Mengen und Funktionen - www2.inf.h-brs.de

Brückenkurs Mathematik
Teil 2 - Mengen und Funktionen
Sigrid Weil
Fachbereich Informatik
Hochschule Bonn-Rhein-Sieg
1 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
2 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
3 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
4 / 106
Definition
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
”
wohlunterschiedener Dinge unserer Anschauung oder unseres
Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden.“
Georg Cantor, dt. Mathematiker 1845-1918
5 / 106
Mengen und ihre Elemente
I
Gehört ein Element x zu einer Menge M, so sagen wir
x ist Element von M“ oder x ist in M“ oder x aus M“.
”
”
”
In Zeichen: x ∈ M
I
Gehört ein Element nicht zur Menge M, so schreiben wir
In Zeichen: x 6∈ M
I
Es gibt auch eine Menge ohne Elemente, die leere Menge.
In Zeichen: { } oder ∅
I
Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt Kardinalität
von M.
In Zeichen: | M | oder #M
6 / 106
Darstellung von Mengen (1)
I
Aufzählende Darstellung
A = {c, a, k} = {a, c, k} = {k, a, c, a, k, c} enthält die drei
Zeichen c, a und k.
7 / 106
Darstellung von Mengen (1)
I
Aufzählende Darstellung
A = {c, a, k} = {a, c, k} = {k, a, c, a, k, c} enthält die drei
Zeichen c, a und k.
I
Pünktchen-Schreibweise“
”
B = {1, 2, 3, . . . , 9}
Z = {10, 20, 30, 40, . . .}
7 / 106
Darstellung von Mengen (1)
I
Aufzählende Darstellung
A = {c, a, k} = {a, c, k} = {k, a, c, a, k, c} enthält die drei
Zeichen c, a und k.
I
Pünktchen-Schreibweise“
”
B = {1, 2, 3, . . . , 9}
Z = {10, 20, 30, 40, . . .}
I
Beschreibende Darstellung
B = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 9}
(sprich: die Menge aller x, für die gilt: . . .“)
”
7 / 106
Darstellung von Mengen (2)
I
Zahlenstrahl
-1 0 1
2
3
4
5
6
7 8
9
10
8 / 106
Darstellung von Mengen (2)
I
Zahlenstrahl
-1 0 1
I
2
3
4
5
6
7 8
9
10
Venn-Diagramm
a
k
c
8 / 106
Teilmengen
I
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B,
in Zeichen: A ⊆ B
wenn jedes Element von A auch Element von B ist:
für alle x ∈ A ist x ∈ B
9 / 106
Teilmengen
I
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B,
in Zeichen: A ⊆ B
wenn jedes Element von A auch Element von B ist:
für alle x ∈ A ist x ∈ B
I
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge:
für alle A ist ∅ ⊆ A
9 / 106
Teilmengen
I
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B,
in Zeichen: A ⊆ B
wenn jedes Element von A auch Element von B ist:
für alle x ∈ A ist x ∈ B
I
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge:
für alle A ist ∅ ⊆ A
I
Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:
für alle A ist A ⊆ A
9 / 106
Teilmengen
I
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B,
in Zeichen: A ⊆ B
wenn jedes Element von A auch Element von B ist:
für alle x ∈ A ist x ∈ B
I
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge:
für alle A ist ∅ ⊆ A
I
Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:
für alle A ist A ⊆ A
I
Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn
A ⊆ B und B ⊆ A
9 / 106
Potenzmenge
Die Menge aller Teilmengen einer Menge A nennt man die
Potenzmenge von A.
P(A) = {B | B ⊆ A}
Da für endliche Mengen A mit Kardinalität |A| = n die Kardinalität
der Potenzmenge |P(A)| = 2n ist, schreibt man manchmal auch
2A statt P(A).
10 / 106
Operationen auf Mengen
Die wichtigsten Operationen auf Mengen sind
I
Vereinigung zweier Mengen
I
Schnitt zweier Mengen
I
Differenz zweier Mengen
I
Komplement einer Menge
11 / 106
Vereinigung von Mengen
Die Vereinigung von A und B ist die Menge aller Elemente, die in
A oder in B enthalten sind.
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}
A
B
12 / 106
Schnitt von Mengen
Der Duchschnitt (Schnittmenge, Schnitt) von A und B ist die
Menge aller Elemente, die in A und in B enthalten sind.
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}
A
B
13 / 106
Differenz von Mengen
Die Differenz(-Menge) ist die Menge aller Elemente, die in A, aber
nicht in B enthalten sind.
A \ B = {x | x ∈ A und x 6∈ B}
B
A
A\B
B
A
B\A
14 / 106
Komplement einer Menge
Das Komplement von A ist die Menge aller Elemente (einer
gegebenen Grundmenge G ), die nicht in A enthalten sind.
