Zeitliche Formung und Messung ultrakurzer Lichtimpulse

Hochschule München
Fakultät 06
Laserzentrum
Prof. H. Huber
Zeitliche Formung und Messung ultrakurzer
Lichtimpulse
Praktikumsanleitung für den Lehrversuch AK - Autokorrelation
Lehrversuch: Beeinflussung und Messung ultrakurzer Lichtimpulse
Motivation
Das erste photografische Bild eines laufenden Pferdes löste auf, dass dieses zu einem bestimmten
Zeitpunkt mit keiner Hufe Kontakt zum Untergrund hat und somit durch die Luft fliegt. Fasziniert von
diesen Einblicken in die Vorgänge der Natur, entstanden so immer neue Techniken um die
Belichtungszeit zu verkürzen und somit das aufzeichenbare Ereignis ebenso zu minimieren. Dabei
spielte gerade die Entwicklung der Laser in den letzten Jahrzehnten eine wichtige Rolle. Ultrakurze
Pulse erstrecken sich in einem Bereich von Pico- bis Attosekunden. So gelang es, mithilfe ultrakurzer
Laserpulse, das kürzeste jemals vom Menschen erzeugte und gemessene Ereignis von 80
Attosekunden (Stand 2011) zu ermöglichen. Ähnlich verblüffte Blicke, wie einst mit dem laufenden
Pferd, könnten nun beim Beobachten der Bewegung von Elektronen folgen.
Neben der Grundlagenforschung haben sich Ultrakurzpulslaser auch in der Medizin, der Messtechnik,
der Präzisionsmaterialbearbeitung und vielen weiteren Bereichen etabliert und sind dort heutzutage
nicht mehr wegzudenken. Dabei spielt die Kontrolle über die zeitliche Dauer der Laserpulse eine
entscheidende Rolle.
Ziele des Praktikums:
-
Erzeugung von Pico- und Femtosekundenlaserpulsen
Beeinflussung der Pulsdauer in Theorie und Praxis mittels optischen Materials, Prismenund Gitterkompressoren
Charakterisierung und Messung ultrakurzer Lichtpulse in Theorie und Praxis mittels
Autokorrelaiton
Auswerten von Messdaten, anfitten von Modellfunktionen
Vorbereitung des Praktikums:
Folgende Themengebiete sind für das Verständnis und die Durchführung des Praktikums relevant.
Deshalb sollten sie vor dem Praktikum gewissenhaft vorbereitet werden.
Themengebiet
Details
1.
Ultrakurze Pulse
Erzeugung via Modenkopplung, Zeit-Bandbreite-Produkt,
Chirp, Dispersion, Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
2.
Dispersive Elemente
Optisches Material, Prismenkompressor, Gitterkompressor
3.
Frequenzverdoppelung
Nichtlineare Kristalle, Doppelbrechung, Impuls- und
Energieerhaltung, Phasenanpassung
4.
Autokorrelation
Prinzip der optischen Methode, Autokorrelationsintegral,
Kurvenmodelle, Informationsgehalt des Signals
Als Quellen für die Vorbereitung kann der Anhang und das dort befindliche Quellenverzeichnis
dienen. Neben einem Überblick über die oben genannten Themengebiete sollten auch die Testatfragen
(die sich auf der nächsten Seite befinden) gezielt vorbereitet werden.
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Antestat, Vorbesprechung
Folgende Fragen sollen beantwortet werden:
1. Wie erzeugt man cw, ms, µs, ns, ps, fs Laserstrahlung? Erklären Sie das
Grundprinzip der Güteschaltung und Modenkopplung. Wie realisiert man aktive und
passive?
2. Der modengekoppelte Laser im Praktikum arbeitet mit einer Repetitionsrate von 82
MHz. Wodurch wird diese bestimmt? Mit welcher Frequenz müsste ein Güteschalter
bei aktiver Modenkopplung schalten? Wie groß ist der spektrale Abstand der
longitudinalen Moden?
3. Wodurch wird die Pulsdauer eines modengekoppelten Lasers bestimmt? Geben Sie
die Beziehung zwischen Bandbreite und minimaler Pulsdauer an! Welche Pulsform
gibt bei gegebener Bandbreite die kürzeste Pulsdauer?
4. Was ist der Gruppenbrechungsindex? Was versteht man unter einem gechirpten Puls?
Welchen Einfluss haben die jeweiligen Dispersionen bis zur dritten Ordnung auf die
Pulsdauer und die zeitlich Pulsform?
5. Erklären Sie wie mittels Prismen- und Gitterkompressor Einfluss auf die Pulsdauer
genommen werden kann. Was sind die Vor- und Nachteile dieser Anordnungen?
6. Kann ein negativ gechirpter Puls, in einem Gitterkompressor auf sein
bandbreitebegrenztes Minimum verkürzt werden?
7. Welche Messmethoden zur Bestimmung der Pulsdauer von Lasern kennen Sie?
Welche Wegstrecke durchläuft ein Puls in 1 ns, 1 ps und 1 fs?
8. Erklären sie kurz das Prinzip der Autokorrelation. Wann verwendet man diese
Technik zur Pulslängenbestimmung? Welche Aufgabe hat der Verdopplerkristall im
Messaufbau
9. Wie ist die Pulsdauer definiert? Wie wird aus dem Autokorrelationssignal die
Pulsdauer bestimmt?
WICHTIGE HINWEISE ZUM UMGANG MIT DEN LASERN IM PRAKTIKUM
Die im Praktikum verwendete Laserstrahlung wird der Klasse 3B zugeordnet. Es treten Wellenlängen
von 390 nm und 780 nm (beide am Rande der spektralen Sichtbarkeit) auf. Folgen Sie unbedingt
genau den Anweisungen des Betreuers. Machen sie sich klar, wo überall Strahlung auftreten kann.
Gerade im Bereich des Gitterkompressors kommt es aufgrund verschiedener Beugungsordnungen zu
Strahlen außerhalb der Anordnung. Tragen Sie während des gesamten Praktikums ihre Schutzbrille.
Am Praktikum darf nur teilnehmen, wer die jährliche Sicherheitsunterweisung zum Thema
Laserstrahlung erhalten hat. Teilnehmer des Praktikums werden aufgefordert, selbst darauf zu achten,
dass sie geeignete Schutzausrüstung (insbesondere Schutzbrillen) verwenden.
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Durchführung des Praktikums
Hinweis: Bitte bringen Sie einen USB-Stick zur Datenerfassung mit!
Es stehen Ihnen folgende Geräte und Messmittel zur Verfügung:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Femtosekundenoszillator
Handautokorrelator mit Multimeter
Kommerzieller Autokorrelator
Spektrometer
Photodiode mit Powermeter und Graufilter
Lineal
Arbeitsschritt 1: Inbetriebnahme
Nehmen Sie den Laser in Betrieb. Achten Sie auf Ihre Schutzausrüstung. Schalten Sie zuerst die
Temperaturregelung des nichtlinearen Kristalls ein. Drehen Sie den Power-Schlüsselschalter des FFS
DC Racks auf „ON“ . Warten Sie bis alle TEC LEDs kontinuierlich leuchten. Durch drücken der OCS
„ON/OFF“ Taste aktivieren Sie den Oszillator. Warten Sie auch hier auf ein konstantes Aufleuchten
der LED. Anschließend können beide Verstärkerdioden eingeschaltet werden. Versichern Sie sich,
dass der Shutter am Laserausgang offen ist. Hierzu muss die Auskerbung nach unten zeigen.
Fertigen Sie ein Messprotokoll über alle folgenden Ergebnisse an!
Arbeitsschritt 2: Messung der spektralen Breite
Bringen Sie nun nach dem PBS eine Mattscheibe in den Strahlengang ein, die die Strahlung diffus
aufstreut. Diese diffuse Aufstreuung kann nun mittels Spektrometer untersucht werden. Starten Sie
hierzu die Software „SpektraWiz“ auf dem bereitstehenden PC. Bestimmen Sie mithilfe dieser
Software die spektrale Halbwertsbreite, sowie die Zentralwellenlänge des Lasers. Notieren Sie die
Werte und speichern das aufgenommene Spektrum auf Ihren USB-Stick. Welche Pulsdauer erwarten
Sie aus den ermittelten Werten?
(Arbeitsschritt 3: Vermessung des Originalpulses mittels Handautokorrelator)
Entfernen Sie die Streuscheibe wieder und klappen Sie den Spiegel M1 in den Strahlengang.
Bedienen Sie die Klappspiegel mit Feingefühl, ansonsten droht eine Dejustage! Justieren Sie den
Laser jetzt mit Hilfe von M1 und dem Einkoppelspiegel des Handautokorrelators auf die
Blendenstrecke ein. Entfernen Sie die Schutzkappe des nichtlinearen Kristalls. Schließen Sie die
Photodiode an das Multimeter an. Beobachten Sie, wie sich das Messsignal verändert, wenn sie den
nichtlinearen Kristall mittels Rotationstisch verdrehen. Woran liegt das? Justieren Sie anschließend
auf ein maximales Messsignal. Stellen Sie den Verschiebetisch auf einen Skalenstrich der
Mikrometerschraube ein, welche dem maximalen Autokorrelationssignal am nächsten ist. Vermessen
Sie nun den Puls, indem Sie den Verschiebetisch mit der kleinsten Schrittweite der
Mikrometerschraube verstellen und die zugehörige Ausgangsspannung der Photodiode detektieren.
Kehren Sie zum Startpunkt zurück und vermessen auch die andere Flanke des Signals. Nehmen Sie die
Messkurve ein weiteres Mal auf, indem Sie den Puls aus dieser Position noch einmal „rückwärts“
vermessen.
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Arbeitsschritt 4: Vermessung des Originalpulses mittels kommerziellen Autokorrelator
Entfernen Sie wieder alle Klappspiegel aus dem Strahlengang. Schalten Sie den APE PulseCheck
durch längeres drücken der Power-Taste an der Kontrolleinheit ein. Klappen Sie die Blende am
Autokorrelator nach oben, sodass der Laserstrahl erfolgreich in das Gerät eingekoppelt wird. Stellen
Sie die Sensitivität (Corr Menu >> Sensitivity) des Gerätes auf 1, die Mittelungsrate auf 16 und passen
Sie gegebenenfalls mit dem „Gain“ Drehknopf, sowie der Öffnung einer der Blenden im Strahlengang
die Signalintensität an, sodass der komplette Puls möglichst rauschfrei dargestellt wird. Im Menü
„Display“ (Corr Menu >> Utility Menu >> Display Menu) können verschiedene Halbwertsbreiten der
Pulsdauer angezeigt werden. Schalten Sie durch die verschiedenen Scanbereiche (bei den „scan range“
Knöpfe am rechten Rand der Kontrolleinheit) und wählen Sie den kürzesten Zeitbereich, bei dem das
komplette Signal dargestellt werden kann. Nehmen Sie die Dauer der Autokorrelationsmesskurve
(AC), der eines Gaußpulses und der eines Sekans hyperbolicus auf. (Vergleichen Sie das
Autokorrelationssignal mit dem des Handautokorrelators.)
Arbeitsschritt 5: Pulsbeeinflussung mittels Prismenkompressor
Bringen Sie für diesen Versuch die beiden Klappspiegel M4 und M5 in den Strahlengang ein. Passen
Sie gegebenenfalls die Sensitivität des Autokorrelators an. Platzieren Sie die Translationsstage, auf der
das Prisma P2 montiert ist, so, dass der Strahl die Spitze von P2 trifft, jedoch ohne in der
Signalintensität abzusinken (Kontrolle am PulseCheck). Nehmen Sie die AC-Pulsbreite auf. Verfahren
Sie anschließend das Prisma in Millimeterschritten so, dass der Strahl immer mehr Prismenmaterial
durchqueren muss, und notieren dabei die zugehörigen AC-FWHM-Pulsbreiten. Machen Sie dies, bis
die Signalintensität aufgrund der endlichen Prismengröße drastisch abfällt. Stellen Sie anschließend
den Prismenkompressor auf minimale Pulsdauer und nehmen Sie eine die Pulsform mittels LabViewSoftware auf und speichern diese auf dem USB-Stick
Arbeitsschritt 6: Pulsbeeinflussung mittels Gitterkompressor
Entfernen Sie Spiegel M4 und M5 wieder aus dem Strahlengang, bringen dafür jedoch M2 und M3
ein. Passen Sie Sensitivity, Gain und den Scanbereich für das Signal nach dem Gitterkompressor an,
dass wieder ein klares Signal widergegeben wird. Stellen Sie den Verschiebetisch mit dem Gitter G1
auf minimalen Abstand zu Gitter G2 ein und nehmen die zugehörige AC Pulsbreite auf. Variieren Sie
auch hier die Position des Verschiebetisches in Millimeterschritten. Nehmen Sie die Werte solange
auf, bis am Autokorrelator ein deutlicher Signalabfall auftritt, dann wird der Puls vom Umlenkprisma
abgeschnitten. Nehmen Sie eine beliebige Pulsform mittels LabView-Software auf und speichern diese
auf dem USB-Stick.
Arbeitsschritt 7: Pulsbeeinflussung mittels dispersiven Materialien
Klappen Sie M2, wie auch M3 wieder aus dem Strahlengang aus, bringen dafür jedoch den YAG-Stab
in die dafür vorgesehene Halterung zwischen den beiden Blenden vor dem PulseCheck ein. Nehmen
Sie die Pulsformen mittels LabView-Software auf und speichern diese auf dem USB-Stick.
Arbeitsschritt 8: Kombination aus Prismenkompressor und YAG Stab
Es sei erneut M4 und M5 in den Strahlengang zu schalten. Bestimmen Sie die unkomprimierte
Pulsdauer. Versuchen Sie nun mittels Prismenkompressor die Dispersion des YAG Stabs zu
kompensieren. Bestimmen Sie jetzt die minimale Pulsdauer.
Seite | 4
Skizze 1: Strahlengang für den Gitterkompressor.
Skizze 2: Strahlengang für den Prismenkompressor.
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Ausarbeitung der Versuchsergebnisse
Besonderer Wert wird auf die physikalisch sinnvolle Aufbereitung der Ergebnisse, anpassen
geeigneter Modellfunktionen und hinreichende Genauigkeit der Auswertung gelegt. Werden Größen
aus gemessenen Werten berechnet, dann sind die zu Grunde liegende Formel und die zugehörige
Quelle zu nennen. Weniger wichtig sind lange verbale Beschreibungen und aufwändige graphische
Spielereien.
Folgendes sollte die Ausarbeitung beinhalten:
1.
2.
3.
4.
Titelblatt mit Gruppennummer
Kurzbeschreibung des Versuches
Schriftliche Beantwortung der Testatfragen 1 bis 9.
Ausarbeitung der Versuchsteile:
4.1. Laserparameter: Graphische Darstellung des Spektrums, Bestimmung der spektralen
Breite (FWHM), der Zentralwellenlänge und der daraus abgeleiteten fourierlimiterten
Pulsdauer (FWHM) für ein Gauß-, sech²-, und Lorentzprofil. (Tipp: Leiten Sie sich dazu
eine Formel aus c = f*λ her, um die Frequenzbreite aus der gemessenen spektralen Breite
zu berechnen. Sie benötigen auch Gleichung 17).
4.2. Pulsdauer des Lasers: Stellen Sie das Autokorrelationssignal des kommerziellen
Autokorrelators graphisch dar. Fitten Sie zudem eine Gauß-, sech² und Lorentzfunktion
und bestimmen Sie die jeweilige Pulsdauer (FWHM). Nehmen Sie einen Gaußpuls an
und berechnen damit den Betrag des Chirpes, den der unbehandelte Laserpuls besitzt
(Gleichung 51). Diskutieren Sie eventuelle Änderungen in der zeitlichen Pulsform? Sind
diese symmetrisch, wenn ja, warum?
4.3. Prismenkompressor: Stellen Sie die gemessene Autokorrelationskurven bei der
minimalen Pulsdauer graphisch dar und bestimmen Sie die Pulsdauer (FWHM) durch
fitten der Gaußfunktion. Tragen Sie weiterhin die Pulsdauern (FWHM) in Abhängigkeit
der Prismenstellung auf. Bestimmen Sie die GDD des verwendeten Prismenkompressors.
Hinweis: Das Prismenmaterial ist SF10 mit
d 2n
dn
 0,199µm2
 0,054µm1 und
2
d
d
bei einer Wellenlänge von 778nm. Passen die Pulsdauern des unbehandelten Pulses aus
4.2. und der des komprimierten Pulses mit der berechneten GDD des
Prismenkompressors zusammen? Entspricht der Chirp von 4.2. der berechneten GDD?
4.4. Gitterkompressor: Stellen Sie die gemessene Autokorrelationskurven bei der minimalen
Pulsdauer graphisch dar und bestimmen Sie die Pulsdauer (FWHM) durch fitten der
Gaußfunktion. Tragen Sie weiterhin die Pulsdauern (FWHM) in Abhängigkeit der des
Gitterabstandes auf. Bestimmen Sie die GDD des verwendeten Prismenkompressors in
Abhängigkeit des Gitterabstandes und vergleichen Sie diese mit den Messwerten für die
Pulsdauer in dem Sie für jede Pulsdauer die GDD bestimmen.
4.5. Materie-Durchgang: Unkomprimierte Pulsdauer: Berechnen Sie den aus der Theorie zu
erwartenden Wert der unkomprimierten Pulsdauer. Verwenden Sie hierzu die
Sellmeiergleichung und deren Ableitungen (Gleichung 44). Komprimierte Pulsdauer:
Passt die durch den Prismenkompressor eingebrachte GDD zu zur beobachteten
komprimierten Pulsdauer?
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Anhang
Auszug aus der Bachelorarbeit zum Thema „Zeitliche Veränderung ultrakurzer Lichtimpulse mittels
Dispersionskontrolle“.
Grundlagen der ultraschnellen Optik
Charakterisierung ultrakurzer Laserpulse
Ultrakurze Lichtpulse sind elektromagnetische Wellenpakete, welche somit vollständig mit dem
zeit- und raumabhängigen elektrischen Feld E ( x, y, z, t ) beschrieben werden. Zugänglich ist
dies durch die Maxwell-Gleichungen. Für unsere Problematik genügt es jedoch, nur das
zeitabhängige elektrische Feld E ( x, y, z, t )  E (t ) zu betrachten. Auf das elektrische Feld des
Pulses kann quantitativ über direkt verwandte, messbare Größen geschlossen werden. Obwohl
diese Größen real sind, empfiehlt sich eine Darstellung im Komplexen. Eine Darstellung des
elektrischen Feldes im Zeitraum ist der im Frequenzraum gleichgestellt. Über die komplexe
Fouriertransformation, bzw. ihrer Inversen, können diese beiden ineinander umgerechnet
werden. Im Hinblick auf die zugänglichen messtechnischen Größen, wie etwa dem Spektrum,
erweist sich diese Beziehung als äußerst hilfreich.

