17 Eine Kategorie A heißt abelsch, wenn gilt:
(i) A ist additiv.
(ii) Für jeden Morphismus f in A existieren
i
Kern:
ker(f ) → A
und
π
Kokern: B → coker(f ) .
(iii) Dabei ist der kanonische Morphismus
f0 : coker(i) → ker(π)
ein Isomorphismus.
Wir erklären Bedingung (iii): Nach Definition ist f i = 0, also gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus
f : coker(i) → B, der das Diagramm
ker(f )
i
f
/A
/B
FF
x<
FF
x
FF
xx
FF
xx
0
x
π
F"
xx f
coker(i)
51
π
/ coker(f )
kommutativ macht. Nach Definition ist weiter 0 = πf = πf π 0 , also πf = 0, da π 0 ein Epimorphismus ist
(3.A.16 (b)). Es gibt also einen eindeutig bestimmten Morphismus
(3.A.17.1)
f0 : coker(i) → ker(π) ,
der das Diagramm
ker(f )
i
f
/A
/
s9 BO
s
s
f ss
ss
π0
i0
s
s
² ss f0
/ ker(π) .
coker(i)
π
/ coker(f )
Zusammen erhält man die folgende symmetrische Beschreibung: Es gibt genau einen Morphismus f0 , der
das Diagramm
ker(f )
i
f
/A
/B
O
π0
π
/ coker(f )
i0
²
coker(i)
f0
/ ker(π) .
kommutativ macht.
In einer abelschen Kategorie haben wir die zusätzliche Eigenschaft, dass f0 ein Isomorphismus ist (dies folgt
nicht aus den anderen Axiomen!). Man nennt
ker(π) = ker(B → coker(f ))
auch das Bild von f , Bezeichnung im(f ), und
coker(i) = coker(ker(f ) → A)
das Kobild, Bezeichnung coim(f ). In einer abelschen Kategorie können wir beide identifizieren und benutzen
nur das Bild von f , im(f ).
Corollar 3.A.18 In einer abelschen Kategorie A lässt sich jeder Morphismus f : A → B in der Form
p
(3.A.18.1)
j
f : A ³ im(f ) ,→ B
faktorisieren, mit einem Epimorphismus p und einem Monomorphismus j.
Beweis: Mit den obigen Bezeichnungen können wir p = f0 π 0 und j = i0 nehmen.
Sei im Folgenden A eine abelsche Kategorie.
Definition 3.A.19 Ist i : A ,→ B ein Monomorphismus, so definiere
B/A := coker(i) .
Satz 3.A.20 (Homomorphiesatz) Ist f : A → B ein Morphismus in einer abelschen Kategorie, so induziert
f einen Isomorphismus
∼
A/ ker(f ) → im(f ) .
Beweis Dies ist gerade Inhalt des Axioms (iii) in 3.A.17.
Definition 3.A.21 (a) Eine Sequenz in A
fn−1
fn
fn+1
. . . → An−1 −→ An −→ An+1 −→ . . .
52
heißt Komplex, wenn fn fn−1 = 0 für alle n.
(b) Ein Komplex in A
fn−1
fn+1
fn
. . . → An−1 −→ An −→ An+1 −→ . . .
heißt exakt an der Stelle n (oder bei An ), wenn im(fn−1 ) = ker(fn ), und exakt, wenn er exakt an allen
Stellen ist.
Erklärung: Wir haben eine Faktorisierung
An−1
fn−1
/ An
:
KK
u
u
KK
u
u
KK
uu
π KKK
%%
, ¯ uuu i
im(fn−1 )
fn
/ An+1
mit einem Epimorphismus π und einem Monomorphismus i, siehe (3.A.18.1). Da 0 = fn fn−1 = fn iπ und π
ein Epimorphismus ist, ist auch fn i = 0. Hieraus folgt wiederum, dass es eine kanonische Faktorisierung
Ä
/ An
ker(fn ) Â
eLLL
v:
v
v
LLL
vv
LLL
¯, vvvv i
i0
L3 S
im(fn−1 )
fn
/ An+1
gibt, wobei i0 automatisch ein Monomorphismus ist. Dies entspricht also einer Inklusion “im(fn−1 ) ⊆
ker(fn )” im bekannten Fall von abelschen Gruppen. Die Bedingung
im(fn−1 ) = ker(fn )
in 3.A.21 (b) soll im abstrakten Rahmen bedeuten, dass i0 ein Isomorphismus ist.
Beispiele 3.A.22 (a) Für jeden Morphismus f : A → B in A haben wir eine exakte Sequenz
i
f
π
0 → ker(f ) ,→ A → B → coker(f ) → 0 ,
die sich wiederum in exakte Sequenzen
0 → ker(f ) →
0 → im(f ) →
A
B
→
→
im(f )
coker(f )
→
→
aufspaltet.
(b) Eine kurze exakte Sequenz ist eine exakte Sequenz
i
π
0 → A → B → C → 0.
In ihr identifiziert sich A mit ker(π) und C mit coker(i), also mit B/A.
53
0
0
4
Quasi-kohärente Modulgarben
Für Schemata gibt es spezielle Klassen von Garben, die besonders wichtig sind.
Definition 4.1 Sei (X, OX ) ein Schema (oder geringter Raum).
(a) Eine OX -Modulgarbe (oder: ein OX -Modul) auf X ist eine Garbe F auf X zusammen
mit Abbildungen
OX (U ) × F(U ) → F (U ) ,
für jedes offene U ⊆ X, die F(U ) zu einem OX (U )-Modul machen und verträglich mit
Restriktionen sind: Für V ⊆ U ist
/ F(U )
O(U ) × F(U )
²
res
res×res
²
/ F(V )
O(V ) × F(V )
kommutativ.
(b) Ein Morphismus von OX -Modulgarben ϕ : F → G ist ein Garbenmorphismus, so dass
für alle U ⊆ X offen die Abbildung
F(U ) → G(U )
ein Homomorphismus von OX (U )-Moduln ist.
Beispiel 4.2 OX ist eine Modulgarbe über sich selbst.
Wir kommen nun zu einer wichtigen Konstruktion von OX -Modulgarben.
Satz 4.3 (vergleiche Alg. Geo. I Satz 9.11) Sei A ein Ring und M ein A-Modul. Dann gibt
es eine kanonische OX -Modulgarbe M̃ auf dem affinen Schema X = (Spec(A), OSpec(A) ) mit
den folgenden Eigenschaften:
(a) Es gibt einen kanonischen Isomorphismus
∼
ψ : M → M̃ (X)
von A-Moduln.
(b) Für jedes f ∈ A induziert ψ einen Isomorphismus von Af -Moduln
∼
ψf : Mf → M̃ (D(f )) .
(c) Für jedes p ∈ Spec(A) induziert ψ einen Isomorphismus von Ap -Moduln
∼
ψp : Mp → M̃p .
1. Beweis (vergleiche loc. cit.) Setze für U ⊆ X offen
`
M̃ (U ) = {f : U →
Mp | f erfüllt die Bedingungen (i) und (ii) unten } .
p∈U
54
(i) Es ist f (p) ∈ Mp .
(ii) Für jedes p ∈ X gibt es eine Umgebung D(g) von p und ein Element
M, n ∈ N0 ) mit f (q) = gmn für alle q ∈ D(g).
m
gn
∈ Mp (m ∈
Es folgt leicht, dass man zusammen mit der Einschränkungsabbildungen eine Garbe erhält.
Da OX (U ) ähnlich beschrieben werden kann (loc. cit.), sieht man weiter, dass M̃ (U ) ein
OX (U )-Modul ist, und M̃ ein OX -Modul. Die Eigenschaften (a), (b), (c) zeigt man analog
wie im Beweis von Alg. Geo. I 9.11.
Definition 4.4 Eine OX -Modulgarbe F auf einem Schema X heißt quasi-kohärent, wenn
es für jedes x ∈ X eine affine offene Umgebung U = Spec(A) von x und einen A-Modul M
gibt, so dass
F|U ∼
= M̃
(Isomorphismus von OU -Modulgarben).
Satz 4.5 Sei X ein Schema und F eine quasi-kohärente OX -Modulgarbe. Ist U = Spec(A) ⊆
X ein affines offenes Unterschema, so gibt es einen kanonischen Isomorphismus von OU Modulgarben
F|U ∼
= M̃
für den A-Modul M = F(U ).
Beweis: später!
Satz 4.6 Ist X = Spec(A) ein affines Schema, M ein A-Modul und F ein OX -Modul, so ist
die Abbildung
∼
HomOX (M̃ , F) → HomA (M, F(X))
ϕ 7→ ϕX : M = M̃ (X) → F (X)
ein Isomorphismus (Hier stehen links die OX -Modul-Homomorphismen und rechts die AModul-Homomorphismen).
Hierzu benutzen wir:
Lemma 4.7 Sei (X, OX ) ein geringter Raum und seien F, G zwei OX -Modulgarben auf X.
Sei U eine Basis der Topologie. Gibt es für jedes U ∈ U einen OX (U )-Modul-Homomorphismus
ϕU : F(U ) → G(U ) ,
und sind für U, V ∈ U mit V ⊆ U die Diagramme
(4.7.1)
F(U ) → G(U )
↓ res
↓ res
F(V ) → G(V )
kommutativ, so gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus von OX -Modulgarben
φ : F → G
mit φU = ϕU für alle U ∈ U.
55
Beweis Für eine beliebige offene Menge W ⊆ X haben wir ein Diagramm
s 7−→ (resW,U (s))
Q
res
F(W ) −−−F→
F(U )
U ∈U,U ⊆W



(ϕ )
y
y U
Q
resG
G(W ) −−−→
G(U )
U ∈U,U ⊆W
mit horizontalen Injektionen, da F und G Garben sind und die U ∈ U mit U ⊆ W eine
Überdeckung von W bilden. Wir behaupten, dass es eine Abbildung φW links gibt, die das
Diagramm kommutativ macht. Wegen der Injektivität ist diese dann eindeutig bestimmt
und ein OX (W )-Modul-Homomorphismus.
Für U1 , U2 ∈ U mit U1 , U2 ⊆ W und jedes U3 ∈ U mit U3 ⊆ U1 ∩ U2 gilt aber für s ∈ F(W ):
ϕU1 (s|U1 )|U3 = ϕU3 (s|U3 ) = ϕU2 (s|U2 )|U3
nach (4.7.1), also
ϕU1 (s|U1 )|U1 ∩U2 = ϕU2 (s|U2 )|U1 ∩U2 ,
da die U3 ∈ U mit U3 ⊆ U1 ∩ U2 eine Überdeckung von U2 ∩ U2 bilden und G eine Garbe ist.
Da G eine Garbe ist, gibt es also ein eindeutig bestimmtes t ∈ G(W ) mit
(4.7.2)
t|U = ϕU (s|U ) für alle U ∈ UW ,
und wir definieren φW (s) := t. Dann sind die so erhaltenen Abbildungen φW verträglich mit
Restriktionen für W 0 ⊆ W , und es gilt nach (4.7.2), dass φU = ϕU für U ∈ U.
Hiermit Beweis von Satz 4.6: Wir definieren eine Umkehrabbildung. Sei ein A-ModulHomomorphismus ψ : M → F (X) gegeben. Um einen OX -Modulhomomorphismus ϕ : M̃ →
F zu definieren, genügt es nach 4.7 – da (D(f ))f ∈A eine Basis der Topologie von X = Spec(A)
ist – mit Restriktionen verträgliche Af -Modulhomomorphismen
ψf : Mf = M̃ (D(f )) → F (D(f ))
zu definieren. Wir haben aber Homomorphismen von A-Moduln
ψ
M
/ F(X)
res
²
F(D(f )) ,
und da F(D(f )) ein Af -Modul ist, ist die Multiplikation mit f ein Isomorphismus hierauf.
Nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung existiert also genau ein Af -Modulhomomorphismus ψf : Mf → F (D(f )) der
M
ψ
/ F(X)
can
res
²
Mf
ψf
²
/ F(D(f ))
56
kommutativ macht. Wegen der Eindeutigkeit sind diese ψf mit Restriktionen für D(f ) ⊇
D(g) = D(f g) verträglich. Wir erhalten also ϕ : M̃ → F wie gewünscht, welches auf ψ
abgebildet wird. Weiter ist ϕ eindeutig durch ψ bestimmt, da die ψf eindeutig sind.
Beweis von Satz 4.5 Sei X ein Schema, F ein quasi-kohärenter OX -Modul und U =
Spec(A) ein affines offenes Unterschema von X.
Behauptung: F|U ist quasi-kohärenter OU -Modul.
Beweis: Sei x ∈ U . Nach Voraussetzung gibt es eine affine offene Umgebung V = Spec(B) ⊆
X von x und einen B-Modul N , so dass
F|V ∼
= Ñ
(4.5.1)
als OV -Modul. Da U ∩ V eine offene Umgebung von x ist, gibt es ein g ∈ B mit
x ∈ D(g) = DB (g) ⊆ U ∩ V ⊆ V = Spec(B) .
Aus (4.5.1) folgt
(4.5.2)
F|D(g) ∼
= Ñg
auf D(g) = Spec(Bg )
für den Bg -Modul Ng , denn es ist F(D(g)) = Ng nach (4.5.1) und 4.3 (b), und für h ∈ B
mit D(h) ⊆ D(g) gilt
F(D(h)) = Nh = (Ng )h ,
und dies ist verträglich mit Restriktionen. Da die D(h) mit h ∈ B und D(h) ⊆ D(g) eine
Basis der Topologie für D(g) bilden, folgt mit Lemma 4.7 die Isomorphie (4.5.2).
Wir haben also eine affine offene Umgebung D(g) = Spec(Bg ) ⊆ U von x gefunden und den
Bg -Modul Ng , so dass
(F|U )|D(g) = F|D(g) ∼
= Ñg
als OD(g) - Modul. Da x ∈ U beliebig war, folgt die Behauptung.
Für Satz 4.5 genügt also, das Folgende zu zeigen:
Lemma 4.8 Ist X = Spec(A) ein affines Schema und F ein quasi-kohärenter OX -Modul, so
gibt es einen kanonischen Isomorphismus von OX -Moduln
F ∼
= M̃
für den A-Modul M = F(X).
Hierzu benutzen wir:
Lemma 4.9 Sei X = Spec(A) ein affines Schema, F ein quasi-kohärenter OX -Modul und
f ∈ A.
(a) Ist s ∈ F(X) und s|D(f ) = 0, so gibt es ein m ∈ N0 mit f m s = 0 in F(X).
(b) Ist t ∈ F (D(f )), so gibt es ein n ∈ N0 und ein s ∈ F(X) mit s|D(f ) = f n t.
57
Beweis (Für (a) vergleiche auch Übungsaufgabe 9 (iii)). Nach Voraussetzung gibt es eine
Überdeckung (Ui )i∈I von X durch affine offene Unterschemata Ui = Spec(Ai ) und Ai -Moduln
Mi , so dass
F|Ui ∼
= M̃i
als OUi -Modul. Sei x ∈ Ui . Dann gibt es ein g ∈ A mit D(g) = Spec(Ag ) ⊆ Ui = Spec(Ai ).
Sei Ai → Ag der zugehörige Ringhomomorphismus.
Behauptung: Es gilt F|D(g) ∼
= (Mi,g )∼ für den Ag -Modul Mi,g = Mi ⊗Ai Ag .
Beweis: Für jedes h ∈ Ai mit DAi (h) ⊆ D(g) folgt aus den Inklusionen
DAi (h) ⊆ D(g) ⊆ Spec(Ai )
DAi (h) = DAg (h0 ) und (Ai )h = (Ag )h0 mit h0 = Bild von h unter Ai → Ag . Es folgt dann
(4.8.1)
F(DAg (h0 )) = F(DAi (h)) = (Mi )h ∼
= Mi ⊗Ai (Ai )hi
∼
= (Mi,g )h0 .
= (Mi ⊗Ai Ag ) ⊗Ag (Ag )h0 ∼
Die DAi (h) mit DAi (h) ⊆ D(g) bilden eine Basis der Topologie von D(g), und die Isomorphismen (4.8.1) sind verträglich mit Restriktionen. Mit Lemma 4.7 folgt also die gewünschte
Isomorphie in der Behauptung.
Wir erhalten also eine Überdeckung (D(gj ))j∈J von X = Spec(A) mit gj ∈ A und Agj Moduln Mj mit
F|Dgj ∼
= M̃j
Wegen der Quasikompaktheit von X können wir annehmen, dass die Überdeckung endlich
ist.
(a): Sei s ∈ F(X) und s|D(f ) = 0. Sei sj = s|D(gj ) ∈ F(D(gj )) = Mj . Es ist D(gj ) ∩ D(f ) =
D(gj f ) = Spec((Agj )f ) und
F|D(gj f ) = M̃j (D(gj f )) = (Mj )f .
Wegen
0 = s|D(gj f ) ∈ (Mj )f
gibt es ein nj ∈ N mit f nj sj = 0. Wegen der Endlichkeit von J gibt es also ein n ∈ N mit
f n s|D(gj ) = 0 für alle j ,
also f n s = 0, da F eine Garbe und (D(gj )) eine Überdeckung ist.
(b): Sei t ∈ D(f ) und
tj = t|D(f )∩D(gj ) ∈ (Mj )f
(j ∈ J) .
Damit gibt es s0j ∈ Mj und ein m ∈ N (wegen der Endlichkeit von J) mit
tj =
s0j
fm
für alle j ∈ J ,
also ein n ∈ N und sj ∈ Mj mit
sj |D(f gj ) = f n tj
für alle j ∈ J .
58
Wegen
si |D(f gi gj ) − sj |D(f gi gj ) = f n t|D(f gi gj ) − f n tj |D(f gi gj ) = (f n t − f n t)|D(f gi gj ) = 0
für alle i, j gibt es nach (a) ein r ∈ N mit
f r si |D(gi gj ) − f r sj |D(gi gj ) = 0 für alle i, j .
Nach der Garbeneigenschaft gibt es also einen Schnitt s ∈ F(X) mit
s|D(gi ) = f r si
für alle i ,
also mit
s|D(f ) = f n+r t .
Damit haben wir Lemma 4.9 bewiesen.
Damit Beweis von Lemma 4.8: Sei F quasi-kompakt auf X = Spec(A). Sei M = F(X)
und
ϕ : M̃ → F
der Morphismus, der nach Satz 4.6 zu id : M → F (X) assoziiert ist. Für jedes f ∈ A folgt
aus Lemma 4.9, dass der Af -Modul Homomorphismus
ϕD(f ) : Mf → F (D(f ))
ein Isomorphismus ist: Aus 4.9 (a) folgt die Injektivität (für fsn ∈ Mf mit s ∈ M = F(X)
und ϕD(f ) ( fsn ) = 0 gilt s|D(f ) = 0, also f m s = 0 für ein m ∈ N0 , also fsn = 0), und aus 4.9
(b) folgt die Surjektivität (für t ∈ F (D(f )) gibt es ein n ∈ N0 und ein s ∈ F(X) = M mit
s|D(f ) = f n t; es ist also ϕD(f ) ( fsn ) = t).
Da die D(f ) eine Basis der Topologie bilden, ist ϕ ein Isomorphismus (betrachte z.B. die
Halme), und wie haben 4.9 (und damit 4.5) bewiesen.
Wir notieren noch:
Corollar 4.10 Sei X = Spec(A) ein affines Schema. Für A-Moduln M und N ist die
Abbildung
∼
HomOX (M̃ , Ñ ) → HomA (M, N )
(Übergang zu den globalen Schnitten M = M̃ (X) und N = Ñ (X)) ein Isomorphismus.
Dies folgt aus Satz 4.6 für F = Ñ . Aus 4.8 und 4.10 folgt
Corollar 4.11 Für ein affines Schema X = Spec(A) sind die Funktoren
µ
quasi-kohärente
OX -Moduln
¶
∼
→
∼
A-Moduln
←
F →
7
F (X)
p
M̃ ← M
zueinander quasi-inverse Kategorienäquivalenzen.
59
(
)
Lemma 4.12 Sei A ein Ring. Eine Sequenz
β
α
(4.12.1)
M1 → M2 → M3
von A-Moduln ist genau dann ein Komplex (βα = 0) bzw. exakt (im(α) = ker(β)), wenn
dies für die assoziierte Sequenz
β̃
α̃
(4.12.2)
M̃1 → M̃2 → M̃3
von (quasi-kohärenten) OX -Moduln auf dem affinen Schema X = Spec(A) gilt.
Beweis Die zu (4.12.2) assoziierte Sequenz der Halme bei p ∈ Spec(A) identifiziert sich nach
4.3 (c) mit der Sequenz
αp
(4.12.3)
βp
(M1 )p → (M2 )p → (M3 )p
der Lokalisierungen von (4.12.1) nach p. Nach 3.4 ist also β̃ α̃ = 0 genau dann, wenn βp αp = 0
für alle p, und dies bedeutet wiederum βα = 0, da M3 ,→ π(M3 )p injektiv ist. Ebenso gilt
im α̃ = ker β̃ genau dann, wenn im αp = ker βp für alle p ∈ Spec(A), und dies gilt genau
dann wenn (ker β/im α)p = 0 für alle p, d.h., wenn im α = ker β.
Corollar 4.13 Für einen Morphismus von A-Moduln
ψ
M →N
und den assoziierten Morphismus
ψ̃
M̃ → Ñ
von OX -Moduln (X = Spec(A)) gilt
ker ψ̃ = (ker ψ)∼ ,
im ψ̃ = (im ψ)∼ ,
coker ψ̃ = (coker ψ)∼
Beweis Nach 4.12 sind mit π : M ³ im ψ, i : im ψ ,→ N die Sequenzen
π̃
0 → (ker ψ)∼ → M̃ →
ĩ
0 → (im ψ)∼ → Ñ
(im ψ)∼
→0
→ (coker ψ)∼ → 0
exakt, wobei iπ = ψ und ĩπ̃ = ψ̃.
