Vorlesung Mathematik I.2

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Vorlesung Mathematik I.2
Prof. Dr. Zoltán Sasvári
Institut für Mathematische Stochastik
Technische Universität Dresden
Sommersemester 2016
1
Inhaltsverzeichnis
Grundbegriffe
3
Stetige Funktionen mehrerer Variablen
20
Funktionen mehrerer Variablen
25
Partielle Ableitungen
30
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
42
Vollständiges Differential, Anwendungen
55
Mehrfache Integrale
68
Anwendungen dreifacher Integrale
90
Skalar- und Vektorfelder
98
Kurvenintegrale
117
Oberflächenintegrale
133
Integralsätze von Gauß und Stokes
140
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen 146
Die mehrdimensionale Taylorsche Formel
162
Implizite Funktionen
Zahlenreihen
Potenzreihen
Fourier-Reihen
Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Differentialgleichungen erster Ordnung
Physikalische Anwendungen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Lineare Differentialgleichungen n-ter
Ordnung
Systeme linearer Differentialgleichungen
Numerische Verfahren für
Anfangswertprobleme
Mathematik I.2
166
175
191
206
215
219
223
247
256
273
285
320
330
2
Grundbegriffe
Der zweidimensionale Raum
Definition 1 (Der zweidimensionale Raum)
Unter dem zweidimensionalen Raum R2 versteht man die Menge aller
geordneten Paare reeller Zahlen. Seine Elemente heißen Punkte. Kurz:
R2 = {(x, y ) : x ∈ R, y ∈ R} .
x und y heißen kartesische Koordinaten des Punktes P = (x, y ).
Polarkoordinaten
Ein Punkt P im zweidimensionalen Raum lässt sich auch durch
Polarkoordinaten (r , ϕ) darstellen (interaktives Beispiel), wobei
r ≥ 0 Abstand des Punktes vom Ursprung;
ϕ Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Geraden durch
den Ursprung und P (0 ≤ ϕ < 2π, mathematisch positiv).
3
Grundbegriffe
Der zweidimensionale Raum
Umrechnungsformeln
Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ
Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten:
p
r = x2 + y2
y
tan ϕ = , wenn x 6= 0
x
π
ϕ = , wenn x = 0, y > 0
2
3π
ϕ=
, wenn x = 0, y < 0.
2
4
Grundbegriffe
Der zweidimensionale Raum
Definitionen 2
I
I
I
I
p
|P − Q| := (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 heißt Abstand der Punkte
P = (x1 , y1 ) und Q = (x2 , y2 ).
p
|P| = x 2 + y 2 ist der Abstand des Punktes P = (x, y ) vom
Nullpunkt (0, 0).
Es sei P0 ∈ R2 und > 0. Die Menge
U (P0 ) := P ∈ R2 : |P − P0 | < heißt die (offene) -Umgebung des Punktes P0 /Kreisscheibe/.
Es sei D ⊂ R2 . Der Punkt P ∈ R2 heißt
I
I
innerer Punkt von D, wenn es eine Umgebung U (P) gibt, die in D
liegt;
Randpunkt von D, wenn in jeder Umgebung U (P) sowohl ein Punkt
von D als auch ein Punkt von R2 \ D liegt.
5
Grundbegriffe
Der zweidimensionale Raum
Definitionen 3
I
Die Menge aller Randpunkte heißt der Rand von D.
I
Die Menge D heißt offen, wenn jeder Punkt P ∈ D ein innerer Punkt
von D ist.
I
D heißt abgeschlossen, wenn R2 \ D offen ist.
Beispiele 4
I
D1 = {(x, y ) : 1 < x < 3 und − 1 < y < 2},
I
D2 = {(x, y ) : 1 ≤ x ≤ 3 und − 1 ≤ y ≤ 2},
I
D3 = {(x, y ) : 1 ≤ x < 3 und − 1 < y ≤ 2},
I
P = (2, 1), Q = (1, 1).
P ist innerer Punkt und Q ist Randpunkt jeder dieser drei Mengen. D1 ist
offen, D2 ist abgeschlossen, D3 ist weder offen noch abgeschlossen.
6
Grundbegriffe
Der zweidimensionale Raum
Definition 5
Eine Menge D ⊂ R2 heißt beschränkt, wenn es eine Zahl A gibt, so dass
für alle P ∈ D gilt |P| ≤ A, andernfalls heißt D unbeschränkt.
7
Grundbegriffe
Der dreidimensionale Raum
Definition 6 (Der dreidimensionale Raum)
Unter dem dreidimensionalen Raum R3 versteht man die Menge aller
geordneten Tripel reeller Zahlen:
R3 = {(x, y , z) : x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}.
Definition 7
Die Zahl
q
|P − Q| := (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
heißt Abstand der Punkte P = (x1 , y1 , z1 ) und Q = (x2 , y2 , z2 ).
Die Definitionen aus dem vorherigen Abschnitt lassen sich einfach auf R3
übertragen (-Umgebung, innerer Punkt, ...). Randpunkt, ...).
8
Grundbegriffe
Der dreidimensionale Raum
Zylinderkoordinaten: (r , ϕ, z)
Es sei P = (x, y , z) ∈ R3 , P 6= 0.
Dann bezeichnen (siehe Bild und interaktives Beispiel):
r : den p
Abstand des Punktes P von der z-Achse;
r = x2 + y2
ϕ: den Winkel der Verbindungsstrecke von (0, 0, 0) nach
P 0 = (x, y , 0) 6= (0, 0, 0) gegen die positive Richtung der x-Achse in
mathematisch positivem Sinn mit 0 ≤ ϕ < 2π (Bogenmaß);
z: wie bei kartesischen Koordinaten.
Bemerkung 8
r und ϕ sind die Polarkoordinaten des Punktes (x, y , 0).
9
Grundbegriffe
Der dreidimensionale Raum
Umrechnungsformeln
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z =z
p
wobei r = x 2 + y 2 .
10
Grundbegriffe
Der dreidimensionale Raum
Kugelkoordinaten: (r , ϕ, η)
Es sei P = (x, y , z) ∈ R3 , P 6= 0.
Dann bezeichnen (siehe Bild und interaktives Beispiel):
r : den Abstand des Punktes P vom Ursprung (0, 0, 0);
ϕ: wie bei Zylinderkoordinaten;
‰ mit der positiven Richtung der
η: den Winkel, den die Strecke OP
z-Achse bildet, von dieser ausgehend positiv gerechnet, wobei
0 ≤ η ≤ π (Bogenmaß).
Bemerkung 9
Das sind astronomische Kugelkoordinaten; ersetzt man η durch
erhält man die sog. geographischen Kugelkoordinaten.
π
2
− η, so
11
Grundbegriffe
Der dreidimensionale Raum
Umrechnungsformeln
x = r cos ϕ sin η
y = r sin ϕ sin η
z = r cos η
p
wobei r = x 2 + y 2 + z 2 .