E ()  F E (t ) 
 E (t )e
 it
(1)
dt



E (t )  F 1 E () 
1
2

 E ()e
 it
d
(2)

Nach [2] kann das komplexe elektrische Feld als ein Produkt aus einer Amplitudenfunktion  (t )
sowie eines Phasenterms ei (t ) angesehen werden:
1
E (t )   (t )ei (t )
2
(3)
Gemäß dem Fourier Theorem besitzt jeder Puls mit einer endlichen zeitlichen Breite eine per
Fouriertransformation deterministische spektrale Breite. In den meisten praktischen Fällen
macht es Sinn, die Spektralamplitude um eine entsprechende Zentralfrequenz l zu zentrieren.
Dementsprechend kann (t ) in eine zeitabhängige Phase  (t ) , die Zentralfrequenz l und einer
konstanten Phase  0 aufgeteilt werden, mit  (t ) als komplexe Einhüllenden:
1
1
E (t )   (t )ei0 ei (t )eil t   (t )eil t
2
2
(4)
Für Femtosekundenpulse kann der konstante Phasenterm ei0 meist vernachlässigt werden.
Erreicht die Pulsdauer jedoch Größenordnungen im Bereich der Periodendauer des
oszillierenden elektrischen Feldes, kann dieser Phasenoffset entscheidenden Einfluss auf die
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Interaktion des Pulses mit Materie haben (siehe Veranschaulichung bei der Abhandlung der
Chirpordnungen). Dies miteinbeziehend ist die Gültigkeit einer Einhüllenden und einer
Trägerfrequenz für den Fall limitiert, dass die Bandbreite im Vergleich zur Trägerfrequenz

(5)
1
l
ist.
Für die Phase und das elektrische Feld bedeutet dies eine nur kleine Änderung ihrer Größe
innerhalb eines optischen Zyklus T  2 / l
d
 (t )
dt
l  (t )
(6)
Die hier eingeführte slowly varying envelope approximation (SVEA)
Gültigkeit der Ungleichungen (5) und (6) hinreichend.
ist also nur bei der
Mit dieser Darstellung ergibt sich für die komplexe Einhüllende  (t ) aus der spektralen
Beschreibung E () per inverser Fouriertransformation:
 (t )   (t )ei (t ) 
1
2

 2 E (    )e
it
d
(7)
 ()    (t )eit dt  2  E (t )ei (  )t dt
(8)
l

Mit der entsprechenden Gegentransformation:


l


Dabei wird die Zentralfrequenz l so gewählt, dass die spektrale Amplitude  () um den
Ursprung bei   0 zentriert wird [2].
Verwandte Größen des elektrischen Feldes
In der Praxis steht das elektrische Feld messtechnisch nicht zur Verfügung. Über Photodioden,
Photomultiplier etc. können jedoch zum elektrischen Feld direkt verwandte Größen gemessen
werden. Eine wichtige Größe spielt dabei die Leistung. Aus dem Poynting Theorem der
Elektrodynamik kann direkt die momentane Pulsleistung [W] abgeleitet werden.
P(t )   0cn  dS
A
Dabei ist  0
t T /2
1
E 2 (t´)dt´
T t T/2
(9)
die dielektrische Primitivität, c die Vakuumlichtgeschwindigkeit, n der
dispersionsfreie Brechungsindex, und
 dS steht
für die Integration des Strahls über seine
A
Fläche. Gleichung (9) stellt jedoch nur eine theoretische Größe dar, da die Ansprechzeit des
Seite | 8
Gerätes, im Vergleich zur Änderung der Einhüllenden des gemessenen Pulses, klein sein muss.
Mit T  2 / l bleiben Strukturdetails der Einhüllenden von Femtosekundenpulsen jedoch
nicht auflösbar, da heutige Detektoren eine Ansprechzeit  a von minimal 10-13 s vorweisen.
Demnach ist T durch  a zu ersetzen.
Die Energie W [J] erhält man durch Integration der Leistung über die Zeit:

W   P(t´)dt´
(10)

