Übungen 1

Übungen zur Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Tutorium 23.09.2013 – Kapitel 1-3
Kapitel 1-4 im Überblick
Die Spieltheorie ist die mathematische Modellierung von Situationen, in welchen rationale Individuen
miteinander interagieren. Durch diese Interaktion ist die eigene Auszahlung unter anderem davon
abhängig, wie sich die anderen Individuen verhalten. Um eine optimale Handlungsalternative,
gegeben seinen Präferenzen, zu wählen, muss diese Wechselwirkung von einem Spieler richtig
antizipiert werden.
Als Gefangenendilemma, Koordinations- oder Chicken-Spiel werden Spielklassen bezeichnet, welche
eine bestimmte Auszahlungs- und Anreizstruktur besitzen.
Ein Spielbaum ist die extensive Darstellung eines Spieles und setzt sich aus (Entscheidungs-) Knoten,
Handlungsalternativen und Auszahlungen zusammen. Die Strategie eines Spielers ist ein detaillierter
Plan welcher für jeden eigenen Entscheidungsknoten die zu wählende Handlungsalternative angibt.
Mittels Rückwärtsinduktion werden, von den letzten Entscheidungsknoten ausgehend, all jene
Handlungsalternativen eliminiert, die von rationalen Spielern niemals gespielt werden.
action node
extensive form
perfect information
asymmetric information
first-mover advantage
prisoners' dilemma
backward induction
focal point
pure strategy
battle of the sexes
game
rational behavior
best response
game matrix
rollback equilibrium
branch
game tree
second-mover advantage
cell-by-cell inspection
imperfect information
sequential moves
chicken
incomplete information
simultaneous moves
cooperative game
initial node
strategic form
coordination game
iterated elim. of dom. strat.
strategic game
decision
mixed strategy
strategic uncertainty
decision node
Nash equilibrium
strategy
dominance solvable
never a best response
successive elim. dom. strat.
dominant strategy
node
terminal node
dominated strategy
noncooperative game
zero-sum game
enumeration
normal form
equilibrium
payoff
1
Übungen zur Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Die aufgeführten Aufgaben sollten jeweils im Vorfeld der Veranstaltung bearbeitet
werden. Dort werden diese ausführlich besprochen.
Aufgabe 1
Nehme an, in einem sequentiellen Spiel existieren zwei Spieler: Spieler A und Spieler
B. Spieler A kommt als erster zum Zug, Spieler B als zweiter und jeder Spieler hat
nur einen Zug.
a) Zeichne einen Spielbaum für ein Spiel in welchem Spieler A an jedem Knoten
zwei mögliche Aktionen (U oder D) und Spieler B drei mögliche Aktionen (T, M
oder B) hat. Bezeichne den Anfangsknoten mit „I“, die Entscheidungsknoten
mit „D“ und die Endknoten mit „X“. Wie viele Knoten existieren jeweils?
b) Zeichne einen Spielbaum, für welchen Spieler A und Spieler B jeweils drei
mögliche Aktionen (sitzen, stehen oder hochspringen) haben. Bezeichne die
Knoten wie in a). Wie viele Knoten existieren jeweils?
c) Zeichne einen Spielbaum für welchen Spieler A vier mögliche Aktionen
(Norden, Osten, Süden oder Westen) und Spieler B zwei mögliche Aktionen
(bleiben oder fortgehen) besitzt. Bezeichne die Knoten wie in a). Wie viele
Knoten existieren jeweils?
Aufgabe 2
Stelle dir folgende Situation vor: Von einem Kuchen sind noch drei gleich grosse
Stücke übrig. Die beiden Brüder John und Paul möchten beide am liebsten zwei
Stücke essen. Die Mutter erlaubt John, als Erster zu wählen, ob er ein oder zwei
Stücke haben will. Er bekommt diese aber nur, wenn Paul mit der Aufteilung
einverstanden ist. Falls nicht, isst die Mutter alle drei Stücke selber und die Brüder
kriegen nichts.
a) Stelle dieses Szenario mithilfe eines Spielbaumes dar. Die Auszahlungen
entsprechen dabei der Anzahl Küchenstücke, die ein Bruder essen kann.
b) Finde das Gleichgewicht dieses Spiels mithilfe von Rückwärtsinduktion.
c) Erkläre, ob und weshalb John in diesem Spiel einen Vorteil hat.
2
Übungen zur Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Aufgabe 3
a)
1
l
r
2
l
r
2, 1
1, 0
0, 2
Das Gleichgewicht mittels Rückwärtsinduktion dieses Spielbaumes lautet:
 {(r), (r)}
 {(r), (l)}
 {(l), (r)}
 Es kann nicht eindeutig bestimmt werden.
b)
0, 1
O
2, 3
O
1
1
1
o
U
o
2
U
u
4, 5
O
o
2
U
u
5, 4
2
3, 2
Das Gleichgewicht mittels Rückwärtsinduktion dieses Spielbaumes lautet:
 {(U, U, O), (o, o, u)}
 {(O, O, U), (u, u, o)}
 {(O, U, O), (u, o, u)}
 {(U, U, O), (u, u, o)}
3
1, 0
u
2, 2
Übungen zur Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Aufgabe 4
Schreibe für jeden Spieler alle reinen Strategien auf. Wie viele reine Strategien
stehen jedem Spieler zur Verfügung? Bestimme mittels Rückwärtsinduktion das
jeweilige Gleichgewicht.
a)
0, 2
t
B
N
A
b
S
2, 1
1, 0
b)
1, 1, 1
t
B
N
N
b
A
A
S
S
2, 3, 2
0, 0, 2
3, 3, 3
u
C
N
d
1, 2, 4
A
S
0, 2, 0
4
Übungen zur Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Anmerkung zur Notation von Strategien:
Eine Strategie umfasst einen vollständigen Plan, welcher für jeden
Entscheidungsknoten die zu spielende Aktion festlegt. Die Notation der zu
spielenden Aktionen richtet sich dabei an die Anordnung der Entscheidungsknoten im
Spielbaum. Die Notation erfolgt von links nach rechts und von oben nach unten.
Beispiele:
A
2
A
2
B
A
1
1
B
B
Mögliche Strategie Spieler 2: (B, A)
2
A
B
1
Mögliche Strategie Spieler 2: (A, B)
2
A
B
2
A
B
1
2
1
A
A
B
B
2
A
B
Mögliche Strategie Spieler 2: (B, A, B)
5