Corollar 4.14 Ist X ein Schema und
ϕ: F →G
ein Morphismus von quasi-kohärenten OX -Moduln, so sind ker ϕ, im ϕ und coker ϕ quasikohärent.
Beweis Sei U = Spec(A) ⊆ X affin offen. Dann gibt es A-Moduln M und N und einen
Morphismus ψ : M → N von A-Moduln, so dass man
ϕ|U : F|U → G|U
60
mit ψ̃ : M̃ → Ñ identifizieren kann. Es ist also (ker ϕ)|U = ker ϕ|U ∼
= ker ψ̃ ∼
= (ker ψ)∼ nach
4.13. Also ist ker ϕ quasi-kohärent. Entsprechend folgen die Behauptungen für im ϕ und
coker ϕ.
Bemerkungen 4.15 Dies bedeutet, dass die quasi-kohärenten OX -Moduln ebenfalls eine
abelsche Kategorie bilden.
61
5
Tensorprodukte, Pushforwards und Pullbacks von
OX -Moduln
Wir studieren nun, wie sich verschiedene Konstruktionen für Moduln – insbesondere Tensorprodukte, Skalarrestriktionen und Skalarerweiterungen – auf OX -Moduln erweitern.
Definition 5.1 Sei X ein topologischer Raum und R eine Prägarbe von Ringen auf X.
(a) Es ist analog zu 4.1 definiert, was eine R-Modul-Prägarbe auf X ist: eine abelsche
Prägarbe P zusammen mit Abbildungen
R(U ) × P(U ) → P(U )
für jedes offene U ⊆ X, die P(U ) zu einem R(U )-Modul machen und mit Restriktionen
verträglich sind. Ein Morphismus ϕ : P → P 0 von R-Modul-Prägarben ist ein Morphismus
von abelschen Prägarben derart, dass P(U ) → P 0 (U ) für alle offenen U ⊆ X ein R(U )Modulhomomorphismus ist.
(b) Das Prägarben-Tensorprodukt P ⊗PR Q von zwei R-Modul-Prägarben P und Q ist die
durch
(P ⊗PR Q)(U ) := P(U ) ⊗R(U ) Q(U )
(U ⊆ X offen) und die offensichtlichen Restriktionen definierte R-Modul-Prägarbe.
Lemma 5.2 Für den Halm bei x ∈ X hat man einen kanonischen Isomorphismus
(5.2.1)
(P ⊗PR Q)x ∼
= Px ⊗Rx Qx .
Beweis: Für jede offene Umgebung U von x hat man kanonische Abbildungen
P(U ) ⊗R(U ) Q(U ) → Px ⊗Rx Qx
P(U ) ⊗R(U ) Q(U ) → (P ⊗R Q)x .
Diese induzieren Abbildungen in beide Richtungen (!) von (5.2.1), die zueinander invers sind
(Übungsaufgabe!).
Definition 5.3 Sei (X, OX ) ein Schema (oder ein geringter Raum). Für zwei OX -Moduln
F und G definiert man ihr Tensorprodukt als
F ⊗OX G := (F ⊗POX G)+
(die assoziierte Garbe zum Prägarben-Tensorprodukt).
Nach dem folgenden Lemma ist dies wieder ein OX -Modul.
Lemma 5.4 Sei R eine Prägarbe von Ringen.
(a) R+ ist in kanonischer Weise eine Ringgarbe.
(b) Ist P eine R-Modul-Prägarbe, so ist P + in kanonischer Weise eine R+ -Modulgarbe.
62
(c) Sind P und Q zwei R-Modul-Prägarben, so ist
P + ⊗R+ Q+ ∼
= (P ⊗PR Q)+ .
Beweis (a) und (b) folgen zum Beispiel aus der expliziten Konstruktion der assoziierten
Garben.
(c): Der offensichtliche Morphismus von Prägarben
P ⊗PR Q → P + ⊗PR+ Q+
induziert einen Morphismus von Garben
(P ⊗PR Q)+ → (P + ⊗PR+ Q+ )+
(= P + ⊗R+ Q+ ) .
Dieser induziert für alle x ∈ X einen Isomorphismus
Px ⊗Rx Qx → (P + )x ⊗(R+ )x (Q+ )x
und ist also selbst ein Isomorphismus.
Lemma 5.5 Für x ∈ X ist kanonisch
(F ⊗OX G)x ∼
= Fx ⊗OX,x Gx .
Beweis: Dies folgt sofort aus Lemma 5.2 und der Tatsache, dass eine Prägarbe P und ihre
assoziierte Garbe P + dieselben Halme haben.
Bemerkung 5.6 Sei OX eine Ringgarbe und seien F, G, H drei OX -Moduln. Um einen
Morphismus
(5.6.1)
F ⊗OX G → H
von OX -Moduln zu geben, genügt es, für alle offenen U ⊆ X OX (U )-Modulhomomorphismen
(5.6.2)
F(U ) ⊗OX (U ) G(U ) → H(U )
zu geben, die mit den Restriktionen verträglich sind. Diese definieren nämlich
F ⊗POX G → H ,
(5.6.3)
und die universelle Eigenschaft der assoziierten Garbe ergibt dann (5.6.1). Diese Beschreibung durch die Morphismen (5.6.2) nennt man auch eine “Beschreibung auf den lokalen
Schnitten”.
Bemerkungen 5.7 (a) Es folgt leicht, dass für das Tensorprodukt von Prägarben und
Garben “die üblichen Regeln” gelten. Zum Beispiel gilt für OX -Moduln F, G und H, dass
man folgende kanonische Isomorphismen von OX -Moduln hat:
(a) F ⊗O G ∼
= G ⊗O F.
X
X
63
(b) (F ⊗OX G) ⊗OX H ∼
= F ⊗OX (G ⊗OX H).
(c) F ⊗O OX ∼
= F.
X
(b) Weiter hat man den Begriff einer OX -Algebra A, und eine solche entspricht einem Morphismus von Ringgarben OX → A.
(c) Ist A → B ein Morphismus von Ringgarben, so ist B insbesondere ein A-Modul, und für
jeden A-Modul F ist F ⊗A B in kanonischer Weise ein B-Modul.
Wir definieren nun eine OX -Modul-Analogon der Hom-Garbe Hom(F, G) für abelsche Garben auf X (siehe 0.9).
Lemma/Definition 5.8 Sei (X, OX ) ein Schema (oder geringter Raum), und seien F, G
OX -Moduln. Definiere die Hom-Garbe von OX -Moduln durch
HomOX (F, G)(U ) = HomOU (F|U , G|U )
und die offensichtliche Restriktionen. Dies ist eine OX -Modulgarbe.
Beweis der letzten Behauptung: selbst!
Satz 5.9 (1. Adjunktionssatz) Für OX -Moduln F, G und H hat man einen kanonischen
Isomorphismus von Γ(X, OX )-Moduln
HomOX (F ⊗OX G, H) ∼
= HomOX (F, HomOX (G, H)) .
Dieser ist funktoriell in F, G und H.
Beweis Zunächst hat man für eine Ring-Prägarbe R und R-Modul-Prägarben P, Q und S
einen kanonischen Isomorphismus von R(X)-Moduln
HomR (P ⊗PR Q, S) ∼
= HomR (P, HomR (Q, S)) .
wobei HomR genau wie in 4.18 definiert ist.
Dies folgt sofort aus dem entsprechenden Resultat für Moduln über einem Ring (Alg. Geo.
I Satz 1.A.7). Die Behauptung von 5.9 folgt durch Anwendung auf OX , F, G und H und die
universelle Eigenschaft der assoziierten Garbe zu F ⊗POX G.
Proposition 5.10 Sei X = Spec(A) ein affines Schema. Für A-Moduln M und N gibt es
einen kanonischen Isomorphismus
M̃ ⊗OX Ñ ∼
= (M ⊗A N )∼ .
Beweis Für p ∈ Spec(A) und f ∈ A hat man kanonische Isomorphismen
(5.10.1)
Mp ⊗Ap Np ∼
= (M ⊗A N )p
(5.10.2)
Mf ⊗Af Nf ∼
= (M ⊗A N )f
64
(Übungsaufgabe!). Nach Konstruktion der Garbe M̃ zu einem A-Modul M erhält man
hieraus sofort Abbildungen
M̃ (U ) ⊗OX (U ) Ñ (U ) → (M ⊗A N )∼ (U )
für alle offenen U ⊆ X, die mit Restriktionen verträglich sind. Dies liefert den gewünschten
Morphismus
M̃ ⊗OX Ñ → (M ⊗A N )∼ ,
der wegen (5.10.1) Isomorphismen in allen Halmen induziert, also ein Isomorphismus ist.
Corollar 5.11 Sind F und G quasi-kohärente OX -Moduln, so auch F ⊗OX G.
Wir kommen nun zur Funktorialität. Sei
f :X→Y
ein Morphismus von Schemata (oder geringten Räumen). Ist F ein OX -Modul , so sieht
man sofort, dass f∗ F in kanonischer Weise ein f∗ OX -Modul ist. Durch den Morphismus von
Ringgarben
f ] : O Y → f∗ O X
wird f∗ F somit auch in kanonischer Weise zu einem OY -Modul; explizit haben wir für V ⊆ Y
offen:
OX (f −1 (V )) × F (f −1 (V )) −→ F (f −1 (V ))
q
f∗ OX (V )
fV]
q
×
f∗ F(V )
q
−→
f ∗ F(V )
↑
OY (V ) .
Im Folgenden meinen wir immer diese OY -Modul-Struktur von f∗ F.
Proposition 5.12 Sei f : X = Spec(A) → Y = Spec(B) ein Morphismus von affinen
Schemata und B → A der zugehörige Ringhomomorphismus. Ist M ein A-Modul und MB
der entsprechende B-Modul (Restriktion der Skalare via B → A), so gilt kanonisch
f∗ M̃ = (MB )∼ .
Beweis: Sei
ϕ : (MB )∼ → f∗ (M̃ )
der Morphismus von OY -Moduln, der nach Satz 4.6 dem B-Modul-Homomorphismus
idM : MB → M = M̃ (X) = (f∗ M̃ )(Y )
entspricht. Für g ∈ B und D(g) ⊆ Y = Spec(B) ist
(f∗ M̃ )(D(g)) = M̃ (f −1 (D(g))) = M̃ (D(g 0 )) = Mg0 ,
65
wobei g 0 das Bild von g unter B → A ist, und nach Konstruktion von ϕ ist das Diagramm
MB
id
/ (f M̃ )(Y ) = M
∗
res
res
²
²
/ M̃ (D(g 0 )) = M 0
g
M̃B (D(g)) = (MB )g
kommutativ. Nach Definition ist (MB )g = Mg0 , und damit ist die untere Abbildung ein
Isomorphismus. Da die D(g) eine Basis der Topologie bilden, ist ϕ ein Isomorphismus.
Wir betrachten nun Pullbacks. Sei weiterhin
f :X→Y
ein Morphismus von Schemata.
Lemma 5.13 f −1 OY ist eine Ringgarbe auf X.
Beweis Wir bemerken zunächst, dass f P OY eine Prägarbe von Ringen auf X ist. Denn für
U ⊆ X offen und V ⊆ Y offen mit f (U ) ⊆ V haben wir nach Definition eine Ringstruktur
auf OY (V ), und damit auch auf
f P OY (U ) = lim OY (V ) ,
→
V
wobei der induktive Limes über alle V ⊆ Y offen mit f (U ) ⊆ V geht. Dies ist wiederum
verträglich mit Restriktionen in U , und macht so f P OY zu einer Prägarbe von Ringen. Nach
Lemma 5.4 (a) ist dann die assoziierte Garbe f −1 OY eine Ringgarbe.
5.14 Nun sei G ein OY -Modul. Dann ist das Urbild f −1 G ein f −1 OY -Modul: Zunächst ist
offenbar f P G ein f P OY -Modul – denn für U ⊆ X offen und jedes V ⊆ Y offen mit f (U ) ⊆ V
haben wir nach Voraussetzung die Abbildung
OY (V ) × G(V ) → G(V ) ,
die G(V ) zu einem OY (V )-Modul macht. Dies ist verträglich mit Restriktionen, und durch
Übergang zum induktiven Limes über alle solchen V (offen in Y mit f (f (U ) ⊆ V ) erhalten
wir eine wohldefinierte Abbildung
f P OY (U ) × f P G(U ) → f P G(U ) ,
die f P G(U ) zu einem f P OY (U )-Modul machen. Dies ist verträglich mit Restriktionen in U
und macht f P G zu einem f P OY -Modul. Nach Lemma 5.4 (b) wird dadurch f −1 G = (f P G)+
kanonisch zu einem f −1 OY = (f P OY )+ -Modul.
5.15 Nach Definition liefert der Morphismus von Schemata f : X → Y einen Morphismus
von Ringgarben
(5.15.1)
f ] : OY → f∗ OX .
66
Weiter gibt der Adjunktionssatz 3.15 einen kanonischen Isomorphismus
(5.15.2)
HomGar(X) (f −1 OY , OX ) ∼
= HomGar(Y ) (OY , f∗ OX ) .
Zu (5.15.1) gehört also ein kanonischer Garbenmorphismus
(5.15.3)
f −1 OY → OX .
Lemma 5.16 Dies ist ein Morphismus von Ringgarben auf X.
Beweis Dies folgt sofort aus der Konstruktion im Adjunktionssatz, da f ] ein Morphismus
von Ringgarben ist.
Wir können nun dem OY -Modul G den folgenden OX -Modul zuordnen.
Lemma/Definition 5.17 Für jeden OY -Modul G setze
f ∗ G := f −1 G ⊗f −1 OY OX .
Dies ist in kanonischer Weise ein OX -Modul und sei zur Unterscheidung von f −1 G auch als
Modul-Urbild (oder -Pullback) bezeichnet.
Die Behauptung folgt aus Bemerkung 5.7 (c).
Satz 5.18 (2. Adjunktionssatz) Für jeden OX -Modul F und jeden OY -Modul G hat man
einen kanonischen Isomorphismus
(5.18.1)
HomOX (f ∗ G, F) ∼
= HomOY (G, f∗ F) .
Dieser ist funktoriell in F und G, d.h., f ∗ ist linksadjungiert zu f∗ .
Beweis: Nach dem Adjunktionssatz 3.15 haben wir einen Isomorphismus, funktoriell in F
und G,
HomGar(X) (f −1 G, F) ∼
= HomGar(Y ) (G, f∗ F) .
Man sieht leicht an der Konstruktion – und der Adjunktion (5.15.1) – dass dies einen Isomorphismus
(5.18.2)
Homf −1 OY (f −1 G, F) ∼
= HomOY (G, f∗ F)
induziert, wobei links F ein f −1 OY -Modul via f −1 OY → OX wird. Nach dem folgenden
Lemma ist die linke Seite aber kanonisch und bifunktoriell isomorph zur linken Seite von
(5.18.1).
Lemma 5.19 Sei A → B ein Morphismus von Ringgarben, sei K ein A-Modul und L ein
B-Modul. Dann hat man einen kanonischen Isomorphismus
(5.19.1)
HomB (K ⊗A B, L) ∼
= HomA (K, LA )
(wobei rechts LA bedeutet, dass L via A → B als A-Modul aufgefasst wird). Die ist funktoriell in K und L, d.h., die ‘Skalarerweiterung’ K 7→ K ⊗A B ist linksadjungiert zur ‘Skalarrestriktion’ L 7→ LA .
67
Beweis Das analoge Resultat für einen Ringhomomorphismus A → B sowie A-Moduln K
und B-Moduln L ist bekannt: Man hat einen kanonischen Isomorphismus
HomB (K ⊗A B, L) ∼
= HomA (K, LA )
(5.19.2)
(siehe die universelle Eigenschaft Alg. Geo. I 1.A.9 (b)). Hieraus erhält man in unserer
Situation sofort eine Adjunktion für die Prägarben
HomB (K⊗PB , L) ∼
= HomA (K, LA ) .
(5.19.3)
Wegen K ⊗A B = (K ⊗PA B)+ erhält man mit der universellen Eigenschaft der assoziierten
Garbe sofort eine Bijektion der linken Seiten von (5.19.3) und (5.19.1).
Wir studieren nun wieder des affinen Fall.
Proposition 5.20 Sei f : X = Spec(A) → Y = Spec(B) ein Morphismus affiner Schemata,
und sei N ein B-Modul. Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von OX -Moduln
f ∗ Ñ ∼
= (N ⊗B A)∼ .
Beweis Wir haben A = OX (X) und kanonische Abbildungen
B = OY (Y ) → (f −1 OY )(X)
N =
Ñ (Y )
→
(f −1 Ñ )(X)
(von Ringen)
(von B-Moduln).
Diese geben einen kanonischen Morphismus von B-Moduln
N ⊗B A → (f −1 Ñ )(X) ⊗f −1 (OY )(X) OX (X) → (f −1 Ñ ⊗f −1 OY OX )(X) ,
der nach Satz 4.6 einen Morphismus
(N ⊗B A)∼ → f −1 Ñ ⊗f −1 OY OX = f ∗ Ñ
von OX -Moduln induziert. Dieser liefert Isomorphismen auf den Halmen: Für p ∈ X =
Spec(A) mit q = f (p) = ϕ−1 (p) ∈ Spec(B) (ϕ : B → A der zu f gehörige Ringhomomorphismus) ist die Halmabbildung der Isomorphismus
∼
(N ⊗B A)p −→ Nq ⊗Bq Ap
n ⊗ a 7−→ n ⊗ a
s
1 s
(für n ∈ N, a ∈ A, s ∈ A r p). Die Umkehrabbildung ist bestimmt durch
n⊗a
n a
←p ⊗ .
ts
t
s
Lemma 5.21 (a) Ist j : U ,→ X die Inklusion eines offenen Unterschemas, und ist F ein
OX -Modul, so ist j −1 F = F|U = j ∗ F.
68
f
g
(b) Sind X → Y → Z zwei Schema-Morphismen und ist H ein OZ -Modul, so ist kanonisch
(gf )−1 H ∼
= f −1 (g −1 H)
(gf )∗ H ∼
= f ∗ (g ∗ H) .
Beweis (a): Die erste Behauptung ist einfach (siehe Übungsaufgabe 17), und hiermit folgt
j ∗ F = j −1 F ⊗j −1 OX OU = F|U ⊗OU OU = F|U .
(b) 1. Beweis: Die Behauptungen können aus der entsprechenden Beziehung (gf )P H ∼
=
f P (g P H) für eine Prägarbe abgeleitet werden.
2. Beweis: Es ist (gf )∗ = g∗ f∗ . Hieraus folgt nun ganz allgemein eine Isomorphie (gf )∗ = f ∗ g ∗
für die Linksadjungierten, weil letztere bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind, wenn
sie existieren.
Corollar 5.22 Ist f : X → Y ein Morphismus von Schemata und G ein quasi-kohärenter
OY -Modul, so ist f ∗ G quasi-kohärenter OX -Modul.
Beweis Sei x ∈ X und y = f (x) ∈ Y . Dann gibt es eine affine offene Umgebung V =
Spec(B) ⊆ Y von y und einen B-Modul N mit
G|V ∼
= Ñ
als OV -Modul. Ist nun U = Spec(A) ⊆ f −1 (V ) eine affine offene Umgebung von x, so
erhalten wir mit der Einschränkung f 0 = f |U : U → V von f ein kommutatives Diagramm
U
f0
Â Ä j0 /
X
² ÂÄ
V
j
²
f
/Y
und nach Lemma 5.21
(f ∗ G)|U = (j 0 )∗ f ∗ G
5.21(b)
5.20
= (f 0 )∗ j ∗ G = (f 0 )∗ (G|V ) = (f 0 )∗ Ñ = (N ⊗B A)∼ .
Dies zeigt die Behauptung.
69
5.A Direkte Bilder von quasi-kohärenten OX -Moduln
Während Tensorprodukte und Modul-Urbilder (Pull-backs) von quasi-kohärenten Moduln wieder quasikohärent sind (Corollar 5.11 und Corollar 5.22), ist dies für direkte Bilder (Push-forwards) im Allgemeinen
falsch. Wir werden aber in diesem Abschnitt zeigen, dass es unter verhältnismäßig schwachen Bedingungen
gilt.
Definition 5.A.1 (a) Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt quasi-separiert, wenn der Diagonalmorphismus
∆ = (id, id) : X → X ×y X
(charakterisiert dadurch, dass pr1 ◦ ∆ = idX und pr2 ◦ ∆ = idX ) quasi-kompakt ist.
(b) Ein Schema X heißt quasi-separiert, wenn der kanonische Morphismus X → Spec(Z) quasi-separiert
ist.
Bemerkungen 5.A.2 (a) Ist X noethersch, so ist jede offene Teilmenge U ⊆ X quasi-kompakt (Proposition
2.19). Dann ist also jeder Morphismus f : X → Y quasi-kompakt und quasi-separiert; insbesondere ist X
quasi-separiert.
(b) Jeder Morphismus f : Spec(A) → Spec(B) von affinen Schemata ist quasi-kompakt. Denn jede quasikompakte offene Menge V ⊆ Spec(B) ist endliche Vereinigung von Standard-offenen Mengen D(g1 ), . . . , D(gn )
mit gi ∈ B, und ist fi das Bild von gi unter B → A, so ist f −1 (D(gi )) = D(fi ) ⊆ Spec(A) ein affines Schema,
also quasi-kompakt.
(c) Es folgt, dass jedes affine Schema quasi-separiert ist. Denn für X = Spec(A) ist
X ×Spec(Z) X = Spec(A ⊗Z A) ,
also affin.
Lemma 5.A.3 Sei f : X → Y ein Morphismus und seien U, V ⊆ X offen. Dann ist U ∩ V das Urbild von
U ×Y V ⊆ X ×Y X unter
∆ : X → X ×Y X .
Beweis Im kommutativen Diagramm
U ×YÄ _ V
ÂÄ
/ X ×YÄ V
_
j2
²
U ×Y X
ÂÄ
j1
²
/ X ×Y X
pr10
pr1
² ÂÄ
U
² ~
/X
ist nach Lemma 1.10
U ×Y V = (pr10 )−1 (U ) = j2−1 (pr1−1 (U )) = j2−1 (U ×Y X) = (U ×Y X) ∩ (X ×Y V ) ,
und es ist offenbar ∆−1 (U ×Y X) = U und ∆−1 (X ×Y V ) = V .
