Algebra-Training Serie 5

Algebra-Training
Theorie & Aufgaben
Serie 5
Vermischte Algebra-Aufgaben
Theorie und Aufgaben: Thomas Unseld
VSGYM / Volksschule – Gymnasium
Liebe Schülerin, lieber Schüler
sind zwei Stunden vorgesehen.
Wir freuen uns, dich bald am Gymnasium begrüssen zu dürfen.
Technische Hinweise
Diese Aufgabenserie verteilen wir als PDF an unsere Benutzer. Sie ist so gestaltet, dass sie sinnvollerweise
als Broschüre auf A3-Papier gedruckt wird.
Wir bitten alle Benutzer dieser Serien, uns auf Fehler aufmerksam zu machen und auch allfällige
Änderungs- und Verbesserungswünsche uns mitzuteilen, am einfachsten per E-Mail an:
[email protected].
1. Auflage, 31. August 2015
Kantonsschule Zürich Nord, Fachschaft Mathematik
Autoren: Ronald Balestra, Katharina Lapadula, Bernhard Marugg, Meinrad Schauwecker
Koordination: Kathrin Steiner
Satz: Franz Piehler
Begutachtung: Christoph Barandun (SEKZH), Markus Huber (Kantonsschule Stadelhofen, LKM)
Quellenangabe: Einige Aufgaben stammen aus
Walter Hohl: Arithmetik und Algebra 1 + 2
Lehrmittelverlag des Kantons Zürich, 1975
Theorie und Aufgaben
Die Algebra besteht – grob gesagt – aus zwei Themenbereichen:
• Im ersten (zuerst entstandenen) Bereich löst man konkrete Probleme mit Hilfe von Gleichungen
und dem Buchstaben x.
• Im zweiten (erst später entstandenen) Bereich versucht man Probleme allgemein zu lösen. Es
entstehen Formeln mit Buchstaben wie n, —, A2 , . . .
Beide Bereiche der Algebra benötigen Kenntnisse der Rechenregeln der Arithmetik, da man mit
Buchstaben oft nicht wie mit Zahlen rechnen kann:
Natürlich würdest du bei einer Rechnung wie 13 ≠ (9 ≠ 3) aus der Arithmetik wie folgt vorgehen:
13 ≠ (9 ≠ 3) = 13 ≠ 6 = 7
Wenn wir jedoch in der Rechnung anstelle der 3 die beliebige Zahl n setzen, klappt das obige Vorgehen
nicht mehr:
13 ≠ (9 ≠ n) = ?
Wir können 9 ≠ n nicht weiter zusammenfassen!
Wenn wir jedoch die Klammergesetze aus der Arithmetik anwenden, gelingt die Vereinfachung:
13 ≠ (9 ≠ n) = 13 ≠ 9 + n = 4 + n
Auf den folgenden Seiten wird dir nun anhand von Beispielen und Aufgaben ein kurzer Überblick über
diese beiden Bereiche der Algebra geboten. Wir starten mit dem zweiten Bereich:
Probleme allgemein lösen – Formeln suchen
Summen s von natürlichen Zahlen wie 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 98 + 99 + 100 können elegant aufsummiert
werden, wenn man sie geschickt paarweise ordnet:
s = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + . . . + (50 + 51)
Also besteht s aus 50 Paaren mit demselben Wert 101:
s = 50 · 101 = 5050
Wenn wir nun eine Formel für die Summe
s = 1 + 2 + 3 + . . . + (n ≠ 2) + (n ≠ 1) + n
der ersten n natürlichen Zahlen suchen, können wir die gleiche Überlegung anwenden: Da die Paare 1
und n, 2 und n ≠ 1, 3 und n ≠ 2, etc. immer den gleichen Wert n + 1 haben, besteht die Summe s der
n
ersten n natürlichen Zahlen aus Paaren mit dem Wert n + 1:
2
s = 1 + 2 + 3 + . . . + (n ≠ 2) + (n ≠ 1) + n =
Serie 5
n
n · (n + 1)
· (n + 1) =
2
2
Vermischte Algebra-Aufgaben
Seite 3
Wir haben nun eine schwierige Berechnung einmal allgemein durchgeführt und eine sehr einfache
Formel bekommen. Damit können wir nun sehr schnell Summen berechnen.
Zum Beispiel ist
1 + 2 + 3 + . . . + 150 =
150 · (150 + 1)
= 11 325.