Für die Ultrakurzpulsphysik ist auch die Einheit der Intensität I [W/cm²] von großer Bedeutung,
da sie für viele Interaktionen des Lichtes mit Materie entscheidend ist.
I (t )   0cn
t T /2
1
1
E 2 (t´)dt´   0cn 2 (t )

T t T /2
2
(11)
In Abbildung A1 ist ein Femtosekundenlaserpuls mit seiner Einhüllenden, sowie dem
zugehörigen Intensitätsprofil dargestellt.
Abbildung A1: Veranschaulichung eines, gemessen an der Intensität (blaue Kurve), 40 fs langen Pulses. Der
rote Graph stellt die Oszillation des elektrischen Feldes bei einer Frequenz von 200 THz dar. Die gestrichelte
Linie repräsentiert die Einhüllende.
Seite | 9
Entsprechend gibt es auch eine spektrale Intensität:
S ()   ) E ()
2
(12)
Wobei  ein Skalierungsfaktor für reale, nichtideale Spektrometer darstellt. Aus dem
Energieerhaltungssatz sowie Parcevals Theorem lässt sich die spektrale Intensität entwickeln
als:
S () 
 0cn
2
 (  l )
4
(13)
Mit  0 als dielektrische Primitivität.
Gechirpte Pulse
Aus Gleichung (4) geht hervort, dass die Phase  (t ) zeitabhängig sein kann. Somit ist auch die
erste Ableitung der Phase, die Frequenz moduliert mit der Zeit.
i  l 
d (t )
dt
(14)
Bevor darauf jedoch näher eingegangen wird, sollen noch einmal folgende zwei Begriffe zu
vergegenwärtigen.
Die
Phasengeschwindigkeit
vP 

k
beschreibt
die
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle, gibt also an, mit welcher Geschwindigkeit sich diese
Phase ausbreitet. In einem dispersiven Medium ist sie für die spektralen Komponenten eines
ultrakurzen Pulses im Allgemeinen nicht einheitlich, da sie von der Wellenlänge abhängt. Für die
Ausbreitung von Energie und Information ist jedoch die Gruppengeschwindigkeit vg 

k
verantwortlich. Dies entspricht der Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende, also das
komplette Wellenpaket fortbewegt. Im nichtdispersiven Raum sind diese beiden
Geschwindigkeiten gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit.
Ändert sich nun die instantane (Kreis-)Frequenz i eines Pulses, so spricht man von einem
gechirpten oder frequenzmodulierten Puls. Die Oszillation des elektrischen Feldes vom
Laserpuls ändert also innerhalb der Einhüllenden seine Frequenz. Zeitlich sieht das so aus, dass
die höheren Frequenzen der Zentralfrequenz l vorauslaufen, die niedrigeren nachlaufen, oder

umgekehrt. Bei   '' 


d 2
 0  spricht man von einem positiven Chirp, bei
2
dt



d 2

''

 0  von

2
dt


einem negativen Chirp, die hohen Frequenzen laufen den niedrigeren voraus. Nehmen wir für
die Phase eine quadratische Funktion der Zeit an.
 (t ) 
a
2
t2
(15)
Seite | 10
Als momentane Frequenz ergibt sich somit:
i  l 
2a
2
t
(16)
In einem solch linear gechirpten Puls ändert sich die Frequenz linear mit der Zeit.
Eine frequenzabhängige Phase kann entscheidenden Einfluss auf die Pulsstruktur haben. Zur
besseren Veranschaulichung folgt nun eine qualitative Darstellung der ersten Chirpordnungen.
Die nullte Ordnung (  ( ) ) verursacht eine globale Phasenverschiebung, verschiebt somit die
Trägerschwingung relativ zu seiner Einhüllenden. Bemerkbar macht sich das jedoch fast
ausschließlich bei den äußerst kurzen, nur wenigen Oszillationszyklen langen few-cycle-pulses.
Auf die Gruppengeschwindigkeit des Pulses hat die erste Ordnung (  '( ) ) Einfluss, indem sie
den Puls als Ganzes zeitlich verzögert. Die Form des Pulses ändert sich dabei jedoch nicht, diese
Ordnung ist also weitestgehend unproblematisch.
Abbildung A1: Effekte der Dispersion nullter Ordnung auf einen wenige Femtosekunden langen Puls mit einer
Trägerkreisfrequenz von 500 Thz. Die gestrichelte e-Feld Oszillation stellt den Originalpuls dar, welcher bei
t=0 die maximal mögliche Intensität erreicht. Hierfür ist es Konvektion von einem sogenannten Cosinuspuls
zu sprechen. Die rote Oszillationskurve ist gegenüber um den Cosinuspuls um φ(ω)=π/2 (Sinuspuls)
verschoben. Es ist klar, dass solch ein Puls eine geringere Intensität erreicht und durch die beiden
gleichstarken, entgegengesetzten Auslenkungen für single-Puls-Anregungen ungeeignet ist.
Seite | 11
Abbildung A3: Eine Dispersion erster Ordnung φ‘(ω) verzögert den Puls lediglich als Ganzes, er läuft als
seinem unbehandelten (gestrichelter Puls) nach, hier um 10 fs. Die Pulsform und –dauer wird dabei nicht
beeinflusst.
Die zweite Ordnung (  ''( ) ) hingegen sorgt für den bereits angesprochenen Chirp. Es folgt nicht
nur, dass der Puls eine Substruktur aufweist, sondern auch, dass sich der Puls verbreitert.
Aufgrund der Dispersion zweiter Ordnung folgt, dass die verschiedenen, in einem ultrakurzen
Puls enthaltenen Frequenzen eine zueinander unterschiedliche Gruppengeschwindigkeit
besitzen. Der Puls läuft quasi auseinander. Für normale oder positive Dispersion (  ''( )  0 )
laufen die niederen Frequenzen der Zentralfrequenz voraus, bei negativer Dispersion (
 ''( )  0 ) sind die höheren Frequenzen schneller. Der Puls erscheint also mit einem
Farbeindruck, bei dem z. B. bei normaler Dispersion der Anfang des Pulses rotverschoben ist,
das Ende hingegen die bläulicheren Anteile enthält. Es ist klar, dass der Puls dabei länger wird
und die Spitzenintensität abnimmt. In vielen Bereichen genügt es, die Dispersion bis zur dritten
Ordnung zu behandeln (  '''( ) , häufig auch bekannt als third order dispersion, TOD), welche zu
einer nichtlinearen Frequenzabhängigkeit von der Zeit führt. Auch die TOD verbreitert den Puls,
sorgt jedoch durch Interferenzeffekte zusätzlich zu einem Vor-  '''( )  0  beziehungsweise
Nachpulsen  '''( )  0  .
Seite | 12
Abbildung A4: Eine Dispersion 2. Ordnung erzeugt einen linearen Chirp. Die niedrigeren Frequenzen laufen
dem Zentrum voraus, während die höheren zeitlich nachlaufen.
Abbildung A5: Dispersion 3 Ordnung. Auswirkungen der TOD werden hier anhand einer positiven TOD
veranschaulicht, welche zu einem Nachpulsen führt.
Seite | 13
Auf höhere Ordnungen wird hier nicht weiter eingegangen, allgemein gilt jedoch, dass mit
abnehmender Pulsdauer diese immer stärker zum Tragen kommen.
Dispersionen n-ten Grades werden üblicherweise in der Einheit fsn angegeben.
Pulsdauer und das Zeit-Bandbreite-Produkt
Führt man eine Definition einer Pulslänge ein, wird man unweigerlich damit konfrontiert, dass
hierfür viele verschiedene Bezugssysteme in Frage kämen. So gibt es z. B. die 1/e Breite, die
Methode nach dem zweiten Moment, usw. Im Fortlaufenden soll die Pulsdauer  p als die full
width at half maximum (FWHM) des Intensitätsprofils gesetzt werden.
Für die Erzeugung ultrakurzer Pulse ist eine große spektrale Breite des Pulses eine notwendige,
aber nicht hinreichende (siehe Kapitel Modenkopplung) Bedingung. Je mehr Farben, bzw. desto
spektral Breiter der Puls ist, desto kürzer kann dieser in der Zeitebene werden. Die durch die
Anzahl der im aktiven Material anschwingenden und verstärkten Moden gegebene, theoretisch
kürzeste Pulsdauer ist mit der spektralen Breite  p über die Fouriertransformation gekoppelt
und kann somit nicht beliebig variieren, sondern nur größergleich einem minimalen Wert sein.
Für die Anwendung resultiert daraus die Wichtigkeit des Spektrums, da es leicht zu messen ist
und Aufschluss über die theoretisch minimale Pulsdauer bei bekannter Pulsform gibt. Die
Bedingung dieser Fourierkopplung als theoretisches Minimum, wird als das sogenannte ZeitBandbreite-Produkt in der Ungleichung (17) definiert:
1
 p p   p p  cB  const
2
(17)
Wie bereits erwähnt, hängt der Wert von cB von der exakten Pulsform ab. Dem Experimentator
steht in der Regel jedoch nur eine Autokorrelationsfunktion der Intensität zur Verfügung,
welche keine Information über die exakte Form des Pulses liefert (siehe Kapitel
Autokorrelation). Oftmals behilft man sich mit Standardkurven, relevant hierfür sind die Gauß-,
Lorentz- oder Sekans hyperbolicuskurve. Pulse, für die die Ungleichung (17) die
Gleichungsbedingung hält, nennt man „Bandbreitebegrenzt“ oder „Fourierbegrenzt“. Sie
besitzen also die theoretische, minimale Pulsdauer bei einer gegebenen spektralen Breite und
Pulsform.
Im Folgenden soll der Wert für cB anhand einer Herleitung für einen Gaußpuls nach [2] erläutert
werden.
 (t )   0 e
 t 
 
 G 
2
(18)
Da es für diverse theoretische Berechnungen angenehmer ist, mit den für die jeweilige Pulsform
charakteristische Zeitkonstanten zu rechnen, folgt erst eine Klärung des Zusammenhanges von
 p und  G . Hierzu wird die zu Gleichung (18) gehörende Intensität benötigt:
I (t )  I 0 e
 t 
2 
 G 
2
(19)
Seite | 14
Ziel ist es also, die FWHM in Einheiten von  G zu erhalten. Dies geschieht per Einsetzen von I(t)
= 0.5I0 und auflösen nach t:
ln 2
2
t  G
(20)
Eine Multiplikation von (20) mit dem Faktor 2 resultiert in der FWHM, da  G nur der seitliche
Abstand vom Intensitätsmaximum zu dessen Halbwert beschreibt, also die halbe
Halbwertsbreite.
 p  2  t  2ln 2  G
(21)
Durch eine komplexe Darstellung von Gleichung (18) lässt sich nun das Zeit-BandbreitenProdukt eines Gaußpulses allgemein, mit dem Chirpparameter a, herleiten:
 (t )   0 e
 t 
1ia  
G 
2
(22)
Aus der Fouriertransformation von Gleichung (22) folgt:
 0  G

2 G 2 
 () 
exp i 

4
4(1  a 2 ) 
1  a2

Mit der spektralen Phase ()  
(23)
a G 2
1
arctan(a) 
2 .
2
4(1  a 2 )
Es folgt aus Gleichung (23) die spektrale Intensität:
  0 2 G 2
2
S (l  ) 
1  a2
 2 G 2 
exp 
2 
 2(1  a ) 
(24)
Die spektrale FWHM berechnet sich äquivalent zur zeitlichen Breite:
 p  2 p 
1
G
8ln 2(1  a 2 )
(25)
Letztendlich lässt sich das Zeit-Bandbreite-Produkt berechnen.
 p p 
2ln 2

