Graphentheorie

Graphentheorie
Thorsten Papke
23. Juni 2005
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.1/35
Inhalt
Grundlagen
Königsberger Brückenproblem
Bäume
Planare Graphen
Färbungen
Faktorisierungen
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.2/35
Graphentheorie
GRUNDLAGEN
Graphentheorie ist ein Gebiet, das
Anwendungen und Theorie
Anschaulichkeit und trickreiche Methoden
miteinander verbindet.
Graphentheorie hat sich mittlerweile zu einem zentralen Thema in der Diskreten Mathematik entwickelt.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.3/35
Graphentheorie
Def.: Graph
Ein Graph besteht aus Ecken (auch Knoten genannt) und Kanten.
Eine Kante verbindet genau zwei Ecken.
Zwei Ecken können durch keine, eine oder mehrere Kanten verbunden sein.
Bezeichnungen:
E(G)
— Menge der Ecken eines Graphen G
K(G)
— Menge der Kanten eines Graphen G
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.4/35
Graphentheorie
Def.: Inzidierung
Falls eine Ecke e an eine Kante k grenzt, dann inzidiert e mit k.
Bsp. für Graphen
Bsp. für Graphen:
Strassennetze
Städteverbindungen
Chemische Moleküle
Elektrische Netzwerke (z.B. Schaltpläne)
Die paar Bsp. zeigen schon, dass Graphen ein wunderschönes Hilfsmittel sind,
um Beziehungen darzustellen.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.5/35
Graphentheorie
Def.: Vollständig
Ein Graph heißt vollständig, wenn in ihm je zwei Ecken durch Kanten miteinander verbunden sind.
Wir bezeichnen den vollständigen Graph mit n Ecken mit Kn .
Bsp. K4 ,K5
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.6/35
Graphentheorie
Def.: Bipartit
Ein Graph heißt bipartit, wenn er sich so in zwei Klassen C1 ,C2 unterteilen
lässt,
dass man von jedem Knoten der einen Klasse in einem Schritt (also über eine
Kante)
zu einem Knoten der anderen Klasse gelangt;
d.h. wenn man die Knoten des Graphens so schwarz und weiß färben kann,
dass immer bei Übergang von einem Knoten zum anderen die Farbe wechselt.
{C1 ,C2 } heißt Bipartition
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.7/35
Graphentheorie
Def.: Vollständig bipartit
Ein Graph heißt vollst. bipartit, wenn jede Ecke von C1 mit jeder Ecke von C2
durch genau eine Kante verbunden ist.
Bezeichnung für den vollst. bipartiten Graphen, wenn C1 genau m Ecken und C2
genau n Ecken hat:
Km,n
(Vollst.) bipartite Bsp.
Die (vollständig) bipartiten Graphen weisen sehr regelmäßige Muster auf.
Im Allg. jedoch sind Graphen oft sehr “wilde”, unstrukturierte Gebilde.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.8/35
Graphentheorie
Def.: Zusammenhängend
Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn man in ihm von jeder Ecke zu
jeder anderen
(nicht unbedingt sofort) gelangen kann.
D.h: Ein Graph ist zusammenhängend, wenn er nicht in mehrere Teile zerfällt.
Bsp.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.9/35
Graphentheorie
Def.: Kantenzug
Ein Kantenzug Q eines Graphen G ist eine Folge (ki )i=1,...,s von Kanten,
zu der es in einer Weise eine Folge (e j )
von Ecken gibt, dass ...
j=0,...,s
... k1 e0 und e1 verbindet.
... k2 e1 und e2 verbindet.
...
... ks es−1 und es verbindet.
Dabei müssen weder seine Kanten, noch seine Ecken verschieden sein.
Wir sagen:
Q verbindet e0 und es
Bsp.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.10/35
Graphentheorie
Nochmal zur Def. des Zusammenhangs:
Ein Graph ist also zusammenhängend, wenn in ihm von jeder Ecke zu allen
anderen ein Kantenzug existiert.
Def.: Geschlossener Kantenzug
Ein Kantenzug heißt geschlossen, wenn e0 = es ist.
Bsp.