12
Grundbegriffe
Beispiele
Beispiele 10
1. Die Kreisscheibe
D = {(x, y ) : x 2 + y 2 < 9}
wird in Polarkoordinaten durch die Ungleichungen 0 ≤ r < 3 und
0 ≤ ϕ < 2π beschrieben.
2. Die Ungleichungen
2 < r ≤ 5, 0 ≤ ϕ < π
beschreiben die obere Hälfte eines Kreisringes. /Bild/
3. Die Menge
{(x, y , z) : 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ z ≤ 4}
ist ein Quader. /Bild/
13
Grundbegriffe
Beispiele
Beispiele 10 (Fortsetzung)
4. Durch das Ungleichungssystem
1
0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ η ≤ π
4
in Kugelkoordinaten wird ein Kugelausschnitt mit dem Öffnungswinkel
π/2 beschrieben. /Bild/
5. Eine Kugel vom Radius R mit Mittelpunkt (0, 0, 0) wird in
Kugelkoordinaten durch die Ungleichungen
0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ η ≤ π
beschrieben.
14
Grundbegriffe
Beispiele
Aufgabe
Der Kreiszylinder Z /Bild/ ist durch ein System von Ungleichungen zu
beschreiben.
Lösung
p
x 2 + y 2 ≤ R, 1 ≤ z ≤ 4} =
Z = {(x, y , z) :
p
p
2
2
{(x, y , z) : −R ≤ x ≤ R, − R − x ≤ y ≤ R 2 − x 2 , 1 ≤ z ≤ 4}.
In Zylinderkoordinaten:
0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π, 1 ≤ z ≤ 4.
15
Grundbegriffe
Beispiele
Aufgabe
Der Kegel K /Bild/ ist in Zylinderkoordinaten zu beschreiben.
Lösung
0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π,
da
zr
r
=
h
R
=⇒ zr =
h
r ≤z ≤h
R
h
R r.
16
Grundbegriffe
Der n-dimensionale Raum
Definition 11 (Der n-dimensionale Raum)
Unter dem n-dimensionalen Raum Rn versteht man die Menge aller
geordneten n-Tupel (x1 , . . . , xn ) reeller Zahlen. Die Zahl
v
u n
uX
|P − Q| = t (xi − yi )2
i=1
heißt der Abstand der Punkte P = (x1 , . . . , xn ) und Q = (y1 , . . . , yn )
voneinander.
Man übernimmt die Bezeichnungen aus dem dreidimensionalen Fall.
So bezeichnet zum Beispiel U (P) die Menge aller Punkte, deren Abstand
zu P kleiner ist als . Diese Menge wird als -Umgebung von P oder auch
als Kugel vom Radius mit Mittelpunkt P genannt.
17
Grundbegriffe
Konvergenz im n-dimensionalen Raum
Definition 12
Es sei
(k)
(k)
(k)
Pk = (a1 , a2 , . . . , an ), k = 1, 2, . . .
eine Folge von Punkten in Rn und P = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn .
Die Folge {Pk } heißt konvergent gegen den Punkt P, wenn
lim |Pk − P| = 0.
k→∞
Schreibweise: limk→∞ Pk = P.
Satz 13
Die Folge {Pk } konvergiert genau dann gegen P, wenn sie
koordinatenweise gegen P konvergiert:
(k)
lim ai = ai , i = 1, 2, . . . , n.
k→∞
18
Grundbegriffe
Konvergenz im n-dimensionalen Raum
Beispiele 14
1. Die durch
Pk = (k/(k + 1), (2/3)k , 2/k)
definierte Punktfolge in R3 ist konvergent, es gilt
limk→∞ Pk = (1, 0, 0).
2. Die Punktfolge
Pk = (1/k, k) ∈ R2
ist nicht konvergent. Die Punkte liegen auf der Hyperbel y = x1 .
3. Die Punktfolge
Pk = (cos k, sin k) ∈ R2
ist nicht konvergent (ohne Beweis).
Wegen |Pk | = 1 liegen die Punkte auf dem Einheitskreis mit
Mittelpunkt (0, 0).
19
Stetige Funktionen mehrerer Variablen
Beispiele, Eigenschaften
Im Folgenden bezeichnet Df ⊂ Rn den Definitionsbereich einer Funktion
f : Df −→ R.
Beispiele 15 (Funktionen mehrerer Variablen)
1. f (x, y , z) = x +
yz
,
y +z
2. f (x, y ) = (x − 2)2 + 2y ,
3. f (x, y ) =
xy
,
x2 + y2
Df = {(x, y , z) ∈ R3 : y + z 6= 0}.
Df = R2 .
Df = R2 \ {(0, 0)}.
Führt man Polarkoordinaten ein, so erhält man:
1
r cos ϕ · r sin ϕ
f˜(r , ϕ) = f (r cos ϕ, r sin ϕ) =
=
sin 2ϕ.
r2
2
20
Stetige Funktionen mehrerer Variablen
Beispiele, Eigenschaften
Beispiele 15 (Fortsetzung)
Aus der Darstellung mit Polarkoordinaten folgt:
|f (x, y )| ≤ 1/2, (x, y ) ∈ Df .
p
Ferner hängt der Funktionswert nicht vom Abstand r = x 2 + y 2 des
Punktes (x, y ) von (0, 0) ab, sondern nur vom Polarwinkel ϕ dieses Punktes.
Definition 16
Eine auf Df ⊂ Rn definierte Funktion f heißt beschränkt, wenn es eine
Zahl A gibt, so dass für alle P ∈ Df gilt |f (P)| ≤ A.
21
Stetige Funktionen mehrerer Variablen
Beispiele, Eigenschaften
Beispiele 17 (Beschränktheit)
1. Die Funktion
f (x, y ) = sin(x + e xy ),
Df = R2
ist beschränkt: |f (x, y )| ≤ 1
2. Die Funktion
f (x, y , z) = (x 2 + y 2 + z 2 )−1/2 ,
Df = R3 \ {(0, 0, 0)}
ist nicht beschränkt (in Kugelkoordinaten gilt: f˜(r , ϕ, η) = 1r ).
3. Die Funktion
f (x, y ) =
xy
,
x2 + y2
Df = R2 \ {(0, 0)}
aus Beispiel 15 ist beschränkt, da f˜(r , ϕ) =
1
2
sin 2ϕ =⇒ |f | ≤ 12 .
22
Stetige Funktionen mehrerer Variablen
Beispiele, Eigenschaften
Definition 18 (Höhenlinie, Niveaulinie)
Sei f eine Funktion von 2 Variablen. Die Menge aller Punkte (x, y ) ∈ Df für
die f (x, y ) = c ist, heißt Höhenlinie oder Niveaulinie von f zum Niveau
c.
Beispiel 19
f (x, y ) = (x − 2)2 + 2y , Df = R2 .
In der x, y -Ebene markieren wir alle Punkte mit gleichem Funktionswert c.