1  a2
(26)
Wie sich zeigt, erhöht sich der Wert des Zeit-Bandbreite-Produkts mit vorhanden sein eines
Chirpes (a  0) . Dadurch ist auch der Laserpuls nicht mehr fourierlimitiert, sondern weicht vom
theoretischen Minimum von
2 ln 2

 0.441 (für einen Gaußpuls) um den Faktor 1  a 2 ab.
Seite | 15
Das Bandbreiteprodukt realer Laser ist jedoch meist größer als das theoretische Minimum. Für
die reale Pulsdauer spielen folgende Faktoren eine Rolle:



Die exakte Form des Pulses (z. B. Gauß, Sech²)
Die genaue Definition von „Breite“ (z. B. FWHM, RMS)
Ob der Puls eine Unterstruktur aufweist (z. B. Chirp)
In Tabelle A1 sind die Zeit-Bandbreiten-Produkte von weiteren gebräuchlichen Pulsformen
aufgelistet.
Spektralprofil
Form
Intensitätspro
fil I(t)
p
Gauss
2 t / G 
1.177 G
e
1.763 S
sec h 2
Sech2
Lorentz
e
2
sec h2  t /  S 
1   t /  L 2 


2
1.287 L
 p
cB
2.355 /  G
0.441
1.122 /  S
0.315
0.693 /  L
0.142
S ( )
  G 


 2 
e
2
 S
2
2   L
Intensitätsgra
ph
Tabelle A1: Auflistung der Zeit-Bandbreite-Produkte für ungechirpte Standardpulsformen.
Pulsausbreitung und Raum-Zeit Wellengleichung
Ein wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit stellt die Untersuchung der Auswirkungen von
Materiedurchläufen auf ultrakurze Pulse dar. Diese Effekte treten bei sich ausbreitenden
elektromagnetischen Wellenpaketen immer auf. Für die Berücksichtigung des zeitlichen und
räumlichen Verhaltens solcher Pulse, setzen wir zuerst für die untersuchten Materialien
folgende Kriterien fest. Von einem einheitlichen Medium mit nichtmagnetischer Permeabilität
ausgehend werden externe Ströme und Ladungen vernachlässigt. Hierfür kann aus den Maxwell
Gleichungen eine Wellengleichung für den elektrischen Feldvektor E abgeleitet werden:
 2
2
2 1 2 
2
 2  2  2  2 2  E ( x, y, z, t )  0 2 P ( x, y, z, t )
t
 x y z c t 
Wobei
die
magnetische
Permeabilität
im
freien
Raum
mit
(27)
0
und
die
Vakuumlichtgeschwindigkeit mit c bezeichnet wird. Durch die Polarisation P wird sowohl der
Einfluss eines Mediums auf einen Puls, als auch die Antwort des Mediums darauf beschrieben.
Eine Aufspaltung der Polarisation in zwei Komponenten ist möglich und sinnvoll.
Seite | 16
P  P L  P NL
(28)
PL beschreibt dabei die Polarisationskomponente, welche sich linear mit dem Feld ändert. Sie ist
für Antworten des Mediums zuständig, welche mit der klassischen Optik beschrieben werden
kann, wie zum Beispiel die Brechung, die Beugung und die Dispersion. Verantwortlich für die
nichtlinearen Effekte, zu denen die sättigbare Absorption und Erzeugung höherer Harmonischer
zählen, ist PNL.
In vielen Anwendungen kann der nichtlineare Polarisationsterm vernachlässigt werden.
Hiermit, sowie der Annahme einer sich in z-Richtung ausbreitenden ebenen Welle, vereinfacht
sich Gleichung (28) zu:
 2 1 2 
2 L

E
(
z
,
t
)


P ( z, t )
 2
0
2
2 
t 2
 z c t 
(29)
Mit der Einführung einer dielektrischen Konstante
 ()  1   ()  0
(30)
und der dielektrischen Suszeptibilität  , kann gezeigt werden [2], dass folgende Gleichung eine
Lösung für Gleichung (29) in +z als Ausbreitungsrichtung ist:
E (, z)  E (,0)eik () z
(31)
Als Ausbreitungskonstante oder Wellenzahlvektor wird hier k () eingeführt. Diese ist über die
Dispersionsbeziehung der linearen Optik über einen frequenzabhängigen Brechungsindex n()
des Mediums definiert als:
k 2 () 
2 2
n ()
c2
(32)
Weiter entwickeln wir k () um die Trägerfrequenz l zu:
k ()  k (l )   k
(33)
Mit der Taylor-Reihe als Substitution:
k 
dk
1 d 2k
   l  
d  l
2 d 2
   l 
2
 ...
(34)
l
Die jeweiligen Ordnungen der Terme beschreiben wieder die bereits eingeführten
Chirpordnungen. Äquivalent zu Gleichung (31) lässt sich nun schreiben:
E (, z)  E(,0)eikl z ei kz
(35)
In vielen Fällen lässt sich die Fourieramplitude um einen mittleren Wellenzahlvektor
kl  l n(l ) / c zentrieren. Durch Beschränkung der spektralen Breite auf einen kleinen
Seite | 17
Bruchteil der Zentralfrequenz
k
kl
1 lässt sich wieder eine SVEA durchführen, was nun eine
Einhüllungsfunktion in Raumkoordinaten definiert.
 (, z)  E (  l ,0)ei kz
(36)
Für die Beschreibung von Laserpulsen empfiehlt sich ein Koordinatensystem, welches sich mit
der Gruppengeschwindigkeit vg mitbewegt. Vorteil dieser Betrachtung ist, dass die maximale
Feldamplitude immer bei t=0 zentriert ist und somit Änderungen dieser Amplitude nur durch
Terme höherer Ordnung von Gleichung (34) beschrieben werden.
1
dk
 kl ' 
   l 
vg
d  l
(37)
Die zweite Ableitung des Wellenzahlvektors beschreibt den Dispersionsterm zweiter Ordnung
und definiert die sogenannte GVD (group velocity dispersion) z.B. in der Einheit [fs²/m]:
 2k
GVD  kl ''  2

l
1 dvg
 2
vg d  
l
 s2 
 
m
(38)
In der Fasertechnologie wird die Dispersion 2- Ordnung in Abhängigkeit der Wellenlänge in
Einheiten von [fs/nm/km] präsentiert und hat die Bedeutung einer Pulsdauerverbreiterung in
[fs] pro Bandbreite in [nm] pro Faserlänge in [km]:
GVD d  D d   D  
2 c
 m 1 s2
s 
GVD
 2

2
2

s m m m 
(39)
Für die, üblicherweise in [fs²] angegebene GDD (group delay dispersion), welche die GVD
multipliziert mit der Länge der Dispersionsstrecke z ist, gilt:
GDD  GVD  z s2 
(40)
Dispersion
Im Falle einer Dispersion
 kl ''  0 kann
das Problem entweder im Zeit- oder im
Frequenzbereich gelöst werden. Es ist handsamer, dies für Letzteres zu tun, da beim Durchgang
durch ein transparentes, lineares Medium nur der Phasenfaktor der Einhüllenden  ()
beeinflusst wird. Nach dem Passieren eines solchen Mediums der Länge z ergibt sich die
Einhüllende im Frequenz-, beziehungsweise im Zeitbereich zu:
 i
 2
 (, z )   (, 0) exp   kl2 z 
i

kl3 z  ... 
3!

(41)
Seite | 18

 i
 2
 (t , z )  F 1  (, 0) exp   kl2 z 

i

kl 3 z  ...  
3!

(42)
Die Dispersion beeinflusst das Spektrum des Pulses nicht, es bleibt in der Amplitude konstant,
wie aus Gleichung (41) hervorgeht. Die für den Chirp verantwortlichen spektralen
Komponenten müssen also die zeitliche Einhüllende verändern, welche breiter wird.
Da sich die Dispersion eines Materials in einem von der Wellenlänge abhängigen
Brechungsindex n( ) widerspiegelt, ist es möglich, diese entweder in Betrachtung der Frequenz
oder der Wellenlänge zu berechnen.
dk n  dn 1 
dn   s 
 
 n  
  
d c c d c 
d   m 
(43)
d 2 k 2 dn  d 2 n   n  1  2 d 2n   s2
s 











d 2 c d  c d 2  2 c  c  d  2   m m  Hz 
(44)
2
3
3
d 3k 3 d 2 n  d 3n
 n  1  2 d n
3 d n  s 




3



  

 
d 3 c d  2 c d  3
d2
d3   m 
 2 c  c 
(45)
2
Ein resultierender quadratischer Chirp bei einem Materialdurchgang lässt sich somit aus der
Gleichung (44) eingesetzt in die GDD Gleichung (40) berechnen. Über den optischen Weg lässt
sich ebenfalls direkt die Dispersion (im Fall der zweiten Ableitung also die GDD) aus den
Gleichungen (43 – 45) ausdrücken:
1
dP 


   P  

c
d
s 
2
 n  1  2 d P 
s 2 

 
2   
 2 c  c  d  
   
2
3
 n  1  2 d P
3 d P
s 3 
    
3



 
2
3   
2

c
c
d

d


 

(46)
(47)
2
(48)
Seite | 19
Pulsdauer eines Gaußpulses unter Dispersionseinfluss
Will man den Effekt der Dispersion zweiter Ordnung auf die Pulsdauer eines Gaußpulses wissen,
ausgehend von einem Ansatz für den Gaußpuls nach Gleichung (22), dann kann gezeigt werden
[2], dass gilt:
 z 
1  
 Ld 
 G ( z )  G 0
2
(49)
Mit der charakteristischen Länge:
Ld 
 G 02
(50)
2 kl
Hierbei ist  G 0 die Eintrittspulsdauer eines Gaußpulses. Es sei jedoch darauf hinzuweisen, dass
die gaußpulscharakteristische Pulsdauer  G nicht der für die Pulsdauer charakteristischen
FWHM ist ( p  2ln 2 G ) .
Somit ergibt sich für die FWHM Pulsdauer (Gauß) eines Eingangspulses  p1 unter Einfluss eines
Chirps   eine Ausgangspulsdauer  p 2 von:
 p 2  p1
 4ln 2  
1 
  2
p1