A = C(A) = {x ∈ G | x ∈ A und x 6∈ B}
G
A
15 / 106
Einige wichtige Bezeichnungen
N = {1, 2, 3, 4, . . .}
natürliche Zahlen
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
natürliche Zahlen einschließlich 0
Nn1 = {1, 2, 3, 4, . . . , n}
natürliche Zahlen ≤ n
Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
ganze Zahlen
Q = { qp | p ∈ Z, q ∈ Z \ {0}}
rationale Zahlen (Brüche)
R
reelle Zahlen
B = {true, false}
boolesche Wahrheitswerte
16 / 106
Ad-Hoc-Aufgabe
A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4, 5, 6}
Bestimmen Sie
C = {3, 4, 5}
I
Schnitt, Vereinigung, Differenzmengen von A und B
I
Potenzmenge von C
I
Komplement von A und B (bzgl. G = {1, 2, . . . , 9})
I
Teilmengenbeziehungen
17 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
18 / 106
Kreuzprodukt
Für zwei Mengen A und B heißt
A × B = {(a, b) | a ∈ A und b ∈ B}
das Kreuzprodukt oder das kartesische Produkt oder die
Produktmenge von A und B.
(a, b) nennt man geordnetes Paar.
Falls A und B endlich sind mit |A| = n und |B| = m, dann ist
|A × B| = n · m.
19 / 106
Beispiel
Für A = {2, 3, 5} und B = {1, 2, 3, 4, 5} ist
A × B = { (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}
Achtung! (2, 3) ist nicht gleich (3, 2)!
(Ist das nicht ein Widerspruch zu: {2, 3, 5} = {3, 2, 5}?)
20 / 106
n-faches Kreuzprodukt
Für beliebig viele Mengen A1 , A2 , . . . , An (n ≥ 0) heißt
A1 × A2 × . . . × An = {(a − 1, a2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai }
das n-fache Kreuzprodukt der Ai .
Die Elemente (a1 , a2 , . . . , an ) nennt man n-Tupel oder
I
für n = 2: Paare
I
für n = 3: Tripel
I
für n = 4: Quadrupel
Falls die Ai alle gleich (= M) sind, schreibt man auch
M 2 = M × M, M 3 = M × M × M . . .
21 / 106
Relationen
Jede Teilmenge R eines kartesischen Produkts
R ⊆ A1 × A2 × . . . × An
heißt (n-stellige) Relation auf den Ai .
Für n = 2 schreibt man statt (a, b) ∈ R auch aRb.
Häufig:
R ⊆ A × A, also n = 2 und A1 = A2 = A.
22 / 106
Darstellung von Relationen
Relationen sind Mengen, lassen sich also durch
I
Aufzählung
I
Beschreibung
I
Zeichnung im n-dimensionalen Koordinatensystem
aber auch
I
in Tabellen oder
I
mit Zuordnungsgraphen
darstellen.
23 / 106
Beispiel Relation
Die Kleiner-Relation auf der Menge der natürlichen Zahlen
zwischen 1 und 5:
Ein Paar (x, y ) von Zahlen x und y aus der Menge {1, . . . 5} soll
genau dann zu der Relation K“ gehören, wenn x kleiner y ist.
”
Wir suchen also diejenige Teilmenge K von
{1, . . . 5} × {1, . . . 5} = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
...
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}
die die Bedingung erfüllt, dass die erste Komponente < als die
zweite Komponente ist.
24 / 106
... als Aufzählung
K
= { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),
(2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3, 4), (3, 5),
(4, 5) }
25 / 106
... als Beschreibung
K = {(x, y ) ∈ {1, . . . , 5}2 | x < y }
26 / 106
... im 2-dimensionalen Koordinatensystem
y
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4 5
6
x
27 / 106
... als Tabelle
x
y
1
2, 3, 4, 5
2
3, 4, 5
3
4, 5
4
5
5
-
28 / 106
... als Zuordnungsgraph
1
2
3
1
2
3
4
4
5
5
29 / 106
Ad-Hoc-Aufgabe
Seien A = 1, 2,
I
B = {x, y , z}, und C = {3, 4} drei Mengen.
Bestimmen Sie A × B × C .
30 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
31 / 106
Worte
I
Eine endliche Menge von Zeichen (Symbolen) wird Alphabet
genannt.
Bezeichnung:
Σ (Sigma)
Beispiel:
Σ = {a, b, c}
32 / 106
Worte
I
Eine endliche Menge von Zeichen (Symbolen) wird Alphabet
genannt.
Bezeichnung:
Σ (Sigma)
Beispiel:
Σ = {a, b, c}
I
Ein Wort ist eine beliebig lange Aneinanderreihung von
Zeichen eines Alphabets.
Beispiel:
w = abbac
32 / 106
Worte
I
Eine endliche Menge von Zeichen (Symbolen) wird Alphabet
genannt.
Bezeichnung:
Σ (Sigma)
Beispiel:
Σ = {a, b, c}
I
Ein Wort ist eine beliebig lange Aneinanderreihung von
Zeichen eines Alphabets.
Beispiel:
w = abbac
I
Das leere Wort besteht aus keinem Zeichen
Bezeichnung:
ε (epsilon)
32 / 106
Die Kleene’sche Hülle Σ∗
I
I
Die Menge aller Worte über einem Alphabet bezeichnet man
mit Σ∗ . Sie wird auch Kleene’sche Hülle“ (von Σ) genannt.