(x − 2)2 + 2y = c
1
c
=⇒ y = − (x − 2)2 +
2
2
Das sind Parabeln (siehe Bild).
Zur Gewinnung einer räumlichen Vorstellung denkt man sich jede Parabel in
entsprechender Höhe.
23
Stetige Funktionen mehrerer Variablen
Beispiele, Eigenschaften
Definition 20 (Niveaufläche)
Sei f eine Funktion von 3 Variablen. Die Menge aller Punkte (x, y , z) ∈ Df
für die f (x, y , z) = c ist, heißt Niveaufläche von f zum Niveau c.
Beispiel 21
Für die Funktion
f (x, y , z) =
1
[(x − 2)2 + (y + 3)2 + z 2 ]2
erfüllen die Niveauflächen f (x, y , z) = c die Gleichung
(x − 2)2 + (y + 3)2 + z 2 = c −1/2 ,
c > 0.
Das sind Kugelflächen vom Radius c −1/4 und dem Mittelpunkt (2, −3, 0).
Im Falle c < 0 ist die Niveaufläche die leere Menge.
24
Funktionen mehrerer Variablen
Stetigkeit
Definition 22
Eine Funktion f heißt im Punkt P ∈ Df stetig, wenn für jede gegen P
konvergierende Punktfolge {Pk } aus Df gilt:
lim f (Pk ) = f (P).
k→∞
f heißt in Df stetig, wenn f in jedem Punkt P ∈ Df stetig ist.
Äquivalente Definition
Zu jedem > 0 existiert ein δ > 0, so dass für alle Punkte Q ∈ Uδ (P) ∩ Df
gilt:
|f (P) − f (Q)| < .
25
Funktionen mehrerer Variablen
Stetigkeit
Beispiel 23
Die Funktion f (x, y , z) = x ist auf R3 stetig;
die Funktion f (x, y ) = xy ist auf R2 stetig.
Beispiel 24
Die durch
(
f (x, y ) =
xy
x 2 +y 2
für (x, y ) 6= (0, 0)
0
für (x, y ) = (0, 0)
definierte Funktion f : R2 → R ist im Punkt (0, 0) nicht stetig.
Zum Beweis wählen wir die Punktfolge Pk = (1/k, 1/k) die gegen (0, 0)
konvergiert. Dann ist
f (Pk ) = 1/2 =⇒ lim f (Pk ) = 1/2 6= 0 = f (0, 0) =⇒ f ist nicht stetig.
k→∞
26
Funktionen mehrerer Variablen
Stetigkeit
Beispiel 25
Die Funktion
(xy )2
x 2 +y 2
für (x, y ) 6= (0, 0)
0
für (x, y ) = (0, 0)
(
f : R2 → R, (x, y ) 7→ f (x, y ) =
ist stetig auf R2 .
(xk yk )2
lim
= lim
xk →0 x 2 + y 2
xk →0
k
k
yk →0
1
2
y
yk →0 k
1
+
1
xk2
= 0 = f (0, 0).
27
Funktionen mehrerer Variablen
Stetigkeit
Satz 26
Seien f und g Funktionen auf Rn die im Punkt P stetig sind und sei c ∈ R.
Dann gilt:
1. Die Funktionen f + g , f · g und c · g sind in P stetig.
2. Ist g (P) 6= 0, dann ist auch
f
g
in P stetig.
3. Ist die Funktion F : R −→ R auf R stetig, so ist auch F (f ) in P stetig.
Beispiele 27
2
1. e x+y ist stetig auf R2 .
2. sin(x 2 + y 2 + e z ) ist stetig auf R3 .
28
Funktionen mehrerer Variablen
Stetigkeit
Satz 28
1. Der Wertebereich einer auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge
stetigen Funktion ist beschränkt.
2. Die Funktion nimmt auf der Menge sowohl ihr Maximum als auch ihr
Minimum an.
Beispiel 29
Die Funktion f (x, y ) =
1
x
+ y ist auf der beschränkten Menge
Df = {(x, y ) : 0 < x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}
stetig aber nicht beschränkt; D ist nicht abgeschlossen.
Die Funktion f hat ein Minimum in (2, 0), sie ist nach unten beschränkt.
29
Partielle Ableitungen
Definition
Graphische Darstellung einer Funktion f : Rn −→ R
I
n = 1: Kurve mit den Punkten
(x, f (x)), x ∈ Df
I
n = 2: Fläche mit den Punkten
(x, y , f (x, y )), (x, y ) ∈ Df
/siehe Bild/
30
Partielle Ableitungen
Definition
Im Folgenden sei f eine auf der offenen Menge Df ⊂ R2 definierte Funktion
und P0 = (x0 , y0 ) ∈ Df .
Motivation: Steigung
Wir betrachten die Fläche
(x, y , f (x, y )), (x, y ) ∈ Df
im Punkt
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )) = (P0 , f (P0 )).
Bewegt man sich von diesem Punkt aus, so hängt die Steigung von der
Richtung ab.
Interaktives Beispiel: In Richtung der x- bzw. y -Achse.
31
Partielle Ableitungen
Definition
Definition 30
Die Funktion f heißt im Punkt P0 nach der Variablen x partiell
differenzierbar, wenn die Funktion
x 7−→ f (x, y0 )
im Punkt x0 differenzierbar ist. Deren Ableitung in x0 heißt dann die
partielle Ableitung von f nach x im Punkt P0 .
Schreibweisen:
∂f
(P0 ).
fx (P0 ),
∂x
Analog definiert man die partielle Ableitung von f nach y und die Ausdrücke
fy (P0 ),
∂f
(P0 ).
∂y
32
Partielle Ableitungen
Definition
Bemerkungen 31
1. fx liest man f partiell nach x“, oder f nach x“.
”
”
2. Es gilt:
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
fx (x0 , y0 ) = lim
h→0
h
und
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
.
fy (x0 , y0 ) = lim
h→0
h
33
Partielle Ableitungen
Definition
Die folgende Definition verallgemeinert die partielle Ableitung für
Funktionen mit n Variablen.
Definition 32
Es sei f eine auf der offenen Menge Df ⊂ Rn definierte Funktion und
P = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Df . Die Funktion
f : (x1 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , . . . , xn )
heißt im Punkt P nach xi partiell differenzierbar, wenn die Funktion
x 7→ f (a1 , . . . , ai−1 , x, ai+1 , . . . , an )
an der Stelle ai differenzierbar ist. Ihre Ableitung an der Stelle ai heißt dann
die partielle Ableitung von f nach xi im Punkt P.
∂f
Schreibweisen: fxi (P), ∂x
(P).
i
34
Partielle Ableitungen
Definition
Beispiel 33
Es sei
√
f (x, y , z) = sin2 x + ze y x + 23.
