¨Ubung zur Vorlesung: Algorithmen und Datenstrukturen

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Übung zur Vorlesung: Algorithmen und Datenstrukturen
Blatt 10, Abgabe: bis 23.12.2016 um 8:30 Uhr in den Briefkästen auf 25.13.O2.
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Aufgabe 1 (26 Punkte):
1. Fügen Sie nacheinander die Schlüssel 4, 9, 7, 6, 8, 1, 2, 10 und 11 in einen anfangs
leeren B-Baum der Ordnung 3 ein.
2. Entfernen Sie aus folgendem B-Baum der Ordnung 3 nacheinander die Schlüssel 12,
10, 11 und 7.
Sollten Sie einen Knoten mit seinem Bruder Ihrer Wahl vereinigen müssen, wählen
Sie den rechten. Sollten Sie die Wahl zwischen symmetrischem Vorgänger und symmetrischem Nachfolger haben, wählen Sie den der beiden Schlüssel der zu weniger
Veränderungen im Baum führt.
Aufgabe 2 (24 Punkte):
1. Betrachten Sie einen B-Baum B der Ordnung 5:
(a) Wie viele Söhne hat jeder Knoten in B maximal?
(b) Wie viele Söhne haben alle Knoten in B (außer Wurzel und Blättern) mindestens?
(c) Angenommen B hat Höhe 2: Welche Tiefe hat das Blatt, welches am nächsten
an der Wurzel ist?
(d) Wie viele Schlüssel speichert B mindestens, wenn B Höhe 2 hat?
(e) Wie viele Schlüssel speichert B maximal, wenn B Höhe 2 hat?
2. Geben Sie einen B-Baum der Ordung 3 mit Höhe 3 an, bei welchem das Entfernen
eines beliebigen Schlüssels zu einer Verringerung der Baumhöhe führt.
3. Geben Sie einen B-Baum der Ordung 3 mit Höhe 3 an, bei welchem das Hinzufügen
eines beliebigen Schlüssels zu einer Erhöhung der Baumhöhe führt.
4. Geben Sie eine Zahlenfolge mit n Zahlen an, so dass das Einfügen dieser Zahlen in
der gegebenen Reihenfolge in einen anfangs leeren Splay-Baum einen Baum der Höhe
n − 1 zur Folge hätte.
5. Geben Sie eine Folge mit 10 Zahlen an, die in einen anfangs leeren AVL-Baum eingefügt werden sollen. Der resultierende AVL Baum soll Höhe 4 haben.
6. Für diese Teilaufgabe sollen, alle Schlüssel natürliche Zahlen sein. Geben Sie einen
AVL-Baum mit mindestens 6 Knoten an, bei dem nicht jeder Knoten den Balancewert
0 hat und in den Sie an keiner Stelle einen weiteren Schlüssel einfügen können ohne
das Umstrukturierungen nötig sind. Begründen Sie kurz, weshalb Ihre Lösung korrekt
ist.
Aufgabe 3 (15 Punkte):
Sei B ein Linksbaum und d ∈ N0 der größte an einem Knoten von B vorkommende
Distanzwert. Zeigen Sie induktiv, dass B mindestens 2d −1 Schlüssel speichert. (Die Blätter
speichern keine Schlüssel und haben den Distanzwert 0.)
Aufgabe 4 (15 Punkte):
Wir betrachten nun das Einfügen von Objekten in eine Binomialqueue Q. Geben Sie je
eine Einfügereihenfolge F von Schlüsseln an, so dass
1. Q aus genau einem Binomialbaum vom Typ B4 (Höhe des Baums = 4) besteht,
2. Q aus jeweils genau einem Binomialbaum vom Typ B1 , B3 , B5 und B7 besteht,
3. Q keinen Binomialbaum vom Typ Bi mit i ≥ n für ein beliebiges n ∈ N enthält und
F maximal viele Elemente hat.
Aufgabe 5 (20 Punkte):
Zeigen Sie, dass die Höhe der “Bäume” in einem Fibonacci-Heap mit n Knoten aus Ω(n)
sein kann. Ein einzelnes Beispiel ist hierzu nicht ausreichend, geben Sie ein Konstruktionsschema für beliebiges n an! Skizzieren Sie Ihr Schema anschließend beispielhaft für
n = 4.