”
Beispiel: Σ = {a, b, c}
Σ∗ = {ε, a, b, c,
aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc,
aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb, acc, ...}
33 / 106
Konkatenation
I
Durch Hintereinander-Schreiben“ von Wörtern entsteht ein
”
neues Wort.
Beispiel: w = aac, v = bbca, wv = aacbbca
I
Diese Operation heißt Konkatenation (Verkettung).
Schreibweise manchmal auch:
wv = w ◦ v
I
Für das leere Wort gilt:
w ◦ε=ε◦w =w
(für alle w ∈ Σ∗ ).
34 / 106
Bemerkungen (1)
I
Ist Σ = ∅, so hat Σ∗ = {ε} genau ein Element, nämlich das
leere Wort.
I
In allen anderen Fällen hat Σ∗ unendlich viele Elemente,
obwohl Σ selber endlich ist.
I
In jedem Fall hat jedes einzelne Wort aus Σ∗ nur endliche
Länge.
35 / 106
Bemerkungen (2)
Die Konkatenation von Wörtern ist
I
assoziativ
Für alle w , v , u ∈ Σ∗ ist (w ◦ v ) ◦ u = w ◦ (v ◦ u)
I
aber i.A. nicht kommutativ
Beispiel: w = aac, v = bbca
wv = aacbbca
vw = bbcaaac
36 / 106
Mehrfache Konkatenation
Kurzschreibweise für die n-fache Verkettung eines Zeichens a mit
sich selbst:
an
also
a ◦ a = aa = a2 ,
a ◦ a ◦ a = aaa = a3 , . . .
In dieser Notation ist
a0 = ε und a1 = a für alle a ∈ Σ
Entsprechend für Wörter w ∈ Σ∗ :
w 0 = ε,
w1 = w,
w 2 = ww = w ◦ w , . . .
.
37 / 106
Formale Sprachen
Eine Teilmenge L ⊆ Σ∗ heißt formale Sprache (über Σ).
Formale Sprachen können (wie Mengen)
I
leer sein,
I
endliche viele Elemente
I
oder unendliche viele Elemente enthalten.
Formale Sprachen kann man (wie Mengen)
I
durch Aufzählung oder
I
durch Beschreibung angeben.
38 / 106
Beispiel Formale Sprache
Σ = {a, b}
L = {ba, baa, baaa, baaaa, . . .}
= {w | w = ban , n > 0}
39 / 106
Konkatenation von Sprachen
Auch formale Sprachen lassen sich verketten.
Das Ergebnis ist eine neue formale Sprache.
L1 ◦ L2 = {u ◦ v | u ∈ L1 , v ∈ L2 }
Beispiel:
L1 = {ε, a, ab, ba} und L2 = {b, bb}, dann ist
L1 ◦ L2 = {b, bb, ab, abb, abbb, bab, babb}
40 / 106
Unterschied zum Kreuzprodukt!
I
In L1 ◦ L2 kann nicht mehr zwischen a ◦ bb = abb und
ab ◦ b = abb unterschieden werden.
I
Im Kreuzprodukt L1 × L2 sind aber (a, bb) und (ab, b) zwei
verschiedene Elemente!
41 / 106
Weiteres Beispiel
L sei die Sprache aller Worte, die mit a oder b beginnen und dann
eine gerade Anzahl von c enthalten.
L = {a, b, acc, bcc, acccc, bcccc, . . .}
= {xc 2n | x = a oder x = b, n ≥ 0}
= ({a} ∪ {b}) ◦ ({c} ◦ {c})∗
= {a, b}{cc}∗
42 / 106
Ad-Hoc-Aufgabe
Nehmen wir an, Σ und Γ (Gamma) seien zwei Alphabete.
Wie würden Sie die Menge
(Γ ∪ Σ)+ \ Σ∗ × Σ ◦ Γ ∪ Σ ∪ {ε}
verbal beschreiben?
43 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
44 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
45 / 106
Erinnerung: Relationen
Jede Teilmenge R eines kartesischen Produkts
R ⊆M ×N
heißt (2-stellige) Relation.
a
w
x
d
y
b
c
u
z
46 / 106
Eigenschaften von Relationen
Relationen können
I
rechtseindeutig
I
rechtstotal
I
linkseindeutig
I
linkstotal
sein.
47 / 106
Rechtseindeutige Relationen
Eine Relation R ⊆ M × N heißt rechtseindeutig, wenn es zu jedem
x ∈ M höchstens ein y ∈ N gibt mit (x, y ) ∈ R.
48 / 106
Rechtseindeutige Relationen
Eine Relation R ⊆ M × N heißt rechtseindeutig, wenn es zu jedem
x ∈ M höchstens ein y ∈ N gibt mit (x, y ) ∈ R.
a
w
verboten!
x
d
y
b
c
u
z
48 / 106
Rechtstotale Relationen
Eine Relation R ⊆ M × N heißt rechtstotal, wenn es zu jedem
y ∈ N mindestens ein x ∈ M gibt mit (x, y ) ∈ R.