Um fx zu berechnen, hat man y und z als Konstanten zu betrachten und im
gewöhnlichen Sinne nach x zu differenzieren:
1
fx (x, y , z) = 2 sin x cos x + ze y √ .
2 x
Entsprechend erhält man:
√
fy (x, y , z) = ze y x
√
und fz (x, y , z) = e y x.
35
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen höherer Ordnung
Definition 34
f sei eine auf der offenen Menge Df ⊂ Rn definierte Funktion und dort nach
xi partiell differenzierbar.
Wenn fxi in P ∈ Df nach xj partiell differenzierbar ist, so heißt diese
Ableitung die zweite partielle Ableitung von f nach xi , xj im Punkt P.
Schreibweise:
∂2f
(P).
fxi xj (P),
∂xi ∂xj
Analog definiert man die k-te partielle Ableitung für eine beliebige natürliche
Zahl k.
36
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen höherer Ordnung
Beispiel 35
Es sei f (x, y , z) = x 2 y + z sin(x + y 2 ).
Die drei partiellen Ableitungen erster Ordnung sind:
fx (x, y , z) = 2xy + z cos(x + y 2 ),
fy (x, y , z) = x 2 + 2yz cos(x + y 2 ),
fz (x, y , z) = sin(x + y 2 ).
Partielle Ableitungen zweiter Ordnung sind z. B.:
fxy (x, y , z) = 2x − 2yz sin(x + y 2 ),
fyx (x, y , z) = 2x − 2yz sin(x + y 2 ),
fzz (x, y , z) = 0.
Man stellt fest: fxy = fyx , es kommt also auf die Reihenfolge der
Differentiation hierbei nicht an.
37
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen höherer Ordnung
Satz 36 (Schwartz)
Die Funktion f sei auf der offenen Menge Df ⊂ Rn definiert und dort mögen
sämtliche partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k existieren und stetig
sein. Dann hängen die partiellen Ableitungen der Ordnung m ≤ k nicht von
der Reihenfolge der Differentiation ab.
38
Partielle Ableitungen
Parameterintegrale
Satz 37 (Leibnizsche Regel)
Sei D = {(x, t) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, α ≤ t ≤ β} und g eine auf D definierte
stetige Funktion, gx auf D stetig. Ferner seien u und v auf [a, b] stetig
differenzierbare Funktionen und für alle x ∈ [a, b] sei α ≤ u(x) ≤ β und
α ≤ v (x) ≤ β. Dann wird durch
Z
v (x)
f (x) =
g (x, t) dt
(1)
u(x)
eine auf [a, b] differenzierbare Funktion definiert. Weiterhin gilt:
0
Z
v (x)
f (x) =
gx (x, t) dt + g (x, v (x)) · v 0 (x) − g (x, u(x)) · u 0 (x),
x ∈ [a, b].
u(x)
Man sagt, das Integral (1) hängt vom Parameter x ab.
39
Partielle Ableitungen
Parameterintegrale
Spezialfälle
1. u(x) = c und v (x) = d (beide konstant):
Z d
Z d
d
g (x, t) dt =
gx (x, t) dt
dx c
c
2. u(x) = c konstant und v (x) = x:
Z x
Z x
d
g (x, t) dt =
gx (x, t) dt + g (x, x).
dx c
c
3. u, v wie bei (2) und g unabhängig von x : g (x, t) = f (t):
Z x
d
f (t) dt = f (x).
dx c
Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
40
Partielle Ableitungen
Parameterintegrale
Beispiel 38
2
Es sei g (x, t) = e(x−t) , u(x) = x und v (x) = x 2 .
Bemerkung: Die Funktion g ist nicht elementar integrierbar.
Wir definieren die Funktion f durch
Z v (x)
Z x2
2
g (x, t) dt =
e(x−t) dt.
f (x) =
x
u(x)
Dann gilt:
x2
Z
0
2
2(x − t)e(x−t) dt + e(x−x
f (x) =
2 )2
2x − 1
x
= −e
t=x 2
(x−t)2 + 2xe(x−x
t=x
(x−x 2 )2
= (2x − 1)e
2 )2
−1
.
41
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Kettenregel
Wir setzen stets voraus: Df ⊂ Rn ist offen, fxi existiert und ist stetig,
i = 1, . . . , n.
Satz 39
1. v1 , . . . , vn seien auf dem Intervall (a, b) ⊂ R definierte und
differenzierbare Funktionen und für alle t ∈ (a, b) sei
(v1 (t), . . . , vn (t)) ∈ Df . Dann ist die Funktion
g (t) = f (v1 (t), . . . , vn (t))
auf (a, b) differenzierbar mit
0
g (t) =
n
X
fxi (v1 (t), . . . , vn (t))vi0 (t),
t ∈ (a, b)
i=1
42
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Kettenregel
Satz 39 (Fortsetzung)
2. v1 , . . . , vn seien auf der offenen Menge M ⊂ Rk definierte und partiell
stetig differenzierbare Funktionen und für alle (t1 , . . . , tk ) = P ∈ M sei
(v1 (P), . . . vn (P)) ∈ Df . Dann ist die Funktion
h(P) = f (v1 (P), . . . , vn (P))
nach tj , j = 1, . . . , k, auf M differenzierbar und es gilt
n
X
∂h
∂vi
(P) =
fxi (v1 (P), . . . , vn (P))
(P),
∂tj
∂tj
P ∈ M.
i=1
43
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Kettenregel
Merkregel
n
X ∂f dxi
df
=
·
,
dt
∂xi dt
t ∈ (a, b)
∂f
=
∂tj
j = 1, . . . , k,
i=1
n
X
i=1
∂f ∂xi
·
,
∂xi ∂tj
(t1 , . . . , tn ) ∈ M ⊂ Rn
44
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Kettenregel
Beispiel 40
Gegeben sei f (x, y ); v1 (t) = t 2 und v2 (t) = t 3 .
Wir definieren die Funktion g durch g (t) = f (t 2 , t 3 ).
Dann gilt:
g 0 (t) = fx (t 2 , t 3 )2t + fy (t 2 , t 3 )3t 2 .
Beispiel 41
Gegeben sei f (x, y ); v1 (t1 , t2 ) = t1 + t2 und v2 (t1 , t2 ) = t1 t2 .
Wir definieren die Funktion h durch h(t1 , t2 ) = f (t1 + t2 , t1 t2 ).
Dann gilt:
∂h
= fx (t1 + t2 , t1 t2 ) · 1 + fy (t1 + t2 , t1 t2 )t2
∂t1
∂h
= fx (t1 + t2 , t1 t2 ) · 1 + fy (t1 + t2 , t1 t2 )t1 .
∂t2
45
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Richtungsableitung
Gegeben seien eine Funktion f : Rn → R, ein Punkt P0 = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn
und ein Vektor at = (a1 , . . . , an ).
Die Parameterdarstellung der Geraden mit der Richtung at, die durch den
Punkt P0 geht, lautet:
P0 + t at = (x1 + ta1 , . . . , xn + tan ), t ∈ R.
