1. Beispiele für Fragen an der mündlichen Prüfung zur Analysis III

1. Beispiele für Fragen an der mündlichen Prüfung zur Analysis III
Die Probleme sind Beispiele von Fragen, die an der mündlichen Prüfung zur Analysis III
gefragt werden könnten. Wenn wir
Problem 1.1. (Kapitel X) or (Kapitel X-Kapitel Y)
schreiben, meinen wir damit, dass das Beispiel sich vor allem auf den Stoff des Kapitels X (oder der Kapitel X und Y) der Vorlesung bezieht. Es kann jedoch durchaus sein,
dass gewisse Aspekte des Problems auch andere Teile der Vorlesung betreffen. Ausserdem
beziehen sich manche der Probleme aufeinander und geben somit eine Vorstellung davon,
wie die Diskussion während der Prfung von einem Punkt zum anderen verlaufen kann. So
kann der Kandidat nach Behandlung der Fragen des Problems 1.2 weiter in Richtung des
Problems 1.8 geprüft werden. Seien Sie also sicher, dass Sie nicht nur die einzelnen Kapitel
der Vorlesung wissen, sondern auch ihre jeweiligen Zusammenhänge kennen.
Problem 1.2 (Kapitel 1). Betrachte eine nicht-negative Funktion H ∈ C 2 (R2 , R+ ) und das
System gewöhnlicher Differentialgleichungen
dγ1
= −∂x2 H(γ1 , γ2 )
dt
(1.1)
dγ2
= ∂x1 H(γ1 , γ2 )
dt
(a) Fr jeden Anfangswert x0 ∈ R2 gibt es eine eindeutig bestimmte lokale Lösung von
(1.1) mit γ(0) = x0 ; weshalb?
(b) Falls |∇H| eine beschränkte Funktion ist, dann gibt es eine globale Lösung; weshalb?
(c) Können Sie sich unterschiedliche Bedingungen vorstellen, die eine globale Lösung
garantieren? Beispielsweise die Bedingung
lim |H(x)| = ∞
x→∞
(1.2)
garantiert globale Existenz, weshalb?
Vorschlag 1: Beweisen Sie, dass t 7→ H(γ(t)) eine konstante Funktion ist fr jede
Lösung γ von (1.1).
Vorschlag 2: Nutzen Sie Vorschlag 1, um ein “Fortsetzungsargument” anzuwenden (was ist ein “Fortsetzungsargument”? Wie haben wir im Satz von PicardLindelöf von der lokalen auf die globale Existenz geschlossen?).
Problem 1.3 (Kaptiel 2). Betrachten Sie die Mengen
∞ [
n
[
j
1 j
1
Ij,n :=
−
, +
A :=
Ij,n .
n 4j+n n 4j+n
i=1 j=1
(1.3)
(a) Ist A Lebesgue messbar? Weshalb? Können Sie die Eigenschaften einer σ-Algebra
aufzählen?
(b) Was ist eine dichte Menge? Ist A∩]0, 1[ dicht in ]0, 1[?
(c) Ist A abgeschlossen?
Vorschlag 1: Schätzen Sie das Lebesgue Mass von A von oben ab (Was ist die
Subadditivität eines Masses? Brauchen Sie die Messbarkeit von A?).
Vorschlag 2: Benutzen Sie Vorschlag 1, um zu zeigen, dass |]0, 1[\A| > 0
(Brauchen Sie die Messbarkeit von A, um dies zu zeigen?).
1
2
Vorschlag 3: Kombinieren Sie (b) und Vorschlag 2, um zu zeigen, dass A nicht
abgeschlossen ist.
Problem 1.4 (Kapitel 3-4). Betrachten Sie die Mengen Ij,n in (1.3) und
X
f : R 7→ [0, ∞]
as
f (t) :=
(j + n)1Ij,n (t) .
(1.4)
j,n
(a) Ist f beschränkt? Ist f messbar?
(b) Zeigen Sie, dass die Reihe für fast alle t konvergiert.
Vorschlag 1: Verwenden Sie das Theorem über die monotone Konvergenz (Können
Sie es formulieren? KönnenR Sie eine Beweisidee angeben?)
Vorschlag 2: Schätzen Sie f ab (Warum existiert das Integral? Wie lautet die
Definition des Lebesgue Integrals?) und zeigen Sie, dass das Integral endlich ist;
kombinieren Sie dies nun mit Vorschlag 1.
(c) Können Sie einen expliziten Algorithmus angeben, um die approximierende Folge im
Theorem von Egoroff zu finden (Wie lautet die Aussage des Theorems?)?
Vorschlag 1: Schauen Sie sich den Beweis im Skript an.
Vorschlag 2: Wann ist eine einfache Funktion stetig?
Problem 1.5 (Kapitel 5-Kapitel 7).
(a) Können Sie eine Methode angeben, um das Lebesgue
Mass der Menge B1 (0) ⊂ R4 zu berechnen?
Vorschlag Benutzen Sie Fubinis Theorem (Können Sie es formulieren?)?
(b) Berechnen Sie das Lebesgue Mass der Menge B1 (0) ⊂ R3 , indem Sie Polarkoordinaten
benutzen. Wie lässt sich diese Rechnung rechtfertigen?