49 / 106
Rechtstotale Relationen
Eine Relation R ⊆ M × N heißt rechtstotal, wenn es zu jedem
y ∈ N mindestens ein x ∈ M gibt mit (x, y ) ∈ R.
a
?
verboten!
w
x
d
y
b
c
u
z
49 / 106
Linkseindeutige Relationen
Eine Relation R ⊆ M × N heißt linkseindeutig, wenn es zu jedem
y ∈ N höchstens ein x ∈ M gibt mit (x, y ) ∈ R.
50 / 106
Linkseindeutige Relationen
Eine Relation R ⊆ M × N heißt linkseindeutig, wenn es zu jedem
y ∈ N höchstens ein x ∈ M gibt mit (x, y ) ∈ R.
verboten!
a
w
x
d
y
b
c
u
z
50 / 106
Linkstotale Relationen
Eine Relation R ⊆ M × N heißt linkstotal, wenn es zu jedem
x ∈ M mindestens ein y ∈ N gibt mit (x, y ) ∈ R.
51 / 106
Linkstotale Relationen
Eine Relation R ⊆ M × N heißt linkstotal, wenn es zu jedem
x ∈ M mindestens ein y ∈ N gibt mit (x, y ) ∈ R.
a
w
x
d
y
b
c
u
?
z
verboten!
51 / 106
Merkregeln
I
rechtseindeutig
Von keinem Element links führt mehr als ein Pfeil nach
”
rechts.“
I
rechtstotal
In jedem Element rechts landet mindestens ein Pfeil von
”
links.“
I
linkseindeutig
In keinem Element rechts landet mehr als ein Pfeil von links.“
”
linkstotal
Von jedem Element links führt mindestens ein Pfeil nach
”
rechts.“
I
52 / 106
Definition (Informatik)
I
I
I
Eine rechtseindeutige Relation heißt Funktion.
Eine Funktion, die zudem noch linkstotal ist, heißt totale
Funktion.
Eine Funktion, die nicht linkstotal ist, heißt auch partielle
Funktion.
w
a
x
d
y
b
c
u
z
höchstens 1
53 / 106
Definition (Mathematik)
I
I
I
Eine rechtseindeutige und linkstotale Relation heißt Funktion.
Es gibt (in der Mathematik) keine partiellen Funktionen.
Jede (mathematische) Funktion ist total.
w
a
x
d
y
b
c
u
z
genau 1
54 / 106
Bezeichnungen
Für eine Relation R ⊆ M × N heißt
I
M der Quell- oder Ausgangsbereich
I
N der Ziel- oder Wertebereich
I
D ⊆ M mit D = {x ∈ M | es gibt ein y ∈ N mit (x, y ) ∈ R}
der Definitionsbereich
I
W ⊆ N mit
W = {y ∈ N | es gibt ein x ∈ M mit (x, y ) ∈ R} die
Bildmenge
I
Bei (totalen) Funktionen ist der Quellbereich also immer
gleich dem Defintionsbereich.
I
Bezeichnung für den Defintionsbereich einer Funktion f :
Def (f )
oder
Df
I
Statt Funktion wird auch der Begriff Abbildung gebraucht.
55 / 106
Schreibweise
I
Funktionen werden häufig mit f , g , h, . . . bezeichnet.
I
Für eine totale Funktion schreibt man
f :M→N
f (x) = y
I
statt
statt
f ⊆M ×N
(x, y ) ∈ f
und
Bei partiellen Funktionen schreibt man
f : M 99K N
f (x) = y
f (x) =⊥
statt
statt
falls
f ⊆M ×N
(x, y ) ∈ f
x 6∈ Df
und
und
56 / 106
Beispiel
M = {7, 8, 9, 10, 11, 12}
N = {1, 2, 3, . . . 9}
f
= {(7, 9), (8, 4), (9, 1), (11, 1), (12, 4)}
ist eine Funktion, aber nicht total, sondern nur“ partiell.
”
57 / 106
Darstellung von Funktionen
Funktionen können (wie Mengen) als
I
Aufzählung von Paaren
I
durch eine beschreibende Eigenschaft
I
als Tabelle (Wertetabelle)
I
grafisch im Koordinatensystem
dargestellt werden.
58 / 106
Funktionsvorschrift
Die (aus der Schule) bekannte Darstellung mittels
Funktionsvorschrift ist eine spezielle Form der beschreibenden
Darstellung.
Wenn alle Paare der Funktion einem einheitlichen Bildungsgesetz
gehorchen, gibt man dieses als Formel (Zuordnungsvorschrift) an.
f
:
R→R
mit
f (x) = 2x + 3
ist eine andere Schreibweise für
f = {(x, y ) ∈ R × R | y = 2x + 3}
59 / 106
Ad-Hoc-Aufgabe
Sei f die Funktion, die jedem Monat
(Januar =1,
ˆ Februar =2,
ˆ . . . Dezember =12)
ˆ
die Anzahl der Buchstaben in der Wortdarstellung zuordnet.
