Probeklausur zu Logik

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Vorname:
Matr.-Nr.:
Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften / Informatik
WS 2015/16
Februar 2016
Probeklausur
Probeklausur zu Logik
Hinweise:
• Es gibt 7 Aufgaben, für die insgesamt 40 Punkte zu vergeben sind.
• Zur Bearbeitung der Aufgaben stehen Ihnen 120 Minuten zur Verfügung.
• Die Klausur ist bestanden, wenn 50% der Punkte (also 20 Punkte) erreicht werden.
• Fertigen Sie alle Lösungen selbständig an. Plagiate können auch nach Abgabe der
Klausur identifiziert werden und führen zu einer Bewertung der Klausur mit null
Punkten.
Aufgabe 1
Kurze Behauptungen
(7 Punkte)
Nehmen Sie Stellung zu den folgenden Behauptungen. Begründen Sie Ihre Antworten. Antworten
ohne Begründung erhalten keine Punkte.
(a) Durch die Skolemumformung erhält man eine Formel, die zu der ursprünglichen
prädikatenlogischen Formel äquivalent ist.
(b) Gegeben seien die Formeln F = ∀x∃y P (x, f (y)) und G = ∃x Q(x).
F und G sind erfüllbarkeitsäquivalent.
(c) Bei der Unifikation besitzt eine Menge von Literalen immer nur einen einzigen
allgemeinsten Unifikator.
(d) Die Operatormenge {∧, ∨} ist eine vollständige Operatormenge.
(e) Eine Formel F heißt gültig, falls F mindestens ein Modell besitzt.
(f) Die Formel F = ∀x∀y P (f (x), g(x, y)) ∨ Q(a, f (b)) ist eine Aussage bzw.
geschlossene Formel. (Dabei handelt es sich bei x sowie y um Variablen und
bei a sowie b um Konstantensymbole.)
(g) Bei der Umwandlung einer aussagenlogischen Formel in konjunktive Normalform
kann diese Formel höchstens quadratisch größer werden.
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Aufgabe 2
Wahrheitstafeln
(4 Punkte)
Geben Sie in dieser Aufgabe in der Wahrheitstafel jeweils ausreichend Zwischenschritte an.
Antworten ohne Zwischenschritte erhalten Punktabzug.
Gegeben sei die Formel
F = (¬A → B) ∧ ((A ∧ ¬C) ↔ B)
Geben Sie die Wahrheitstafel für die Formel F an. Lesen Sie anschließend aus Ihrer
Wahrheitstafel eine äquivalente Formel G in DNF ab und geben Sie G an.
Aufgabe 3
Normalformen und Herbrand Universen
(5 Punkte)
Geben Sie in dieser Aufgabe bei den Umwandlungen jeweils ausreichend Zwischenschritte und die
verwendeten Äquivalenzgesetze an. Antworten ohne Nennung der angewandten Äquivalenzgesetze
erhalten Punktabzug.
Gegeben sei die Formel
H = ∃x∀y
P (x, f (y)) ∧ ∀z Q(z) → ∀u R(x, u) .
(a) Wandeln Sie H in eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel H 0 in Klauselform um.
Geben Sie alle Zwischenschritte (bereinigte Form, Pränexform, Skolemform) an.
(b) Geben Sie für die Formel H 0 das Herbrand Universum D(H 0 ) an.
(Hinweis: Geben Sie für unendlich große Herbrand-Universen mindestens so viele Elemente an,
dass das Schema der Aufzählung deutlich wird.)
Aufgabe 4
Strukturen und Modelle
(6 Punkte)
Sei P ein einstelliges Prädikat, R ein zweistelliges Prädikat und f eine einstellige Funktion.
Gegeben sind die folgenden Strukturen:
• A = (UA , IA ) mit UA = {a, b, c, d, e} und
P A = {b, c, d, e} ⊆ UA
f A : UA 7→ UA
RA = {(a, a), (a, c), (b, c), (c, a), (d, d)} ⊆ UA × UA
f A (x) = a
• B = (UB , IB ) mit UB = N0 = {0, 1, 2, . . .} und
P B = {n | n ∈ N0 und n ist gerade} ⊆ UB
f B : UB 7→ UB
RB = {(n, m) | n, m ∈ N0 ∧ n ≤ m} ⊆ UB × UB
f B (n) = n + 3
Geben Sie für die folgenden Formeln an, welche der Strukturen A und B Modelle der Formeln
sind. Begründen sie kurz Ihre Antworten. Antworten ohne Begründung erhalten Punktabzug.
(a) F1 = ∀x P (f (x)) → ∃y R(y, x)
(b) F2 = ∀x∀y∀z R(x, y) ∧ R(y, z) → R(x, z)
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Aufgabe 5
Erfüllbarkeitsnachweis
(4 Punkte)
Sei P ein zweistelliges Prädikatsymbol, g eine zweistellige Funktion und a eine Konstante. Bei
der folgenden Formel H handelt es sich um eine erfüllbare, aber nicht gültige Formel.
H = ∀x∀y P (x, y) → P (g(y, a), g(x, a))
Geben Sie für H zwei passende Strukturen A und B an, so dass A ein Modell und B kein Modell
für H ist. Begründen Sie Ihre Antworten. Antworten ohne Begründung erhalten Punktabzug.
Aufgabe 6
Unifikation
(6 Punkte)
Verwenden Sie den Unifikationsalgorithmus, um für die folgenden Literalmengen zu entscheiden,
ob sie unifizierbar sind oder nicht. Geben Sie ausreichend viele Zwischenschritte des Algorithmus
an, so dass Ihr Vorgehen nachvollzogen werden kann. Falls die Literalmenge unifizierbar ist, so
geben Sie außerdem einen allgemeinsten Unifikator an.
(a) L1 = {P (f (x, y), x), P (z, g(y)), P (f (g(u), a), x)}
(b) L2 = {Q(b, h(x, x)), Q(y, z), Q(b, h(f (x), f (u)))}
Dabei handelt es sich bei u, x, y, z um Variablen und bei a sowie b um Konstantensymbole.
Aufgabe 7
Resolution
(8 Punkte)
(a) Zeigen Sie mit Hilfe von aussagenlogischer Resolution, dass die folgende Formel gültig ist:
F = B → ¬ (A ∨ C ∨ D) ∧ ¬(A ∧ B) ∧ (¬B ∨ C ∨ ¬D) ∧ (C → A)
(b) Gegeben sei die folgende Klauselmenge
{{P (u, f (u))}, {¬Q(z), ¬Q(f (z))}, {¬P (a, x), Q(x)}, {P (y, f (f (y)))}},
wobei u, x, y und z Variablen sowie f ein einstelliges Funktionssymbol bezeichnen und
a eine Konstante ist. Zeigen Sie mit Hilfe der prädikatenlogischen Resolution, dass die
Klauselmenge unerfüllbar ist.
(Insgesamt werden für diese Klausur 40 Punkte vergeben.)
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