(2‐4)‐Baum
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Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 19.12.2013 [email protected] 1 Struktur der Vorlesung unterteilt in 5 Kapitel 1. Einführung u. Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. SorHerverfahren 4. Suchen in linearen Feldern 5. Suchen in Bäumen 19.12.2013 [email protected] 2 5. Suchen in Bäumen • • • • Bäume als Datenstruktur WH ‐ Suchen in Binärbäumen Balancierte Bäume (2‐4 Bäume) Rot/Schwarz Bäume • Spezielle Kapitel aus D&A 19.12.2013 [email protected] 3 WH ‐ Binärbäume • Jeder Knoten hat maximal zwei Nachfolger ExisHert ein Sohn‐ oder ein Vaterknoten nicht, wird nil zurückgeliefert 19.12.2013 [email protected] 4 WH ‐ Binärbäume • Auslesereihenfolge der Knoten: – Symmetrische Reihenfolge (SR, inorder): linker Teilbaum in SR, Wurzel, rechter Teilbaum in SR Aufruf: SR(w) w … Wurzel T(n) = Θ(n) Beispiel: / * + 2 19.12.2013 + 3 4 3 Infix‐Nota/on 5 [email protected] 5 WH ‐ Binärbäume • Reihenfolge der Knoten: – Hauptreihenfolge (HR, preorder): Wurzel, linker Teilbaum in HR, rechter Teilbaum in HR – Nebenreihenfolge (NR, postorder): linker Teilbaum in NR, rechter Teilbaum in NR, Wurzel / * + (HR) + 3 4 3 (NR) 2 19.12.2013 5 Pos4ix‐Nota/on [email protected] 6 WH ‐ SorHerte Binärbäume • Binäre Suchbäume sind in symmetrischer Reihenfolge sorHert Knoten im linken Teilbaum ≤ Wurzel ≤ Knoten im rechten Teilbaum 19.12.2013 [email protected] 7 WH ‐ SorHerte Binärbäume • Suchen (binäre Suche): b … gesuchter Wert k … Wurzel des Teilbaums Aufruf: SUCHE(b, w) Suchzeit: O(h) h … Höhe des Baumes (= Länge des längsten Astes) 19.12.2013 [email protected] 8 WH ‐ SorHerte Binärbäume • Einfügen: Fügt den Wert w in den Binärbaum B ein Simuliere eine Suche nach w, bis zu einer freien Stelle (x=nil) Dort fügen wir das Element ein (als Sohn von y) Baum B war leer Laufzeit: O(h) 19.12.2013 [email protected] 9 SorHerte Binärbäume können entarten! • AuIau eines sorHerten Binärbaumes: – durch wiederholtes Einfügen (⇒ natürliche Bäume) – Binärbaum hängt von der Reihenfolge der Elemente ab T(n) = O(n*h) = Θ(n2), wenn h = Θ(n) Einige wenige Reihenfolgen liefern entartete Bäume (= Listen) Fügt man randomisiert ein, ist E[h] klein 19.12.2013 [email protected] 10 Binärbäume ‐ online Durch Update-Operation (Löschen, Einfügen) 1 9 Höhe ≠ log(n) 8 Entartet! 3 Höhe = O(n) Umstrukturieren O(n) (fast) ausgeglichen = gut, da minimale Höhe = O( log n) 11.12.2008 teuer! 7 4 5 helmut.hauser@IGI Zusammenfassung ‐ SorHerte Binärbäume • Zusammenfassung: – – – – – – – Minimum Maximum Vorgänger Nachfolger Einfügen Löschen Suchen Alle OperaHonen in O(h) Zeit h … Baumhöhe • Vorteil: dynamische Lösung des Wörterbuchproblems • Nachteil: Zeiten bis zu Θ(n) wenn Baum entartet ist, Bsp.: online Elemente hinzufügen 19.12.2013 [email protected] 12 5. Suchen in Bäumen • • • • Bäume als Datenstruktur Suchen in Binärbäumen Balancierte Bäume (2‐4 Bäume) Rot/Schwarz Bäume • Spezielle Kapitel aus D&A 19.12.2013 [email protected] 13 Balancierte Bäume • Bedingungen zum Erhalten