Corollar 5.A.4 Sei X quasi-separiert und seien U, V ⊆ X zwei quasi-kompakte offene Teilmengen. Dann
ist auch U ∩ V quasi-kompakt.
Beweis Da U und V jeweils endliche Vereinigung von affinen offenen Teilmengen sind, seien ohne Einschränkung U und V affin. Dann ist U ×Z V := U ×Spec(Z) V wieder affin, also quasi-kompakt, also gilt dies
auch für U ∩ V , denn dies ist nach 5.A.3 Urbild von U ×Z V unter dem Morphismus
∆ : X → X ×Z X ,
70
der nach Voraussetzung quasi-kompakt ist.
Proposition 5.A.5 Sei X ein quasi-kompaktes und quasi-separiertes Schema. Für jeden quasi-kohärenten
OX -Modul und jedes f ∈ OX (X) ist dann der kanonische Morphismus
γ : F(X)f = F(X) ×OX (X) OX (X)f → F(X(f ))
ein Isomorphismus.
Beweis Da X quasi-kompakt ist, gibt es eine endliche affine offene Überdeckung (Ui )i∈I von X. Sei Vi =
X(f ) ∩ Ui = DUi (f |Ui ). Da F eine Garbe ist, erhalten wir ein kommutatives Diagramm
0
/ F(X(f ))
O
/ ⊕i F(Vi )
O
γ
0
/ F(X)f
/ ⊕i,j F(Vi ∩ Vj )
O
o γ2
/ ⊕ F(Ui )f
i
γ3
/ ⊕i,j F(Ui ∩ Uj )f
mit exakten Zeilen (Für die untere Zeile beachte man, dass die Lokalisierung nach f ein exakter Funktor ist,
siehe Alg. Geo. I, 3.A.10). Da F quasi-kohärent ist und Ui affin, gilt
F|Ui ∼
= F(Ui )∼ ,
also ist γ2 ein Isomorphismus. Hieraus folgt die Injektivität von γ.
Da X quasi-separiert ist, sind nach 5.A.4 auch alle Ui ∩ Uj quasi-kompakt; nach dem eben Bewiesenen ist
also auch γ3 injektiv. Zusammen mit der Bijektivität von γ2 folgt nun leicht die Surjektivität von γ aus einer
Diagrammjagd.
Satz 5.A.6 Sei f : X → Y ein quasi-kompakter und quasi-separierter Morphismus von Schemata. Für jeden
quasi-kohärenten OX -Modul F auf X ist dann f∗ F wieder quasi-kohärent.
Beweis Sei V ⊆ Y affin offen. Wir haben zu zeigen, dass f∗ F|V ∼
= M̃ für M = (f∗ F)(V ). Ist U = f −1 (V )
und
f0 : U → V
der induzierte Morphismus, so ist offenbar
(f∗ F)|V = f∗0 (F|V ) ,
und f 0 ist wieder quasi-kompakt (klar) und quasi-separiert, da
∆U : U → U × V U
die Einschränkung von ∆ : X → X ×Y X ist, also wieder quasi-kompakt.
Wir können also annehmen, dass Y = Spec(B) affin ist. Dann ist X quasi-kompakt und quasi-separiert: Die
erste Aussage ist klar. Für die zweite sei (Ui )i∈I eine affine offene Überdeckung von X. Dann ist (Ui ×Z Uj )i,j
eine affine offene Überdeckung von X ×Z X, und es genügt zu zeigen, dass für
∆Z : X → X × Z X
und beliebige i, j die Menge ∆−1
Z (Ui ×Z Uj ) quasi-kompakt ist. Aber nach Lemma 5.A.3 ist diese Menge
gleich Ui ∩ Uj und auch wieder gleich ∆−1 (Ui ×Y Uj ), welches nach Voraussetzung an ∆ quasi-kompakt ist.
Sei g ∈ OY (Y ) und f ∈ OX (X) das Bild von g. Nach Proposition 5.A.5 erhalten wir Isomorphismen
(f∗ F)(D(g)) = F(f −1 (D(g))) = F(X(f )) ∼
= F(X)f = (F(X)B )g .
Dies gilt für alle g und ist mit Restriktionen verträglich, mit Lemma 4.7 erhalten wir aber einen Isomorphismus
f∗ F ∼
= (F(X)B )∼
und damit die Quasi-Kohärenz von f∗ F.
71
6
Abgeschlossene Unterschemata
In diesem Abschnitt definieren wir, was abgeschlossene Unterschemata eines Schemas X
sind, und zeigen, dass diese in Bijektion zu den quasi-kohärenten Idealgarben J ⊆ OX
stehen. Allgemeiner definieren wir:
Definition 6.1 Ein Morphismus i : Y → X von Schemata heißt abgeschlossene Immersion, wenn gilt:
(i) i(Y ) ist abgeschlossen in X.
(ii) Die stetige Abbildung i : Y → i(Y ) ist ein Homöomorphismus.
(iii) Der Morphismus von Ringgarben OX → i∗ OY ist ein Epimorphismus.
Eine abgeschlossene Immersion i : Y → X heißt abgeschlossenes Unterschema, wenn Y
eine abgeschlossene Teilmenge von X ist und i : Y ,→ X die Inklusion.
Beispiel 6.2 Sei A ein Ring und a ⊆ A ein Ideal. Der Ringhomomorphismus ϕ : A → A/a
induziert einen Schemahomomorphismus
i = ia : Y = Spec(A/a) → Spec(A) = X .
Dieser ist eine abgeschlossene Immersion:
Die unterliegende stetige Abbildung ist Spec(ϕ) und hat eine Faktorisierung
(6.2.1)
ν
α
Spec(A/a) → V (a) ,→ Spec(A)
∼
mit der Inklusion ν und dem Homöomorphismus α zwischen Spec(A/a) und der abgeschlossenen Teilmenge V (a) ⊆ Spec(A). Der Morphismus
g
OSpec(A) = Ã → i∗ OSpec(A/a) = i∗ A/a
g = A/a
g aus Proposition 5.12 (wobei rechts A/a als
entspricht mittels der Isomorphie i∗ A/a
A-Algebra aufgefasst wird) dem offensichtlichen Morphismus
g
à → A/a
von OX -Algebren. Dieser ist aber ein Epimorphismus, da A → A/a surjektiv ist (vergleiche
Corollar 4.13).
Insbesondere wird so V (a) in kanonischer Weise zu einem abgeschlossenen Unterschema,
nämlich mit der Strukturgarbe OV (a) = α∗ OSpec(A/a) , so dass (V (a), OV (a) ) via α zu Spec(A/a)
isomorph ist. Wir werden sehen, dass jedes abgeschlossene Unterschema von Spec(A) von
dieser Form ist (Corollar...).
Definition 6.3 Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt affin, wenn für jede affine
offene Teilmenge V ⊆ Y das Urbild f −1 (V ) ⊆ X wieder ein affines Schema ist.
Proposition 6.4 Jede abgeschlossene Immersion i : Y → X ist ein affiner Morphismus.
72
Beweis Sei U = Spec(A) ⊆ X affin offen und V = i−1 (U ). Dann ist der induzierte Morphismus V → U wieder eine abgeschlossene Immersion. Wir können also annehmen, dass
X = Spec(A) affin ist und haben zu zeigen, dass Y affin ist. Weiter können wir durch
die Identifizierung von Y mit i(Y ) annehmen, dass Y ⊆ X ein abgeschlossenes Unterschema ist. Sei W = Spec(C) ⊆ Y affin offen. Da Y die Relativtopologie trägt, lässt sich W
durch offene Mengen der Form D(fi ) ∩ Y mit fi ∈ A überdecken. Seien gi ∈ Γ(Y, OY ) und
hi ∈ Γ(W, OY ) = C die Bilder von fi unter
A → Γ(Y, OY ) → Γ(W, OW ) ,
so ist
D(fi ) ∩ Y = Y (gi ) = D(fi ) ∩ W = D(hi ) ,
also affin. Hierbei sei
(6.4.1)
Y (gi ) := {y ∈ Y | (gi )y ∈
/ mg }
(siehe Alg. Geo. I, Lemma 10.2, dort mit Xf bezeichnet). Durch Hinzunahme von Mengen
D(fj ) ⊆ X r Y erhalten wir eine Überdeckung von X. Dann gilt < fi , fj >= A, also auch
< gi , gj >= Γ(Y, OY ) mit gj = Bild von fj in Γ(Y, OY ) (die 1 wird dargestellt). Wegen der
Quasikompaktheit von X = Spec(A) können wir weiter annehmen, dass die Überdeckung
endlich ist. Hieraus folgt, dass Y affin ist (Übungsaufgabe 25).
Sei nun i : Y → X eine abgeschlossene Immersion. Dann ist offenbar
J := ker(OX → i∗ OY )
eine Idealgarbe in OX (oder auf X), d.h., ein OX -Untermodul von OX (d.h., für jedes
offene U ⊆ X ist J(U ) ⊆ OX (U ) ein Ideal).
Lemma 6.5 J ist quasi-kohärent.
Beweis Es genügt, zu zeigen, dass i∗ OY quasi-kohärent ist. Dann ist J nach Corollar 4.14
quasi-kohärent.
Ist nun U = Spec(A) ⊆ X affin offen, so ist nach Proposition 6.4 V = i−1 (U ) = Spec(B)
affin. Mit dem induzierten Morphismus i0 : V = Spec(B) → Spec(A) = U ist dann
fA
(i∗ OY )|U = i0∗ OV = i0∗ B̃ = B
nach Proposition 5.12. Dies zeigt die Quasi-Kohärenz von i∗ OY .
Umgekehrt gilt:
Satz 6.6 Sei X ein Schema und J ⊆ OX eine quasi-kohärente Idealgarbe. Dann gibt es ein
abgeschlossenes Unterschema i : V ,→ X mit
J = ker(i] : OX → i∗ OV ) .
V ist bis auf kanonische Isomorphie eindeutig und wird auch mit V (J) bezeichnet.
73
Vorbemerkung 6.7 (a) Sei f : X → Y eine stetige Abbildung topologischer Räume, sei F
eine Garbe auf X und G eine Garbe auf Y . Aus dem Adjunktionsisomorphimus
∼
HomGar(X) (f −1 G, F) → HomGar(Y ) (G, f∗ F)
(6.7.1)
erhält man kanonische Garbenmorphismen
(6.7.2)
ad = adG : G → f∗ f −1 G
(6.7.3)
Ad = AdF : f −1 f∗ F → F ,
die sogenannten Adjunktionsmorphismen, die funktoriell in G bzw. F sind. Für (6.7.2)
betrachte man nämlich F = f −1 G und das Bild von idf −1 G unter (6.7.1). Für (6.7.3) betrachte
G = f∗ F und das Urbild von idf∗ G unter (6.7.1). Es folgt dann aus der Funktorialität von
(6.7.1), dass (6.7.1) einen Morphismus
α : f −1 G → F
auf den Morphismus
f∗ (α)
ad
G −→ f∗ f −1 G −→ f∗ F
abbildet. Umgekehrt ist das Urbild von
β : G → f∗ F
unter (6.7.1) gleich
f −1 (β)
Ad
f −1 G −→ f −1 f∗ F −→ F .
Dies sind allgemeine Tatsachen für eine Adjunktion; siehe den Anhang 3.A.
In unserer Situation folgt aus der Konstruktion von (3.7.1) (siehe Satz 3.15), dass ad durch
die folgenden Abbildungen für V ⊆ Y offen gegeben ist:
G(V ) → (f∗ (f P G))(V ) = (f P G)(f −1 (V )) → (f −1 G)(f −1 (V )) .
Hierbei ist die erste Abbildung die kanonische in den induktiven Limes, der f P G(f −1 (V ))
definiert, und die zweite Abbildung kommt von dem Morphismus f P G → (f P G)+ = f −1 G.
Entsprechend haben wir für U ⊆ X offen und V ⊆ Y offen mit f (U ) ⊆ V Abbildungen
res
(f∗ F)(V ) = F(f −1 (V )) −→ F (U )
und durch induktiven Limes über alle solchen V
(f P f∗ F(U ) → F(U ) ,
also f P f∗ F → F , also f −1 f∗ F = (f P f∗ F)+ → F .
(b) Entsprechend erhalten wir für einen Morphismus f : X → Y von Schemata (oder geringten Räumen), für einen OX -Modul F und einen OY -Modul G Adjunktionsmorphismen
(6.7.4)
ad : G → f∗ f ∗ G
(von OY -Moduln)
74
Ad : f ∗ f∗ F → F
(6.7.5)
(von OX -Moduln)
die funktoriell in G bzw. F sind.
Beweis von Satz 6.6 Sei X ein Schema und J ⊆ OX eine quasi-kohärente Idealgarbe.
1) Als topologischer Raum sei
V := V (J) = {x ∈ X | Jx 6= OX,x }
= {x ∈ X | für alle lokalen Schnitte f von J bei x ist f (x) 6= 0}
der Träger von OX /J bzw. der Verschwindungsort der Schnitte in J. Beachte: Es ist (OX /J)x
= OX,x /Jx , und f (x) ist das Bild von f in k(x) = OX,x /mx ; dann ist Jx 6= OX,x genau dann,
wenn Jx ⊆ mx .
Dann ist V abgeschlossen in X, denn es ist V = supp(1), der Träger des Einschnitts 1 ∈
OX /J, und dieser ist abgeschlossen (Alg. Geo. I, Übungsblatt 12, Aufgabe 4 (ii)) (Oder man
zeigt direkt, dass X r V offen ist).
2) Sei i : V ,→ X die Inklusion. Dann ist V (J) = (V, i−1 (OX /J)) ein lokal geringter Raum,
und wir haben einen Morphismus von Garben
ad
i] : OX → OX /J → i∗ i−1 (OX /J) = i∗ OV .
Hierbei ist ad ein Isomorphismus, denn für x ∈ X gilt: Ist x ∈ X r V , so ist nach Definition
(OX /J)X = 0, aber es gilt auch (i∗ F)X = 0 für jede Garbe F auf V , wie man sofort sieht. Für
x ∈ V gilt andererseits (i∗ F)x ∼
= Fx und damit (i∗ i−1 (OX /J))x ∼
= (OX /J)x , und man sieht
leicht an der expliziten Beschreibung in 6.7, dass ad einen Isomorphismus in den Halmen bei
x induziert.
Wir erhalten also einen Morphismus lokal geringter Räume i : (V, OV ) → (X, OX ), wobei
i] : OX → i∗ OV
ein Epimorphismus ist. Es bleibt also zu zeigen:
3) (V, OV ) ist ein Schema.
Indem wir affine offene Mengen in X betrachten, können wir annehmen, dass X = Spec(A)
affin ist. Dann gibt es wegen der Quasi-Kohärenz von J ein Ideal a ⊆ A mit J ∼
= ã. Es ist
dann
V (J) = {x ∈ X | Jx ⊆ mx }
= {p ∈ Spec(A) | ap ⊆ pAp}
= {p ∈ Spec(A) | a ⊆ p} = V (a) .
Andererseits liefert der Ringhomomorphismus ϕ : A → A/a eine abgeschlossene Immersion
i : Y = Spec(A/a) → Spec(A) = X
mit zugehöriger Idealgarbe ã = J. Nach dem folgenden Lemma ist dann V (J) isomorph zu
Spec(A/a), also ein affines Schema.
Lemma 6.8 Ist i : Y → X eine abgeschlossene Immersion, und ist J die zugehörige Idealgarbe, so faktorisiert i kanonisch als
i:
Y
α
∼
0
/ V (J) Â Ä i / X ,
75
wobei α ein Isomorphismus und i0 der kanonische Morphismus ist.
Beweis Wir haben eine exakte Sequenz
i]
(6.8.1)
0 → J → OX → i∗ OY → 0 .
Sei y ∈ Y und x = i(y) ∈ X. Dann haben wir eine exakte Sequenz
0 → Jx → OX,x → (i∗ OY )x = OY,y → 0 ,
so dass Jx 6= OX,x ; es ist also i(Y ) ⊆ V (J). Ist umgekehrt x ∈ X r i(Y ), so ist (i∗ OY )x = 0
und daher x ∈
/ V (J). Es folgt
i(Y ) = V (J)
als abgeschlossene Teilmenge, und die stetige Abbildung i faktorisiert als
i:
Y
α
∼
/ V (J) Â
Ä i0
/X ,
mit einem Homöomorphismus α und der Inklusion i0 . Die exakte Sequenz (6.8.1) induziert
also einen Isomorphismus
∼
β : OX /J → i∗ OY = i0∗ α∗ OY .
Nach dem folgenden Lemma erhalten wir hieraus einen Isomorphismus
γ : OV (J) = (i0 )−1 OX /J
(i0 )−1 (β)
∼
/ (i0 )−1 i0 α O
∗ ∗ Y
Ad
∼
/ α∗ OY .
Dies liefert einen Isomorphismus lokal geringter Räume
(Y, OY )
α
∼
/ (V (J), α∗ OY )
∼
/ (V (J), OV (J) ) ,
dessen Komposition mit i0 : V (J) → X gleich i ist, wie aus dem folgenden kommutativen
Diagramm folgt (für die Kommutativität siehe die in 3.A bewiesenen Eigenschaften von
Adjunktionen)
OX F
(i0 )]
FF
FF
FF
FF#
#
(i0 )∗ (γ)
/ (i0 ) (i0 )−1 (O /J)
∗
X
TTTT 0 0 −1
nn7
n
T(iTT)∗T(i ) (β)
n
n
n
TTTT
nnad
n
TTT)
n
nn
/ i0 α∗ OY
6 ∗B
m
mm
m
m
mm
mmm 0
mmm (i )∗ Ad
0 −1 0
OX /J P
(i0 )∗ (i
) (i∗ α∗ OY )
5
PPP
j
j
j
j
PPPβ
jjj
PPP
jjjjad
j
PP'
j
j
jj
i]
id
0 i0∗ α∗ OY
Lemma 6.9 Ist T ein topologischer Raum und i : Z ,→ T die Inklusion einer abgeschlossenen
Teilmenge, so ist für jede Garbe F auf Z der Adjunktionsmorphismus
Ad : i−1 i∗ F → F
ein Isomorphismus.
76
Beweis Übungsaufgabe!
4) Die Eindeutigkeit von V (J) folgt mit Lemma 6.8.
Abschließend zeigen wir noch:
Satz 6.10 Sei X ein Schema und Y ⊆ X eine abgeschlossene Teilmenge. Dann gibt es eine
quasi-kohärente Idealgarbe J ⊆ OX mit V (J) = Y (als Menge). Im Allgemeinen ist J nicht
eindeutig bestimmt, aber es gibt genau eine quasi-kohärente Idealgarbe JY ⊆ OX , für die
das Schema V (JY ) reduziert ist und Y = V (JY ) als topologischer Raum. Wir nennen diese
Schemastruktur V (JY ) auf Y die reduzierte Unterschemastruktur.
Beweis Definiere JY durch
JY (U ) = {s ∈ OX (U ) | s(x) = 0 für alle x ∈ Y ∩ U }
für alle offenen U ⊆ X (s(x) das Bild von s unter OX (U ) → OX,x → k(x)). Offenbar ist
JY eine OX -Untergarbe von OX . Wir nennen JY auch das Verschwindungsideal von Y
(Idealgarben in OX werden auch einfach Ideale in OX oder OX -Ideale genannt).
JY ist quasi-kohärent: Ist U = Spec(A) ⊆ X affin offen, so ist Y ∩ U abgeschlossen in U ,
also gleich V (a) für ein Ideal a ⊆ A. Für f ∈ A ist
JY (D(f )) = { fan ∈ Af | a ∈ p für alle p ∈ D(f ) ∩ V (a)}
= { fan ∈ Af | a ∈ p für alle p ∈ V (a)}
√
= ( a)f .
Hier gilt die zweite Gleichheit, weil durch Erweitern mit
T Einschränkung auch a ∈ p
√ f ohne
für alle p ∈ V (f ) gilt, und die zweite Gleichheit, weil a =
p. Dies zeigt, dass
p∈V (a)
√
JY |U = fa
ist, also die Quasi-Kohärenz von JY . Weiter gilt V (JY ) = Y : Es ist
√
V (JY ) ∩ U = V ( a)
(Beweis von Satz 6.6, Teil 3))
= V (a) = Y ∩ U .
√
Weiter ist V (JY ) reduziert, da V (JY ) ∩ U = Spec(A/ a) als Schema; dies ist reduziert. Ist
schließlich V (JY ) = V (J) als Menge für eine weitere quasi-kohärente Idealgarbe J ⊆ OX , so
ist V (J)
√ V (a) = V (b) muss
√ ∩ U√= Spec(A/b) für das Ideal b ⊆ A mit J|U = b̃, und wegen
gelten b = a. Dabei ist Spec(A/b) genau dann reduziert, wenn b = b.
Definition 6.11 Sei S ein Schema. Ein S-Schema X heißt projektiv, wenn der Strukturmorphismus f : X → S eine Faktorisierung
ÂÄ
X?
??
??
?
f ??
Â
i
S
/ Pn
S
~
~
~
~~ p
Ä~~
77
besitzt, wobei i eine abgeschlossene Immersion und p der kanonische Morphismus ist. Ein
quasi-projektives S-Schema ist ein offenes Unterschema eines projektiven S-Schemas.
Bemerkung: Wir werden noch sehen, dass dies äquivalent zur Definition in Alg. Geo. I, 10.19
ist. Grothendieck gibt noch eine andere Definition, die bei einem noetherschen Schema S
mit unserer Definition äquivalent ist.
Zur Ergänzung:
Lemma/Definition 6.12 Ein Morphismus j : W → X von Schemata heißt offene Immersion, wenn gilt:
(i) j(W ) ist offen in X.