Stellen Sie diese Funktion auf möglichst viele verschiedene Arten
dar.
60 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
61 / 106
Abschnittsweise definerte Funktionen
Man kann nicht immer eine einheitliche Formel für alle Paare einer
Funktion finden:
f : R 99K R

1

− x
f (x) = ⊥

1
x
für x < 0
für x = 0
für x > 0
62 / 106
Komposition von Relationen
Wenn f ⊆ A × B und g ⊆ B × C zwei Relationen sind, dann läßt
sich die verkettete Relation h ⊆ A × C definieren, indem man
vereinbart:
Wenn (x, y ) ∈ f und (y , z) ∈ g , dann ist (x, z) ∈ h.
Für die Verkettung (oder Komposition) schreibt man
h =g ◦f
(Achtung, Reihenfolge!) und spricht: g nach f “.
”
B
A
m
a
c
b
q
n
p
C
u
v
w
63 / 106
Komposition von Funktionen
Handelt es sich speziell um zwei Funktionen
f : A → B, g : B → C ,
dann schreibt man auch
g ◦f =h
:
A→C
h(x) = g (f (x))
64 / 106
Beispiel
f : N → N sei definiert durch f (x) = x + 3
g : N → N sei definiert durch g (x) = 2x
Dann ist
h = g ◦ f : N → N definiert durch
h(x) = g (f (x)) = g (x + 3) = 2 · (x + 3) = 2x + 6
Achtung, Klammern können notwendig werden!
65 / 106
g ◦ f versus A ◦ B
Sie haben das Symbol ◦ nun in zwei verschiedenen
Zusammenhängen kennengelernt:
66 / 106
g ◦ f versus A ◦ B
Sie haben das Symbol ◦ nun in zwei verschiedenen
Zusammenhängen kennengelernt:
I
Bei der Komposition von Relationen und Funktionen
66 / 106
g ◦ f versus A ◦ B
Sie haben das Symbol ◦ nun in zwei verschiedenen
Zusammenhängen kennengelernt:
I
Bei der Komposition von Relationen und Funktionen
I
Bei der Konkatenation von Sprachen und Wörtern
66 / 106
g ◦ f versus A ◦ B
Sie haben das Symbol ◦ nun in zwei verschiedenen
Zusammenhängen kennengelernt:
I
Bei der Komposition von Relationen und Funktionen
I
Bei der Konkatenation von Sprachen und Wörtern
Nicht verwechseln!
66 / 106
Rekursive Funktionen
Eine Funktion heißt rekursiv, wenn zur Bestimmung eines
Funktionswertes auf andere, vorher zu bestimmende Werte
derselben Funktion zurückgegriffen werden muss.
Dieses Zurücklaufen“ muss natürlich einen Anfang haben. Dh. es
”
muss Anfangswerte geben, die sich ohne Rückgriff auf andere
Werte bestimmen lassen.
67 / 106
Beispiel Fakultätsfunktion
Die Funktion
fak
:N→N
fak(n) = 1 · 2 · . . . · n
läßt sich rekursiv definieren:
68 / 106
Beispiel Fakultätsfunktion
Die Funktion
fak
:N→N
fak(n) = 1 · 2 · . . . · n
läßt sich rekursiv definieren:
(
1
fak(n) =
n · fak(n − 1)
für n = 1
sonst
68 / 106
Beispiel Fakultätsfunktion
Die Funktion
fak
:N→N
fak(n) = 1 · 2 · . . . · n
läßt sich rekursiv definieren:
(
1
fak(n) =
n · fak(n − 1)
für n = 1
sonst
Übrigens: Für fak(n) schreibt man auch n!
Beispiel: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 = 4 · 3!
68 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
69 / 106
Mehrstellige Funktionen
Ist der Ausgangsbereich einer Funktion selbst bereits das
Kreuzprodukt mehrerer Mengen, so spricht man von einer
mehrstelligen Funktion.
Beispiel:
sum : R × R → R
sum(x, y ) = x + y
70 / 106
Mehrwertige Funktionen
Funktionen, deren Wertebereich selbst ein Kreuzprodukt von zwei
oder mehr Mengen ist, heißen mehrwertig.
Man kann mehrwertige Funktionen immer in ein Bündel“ aus
”
entsprechend vielen einwertigen Funktionen zerlegen.
Beispiel:
Die Funktion, die eine Zeitangabe (in Minuten, auch ≥ 60) zerlegt
in Stunden und Minuten (< 60).
f :N→N×N
f (min) = (std, m) mit std = min60 (ganzzahlige Division!) und
m = min % 60 (Rest der Division)
71 / 106
Nicht-arithmetische Funktionen
Der Ausgangsbereich und Zielbereich von Funktionen müssen nicht
immer Zahlmengen sein.
Beispiele:
72 / 106
Nicht-arithmetische Funktionen
Der Ausgangsbereich und Zielbereich von Funktionen müssen nicht
immer Zahlmengen sein.
