Mengenlehre Daniela Andrade 24.10.2016

TU1
Mengenlehre
Daniela Andrade
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24.10.2016
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Kleine Anmerkung
Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf
www.carlos-camino.de/ds findet ;)
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Themenübersicht
1
I. Wichtige Begriffe
2
II. Graphische Darstellung von Mengen
3
III. Operationen und Rechenregeln
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I. Wichtige Begriffe
Themenübersicht
1
I. Wichtige Begriffe
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I. Wichtige Begriffe
Mengen
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten
wohl-unterschiedenen Objekten. Wichtig ist:
Es werden geschweifte Klammern benutzt: {. . .}.
Elemente werden durch Kommas getrennt.
Die Reihenfolge der Elemente ist irrelevant.
Die Anzahl an Kopien desselben Elements ist irrelevant.
Die Elemente einer Menge können beliebige Objekte sein, z.B. auch Mengen.
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I. Wichtige Begriffe
Elementrelation
x ist Element von A (in Zeichen: x ∈ A), falls x in A enthalten ist. Falls x kein Element von A
ist, dann schreibt man x ∈
/ A.
Beispiel
Es gilt 2 ∈ {1, 2, 3}, aber 4 ∈
/ {1, 2, 3}.
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I. Wichtige Begriffe
Inklusion
A ist Teilmenge von B (in Zeichen: A ⊆ B), falls jedes Element aus A in B enthalten ist.
Beispiel
Es gilt {1, 3} ⊆ {1, 2, 3} und {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}, aber {3, 4} * {1, 2, 3}.
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I. Wichtige Begriffe
Mengengleichheit
Die Mengen A und B sind gleich (in Zeichen: A = B), falls A ⊆ B und B ⊆ A gelten.
Beispiel
Es gilt {1, 2, 3} = {1, 2, 3}, aber {2, 3, 4} =
6 {1, 2, 3}.
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I. Wichtige Begriffe
Kardinalität
Die Kardinalität oder Mächtigkeit |A| einer Menge A gibt die Anzahl der Elemente in A an.
Beispiele
Es gilt |{3, 4, 5}| = 3, |{{2}, {3, 4, 5}}| = 2, |{}| = 0 und |{{}}| = 1.
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I. Wichtige Begriffe
Potenzmenge
P(A) ist die Menge aller Teilmengen von A, also:
P(A) := {X | X ⊆ A}
und für jede endliche Menge A gilt: |P(A) | = 2|A| .
Beispiele
Es gilt:
P(∅)
= {∅},
P({1})
= {∅, {1}},
P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}},
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II. Graphische Darstellung von Mengen
Themenübersicht
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II. Graphische Darstellung von Mengen
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II. Graphische Darstellung von Mengen
Venn-Diagramme
Das Universum U durch n Mengen A1 , . . . , An wird in genau 2n Bereichen aufgeteilt.
1 Bereich
2 Bereiche
4 Bereiche
8 Bereiche
16 Bereiche
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II. Graphische Darstellung von Mengen
KV-Diagramme
KV-Diagramme sind übersichtilicher als Venn-Diagramme. Hier wird das Universum in 2n gleichgrosse
Quadrate aufgeteilt.
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II. Graphische Darstellung von Mengen
KV-Diagramme fü zwei Mengen
Seien A, B, ⊆ U beliebige Mengen über das Universum U.
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II. Graphische Darstellung von Mengen
KV-Diagramme fü drei Mengen
Seien A, B, C ⊆ U beliebige Mengen über das Universum U.
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III. Operationen und Rechenregeln
Themenübersicht
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III. Operationen und Rechenregeln
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III. Operationen und Rechenregeln
Operationen
Die wichtigsten Operationen auf Mengen sind:
A
:=
{x ∈ U | x ∈
/ A}
(Komplement)
A∩B
:=
{x ∈ U | x ∈ A und x ∈ B}
(Schnitt)
A∪B
:=
{x ∈ U | x ∈ A oder x ∈ B}
(Vereinigung)
A\B
:=
{x ∈ U | x ∈ A und x ∈
/ B}
(Differenz)
A4B
:=
{x ∈ U | entweder x ∈ A oder x ∈ B}
(symmetrische Differenz)
∩ und ∪ sind assoziativ.
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III. Operationen und Rechenregeln
Infos
Die graphische Bedeutung des Komplements ist folgende:
U
A
A
Die graphische Bedeutung der zweistellingen Operationen ∩, ∪, \ und 4 ist:
U A
B
A∩B
U A
B
A∪B
U A
B
A\B
U A
B
A4B
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III. Operationen und Rechenregeln
Rechenregeln für Mengen
Seien A, B, C ⊆ U beliebige Mengen über das Universum U.
A∩U =A
A∪∅=A
(Identität)
A∪U =U
A∩∅=∅
(Dominanz)
A∪A=A
A∩A=A
(Idempotenz)
A∩B =B∩A
(Kommutativität)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(Assoziativität)
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
(Distributivität)
(A ∩ B) = A ∪ B
(A ∪ B) = A ∩ B
(De Morgan)
A∪A=U
A∩A=∅
(U und ∅)
A=A
A∪B =B∪A
(Doppeltes Komplement)
A\B =A∩B
(Differenz)
A4B = (A \ B) ∪ (B \ A)
(symmetrische Differenz)
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