2
Die Formel kann man auch im folgenden Fall anwenden:
41 + 42 + . . . + 99 + 100 =
100 · 101 40 · 41
≠
= 5050 ≠ 820 = 4230
2
2
Genau genommen klappt unsere einfache Formel jedoch nur, falls die letzte Zahl gerade ist: Nur dann
kann man eine Summe wie
1 + 2 + 3 + . . . + 35 + 36
in 18 Paare mit dem Wert 37 aufteilen. Falls die letzte Zahl wie bei 1 + 2 + . . . + 37 ungerade ist, haben
wir 18 Paare mit dem Wert 38: Das letzte Paar ist 18 + 20 und die Zahl 19 bleibt übrig!
In diesem Fall lässt man besser die letzte Zahl weg und summiert wie folgt:
s = 1 + 2 + . . . 36 + 37 = (1 + 2 + 3 + . . . + 35 + 36) + 37 =
36 · 37
+ 37 = 666 + 37 = 703
2
Wir verallgemeinern nun das obige Vorgehen und bestimmen eine Formel für die Summe
s = 1 + 2 + 3 + . . . + (n ≠ 1) + n
der ersten n natürlichen Zahlen, wenn n ungerade ist:
Da nun (n ≠ 1) gerade ist, können wir unsere erste Formel darauf anwenden:
!
"
s = 1 + 2 + 3 + . . . + n = 1 + 2 + 3 + . . . + (n ≠ 1) + n =
(n ≠ 1) · n
+n
2
Leider ist die gefundene Formel im Fall, wenn n ungerade ist, nicht mehr sehr schön!
Mit den folgenden Termumformungen können wir sie jedoch vereinfachen:
s=
(n ≠ 1) · n
(n ≠ 1) · n 2n
(n ≠ 1) · n + 2n
n2 ≠ n + 2n
n2 + n
n · (n + 1)
+n=
+
=
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2
Wir erhalten dieselbe Formel wie im Fall, als die letzte Zahl n gerade war!
Demnach gilt die Formel
1 + 2 + 3 + ... + n =
für alle natürlichen Zahlen n.
1
n · (n + 1)
2
Berechne
a) 1 + 2 + 3 + . . . + 300 + 301
c) 101 + 102 + 103 + . . . + 300 + 301
b) 1 + 2 + 3 + . . . + (n ≠ 4) + (n ≠ 3) + (n ≠ 2)
d) 1 + 2 + 3 + . . . + (2n ≠ 2) + (2n ≠ 1) + (2n)
2
Zeige, dass die Summe s = 2 + 4 + 6 + . . . + (2n ≠ 2) + 2n der ersten n geraden Zahlen mit
der Formel s = n(n + 1) berechnet werden kann.
3
Berechne
a) 2 + 4 + 6 + . . . + 104 + 106 + 108
Seite 4
b) 68 + 70 + 72 + . . . + 166 + 168 + 170
Vermischte Algebra-Aufgaben
Serie 5
4
Bestimme eine Formel für die Summe s = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n ≠ 3) + (2n ≠ 1) der ersten n
ungeraden Zahlen, und teste die Richtigkeit deiner Formel bei 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36.
5
Wenn der Buchstabe n für die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . steht, kann man damit zum
Beispiel alle ungeraden natürlichen Zahlen 1, 3, 5, 7, . . . sehr kurz mit 2n ≠ 1 darstellen.
Stelle die unteren Zahlen sehr kurz mit Hilfe des Buchstabens n dar:
a) 2, 4, 6, 8, . . .
6
b) 5, 10, 15, 20, . . .
c) 4, 7, 10, 13, . . .
Die Oberfläche S eines Quaders ändert sich je nach Grösse
der Kanten des Quaders. Trotzdem kann man ein gültiges
Gesetz für S formulieren, obwohl sich die Länge ¸, Breite b
und Höhe h von Fall zu Fall ändert: Bestimme eine Formel
für die Oberfläche S eines Quaders.
h
¸
b
7
Bestimme eine Formel für die Oberfläche S eines Würfels
mit der Kante k.
8
Bestimme eine Formel für die Fläche A eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a
und b. (Die Katheten sind die zwei kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.)
9
Bestimme eine Formel für die Fläche A eines Rhombus mit den Diagonalen e und f .