Beispiele:
I
Die Zuordnung, die jedem Verkaufsartikel eines Einzelhändlers
den Lieferanten zuordnet, ist eine Funktion von der Menge der
Artikel in die Menge der Lieferanten.
72 / 106
Nicht-arithmetische Funktionen
Der Ausgangsbereich und Zielbereich von Funktionen müssen nicht
immer Zahlmengen sein.
Beispiele:
I
Die Zuordnung, die jedem Verkaufsartikel eines Einzelhändlers
den Lieferanten zuordnet, ist eine Funktion von der Menge der
Artikel in die Menge der Lieferanten.
I
In der Statistik werden einer Menge von Ereignissen (z.B. Kopf
oder Zahl beim Münzwurf) Wahrscheinlichkeiten zugeordnet.
72 / 106
Weitere Beispiele (1)
Die Funktion, die ein Wort über einem Alphabet Σ umdreht“,
”
also die Zeichen in umgekehrter Reihenfolge aneinanderhängt:
spiegel : Σ∗ → Σ∗ mit spiegel(a1 a2 . . . an ) = an an−1 . . . a1 .
Diese Funktion läßt sich übrigens auch rekursiv definieren:
(
ε
spiegel(w ) =
spiegel(v ) ◦ a
für w = ε
für w = av , a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
73 / 106
Weitere Beispiele (2)
Zur Defintion einer (deterministischen) Turing-Maschine benötigt
man eine Menge von Zuständen S, eine Menge von
Band-Symbolen Γ (Gamma) und eine Menge von Steuerzeichen M
(alle drei Mengen endlich).
Die Zustandsüberführungsfunktion δ ordnet jeder Kombination aus
Zustand und Bandsymbol eine Folgekombination von Zustand,
Bandsymbol und Steuerzeichen zu.
δ :S ×Γ→S ×Γ×M
Bei nichtdeterministischen Turingautomaten ist diese Zuordnung
nicht rechtseindeutig, also keine Funktion, sondern nur eine
Relation:
δ ⊆ (S × Γ) × (S × Γ × M)
δ wird auch kurz als Turing-Programm bezeichnet.
74 / 106
Boole’sche Funktionen
Funktionen, deren Quell- und Zielbereich die Menge der
Wahrheitswerte B (oder Kreuzprodukt davon) sind, heißen
Bool’sche oder logische Funktionen.
Zur Erinnerung:
B = {0, 1} = {false, true}
Da bei Boole’schen Funktionen die beteiligten Mengen klein sind,
lassen sie sich gut durch Tabellen beschreiben.
75 / 106
Die (logische) Negation
NOT : B → B definiert durch
I
NOT (true) = false und
I
NOT (false) = true.
Man schreibt auch ¬a oder a statt NOT (a).
76 / 106
Die logische AND-Funktion
AND : B × B → B
AND(a, b) = a ∧ b
77 / 106
Die logische AND-Funktion
AND : B × B → B
AND(a, b) = a ∧ b
a
false
false
true
true
b
false
true
false
true
AND(a, b)
false
false
false
true
77 / 106
Die logische AND-Funktion
AND : B × B → B
AND(a, b) = a ∧ b
a
false
false
true
true
b
false
true
false
true
AND(a, b)
false
false
false
true
AND
false
true
false
false
false
true
false
true
77 / 106
Die logische OR-Funktion
OR : B × B → B
OR(a, b) = a ∧ b
78 / 106
Die logische OR-Funktion
OR : B × B → B
OR(a, b) = a ∧ b
a
false
false
true
true
b
false
true
false
true
OR(a, b)
false
true
true
true
78 / 106
Die logische OR-Funktion
OR : B × B → B
OR(a, b) = a ∧ b
a
false
false
true
true
b
false
true
false
true
OR(a, b)
false
true
true
true
OR
false
true
false
false
true
true
true
true
78 / 106
Ad-Hoc-Aufgabe
Lernen Sie das Kleine 1 × 1“ der Informatik
”
(die Wahrheitstabellen für NOT , AND und OR)
auswendig!
79 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
80 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
81 / 106
Folgen
I
I
Funktionen mit N oder N0 als Ausgangsmenge heißen
(unendliche) Folgen.
Je nach Zielmenge nennt man die Folge
I
I
I
I
I
I
I
I
natürlich
ganzzahlig
reell
Zeichenfolge
Wortfolge
Punktfolge
...
Folgen werden häufig mit a, b, . . . statt f , g , . . . bezeichnet.
82 / 106
Schreibweisen
Statt wie bei Funktionen a(n) = m
oder wie bei Relationen (n, m) ∈ a schreibt man bei Folgen
an = m
In der Aufzählung schreibt man statt a = {(1, a1 ), (2, a2 ), . . .}
kurz
(ai )i∈N = (a1 , a2 , . . .) oder auch nur (a)i∈N
83 / 106
Bemerkung
I
ai heißt das i-te Folgenglied
84 / 106
Bemerkung
I
ai heißt das i-te Folgenglied
I
Manchmal betrachtet man als Ausgangsmenge N0 statt N.