Vorschlag Verwenden Sie den Transformationssatz. Wie verfahren Sie mit dem
Ursprung?
(c) Schlagen Sie eine Verallgemeinerung von Polarkoordinaten im R4 vor.
Vorschlag 1 Betrachten Sie die Abbildung (r, θ1 , θ2 , θ3 ) 7→ P (r, θ1 , θ2 , θ3 ), die
durch
P (r, θ1 , θ2 , θ3 ) = r cos θ1 , r sin θ1 cos θ2 , r sin θ1 sin θ2 cos θ3 , r sin θ1 sin θ2 sin θ3 ;
(1.5)
gegeben ist. In welchen Punkten ist diese Abbildung ein (lokaler) Diffeomorphismus?
Vorschlag 2 Verwenden Sie den Satz ber die Umkehrabbildung.
(d) Auf welchen Mengen definiert die Abbildung
(θ1 , θ2 , θ3 )
7→
P (1, θ1 , θ2 , θ3 )
eine Karte fr die 3-dimensionale Mannigfaltigkeit {|x| = 1} ⊂ R4 (Weshalb ist diese
Menge eine Mannigfaltigkeit?)?
Problem 1.6 (Kapitel 6). Die Menge der Borelmengen von Rn ist definiert als die kleinste
σ-Algebra, welche alle offenen Mengen enthält.
(a) Was ist eine σ-Algebra?
(b) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt einer beliebigen Familie von σ-Algebren wieder eine
σ-Algebra ist. Schliessen Sie, dass die σ-Algebra der Borelmengen ein wohldefiniertes
Objekt ist.
(c) Gibt es Teilmengen des Rn , die keine Borelmengen sind?
3
Vorschlag: Verwenden Sie die Tatsache, dass Borelmengen Lebesgue messbar
sind (Weshalb ist das so?).
(d) Definieren Sie Borel messbare Funktionen und zeigen Sie, dass jede stetige Funktion
Borel messbar ist.
(e) Zeigen Sie, dass die Dirichlet-Funktion (die charakteristische Funktion der rationalen
Zahlen) eine Borel messbare Funktion ist.
Vorschlag 1 Seien {qi } eine Aufzählung der natürlichen Zahlen und
fN =
N
X
1[qi −N −1 ,qi +N −1 ] .
i=1
Wir müssen nur zeigen, dass jede Funktion fN Borel messbar ist: weshalb?
Vorschlag 2 Zeigen Sie, dass 1[qi −N −1 ,qi +N −1 ] punktweise der Grenzwert einer
Folge stetiger Funktionen ist.
Problem 1.7 (Kapitel 8-Kapitel 9). Betrachten Sie in R3 \ {0} die 2-Form
1
ω :=
x1 dx2 ∧ dx3 + x3 dx1 ∧ dx2 + x2 dx3 ∧ dx1 .
|x|
(a) Zeigen Sie, dass die Form geschlossen ist.
(b) Können wir das Poincaré Lemma anwenden?
(c) Betrachten Sie die Mannigfaltigkeiten
S − = {x1 ≤ 0} ∩ S
R
R
(Weshalb sind dies Mannigfaltigkeiten?). Berechenen Sie S + ω und S − ω.
(d) Ist die Form ω exakt?
Vorschlag Zeigen Sie, dass (c) dem Satz von Stokes widersprechen wrde, wäre ω
exakt.
S := {|x| = 1}
S + = {x1 ≥ 0} ∩ S
Problem 1.8 (Kaptitel 7-Kapitel 9). Betrachten Sie eine nicht-negative Funktion H ∈
C 2 (R2 , R+ ) . Sei c ∈ H(R2 ) so dass
∇H(x) 6= 0
für jedes x mit H(x) = c.
(1.6)
(a) Zeigen Sie, dass {H = c} eine 1-dimensionale C 1 Untermannigfaltigkeit von R2 ist.
Weshlab ist die Bedingung (1.6) zentral?
(b) Zeigen Sie, dass M = {H ≥ c} eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand ist.
Was ist der Rand von M ? Ist M eine orientierbare Mannigfaltigkeit?
(c) Nehmen Sie an, H erflle (1.2). Zeigen Sie, dass M kompakt ist.
(d) Seien (x1 , x2 ) Koordinaten auf R2 . Fr jedes x ∈ M gibt es eine Umgebung von x, ein
i ∈ {1, 2}, ein r > 0 und eine C 2 Funktion f :]xi − r, xi + r[→ R so dass ∂M ∩ U als
der Durchschnitt von U mit dem Graph von f gegeben ist. Weshalb?
Vorschlag: Wenden Sie den Satz ber die impliziten Funktionen an.
Können Sie diese Aussage fr glatte Untermannigfaltigkeiten beliebiger Dimension
und Kodimension verallgemeinern? Können Sie diese verwenden, um Beispiele von
Karten zu geben (Was ist eine Karte?)?
(e) Betrachten Sie offene Mengen vom Typ wie in (d). Bilden diese Mengen eine Überdeckung?
Gibt es eine endliche Überdeckung? Was bedeutet es, dass eine Zerlegung der Eins
einer Überdeckung untergeordnet ist?