α
(ii) j induziert einen Homöomorphismus W → j(W ).
∼
∼
(iii) Für y ∈ W und x = j(y) ist OX,x → OW,y ein Isomorphismus.
Der Morphismus j faktorisiert dann als
j: W
α
∼
0
/ j(W ) Â Ä j / X ,
wobei α ein Isomorphismus ist (mit unterliegender stetiger Abbildung α aus (ii)) und j 0 der
kanonische Morphismus für das offene Unterschema j(W ).
Die Behauptung folgt aus der Tatsache, dass die Einschränkung von j ] : OX → j∗ OW auf
∼
j(W ) einen Isomorphismus Oj(W ) → α∗ OW induziert.
78
7
Divisoren und invertierbare Moduln
Ziel dieses Abschnitts ist, die folgenden Objekte, Gruppen und Homomorphismen zu verstehen:
invertierbare Moduln
Cartier-Divisoren
Weil-Divisoren
α
P ic(X)
←-
Picard-Gruppe
CaCl(X)
β
→
Cartier-Klassengruppe
CH 1 (X)
Chowgruppe
Wir beginnen mit den invertierbaren Moduln
Definition 7.1 Sei X ein Schema (oder ein geringter Raum) und F ein OX -Modul.
L
(I)
OX für eine Menge I ist, die Mächtigkeit |I| von I
(a) F heißt frei, wenn F ∼
= OX :=
i∈I
heißt dann der Rang von F, Bezeichnung rg(F).
(b) F heißt lokal frei, wenn jedes x ∈ X eine offene Umgebung U besitzt, so dass F|U freier
OU -Modul ist; der Rang von F|U heißt dann der lokale Rang von F bei x, rgx (F). Ist dieser
Rang derselbe für alle x ∈ X, so heißt er der Rang von F.
(c) F heißt invertierbarer OX -Modul, wenn F lokal frei vom Rang 1 ist.
Bemerkung 7.2 (a) Ist F lokal frei, so ist für jedes x ∈ X der Halm Fx ein freier OX,x Modul vom Rang rgx (F). Die Abbildung x 7→ rgx (F) ist lokal konstant, also konstant, wenn
X zusammenhängend ist.
(b) Ist X ein Schema, so ist jeder lokal freie OX -Modul quasi-kohärent (vergleiche Übungsaufgabe
22).
Definition 7.3 Für einen OX -Modul F heißt
F ∨ := HomOX (F, OX )
das Dual von F oder der zu F duale Modul.
Lemma 7.4 Für OX -Moduln E und F gibt es einen kanonischen, funktoriellen OX -ModulHomomorphismus
(7.4.1)
E ∨ ⊗OX F = HomOX (E, OX ) ⊗OX F → HomOX (E, F) .
Dieser ist ein Isomorphismus, wenn E oder F lokal frei von endlichem Rang ist.
Beweis Auf den lokalen Schnitten wird dieser Morphismus durch die Zuordnung
f ⊗ s 7→ (t 7→ f (t) · s)
gegeben. Die letzte Behauptung ist eine lokale Frage; wir können also annehmen, dass E =
n
n
n
, G) kanonisch isomorph
OX
oder F = OX
ist. Aber für jeden OX -Modul G ist HomOX (OX
79
n
zu G n und HomOX (G, OX
) zu (G ∨ )n , und so genügt es, den Fall E = OX oder F = OX zu
betrachten. Der erste Fall folgt nun aus dem kanonischen Isomorphismus
(7.4.2)
OX ∼
= HomOX (OX , OX ) , s 7→ Multiplikation mit s
∼
(der aus der Isomorphie A → HomA (A, A) für alle Ringe A folgt), und der zweite Fall ist
klar.
Corollar 7.5 Ist L lokal frei vom Rang 1, so gilt dies auch für L∨ , und man hat einen
kanonischen Isomorphismus
L∨ ⊗ L ∼
= OX .
(7.5.1)
Beweis Die erste Aussage ist lokal und folgt daher aus (7.4.2). Für die zweite Aussage genügt
es wegen 7.4, einen kanonischen Isomorphismus
(7.5.2)
∼
OX → HomOX (L, L)
zu konstruieren. Wir nehmen hierfür den Morphismus, der für offenes U ⊆ X einen Schnitt
s ∈ OX (U ) auf die “Multiplikation mit s” abbildet
·s
(7.5.3)
L|U → L|U ,
der für V ⊆ U offen die Abbildung von OX (V )-Moduln L(V ) → L(V ) ist, die durch Multiplikation mit s|V gegeben ist. Dass (7.5.2) dann ein Isomorphismus ist, ist eine lokale Frage
und folgt daher aus (7.4.2).
Dieses Resultat rechtfertigt die Bezeichnung “invertierbarer OX -Modul”.
Lemma/Definition 7.6 Für ein Schema X (oder einen geringten Raum) sei
P ic(X)
die Menge der Isomorphieklassen [L] von invertierbaren OX -Moduln. Dies wird eine abelsche
Gruppe durch die Verknüpfung
[L] + [L0 ] := [L ⊗ L0 ]
und heißt die Picardgruppe von X.
Beweis der Gruppeneigenschaften: Assoziativität und Kommutativität folgen aus 5.7 (a)
und (b), nach 5.7 (c) ist [OX ] das neutrale Element, und nach 7.5 ist [L∨ ] das Inverse von
[L].
Lemma 7.7 Für jeden Morphismus f : X → Y von Schemata (oder geringten Räumen)
haben wir einen Gruppenhomomorphismus
f ∗ : P ic(Y ) → P ic(X)
[L] 7→ [f ∗ L] .
80
Hierdurch wird P ic zu einem kontravarianten Funktor
(Geringte Räume) → Ab = (abelsche Gruppen)
X 7→ P ic(X) .
Beweis Die erste Aussage folgt aus der Isomorphie
f ∗ (G ⊗OY G 0 ) ∼
= f ∗ G ⊗ OX f ∗ G 0
(7.7.1)
für beliebige (nicht notwendig invertierbare) OY Moduln G und G 0 . (Beweis: Übungsaufgabe!)
Die zweite Aussage folgt aus der Isomorphie
(gf )∗ H ∼
= f ∗g∗H
(7.7.3)
f
g
für Morphismen X → Y → Z und einen OZ -Modul H (siehe 5.21 (b)).
Wir kommen nun zu Cartier-Divisoren.
Definition 7.8 Sei X ein Schema.
(a) Für U ⊆ X offen sei
·f
Γreg (U, OX ) := {f ∈ Γ(U, OX ) | ker(OU → OU ) = 0}
die (multiplikative) Menge der regulären Schnitte von OX über U .
(b) Die Garbe KX der meromorphen Funktionen auf X ist die Garbe assoziiert zur
0
Prägarbe KX
mit
0
KX
(U ) := Γreg (U, OX )−1 Γ(U, OX )
und den von OX induzierten Restriktionen.
(c) Sei
i : OX → KX
der kanonische Monomorphismus (!) von Ringgarben.
Beispiel 7.9 (a) Für f ∈ Γ(U, OX ) gilt per Definition: f ist regulär (also in Γreg (U, OX ))
genau dann, wenn fx Nicht-Nullteiler in OX,x für alle x ∈ U .
(b) Für U = Spec(A) ⊆ X affin offen ist Γreg (U, OX ) die Menge der Nicht-Nullteiler in
·f
·f
Γ(U, OX ) = A, denn es ist à → à genau dann ein Monomorphismus, wenn A → A injektiv
ist. Ist A integer, so ist Γreg (U, OX ) = A r {0}.
Definition 7.10 (a) Ein Schema X heißt integer, wenn X irreduzibel und reduziert ist.
(b) Ein Schema heißt lokal integer, wenn jeder Punkt x ∈ X eine offene Umgebung U besitzt,
die integer ist.
Lemma 7.11 Es ist äquivalent
(i) X ist integer.
81
(ii) Für alle offenen U ⊆ X ist OX (U ) integer.
(iii) Für alle affinen offenen U ⊆ X ist OX (U ) integer.
Beweis Übungsaufgabe.
Lemma 7.12 Sei X ein integres Schema, und sei η der (eindeutig bestimmte!) generische
Punkt. Dann ist OX,η ein Körper und heißt der Funktionenkörper von X, Bezeichnung
K(X). Für jede nicht-leere affine offene Menge U ⊆ X liefert der Ringhomomorphismus
OX (U ) → OX,η einen Isomorphismus
(7.12.1)
∼
Quot(OX (U )) → K(X) .
Insbesondere ist die Garbe KX isomorph zur konstanten Garbe K(X) assoziiert zu K(X).
Beweis Als irreduzibles Schema besitzt X genau einen generischen Punkt η, und dieser ist
in jeder nicht-leeren offenen Teilmenge U enthalten. Ist U ⊆ X offen nicht leer, so liegt η in
U und wir haben einen kanonischen Ringmonomorphismus
(7.12.2)
αU : Γreg (U, OX )−1 Γ(U, OX ) → OX,η = K(X) .
Dies ist verträglich mit Restriktionen und definiert einen Morphismus von Ring-Prägarben
(7.12.3)
0
α : KX
→ K(X) ,
wobei die konstante Garbe K(X) explizit durch
½
K(X)(U ) =
K(X) , U =
6 ∅,
0
, U =∅
gegeben ist (vergleiche Alg. Geo. I, Lemma 3.8).
Ist U = Spec(A) affin (nicht-leer), so ist auch U irreduzibel und hat also nur ein minimales
∼
Primideal P, und dieses ist gleich η, so dass AP → OX,η . Ist A integer, so ist P = {0} und
A = Quot(A), so dass (7.12.2) ein Isomorphismus ist. Da die affinen offenen U eine Basis
∼
der Topologie bilden, induziert also (7.12.3) einen Isomorphismus KX → K(X).
Bemerkung 7.13 Der Morphismus αU in (7.12.2) ist im Allgemeinen kein Isomorphismus.
Zum Beispiel ist für den projektiven Raum Pnk über einem Körper Γ(Pnk , OX ) = k = Quot(k),
n
1
aber K(Pnk ) = k[X0 , . . . , Xn ]({0}) ∼
,..., X
) 6= k für n 6= 0.
= k( X
X0
X0
Lemma/Definition 7.14 Für einen topologischen Raum T und eine Prägarbe von Ringen
A auf T bezeichne A× die Prägarbe der invertierbaren Elemente in A, definiert durch
A× (U ) = A(U )× = Gruppe der Einheiten im Ring A(U )
mit den von A induzierten Restriktionen. Dies ist eine Prägarbe von abelschen Gruppen. Ist
A eine Garbe, so ist auch A× eine Garbe.
Die Behauptungen sind offensichtlich. Sei nun X ein Schema. Dann haben wir eine Einbet×
×
.
,→ KX
tung OX
82
Definition 7.15 (a) Ein Cartier-Divisor auf X ist ein Element von
×
×
Div(X) = Γ(X, KX
/OX
).
(b) Ein Cartier-Divisor heißt prinzipal oder Hauptdivisor, wenn er im Bild des Homomorphismus
×
×
×
Γ(X, KX
) → Γ(X, KX
/OX
)
liegt.
(c) Die Gruppe
CaCl(X) = Div(X)/{Hauptdivisoren}
heißt die Cartier-Klassengruppe von X.
×
×
×
×
Erläuterung 7.16 Sei D ∈ Γ(X, KX
/OX
) ein Cartier-Divisor. Da KX
/OX
ein Quotient von
×
KX ist, gibt es nach Satz 3.17 (b) eine offene Überdeckung (Ui )i∈I von X und Elemente
fi ∈ K(Ui )×
(7.16.1)
(“meromorphe Funktoren auf Ui ”) ,
die auf D|Ui abgebildet werden. Wegen der exakten Sequenzen
fi Â
/ D|U
i
0
/ OX (Ui )×
/ KX (Ui )×
/ (K× /O × )(U )
i
X
X
0
²
/ OX (Ui ∩ Uj )
²
/ KX (Ui ∩ Uj )×
²
/ (K× /O × )(U ∩ U )
i
j
X
X
gilt
(7.16.2)
fi |Ui ∩Uj (fj |Ui ∩Uj )−1 ∈ OX (Ui ∩ Uj )× .
Umgekehrt liefert jede solche Familie (fi ) einen Cartier-Divisor. Wir sagen, dass D von (fi )i∈I
bzw. (Ui , fi )i∈I repräsentiert wird.
Ist (gi ) eine weitere solche Familie für dieselbe Überdeckung (Ui ), so repräsentiert sie denselben Cartier-Divisor genau dann, wenn fi gi−1 ∈ Γ(Ui , OX )× . Für eine zweite Überdeckung
(Vj ) erhält man ein analoges Resultat, indem man die Verfeinerung (Ui ∩ Vj ) betrachtet.
Beispiele 7.17 Ist X integer, so wird also ein Cartier-Divisor durch eine Familie fi ∈ K(X)×
gegeben, wobei es eine Überdeckung Ui 6= ∅ von X gibt mit fi fj−1 ∈ Γ(Ui ∩ Uj , OX ) ⊆ K(X)
für alle i, j (denn dann ist (fi fj−1 )−1 = fj fi−1 ∈ Γ(Ui ∩ Uj , OX ) und damit fi fj−1 invertierbar
in Γ(Ui ∩ Uj , OX )).
Definition 7.18 Für D ∈ Div(X), repräsentiert durch (Ui , fi )i∈I , sei OX (D) (manche Autoren schreiben L(D)) die OX -Untergarbe von KX , die über Ui von fi−1 erzeugt wird.
Proposition 7.19 (a) OX (D) ist wohldefiniert und eine invertierbare Untergarbe von KX
(Letztere nennt man auch gebrochene Ideale auf X).
83
(b) Umgekehrt ist jede invertierbare Untergarbe von KX von dieser Gestalt.
(c) Es ist OX (D1 + D2 ) ∼
= OX (D1 ) ⊗ OX (D2 ) und OX (−D) ∼
= OX (D)−1 (Die Verknüpfung
von Cartier-Divisoren wird üblicherweise additiv geschrieben; und für eine invertierbare Garbe L sei L−1 := L∨ das Dual).
(d) Es ist OX (D1 ) ∼
= OX (D2 ) (abstrakter Isomorphismus) genau dann, wenn D1 − D2 ein
Hauptdivisor ist (hierfür schreibt man auch D1 ∼ D2 und sagt, D1 ist rational äquivalent zu
D2 ). Die Zuordnung D 7→ OX (D) induziert also einen injektiven Homomorphismus
α
(7.19.1)
CaCl(X) ,→ P ic(X)
Beweis (a) Nach Definition ist
(7.19.2)
OX (D)|Ui = OUi · fi−1 ⊆ KX|Ui = KUi ,
und wegen fj fi−1 |Ui ∩Uj ∈ Γ(Ui ∩ UJ , OUi ∩Uj )× ist OUi fi−1 |Ui ∩Uj = OUi ∩Uj · fi−1 |Ui ∩Uj = OUi ∩Uj ·
fi−1 |Ui ∩Uj = OUj fj−1 |Ui ∩Uj , d.h., so wird tatsächlich eine Untergarbe von KX definiert. Ebenso
sieht man, dass O(D) nicht von dem Repräsentaten abhängt: Durch Verfeinerung kann
man zweite Repräsentanten (gi ) für dieselbe Überdeckung (Ui ) betrachten, und dann ist
×
fi gi−1 ∈ Γ(Ui , OUi )× . Wegen fi ∈ Γ(Ui , KX
) ist schließlich die Multiplikation mit fi−1 ein
Isomorphismus
∼
OUi → OUi fi−1 = OX (D)|Ui ,
(7.19.3)
also OX (D) lokal frei vom Rang 1.
(b) Sei L ⊆ KX eine invertierbare OX -Untergarbe. Für jedes x ∈ X gibt es eine offene
Umgebung U von x und ein g ∈ Γ(U, KX ), so dass L|U freier OU -Modul mit Basis g ist.
Durch Verkleinerung von U können wir annehmen, dass g = us , wobei u ∈ Γ(U, OU ) und s
∼
Nicht-Nullteiler in Γ(U, OU ) ist. Da die Multiplikation mit g, OU → L|U ⊆ KU injektiv ist,
×
muss die Multiplikation mit u injektiv sein, d.h., u ist Nicht-Nullteiler, d.h., g ∈ Γ(U, KX
).
Diese Paare (Ux , gx ), für jedes x ∈ X gewählt, bilden einen Cartier-Divisor: da gx |Ux ∩Uy und
×
gy |Ux ∩Uy beides Basen von L|Ux ∩Uy sind, ist gx |Ux ∩Uy = f ·gy |Ux ∩Uy für ein f ∈ Γ(Ux ∩Uy , OX
).
−1
Nach Definition gilt schließlich L = OX (D) für D = (Ux , gx )x∈X .
(c) Der Garbenmorphismus
ϕ : OX (D1 ) ⊗OX OX (−D2 ) → KX
s ⊗ t 7→ s · t
induziert einen Isomorphismus
∼
OX (D1 ) ⊗OX OX (−D2 ) → OX (D1 − D2 ) .
Ist nämlich D1 = (Ui , fi ), D2 = (Ui , gi ), so ist D1 − D2 = (Ui , fi gi−1 ) und
OX (D1 )|Ui ⊗OUi OX (−D2 )|Ui
ϕ
O
fi−1 ⊗·gi o
OUi ⊗OUi OUi
/ OX (D1 − D2 )|U
i
O
o fi−1 gi
Multiplikation
∼
84
/ OU
i
kommutativ.
(d) Es genügt (nach (c)) zu zeigen: OX (D) ∼
= OX genau dann wenn D prinzipal ist.
·f −1
×
), so ist OX → OX (D) ⊆ KX . Ist umgekehrt
Ist D prinzipal, gegeben durch f ∈ Γ(X, KX
∼
∼
ϕ : OX → OX (D), und ist g ∈ Γ(X, KX ) das Bild der Eins, so folgt wie in (b), dass
×
g ∈ Γ(X, KX
) und D durch g −1 repräsentiert ist.
Satz 7.20 Ist X ein intgres Schema, so ist
∼
α : CaCl(X) → P ic(X)
ein Isomorphismus.
Beweis Es ist zu zeigen, dass jeder invertierbare OX -Modul L isomorph zu einem gebrochenen Ideal in KX ist. Betrachte M := M(L) := L ⊗OX KX (Garbe der “meromorphen
Schnitte in L”). Ist U ⊆ X offen mit L|U ∼
= OU , so ist L ⊗OX KX |U ∼
= KU . Ist zusätzlich U
affin, so folgt, dass die Abbildung
M(U ) → Mη
∼
ein Isomorphismus ist; außerdem gibt es einen Isomorphismus Mη → Kη = K(x) (wähle
ein U ). Da die betrachteten U eine Basis der Topologie bilden, erhalten wir im Beweis von
Lemma 7.12 einen Isomorphismus
∼
L ⊗ OX K X = M → M η ∼
= K(X) ∼
= KX .
Zusammen mit dem Monomorphismus L ∼
= L ⊗OX OX ,→ L ⊗OX KX können wir L mit einer
OX -Untergarbe von KX identifizieren.
Wir kommen nun zu Weil-Divisoren. Sei X ein Schema.
Vorbemerkung 7.21 Es gibt eine Bijektion
X → {irreduzible abgeschlossene Teilmengen Y ⊆ X}
x 7→ {x} .
Die Umkehrabbildung bildet Y auf den generischen Punkt ηY von Y ab.
Definition 7.22 Sei Y ⊆ X eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge und η ihr generischer
Punkt. Die Kodimension von Y in X, Bezeichnung codim(Y ) oder codimX (Y ), ist definiert
als dim OX,η . Man nennt dies auch die Kodimension von η, codim(η). Die Menge der Punkte
der Kodimension j sei mit X (j) bezeichnet.
Bemerkung 7.23 Dies ist gleich dem Supremum der Längen m von Ketten
Y = Y0 $ Y1 $ . . . $ Ym
von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen in X, die Y umfassen, denn die generischen
Punkte der Yi entsprechen einer Kette von Primidealen in OX,η .
85
Definition 7.24 (a) Ein Weil-Primdivisor ist eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge
Y ⊆ X der Kodimension 1.
(b) Die Gruppe der Weil-Divisoren (oder algebraischen Zykel der Kodimension 1) auf X ist
die freie abelsche Gruppe über den Weil-Primdivisoren:
L
L
Z 1 (X) =
Z =
Z.
Y ⊆X irred. abg.
codim (Y )=1
y∈X (1)
Ein Weil-Divisor schreibt sich also als eine endliche Summe
D =
n
X
ai Yi
i=1
mit Yi ⊆ X irreduzibel abgeschlossen von der Kodimension 1 und ai ∈ Z.
Wir erhalten Weil-Divisoren als Nullstellen- und Polmengen von meromorphen Funktionen
(dies hängt mit Krulls Hauptidealsatz zusammen). Zuerst studieren wir dazu nun die Nullstellenordnungen von meromorphen Funktionen.
Lemma/Definition 7.25 Sei A ein noetherscher integrer lokaler Ring der Dimension 1 mit
Quotientenkörper K. Für f ∈ A definiere dann
ord(f ) := `(A/ < f >) ∈ N0 ∪ {∞} ,
wobei `(A/ < f >) = `A (A/ < f >) die Länge des A-Moduls (der A-Algebra) A/ < f >=
A/f A ist (Alg. Geo. I, Definition 8.3).
Für f, g ∈ A gilt
(7.25.1)
ord(f · g) = ord(f ) + ord(g)
und es gilt
(7.25.2)
ord(0) = ∞ und ord(f ) < ∞ für f 6= 0 .
(7.25.3)
ord(f ) = 0 ⇔ f ∈ A×
Für α =
f
g
∈ K × (mit f, g ∈ A r {0}) ist
(7.25.4)
ord(α) := ord(f ) − ord(g) ∈ Z
wohldefiniert; die Abbildung
ord : K × → Z
α 7→ ord(α)
ist ein Homomorphismus.