Def.: Weg
Ein Kantenzug heißt ein Weg, falls alle Kanten verschieden sind.
Bsp.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.11/35
Graphentheorie
Def.: Kreis
Ein geschlossener Kantenzug (e0 = es ) heißt ein Kreis,
wenn auf dem Weg von e0 nach es keine Kante doppelt vorkommt.
Def.: Kreislänge
Die Länge des Kreises ist die Anzahl seiner Kanten bzw. Ecken.
Bsp.
Def.: Grad einer Ecke
Der Grad einer Ecke e ist die Anzahl der mit ihr verbundenen Kanten.
Wir schreiben: Grad(e)
Def.: isolierte Ecke
Grad(e) = 0 ⇒ isolierte Ecke
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.12/35
Graphentheorie
In Kn hat jede Ecke den Grad n − 1, da ja jede Ecke mit allen anderen verbunden
ist.
Beispiel: KÖNIGSBERGER
BRÜCKENPROBLEM
Def.: Eulerscher Kreis
Ein Kreis eines Graphen G heißt eulerscher Kreis, wenn in ihm
jede Kante von G genau einmal vorkommt.
G heißt eulersch, wenn er einen eulerschen Kreis enthält,
d.h. wenn man G “in einem Zug” zeichnen kann und dabei wieder am
Anfangspkt. landet.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.13/35
Graphentheorie
Satz 1: Satz von Euler
Graph G eulersch ⇔ Jede Ecke von G hat geraden Grad
"⇒"-Beweis,direkt
"⇐"-Beweis,Induktion über Anz. m der Kanten
Bemerkung: Euler bewies nur die "⇒"-Richtung seines Satzes
Betrachte den Graphen GK des Königsberger Brückenproblems.
GK hat Ecken vom Grad 3,3,3,5 ⇒ GK ist nicht eulersch.
⇒ Es gibt keine Möglichkeit, einen Weg zu gehen, bei dem man
jede Brücke genau einmal überquert und wieder am Ausgangspkt. landet.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.14/35
Graphentheorie
Aus dem Satz v. Euler folgt:
Kn mit n = 2a − 1 und a ∈ ist eulersch,
denn innerhalb jedes dieser Kn gilt für jede Ecke:
Grad(ei ) = n − 1(gerade) mit i = 1, ..., n
Def.: Offene eulersche Linie
Sei G ein Graph. Ein Weg in G, der kein Kreis ist, heißt offene eulersche
Linie,
wenn jede Kante von G darin genau einmal vorkommt.
Also gilt insgesamt für einen Graphen G:
G kann “in einem Zug” gezeichnet werden
⇔ G besitzt einen eulerschen Kreis oder eine offene eulersche Linie
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.15/35
Graphentheorie
Satz 2
Sei G ein zusammenhängender Graph. Dann gilt:
G besitzt offene eulersche Linie
⇔ G hat genau zwei Ecken ungeraden Grades
Dabei läuft die eulersche Linie von einer dieser zwei Ecken zur anderen.
"⇒"-Beweis,Rückführung auf Satz 1, 1.Teil
"⇐"-Beweis,Rückführung auf Satz 1, 2.Teil
Bei beiden: Trick: führe zusätzliche Kante ein
Bsp. für offene eulersche Linie
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.16/35
Graphentheorie
BÄUME
Eine der wichtigsten Typen in der Anwendung der Graphentheorie
Gute Darstellungsmöglichkeit, z.B. für Sortierprozesse
Def.: Baum
Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph, der keinen Kreis der Länge > 0
enthält.
Bsp.
Bäume eignen sich hervorragend, um Sortierprozesse darzustellen.
Beispiel: Das Problem der falschen Münze
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.17/35
Graphentheorie
Aus der Def. des Baumes folgt:
In einem Baum sind je zwei Ecken höchstens durch eine Kante verbunden.
Def.: Endecke
Ecke vom Grad 1.
Satz 3
Jeder Baum mit mind. zwei Ecken hat mind. eine Endecke
Beweis,direkt
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.18/35
Graphentheorie
Satz 4
Für einen Baum G gilt:
m = n−1
wobei n die Anzahl der Ecken und m die Anzahl der Kanten von G ist.