Für t = 0 erhalten wir den Punkt P0 . (Bild)
Wir betrachten f nur entlang dieser Geraden und definieren die Funktion g
von einer Variablen durch
g (t) := f (x1 + ta1 , . . . , xn + tan ), t ∈ R.
Definition 42
Unter der Richtungsableitung von f im Punkt P0 in Richtung at mit
|at| = 1 versteht man die Zahl g 0 (0).
∂f
Schreibweise:
(P0 )
∂ at
46
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Richtungsableitung
Bemerkung
Nach der Kettenregel gilt:
g 0 (t) = fx1 (x1 + ta1 , . . . , xn + tan )a1 + · · · + fxn (x1 + ta1 , . . . , xn + tan )an
∂f
=⇒
(P0 ) = fx1 (P0 )a1 + · · · + fxn (P0 )an , (at Einheitsvektor!).
∂ at
Ist ein beliebiger Richtungsvektor at 6= 0 gegeben, so ersetzen wir at durch
at/|at| und erhalten:
∂f
(P0 ) = (fx1 (P0 )a1 + · · · + fxn (P0 )an )/|at|.
∂ at
47
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Richtungsableitung
Beispiele 43
1. Für den Einheitsvektor at = (1, 0, . . . , 0) erhält man ∂f
∂ at (P) = fx1 (P).
2. Für f (x, y ) = xy + x 2 und P0 = (1, 2) gilt:
fx (x, y ) = y + 2x, fy (x, y ) = x;
fx (1, 2) = 4, fy (1, 2) = 1;
√1
at = (1, 1) : ∂f
∂ at (P) = 2 [4 · 1 + 1 · 1] = 3,5355...;
at = (5, 1) :
∂f
∂ at (P)
=
√1 [4
26
· 5 + 1 · 1] = 4,1184...;
48
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Gradient
Definition 44
Sei f eine Funktion von n Variablen. Der Vektor
(fx1 (P), . . . , fxn (P))T
heißt der Gradient von f im Punkt P.
Bezeichnung: grad f (P).
Bemerkung
Aus der Definition der Richtungsableitung folgt, dass
∂f
1
(P) =
· at · grad f (P),
∂ at
|at|
at 6= t
0.
49
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Gradient
Satz 45
1. Der Vektor grad f (P) zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von
f im Punkt P.
2. Der Vektor − grad f (P) zeigt in die Richtung des stärksten Gefälles.
3. | grad f (P)| ist der größte Anstieg von f in P.
50
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Gradient
Beispiel 46
In jedem Körper, in dem kein Temperaturgleichgewicht herrscht, treten
Wärmeströmungen auf. Der Wärmefluß im Punkt P des Körpers wird durch
einen Vektor qt(P) beschrieben, dessen Richtung die der Wärmeströmung
und dessen Länge deren Intensität angibt.
Es sei T (P) die Temperatur des Körpers im Punkt P.
Es zeigt sich, dass:
1. Der Wärmefluß in P hat die Richtung des stärksten Gefälles der
Temperatur in P (vom Wärmeren zum Kälteren).
2. Die Stärke des Wärmeflusses ist proportional zum Temperaturgefälle.
Der Vektor vt = − grad T (P) hat diese zwei Eigenschaften =⇒
Grundgesetz der Wärmeleitung : qt(P) = −λ(P) · grad T (P)
wobei die Zahl λ(P) > 0 vom Zustand des Körpers in P abhängt und
innere Wärmeleitfähigkeit genannt wird.
51
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Gradient
Einige Bezeichnungen
Mit ∇ (Nabla-Operator) bezeichnen wir den formalen Ausdruck
∇=
∂
∂
,...,
∂x1
∂xn
T
.
Ist f (x1 , . . . , xn ) eine Funktion, für die alle partiellen Ableitungen existieren,
so sei
T
∂f
∂f
∇f (P) =
(P), . . . ,
(P)
∂x1
∂xn
52
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Gradient
Bemerkung
Es gilt:
grad f = ∇f
(formale Multiplikation des Vektors“ ∇ mit dem Skalar f ).
”
Mit ∇ rechnet man ähnlich wie mit einem Vektor, einige Formeln lassen sich
mit diesem Operator übersichtlich darstellen.
Sei z. B. h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn . Dann ist
∂
∂
(h · ∇)f (P) = h1
+ · · · + hn
f (P) = h1 fx1 (P) + · · · + hn fxn (P)
∂x1
∂xn
das sog. Differential von f im Punkt P zum Zuwachs h (wird in einem
eigenen Abschnitt behandelt).
53
Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Gradient
Bemerkung (Fortsetzung)
Weitere Beispiele:
2
n
X
∂
∂
2
f (P) =
hi hj fxi xj (P)
(h · ∇) f (P) = h1
+ · · · + hn
∂x1
∂xn
i,j=1
oder
∂2f
∂2f
∇ · ∇f =
+ ··· + 2
∂xn
∂x12
∇ · ∇ wird auch mit ∆ bezeichnet und heißt Laplace Operator.
54
Vollständiges Differential, Anwendungen
Definition und Beispiele
In diesem Abschnitt setzen wir stets voraus:
Df ⊂ Rn ist offen; fxi existiert und ist stetig für i = 1, . . . , n.
Spezialfall n = 1
Im Abschnitt über Fehlerrechnung haben wir gesehen:
f (x + h) − f (x) ≈ f 0 (x)h,
wenn h hinreichend klein ist
Die Größe f 0 (x)h heißt Differential der Funktion f an der Stelle x zum
Zuwachs h.
Beispiel: Für f (h) = sin h und x = 0 ist f 0 (0) = cos 0 = 1 und folglich
sin h ≈ h.
Jetzt werden wir für beliebiges n die Differenz
f (x1 + h1 , . . . , xn + hn ) − f (x1 , . . . , xn )
abschätzen, wobei hi klein ist. Den Vektor (h1 , . . . , hn ) nennt man Zuwachs.
55
Vollständiges Differential, Anwendungen
Definition und Beispiele
Definition 47
Es sei P = (x1 , . . . , xn ) ∈ Df . Man nennt
df (P) = fx1 (P)h1 + · · · + fxn (P)hn
vollständiges, oder totales Differential der Funktion f an der Stelle P
zum Zuwachs (h1 , . . . , hn ). Oft schreibt man dxi anstelle von hi :
df (P) = fx1 (P) dx1 + · · · + fxn (P) dxn .
56
Vollständiges Differential, Anwendungen
Definition und Beispiele
Näherungsformel
Sind die Zuwächse dxi hinreichend klein, so gilt:
f (x1 + dx1 , . . . , xn + dxn ) − f (x1 , . . . , xn ) ≈ df (P)
oder
f (x1 + dx1 , . . . , xn + dxn ) ≈ f (x1 , . . . , xn ) + df (P).