einer logarithmischen Baumhöhe: 1. Höhenbedingung: h(B) = Höhe von B Für jeden Knoten gilt: h( B ) − h( B links rechts ) ≤ k z.B.: AVL‐Bäume (1962) 2. Gewichtsbedingung: g(B) = #Bläper von B Für jeden Knoten gilt: 1 g ( Blinks ) ≤ ≤α α g ( Brechts ) BB‐Bäume (bounded balance) 3. Strukturbedingung: Alle Bläper haben dieselbe Tiefe, aber Ordnung der Knoten (# Söhne) ist variabel (a‐b)‐Bäume, B‐Bäume, Bruder‐Bäume 19.12.2013 [email protected] 14 (2‐4)‐Bäume • Balancierung ist leichter aufrechtzuerhalten, wenn die Werte bla9orien:ert stap knotenorienHert gespeichert werden. Innere Knoten enthalten nur HilfsinformaHonen. • Ein (2‐4)‐Baum ist ein Baum mit folgenden Eigenschaqen: (1) Alle Äste sind gleich lang. (2) Die max. Anzahl der Söhne eines Knotens ist gleich 4. (3) Innere Knoten haben ≥ 2 Söhne. (4) Die Bläper enthalten v.l.n.r. die Werte aufsteigend sorHert. (5) Jeder innere Knoten mit t Söhnen (2 ≤ t ≤ 4) speichert z.B. t‐1 HilfsinformaHonen x1, …, xt‐1, wobei xi = größter Wert im Teilbaum des i‐ten Sohnes von links. 2 ≤ α(k) ≤ 4 … Anzahl der Söhne des Knotens k 19.12.2013 [email protected] 15 (2‐4)‐Bäume • Beispiel: Innere Knoten speichern HilfsinformaHonen (z.B.: Max. der linken t‐1 Unterbäume) 4,6 1,2 1 2 Höhe h=Θ(log n) 19.12.2013 10,11 5 4 5 6 10 11 24 Daten werden in den Bläpern gespeichert (v.l.n.r. aufsteigend sorHert) [email protected] 16 (2‐4)‐Bäume • Suchen: pro Knoten wird der relevante Teilbaum in O(t) = O(1) Zeit pro Knoten selekHert ⇒ Θ(h) = Θ(log n) Zeit 8 2 2 19.12.2013 4 4 10 5 5 11 8 10 12 11 [email protected] 12 24 24 31 17 (2‐4)‐Bäume • Einfügen: Suchen, Blap an Knoten k anhängen – α(k) ≤ 4: ResulHerender Baum ist wieder ein (2‐4)‐Baum – α(k) = 5: ResulHerender Baum ist kein (2‐4)‐Baum SPALTEN von k: Gib k einen Bruder k' rechts von k. Hänge die 2 rechtesten Söhne von k auf k' um ⇒ α(k) = 3, α(k') = 2 SPALTEN muss evtl. für übergeordnete Knoten wiederholt werden (Wurzel wird Sohn einer neuen Wurzel mit 2 Söhnen) ⇒ O(h) = O(log n) Zeit 19.12.2013 [email protected] 18 (2‐4)‐Bäume • EnYernen: Suchen, Blap von Knoten k enwernen – α(k) ≥ 2: ResulHerender Baum ist wieder ein (2‐4)‐Baum – α(k) = 1: ResulHerender Baum ist kein (2‐4)‐Baum Sei k' ein direkter Bruder von k: – α(k') ≥ 3: STEHLEN eines Sohnes von k' ⇒ α(k) = 2, α(k') ≥ 2 – α(k') =2: VERSCHMELZEN von k mit k' ⇒ α(k) = 3 evtl. für übergeordnete Knoten wiederholen (Wurzel wird durch einzigen Sohn ersetzt) ⇒ O(h) = O(log n) Zeit 19.12.2013 [email protected] 19 Zusammenfassung (2‐4)‐Bäume • Der (2‐4)‐Baum ist eine Datenstruktur, die das Wörterbuchproblem (Suchen, Einfügen, Enwernen) auf einer Menge von n Elementen in O(log n) Zeit pro OperaHon löst, und O(n) Speicher belegt. • Einfügen und Enwernen erfordert Umstrukturierungen (Spalten, Stehlen, Verschmelzen) • Bereits vorgenommene Umstrukturierungen amor]sieren sich jedoch später 19.12.2013 [email protected] 20 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Schöne Weihnachten und bis zum nächsten Mal. (Donnerstag, 9. Jan. 2014, 11:15, i13) 19.12.2013 [email protected] 21