(Man beginnt also mit einem 0-ten“ Folgeglied.)
”
84 / 106
Bemerkung
I
ai heißt das i-te Folgenglied
I
Manchmal betrachtet man als Ausgangsmenge N0 statt N.
(Man beginnt also mit einem 0-ten“ Folgeglied.)
”
Manchmal betrachtet man als Ausgangsmenge
Nn1 = {1, 2, 3, . . . , n} oder Nn0 = {0, 1, 2, 3, . . . , n} statt N.
Dann spricht man auch von einer endlichen Folge.
I
84 / 106
Beispiel
(qi )i∈N = (1, 4, 9, 16, 25, . . .)
entspricht der Relation
q = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), . . .}
oder der Funktion
q:N→N
q(n) = n2
85 / 106
Weitere Beispiele
I
(a)n∈N mit an = 1 ist die konstante 1-Folge (1, 1, 1, . . .)
86 / 106
Weitere Beispiele
I
(a)n∈N mit an = 1 ist die konstante 1-Folge (1, 1, 1, . . .)
I
(b)n∈N0 mit bn = (−1)n ist die die alterniernde Folge
(1, −1, 1, −1, 1, −1, 1 . . .)
Allgemein heißen alle Folgen, deren Folgeglieder jeweils
wechselndes Vorzeichen haben, alternierend.
86 / 106
Weitere Beispiele
I
(a)n∈N mit an = 1 ist die konstante 1-Folge (1, 1, 1, . . .)
I
(b)n∈N0 mit bn = (−1)n ist die die alterniernde Folge
(1, −1, 1, −1, 1, −1, 1 . . .)
Allgemein heißen alle Folgen, deren Folgeglieder jeweils
wechselndes Vorzeichen haben, alternierend.
I
(c)n∈N0 mit cn =
1
2n
1
ist gleich (1, 21 , 14 , 81 , 16
. . .)
86 / 106
Weitere Beispiele
I
(a)n∈N mit an = 1 ist die konstante 1-Folge (1, 1, 1, . . .)
I
(b)n∈N0 mit bn = (−1)n ist die die alterniernde Folge
(1, −1, 1, −1, 1, −1, 1 . . .)
Allgemein heißen alle Folgen, deren Folgeglieder jeweils
wechselndes Vorzeichen haben, alternierend.
I
(c)n∈N0 mit cn =
I
(d)n∈N = (1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, . . .) eine Folge ohne erkennbares
Bildungsgesetz.
1
2n
1
ist gleich (1, 21 , 14 , 81 , 16
. . .)
86 / 106
Zeichenfolgen
Wir können nun (endlich) exakt definieren, was ein Wort w über
einem Alphabet Σ ist:
87 / 106
Zeichenfolgen
Wir können nun (endlich) exakt definieren, was ein Wort w über
einem Alphabet Σ ist:
w ∈ Σ∗ ist eine endliche Folge mit Zielmenge Σ:
w : Nn1 → Σ
Σ∗ ist demnach die Menge aller endlichen Folgen (mit Elementen
aus Σ).
87 / 106
Rekursive Folgen
Auch Folgen könenn rekursiv definiert werden.
Beispiel: Fibonacci-Folge


n=0
0
fn = 1
n=1


fn−2 + fn−1 sonst
88 / 106
Ad-Hoc-Aufgabe
I
Schreiben Sie die konstante 1-Folge a als Relation (mittels
Aufzählung).
I
Definieren Sie die alternierende Folge b als Funktion.
I
Stellen Sie Folge c graphisch im Koordinatensystem dar.
I
Bestimmen Sie das fünfte Folgenglied der Fibonacci-Folge.
89 / 106
Überblick
Mengenlehre
Grundbegriffe
Kreuzprodukt und Relationen
Wortmengen und Formale Sprachen
Funktionen
Funktionen als spezielle Relationen
Besonderheiten
Mehrstellige und nicht-arithmetische Funktionen
Folgen und Reihen
Folgen als spezielle Funktionen
Summen und Produkte
90 / 106
Summen
Häufig will man die Summe von (endlichen) Zahlfolgen bilden, also
a1 + a2 + a3 + . . . + an
Dafür schreibt man auch kurz
n
X
ai
i=1
91 / 106
Bezeichnungen
Im Ausdruck
Pn
i=1 ai
heißt
I
i der Laufindex oder Summationsvariable
I
1 die untere Grenze
I
n die obere Grenze.
I
Obere und untere Grenze können beliebige ganze Zahlen sein.