2

 4ln 2  
2
   p1  

  p1
Für den Fall eines vorgechirpten Eingangspules



2
 a  0  können sich je
(51)
nach Vorzeichen des
Chirps zwei Sachen einstellen. Im Falle eines zu kl entgegengesetzten Vorzeichens des
Chirpparamters a, verbreitert sich der Puls monoton. Sind die beiden Vorzeichen jedoch
identisch, verkürzt sich die Pulsdauer bis zu seinem Fourierlimit. Alles darüber hinaus
verbreitert den Puls wieder. Der Ort des Minimums ist definiert als:
zc 
 G 02a
2 kl 1  a 2 
(52)
Für die Pulsdauer an dieser Position gilt somit:
 G ( zc )  G min 
 G0
1  a2
(53)
In vielen Anwendungen steht jedoch nicht an jeder gewünschten Stelle die Möglichkeit einer
Pulsdauernbestimmung experimentell zur Verfügung, weshalb Gleichung (49) darum erweitert
werden kann, dass der Vorchirp mitberücksichtigt wird und vom Fourierlimit aus gerechnet
werden kann. Dafür wird die virtuelle Länge L eingeführt:
Seite | 20
L  z  zc
(54)
Man erhält dadurch die allgemeine Form:
 G ( L)  G min
 L
1  
 Ld 
2
(55)
Abbildung A6: Schematische Darstellung [2] eines linear gechirpten Gaußpulses. In diesem Fall besitzen a
und kl'' dasselbe Vorzeichen. Als Resultat verkürzt sich der Puls zuerst, bis er sein bandbreitebegrenztes
Minimum erreicht. Propagiert er weiter in diesem Medium, wird er wieder länger. Die maximale Intensität
des Pulses hängt damit ebenfalls vom Chirp und somit der Menge an Dispersion ab, die der Puls erfährt.
Allgemeine Abschätzung
Eine schnelle Abschätzung der resultierenden FWHM Pulsdauer eines bandbreitebegrenzten
Eingangspuls ergibt sich, betrachtet man jedes Wellenpacket mit der Frequenz  , so dass sie
ihre eigene Gruppengeschwindigkeit vg () besitzt. Über das gesamte Spektrum ergibt sich
somit eine Differenz zwischen den Gruppengeschwindigkeiten.
 dvg 
vg  
  p
 d  l
(56)
Nach einer Propagationsdistanz z ergibt sich die zeitliche Breite zu:
L
 p   
v
 g
 L
  2 vg
 vg
(57)
Beziehungsweise, unter Einbeziehen von Gleichung (38):
 p  L kl  p
(58)
Seite | 21
Sellmeier-Gleichung
Eine analytische Betrachtung der Dispersion verlangt das Wissen über den jeweiligen
Brechungsindex n( ) und dessen Ableitungen (vgl. Gleichung (43 – 45)). Hierfür gibt es die
sogenannte Sellmeierformel.
n  1
A 2
C 2
E 2


2  B 2  D 2  F
(59)
Für die meisten gebräuchlichen Gläser gibt es sogenannte Sellmeierkoeffizienten, welche in
gleichnamige Gleichung einzusetzen sind. Das Ergebnis ist der jeweilige Brechungsindex für die
gewünschte Wellenlänge. Allerdings basiert die Formel auf rein empirischen Werten, beschreibt
also nicht die Physik. Trotzdem bildet sie für den sichtbaren Spektralbereich und etwas darüber
hinaus eine sehr gute Näherung. Es ist jedoch noch darauf zu achten, dass die Wellenlänge hier
meist in Mikrometer einzusetzen ist. In Tabelle A2 sind die Koeffizienten für ein paar
exemplarische Materialien gegeben.
Quarzglas
YAG
SF10
A
0.6694226
2.28200
1.61625977
B
0.004480112
0.01185
0.0127534559
C
0.4345839
3.27644
0.259229334
D
0.01328470
282.734
0.0581983954
E
0.8716947
0
1.07762317
F
95.34148
0
116.60768
Tabelle A21: Sellmeierkoeffizienten für eine kleine Auswahl an, für die Optik relevante, Materialien. Die
Werte wurden aus den Datenblättern der Firma Schott entnommen.
Modenkopplung
Grundlagen
Wie bereits bei der Betrachtung des Zeit-Bandbreite-Produktes festgestellt wurde, ist mit einem
ultrakurzen Puls immer eine gewisse spektrale Breite einhergehend. In einem gewöhnlichen
Resonator können für einen stabilen Zustand nur solche Frequenzen (Moden) anschwingen,
welche die Bedingung einer stehenden Welle erfüllen. Demnach ist das Frequenzspektrum kein
Kontinuum, sondern besitzt diskrete Werte. Bei einer Resonatorlänge L, der
Lichtgeschwindigkeit c und einem effektiven Gruppenbrechungsindex n sind diese Moden
separiert durch v  c / 2nL . Die Repitationsrate eines modengekoppelten Lasers ist ebenfalls
von der Resonatorlänge abhängig. Somit ist die Zeit zwischen zwei Pulsen gleich 1/ v da der
Seite | 22
Puls vom Auskoppelspiegel zum Endspiegel und wieder zurück laufen muss. Der resultierende
Pulszug ist also eine Superposition eines breiten Frequenzbereiches. Damit es jedoch zu
einzelnen Pulsen kommt, müssen diese Moden in ihrer relativen Phase zueinander stabil in einer
bestimmten Beziehung zueinander stehen. Solch eine phasenstarre Superposition wird in
Abbildung A7 verdeutlicht. Mit dem Prinzip der Modenkopplung gelang es so erstmals
Subpicosekundenpulse zu verwirklichen.
Abbildung 2: Bei der Modenkopplung werden viele Moden in einem benachbarten Frequenzbereich
phasenstabil überlagert. Besitzen all diese Moden eine gleiche relative Phase zueinander, so interferieren
sie zu einem bestimmten Zeitpunkt konstruktiv, an allen anderen destruktiv, bis sich das ganze periodisch
wiederholt. Je mehr Moden überlagern, desto weniger Oszillationen vollführt das E-Feld – und wird damit
kürzer. Zugleich nimmt jedoch die Amplitude zu, was aufgrund des normalisierten E-Feldes in dem Graphen
nicht ersichtlich ist. Die rote Kurve ist ein einzelner Cosinusverlauf. In der schwarzen Kurve überlagern
sich bereits 20 frequenznahe, phasengleiche Schwingungen, es kommt zu Interferenzerscheinungen. Auf
nur wenige Oszillationszyklen beschränkt und damit ideal für einen Femtosekundenpuls ist die blaue
Kurve, welche die Superposition von 80 benachbarten Frequenzmoden darstellt.
Es sei hier darauf hingewiesen, dass es eine Vielzahl von Mechanismen für eine mögliche
Modenkopplung gibt, unterteilt in aktive und passive Kopplungen, wobei letztere wiederum in
langsame und schnelle sättigbare Absorber zu unterteilen sind. Auf diese wird nicht weiter
eingegangen, sondern lediglich auf die speziell in dem für diesen Versuch verwendeten Laser.
Zuvor soll jedoch noch auf ein paar allgemeine Eigenschaften der Modenkopplung eingegangen
werden, da die Dispersion bei der Auslegung einer solchen Modenkopplung eine Rolle spielt.
Hierfür sei noch kurz das Phänomen der Selbst-Phasen Modulation (SPM) erläutert. In einem
Medium ruft ein Puls hoher Intensität I nichtlineare Effekte hervor, wie der nichtlinearen
Änderung des Brechungsindexes n  n2 I mit n2 als nichtlinearen Brechungsindex. Als Folge
dieser Beeinflussung, laufen (bei positivem n2, sowie einer räumlichen Gaußverteilung der
Intensität) zentral, hochintensive Anteile aufgrund des höheren Brechungsindexes langsamer, es
Seite | 23
kommt zu einem zeitlichen Phasenversatz. Die SPM verändert das Spektrum, nicht aber die
zeitliche Form des Pulses.
Puls-Verkürzungsrate
Aufgrund von endlichen Ansprechzeiten und Sättigungen des Absorbers werden in den meisten
Modenkopplungsmechanismen die Flanken des Pulses jeweils abgeschwächt, während die
Hauptintensität unverändert oder sogar verstärkt wird. Je nach Art der Absorption, aufgeteilt in
langsame und schnelle, nimmt dieser Effekt mit sinkender Pulsdauer zu oder ab. Letzteres ist im
Fall der langsamen Sättigung. Erreicht die Pulsdauer einen Wert gleich der Reaktionszeit des
Absorbers, oder ist dieser völlig gesättigt, ist keine weitere Verkürzung mehr möglich.
Selbst-Starten
Theoretisch sollte ein schwacher kurzer Puls, welcher durch die nichtlinearen Effekte der
Modenkopplung sich gegen den CW Untergrund durchsetzt, aus statistischen Fluktuationen
herauswachsen. Dies ist jedoch gerade bei den schnellen Absorbern nicht immer der Fall, da die
Puls-Verkürzungsrate für kleine, lange Pulse äußerst gering ist. Wird dieser Puls innerhalb eines
Umlaufes jedoch nicht signifikant verkürzt, so läuft er aufgrund der Dispersion wieder
auseinander. Um solch eine Fluktuation hervorzurufen reicht es häufig aus, an das Gerät zu
klopfen, erstrebenswerter sind jedoch Methoden wie z. B. ein beweglicher Spiegel im Resonator.
Der stabile Zustand
In einem stabilen Zustand erreicht man bei nicht vorhandener SPM die kürzesten Pulse, wenn
auch die GVD null ist. Interessanterweise kann jedoch durch Erzeugung von GVD mit einem
bestimmten Vorzeichen im Resonator noch kürzere Pulse erzeugt werden. Dies ist der Fall,
wenn sich SPM und GVD genau kompensieren. Durch das so verbreiterte Spektrum ist eine
Pulsdauer mit einem Faktor von 2,75 kleiner zu erreichen, als im Falle des ungechirpten Pulses.
Solch ein Soliton ähnlicher Zustand wurde von Martinez et. al. beschrieben. Durch ein
Ausbalancieren dieser Effekte lässt sich so das Resonatordesigne optimieren. Jedoch führt das
auch schnell zu Instabilitäten, wie Abbildung A8 zeigt.
Abbildung A8: links) Für den ungechirpten, rein Selbst-Amplituden Modulierten (SAM) Puls erreicht man den
bandbreitebegrenzten Puls. Durch geschicktes Ausloten der SPM und GVD kann dieser Wert jedoch noch
unterschritten werden. Rechts) Allerdings gibt es bei reiner SPM Stabilitätsproblem.
Seite | 24
Polarisations-Rotations Modenkopplung
Der für diesen Versuch zur Verwendung kommende Laser erfährt durch eine PolarisationsRotation die Modenkopplung. Wie in allen passiven Modenkopplungen moduliert sich der Puls
dabei selbst. Dieses Prinzip wird den schnell sättigbaren Absorbern untergeordnet. Da als
nichtlinearer Effekt der nichtlineare, intensitätsabhängige Brechungsindex eine Rolle spielt,
erfolgt die Antwort des Mediums auf das elektrische Feld binnen weniger Femtosekunden und
damit annähernd instantan. Diese intensitätsabhängige Änderung des Brechungsindexes wird in
eine Amplitudenmodulation des Pulses umgewandelt. Eben wegen der annähernd sofortigen
Antwort des Mediums auf den Puls, ist dieser Effekt jedoch relativ gering. Anwendung findet
diese Art der Modenkopplung in Faserlasern, sowohl in Linear- wie auch in Ringcavities.
Letzteres trifft dabei auf den verwendeten Laser zu.
In einer gekrümmten Faser erfährt ein Strahl eine elliptische Polarisation. Diese kann als eine
Superposition einer links- bzw. rechtszirkularen Polarisation unterschiedlicher Intensitäten
angesehen werden. Zur Verwendung kommt eine doppelbrechende Faser, deren
doppelbrechende Eigenschaft nichtlinear von der Intensität abhängt. Ein etwas intensiverer Puls
erfährt also eine andere Polarisationsdrehung als der CW-Untergrund. Der Strahl wird in eine
Freistrahlstrecke ausgekoppelt. Hier wird über eine doppelbrechende Wellenplatte und
polarisierendes Strahlteilerelement eine bestimmte Polarisation diesbezüglich bevorzugt, so
dass sie keine Abschwächung erfährt, während der Rest zum Teil oder ganz separiert wird. Eine
anschließende Anordnung aus Wellenplatten polarisiert den wieder in die Faser
einzukoppelnden Puls so, dass er nach Durchlaufen der Faser wieder die Bedingung derselben
elliptischen Polarisation erfüllt, wie einen Durchgang zuvor. Es kann sich also nur ein Puls mit
einer bestimmten Polarisation durchsetzen. Zur Verminderung und Stabilisierung des Systems
wird noch ein polarisierender Isolator eingebaut, welcher Rückreflexe verhindert.
Second Harmonic Generation (SHG)
Interagiert eine elektromagnetische Welle mit Materie, so wirkt auf die Elektronen eine zur
Auslenkung lineare Kraft gemäß dem Hook´schen Gesetz, und es kommt zur Oszillation mit der
Anregungsfrequenz. Gerade in Laserpulsen kann die Intensität so groß sein, dass sie die
Größenordnung der inneratomaren elektrischen Feldstärken erreicht, bzw. übersteigt. In solch
einem Fall gilt die simple Annahme des Hook´schen Gesetzes nicht mehr und es kommt zu
Nichtlinearitäten. In diesem Fall gilt der lineare Zusammenhang zwischen Polarisation P und
elektrischem Feld E nicht mehr, da die bei geringen Intensitäten auftretenden höheren
Ordnungen (n) nicht mehr vernachlässigt werden können. Die Polarisation muss in einer TaylorReihe um die höheren Ordnungen erweitert werden:
P   0   E   (2) E 2   (3) E 3  ...
(60)
Mit  0 als dielektrische Primitivität des freien Raums und  als der elektrischen Suszeptibilität
des Mediums. Für die Erzeugung der zweiten Harmonischen (SHG), erstmals beobachtet von
Franken et. al., wird diese Erweiterung nach dem zweiten Term abgebrochen. Die Erzeugung
einer Summenfrequenz 3 ist ein Dreiwellen-Prozess, bei dem zwei intensitätsstarke
Seite | 25
Einfallswellen mit den Frequenzen 1 , 2 , welche vermittelt über die nichtlineare
Suszeptibilität zweiter Ordnung 
(2)
die Summenfrequenz ergeben. Die SHG ist dabei ein
Spezialfall der Summenfrequenzerzeugung, da hierbei die beiden Einfallswellen gleich sind
(1  2 ) und somit 3  21 gilt. Es gelten sowohl der Energie-, als auch der
Impulserhaltungssatz, woraus sich folgende Bedingungen ergeben:
3  2 1  0
k 
 k3  2k1   0
(61)
(62)
Gleichung (62) stellt die Bedingung der Phasenanpassung zwischen den Wellenvektoren der
Einfallenden und der zweiten Harmonischen. Um dieser Impulserhaltung gerecht zu werden, ist
es erforderlich, dass die Phasengeschwindigkeit der Grundwelle vP1 und der SH vP 3 gleich sind.
Wegen der (positiven) Materialdispersion ist jedoch der Brechungsindex n( ) von der Frequenz
abhängig und somit die Phasengeschwindigkeiten der Grundwelle sowie deren zweite
Harmonische nicht identisch. Hierfür kann man sich jedoch eines doppelbrechenden Kristalls
bedienen. In solch einem Kristall ist der Brechungsindex nicht nur von der Frequenz, sondern
auch von der Polarisation und dem Einfallswinkel  der Welle abhängig. Solche (uniaxiale)
Kristalle weisen eine Vorzugsrichtung auf. Auf dieser sogenannten optischen Achse erfährt ein
hierzu senkrecht polarisierter Strahl den ordentlichen Brechungsindex no , während ein parallel
polarisierter Strahl einen außerordentlichen Brechungsindex nao sieht. Für den ordentlichen
Brechungsindex gilt eine isotrope Ausbreitungsrichtung, der Außerordentliche ist hingegen
Winkelabhängig. Veranschaulicht wird dieser Sachverhalt in Abbildung A9.
Seite | 26
Abbildung A9: Der rote Kreis bzw. Ellipse zeigt den Brechungsindexverlauf für die Grundwelle. Ein Kreis
bedeutet eine isotrope Ausbreitung, die Polarisation steht also senkrecht zur optischen Achse, während sie bei
einer Ellipse parallel steht. Für den Brechungsindex der zweiten Harmonischen gelten die gestrichelten
Kurven. An der Stelle eines Überlapps zwischen Grundwelle und zweiter Harmonischer ist der Winkel der
Phasenanpassung markiert. In diese Richtung haben alle Wellen dieselbe Phasengeschwindigkeit [1].
Je nach verwendeten Kristalltyp (positiv für no  nao , negativ für no  nao ) muss folgende
Bedingung gelten:
positiv :
n(1 , )  no (3 )
(63)
negativ :
n(3 , )  no (1 )
(64)
Fallen die beiden Grundwellen kollinear ein, so kann diese durch Anpassen des Kristallwinkels
erfüllt werden. Dieser Winkel  m ist in Abbildung A9 eingezeichnet. Stimmt der Winkel zur
Phasenanpassung nicht exakt überein, sind die Grundwellen und die zweite Harmonische nicht
über die gesamte Länge im Kristall in Phase, was zu destruktiven Interferenzen der an
unterschiedlichen Orten und somit phasenverschobenen zweiten Harmonischen führt.
Im nicht-kollinearen Fall erhält man auf Grund der Impulserhaltung die SH in Richtung der
Winkelhalbierenden der sich kreuzenden Grundwellen. Die zweite Harmonische wird also
räumlich effektiv von seiner Grundwelle getrennt.
Für den Vorgang der zweiten Harmonischen Erzeugung lässt sich eine Konversionseffizienz
angeben:
Seite | 27
SHG 
I (3 )
d 2 L2
 2 203 3
P
I (1 )
n A
(65)
1
Mit d als Materialparameter für den Kopplungskoeffizienten, 0   0 /  0  2 als Impedanz des
freien Raums, der Länge L des Interaktionsvolumens (i. A. die Länge des Kristalls), des
Strahlwirkungsquerschnittes A und der Eingangsleistung P.
Wie bei der Behandlung des Zeit-Bandbreite Produkts hervorging, ist ein kurzer Puls an ein
entsprechend breites Frequenzspektrum gekoppelt. Bei der Frequenzverdoppelung ist jedoch
nicht immer gegeben, dass das komplette Spektrum der Grundwelle konvertiert wird, da eine
Phasenanpassung über das gesamte Spektrum unwahrscheinlich ist. Den Anteil an konvertierten
Frequenzen und somit die Pulsdauer lässt sich über die Kristalllänge regulieren. Kürzere Längen
hier resultieren in kürzeren Pulsen, was jedoch nach Gleichung (65) wieder einen enormen
Einbruch der Intensität nach sich zieht.
Autokorrelation
Soll ein kurzes Ereignis festgehalten werden, gelingt dies üblicherweise, indem es mit einem
noch kürzeren belichtet/abgetastet wird. Für ultrakurze Pulse ist solch ein Verfahren
notwendig, da moderne Photodioden etwa um einen Faktor von 1000 zu langsam sind, um das
Intensitätsprofil eines Femtosekundenpulses auflösen zu können. Der Puls kann also nicht
einfach aufgenommen, sondern muss abgetastet werden. Im Idealfall geschieht dies mit einem
Delta-Impuls. Genannt wird diese Methode die Kreuzkorrelation, bei der ein Signalpuls I s von
einem Referenzpuls I r abgetastet wird, wobei das zu jedem Ort gehörende Korrelationssignal
proportional zum Signalpuls ist und dadurch seine Form aufgezeigt wird.

