Lineare Algebra 1 (WS 12/13) Blatt 4 - math.uni

Prof. Dr. B. Hanke
Dr. J. Bowden
Lineare Algebra 1 (WS 12/13)
Blatt 4: Musterlösung
Aufgabe 1. Wir schreiben die gegebenen Vektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix und bringen
diese auf Zeilenstufenform, wobei


1 3
0 −4
 0 7 −1 −1 


 8 −3 3 −9  ∼
5 2
1
1
wir keine Zeilenvertauschungen vornehmen:



1 3
0
1
3
0 −4
 0

 0 7
−1
7
−1
−1

 ∼ 
 0 −27 3
 0 0 3 − 27
23 
7
0 −13 1
21
0 0 1 − 13
7



1 3 0 −4
1 3 0 −4
 0 7 −1 −1 
 0 7 −1 −1


∼ 
 0 0 −6 134  ∼  0 0 −6 134
7
7
134
0 0 0
0
0 0 −6
7
7

−4
−1 


23 − 27
7
21 − 13
7




Wir sehen somit, dass der vierte Vektor aus den ersten dreien erzeugt werden kann. Schreibe
v1 = (1, 3, 0, −4), v2 = (0, 7, −1, −1), v3 = (8, −3, 3, −9).
Aus der obigen Rechnung erhalten wir folgende Gleichung:
v4 − 5v1 +
13
27
v2 = v3 − 8v1 + v2 =⇒ v4 = −3v1 + 2v2 + v3 .
7
7
Weiterhin sind die ersten drei Vektoren (v1 , v2 , v3 ) linear unabhängig und somit bilden eine Basis
von U . Diese Familie linear unabhängiger Vektoren können wir durch den Vektor
v4 := (0, 0, 0, 1)
zu einer Basis des R4 erweitern.
Aufgabe 2.
Wir betrachten die Elemente δx ∈ RR gegeben durch
1 falls y = x
δx : R → R, y 7→
0, falls y 6= x.
Die Familie (δx )x∈R ist damit ein Erzeugendensystem, denn für jedes Element
g ∈ {f ∈ RR | f (x) = 0 für alle bis auf endlich viele x ∈ R}
P
gilt: g = x∈R g(x) · δx . Dabei ist entscheidend, dass nur endlich viele der g(x) von Null verschieden
sind und die Summe somit endlich ist und es sich tatsächlich um eine Linearkombination
handelt.
P
Die Familie (δx )x∈R ist ferner linear unabhängig, denn ist eine Linearkombination x∈R λx δx = 0
gegeben, so folgt für alle y ∈ R:
!
X
λy =
λx δx (y) = 0
x∈R
Folglich ist (δx )x∈R eine Basis. Diese linear unabhängige Familie ist nicht endlich und es ist somit
dim{f ∈ RR | f (x) = 0 für alle bis auf endlich viele x ∈ R} = ∞.
1
Aufgabe 3.
(a) Die Behauptung k ≤ n“ folgt aus dem Basisergänzungssatz. Ist k = n, so ist die Familie
”
(w1 , . . . , wk ) bereits eine Basis von V und die weitere Behauptung des Austauschsatzes ist
erfüllt. Sei nun k < n. Wir zeigen, dass man aus der gegebenen Basis (v1 , . . . , vn ) einen Vektor vi auswählen kann, so dass die Familie (w1 , . . . , wk , vi ) weiter linear unabhängig ist. Die
Behauptung des Austauschsatzes folgt dann durch Wiederholung dieser Konstruktion bis die
Länge dieser linear unabhängigen Familie n erreicht hat. Dann schließt man wie im Fall k = n
oben.
Angenommen die Familie (w1 , . . . , wk , v) ist linear abhängig für irgend ein v ∈ V . Dann ist v
Pk
eine Linearkombination aus (w1 , . . . , wk ): In der nichttrivialen Darstellung 0 = i=1 λi wi +
µv muss der Koeffizient µ von Null verschieden sein, denn sonst wären wegen der linearen
Unabhängigkeit der wi auch alle λi = 0 und die Darstellung doch trivial. Wegen µ 6= 0 kann
man diese Gleichung nun nach v auflösen und erhält so die behauptete Darstellung von v als
Linearkombination der wi .
Wäre also für alle i = 1, . . . , n die Familie (w1 , . . . , wk , vi ) linear abhängig, so wären alle Basiselemente vi als Linearkombination der wi darstellbar. Die Familie (w1 , . . . , wk ) wäre damit
ein Erzeugendensystem von V und wegen der gegebenen linearen Unabhängigkeit sogar eine
Basis. Das kann aber wegen k < n = dim V nicht sein. Folglich ist mindestens eine der Familien
(w1 , . . . , wk , vi ) linear unabhängig.
(b) Die Familie (v1 , v2 , v3 ) is linear unabhängig, da aus der Gleichung
λ 1 · v1 + λ 2 · v2 + λ 3 · v3
folgt unmittelbar λ1 = λ2 = 0 und dann auch λ3 = 0. Also ist (v1 , v2 , v3 ) eine Basis von
V = Span(v1 , v2 , v3 ) und dim V = 3. Es gilt:
w1 = −v1 − 2v2 =⇒ v1 = −w1 − 2v2
und somit auch
V = Span(v1 , v2 , v3 ) = Span(w1 , v2 , v3 )
so dass (w1 , v2 , v3 ) ein Erzeugendensystem von U bildet. Da dim V = 3 ist (w1 , v2 , v3 ) auch
linear unabhängig nach dem Basisauswahlsatz und somit eine Basis von U .
Aufgabe 4.
(a) Seien x = (vi )i∈I , y = (wj )j∈J , z = (ui )k∈K Familien in X. Es gilt x ≤ y ⇐⇒ I ⊂ J und xi =
wi ∀ i ∈ I.
Wir überprüfen die Eigenschaften eine Ordnung:
• x ≤ x: klar.
• x ≤ y und y ≤ z =⇒ x ≤ z: Nun gilt I ⊂ J ⊂ K =⇒ I ⊂ K und
(xi = wi , ∀ i ∈ I) ∧ (wj = uj , ∀ j ∈ J) =⇒ xi = ui ∀ i ∈ I ⇐⇒ x ≤ z.
• x ≤ y und y ≤ x =⇒ x = y: Es gilt I ⊂ J ∧ I ⊂ J =⇒ I = J. Weiterhin gilt
(xi = wi , ∀ i ∈ I) ∧ (wi = xi , ∀ i ∈ J = I) ⇐⇒ x = y.
Die Ordnung ist im Allgemeinen nicht total. Zum Beispiel: Die Familien
x = (v1 , v2 ) = ((1, 0), (0, 1)), y = (w1 , w2 ) = ((1, 1), (1, 2))
im R2 sind beide linear unabängig, aber es gilt weder x ≤ y noch y ≤ x.
(b) Die gegebene Relation ist keine Ordnung. Da aus xRy und yRx, folgt x = y nicht.
Zum Beispiel: Seien U = Span((1, 0)), V = Span((0, 1)) ⊂ R2 . Dann gilt dim U = dim V = 1,
aber U 6= V .
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