¨Ubungen zur Vorlesung Datenstrukturen WS 2002/03 Blatt 6

Berthold Vöcking
Beate Bollig / Stefan Droste
Abgabe bis 25.11.2002 um 12:00 Uhr
Dortmund, den 19.11.2002
Übungen zur Vorlesung
Datenstrukturen
WS 2002/03
Blatt 6
Aufgabe 6.1
Es sei ein gerichteter Graph auf der Knotenmenge {a, b, c, d, e, f, g} durch die folgenden
Adjazenzlisten gegeben:
L(a) = {b}, L(b) = {c, e}, L(c) = {a, d, e}, L(d) = ∅, L(e) = ∅, L(f ) = {d, g}, L(g) = {d, e}.
Beschreibe, wie der DFS-Algorithmus auf diesem Graphen arbeitet, und gib die entstehende
Kanteneinteilung an.
Aufgabe 6.2 Welches Intervall [i, j] ist für die Berechnung von w(i, j) auf einem Segmentbaum mit n = 2k (k ∈ N) eine worst-case Eingabe? Gib an, wieviele Knoten bei der
Berechnung von w(i, j) besucht werden. Begründe Deine Antwort.
Aufgabe 6.3 Es sei die erste UNION-FIND-Datenstruktur gegeben, d. h. ein n-elementiges
Array A, so dass in A(i) die Menge steht, in der i ∈ {1, . . . , n} enthalten ist. Weiterhin wird
für jede Menge ihre Größe und eine Liste der Elemente der Menge gespeichert.
Gib eine Folge von UNION-Befehlen auf n = 2k Elementen an, deren Laufzeit Θ(n log(n))
beträgt, und begründe Deine Antwort.
Aufgabe 6.4 Es sei die zweite UNION-FIND-Datenstruktur gegeben, d. h. für jede Menge
ein Baum, in dessen Knoten die Elemente stehen und in dessen Wurzel zusätzlich der Mengenname gespeichert wird. Dabei wird jeder Baum durch ein Array gespeichert, in dem in
dem i-ten Arrayplatz der Elter des Knotens i gespeichert wird.
Betrachte den Fall, dass eine Menge durch einen vollständigen Binärbaum der Tiefe k gegeben
ist, dessen Blätter von links nach rechts die Nummern 1 bis n = 2k haben. Gib an, welche
Kosten die Befehlsfolge F IN D(1), F IN D(2), . . . , F IN D(n) für diesen Baum mit bzw. ohne
Pfadkompression hat. Begründe Deine Antwort.
Hinweis: Bei der Betrachtung des Falls mit Pfadkompression kann es sinnvoll sein zu bestimmen, wie oft jeder Knoten durch die Folge von F IN D-Befehlen besucht wird (Buchhaltermethode).
Die Ausgabe der Übungszettel erfolgt immer dienstags in der Vorlesung. Die Bearbeitungen
müssen bis zum nächsten Montag, 12:00 Uhr, in die gekennzeichneten Briefkästen im Pav. 6
eingeworfen werden. Bitte Namen und die Gruppennummer nicht vergessen.