Beweis der Behauptungen: Ein lokaler noetherscher Ring B hat genau dann endliche Länge
(als Modul über sich selbst), wenn dim B = 0 (Alg. Geo. I, Satz 8.7). Hieraus folgt (7.25.2),
86
da dim(A/ < f >) = 0 falls f 6= 0 und keine Einheit ist (Alg. Geo. I, Corollar 8.27). (Beachte
noch, dass `A (A/ < f >) = `A/<f > (A/ < f >)). Weiter gilt `A (A/ < f >) = 0 genau dann,
wenn A/ < f >= 0, d.h., wenn f ∈ A× ; dies beweist (7.25.2). Ist f oder g gleich 0, so gilt
(7.25.1) per Definition. Sind beide ungleich 0, so folgt (7.25.1) aus der exakten Sequenz
i
π
0 → A/f A → A/f · gA → A/gA → 0
(wobei π die kanonische Surjektion und i durch die Multiplikation mit g induziert ist), sowie
der Additivität der Länge in exakten Sequenzen (Alg. Geo. I, Lemma 8.4). Die Wohldefiniertheit von (7.25.4) folgt wiederum aus (7.25.1) und (7.25.2), und die letzte Behauptung
folgt wieder aus (7.25.2).
Beispiel 7.26 Für einen Körper k betrachte den Polynomring k[x] und das Primelement
x − a (für ein a ∈ k). Der lokale Ring A = k[x]<x−a> (Lokalisierung nach dem Primideal
< x − a >) hat dann die Dimension 1 und den Quotientenkörper k(x) = Quot(k[x]), und
jedes Polynom f ∈ k[x] lässt sich eindeutig schreiben als
f = (x − a)n · g
mit g(a) 6= 0 .
Dann ist also g ∈<
/ x − a > und damit Einheit in A. Weiter ist
A/ < f > = A/ < (x − a)n > ∼
= k[x]/ < (x − a)n >
und hat Länge n. Damit ist ord(f ) die übliche Nullstellenordnung von f bei a.
Sei nun X ein integres noethersches Schema. Für einen Weil-Divisor Y = {y} ist dann per
Definition OX,y ein noetherscher integrer lokaler Ring der Dimension 1. Weiter gilt kanonisch
(7.26.1)
Quot(OXy ) = K(X)
(betrachte eine affine offene Umgebung U = Spec(A) von y). Wir können also definieren:
Definition 7.27 Für f ∈ K(X)× heißt
vY (f ) := vy (f ) := ordOX,y (f ) ∈ Z
die (Nullstellen-) Ordnung von f bei y. Für vy (f ) = −m, m ∈ N, sagen wir auch, dass f
einen Pol m-ter Ordnung bei y hat.
Lemma 7.28 Es gibt nur endlich viele y ∈ X (1) (also Weil-Primdivisoren Y = {y}) mit
vy (f ) 6= 0.
Beweis Sei U ⊆ X affin offen. Dann ist K(X)× = Quot(OX (U ))× , wir können also schreiben
f=
g
, g, h ∈ OX (U ) .
h
Durch Verkleinern von U (Wegnehmen von V (gh)) können wir also annehmen, dass f ∈
OX (U )× , also vy (f ) = 0 für alle y ∈ X (1) mit y ∈ U . Sei Z = X r U ; dies ist eine
abgeschlossene Teilmenge. Ist y 0 ∈ X (1) mit y 0 ∈ Z, so ist y ein generischer Punkt von Z,
87
d.h., {y 0 } ist eine irreduzible Komponente von Z: Falls nicht, gäbe es ein z ∈ Z mit y 0 ∈ {z}
und y 0 6= z. Dann wäre aber
{y 0 } $ {z} $ X
also codim(y 0 ) ≥ 2, im Widerspruch zur Annahme. Da Z noethersch ist, hat Z nur endlich
viele irreduzible Komponenten; daher gibt es nur endlich viele y ∈ X (1) mit y 6= U , also nur
endlich viele y ∈ X (1) mit vy (f ) 6= 0.
Die folgende Definition macht also Sinn:
Lemma/Definition 7.29 Sei X noethersch und integer.
(a) Für f ∈ K(X)× heißt
div(f ) :=
X
vy (f ){y} ∈ Z 1 (X)
y∈X (1)
der zu f assoziierte Weil-Divisor.
(b) Die Abbildung
div : K(X)× → Z 1 (X)
f 7→ div(f )
ist ein Homomorphismus. Sei P (X) das Bild; seine Elemente (also die Divisoren der Form
div(f ) mit f ∈ K(X)× ) heißen (Weil-)Hauptdivisoren.
(c) Die Gruppe
CH 1 (X) = Z 1 (X)/P (X) = Z 1 (X)/{div(f ) | f ∈ k(X)× }
heißt die erste Chowgruppe von X (oder auch Weil-Klassengruppe).
Lemma/Definition 7.30 Sei X ein integres noethersches Schema.
(a) Für einen Cartier-Divisor D = (Ui , fi )i∈I auf X und y ∈ X (1) definiere
vy (D) := vy (fi ) falls y ∈ Ui
(fi ∈ K(X)× ). Dies liefert einen wohldefinierten Homomorphismus
Z : Div(X) → Z 1 (X)
P
D 7→ Z(D) =
vy (D){y} .
y∈X (1)
(b) Dieser induziert einen Homomorphismus
β : CaCl(X) → CH 1 (X) .
×
, also 0 = vy (fi fj−1 ) =
Beweis der Behauptungen: (a): Für y ∈ Ui ∩ Uj ist fi fj−1 ∈ OX,y
vy (fi )−vy (fj ). Genauso zeigt man, dass vD (D) nicht vom Repräsentanten (Ui , fi )i∈I abhängt.
(b): Für einen Hauptdivisor D = ((X, f )) ist nach Definition Z(D) = div(f ) ∈ P (X).
88
Wir geben nun noch Bedingungen an, unter denen β injektiv ist.
Erinnerung 7.31 Ein Integritätsring A heißt normal (oder ganz abgeschlossen), wenn er
ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist (Alg. Geo. I, Definition 6.7).
Lemma/Definition 7.32 Ein lokal integres Schema X heißt normal, wenn die folgenden
äquivalenten Bedingungen gelten:
(a) Alle lokalen Ringe OX,x sind normal.
(b) Für jedes irreduzible affine offene Unterschema U = Spec(A) in X ist A normal.
Beweis der Äquivalenz: Sei A ein Integritätsring und A0 sein ganzer Abschluss in Quot(A).
(b) ⇒ (a): Ist S ⊆ A eine multiplikative Teilmenge, so ist A0S der ganze Abschluss von AS ,
wie man leicht sieht.
(a) ⇒ (b): Sind die lokalen Ringe Ap ganz abgeschlossen für alle p ∈ Spec(A), so induziert
A ,→ A0 Isomorphismen Ap → (A0 )p für alle p, hieraus folgt (A0 /A)p = 0 für alle p (Exaktheit
der Lokalisierung), also A0 /A = 0, d.h., A = A0 .
Lemma 7.33 Ist A ein ganz abgeschlossener, noetherscher Integritätsring, so ist
\
Ap ,
(7.33.1)
A =
ht(p)=1
also der Durchschnitt über alle Lokalisierungen nach Primidealen der Höhe 1.
Beweis Sei A0 die rechte Seite von (7.33.1). Angenommen A $ A0 . Für f ∈ A0 r A ist
I(f ) = {b ∈ A | bf ∈ A}
ein echtes Ideal in A (da 1 ∈
/ I(f )). Da A noethersch ist, besitzt die Menge aller dieser Ideale
ein maximales Element, etwa q := I(h) für ein h ∈ A0 r A. Dann ist q ein Primideal: Seien
f, g ∈ A mit f g ∈ I(h) aber g ∈
/ I(h). Dann ist gh ∈ A0 r A, I(h) ⊆ I(gh) und f ∈ I(gh).
Dann ist I(h) = I(gh) wegen der Maximalität, also f ∈ I(h).
Betrachte nun das Ideal hqAq ⊆ Aq . Ist hqAq = Aq , so ist qAq = h−1 Aq ein Hauptideal in Aq
(aus der Gleichung folgt h−1 ∈ qAq ⊆ Aq ), und nach Krull’s Hauptidealsatz ist ht(qAq ) = 1,
also ht(q) = 1 (beachte Alg. Geo. I, Corollar 5.15). Wegen h ∈ A0 ist also h ∈ Aq , also
1 = h · h−1 ∈ qAq – Widerspruch! Also gilt hqAq ⊆ qAq (da Aq lokaler Ring mit maximalen
Ideal qAq ist). Ist Aq [h] ⊆ Quot(Aq ) die von h erzeugte Aq -Algebra, so erhalten wir eine
Einbettung von Aq -Moduln
Aq [h] ,→ HomAq (qAq , qAq ) .
Da Aq noethersch ist, ist qAq endlich erzeugt, und jede Surjektion AN
q ³ qAq liefert eine
Einbettung
N
∼
HomAq (qAq , qAq ) ,→ HomAq (AN
q , qAq ) = (qAq ) .
Als Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist also Aq [h] endlich erzeugt (hier benutzt
man wieder, dass Aq noethersch ist). Dies bedeutet aber, dass h ganz über Aq ist (siehe Alg.
Geo. I., Corollar 6.3), also in Aq liegt, weil mit A auch Aq ganz abgeschlossen ist (7.32). Dies
liefert wie vorher einen Widerspruch.
89
Wir können nun zeigen:
Lemma 7.34 Ist X ein normales noethersches integres Schema, so sind die Homomorphismen
Z :
Div(X) → Z 1 (X)
β : CaCl(X) → CH 1 (X)
injektiv.
Beweis Ist D = (Ui , fi )i∈I ein Cartier-Divisor mit Z(D) = 0, wobei ohne Einschränkung alle
Ui affin seien, so ist vy (fi ) = 0 für alle i ∈ I und alle y ∈ X (1) . Da OX,y nach Voraussetzung
intger, normal und von der Dimension 1 ist, ist OX,y ein diskreter Bewertungsring zur Be×
wertung vy von K(X) = Quot(OX,y ), und aus vy (fi ) = 0 folgt fi ∈ OY,y
(siehe den Anhang
−1
(1)
7.A). Es ist also fi , fi ∈ OX,y für alle y ∈ X . Mit 7.33 folgt hieraus fi , fi−1 ∈ Γ(Ui , OX )
und damit fi ∈ Γ(Ui , OX )× für alle i ∈ I. Dies bedeutet aber, dass der Cartier-Divisor
trivial ist. Also ist Z injektiv. Ist aber Z(D) = div(f ) für ein f ∈ K(X)× , so folgt wegen
div(f ) = Z((X, f )) und der Injektivität von Z, dass D = (X, f ). Dies zeigt die Injektivität
von β.
Bemerkung 7.35 Sei X ein integres Schema und
X
ay {y} ∈ Z 1 (X)
D=
y∈X (1)
(i) Für U ⊆ X offen definiere
X
D|U =
ay {y}
y∈U (1)
und erhalte res : Z 1 (X) ³ Z 1 (U ).
(ii) Sei x ∈ X. Die kanonische Abbildung f = Spec OX,x ,→ X induziert injektive Abbildungen (Spec OX,x )(n) ,→ X (n) . Wir können also definieren:
X
ay {y} ∈ Z 1 (Spec OX,x )
Dx :=
y∈(Spec OX,x )(1)
und erhalten f ∗ : Z 1 (X) → Z 1 (Spec OX,x ).
Definition 7.36 Ein integres Schema X heißt lokal faktoriell, wenn alle lokalen Ringe
OX,x faktoriell sind.
Satz 7.37 Sei X ein noethersches integres Schema. Ist X normal und lokal faktoriell, so ist
β : CaCl(X) → CH 1 (X)
∼
ein Isomorphismus.
Beweis Nach 7.34 ist β injektiv. Sei nun Y = {y} ein Weil-Primdivisor auf X. Zu jedem
x ∈ X gibt es dann eine offene Umgebung Ux von x und ein fx ∈ K(X)× mit
Y |Ux = divUx (fx ) .
90
Sei nämlich Yx der Weil-Divisor, der durch Y auf OX,x (d.h., auf Spec(OX,x )) induziert wird
(Bemerkung 7.35). Nach dem folgenden Lemma ist dann das zugehörige Primideal der Höhe
1 in OX,x ein Hauptideal, gegeben durch fx ∈ OX,x ⊆ K(X). Der zugehörige Hauptdivisor
div(fx ) unterscheidet sich von Y nur in endlich vielen Punkten y1 , . . . , yr mit y ∈
/ {yi }, und
r
S
Ux = X r ( {yi }) leistet das Verlangte.
i=1
Dann ist D = (Ux , fx )x∈X ein Cartier-Divisor (wegen divUx ∩Ux0 (fx ) = divUx ∩Ux0 (fx0 ) ist
×
fx fx−1
0 ∈ Γ(Ux ∩ Ux0 , OX ) ) und es ist Z(D) = Y .
Lemma 7.38 Für einen noetherschen Integritätsring sind äquivalent:
(a) A ist faktoriell.
(b) Jedes irreduzible Element in A ist ein Primelement.
(c) Jedes Primideal der Höhe 1 ist ein Hauptideal.
Beweis Die Äquivalenz von (a) und (b) ist aus der Algebra bekannt.
(a) ⇒ (c): Sei p ∈ Spec(A) mit ht(p) = 1. Dann gibt es ein Element f 6= 0 in p. Da p
Primideal ist, liegen alle irreduziblen Faktoren von f in p, also enthält p ein irreduzibles
Element. Dann ist < π > ein Primideal, und wegen 0 $< π >⊆ p und ht(p) = 1 gilt
p =< π >.
(c) ⇒ (b): Sei π irreduzibel und p ⊇< π > ein minimaler Primteiler von π. Nach Krulls
Hauptidealsatz ist dann ht(p) = 1. Nach Voraussetzung ist p ein Hauptideal, also p =< π 0 >
mit einem Primelement π 0 . Es folgt π = uπ 0 für ein u ∈ A, und da π irreduzibel ist, muss u
eine Einheit sein. Also ist π wie π 0 ein Primelement.
Die Voraussetzungen von 7.34 und 7.37 sind für reguläre Schemata erfüllt:
Definition 7.39 (a) Ein noetherscher lokaler Ring A mit maximalen Ideal m und Restklassenkörper k = A/m heißt regulär, wenn
dimk m/m2 = dim A
(nach Alg. Geo. I, Satz 8.23 gilt immer dimk m/m2 ≥ dim A).
(b) Ein lokal noethersches Schema X heißt regulär am Punkt x ∈ X, wenn OX,x regulär
ist, und X heißt regulär, wenn X regulär an allen Punkten x ∈ X ist.
Bemerkungen 7.40 Sei A ein regulär lokaler Ring. Dann gilt:
(a) Nach einem Resultat von Serre ist die Lokalisierung Ap nach einem Primideal wieder
regulär (Matsumura, Commutative Algebra, S. 139, Corollary to Theorem 45). Insbesondere
ist A genau dann regulär, wenn das Schema Spec(A) regulär ist.
(b) A ist integer (Matsumura, S. 118, Theorem 34 und S. 120, Theorem 35).
(c) Nach einem Satz von Auslander und Buchsbaum ist A faktoriell (Matsumura, S. 142,
Theorem 48).
(d) Insbesondere ist A normal (Alg. Geo. I, Lemma 6.8).
91
Corollar 7.41 Ist X ein reguläres integres noethersches Schema, so hat man Isomorphismen
P ic(X) o
α
∼
CaCl(X)
92
β
∼
/ CH 1 (X) .
7.A Diskrete Bewertungsringe
Definition 7.A.1 Sei K ein Körper. Eine (normierte) diskrete Bewertung auf K ist eine surjektive
Abbildung
v : K× → Z ,
so dass für alle x, y ∈ K × gilt
(i) v(xy) = v(x) + v(y) (d.h., v ist ein Homomorphismus),
(ii) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}.
Setze formal v(0) = ∞.
Satz 7.A.2 Ist v : K × → Z eine diskrete Bewertung, so ist
R = {x ∈ K | v(x) ≥ 0} = {x ∈ K × | v(x) ≥ 0} ∪ {0}
ein lokaler Hauptidealring mit maximalem Ideal
m = {x ∈ K | v(x) > 0}
und Einheitengruppe
R× = {x ∈ K × | v(x) = 0} .
R heißt der Bewertungsring zu v.
Beweis Es folgt sofort aus 7.A.1 (i) und (ii), dass R ein Unterring von K ist, der die Eins enthält (aus
v(1) = v(1 · 1) = v(1) + v(1) folgt v(1) = 0).
Weiter folgt sofort, dass m ⊆ R ein Ideal ist. Schließlich gilt für v ∈ K ×
0 = v(1) = v(x · x−1 ) = v(x) + v(x−1 ) ,
also
v(x) = 0
⇔ v(x−1 ) = 0
⇔ x ∈ R und x−1 ∈ R
⇔ x ∈ R× .
Daher ist R r m = R× , d.h., R ist lokal mit maximalem Ideal m.
R ist Hauptidealring: Sei 0 6= a ⊆ R ein Ideal und
n := inf{v(a) | a ∈ a} .
Dann ist n ∈ N0 , und es existiert ein x ∈ a r {0} mit v(x) = n. Dann ist a =< x >: Ist a ∈ a, so ist
v(a) ≥ n = v(x), also v( xa ) = v(a) − v(x) ≥ 0, also xa ∈ R und a = xa · x ∈< x >.
Definition 7.A.3 Ein integrer Ring R (kommutativ, mit Eins) heißt diskreter Bewertungsring, wenn
K = Quot(R) eine diskrete Bewertung v besitzt, für die R ⊆ K der zugehörige Bewertungsring ist.
Lemma 7.A.4 Sei R ein lokaler Integritätsring mit maximalem Ideal m und Restklassenkörper k = R/m.
Dann sind äquivalent:
(a) R ist ein diskreter Bewertungsring.
(b) R ist noethersch, von der Dimension 1 und normal.
(c) R ist noethersch, von der Dimension 1, und m ist ein Hauptideal.
(d) R ist noethersch, von der Dimension 1 und regulär.
(e) R ist ein Hauptidealring und kein Körper.
93
Beweis (a) ⇒ (e): Dies folgt aus Lemma 7.A.2, da v(R r {0}) 6= v(K × ) = Z.
(e) ⇒ (b): Nach Krulls Hauptidealsatz hat jeder Hauptidealring R die Dimension ≤ 1, also die Dimension
1, wenn R integer und kein Körper ist. Weiter ist jeder (integre) Hauptidealring ganz abgeschlossen (Alg.
Geo. I, Lemma 6.8)
(b) ⇒ (c): Nach Voraussetzung ist m 6= {0}. Sei 0 6= a ∈ m. Dann ist dim(R/ < a >) = 0 (Alg. Geo. I,
Corollar 8.27), also R/ < a > artinsch (loc. cit. Satz 8.7), also gibt es ein n ∈ N mit mn ⊆< a >, und
wir können annehmen, dass mn−1 *< a >. Sei b ∈ mn−1 − < a >, und sei x = ab ∈ K = Quot(R). Nach
Konstruktion ist dann x−1 m ⊆ A (denn bm ⊆ mn ⊆< a >) aber x−1 m * m. Denn sonst wäre m ein endlich
erzeugter treuer A[x−1 ]-Modul, also x−1 ganz über A (Alg. Geo. I, Lemma 6.2, Fall a = A), also x−1 ∈ A,
da A ganz abgeschlossen in K ist, und somit b ∈< a > im Widerspruch zur Annahme.
Es folgt x−1 m = A und damit m =< x >.
(c) ⇔ (d): Nach Definition ist R genau regulär, wenn dimk m/m2 = dim(R) = 1, aber nach dem NakayamaLemma gilt dimk m/m2 = 1 genau dann, wenn m ein Hauptideal ist.
(c) ⇒ (a): Sei m =< π > und 0 6= a ∈ R. Wie eben folgt, dass es ein n ∈ N0 gibt, so dass a ∈ mn − mn+1 .
Es gibt also ein y ∈ R mit a = yπ n , y ∈
/ m. Dann ist y eine Einheit, also
< a > = < π n > = mn .
Setze v(a) := n. Dies ist wohldefiniert, denn wegen dim(R) = 1 ist mn 6= 0 für alle n und daher mn 6= mm
für n 6= m (Nakayama-Lemma). Für a, b ∈ R r {0} gilt
(7.A.4.1)
v(ab) = v(a) + v(b) ,
0
0
denn für < a >= mn und < b >= mn gilt < ab >= mn+n . Weiter gilt
(7.A.4.2)
v(a + b) ≥ min{v(a), v(b)} ,
0
denn für < a >= mn und < b >= mn mit (ohne Einschränkung) n ≤ n0 ist
0
< a + b > ⊆ mm + mn ⊆ mn .
Definieren wir nun für 0 6= x =
a
b
∈ K = Quot(R) (mit a, b ∈ R r {0})
v(x) = v(a) − v(b) ,
so folgt aus (7.A.4.1), dass dies wohldefiniert ist und aus (7.A.4.1) und (7.A.4.2), dass dies eine diskrete
Bewertung auf K definiert.
Schließlich gilt v(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ R, d.h., R ist der Bewertungsring zu v.
Corollar 7.A.5 Ist R ein diskreter Bewertungsring, so ist die zugehörige diskrete Bewertung v auf K =
Quot(R) eindeutig, und es gilt für x ∈ K ×
v(x) = ord(x) ,
wobei ord wie in 7.25 definiert ist. Insbesondere ist ord(x) = v(x) = 0 genau dann wenn x ∈ R× .
Beweis Sei m das maximale Ideal von R, und sei m =< π > mit π ∈ R. Dann lässt sich jedes a ∈ R
schreiben als a = u · π n mit eindeutigem n ∈ N0 und Einheit u. Dann muss v(a) = n · v(π) sein, und wegen
der Surjektivität von v muss v(π) = 1 sein. Weiter haben wir Isomorphismen
k = R/m
α mod m
∼
→ mn /mn+1
7
→
απ m mod mn+1 .