Ac ( )   I s (t ) I r (t   )dt
(66)

Dies führt jedoch zwangsläufig zu einem Problem. Abgesehen davon, dass in der
Ultrakurzpulsphysik zumeist kein kürzerer Abtastpuls zur Verfügung steht, da der kürzeste,
technisch realisierbare Puls für das Experiment verwendet wird, müsste auch der Referenzpuls
irgendwie charakterisiert werden. Es ist also die logische Folge, dass das Signal mit sich selbst
überlagert wird, I s  I r , auch Autokorrelation genannt.
Eine Autokorrelation zweiter Ordnung verwendet dabei das SHG Signal der miteinander
korrelierenden Pulse. Dabei kommt ein modifiziertes Michelson-Interferometer zum Einsatz.
Für eine aussagekräftige Autokorrelation müssen die beiden Pulse genau identisch sein. Hierfür
wird der Originalpuls über einen 50/50 Strahlteiler in zwei identische Pulse aufgeteilt und
jeweils in einen der Interferometerarme eingespeist, siehe auch Abbildung A10. Über eine
Rückspiegelung durch Retroreflektoren werden die Pulse nach erneutem Kontakt mit dem
Strahlteiler kollinear überlagert, oder fokussiert. Notwendig ist, dass sie sich in einem
nichtlinearen Kristall zur Frequenzverdopplung überschneiden. Ebenfalls unerlässlich ist, dass
beide Interferometerarme genau gleich lang sind, damit auch beide Pulse nicht nur am gleichen
Ort, sondern auch zur gleichen Zeit zur SHG überlagern. Das SHG Signal kann dann von einer
Seite | 28
Photodiode oder einem Photomultiplier aufgenommen werden. Für die Realisierung der
Abtastung ist der Retroreflektor eines Interferometerarms auf einen Verschiebetisch parallel zur
Strahlrichtung montiert. Mithilfe dieser Verstellmöglichkeit lässt sich der Weg, den einer der
Teilpulse zurücklegen muss, variieren. Eine zeitliche Überlagerung und Abtastung der beiden
Teilpulse wird somit in einen messbaren Wegunterschied konvertiert. Eine Eigenschaft der
Faltung zweier Kurven ist, dass das Ergebnis immer symmetrisch ist. Wird ein asymmetrischer
Puls mit sich selbst überlagert, ist das Resultat dennoch symmetrisch. Dies hat entscheidenden
Einfluss auf die Aussagekraft dieser Methode, da damit nicht die Pulsform bestimmt werden
kann. Um einen verlässlichen Wert für die Pulsdauer zu erhalten, muss sogar ganz im Gegenteil
die Pulsform des einfallenden Strahls bereits bekannt sein, da das Autokorrelationssignal breiter
ist, als der ursprüngliche Puls. Im Falle einfacher Standardpulsformen lässt sich die
Autokorrelationsbreite in eine Pulsbreite umrechnen. Sieh hierzu Tabelle A3.
Pulsform
G2 ( ) , y   / T
Gauss

Sech²
Lorentz
e
y2
2
1.414
3
 y coth y 1
sinh 2 y
1
1   y / 2
 ac /  p
2
1.543
2
Tabelle A3: Verhältnis der FWHM der Autokorrelationsfunktion zur FWHM der jeweiligen Pulsform.
Je nach Fokussierung oder kollinearer Überlagerung der beiden Teilstrahlen ergibt sich mit dem
beschriebenen Aufbau entweder die Intensitätsautokorrelation, oder die interferometrische
Autokorrelation.
Seite | 29
Abbildung A10: Schematischer Aufbau eines Autokorrelators für den nicht-kollinearen Fall. Der einfallende
Strahl wird über einen Strahlteiler in gleichintensive Strahlen aufgeteilt und je in einen Interferometerarm
gelenkt. Über Retroreflektoren werden die beiden Teilstrahlen nach dem Strahlteiler wieder kollinear
gebracht. Einer der Retroreflektoren steht dabei auf einer Translationsstage, wodurch der Weg und somit der
zeitliche Überlapp für diesen Teilstrahl gegenüber dem Fixen eingestellt werden kann. Nach einem
Fokussierelement überlagern sich die beiden Pulse in einem phasenangepassten nichtlinearen Kristall zur
Erzeugung der zweiten Harmonischen. Diese wird über Filter und Blenden von den Fundamentalen getrennt
und über einen empfindlichen Photomultiplier aufgenommen. Zu beachten sei außerdem, dass beide
Teilstrahlen möglichst wenig und gleich viel Dispersion erfahren.
Intensitätsautokorrelation
Liegt eine nicht-kollineare Überlagerung der beiden Teilpulse in dem nichtlinearen Medium vor,
ist das Resultat die sogenannte Intensitätsautokorrelation. Hierfür tragen je ein Photon der
beiden Interferometerarme zu einem Frequenzverdoppelten bei, welches einen
superpositionierten Impuls von den beiden Erzeugerphotonen besitzt und somit räumlich mit
der Winkelhalbierenden von den Grundwellen getrennt wird. Aus diesem Grund lassen sich die
Grundwellen einfach per Blende vor dem Detektor abfangen. Dadurch wird diese Messung
untergrundfrei. Das normierte Autokorrelationssignal zweiter Ordnung G2 lautet dabei:

