Zwischenprüfung 1 Version A

MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften
Herbstsemester 2008
Zwischenprüfung 1
Version A
Mittwoch, 29. Oktober
Aufgabe 1 (10 Punkte).
1. (5 P.) In der Ebene sind die zwei Geraden g und h gegeben mit den Gleichungen
g : y = 45 x + 3, h : y = −1.25x + 2.74. Die Geraden schneiden sich unter dem Winkel
(A) 45◦ ,
(B) 60◦ ,
(C) 90◦ ,
(D) 30◦ .
2. (5 P.) Die Ebene E wird aufgespannt durch die Vektoren ~a und ~b, die Ebene F wird
aufgespannt durch die Vektoren ~u und ~v . Die Ebenen E und F schneiden sich in der
Geraden g. Einer der folgenden Vektoren ist mit Sicherheit ein Richtungsvektor von g.
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Welcher?
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(A) ~a + ~b + ~u + ~v ,
(B) ~a × ~u + ~b × ~v ,
~a
E
~v
~b
(C) (~a × ~b) × (~u × ~v ),
~u
F
(D) (~a × ~b) + (~u × ~v ).
g
Aufgabe 2 (10 Punkte).
1. (5 P.) Die Funktion f (x) = cos(x)e|x−1| ist:
(A) nicht stetig an der Stelle x = 1,
(B)
stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 1,
(C) differenzierbar, aber nicht stetig an der Stelle x = 1,
(D) nicht stetig und nicht differenzierbar an der Stelle x = 1.
2. (5 P.) limx→1
x−1
ln(x)
(A) existiert nicht,
(B) ist = π,
(C) ist = 1,
(D) ist = e.
Aufgabe 3 (10 Punkte).
1. (5 P.) Die Funktion f (x) = sin(x) hat im links-offenen und und rechts-abgeschlossenen
Intervall (−π/2, π] folgende Extrema:
(A)
Ein absolutes Maximum, kein absolutes Minimum aber ein relatives Minimum;
(B) Ein absolutes Maximum, ein absolutes Minimum aber kein relatives Minimum;
(C) Ein relatives Maximum, kein absolutes Maximum aber ein relatives Minimum;
(D) Kein absolutes Maximum, ein absolutes Minimum und ein relatives Maximum.
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MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften
Herbstsemester 2008
2. (5 P.) Die Funktion f : R → R ist zweimal stetig differenzierbar. Ihre Ableitung f ′ verschwindet genau an den Stellen 1, 2, 3, 4, 5. Es gilt f ′′ (1) > 0 und f ′′ (2), f ′′ (3), f ′′ (4), f ′′ (5)
sind alle von 0 verschieden. Dann hat f :
(A) 5 relative Minima;
(B)
3 relative Minima und 2 relative Maxima;
(C) 2 relative Minima und 3 relative Maxima;
(D) 1 relatives Minimum und 4 relative Maxima.
Aufgabe 4 (10 Punkte).
1. (5 P.) Ein Fahrzeug wird während des Zeitintervalls [0, T ] beobachtet (T > 0). Der zurückgelegte Weg zum Zeitpunkt t sei s(t). Welchen Weg hätte das Fahrzeug zur Zeit T
zurückgelegt, wenn es von einem bestimmten Moment t0 ∈ (0, T ) an mit gleichbleibender
Geschwindigkeit weitergefahren wäre?
(A) ṡ(t0 )T ,
(B) s(t0 )(T − t0 ) + ṡ(t0 ),
(C) ṡ(T )(T − t0 ) + s(T ),
(D) ṡ(t0 )(T − t0 ) + s(t0 ).
2. (5 P.) Bei der Messung einer physikalischen Grösse erhält man den Wert x0 = 100 mit
einem maximalen absoluten Messfehler von 0.25. Sei f (x) = x4 . Der maximale relative
Fehler des Funktionswertes f (x0 ) beträgt ≈
(A) 0.1 %,
(B) 1 %,
(C) 0.5 %,
(D) 0.02 %.
Aufgabe 5 (10 Punkte).

cos(t)
1. (5 P.) Sei C die durch t 7→ ~x(t) =  sin(t)  definierte Kurve, (0 ≤ t ≤ 2π). C ist

t
π
(A) ein Kreis;
(B) eine Ellipse;
(C) eine Schraubenlinie;
(D) eine Parabel.
2. (5 P.) Sei C wie in a). Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
√
(A) |~x(t)| ≤ 5 für alle t ∈ [0, 2π];
(B) C schneidet die Ebene x3 = 1;
(C) |~x˙ (t)| ist konstant;
(D)


0
die Gerade mit der Parameterdarstellung s 7→ ~y(s) =  s  ist eine Tangente zu C.
s
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