Ist 0 6= a ∈ R und < a >= mn , so ist v(x) = n und andererseits
< a >= mn $ mn−1 $ . . . $ m $ R
eine Kompositionsreihe der Länge n, also ord(a) = `(R/ < a >) = n.
94
8
Projektive Schemata und Aufblasungen
Sei S =
∞
L
n=0
Sn ein graduierter Ring und das Schema X = P roj(S) wie in Alg. Geo. I,
Definition 10.13 definiert.
Lemma/Definition 8.1 (a) Ein graduierter S-Modul ist ein S-Modul M mit einer
Graduierung
M
M =
Mi
i∈Z
durch abelsche Untergruppen Mi , so dass Sn Mi ⊆ Mi+n für alle i und n.
(b) Ein Homomorphismus von graduierten S-Moduln ϕ : M → M 0 ist ein S-ModulHomomorphismus mit ϕ(Mn ) ⊆ Mn0 für alle Z.
(c) (homogene Lokalisierung, vergleiche die Definitionen von S(p) und S(f ) in Alg. Geo. I,
Definition 10.12 und Definition 3.28). Für ein homogenes Primideal p ⊆ S sei
M(p) = {
m
∈ Mp | m ∈ M und t ∈ S r p
t
beide homogen vom gleichen Grad} .
Dies ist ein S(p) -Modul durch
für
m
t
wie oben und
s
t0
∈ S(p)
s m
sm
·
:= 0
0
t t
tt
0
(also s ∈ S und t ∈ S r p beide homogen vom gleichen Grad).
Weiter sei für jedes homogene Element f ∈ S
M(f ) = {
m
∈ Mf | n ∈ N, m ∈ M homogen vom Grad n · deg(f )} .
fn
Dies ist ein S(f ) -Modul durch
für
m
fn
∈ M(f ) und
s
f n0
s m
sm
= n+n0
0 ·
n
n
f
f
f
∈ S(f ) .
Die Behauptungen in (c) folgen leicht.
Definition 8.2 Für einen graduierten S-Modul M und n ∈ Z definiere den getwisteten
graduierten S-Modul M (n) als den S-Modul M mit der neuen Graduierung
M (n)i := Mi+n .
Hierdurch wird Mi “um n Stellen nach links verschoben”:
M
M (1)
Grad:
. . . M−2 M−1 M0 M1 M2 . . .
. . . M−1 M0 M1 M2 M3 . . .
. . . −2 −1
0
1
2 ...
Bemerkung 8.3 Offenbar ist für ein homogenes Primideal p ⊆ S
M (n)(p) = Mp,n := {
m
∈ Mp | m ∈ M, s ∈ S r p homogen mit deg(m) = deg(s) + n}
s
95
und für ein homogenes Element f ∈ S
M (n)(f ) = Mf,n := {
m
| m ∈ M homogen , deg(m) = i deg(f ) + n}
fi
Lemma/Definition 8.4 Für einen graduierten S-Modul M definiere die Garbe M̃ auf
X = P roj(S) wie folgt: Für U ⊆ X offen und nicht leer sei
a
M(p) | es gelten die Eigenschaften (i) und (ii)}
M̃ (U ) := {r : U →
p∈U
mit den Eigenschaften
(i) r(p) ∈ M(p) für alle p ∈ U .
(ii) Für alle p ∈ U gibt es homogene Elemente m ∈ M, f ∈ S r p vom gleichen Grad, so dass
r(q) =
m
für alle q ∈ D+ (f )
f
(Beachte, dass p ∈ D+ (f )). Für V ⊆ U offen und nicht-leer sei
resU,V (r) = r|V .
Dann ist M̃ ein quasi-kohärenter OX -Modul und es gibt kanonische Isomorphismen
(8.4.1)
M̃p ∼
= M(p)
(von OX,p = S(p) -Moduln)
für den Halm von M̃ bei p ∈ P roj(S), sowie
(8.4.2)
M̃ (D+ (f )) ∼
= M(f )
(von OX (D+ (f )) = S(f ) -Moduln)
für jedes homogene f ∈ S.
Der Beweis ist analog zum Beweis von Alg. Geo. I, Satz 10.14. Insbesondere ist der Isomorphismus (8.4.2) verträglich mit Restriktionen für D+ (f 0 ) ⊆ D+ (f ) und liefert einen
Isomorphismus
(8.4.3)
M̃ |D+ (f ) ∼
= (M(f ) )∼
für das affine Schema D+ (f ) ∼
= Spec(S(f ) ) und den S(f ) -Modul M(f ) , was die Quasi-Kohärenz
von M̃ zeigt.
Definition 8.5 Sei n ∈ Z und X = P roj(S).
(a) Definiere den OX -Modul OX (n) := S(n)∼ , wobei der graduierte S-Modul S(n) durch 8.2
definiert ist.
(b) Für jeden OX -Modul F setze F(n) := OX (n) ⊗OX F.
Proposition 8.6 Sei S als S0 -Algebra durch S1 erzeugt. Dann gilt für alle m, n ∈ Z:
(a) OX (n) ist ein invertierbarer OX -Modul.
96
(b) Für jeden graduierten S-Modul M gilt kanonisch M̃ (n) ∼
= M (n)∼ . Insbesondere gilt
OX (m) ⊗OX OX (n) ∼
= OX (m + n).
Beweis (a): Nach (8.4.3) haben wir für homogenes f ∈ S+ einen Isomorphismus nach
Restriktion auf D+ (f ) ∼
= Spec(S(f ) )
S(n)∼ |D+ (f ) ∼
= (S(n)(f ) )∼ .
Da S von S1 erzeugt
S wird, wird X = P roj(S) von den offenen Mengen D+ (f ) mit f ∈ S1
D+ (f ) = V+ (< f )f ∈ S1 >) = V+ (S+ ) = ∅). Es genügt also zu zeigen,
überdeckt (X −
f ∈S1
dass S(n)(f ) für f ∈ S1 ein freier S(f ) -Modul ist. Dies folgt aus dem Isomorphismus
∼
S(f ) → S(n)(f )
s
7→ f n · fsm
fm
(beachte, dass S(n)m = Sn+m , und dass f invertierbar in Sf ist, so dass dies für beliebiges
n ∈ Z definiert ist).
(b) Wir definieren einen Morphismus von OX -Moduln
(8.6.1)
M̃ (n) = OX (n) ⊗OX M̃ → (M (n))∼
wie folgt: Wir haben für jedes p ∈ P roj(S) einen OX,p = S(p) -Modul-Homomorphismus
(8.6.2)
OX (n)p ⊗OX,p M̃p S(n)p) ⊗S(p) M(p) → M (n)(p)
s
⊗ mt 7→ ts0 · mt :=
t0
sm
t0 t
(mit m ∈ Mi , t ∈ Sj − pi , s ∈ Sj+n , t0 ∈ Sj − pj ).
Hieraus ergibt sich der Morphismus (8.6.1) auf lokalen Schnitten durch die Zuordnung
f ⊗ g 7→ (p 7→ f (p) · g(p)) .
Dann induziert (8.6.1) im Halm bei p gerade den Morphismus (8.6.2).
Nach Voraussetzung gibt es ein f ∈ S1 mit p ∈ D+ (f ), d.h., f ∈
/ p, und wie im Beweis von
(a) folgt, dass (8.6.2) ein Isomorphismus ist. Daher ist auch der Garbenmorphismus (8.6.1)
ein Isomorphismus.
Wir kommen nun zu projektiven Räumen. Sei A ein Ring, r ∈ N und
P = PrA = P roj(A [X0 , . . . , Xr ])
der projektive Raum. Dann haben wir also die invertierbaren OP -Moduln OP (n) für alle n ∈ Z. (Beachte, dass A[X0 , . . . , Xr ] als A-Algebra von den Elementen X0 , . . . , Xr ∈
A[X0 , . . . , Xr ]1 erzeugt wird). OP (n) heißt auch der n-te Twistmodul auf P = PrA , und
OP (1) heißt auch der kanonische (oder Serre-) Twistmodul. Nach 8.6. (b) gilt für n > 0
OP (n) ∼
= OP (1)∨ (Übungsaufgabe!).
= OP (−1)⊗n . Weiter gilt OP (−1) ∼
= OP (1)⊗n und OP (−n) ∼
Lemma 8.7 Für jedes n ∈ Z hat man einen kanonischen Isomorphismus von A-Moduln
(8.7.1)
∼
Γ(P, OP (n)) → A[X0 , . . . , Xr ]n .
97
Insbesondere ist Γ(P, OP ) ∼
= A und Γ(P, OP (n)) = 0 für n < 0.
Beweis Nach (8.4.2) und Bemerkung 8.3 haben wir einen kanonischen Isomorphismus von
A-Moduln
Γ(D+ (Xi ), OP (n)) ∼
= A[X0 , . . . , Xr ]Xi ,n .
Ist nun s ∈ Γ(P, OP (n)), so ist s|D+ (Xi ) von der Form
Pi (X0 , . . . , Xr )
,
Xini
wobei Pi homogen vom Grad ni + n ist. Dabei muss gelten
Pj
Pi
n
ni =
Xi
Xj j
in A[X0 , . . . , Xr ]Xi Xj ,
n
also Pi Xj j = Pj Xini (Xi Xj ist Nichtnullteiler). Daher gibt es ein homogenes Polynom Q vom
Grad n mit
Pi = Q · Xini .
Die Isomorphie (8.7.1) bildet s auf Q ab.
Lemma/Definition 8.8 Sei X ein Schema und F ein OX -Modul. Wir sagen F wird von
globalen Schnitten erzeugt, wenn folgende äquivalenten Bedingungen gelten:
(a) Es gibt eine Familie (si )i∈I von globalen Schnitten si ∈ Γ(X, F), so dass für jedes x ∈ X
der Halm Fx als OX,x -Modul von den Keimen (si )x (i ∈ I) erzeugt wird.
(I)
(b) F ist Quotient eines freien OX -Moduls OX .
Beweis der Äquivalenz: Wir haben einen kanonischen Isomorphismus
∼
HomOX (OX , F) → Γ(X, F)
f 7→ fX (1)
(für fX : Γ(X, OX ) → Γ(X, F)). Ein OX -Modul-Homomorphismus
(I)
ϕ : OX =
L
OX → F
i∈I
entspricht also gerade einer Familie (si )i∈I in Γ(X, F). Dabei
L ist ϕ genau dann ein Epimorphismus, wenn für jedes x ∈ X die Halmabbildung ϕX :
OX,x → Fx surjektiv ist; dies
i∈I
bedeutet gerade (a).
Beispiel 8.9 Auf P = PrA wird OP (n) für n < 0 nicht von globalen Schnitten erzeugt (da
dann Γ(P, OP (n)) = 0), aber OP (1) wird von den globalen Schnitten
X0 , . . . , Xr ∈ A[X0 , . . . , Xr ]1 = Γ(P, OP (1))
erzeugt, denn über dem affinen Schema D+ (Xi ) = Spec(A [X0 , . . . , Xn ](Xi ) ) entspricht OP (1)
dem A[X0 , . . . , Xn ](Xi ) -Modul Γ(D+ (Xi ), O(1)) = A[X0 , . . . , Xn ]Xi ,1 , und dieser ist frei mit
Basis X1i .
98
Bemerkung 8.10 (Pull-back von Schnitten) (a) Ist f : X → Y ein Morphismus von
Schemata und G ein OY -Modul, so haben wir einen Homomorphismus
f ∗ : Γ(Y, G) → Γ(X, f ∗ G)
s 7→ f ∗ (s) ,
der wie folgt beschrieben werden kann: Sei G → f∗ f ∗ G der Adjunktionsmorphismus. Durch
Übergang zu globalen Schnitten über Y erhalten wir hieraus den gewünschten Homomorphismus
G(Y ) → (f∗ (f ∗ G))(Y ) = (f ∗ G)(X) .
(b) Wird G von den globalen Schnitten ti (i ∈ I) erzeugt, so wird ϕ∗ G von den globalen
Schnitten ϕ∗ ti (i ∈ I) erzeugt. Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm
ϕ∗
Γ(Y, G)
/ Γ(X, f ∗ G)
can
²
Gy
²
can
/ (f ∗ G)x = (f −1 G ⊗f −1 O OX )x = Gy ⊗O OX,x
Y,y
Y
für x ∈ X und y = f (x) ∈ Y , wobei die untere Abbildung der offensichtliche Homomorphismus ist. Wird Gy von den Keimen (ti )y als OY,y -Modul erzeugt, so wird Gy ⊗OY,y OX,x als
OX,x -Modul von den Elementen (ti )y ⊗ 1 erzeugt; dies sind die Keime der Schnitte ϕ∗ ti .
Die Twistgarben OP (n) auf P = PrA werden oft nur mit O(n) bezeichnet. Der folgende Satz
beschreibt Morphismen in den projektiven Raum.
Satz 8.11 Sei A ein Ring, n ∈ N, PnA = P roj(A[X0 , . . . , Xn ]) und X ein A-Schema.
(a) Ist ϕ : X → PrA ein A-Morphismus, so wird der invertierbare OX -Modul ϕ∗ O(1) von den
globalen Schnitten ϕ∗ X0 , . . . , ϕ∗ Xn erzeugt.
(b) Ist umgekehrt L ein invertierbarer OX -Modul, der von den globalen Schnitten s0 , . . . , sn ∈
Γ(X, L) erzeugt wird, so gibt es genau einen A-Morphismus
ϕ : X → PnA
so dass L ∼
= ϕ∗ O(1) und si = ϕ∗ Xi für i = 0, . . . , n unter diesem Isomorphismus.
Beweis (a): Dies folgt aus 8.10 (b).
(b): Seien L und s0 , . . . , sn wie in (b). Für jedes i ∈ {0, . . . , n} sei
(8.11.0)
X(si ) := {x ∈ X | (si )x ∈
/ mx Lx } .
Dann ist X(si ) offen in X: Betrachte eine trivialisierende Überdeckung (Uj )j∈J für L, d.h.,
eine offene Überdeckung mit L|Uj ∼
= OUj . Es genügt zu zeigen, dass X(si ) ∩ Uj offen für alle
j ist, also können wir annehmen, dass L = OX ist, und wir erhalten den bekannten Fall
X(s) für s ∈ Γ(X, OX ).
Wir definieren nun A-Morphismen
(8.11.1)
ϕi : X(si ) → D+ (Xi ) ⊆ PnA
99
wie folgt. Da D+ (Xi ) = Spec(A[X0 , . . . , Xn ](Xi ) ) affin ist, genügt es, Morphismen von AAlgebren
#
"
X0
X̂i
Xn
,..., ,...,
→ Γ(X(si ), OX )
(8.11.2)
Ri := A[X0 , . . . , Xn ](Xi ) = A
Xi
Xi
Xi
zu definieren (nach 0.6). Nach Definition ist (si )x ∈ Lx − mx Lx für alle x ∈ X, also (si )x ein
Erzeugendes von Lx als OX,x -Modul (Nakayama-Lemma). Die Abbildung
∼
OX|X(si ) → L|X(si )
f 7→ f · si
(8.11.3)
ist also ein Isomorphismus von OX(si ) -Moduln.
(i)
Für jedes sj mit j 6= i gibt es also ein eindeutig bestimmtes fj ∈ Γ(X(si ), OX ) mit
(8.11.4)
(i)
sj = fj · si
auf X(si ) .
(i)
X
Wir definieren nun (8.11.2), indem wir Xji , für j ∈ {0, . . . , n} − {i}, auf fj
verselle Eigenschaft des Polynomrings).
abbilden (uni-
Es ergibt sich nun, dass sich die ϕi aus (8.11.1) verkleben, denn auf X(si ) ∩ X(sj ) gilt
(i)
(j)
sj = fj si und si = fi sj , so dass die durch Einschränkung von ϕi und ϕj auf X(si ) ∩ X(sj )
erhaltenen Ringhomomorphismen
Rij := A[X0 , . . . , Xn ](Xi Xj ) → Γ(X(si ) ∩ X(sj ), OX )
gleich sind (Beachte: Rij = (Ri ) Xj = (Rj ) Xi ). Weiter gilt
Xi
(8.11.5)
Xj
X =
n
[
X(si ) ,
i=0
da L von s0 , . . . , sn erzeugt wird (für jedes x ∈ X gibt es ein i mit (si )x ∈
/ mx Lx , also
x ∈ X(si )). Durch Verkleben der ϕi erhalten wir also einen A-Morphismus
ϕ : X → PnA .
Da O(1) auf D+ (Xi ) frei mit Basis Xi ∈ Γ(D+ (Xi ), O(1)) ist (Beispiel 8.9) und L auf X(si )
frei mit Basis si (siehe (8.11.3)) erhalten wir den gewünschten Isomorphismus
∼
σ : L → ϕ∗ O(1) ,
der gerade dadurch bestimmt ist, dass si auf ϕ∗ Xi abgebildet wird (i = 0, . . . , n).
Wir diskutieren nun die Eindeutigkeit. Sei
ψ : X → PnA
ein weiterer Morphismus, sei M ein invertierbarer OX -Modul, sei
∼
τ : M → ψ ∗ O(1)
100
ein Isomorphismus, und seien t0 , . . . , tn ∈ Γ(X, M) die Schnitte mit τ (ti ) = ψ ∗ Xi .
Für x ∈ X und y = ψ(x) induziert τ einen Isomorphismus von OX,x -Moduln
∼
Mx → O(1)y ⊗OPn ,y OX,x
(ti )x 7→ (Xi )y ⊗ 1 .
Weil OPn ,y → OX,x ein lokaler Morphismus ist, erhalten wir hieraus einen Isomorphismus
∼
Mx /mx Mx → O(1)y /my O(1)y ⊗k(y) k(x) ,
und es folgt
(ti )x ∈
/ mx Mx ⇔ (Xi )y ∈
/ my O(1)y .
Also gilt
ψ −1 (D+ (Xi )) = X(ti ) .
Daher induziert ψ einen Morphismus
(8.11.6)
ψi : X(ti ) → D+ (Xi )
(Beachte: Es ist gerade D+ (Xi ) = PnA (Xi ) für Xi ∈ Γ(PnA , O(1)) wie in (8.11.0) definiert).
Dieser Morphismus ψi entspricht einem Homomorphismus von A-Algebren
βi : Ri = A[
X0
Xm
,...,
] → Γ(X(ti ), OX ) .
Xi
Xi
Weiter entspricht τ eingeschränkt auf X(ti ) einem Isomorphismus
∼
Γ(X(ti ), OX )ti → A[
X0
Xn
,...,
]Xi ⊗Ri Γ(X(ti ), OX )
Xi
Xi
der die Basis ti auf die Basis Xi ⊗ 1 abbildet, und den Schnitt
Xj =
(i)
Xj
· Xi
Xi
auf tj .
(i)
Gilt nun tj = gj · ti mit gj ∈ Γ(X, ti ), OX ), so folgt, dass
βi (
Xj
(i)
) = gj .
Xi
Seien nun L, (s0 , . . . , sn ), ϕ und σ wie am Anfang des Beweises. Gilt M = L und ti = si für
(i)
(i)
alle i = 0, . . . , n, so folgt fj = gj für alle i, j, so dass ψ = ϕ; dies zeigt die behauptete
Eindeutigkeit.
Genauer gilt das Folgende: Ist ψ = ϕ, so haben wir einen Isomorphismus
σ
τ −1
∼
∼
L → ϕ∗ O(1) = ψ ∗ O(1) → M ,
der (s0 , . . . , sn ) auf (t0 , . . . , tn ) abbildet. Haben wir umgekehrt einen Isomorphismus
∼
γ : L → M,
101
der (s0 , . . . , sn ) auf (t0 , . . . , tn ) abbildet, so gilt X(si ) = X(ti ) für alle i sowie
(i)
(i)
gj
= fj
für alle i und j; hieraus folgt ψ = ϕ.
Corollar 8.12 Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge
¯
½
¾
¯ L invertierbarer OX -Modul,
Ln (X) := (L, s0 , . . . , sn ) ¯¯
/ Isomorphie
s0 , . . . , sn ∈ Γ(X, L) Schnitte die L erzeugen
und der Menge
HomA (X, PnA ) .
Hierbei heißen (L, s0 , . . . , sn ) und (M, t0 , . . . , tn ) isomorph, wenn es einen Isomorphismus
∼
γ : L → M gibt, der (s0 . . . . , sn ) auf (t0 , . . . , tn ) abbildet.
Bemerkung 8.13 (a) Sei (Li )i∈I ein Repräsentantensystem für P ic(X), d.h., eine Familie
von invertierbaren OX -Moduln, so dass jeder invertierbare OX -Modul L zu genau einem Li
isomorph ist. Dann steht Ln (X) in Bijektion zur Menge
a
{(s0 , . . . , sn ) ∈ Γ(X, Li )n | Li wird von s0 , . . . , sn erzeugt}/Γ(X, OX )×
i∈I
(viele der rechts stehenden Mengen können leer sein), wobei λ ∈ Γ(X, OX )× auf der angegebenen Menge operiert, indem (s0 , . . . , sn ) auf (λs0 , . . . , λsn ) abgebildet wird. Fixiert
man nämlich Li aus der Isomorphieklasse [L], so brauchen wir nur noch Isomorphismen
∼
γ : Li → Li zu betrachten; für jeden invertierbaren OX -Modul L haben wir aber einen
Isomorphismus
∼
(8.13.1)
Γ(X, OX )× → AutOX (L)
λ 7→ Multiplikation mit λ ,
der aus den Ringhomomorphismen
(8.13.2)
∼
Γ(X, OX ) → HomOX (L, L)
folgt (globale Schnitte in (7.5.2) nehmen).