 E (t )
0
G2 ( )  
2
E0 (t   ) 2 dt
(67)

 E (t ) dt
4
0

Wegen der langen Ansprechzeit des Detektors im Vergleich zur Pulslänge kann die Integration
über den Puls als gegen unendlich betrachtet werden, G2 (   ) . Die
Intensitätsautokorrelation ist jedoch ein Verfahren, welches nur Aufschluss über die Amplitude
und somit die zeitliche Breite liefert. Es fehlt jegliche Phaseninformation. Durch die durch die
Faltung entstehende Symmetrie des Korrelationssignals kann auch keine exakte Form des
Seite | 30
ursprünglichen Pulses rekonstruiert werden. Für eine verlässliche Aussage über die Pulsdauer
sollte der zu vermessende Puls eine einfache Standardgeometrie aufweisen, welche als bekannt
vorauszusetzen ist. Ein weiterer Nachteil ist, dass das Verfahren im Bereich von unter 20 fs an
sein Limit stößt. Nichtsdestotrotz ist dieses Verfahren weit verbreitet, da es ein schnelles
Ergebnis über die Pulsdauer liefert und so im täglichen Laboralltag für viele Justier- und
Kontrollanalysen ausreichend ist.
Abbildung 3: [2] a) Messignal eines fourierlimitierten Pulses durch Intensitätsautokorralation. b) Ebenfalls
das Signal einer Intensitätsautokorrelation. Diesmal jedoch mit Chirp, der sich, wie aus der Abbildung
ersichtlich, aus dem Graphen nicht erschließt. Nur eine Abweichung von der fourierlimitierten Pulsdauer lässt
auf dessen Vorhandensein schließen.
Interferometrische Autokorrelation
Werden die beiden Teilstrahlen nach dem Strahlteiler wieder kollinear überlagert, entspricht die
Anordnung
einer
interferometrischen
Autokorrelation.
Anders
als
in
der
Intensitätsautokorrelation, werden hier die Fundamentalwellen nicht von der zweiten
Harmonischen getrennt, weshalb im Falle eines nichtidealen Filters vor dem Detektor auch
immer ein Untergrund mit gemessen wird. Neben dem Korrelationssignal treten auch
Interferenzerscheinungen auf, welche das Signal modulieren. Aus dieser Modulation der
Einhüllenden lässt sich neben der Amplitude auch eine Phaseninformation ableiten. Dies
beinhaltet eine qualitative Aussage über das Vorhandensein einer Phasenmodulation. Wie in
Abbildung A12 dargestellt, zeigt sich das durch eine Aufspaltung der oberen sowie unteren
Einhüllenden in Bezug auf den Untergrund. Ein linearer Chirp lässt sich sogar quantitativ über
die Höhe der beginnenden Interferenzerscheinungen relativ zum Signalmaximum bestimmen.
Mathematisch beschreibt sich das Autokorrelationssignal folgendermaßen:

G2 ( )  
 E0 (t   )  E0 (t )
2 2
dt
(68)

Hierbei steht
für eine Mittelung über das schnell oszillierende elektrische Feld, während das
Integral über die Einhüllende integriert.
Seite | 31
Vorteil dieser Methode ist, dass neben einer zusätzlichen Phaseninformation noch kürzere Pulse
aufgelöst werden können als mit der Intensitätsautokorrelation. Jedoch ist auch diese
Autokorrelation, wie eine jede, symmetrisch und bietet damit nur begrenzt Aufschluss über die
exakte Pulsform.
Für noch genauere Analysemethoden sei auf das FROG oder SPIDER Verfahren verwiesen.
Abbildung A12: [2] a) Interferometrische Autokorrelation eines fourierlimitierten Pulses. Zu sehen sind
sowohl die obere, wie die untere Einhüllenden, welche ein moduliertes Trägersignal beinhaltet. b) Durch
Vorhandensein eines Chirps, verändert sich die die Lage der Modulation gegenüber dem Untergrund. Ebenso
wird die untere wie die obere Einhüllende durch Vorhandensein eines linearen Chirps beeinflusst.
Pulsformung
Auf die zeitliche Form des Pulses kann mittels bestimmter Arrangements Einfluss genommen
werden. Pulse können gestreckt oder kompressiert werden. Physikalischer Hintergrund ist, dass
beim Kompressieren ein vorhandener Chirp ganz oder teilweise vermindert wird, beim Strecken
erfolgt das entsprechende Gegenteil. Dies geht jedoch nie über das durch das Zeit-BandbreiteProdukt vorgegebene Minimum hinaus. Ein fourierbegrenzter Puls wird beim Durchlaufen einer
solchen Anordnung immer verlängert. Deswegen ist die historisch bedingte Bezeichnung von
Kompressoren und Strechern missverständlich, richtiger wäre für Kompressoren „Induzierung
negativer Dispersion“ und entsprechend „Induzierung positiver Dispersion“ für letztere.
Anwendung finden diese Systeme hauptsächlich innerhalb des Resonators, um stabile kurze
Pulse zu erzeugen, der natürlichen Dispersion von Fasern in der Datenübermittlung
entgegenzuwirken, sowie in der Chirped Pulse Amplification (CPA). Bei letzterem handelt es sich
um ein Verstärkerelement für ultrakurze Pulse. Damit das aktive Medium jedoch bei den dabei
auftretenden sehr hohen Intensitäten nicht zerstört wird, muss der Puls zeitlich gestreckt, dann
verstärkt und anschließend wieder zurückkomprimiert werden.
Seite | 32
Es folgt eine Tabelle mit unterschiedlichen Systemen, welche die Pulsform beeinflussen können.
Gezeigt wird das jeweilige Vorzeichen der Dispersionsordnung.
'
 ''
 '''
Optisches Material im
VIS
+
+
+
Prismenkompressor
-
-
-
Gitterkompressor
-
-
+
Tabelle A4: Dispersionsvorzeichen der verschiedenen Systeme in den verschiedenen Ordnungen. Es ist
ersichtlich, dass sich durch geschicktes Kombinieren dieser Anordnungen mehrere Ordnungen kompensiert
werden können.
Prismenkompressor
Eine etablierte Methode, Pulse per eingeleiteter GVD zeitlich zu verändert, verwendet
Prismenpaare. Hierbei wird die zeitliche Dispersion, durch die wellenlängenabhängige Brechung
von Licht, aus einer räumlichen Winkeldispersion erzielt. Aus Abbildung A13 geht der
schematische Aufbau eines solchen Kompressors hervor.
Abbildung A13: Prismenkompressor, entweder mit vier Prismen, welche keinen resultierenen Strahlversatz
verursachen, oder mit einem Faltungsspiegel M, wodurch der Strahl in sich zurückfällt. Die Prismen sind
allesamt auf den minimalen Ablenkwinkel sowie Brewsterwinkel geschnitten und justiert. Durch den
wellenlängenabhängigen Brechungsindex kommt es zu einer spektral verschiedenen Laufzeit durch den
Kompressor. Der Betrag hiervon kann per Translationsversatz von Prisma II und III eingestellt werden, von
negativ, über null hin zu positiver Dispersion.
Seite | 33
Der einfallende Strahl durchläuft dabei einen Abschnitt, bestehend aus vier gleichen Prismen.
Für die Zentralwellenlänge des Laserpulses sind die Prismen dabei im Brewsterwinkel
geschnitten, um Verluste minimal zu halten. Zudem ist dieser Winkel noch darauf hin angepasst,
dass die Zentralwellenlänge die Prismen im minimalen Ablenkwinkel durchläuft. Ist dies der
Fall, haben einfallender und ausfallender Strahl denselben relativen Winkel zur brechenden
Prismenoberfläche. Dies gilt für den monochromatischen Fall bzw. für die Zentralwellenlänge.
Da nun aber der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängt und der Laserstrahl eine gewisse
spektrale Breite besitzt, werden die einzelnen Frequenzen verschieden stark gebrochen. Es folgt
nach Wiederaustritt des Pulses vom ersten Prisma eine räumliche Dispersion, also ein nach
Spektren selektierte Divergenz. Der aufgespaltene Strahl trifft so auf das zweite Prisma. Dieses
ist so orientiert, dass die beiden zueinander stehenden Stirnflächen der Prismen parallel
zueinander sind. Für den Puls, welcher das zweite Prisma verlässt, gilt, dass aufgrund der
Symmetrie der Prismen und deren Anordnung die spektralen Komponenten kollinear
zueinander verlaufen, räumlich aber noch getrennt sind. Der gesamte optische Weg der
einzelnen Frequenzen bestimmt dabei die erzielte GVD. Der Weg im Medium zwischen den
beiden Prismen (in der Regel Luft) ist für die blauen Komponenten länger wegen der höheren
Ablenkung durch die Brechung. Dafür müssen die roten Anteile jedoch mehr Wegstrecke im
optisch dichteren Prismenmaterial zurücklegen. Durch eine geschickte Balance dieser beiden
gegenläufigen Effekte, kann die gewünschte GVD eingestellt werden. Für eine sehr nützliche
Justage der benötigten Dispersion, ohne Veränderung des Aufbaus und jederzeit während des
Versuches durchführbar, wird das zweite Prisma auf eine Translationsstage montiert. Somit
lässt sich die Menge an Materialdurchgang des Lichtes durch das Prisma einstellen und somit
das Verhältnis von negativer Winkeldispersion und positiver Materialdispersion verändern. In
der Regel soll solch eine Anordnung negative Dispersion einleiten. Tritt der Puls dabei durch die
Spitzen der Prismen, ist die Materialdispersion zu vernachlässigen und das Maximum an negativ
erreichbarer Dispersion ist erreicht. Wie die Skizze andeutet, kann nach dem zweiten Prisma
entweder ein Faltungsspiegel platziert werden, welcher den Strahl durch die beiden ersten
Prismen zurückschickt oder aber noch einmal eine äquivalente Prismenpaaranordnung, dessen
Spiegelebene der mögliche Faltungsspiegel ist. Zweck des zweiten Paares ist es den räumlich
aufgespaltenen Puls wieder kollinear zu überlagern. Der so überlagerte Puls erfährt durch den
zweiten Durchgang durch das Prismenpaar noch einmal dieselbe Dispersion. Ob ein oder zwei
Prismenpaare verwendet werden, hängt primär davon ab, wo und wie die Dispersionstrecke
zum Einsatz kommt. Als Eingliederung für einen vorgegebenen oder bestehenden Strahlengang
empfiehlt sich die Variante mit den vier Prismen, da der einfallende und der ausfallende Strahl
kollinear und ohne Versatz zueinander verlaufen. Ein kompakterer Aufbau lässt sich mit der
gefalteten Variante realisieren, dabei wird der Strahl jedoch in sich zurück reflektiert und muss
mit einem Höhenversatz versehen werden.
Seite | 34
Abbildung A14: a) Wellenlängenabhängige Brechung durch ein Glasprisma, welches auf minimalen
Ablenkwinkel γ, sowie Brewsterwinkel εBr justiert ist. b) Konstrukt zur Herleitung des optischen
Wegunterschieds. Mit AC und BE als mögliche Wellenfronten. c) CJ ist parallel zu AB und hat dieselbe Länge.
Dadurch ist der optische Weg CDE gleich lcosβ.
Um eine quantitative Aussage über die Dispersion eines Prismenkompressors zu erhalten, geht
aus Gleichung (47) hervor, dass hierfür die zweite Ableitung des optischen Weges nach der
Wellenlänge
d 2P
erforderlich ist. Dafür wird der extreme Strahl betrachtet, welcher von
d2
Prismenspitze zu Prismenspitze propagiert und als Referenzstrahl definiert. Diese Strecke wird
folglich mit l benannt. Um den optischen Wegunterschied des anderen Extremstrahls
bestimmen zu können, veranschauliche man sich das an einer Skizze wie in Abbildung A14b).
Die Strecke von CB markiert dabei den Referenzstrahl. Von Interesse ist der optische Weg CDE.
Da sowohl AC, als auch BE mögliche Wellenfronten des Pulses darstellen, muss AB gleich CDE
sein. In Skizze A14c) wird der Weg CJ eingeführt, welcher parallel und gleich AB ist und somit
auch gleich CDE. Mit  als dem Differenzwinkel zwischen den beiden Extremstrahlen folgt für
den optischen Weg des CDE Strahls:
P  l cos 
(69)
Die Teilstrecken EFH und BG tragen nicht zur Dispersion bei, da BE und GH wieder mögliche
Wellenfronten sind und FH zu BG parallel ist. Das zweite Prismenpaar bzw. durch den
Faltungsspiegel verdoppelt sich der zur Dispersion beitragende optische Weg zu:
P  2l cos 
(70)
dP
  2l sin 
d
(71)
d 2P
  2l cos 
d 2
(72)
Es resultiert durch Anwenden der Kettenregel für Ableitungen:
Seite | 35
2
2
2
d 2 P  d 2 n d   dn  d 2   dP  dn   d   d 2 P