Beispiel 48
Das vollständige Differential der Funktion
f (x, y ) = 2x 2 + xy 2
im Punkt P = (3, −1):
fx = 4x + y 2 , fy = 2xy =⇒ df (P) = df (3, −1) = 13 dx − 6 dy .
57
Vollständiges Differential, Anwendungen
Definition und Beispiele
Beispiel 49
Man berechne näherungsweise 1,002 · 2,0032 · 3,0043 .
Lösung:
f (x, y , z) = xy 2 z 3 , x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3,
P0 := (x0 , y0 , z0 ), f (P0 ) = 1 · 22 · 33 = 108,
dx = 0,002, dy = 0,003, dz = 0,004.
f (x0 + dx,y0 + dy , z0 + dz)
≈ f (P0 ) + fx (P0 ) dx + fy (P0 ) dy + fz (P0 ) dz
= x0 y02 z03 + y02 z03 dx + 2x0 y0 z03 dy + 3x0 y02 z02 dz
= 108,972.
58
Vollständiges Differential, Anwendungen
Definition und Beispiele
Beispiel 50
p
Analog kann man näherungsweise 1,023 + 1,973 oder 0,971,05 berechnen.
Man betrachtet dazu
p
f (x, y ) = x 3 + y 3 , x0 = 1, y0 = 2
bzw.
f (x, y ) = x y , x0 = 1 = y0 = 1
59
Vollständiges Differential, Anwendungen
Tangentialebene
Zur Erinnerung: Ist f eine Funktion von einer Variablen, so ist die Gleichung
der Tangente im Punkt (x0 , f (x0 )) gegeben durch
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
Definition 51
Sei f : Df → R eine Funktion von zwei Variablen und P0 = (x0 , y0 ) ∈ Df .
Die Ebene E mit der Gleichung
z = f (P0 ) + fx (P0 )(x − x0 ) + fy (P0 )(y − y0 )
heißt die Tangentialebene an die durch z = f (x, y ) definierte Fläche im
Flächenpunkt (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
| {z }
z0
60
Vollständiges Differential, Anwendungen
Tangentialebene
Bemerkung
Die Tangentialebene geht durch den Punkt (x0 , y0 , z0 ), wobei z0 = f (x0 , y0 ),
und besitzt die folgende Eigenschaft:
Jede zur x, y -Ebene senkrechte Ebene S durch den Punkt (x0 , y0 , z0 )
schneidet die Tangentialebene E in einer Geraden, die Tangente an die
Schnittkurve von S mit der Fläche ist.
Man nehme z. B. die Ebenen x = x0 oder y = y0 .
Beispiel 52
Die Gleichung der Tangentialebene an die durch z = f (x, y ) = 2x 2 + xy 2
definierte Fläche im Flächenpunkt (3, −1, 21) ist zu berechnen.
Lösung:
fx (x, y ) = 4x + y 2 , fy (x, y ) = 2xy =⇒ fx (3, −1) = 13, fy (3, −1) = −6
Folglich lautet die Gleichung der Tangentialebene:
z = 21 + 13(x − 3) − 6(y + 1) = 13x − 6y − 24.
61
Vollständiges Differential, Anwendungen
Tangentialebene
Fläche in impliziter Form
Oft ist eine Fläche in der impliziten Form
F (x, y , z) = 0
gegeben. Zum Beispiel die Kugeloberfläche mit Radius 1 und Mittelpunkt
(0, 0, 0):
F (x, y , z) := x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0.
Dann lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (x0 , y0 , z0 ):
(x − x0 )Fx (x0 , y0 , z0 ) + (y − y0 )Fy (x0 , y0 , z0 ) + (z − z0 )Fz (x0 , y0 , z0 ) = 0.
62
Vollständiges Differential, Anwendungen
Tangentialebene
Beispiel 53
Sei F wie zuvor. Dann lautet die Gleichung der Tangentialebene:
2x0 (x − x0 ) + 2y0 (y − y0 ) + 2z0 (z − z0 ) = 0.
Speziell im Punkt x0 = 1, y0 = z0 = 0 wird daraus 2(x − 1) = 0, also die
Ebene x = 1.
Fläche in Parameterdarstellung
Sei die Fläche durch die Parameterdarstellung
rt(t, s) = (x(t, s), y (t, s), z(t, s))T ,
(t, s) ∈ D ⊂ R2
gegeben. Dann ist nt = rtt × rts ein Normalenvektor für die Tangentialebene
im gegebenen Punkt, wobei
rtt (t, s) = (xt (t, s), yt (t, s), zt (t, s))T ,
rts (t, s) = (xs (t, s), ys (t, s), zs (t, s))T .
63
Vollständiges Differential, Anwendungen
Differentialform
Definition 54
Es seien Q1 , . . . , Qn auf der offenen Menge D ⊂ Rn definierte stetige
Funktionen. Dann heißt der Ausdruck
Q1 (x1 , . . . , xn ) dx1 + · · · + Qn (x1 , . . . , xn ) dxn
eine Differentialform.
Ein vollständiges Differential ist zum Beispiel eine Differentialform.
Eine wichtige Frage:
Unter welchen Bedingungen an Qi ist eine Differentialform vollständiges
Differential einer Funktion f , das heißt, wann gilt
Q1 = fx1 , . . . , Qn = fxn ?
64
Vollständiges Differential, Anwendungen
Differentialform
Beispiel aus der Physik:
Welche Größen sind Zustandsgrößen, d. h., welche Größen hängen nur vom
Zustand etwa eines Gases ab, nicht aber von der Art und Weise, wie dieser
Zustand erreicht wurde?
Beispiele für Zustandsgrößen: Energie, Masse, Temperatur, Druck,. . .
Satz 55
Wenn die auf der offenen Menge D ⊂ Rn definierten Funktionen Q1 , . . . , Qn
stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung besitzen, so ist
Q1 (x1 , . . . , xn ) dx1 + · · · + Qn (x1 , . . . , xn ) dxn
genau dann vollständiges Differential wenn
∂Qj
∂Qi
=
für alle i, j = 1, . . . , n erfüllt ist.
∂xj
∂xi
65
Vollständiges Differential, Anwendungen
Differentialform
Beispiel 56
Die Differentialform (y + cos x) dx + (x + 2y ) dy
| {z }
| {z }
P
Q
R2
ist vollständiges Differential einer auf
definierten Funktion f , da
Py (x, y ) = Qx (x, y ) = 1 ist.
Bestimmung von f :
fx (x, y ) = y + cos x;
fy (x, y ) = x + 2y .
Erste Gleichung, Integration nach x, d. h., Bestimmung einer
Stammfunktion bezüglich x:
f (x, y ) = xy + sin x + g (y ) =⇒
fy (x, y ) = x + g 0 (y ), in die zweite Gleichung einsetzen:
x + 2y = x + g 0 (y ) =⇒ g 0 (y ) = 2y .