Beweis, Induktion über Anz. n der Ecken
Verallg. des letzten Satzes:
Satz 5
Sei G ein Graph mit m Ecken und n Kanten. Dann gilt:
m ≥ n−1
mit Gleichheit genau dann, wenn G ein Baum ist.
Beweis, Induktion nach Anzahl m der Kanten
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.19/35
Graphentheorie
⇒ Unter allen zusammenhängenden Graphen mit m Ecken sind die Bäume die
mit der kleinstmögl. Anzahl Kanten.
Def. Binärer Baum
Ein binärer Baum ist ein Baum mit einer speziellen Ecke vom Grad 2.
Alle anderen Ecken des Baumes haben Grad 3 oder 1.
Die Ecke 2.Grades wird Wurzel genannt.
Bsp.
Def.: Blätter, Höhe
Beim binären Baum werden die Ecken 1.Grades als Blätter bezeichnet.
Die Länge eines längsten Weges, wobei die Endecke die Wurzel ist,
heißt Höhe des binären Baumes.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.20/35
Graphentheorie
Satz 6
Sei G ein binärer Baum der Höhe h.
Dann besitzt G höchstens 2h Blätter.
Beweis per Induktion über h
Satz 7
Ein binärer Baum mit b Blättern hat mind. Höhe ld(b).
Beweis: Folgerung aus Satz 6
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.21/35
Graphentheorie
PLANARE GRAPHEN
Def.: Planarer Graph
Ein Graph heißt planar, wenn er überschneidungsfrei in die Ebene gezeichnet ist, d.h. dass sich je zwei seiner Kanten höchstens in einer Ecke schneiden.
Bsp.
Def.: Plättbarer Graph Ein Graph heißt plättbar, wenn er überschneidungsfrei
in die Ebene gezeichnet werden kann.
Bsp.
Aus einem plättbaren Graphen kann also ein planarer gemacht werden.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.22/35
Graphentheorie
Jeder planare Graph zerlegt die Ebene in sog. Gebiete.
Für einen Graphen G existiert immer mind. ein Gebiet, nämlich das Außengebiet, d.h. die Anzahl der Gebiete (im Folgenden: g) ist stets ≥ 1.
Bsp.
Satz 8: Die Eulersche Polyederformel
Sei G ein zusammenhängender planarer Graph mit n Ecken, m Kanten und g
Gebieten.
⇒
n−m+g = 2
Beweis durch Induktion über g
Aus der Eulerschen Polyederformel resultieren einige Folgerungen:
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.23/35
Graphentheorie
Folgerung 1
Sei G ein zusammenhängender planarer Graph, in dem je zwei Ecken
durch höchstens eine Kante verbunden sind. Dann gilt:
(a)
Falls G mind. 3 Ecken hat ⇒ m ≤ 3n − 6
(d.h. ein planarer Graph hat relativ wenig Kanten)
(b)
Es gibt mind. eine Ecke vom Grad ≤ 5.
Beweis (a),(b)
Trickreiche Abzähl. für (a), folgere (b) für n ≥ 3 aus (a)
Folgerung 2
K5 ist nicht plättbar
Beweis durch Widerspruch
Bsp. Drei Häuser, E-,G-,W-Werk bzw. K3,3
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.24/35
Graphentheorie
Folgerung 3
K3,3 (vollst. bipartit) ist nicht plättbar.
Beweis durch Widerspruch
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.25/35
Graphentheorie
FÄRBUNGEN
Ebenfalls ein wichtiges Gebiet der Graphentheorie.
Ursprung: Das Vierfarbenproblem (Mitte des 19. Jhd.)
Vermutung, dass 4 Farben ausreichen, erstmals 1852 aufgekommen
Beweis des Vierfarben-Satzes erstmals 1879
Aber der Beweis war fehlerhaft.
Beweisen konnte man lediglich, dass 5 Farben ausreichen.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.26/35
Graphentheorie
Später kam die Vermutung auf, dass ein Computer den Beweis lösen könne.
Und tatsächlich:
Dies war der erste Beweis, an dem der Computer einen wesentlichen Anteil hat.