 

d  2  d  2 dn  d   dn 2  d   d    dn  d  2
(73)
In dieser Darstellung wird der einfallende Winkel 1 als fest angenommen. Da dieser durch den
Brewsterwinkel durch die Schnittform des Prismas festgelegt ist, trifft das auch im Allgemeinen
zu. Sei entsprechend  2 der Winkel des transmittierten Strahles und 1 ', 2 ' die
entsprechenden Winkel im Inneren des Prismas, so erhält man durch das Snellius Gesetz und
der Beziehung vom Winkel der brechenden Kante   1 ' 2 ' für ein Prisma mit dem
Brechungsindex n:
d2 sin(2 ')  cos(2 ') tan(1 ')

dn
cos 2
(74)
2
d 22
 d2  tan (1 ')  d2 

tan(

)

2 



dn2
n
 dn 
 dn 
(75)
2
Für den minimalen Ablenkwinkel, sowie Brewsterwinkel gelten 1 '  2 ' und tan 2  n . Man
kann zeigen, dass d  / dn   d2 / dn sowie d 2  / dn2   d 22 / dn2 gilt , wodurch man erhält
d
2
dn
(76)
d 2
2
4 3
2
dn
n
(77)
All diese Beziehungen in Gleichung (73) eingesetzt ergibt den Betrag zur SOD:
2
2
2


d 2P
1  dn  
 d n 

 dn 
1

4
l

2
n

sin


2
cos




  m 




2
2
3 
d
n  d   
 d 


  d  

(78)
Trotz positiver Materialdispersion lässt sich mit solch einer Anordnung eine resultierende
negative Dispersion einstellen. Dabei durchlaufen die blauen Spektralanteile den Kompressor
schneller als die roten. Wie in Gleichung (78) ersichtlich, ist der Betrag der GVD vom
Prismenmaterial, der spektralen Breite und dem Abstand zwischen den Prismen abhängig. Ohne
besonderen Einfluss, abgesehen von der natürlichen Strahlaufweitung, ist jedoch der Abstand
zwischen Prisma II und III.
Die dritte, recht komplexe Ableitung lässt sich durch folgenden Ausdruck annähern:
 d 3n

d 3P
dn d 2 n

4
l
sin


6
cos  
 3
3
2
d
d d
 d

(79)
Seite | 36
Gitterkompressor
Eine weitere Möglichkeit, die Pulsdauer zu beeinflussen, besteht über die Verwendung von
Beugungsgittern. Anders als bei Prismen gibt es hier nur einen Dispersionseffekt. Verbunden mit
einer Winkeldispersion ist diese immer negativ. Mit der Methode der Strahlaufweitung mittels
Teleskop zwischen den Komponenten des Kompressors kann jedoch auch positive Dispersion
induziert werden. Trifft ein ultrakurzer Puls auf ein optisches Gitter, werden seine spektralen
Komponenten unterschiedlich stark gebeugt. Aufgrund dieser Winkeldispersion divergieren sie
also unter verschiedenen Winkeln relativ zum einfallenden Strahl auseinander. Dabei erfahren
die roten Spektralkomponenten eine stärkere Beugung als die blauen. Diese Strahlen treffen auf
das zweite Gitter, werden dort wieder gebeugt und propagieren von dort aus parallel zum
ursprünglichen Strahl weiter. Die verschiedenen Wellenlängen sind also wieder kollinear, jedoch
räumlich separiert, vergleichbar mit dem Zustand nach Prisma II beim Prismenkompressor. Der
optische Wegunterschied ist ein Resultat der unterschiedlich langen Wege zum zweiten Gitter
und anschließender Kollimation aufgrund des wellenlängenabhängigen Beugungswinkels.
Abbildung A15 verdeutlicht dies.
Abbildung A15: Gitterkompressor, entweder mit vier Gitter, welche keinen resultierenen Strahlversatz
verursachen, oder mit einem Faltungsspiegel M, wodurch der Strahl in sich zurückfällt. Wegen dem
wellenlängenabhängigen Beugungswinkel durchlaufen die roten Spektralanteile in solch einer Anordnung
immer einen längeren optischen Weg, der Puls erfährt insgesamt nach der Bündelung eine negative
Dispersion. Der Betrag hiervon kann per Translationsversatz von Gitter II und III eingestellt werden.
Äquivalent zum Prismenkompressor kann der Gitterkompressor aus vier identischen Gittern
aufgebaut werden, welche alle in der Gitterlinienausrichtung parallel sein müssen. Zudem ist es
notwendig, dass die jeweiligen Gitterpartner in allen Achsen parallel zueinander stehen. Vier
Gitter werden verwendet, wenn der Strahl keine Ablenkung zu seiner ursprünglichen
Einfallsrichtung erfahren soll. Die Bündelung des Strahls wird durch einen Faltungsspiegel mit
nur einem Gitterpaar erreicht, welches daraufhin zweimal durchlaufen wird. Diese Anordnung
spiegelt den Strahl in seine einfallende Richtung zurück. Für die Strahlseparation ist also ein
Höhenversatz notwendig. Wird eines der Gitter auf eine Translationsstage mit einem
Verschiebeweg parallel zur Gitternormalen montiert, kann auf den Wert der GVD durch
Abstandsbeeinflussung der Gitter zueinander beeinflusst werden. Gitterkompressoren haben
Seite | 37
den Vorteil, dass sie eine hohe Dispersion aufweisen und somit Pulse um einen Faktor von bis zu
104 strecken oder kompressieren können. Aufgrund der nicht unterdrückbaren 0-ten
Beugungsordnung sind jedoch keine besseren Effizienzen als 80% pro Gitterpaar zu erreichen.
Aufgrund dieser Vor- und Nachteile finden solche Aufbauten meist Anwendung in der CPA.
Die frequenzabhängige Beugungsbedingung ist gegeben durch:
sin  ' sin  
2 c
d
(80)
Abbildung A16: Gitterpaar, welches eine frequenzabhängige Winkeldispersion erzeugt. PP0 stellt dabei eine
mögliche Wellenfront des wieder austretenden räumlich gechirpten Pulses.
mit dem Einfallswinkel  , dem Beugungswinkel  ' der Frequenz  und dem Linienabstand d.
Da Beugungsgitter mit hohen Verlusten zu kämpfen haben, sind diese speziell für eine
Wellenlänge konzipiert, wodurch es neben dem geometrischen Reflex nur noch zu einer ersten
Beugungsordnung kommt und Gleichung (80) in ihrer dortigen Form Richtigkeit bewahrt. Zur
Bestimmung der Dispersion verfolge man den frequenzabhängigen Strahlengang. Die optische
Weglänge ACP aus Abbildung A16 lässt sich konstruieren zu:
ACP 
b
1  cos( '  )
cos  '
(81)
Der Normalengitterabstand wird hierbei mit b bezeichnet. Es soll hier noch der Begriff der
Phasenverzögerung eingeführt werden, welche über den optischen Weg POL definiert ist:
Seite | 38
 () 

POL ()
c
(82)
Der Phasenfaktor  ist gleichbedeutend mit dem Phasenfaktor kl L und somit ist dies nach
zweimaliger Ableitung nach der Frequenz konsistent mit Gleichung (47). Mit jeder
überstrichenen Gitterperiode, welcher ein Strahl einer leicht anderen Frequenz im Vergleich zu
einer Referenzfrequenz erfährt, springt der Phasenfaktor um 2π im Falle der ersten
Beugungsordnung. Da jedoch nur der relative Phasenversatz entlang PP0 interessiert, werden
quasi die überstrichenen Gitterlinien relativ der Gitternormalen in A mit G2 gezählt:
() 

b
ACP()  2 tan  '
c
d
(83)
Unter Einsetzen der Gittergleichung (80) ergeben sich die erste und zweite Ableitung zu:
d
d
 b  1  cos(    ')
 
s 
cos  '
c
(84)
d 2
4 2bc
s 2 
 3 2
2
3
d   d cos  '
(85)
Stimmt cos³?
Dieser Dispersionswert ist das Resultat eines Gitterpaares. Für einen Kompressor muss dieser
Wert also noch mit dem Faktor 2 multipliziert werden. In Wellenlängen ausgedrückt ergibt das:
  
d 2
b
2 l 2  l 
2
3
d 
2 c  d  cos  '(l )
l
2
(86)
Für den Term dritter Ordnung gilt:
2
d 3
3l
 2
l  l
 d 
s3 

cos  '(l )    sin   

3
2
2
d 
2 c cos  '(l ) 
dd
 d  
l
(87)
l
Seite | 39
Quellen
Allgemein:
Skript zur Vorlesung Lasertechnologie (Prof. Dr. Huber)
RP Photonics – Encyclopedia of Laser Physics and Technology (www.rp-photonics.com)
Weiterführend:
[1]
B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics. John Wiley & Sons, 2007 (2.
Auflage)
[2]
J. C. Diels, W. Rudolph, Ultrafast laser pulse phenomena. Elsevier, Academic Press, second
ed., 2006.
[3]
M. Hugenschmidt. Lasermesstechnik, Diagnostik der Kurzzeitphysik. Springer Berlin, 2006.
Komponenten des AK-Versuchs:
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YAG-Kristall (Bitte immer in den Thorlabs-Tüchern aufbewahren)
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Seite | 40