10
Vereinfache die folgenden Formeln mit der natürlichen Zahl n:
a) ≠n + 2(n ≠ 2) ≠ 3(4 ≠ n) b) (2n)2 ≠ n(3 ≠ n) + 3n2
d)
2n + 1
·4≠n
2
g) 2n2 · 3n3 · 5n2
j)
11

n2 + 25
2(n ≠ 1)
2n + 1
+n+
3
2
Ô
Ô
Ô
e) 3 n ≠ n + 2 n
f) 8n3 ≠ 2n2 + n3 + 3n2 ≠ 1
Ô
Ô
h) ( 2n · 3n)2
i)
5n12
20n2
l)
3 42
n
k)
Ô
Ô
100n2 + ( 2n)2
3
+
2n2
3
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0 mit den beliebig
wählbaren reellen Zahlen a ”= 0, b, c und der Lösungsvariable x. Bestimme (nur) a, b, c bei
den Gleichungen:
a) x2 ≠ 2x + 12 = 0
12
c)
b) 2x2 ≠
Ô
12 = 0
c)
2 2 x
x =
3
5
Bestimme eine Formel für:
a) den Preis P eines Kaugummis, wenn n Kaugummis z Franken kosten.
b) die Durchschnittsnote D der 4 Noten N1 , N2 , N3 , N4 .
c) den neuen Preis Pneu einer Ware, wenn der alte Preis Palt um 13 % reduziert wurde.
Serie 5
Vermischte Algebra-Aufgaben
Seite 5
Indizes-Schreibweise
In der obigen Aufgabe wurde die sogenannte Indizes-Schreibweise verwendet, die man in der Algebra
und Geometrie sehr oft antrifft:
Zum Beispiel ist ha mit dem Index a die Höhe zur Seite a im Dreieck ABC. Damit entstehen in der
Algebra schnell etwas ungewöhnliche Terme, mit denen man auch rechnen lernen muss: t0 (1 ≠ m1 m2 )
ist nur ein Term mit den drei verschiedenen Buchstaben t0 , m1 , m2 . Man rechnet damit wie folgt:
t0 (1 ≠ m1 m2 ) = t0 ≠ t0 m1 m2
Noch gewöhnungsbedürftiger sind Ausdrücke wie m32 :
m32 = m2 · m2 · m2 .
13
Vereinfache die Ausdrücke / Formeln:
a) 8(m1 + m2 ) ≠ (m1 ≠ m2 ) ≠ 6(m1 + m2 ) b) 3(2m1 m2 ) ≠ 2(m1 m2 )
c) (2m3 )2 ≠ 3m23
d) cd(6 ≠ e1 + 3e1 )
e) 12s20 ≠ 17s0 + 25s20 + 2s0
f) ≠(2a1 ≠ a2 ) ≠ [(3a1 + 2a2 ) ≠ (5a2 + 1)]
g) r02 r03 r05
14
Bestimme eine Formel für das Durchschnittsalter einer Klasse mit 20 SchülerInnen mit dem
Alter a1 , a2 , a3 , . . . , a19 , a20 .
15
Ein Würfel wurde n mal geworfen und die gewürfelten Augen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 notiert:
n1 , n2 , . . . , n6 soll dabei die Anzahl der gewürfelten Augen 1, 2, . . . , 6 bezeichnen.
a)
b)
Was ist n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 ?
n1 · 1 + n2 · 2 + n3 · 3 + n4 · 4 + n5 · 5 + n6 · 6
Was berechnet die Formel
?
n
Probleme mit Hilfe von Gleichungen lösen
Der in der Algebra am häufigsten vorkommende Buchstabe ist x. Er steht meistens für die unbekannte,
zu bestimmende Grösse in einer Gleichung wie
7 + 2(x ≠ 3) = 31.
Bei diesem Beispiel könnte man die «Unbekannte x im Kopf bestimmen»:
2(x ≠ 3) muss 24 sein. Und somit ist x ≠ 3 = 12. Also beträgt x = 15.
Natürlich versagt dieses Vorgehen bei etwas komplizierteren Gleichungen. Im zweiten, zuerst entstandenen Bereich der Algebra versucht man nun Gleichungen in immer einfachere Gleichungen mit derselben
Seite 6
Vermischte Algebra-Aufgaben
Serie 5
Lösung x zu verwandeln. Im obigen, einfachen Beispiel geht man exakt wie folgt vor:
7 + 2(x ≠ 3) = 31
| Termumformung (Vereinfachung beider Seiten der Gleichung)
7 + 2x ≠ 6 = 31
| Termumformung (Vereinfachung beider Seiten der Gleichung)
1 + 2x = 31
| ≠ 1 (Umwandlung in eine einfachere Gleichung mit derselben Lösung)
2x = 30
| : 2 (Umwandlung in eine einfachere Gleichung mit derselben Lösung)
x = 15
Wie man oben sieht, vereinfacht man beide Seiten der Gleichung so, dass die Terme mit x klar ersichtlich
sind (Termumformung) und verwandelt dann die Gleichung in einfachere Gleichungen mit derselben
Lösung (Äquivalenzumformung):
Forme so um, dass Terme mit x auf eine Seite und Zahlen auf die andere Seite der
Gleichung zu liegen kommen.