(b) Andererseits steht Ln (X) in Bijektion zur Menge
¯
½
¾
¯ L invertierbarer OX -Modul
n+1
Mn (X) = ϕ : OX ³ L ¯¯
/ Isomorphie
ϕ Epimorphismus
n+1
n+1
wobei eine Isomorphie zwischen ϕ1 : OX
³ L1 und ϕ2 : OX
³ L2 ein kommutatives
Diagramm
= L1
||
||
|
|
||
ϕ1
n
OX
o γ
BB
BB
B
ϕ2 BBB
! ²
L2
102
n+1
mit einem Isomorphismus γ ist. Denn nach 8.8 entspricht ein Epimorphismus OX
³ L von
OX -Moduln gerade der Wahl von n + 1 Schnitten s0 , . . . , sn ∈ Γ(X, L) die L erzeugen.
(c) Die Zuordnung X Ã Ln (X) liefert einen kontravarianten Funktor
Ln : Sch/A → Sets
von der Kategorie der A-Schemata in die Kategorie der Mengen: Für einen A-Morphismus
f : X 0 → X erhalten wir f ∗ : Ln (X) → Ln (X 0 ), indem wir die Klasse von (L, s0 , . . . , sn ) auf
die Klasse von (f ∗ L, f ∗ s0 , . . . , f ∗ sn ) abbilden (vergleiche Bemerkung 8.10 (b)). Corollar 8.12
lässt sich dann präziser so ausdrücken, dass Ln durch das A-Schema PnA dargestellt wird,
d.h., wir haben sogar einen in X funktoriellen Isomorphismus
∼
Ln (X) → HomA (X, PnA ) =: PnA (X) ,
d.h., es ist
∼
Ln → PnA ,
wobei Y den durch Y dargestellten Funktor auf Sch/A bezeichne (siehe Anhang 1.A, wo Y
mit hY bezeichnet wird).
Entsprechend haben wir nach Bemerkung (b) einen kontravarianten Funktor X pà Mn (X)
n+1
(für f : X 0 → X ist f ∗ : Mn (X) → Mn (X 0 ) die Abbildung, die ϕ : OX
³ L auf
n+1
∗
∗ n+1
∗
n
f ϕ : f OX = OX 0 ³ f L abbildet), und PA stellt auch den Funktor X Ã Mn (X) dar.
Beispiel 8.14 (Automorphismen des Pnk ) Sei k ein Körper und n ∈ N. Dann haben wir einen
Homomorphismus
Gln+1 (k) → Autk (Pnk )
(8.14.1)
von der Gruppe der invertierbaren (n + 1) × (n + 1)-Matrizen über k in die Gruppe der
k-Automorphismen von Pnk . Ist nämlich A = (aij ) ∈ Gln+1 (k), so induziert A einen kAutomorphismus von
S = k[X0 , . . . , Xn ] ,
P
indem Xi auf aij Xi abgebildet wird. Dies ist ein Automorphismus von graduierten Ringen
und induziert einen Automorphismus von
Pnk = P roj(S) .
Wir erhalten einen Homomorphismus wie in 8.13.1, der über P Gln+1 (k) := Gln+1 (k)/k × faktorisiert (Hier ist k × die Untergruppe k × E, wobei E die Einheitsmatrix ist). Wir behaupten
nun, dass
∼
P Gln+1 (k) → Autk (Pnk )
(8.14.2)
ein Isomorphismus ist: Wir benutzen Corollar 8.12 bzw. Bemerkung 8.13. Es gilt P ic(Pnk ) ∼
=
Z, mit Erzeuger O(1) (siehe Übungsaufgabe 42) und vermöge der Isomorphien
P ic(Pnk ) ∼
= CH 1 (X)
= CaCl(Pnk ) ∼
entsprechen sich die Klassen von
O(1) bzw. (D+ (Xi ), Xi ) bzw. V+ (X0 )
103
.
∼
Ist α : Pnk → Pnk ein k-Automorphismus, so muss (α∗ O(1)) wieder ein Erzeuger von P ic(Pnk ) =
Z sein, es muss also α∗ O(1) isomorph zu O(1) oder O(−1) sein. Wegen Γ(Pnk , O (−1)) = 0
muss also α∗ O(1) ∼
= O(1) sein. Nun ist Γ(Pnk , O(1)) ein (n + 1)-dimensionaler Vektorraum
mit Basis (X0 , . . . , Xn ), und (α∗ X0 , . . . , α∗ Xn ) muss wieder eine Basis sein. Daher ist
X
α ∗ Xi =
aij Xj
mit einer Matrix A = (aij ) ∈ Gln+1 (k). Dann ist α gerade durch den Automorphismus A wie
oben gegeben. Dies zeigt die Surjektivität von (8.14.1). Weiter ist das Tupel (O(1), s0 , . . . , sn ),
mit (s0 , . . . , sn ) k-Basis von Γ(Pn , O(1), genau dann isomorph zu (O(1), s00 , . . . , s0n ), wenn es
einen Automorphismus ϕ : O(1) → O(1) mit ϕ(si ) = s0i für alle i gibt. Ein solcher Isomorphismus ϕ ist aber von der Form λ ∈ k × (d.h., Multiplikation mit λ ∈ k × ), siehe (8.13.1).
Wir verallgemeinern nun die Proj-Konstruktion, ähnlich wie man die Spec-Konstruktion
verallgemeinern kann (siehe Übungsaufgabe 30).
Sei X ein Schema und S eine quasi-kohärente graduierte OX -Algebra, d.h., eine quasikohärente OX -Algebra mit einer Graduierung
S =
∞
L
n=0
Sn ,
so dass für jedes offene U ⊆ X gilt: Sm (U ) · Sn (U ) ⊆ Sm+n (U ).
π
Satz 8.15 (a) Es gibt ein kanonisches X-Schema P = P roj(S) → X zusammen mit Isomorphismen von U -Schemata
∼
π −1 (U ) → P roj(ϕ(U ))
für jedes affine offene Unterschema U = Spec(A) ⊆ X, die mit Restriktionen für U ⊇ V
affin offen verträglich sind.
(b) Für jeden graduierten ϕ-Modul M auf X (offensichtliche Definition), der quasi-kohärent
als OX -Modul ist, gibt es einen kanonischen quasi-kohärenten OP -Modul M∼ zusammen
mit Isomorphismen (von Oπ−1 (U ) -Moduln)
∼
M∼ |π−1 (U ) → Γ(U, M)∼ ,
für alle affinen offenen Unterschemata U ⊆ X, die verträglich mit den Restriktionen für
U ⊇ V affin offen in X sind. Hierbei sei Γ(U, M)∼ für den graduierten S = Γ(U, ϕ)-Modul
M = Γ(U, M) wie in 8.4 definiert.
(c) In der Situation von (b) hat man einen kanonischen Homomorphismus von Γ(X, OX )Moduln
Γ(X, M0 ) → Γ(P roj(S), M∼ ) .
π
U
Beweis(a) Für U = Spec(A) ⊆ X affin offen definiere das U -Schema ZU = P roj(S(U )) →
U
(wie in Alg. Geo. I Definition 10.13 definiert). Für f ∈ A sieht man leicht, da S quasikohärent ist, dass P roj(S(D(f ))) = P roj(S(U )f ) = πU−1 (D(f )). Hieraus folgt mit den
104
üblichen Schlüssen, dass man für eine weitere affine offene Menge V ⊆ X einen kanonischen Isomorphismus
πU−1 (U ∩ V ) ∼
= πV−1 (U ∩ V )
hat. Mittels dieser Isomorphismen lassen sich die ZU für U ⊆ X affin zu einem X-Schema
π : Z → X verkleben, welches wir P roj(S) nennen. Es erfüllt offenbar die gewünschten
Eigenschaften.
(b) Dies wird mit ähnlichen Schlüssen bewiesen.
(c) Für U = Spec(A) ⊆ X affin offen, die graduierte A-Algebra S = Γ(U, S) und den
graduierten S-Modul M = Γ(U, M) haben wir einen kanonischen Homomorphismus von
A-Moduln
(8.15.1)
Γ(U, M0 ) = M0 → Γ(P roj(S), M ∼ ) = Γ(P roj(Γ(U, S)), Γ(U, M)∼ )
wie folgt: Für jedes homogene f ∈ S haben wir einen Homomorphismus
(8.15.2)
M0 → Γ(D+ (f ), M ∼ ) = M(f )
m 7→ m1 .
Diese Schnitte m1 verkleben sich zu einem Schnitt m1 in Γ(P roj(S), M ∼ ) und wir erhalten
(8.15.1). Die Homomorphismen (8.15.1), gedeutet als Homomorphismen
Γ(U, M0 ) → Γ(π −1 (U ), M∼ ) = Γ(P roj(Γ(U, S)), Γ(U, M)∼ ),
für alle U ⊆ X affin offen, verkleben sich wiederum zu dem gewünschten Homomorphismus
Γ(X, M0 ) → Γ(P roj(S), M∼ ) .
Als erste Anwendung definieren wir projektive Bündel (vergleiche Übungsaufgaben 40 und
43 für den Fall affiner Bündel, auch Vektorbündel genannt).
Definition 8.16 Sei E ein lokal freier OX -Modul von endlichem Rang. Für die quasikohärente graduierte OX -Algebra S = Sym E = ⊕n≥0 Symn E (vergleiche Übungsaufgabe
40) definiere das projektive Bündel zu E als
P(E) := PX (E) := P roj(Sym E) .
n+1
ist
Beispiel 8.17 Für E = OX
Sym E ∼
= OX [X0 , . . . , Xn ] = OX ⊗Z Z[X0 , . . . , Xn ]
(= Garbe assoziiert zur Prägarbe U 7→ Γ(U, OX )[X0 , . . . , Xn ]) und es folgt
n+1 ∼
PX (OX
) = PnX .
Satz 8.18 Für jedes X-Schema f : T → X gibt es eine kanonische Bijektion
¯
¾
¯ L invertierbarer OT -Modul
∼
∗
/ Isomorphie
HomX (T, PX (E)) → L(E, T ) := {ϕ : f E ³ L ¯¯
ϕ Epimorphismus
105
wobei ein Isomorphismus ein kommutatives Diagramm
L
{= =
{{
{
{{
{{
f ∗E C
o γ
CC
CC
CC
C! ! ²
L0
mit einem Isomorphismus γ ist. Die Bijektion ist funktoriell in T , d.h., PX (E) stellt den
Funktor T pà L(E, T ) auf der Kategorie Sch/X der X-Schemata dar.
Wir beginnen mit der folgenden allgemeinen
Definition 8.19 Sei S eine graduierte OX -Algebra, die als OX -Modul quasi-kohärent ist.
Sei weiter M ein graduierter S-Modul, der als OX -Modul quasi-kohärent ist.
(a) Für n ∈ Z definiere den getwisteten Modul M(n) durch die neue Graduierung
M(n)i = Mn+i .
(b) Für P = P roj(S) und n ∈ Z definiere die quasi-kohärenten OP -Moduln O(n) = OP (n) =
S(n)∼ . Für jeden quasi-kohärenten OP -Modul F setze F(n) := OP (n) ⊗OP F.
Lemma 8.20 Ist S0 = OX , und wird S als OX -Algebra von S1 erzeugt, so sind sie Garben
O(n) invertierbare OP -Moduln.
Beweis Für jedes offene affine U ⊆ X ist π −1 (U ) ∼
= P roj(S(U )) und O(n)|π−1 (U ) =
S(U )(n)∼ (π : P = P roj(S) → X der Strukturmorphismus), so dass die Behauptung
aus Proposition 8.6 (a) folgt.
Beweis von Satz 8.18: Sei π : PX (E) → X der Strukturmorphismus. Wir haben die
invertierbaren Garben O(n) auf PX (E) = P roj(Sym E), da S = Sym E die Voraussetzungen
von 8.20 erfüllt. Indem wir 8.15 (c) auf den graduierten S-Modul S(1) anwenden, erhalten
wir für alle offenen U ⊆ X kanonische Homomorphismen
Γ(U, E) = Γ(U, S(1)0 ) → Γ(π −1 (U ), S(1)∼ ) = Γ(π −1 (U ), O(1)) .
Diese sind nach Konstruktion mit Restriktionen für V ⊆ U offen verträglich, definieren also
einen OX -Modul-Morphismus
E → π∗ O(1) .
Durch Adjunktion erhalten wir hieraus einen Op -Modul-Morphismus
ϕuniv : π ∗ E → O(1) .
Dieser ist ein Epimorphismus: Indem wir affine offene Teilmengen U ⊆ X betrachten, für die
E|U ein freier OU -Modul ist, und die Einschränkung von ϕuniv auf π −1 (U ), können wir hierfür
n+1
ein freier OX -Modul
ohne Einschränkung annehmen, dass X = Spec(A) affin und E ∼
= OX
n+1
n
ist. Dann ist P = PX (OX ) = PA und wir erhalten den bekannten Epimorphismus
n+1
³ O(1) .
OX
106
Ist nun f : T → X ein X-Schema und
g : TE
E
EE
EE
f EE
"
X
/ PX (E)
xx
xx
x
x π
|xx
ein X-Morphismus, so liefert dies den Epimorphismus von OT -Moduln
ϕ : f ∗E = g∗π∗E
g ∗ (ϕuniv )
/ / g ∗ O(1) =: L
wobei L invertierbar ist. Ist umgekehrt
ϕ : f ∗E ³ L
ein Epimorphismus von OT -Moduln, wobei L invertierbar ist, so erhält man hieraus einen
X-Morphismus
g : T → PX (E) ,
den man auf zwei äquivalente Arten beschreiben kann:
1) Wählt man eine trivialisierende Überdeckung (Ui )i∈I für E, so erhält man nach Satz 8.11
bzw. Bemerkung 8.18 (b) Ui -Morphismen gi : f −1 (Ui ) → π −1 (Ui ), die sich zum gewünschten
g zusammenkleben.
2) ϕ induziert einen Epimorphismus von graduierten OX -Algebren
Symf ∗ E ³ Sym L ,
der wiederum einen X-Morphismus
PT (L) = P roj(Sym L) → P roj(Sym f ∗ E) = PT (f ∗ E)
induziert (vergleiche Alg. Geo. I, Übungsblatt 14, Aufgabe 4, sowie 8.A.5).
Andererseits gilt:
Lemma 8.21 (a) Ist L ein invertierbarer OT -Modul, so ist PT (L) → T ein Isomorphismus.
(b) Man hat einen kanonischen T -Isomorphismus
PT (f ∗ E) ∼
= T ×X PX (E) .
Dies liefert den gewünschten X-Morphismus
T ∼
= PT (L) → PT (f ∗ E) → PX (E), .
Die Bijektion in Satz 8.18 ergibt sich nun leicht (Details: Übungsaufgabe).
Beweis von Lemma 8.21 (a): Diese Frage ist lokal auf T ; also ist ohne Einschränkung
∼
T = Spec(A) affin und L = OT . Hier ist PT (L) = P0A = P roj(A[T ]) → Spec(A), denn es ist
∼
A[T ](T ) ← A.
107
(b) Die Frage ist wieder lokal und folgt also aus dem kanonischen Isomorphismus
∼
PnB → PnA ×Spec (A) Spec(B)
für einen Ringhomomorphismus A → B.
Wir kommen nun zu Aufblasungen.
Definition 8.22 Sei X ein Schema, D ⊆ X ein abgeschlossenes Unterschema und J ⊆ OX
die zugehörige quasi-kohärente Idealgarbe (siehe Lemma 6.5). Die Aufblasung von X im
Zentrum D (oder bezüglich der Idealgarbe J) ist definiert als
BlD (X) := P roj(
∞
L
J d) .
d=0
Nach Konstruktion ist dies ein X-Schema, d.h., man hat einen kanonischen Morphismus
π : BlD (X) → X .
Beispiel 8.23 Sei k ein Körper. Betrachte X = Ank und D = 0 (den Nullpunkt, mit reduzierter Struktur). Dann ist X = Spec(A) für A = k[x1 , . . . , xn ] und D durch das maximale
Ideal m =< x1 , . . . , xn > gegeben. Wir haben eine Surjektion von graduierten A-Algebren
∞
L
ψ : A[X1 , . . . , Xn ] ³
d=0
md
Xi 7→ xi ∈ m
(i = 1, . . . , n) .
Man sieht leicht, dass das homogene Ideal a = ker ψ von den Elementen
xi Xj − xj Xi
,
i, j = 1, . . . , n
erzeugt wird. Wir haben also eine abgeschlossenen Immersion (siehe 8.A.5)
ν : Bl0 (Ank ) = P roj(
∞
L
n=0
mn ) ,→ P roj(A[X1 , . . . , Xn ]) = PAn−1
= Pn−1
×k Ank .
n
k
k
In der Karte D+ (Xi )(i ∈ {1, . . . , n}) haben wir den Polynomring
"
#
X̂i
X1
Xn
A[X1 , . . . , Xn ](Xi ) = A
,..., ,...,
,
Xi
Xi
Xi
und das induzierte Ideal a(Xi ) , welches offenbar von den Elementen
xj − xi
Xi
Xj
, j = 1, . . . , n ,
erzeugt wird. Das Urbild von D+ (Xi ) in Bl0 (Ank ) = P roj(⊕mn ) ist das affine Schema
D+ (xi ) = Spec(Ai ), und wir erhalten die Beschreibung
h i
X
X
Ai = k[x1 , . . . , xn ] Xji / < xj − xi Xji >
= k[x01 , . . . , x0n ]
108
(Polynomring)
wobei
x0j = Bild von
x0i = xi .
Xj
Xi
(j 6= i)
Der Ringhomomorphismus
A = k[x1 , . . . , xn ] → k[x01 , . . . , x0n ] = Ai
ist durch die Zuordnung
½
xj 7→
xi x0j , j =
6 i,
0
xi , j = i
gegeben. Wir haben also neue Elemente x0j eingeführt, die die Gleichung xj = xi x0j erfüllen,
also sozusagen
xj
“ x0j =
”.
xi
Dies ist die Idee der Aufblasung.
Wir beschreiben nun die universelle Eigenschaft von Aufblasungen.
Definition 8.24 Sei f : Z → X ein Morphismus von Schemata und J ⊆ OX eine Idealgarbe.
Die Urbild-Idealgarbe f −1 J · OZ ist die Idealgarbe in OZ , die vom Bild des Morphismus
f −1 J ,→ f −1 OX → OZ
(8.24.1)
erzeugt wird.
Bemerkung 8.25 (a) Manchmal wird f −1 J · OZ einfach mit J · OZ bezeichnet.
(b) Das Bild von (8.24.1) ist im Allgemeinen kein Ideal.
(c) f −1 J · OZ ist auch das Bild des kanonischen Morphismus
f ∗ J → f ∗ OX = OZ ,
(8.25.1)
aber dieser ist im Allgemeinen kein Monomorphismus.
(d) Sei D ⊆ X ein abgeschlossenes Unterschema, und sei J ⊆ OX die Idealgarbe zu D. Dann
ist
(8.25.2)
D ×X Z ,→ Z
eine abgeschlossene Immersion mit Idealgarbe f −1 J · OZ .
Denn: Hierfür können wir annehmen, dass Z = Spec(B) und X = Spec(A) affin sind. Dann
ist J durch ein Ideal I ⊆ A gegeben und f −1 JOZ entspricht dem Ideal IB. Weiter ist
D ×X Z = Spec(A/I ⊗A B) ∼
= Spec(B/IB)
und der Morphismus (8.25.2) entspricht der Surjektion
B ³ B/IB .
Hieraus folgt die Behauptung.
109
Satz 8.26 (Universelle Eigenschaft von Aufblasungen) Sei X ein noethersches Schema, J ⊆
OX eine quasi-kohärente Idealgarbe und π : X 0 = BlD (X) → X die Aufblasung von X im
abgeschlossenen Unterschema D = V (J).
(a) π −1 J · OX 0 ist ein invertierbares OX 0 -Ideal (d.h., ein OX 0 -Ideal, welches invertierbar als
OX 0 -Modul ist). Insbesondere erhalten wir so einen effektiven (Cartier-) Divisor auf X 0 , den
man auch den exzeptionellen Divisor der Aufblasung nennt.
(b) Ist f : Z → X ein Morphismus von Schema und ist f −1 J ·OZ ein invertierbares OZ -Ideal,
so gibt es genau einen Morphismus g : Z → BlD (X), der das Diagramm
∃!g
Z P_PP_P _ _ _ _/ BlD (X)
PPP
PPP
π
PPP
f
PPP ²
'
X
kommutativ macht (d.h., π ist universell für X-Schemata Z, auf denen das Urbild von J
invertierbar wird).
Beweis Beide Aussagen sind lokal in X; für (b) gilt dies wegen der Eindeutigkeit von g. Es
ist also ohne Einschränkung X = Spec(A) affin, mit einem noetherschen Ring A und daher
J durch ein endlich erzeugtes Ideal I ⊆ A gegeben. Dann ist X 0 = P roj(S), mit
∞
L
S=
Id
d=0
als graduierte A-Algebra. Seien a0 , . . . , an ∈ I Erzeugende von I. Dann haben wir einen
surjektiven Homomorphismus von graduierten A-Algebren
(8.26.1)
ψ : A[X0 , . . . , Xn ] → S ,
indem wir Xi auf ai ∈ I = S1 abbilden. Dieser Homomorphismus induziert eine abgschlossene
Immersion
(8.26.2)
ν : X 0 = P roj(S) ,→ P roj(A[X0 , . . . , Xn ]) = PnA =: P
von A-Schemata (dies folgt sofort aus der Definition der P roj-Konstruktion, siehe 8.A.5).
Der Kern von ψ ist das homogene Ideal in A[X0 , . . . , Xn ], welches von allen homogenen
Polynomen F (X0 , . . . , Xn ) mit F (a0 , . . . , an ) = 0 erzeugt wird.
(a): Nach Konstruktion ist ν −1 (D+ (Xi )) = D+ (ai ) und die Einschränkung D+ (ai ) → D+ (Xi )
von ν entspricht dem surjektiven Ringhomomorphismus
A[X0 , . . . , Xn ](Xi ) ³ S(ai )
Xj
Xi
7→
aj
ai
.