I
Der Laufindex kann (bei gleichen Grenzen) durch jedes andere
Symbol ersetzt werden:
n
X
i=1
ai =
n
X
j=1
aj =
n
X
ak
k=1
92 / 106
Indexmengen
I
Wenn obere und untere Grenze gleich sind, besteht die
Summe nur aus genau diesem einen Summand:
5
X
ai = a5
i=5
93 / 106
Indexmengen
I
Wenn obere und untere Grenze gleich sind, besteht die
Summe nur aus genau diesem einen Summand:
5
X
ai = a5
i=5
I
Wenn der untere Index größer als der obere Index ist, ist der
Wert der Summe = 0:
3
X
i=5
ai = 0
leere“ Summe
”
93 / 106
Indexmengen
I
Wenn obere und untere Grenze gleich sind, besteht die
Summe nur aus genau diesem einen Summand:
5
X
ai = a5
i=5
I
Wenn der untere Index größer als der obere Index ist, ist der
Wert der Summe = 0:
3
X
ai = 0
i=5
I
leere“ Summe
”
Der Index kann auch eine beliebige Teilmenge (die
Indexmenge) der ganzen Zahl durchlaufen:
X
I = {1, 3, 4, 7}
ai = a1 + a3 + a4 + a7
i∈I
93 / 106
Beispiele
I
5
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
(=
5
X
ai mit ai = i)
i=1
94 / 106
Beispiele
I
5
X
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
i=1
I
(=
5
X
ai mit ai = i)
i=1
n
X
j 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + n2
j=1
94 / 106
Beispiele
I
5
X
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
i=1
I
(=
5
X
ai mit ai = i)
i=1
n
X
j 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + n2
j=1
I
4
X
1
k!
k=0
=
1
1
1
1
1
+ +
+
+
0! 1 1 · 2 1 · 2 · 3 1 · 2 · 3 · 4
= 1+1+
1 1
1
65
+ +
=
≈ 2, 7083
2 6 24
24
94 / 106
Weitere Beispiele
I
das arithmetische Mittel x der Werte x1 , x2 , . . . xn :
n
x=
1X
xi
n
i=1
I
die Varianz s 2 der Werte x1 , x2 , . . . xn :
n
s2 =
1X
(xi − x)2
n
i=1
95 / 106
Rechenregeln (1)
I
konstanten Faktor ausklammern:
n
X
i=1
c · ai = c ·
n
X
ai
i=1
96 / 106
Rechenregeln (1)
I
konstanten Faktor ausklammern:
n
X
c · ai = c ·
i=1
I
n
X
ai
i=1
Summe auseinanderziehen
n
X
i=1
(ai + bi ) =
n
X
i=1
ai +
n
X
bi
i=1
96 / 106
Rechenregeln (1)
I
konstanten Faktor ausklammern:
n
X
c · ai = c ·
i=1
I
ai
i=1
Summe auseinanderziehen
n
X
(ai + bi ) =
i=1
I
n
X
Index verschieben
n
X
ai +
i=1
n
X
i=0
ai =
n+k
X
n
X
bi
i=1
ai−k
i=k
96 / 106
Rechenregeln (2)
I
Summe zerlegen
n
X
i=m
ai =
n
X
i=1
ai −
m−1
X
ai
i=1
97 / 106
Rechenregeln (2)
I
Summe zerlegen
n
X
ai =
i=m
I
n
X
ai −
i=1
m−1
X
ai
i=1
Summe umdrehen
n
X
i=1
ai =
n
X
an+1−i
i=1
97 / 106
Auswendig lernen!
n
X
i=1
i=
n(n + 1)
2
und
n
X
2i = 2n+1 − 1
i=0
98 / 106
Ad-Hoc-Aufgabe
Beweisen Sie mit Hilfe der Rechenregeln (und der Formeln der
vorherigen Folie?)
n
X
(2i − 1) = n2
i=1
99 / 106
Produkte
Gelegentlich wird auch das Produkt von Folgenelementen
betrachtet:
n
Y
ai = a1 · a2 · · · an
i=1
Das leere Produkt“ wird als 1 definiert:
”
t
Y
ai = 1 wenn b > t
i=b
100 / 106
Beispiel Fakultät
fak : N → N läßt sich also kurz auch so schreiben:
fak(n) = n! =
n
Y
i
i=1
Def.:
0! = 1
101 / 106
Beispiel Binomialkoeffizient
Für n, k ∈ N0 mit k ≤ n ist der Binomialkoeffizient definiert:
n
n!
=
k
k!(n − k)!
(sprich: n über k“)
”
Mit dem Produktzeichen:
Y
k
n
n − (i − 1)
=
k
i
i=1
Def.:
n
0
=1
n
1
=n
n
k
= 0 wenn n < k
102 / 106
Eigenschaften
Für n > k gilt
I
I
n
n
=
k
n−k
n
n
n+1
+
=
k
k +1
k +1
103 / 106
Binomische Formeln
Die Koeffizienten, die bei den (höheren) binomischen Formeln
auftreten, sind Binomialkoeffizienten:
I
vgl. Pascal’sches Dreieck
n
(a + b) =
n X
n
i=0
i
an−i b i
104 / 106
Ad-Hoc-Aufgabe
Überlegen Sie, welche der Rechenregeln für das Summenzeichen
sich auf das Produktzeichen übertragen lassen.
105 / 106
Viel Glück,
106 / 106
Viel Glück,
viel Erfolg und vor Allem:
106 / 106
Viel Glück,
viel Erfolg und vor Allem:
Viel Spaß im Studium!
106 / 106