Also g (y ) = y 2 + c, c ∈ R =⇒ f (x, y ) = xy + sin x + y 2 + c.
66
Vollständiges Differential, Anwendungen
Differentialform
Beispiel 57
Die Differentialform 2xy dx + y dy ist kein vollständiges Differential, da
Py (x, y ) = 2x, Qx = 0.
67
Mehrfache Integrale
Doppelintegral
In diesem Abschnitt wird der Begriff des bestimmtes Integrals auf
Funktionen mehrerer Variablen übertragen.
Volumenberechnung
Es sei G ⊂ R2 eine beschränkte, abgeschlossene Menge und f eine auf G
definierte beschränkte Funktion. Wir gehen von folgendem Problem aus, das
dem Flächeninhaltsproblem entspricht:
Es sei f (P) ≥ 0 für alle P ∈ G . Wir wollen das Volumen desjenigen Körpers
bestimmen, der durch die Menge
{(x, y , z) ∈ R3 : (x, y ) ∈ G , 0 ≤ z ≤ f (x, y )}
beschrieben ist /Bild/.
Wir werden analog zur Flächenberechnung vorgehen. Wir zerlegen G in
Teilbereiche g1 , . . . , gn und berechnen als Näherung für das gesuchte
Volumen die Summe der Volumina der Säulen“ /Bild/.
”
68
Mehrfache Integrale
Doppelintegral
Volumenberechnung: Fortsetzung
Genauer:
1. Z sei eine Zerlegung von G in n Teilmengen g1 , . . . , gn mit:
(a)
(b)
(c)
(d)
Jede Teilmenge gi hat einen Flächeninhalt ∆gi .
Die Vereinigung aller gi ist G .
Die gi sind disjunkt.
Bezeichne
δi = sup{|P − Q| : P, Q ∈ gi }
den Durchmesser von gi und sei
∆(Z ) = max{δi : i = 1, . . . , n}
das Feinheitsmaß der Zerlegung Z .
2. (a) In jeder Menge gi wird ein Zwischenpunkt“ Pi ∈ gi gewählt und das
”
Produkt f (Pi )∆gi gebildet (Volumen der Säule“).
”
69
Mehrfache Integrale
Doppelintegral
Volumenberechnung: Fortsetzung
(b) Als Näherung für das gesuchte Volumen wird die Zwischensumme
S(Z ) =
n
X
f (Pi )∆gi
i=1
gebildet.
Definition 58
Die Funktion f heißt über G integrierbar, wenn es eine Zahl I gibt, so daß
lim
S(Z ) = I .
∆(Z )→0
Die Zahl I nennt man das Integral von f über G , die Menge G heißt
Integrationsbereich.
70
Mehrfache Integrale
Doppelintegral
Schreibweise für das Integral:
Z
f dP oder
G
ZZ
f (x, y ) d(x, y ).
G
Sprechweise: Doppelintegral, zweifaches Integral, Bereichsintegral,
Gebietsintegral.
Bemerkung 59
Aus der Definition folgt, dass
R
G
1 dP gleich dem Flächeninhalt von G ist.
Satz 60
1. Die Eigenschaften des Riemann-Integrals aus dem Abschnitt
Bestimmte Integrale bleiben auch für Doppelintegrale gültig, wenn
man [a, b] durch G und b − a durch den Flächeninhalt von G ersetzt.
2. Jede stetige Funktion auf G ist integrierbar.
71
Mehrfache Integrale
Berechnungsformeln
Um Formel zur Berechnung des Integrals über G zu erhalten, werden wir
uns auf gewisse einfache Integrationsbereiche beschränken.
Definition 61
g und h seien auf [a, b] definierte stetige Funktionen, für die gilt:
g (x) ≤ h(x), x ∈ [a, b]. Dann heißt jede der Mengen
G1 = {(x, y ) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ h(x)}
G2 = {(x, y ) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, g (y ) ≤ x ≤ h(y )}
ein Normalbereich in der Ebene.
72
Mehrfache Integrale
Berechnungsformeln
Beispiele 62
1. h(x) =
x2
4 ,
g (x) = − sin x, [a, b] = [0, 2].
G1 = {(x, y ) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, − sin x ≤ y ≤ x 2 /4}
G2 = {(x, y ) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 2, − sin y ≤ x ≤ y 2 /4}
/Bild/
2. Der Kreis K mit dem Mittelpunkt (0, 0) und dem Radius 2 /Bild/ ist
ein Normalbereich, da
p
p
2
2
K = {(x, y ) ∈ R : −2 ≤ x ≤ 2, − 4 − x ≤ y ≤ 4 − x 2 }.
73
Mehrfache Integrale
Berechnungsformeln
Satz 63
Mit den Bezeichnungen aus obiger Definition gilt:
Z
Z "Z
b
h(x)
f dP =
G1
f (x, y ) dy
a
Z
Z
b
"Z
#
h(y )
f (x, y ) dx
a
dx
g (x)
f dP =
G2
#
dy .
g (y )
Bemerkung
1. Die Klammern um das innere Integral werden meistens weggelassen.
2. Die Berechnung erfolgt folgendermaßen: Man integriert f nach y
(oder nach x), d. h., man betrachtet x bezüglich dieser Integration als
Konstante. Das dann entstandene Integral ist ein gewöhnliches Integral
74
für eine Funktion einer Variablen.
Mehrfache Integrale
Berechnungsformeln
Beispiel 64
Es sei G = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1, −x ≤ y ≤ x 2 } und f (x, y ) = x.
Dann erhält man
Z
Z 1 Z x2
Z 1
Z 1
x2
f dP =
xy |y =−x dx =
x 3 + x 2 dx
x dy dx =
G
−x
0
0
0
1
x 4 x 3 1 1
7
=
+ = + = .
4
3 0 4 3
12
75
Mehrfache Integrale
Berechnungsformeln
Bemerkung
Ist der Integrationsbereich G ein Rechteck, also alle vier Integrationsgrenzen
konstant, so kommt es auf die Reihenfolge der Integrationen nicht an:
Z
d
Z
b
Z
b
Z
f (x, y ) dx dy =
c
a
d
f (x, y ) dy dx
a
c
Es kann aber sein, dass man zuerst nach x integriert und dann nach y ,
während es umgekehrt nicht möglich ist.
Zum Beispiel:
Z 2π Z 1
Z 1 Z 2π
2
2
ex sin y dx dy =
ex sin y dy dx
0
0
0
0
Z 1
2
=−
ex (cos 2π − cos 0) dx = 0.
0
76
Mehrfache Integrale
Substitution mit Polarkoordinaten
Substitution
Für Funktionen zweier Variablen werden Substitutionen durch ein Paar von
Gleichungen beschrieben:
x = x(u, v ),
y = y (u, v ).
Wir betrachten den wichtigen Spezialfall von Polarkoordinaten
x = x(r , ϕ) = r cos ϕ,
y = y (r , ϕ) = r sin ϕ,
durch die zum Beispiel Kreise und Ringe einfach zu beschreiben sind.