Kurz:
Der Vierfarben-Satz ist bis heute nur mit Computern zu beweisen.
Was hat dieser Satz mit Graphentheorie zu tun?
Erläuterung
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.27/35
Graphentheorie
Für die folg. zwei Def. sei G ein beliebiger Graph (nicht notwendig planar).
Def.: Färbung
Eine Färbung von G ist eine Zuordnung von Farben (meist Zahlen) zu den
Ecken derart, dass
keine zwei durch eine Kante verbundenen Ecken dieselbe Farbe (Zahl) haben.
Def.: Chromatische Zahl
Die jchrom. Zahl ist die kleinste Zahl n, so dass E(G) mit n Farben gefärbt
werden kann.
Wir bezeichnen die chrom. Zahl eines Graphen G mit χ (G).
Bsp.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.28/35
Graphentheorie
Im Zshg. mit dem Vierfarben-Problem sagt der
Satz 9: Greedy-Algorithmus
Jeder Graph G (– also nicht notwendig planar –) kann mit ∆(G) + 1 Farben
gefärbt werden. Es gilt also:
χ (G) ≤ ∆(G) + 1
wobei ∆(G) den maximalen Grad von G bezeichnet.
Beweis,direkt
Für planare Graphen haben wir aber durch den Vierfarben-Satz schärfere Bedingungen für χ .
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.29/35
Graphentheorie
Satz 10: Vierfarben-Satz
Die chrom. Zahl eines beliebigen planaren Graphen ist höchstens 4.
Beweis des Vierfarbensatzes zu schwierig
Satz 11
Die chrom. Zahl eines beliebigen planaren Graphen ist höchstens 5.
Beweis, Induktion über Anzahl n der Ecken
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.30/35
Graphentheorie
FAKTORISIERUNGEN
Def.: Kantenfärbung
Eine Kantenfärbung eines Graphen G ist eine Zuordnung von Farben (Zahlen)
zu den Kanten von G derart, dass je zwei adjazente Kanten (also die eine
gemeinsame Ecke haben) unterschiedl. gefärbt sind.
Def.: Chromatischer Index
Der chromat. Index von G ist die kleinstmögl. Zahl n, so dass K(G) mit n
Farben gefärbt werden kann.
Der chromat. Index eines Graphen G wird mit χ 0 (G) bezeichnet.
Bsp.
Der Satz von Vizing sagt für einen beliebigen Graphen G aus:
Es gilt stets: χ 0 = ∆ oder χ 0 = ∆ + 1
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.31/35
Graphentheorie
Wir beweisen für spezielle Graphen eine Verschärfung dieses Satzes, nämlich
den
Satz 12: Satz von König
Sei G ein bipartiter Graph ⇒ χ 0 (G) = ∆
Beweis, Induktion nach Anzahl m der Kanten
Betrachten wir nun Zerlegungen eines beliebigen Graphen G.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.32/35
Graphentheorie
Def.: Faktor,Faktorisierung
Ein Faktor von G ist eine Menge von Kanten so, dass jede Ecke von G auf
genau einer dieser Kanten liegt.
Eine Faktorisierung von G ist eine disjunkte Zerlegung von K(G) in einzelne
Faktoren.
D.h. jede Kante von G ist danach in genau einem Faktor enthalten.
Bsp.
Zshg. zwischen Faktorisierung u. Kantenfärbung
Def.: Regulär
Ein Graph ist regulär, wenn seine Ecken alle gleichen Grad haben.
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.33/35
Graphentheorie
Offenbar gilt für einen Graphen G:
G besitzt Faktorisierung ⇒ G ist regulär
! Der Satz ist für beliebige Graphen G nicht umkehrbar. !
Gegenbsp. Petersen-Graph
Für reguläre bipartite Graphen ist er umkehrbar, d.h.
Satz 13
Graph G ist regulär und bipartit ⇒ G besitzt eine Faktorisierung
Beweis,direkt
Bsp., K3,3
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.34/35
Graphentheorie
Danke für die Aufmerksamkeit!
Thorsten Papke
Graphentheorie – S.35/35