16
Bestimme die Unbekannte x in den Gleichungen!
a) 3x ≠ 15 ≠ 4x = ≠9 + x ≠ 13
b) 1 ≠ 2(3 + 4x) ≠ 5(≠6 + 7x) ≠ 8(9x ≠ 10) = ≠10
c)
1
x = 2 + 0.3x
3
d) 17 ≠ 3[x ≠ (3x ≠ 1) ≠ 4(x + 1) ≠ 7] = 16 ≠ 2(x + 15)
e)
2x ≠ 3 x ≠ 4
x+3
≠
=1+
3
4
2
3
2
3
1
f) x ≠
x≠
3
4
2
17
4
=
2x ≠ 3
≠1
6
Beim Lösen einer Gleichung passieren oft Fehler bei den Termumformungen: Sind die unteren
Termumformungen richtig (r) oder falsch (f)?
(Tipp: Setze Zahlen für x ein, wenn du die Antwort nicht weisst!)
a) x + x + x = x3
b) 2x + 3x = 5x2
c) ≠2(≠4 + x) = 8 ≠ 2x
d) ≠(x ≠ 3) = 3 ≠ x
e) 2(3x) = 6x
f) (3x)2 = 3x2
g) x2 + x2 + x2 = 3x2
h) x2 + x3 = x5
i) 2
k) (x3 )2 = x9
l) 2x2 · 3x3 = 6x5
j)
x
1
= x
4
4
m) 6x3 ≠ 2x2 = 4x
p)
Serie 5

x2 + 100 = x + 10
n)
3 42
x
3
=
x2
3
q) (x ≠ 3)2 = x2 ≠ 9
Vermischte Algebra-Aufgaben
x≠5
2x ≠ 10
=
3
6
o) x(x + 3)2 = (x2 + 3x)2
r) (x ≠ 3)2 = x2 + 9
Seite 7
Textaufgaben
Dank den Gleichungen kann man schwierige Probleme recht einfach lösen, da man nur zu übersetzen
braucht. Als Beispiel dazu eine schwierige Textaufgabe aus einer alten Aufnahmeprüfung für den
Übertritt von der Primarschule ans Gymnasium:
Ein Konzertsaal mit 750 Plätzen ist ausverkauft. Eine Karte für die vorderen Plätze kostet 17 Franken,
eine Karte für die hinteren Plätze 13 Franken. Die Totaleinnahmen betragen 11 790 Franken. Wie viele
vordere Plätze und hintere Plätze wurden verkauft?
Da die PrimarschülerInnen noch keine Algebra können, ist die Aufgabe schwierig! (Versuche, die
Aufgabe ohne Gleichung zu lösen, bevor du weiterliest!)
Lösung ohne Algebra-Kenntnisse
Mit der folgenden Idee kann man sie ohne Algebra-Kenntnisse lösen: Wenn alle Besucher ein Karte zu
17 Franken gekauft hätten, dann wären die Einnahmen gleich
750 · 17 = 12 750 Franken.
Dies ist 12 750 ≠ 11 790 = 960 Franken zu viel. Der Unterschied ist aber durch die 4 Franken billigeren
Karten zu 13 Franken entstanden.
Somit sind es
• 960 : 4 = 240 Karten zu 13 Franken und
• 750 ≠ 240 = 510 Karten zu 17 Franken.
Lösung mit Algebra-Kenntnissen
Mit Hilfe von Gleichungen wird die Aufgabe um einiges einfacher, da man keine spezielle Idee mehr
benötigt, sondern «nur» übersetzen muss:
Wenn x die unbekannte Anzahl Karten zu 17 Franken ist, dann ist 750 ≠ x die entsprechende Anzahl
Karten zu 13 Franken.
• x Karten zu 17 Franken ergeben Einnahmen von x · 17 Franken.
• 750 ≠ x Karten zu 13 Franken ergeben eine Einnahme von (750 ≠ x) · 13 Franken.
Die Totaleinnahmen von 11 790 Franken benutzt man nun zum Aufstellen der Gleichung:
x · 17 + (750 ≠ x) · 13 = 11 790
Beim Bestimmen der Unbekannten x benötigt man von jetzt an nur noch Algebra-Kenntnisse:
17x + 9750 ≠ 13x = 11 790
4x + 9750 = 11 790
4x = 2040
x = 510
| Termumformung
| ≠ 9750
|:4
Somit gibt es
• x = 510 Karten zu 17 Franken und
• 750 ≠ x = 240 Karten zu 13 Franken.