Das Ideal π −1 J · OX 0 eingeschränkt auf D+ (ai ) entspricht dem Ideal I · S(ai ) und wird von
a
a0 , . . . , an erzeugt. Wegen aj = aji · ai wird es also von dem einen Element ai erzeugt, und
da ai ein Nicht-Nullteiler in S(ai ) ⊆ Sai ist, ist
∼
S(ai ) → S(ai ) ai
x 7→ xai
110
ein Isomorphismus, also π −1 J · OX 0 |D+ (ai ) frei, mit Basis ai .
(b): Existenz von h: Sei f : Z → X ein Morphismus, für den L := f −1 J ·OZ ein invertierbares
Ideal ist. Weil I = Γ(X, J) von a0 , . . . , an erzeugt wird und X nach Voraussetzung affin ist,
wird J von a0 , . . . , an erzeugt, und daher L von den Bildern s0 , . . . , sn der ai in Γ(Z, L). Die
Familie (L, s0 , . . . , sn ) liefert also nach 8.11 einen eindeutig bestimmten X-Morphismus
h : Z → PnX = P
(8.26.3)
∼
mit einem Isomorphismus γ : L → g ∗ O(1) und γ(si ) = h∗ Xi
(i = 0, . . . , n).
Behauptung: h faktorisiert in eindeutiger Weise über die abgeschlossene Immersion ν.
Beweis: Hierfür ist zu zeigen, dass die Idealgarbe K ⊆ OP zu ν, d.h., K = ker(ν ] : OP →
ν∗ OX 0 ), im Kern von h] : OP → g∗ OZ liegt (universelle Eigenschaft von abgeschlossenen
Unterschemata, siehe Übungsaufgabe 32). Dazu können wir annehmen, dass Z = Spec(B)
affin ist. Die Mengen Z(ai ) = D(ai ), für i = 0, . . . , n, bilden eine offene Überdeckung von Z
(siehe den Beweis von Satz 8.11). Es genügt also, für alle i die Einschränkungen von h
Spec(Bai ) = D(ai ) → D+ (Xi ) = Spec(A[X0 , . . . , Xn ](Xi ) )
zu betrachten, und, äquivalent dazu, die A-Algebren-Homomorphismen
h
i
X̂i
Xn
0
βi = h]D+ (Xi ) : A X
→ Bai
,
.
.
.
,
.
.
.
,
Xi
Xi
Xi
Xj
Xi
7→
aj
ai
.
Nun folgt die Behauptung aus der Tatsache, dass hierunter Ker(ψ)(Xi ) (für ψ wie in (8.26.1)
definiert) auf 0 abgebildet wird. Dies folgt aus der früher gegebenen Beschreibung: Für
F (X0 , . . . , Xn ) homogen vom Grad d in Ker(ψ) ist F (a0 , . . . , an ) = 0, also wird das Element
F (X0 , . . . , Xn )Xi−d unter βi auf 0 abgebildet.
Wir haben also einen Morphismus g : Z → X 0 konstruiert, der
g
/ X0Â Ä
ν
/ Pn =: P
X
EE
uu
EE
uu
u
π
E
uu p
f EE
" ² zuuu
h : ZEE
X
kommutativ macht.
Eindeutigkeit von h: Für jeden solchen Morphismus haben wir L = f −1 J · OZ = g −1 (π −1 J ·
OX 0 ) · OZ . Nach (a) ist L0 := π −1 J · OX 0 invertierbar; tatsächlich ist L0 = OX 0 (1), wie in
Definition 8.5 definiert und in Lemma 8.6 als invertierbar erkannt. Damit erhalten wir einen
Epimorphismus
α : g ∗ L0 ³ L
von invertierbaren OZ -Moduln (vergleiche Bemerkung 8.25 (c)). Nach dem folgenden Lemma
ist dann α ein Isomorphismus. Wir haben also einen Isomorphismus
∼
α : h∗ OP (1) = g ∗ OX 0 (1) → L ,
111
unter dem offenbar die globalen Schnitte X0 , . . . , Xn auf s0 , . . . , sn abgebildet werden. Die
behauptete Eindeutigkeit von g folgt also aus der Eindeutigkeit von h (Satz 8.11), zusammen
mit der eindeutigen Faktorisierung von h als νg (Übungsaufgabe 32).
Lemma 8.27 Sei (X, OX ) ein lokal geringter Raum und ϕ : L → M ein Epimorphismus
von invertierbaren OX -Moduln. Dann ist ϕ ein Isomorphismus.
Beweis Wir haben zu zeigen, dass die Halmabbildungen injektiv sind. Da die Halme Lx und
Mx freie OX,x -Moduln vom Rang 1 sind, haben wir also ohne Einschränkung einen lokalen
Ring R und einen surjektiven R-Modul-Homomorphismus
ϕ : R ³ R.
Dann ist ϕ(1) nicht im maximalen Ideal m ⊆ R enthalten, also a = ϕ(1) eine Einheit. Ist
nun r ∈ R mit 0 = ϕ(r) = rϕ(1) = ra, so folgt 0 = ϕ(r)a−1 = r.
Corollar 8.28 Sei f : Y → X ein Morphismus von noetherschen Schemata, sei D ⊆ X
ein abgeschlossenes Unterschema mit Idealgarbe J ⊆ OX und D0 ⊆ Y das abgeschlossene
Unterschema zur Idealgarbe J 0 = f −1 J ·OY (dies entspricht nach Bemerkung 8.25 (d) gerade
D ×X Y ,→ Y ).
(a) Es gibt einen eindeutig bestimmten Morphismus f 0 : BlD0 (Y ) → BlD (X), der das Diagramm
f0
Y 0 = BlD0 (Y )
²
/ BlD (X) = X 0
²
/X
f
Y
kommutativ macht.
(b) Ist f eine abgeschlossene Immersion, so auch f 0 . Wir nennen dann Y 0 auch die strikte
Transformierte von Y in X 00 .
Beweis (a) folgt sofort aus der universellen Eigenschaft.
(b): Die Behauptung ist lokal in X; wie können also annehmen, dass X = Spec(A) affin
ist. Dann ist nach Voraussetzung Y = Spec(A0 ) für einen Epimorphismus A ³ A0 . Weiter
entspricht J einem Ideal I ⊆ A und f −1 JOY dem Ideal I = IA0 ; dabei ist in diesem Fall
I ³ I surjektiv. Daher ist
n
⊕ In → ⊕ I
n≥0
surjektiv und
n≥0
n
Y 0 = P roj(⊕I ) ,→ P roj(⊕I n ) = X 0
eine abgeschlossene Immersion (siehe 8.A.5).
Lemma 8.29 Sei π : BlD (X) → X die Aufblasung im abgeschlossenen Unterschema D ⊆ X.
Für die offene Menge U = X − D ist dann
π
π −1 (U ) → U
∼
ein Isomorphismus (d.h., π ist ein “Isomorphismus außerhalb von D”).
112
Beweis Es ist J|U = OU , und die P roj-Konstruktion ist mit Restriktionen auf offene Unterschemata verträglich. Daher gilt
L
L
∼
π −1 (U ) = P roj(( J n )|U ) = P roj( OU ) → U
d≥0
d≥0
nach 8.21 (a).
Die Behauptung folgt auch unmittelbar aus der universellen Eigenschaft der Aufblasung;
allgemeiner folgt hieraus, aber auch aus 8.21(a):
Lemma 8.30 Ist D ⊆ X ein abgeschlossenes Unterschema mit invertierbarer Idealgarbe
∼
J ⊆ OX , so ist π : BlD (X) → X ein Isomorphismus.
Aufblasungen können (hoffentlich immer) zur Auflösung von Singularitäten genommen werden.
Beispiel 8.31 Betrachte die Knotenkurve/Neilsche Parabel C : y 2 = x3
über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k, also
C = Spec(k[x, y]/ < y 2 − x3 >) ,→ Spec(k[x, y]) = A2k .
Der Gradient von f (x, y) = y 2 − x3 ist
grad(f ) = (−3x2 , 2y) .
Der einzige abgeschlossene Punkt von C, der nicht regulär ist, ist der Ursprung 0 = (0, 0)
(siehe Übungsaufgabe 39; dies gilt auch für char(k) = 2, 3.). Wir blasen A2k und C in 0
auf und erhalten in der Karte D+ (X) (Man spricht auch von der X-Karte, oder der Karte
X 6= 0)
A1 = k[x, y 0 ] ³ k[x, y 0 ]/ < (y 0 )2 − x > ,
also die reguläre Parabel C 0 = Spec(k[x, y 0 ]/ < (y 0 )2 − x >)
113
In Gleichungen, mit der neuen Variable y 0 mit y = y 0 x drückt sich dies so aus
y 2 = x3
(y x)2 = x3
C0 :
y 02 = x .
0
/ : x2
Der exzeptionelle Divisor ist durch die Gleichung x = 0 gegeben, also gleich die y 0 -Achse. Er
ist tangential zu C 0 in 0.
In der Y -Karte D+ (Y ) erhalten wir x0 mit x = y · x0 und die Gleichung
y 2 = (yx0 )3
C 0 : 1 = y · x03 .
die ebenfalls regulär ist.
114
/ : y2
Der exzeptionelle Divisor ist hier durch y = 0 gegeben, also die x0 -Achse – er schneidet die
strikte Transformierte C 0 in dieser Karte nicht.
Global beschrieben ist
C 0 = P roj(k[x, y][X, Y ]/ < Y 2 − xX 2 >) .
115
8.A Projektive Schemata und homogene Ideale
Wir zeigen in diesem Anhang, dass alle abgeschlossenen Unterschemata von PnA , für einen Ring A, durch
homogene Ideale gegeben sind.
Sei S = ⊕ Si ein graduierter Ring, der als S0 -Algebra von S1 erzeugt wird, und sei X = P roj(S). Dann
i≥0
sind die Garben OX (n) = S(n)∼ invertierbare OX -Moduln für alle n ∈ Z.
Definition 8.A.1 Für jeden quasi-kohärenten OX -Modul F definiere Γn (X, F) := Γ(X, F(n)) und
Γ∗ (X, F) = ⊕ Γ(X, F(n))
n∈Z
(Erinnerung: Es ist F(n) = OX (n) ⊗OX F).
Lemma 8.A.2 (a) Γ∗ (X, F) ist in kanonischer Weise ein graduierter S-Modul.
(b) Ist M ein graduierter S-Modul, so gibt es einen kanonischen Homomorphismus von graduierten S-Moduln
(8.A.2.1)
φM : M → Γ∗ (X, M̃ ) .
Beweis Für jedes n ∈ Z haben wir einen kanonischen Gruppenhomomorphismus
(8.A.2.2)
Mn → Γ(X, M̃ (n))
wie folgt. Indem wir M̃ (n) mit (M (n))∼ identifizieren und beachten, dass Mn = M (n)0 ist, genügt es, den
Fall n = 0 zu betrachten, also einen Homomorphismus
(8.A.2.3)
M0 → Γ(X, M̃ )
zu konstruieren. Diesen definieren wir, indem wir m ∈ M0 auf die Abbildung
p 7→
m
∈ M(p)
1
abbilden. Durch die direkte Summe der Homomorphismen (8.A.2.2) erhalten wir (8.A.2.1).
Weiter erhalten wir aus der Isomorphie OX (m) ⊗OX OX (n) ∼
= OX (m + n) (siehe 8.4 (b)) eine Isomorphie
∼
OX (m) ⊗OX F(n) → F(m + n)
und damit bilineare Abbildungen
(8.A.2.4)
Γ(X, OX (m)) × Γ(X, F(n)) → Γ(X, F(m + n)) .
Hierdurch wird Γ+ (X, OX ) = ⊕ Γ∗ (X, OX (n)) zu einem graduierten Ring (Fall F = OX ) und Γ∗ (X, F)
n≥0
zu einem Γ+ (X, OX )-Modul. Weiter sieht man leicht, dass die durch (8.A.2.1) gegebene Abbildung
(8.A.2.5)
S → Γ∗ (X, OX )
ein Morphismus von graduierten Ringen ist. Hierdurch wird Γ∗ (X, F) auch zu einem graduierten S-Modul
und (a) ist bewiesen.
Für (b) betrachten wir F = M̃ und erhalten ein kommutatives Diagramm
Γ∗ (X, OX ) × Γ∗ (X, M̃ )
O
O
φS
φM
S
×
M
116
/ Γ∗ (X, M̃ )
O
φM
/M
in dem die obere Zeile durch (8.A.2.4) und die untere durch die S-Modul-Struktur von M gegeben ist. Dies
zeigt, dass φM ein S-Modul-Homomorphismus ist.
Proposition 8.A.3 Sei S als S0 -Algebra von S1 erzeugt. Dann gilt:
(a) Für jeden OX -Modul F gibt es einen kanonischen Morphismus von OX -Moduln
ΨF : Γ∗ (X, F)∼ → F .
(b) Dieser ist ein Isomorphismus, wenn F quasi-kohärent ist und S als S0 -Algebra von endlich vielen Elementen in S1 erzeugt wird.
Beweis (a): Zunächst definieren wir für jedes f ∈ S1 einen Homomorphismus von OX (D+ (f )) = S(f ) Moduln
(8.A.3.1)
ψf : (Γ∗ (X, F)∼ )(D+ (f ))
(8.4.2)
=
Γ∗ (X, F)(f ) → F(D+ (f ))
wie folgt. Jedes Element der linken Seite lässt sich schreiben als fmd mit d ≥ 0 und m ∈ Γ(X, F(d)). Wir
können f −d nach (8.A.2.2) als einen Schnitt in OX (−d)(D+ (f )) auffassen, und erhalten aus dem Tensorprodukt m ⊗ f −d einen Schnitt in F(D+ (f )). Dies definieren wir als ψf ( fmd ), wobei man leicht sieht, dass dies
nicht von den Wahlen abhängt.
Da D+ (f ) affin ist, erhalten wir nach Satz 4.6 aus ψf einen Morphismus
(8.A.3.2)
Ψf : Γ∗ (X, F)∼ |D+ (f ) → F|D+ (f )
von OX |D+ (f ) -Moduln. Wird nun S als S0 -Algebra von S1 erzeugt, so wird X von den obigen Mengen D+ (f )
überdeckt, und für je zwei Elemente f, f 0 ∈ S1 stimmen die Morphismen ψf und ψf 0 auf dem Durchschnitt
D+ (f ) ∩ D+ (f 0 ) überein (was man leicht in den Halmabbildungen nachprüft): die ψf verkleben sich also zu
einem Morphismus Ψ wie in (a) behauptet.
(b): Sei F quasi-kohärent und S über S0 von f1 , . . . , fn ∈ S1 erzeugt. . Es genügt zu zeigen, dass dann alle
ψfi Isomorphismen sind. Da auch Γ∗ (X, F)∼ nach 8.2 quasi-kohärent ist, und da D+ (fi ) affin ist, genügt es
zu zeigen, dass alle Morphismen
ψfi : Γ∗ (X, F)(fi ) → F(D+ (fi ))
Isomorphismen sind. Schreibe f = fi .
Injektivität: Sei d ≥ 0 und m ∈ Γ(X, F(d)) mit ψf ( fmd ) = 0. Nach dem Beweis von 8.4 (a) ist OX (−d)|D+ (f )
frei mit Basis f −d und daher
∼
OX (−d) ⊗OX F(d)|D+ (f ) → F|D+ (f )
f −d ⊗ m 7→ ψf ( fmd )
ein Isomorphismus, woraus die Behauptung folgt.
Die Surjektivität folgt aus dem folgenden
Lemma 8.A.4 Sei X ein Schema, L ein invertierbarer OX -Modul und F ein quasi-kohärenter OX -Modul.
Sei f ∈ Γ(X, L) und
X(f ) := {x ∈ X | fx ∈
/ mx Lx } .
(a) X(f ) ist offen in X und L|X(f ) ist freier OX(f ) -Modul mit Basis f |X(f ) .
(b) Ist X quasi-kompakt und s ∈ Γ(X, F) mit s|X(f ) = 0, so gibt es ein n ∈ N mit f n s = 0, wobei f n s als
Schnitt in Γ(X, F ⊗ L⊗n ) aufgefasst wird (Beachte F ⊗ L⊗n |X(f ) ∼
= F|X(f ) ).
(c) X besitze eine endliche affine offene Überdeckung (Ui ), so dass F|Ui frei ist für jedes i und Ui ∩ Uj quasi
kompakt für alle i, j. Ist t ∈ Γ(X(f ), F), so gibt es ein n ∈ N, so dass f n t ∈ Γ(X(f ), F) Restriktion eines
globalen Schnitts s ∈ Γ(X, F ⊗OX L⊗n ) ist. Beachte: Nach (a) haben wir einen kanonischen Isomorphismus
F ⊗OX L⊗n |X(f )
g ⊗ f ⊗n
117
∼
=
←p
F|X(f )
g.
Beweis (vergleiche Übungsaufgabe 24 für L = F = OX )
(a): Ist (Ui ) eine offene Überdeckung, so dass L|Ui ∼
= OUi , und entspricht hierbei f |Ui dem Schnitt gi ∈
Γ(Ui , OUi ), so ist X(f ) ∩ Ui = Ui (gi ), und letztere Menge ist offen.
(b): Sei wieder (Ui )i∈I eine trivialsierende Überdeckung für L, wobei ohne Einschränkung alle Ui affin sind
und I endlich ist (da X quasi-kompakt ist). Dann ist s|Ui (gi ) = 0 für alle i, und nach Lemma 4.9 (a) und
der Endlichkeit von I gibt es ein n ∈ N mit gin sUi = 0 für alle i. Für f n s gilt dann offenbar f n s|Ui = 0 für
alle i, also f n s = 0.
(c): Sei (Ui ) wie eben. Nach Lemma 4.9 (b) und der Endlichkeit von I gibt es ein n ∈ N und Schnitte
bi ∈ Γ(Ui , F) mit gin t|Ui (gi ) = bi |Ui (gi ) für alle i. Dann gilt
bi |Ui (gi )∩Uj (gj ) = bj |Ui (gi )∩Uj (gj )
für alle i, j. Da alle Ui ∩ Uj quasi-kompakt sind und I endlich ist, gibt es nach (b) ein N ∈ N mit
f N |Ui · bi |ui ∩Uj = f N |Uj · bj |Ui ∩Uj
für alle i, j, wobei wir f N |Ui · bi als Schnitt von L⊗N ⊗ F über Ui auffassen. Nach der Garbenbedingung gibt
es also ein t ∈ Γ(X, L⊗N ⊗ F) mit t|Ui = f N |Ui · bi für alle i. Es folgt
t|Ui ∩X(f ) = f N |Ui ∩X(f ) · b|Ui ∩X(f )
für alle i und damit t|X(f ) = f N |X(f ) · b.
Lemma 8.A.5 Sei I ⊆ S ein homogenes Ideal. Die Surjektion
ϕ : S ³ S/I = S 0
von graduierten Ringen induziert einen Schema-Morphismus
i : Y = P roj(S/I) ,→ P roj(S) = X
der eine abgeschlossene Immersion ist. Die zugehörige Idealgarbe ist
J = I ∼ ⊆ S ∼ = OX
und der unterliegende topologische Raum ist via i homöomorph zu
V+ (I) = {p ∈ P roj(S) | I ⊆ p} .
Beweis: 1) Es folgt wie im affinen Fall (Alg. Geo. I, Satz 5.12), dass ϕ eine stetige Abbildung
i : P roj(S/I)
p
→
7
→
P roj(S)
ψ −1 (p0 )
liefert, die einen Homöomorphismus zwischen P roj(S/I) und der abgeschlossenen Teilmenge V+ (I) ⊆ P roj(S)
induziert.
2) Ist p0 ∈ P roj(S/I) und p = i(p0 ), so ist p0 = ϕ(p) = pS 0 , und wir erhalten einen surjektiven Homomorphismus von lokalen Ringen
(8.A.5.1)
ψp : Sp ³ Sp0 0 .
Ist f ∈ S homogen und f 0 ∈ S 0 das Bild, so hat man andererseits einen surjektiven Ringhomomorphismus
(8.A.5.2)
0
ψf : S(f ) ³ S(f
0) .
Nach Konstruktion von P roj(S) und P roj(S 0 ) erhält man aus (8.A.5.1) und (8.A.5.2) nun leicht, dass die
Zuordnungen
OP roj(S) (U ) → OP roj(S 0 ) (i−1 (U ))
s 7→ (p0 →
7 ψi(p0 ) (s(i(p0 ))))
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für U ⊆ P roj(S) offen einen Morphismus
i] : OP roj(S) → i∗ OP roj(S 0 )
von Ringgarben definieren, der für die Schnitte auf U = D+ (f ) (mit f ∈ S homogen) mit (8.A.5.2) identifiziert werden kann und für p0 ∈ P roj(S 0 ) die Halmabbildung (8.A.5.1) liefert. Zusammen mit 1) ergibt sich,
dass (i, i] ) eine abgeschlossene Immersion ist. Die zugehörige Idealgarbe ist I ∼ , da für f ∈ S homogen der
Kern von (8.A.5.1) gleich I(f ) ist.
Wir erhalten aus 8.A.3:
Satz 8.A.6 Sei A ein Ring und X = PnA = P roj(A[X0 , . . . , Xn ]). Jede quasi-kohärente Idealgarbe J ⊆ OX
ist von der Form a∼ für ein homogenes Ideal a ⊆ A[X0 , . . . , Xn ].
Beweis Sei a = Γ∗ (X, J) ⊆ Γ∗ (X, OX ) = A[X0 , . . . , Xn ], wobei sich die letzte Gleichheit aus Lemma 8.7
ergibt. Nach Proposition 8.A.3 ist dann a∼ = J ⊆ OX = A[X0 , . . . , Xn ]∼ .
Zusammen mit Lemma 8.A.5 folgt sofort:
Corollar 8.A.7 Ist Y ,→ PnA eine abgeschlossene Immersion, so identifiziert sich Y als A-Schema mit einem
Schema P roj(A[X0 , . . . , Xn ]/a) für ein homogenes Ideal a ⊆ A[X0 , . . . , Xn ].
Dies zeigt, dass die Definitionen von projektiven A-Schemata in 6.11 und in Alg. Geo. I 10.19 äquivalent
sind.
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