Wir konnten das Problem ohne spezielle Idee; nur mit Übersetzen in eine Gleichung lösen!
Seite 8
Vermischte Algebra-Aufgaben
Serie 5
18
Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen beträgt 960. Berechne die
kleinste der 5 Zahlen.
19
Auf einem Flug nach New York sind alle 480 Plätze besetzt. Ein Ticket kostet in der ersten
Klasse 2100 Franken, in der Business-Klasse 1200 Franken und in der Economy-Klasse 800
Franken. Die Zahl der Sitzplätze in der Business-Klasse ist doppelt so gross wie die Zahl der
Sitzplätze in der ersten Klasse. Die Ticket-Einnahmen betragen 510 000 Franken. Wie viele
Sitzplätze jeder Klasse hat das Flugzeug?
20
In einem Stall sind Kaninchen und Fasane; sie haben zusammen 35 Köpfe und 98 Füsse.
Wieviele Tiere jeder Art sind es?
21
Bei der letzten Mathe-Prüfung in einer Klasse mit 27 Schülerinnen und Schülern war die
Durchschnittsnote von allen Prüfungen eine 4.3. Im Durchschnitt hatten die Jungen die
Note 3.9 und die Mädchen die Note 4.5. Wie viele Jungen hat es in der Klasse?
22
Aus den Arithmetischen Epigrammen der griechischen Anthologie, gesammelt vom Mönch
Maximus Planudes (um 1350 n. Chr.):
Eine Griechin bat Zeus, er möge das Geld verdoppeln, das sie bei sich habe. Er tat es, und
sie opferte ihm 2 Drachmen. Dann bat sie Apollo wieder um Verdoppelung. Er tat es, und
sie opferte wieder 2 Drachmen. Nun hatte sie doppelt soviel wie ursprünglich. Wieviel Geld
hatte sie anfangs?
23
Verkleinert man jede Seite eines Quadrates um 3 m, so nimmt der Flächeninhalt um 123 m2
ab. Berechne die Länge der kleineren Quadratseite.
Serie 5
Vermischte Algebra-Aufgaben
Seite 9
Ergebnisse
1
2
a) 45 451
b)
s=
!
n
n(2n + 2)
(2n + 2) =
= n(n + 1)
2
2
"
2 + 4 + . . . + (2n ≠ 2) + 2n = (n ≠ 1)n + 2n = n2 + n = n(n + 1)
3
a) 2 970
4
s = n2
5
a) 2n
6
S = 2b¸ + 2bh + 2¸h
7
S = 6k 2
8
A=
ab
2
9
A=
ef
2
b) 6 188
b) 5n
c) 3n + 1
a) 4n ≠ 16
b) 8n2 ≠ 3n
c)
Ô
e) 4 n
f) 9n3 + n2 ≠ 1
g) 30n7
h) 6n4
k) 12n
l)
i)
11
d) n(2n + 1)
n ungerade:
•
10
c) 40 401
n
Paare mit dem Wert 2 + 2n:
2
n gerade:
•
(n ≠ 2)(n ≠ 1)
2
n10
4
j)
a) a = 1
b = ≠2
b) a = 2
b=0
c) a =
Seite 10
2
3
b=≠
1
5

n2 + 25
16n ≠ 1
6
d) 3n + 2
7n2
9
c = 12
Ô
c = ≠ 12
c=0
Vermischte Algebra-Aufgaben
Serie 5
12
a) P =
z
n
b) D =
N1 + N2 + N3 + N4
4
c) Pneu = Palt ≠
13
Palt
Palt
87
· 13 =
· 87 =
· Palt
100
100
100
a) m1 + 3m2
b) 4m1 m2
c) m23
e) 37s20 ≠ 15s0
f) 1 ≠ 5a1 + 4a2
g) r010
d) 6cd + 2cde1
14
a1 + a2 + a3 + . . . + a19 + a20
20
15
a) n
b) die durchschnittlich geworfene Augenzahl
16
a) 3.5
b) 1
c) 60
d) ≠3.05
e) ≠30
f) 4.5
17
a) f
b) f
c) r
d) r
e) r
f) f
g) r
h) f
i) f
j) r
k) f
l) r
m) f
n) f
o) f
p) f
q) f
r) f
18
190
19
60 1. Klasse, 120 Business und 300 Economy
20
14 Kaninchen und 21 Fasane
21
9 Jungen
22
3 Drachmen
23
22 m
Serie 5
Vermischte Algebra-Aufgaben
Seite 11