77
Mehrfache Integrale
Substitution mit Polarkoordinaten
Satz 65
Die Funktion f sei auf der abgeschlossenen Menge G ⊂ R2 stetig, g und h
seien auf [a, b] definierte stetige Funktionen, für alle t ∈ [a, b] sei
0 ≤ g (t) ≤ h(t) ≤ 2π.
1. Wenn G in Polarkoordinaten durch die Ungleichungen 0 ≤ a ≤ r ≤ b
und g (r ) ≤ ϕ ≤ h(r ) beschrieben wird, so gilt
Z
Z b Z h(r )
f (x, y ) d(x, y ) =
f (r cos ϕ, r sin ϕ) · r dϕ dr .
G
a
g (r )
2. Wenn G in Polarkoordinaten durch die Ungleichungen
0 ≤ a ≤ ϕ ≤ b ≤ 2π und 0 ≤ g (ϕ) ≤ r ≤ h(ϕ) beschrieben wird, so
gilt
Z
Z b Z h(ϕ)
f (x, y ) d(x, y ) =
f (r cos ϕ, r sin ϕ) · r dr dϕ.
G
a
g (ϕ)
78
Mehrfache Integrale
Substitution mit Polarkoordinaten
Bemerkung
Der Ausdruck r dr dϕ ist hier für dP einzusetzen, die Grenzen sind die von
G in Polarkoordinaten. Mann nennt r dr dϕ das Flächenelement in
Polarkoordinaten.
Beispiel 66
Wir betrachten die Menge
G : 1 ≤ r ≤ 2, (r − 1)π ≤ ϕ ≤ r π
und wollen den Inhalt F von G berechnen. /Bild/
Z
Z
2 Z rπ
1 dP =
F =
G
Z
r dϕ dr = π
(r −1)π
1
1
2
3
r dr = π.
2
79
Mehrfache Integrale
Dreifache Integrale
Einführung von Doppelintegralen: geometrisch anschaulich (Volumen).
Bei den dreifachen Integralen geht das nicht mehr; man kann jedoch die
Definition des Doppelintegrals fast wörtlich übernehmen.
Definition 67
Es sei G ⊂ R3 eine beschränkte, abgeschlossene Menge und f eine auf G
definierte beschränkte Funktion. Wir zerlegen G in Teilmengen g1 , . . . , gn ,
die die selben Eigenschaften wie bei der Definition des Doppelintegrals
haben, Flächeninhalt ist dabei durch Rauminhalt zu ersetzen. Die Definition
wird nun wörtlich übernommen, R2 wird dabei durch R3 ersetzt.
Es ist üblich die Menge G mit K (Körper) oder V (Volumen) zu bezeichnen.
Bemerkung 68
Aus der Definition folgt, dass
ist.
R
K
1 dP gleich dem Volumen des Körpers K
80
Mehrfache Integrale
Dreifache Integrale
Um zu Berechnungsformeln zu gelangen, werden wir uns auf gewisse
einfache Bereiche K ⊂ R3 beschränken.
Definition 69
Es seien f1 und f2 in [a, b] ⊂ R und g1 und g2 in
G = {(x, y ) ∈ R2 : x ∈ [a, b], f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)}
stetige Funktionen. Dann heißt die Menge K =
{(x, y , z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x), g1 (x, y ) ≤ z ≤ g2 (x, y )}
ein Normalbereich in R3 . /Bild/.
Vertauscht man x, y , z untereinander, so entstehen weitere Mengen, die
man auch Normalbereiche nennt (6 Möglichkeiten).
81
Mehrfache Integrale
Dreifache Integrale
Satz 70
Die Funktion f sei auf dem Normalbereich K in der vorhergehenden
Definition stetig. Dann ist f über K integrierbar, und es gilt:
Z
Z
b
Z
f2 (x) Z g2 (x,y )
f (P) dP =
K
f (x, y , z) dz dy dx.
a
f1 (x)
g1 (x,y )
Sind alle Integrationsgrenzen konstant, so kommt es auf die Reihenfolge der
Integrationen nicht an.
82
Mehrfache Integrale
Dreifache Integrale
Beispiel 71
Gegeben seien
K = {(x, y , z) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x + y + 1}
und f (x, y , z) = 2xz + y 2 . Dann ist
2Z x
Z
0
0
Z
2
x
Z
Z
f (P) dP =
K
Z
=
0
Z
0
2Z x
=
0
x+y +1
(2xz + y 2 ) dz dy dx
0
z2
2x + y 2 z
2
z=x+y +1
dy dx
z=0
x(x + y + 1)2 + y 2 (x + y + 1) dy dx
0
83
Mehrfache Integrale
Dreifache Integrale
Beispiel 71 (Fortsetzung)
Z
2Z x
=
0
Z
=
0
x 3 + 2x 2 y + 2x 2 + xy 2 + 2xy + x + y 2 x + y 3 + y 2 dy dx
0
2
x4
x4 x4 x3
104
2
4
3
3
x +
+ x + x + 2x + x +
+
+
dx =
.
3
3
4
3
3
4
84
Mehrfache Integrale
Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten
Berechnung des Integrals
Z
ZZZ
f (P) dP =
f (x, y , z) d(x, y , z)
K
K
mit Hilfe von Substitution.
Zylinderkoordinaten (r , ϕ, z)
Substitution:
1. x −
7 → r cos ϕ,
y−
7 → r sin ϕ;
2. dx dy dz 7−→ r dr dϕ dz;
3. neue Grenzen.
85
Mehrfache Integrale
Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten
Beispiel 72
Das schraffierte Flächenstück rotiere um die z-Achse /Bild/,
der entstehendeR Körper sei K .
Man berechne K f (P) dP für f (x, y , z) = x 2 + y 2 .
Lösung: In Zylinderkoordinaten wird der Körper K durch die Ungleichungen
√
0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, r ≤ z ≤ 1
beschrieben. Weiterhin ist f (x, y , z) = r 2 . Wir erhalten:
Z
Z
1 Z 2π
f (P) dP =
K
0
Z
=
0
0
1
√
0
1Z
Z
r 2 r dz dϕ dr
r
2π
r 3 (1 −
√
r ) dϕ dr =
1
π.
18
86
Mehrfache Integrale
Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten
Beispiel 72 (Fortsetzung)
Man kann auch ein anderes System von Ungleichungen benutzen:
0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ r ≤ z 2 .
Man erhält dann
Z
Z
2π
Z
1 Z z2
f (P) dP =
K
0
Z
0
2π
Z
=
0
0
r 2 r dr dz dϕ
0
1
1 8
1
z dz dϕ = π.
4
18
87
Mehrfache Integrale
Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten: (r , ϕ, η)
Substitution:
1. x −
7 → r cos ϕ sin η,
y−
7 → r sin ϕ sin η,
z 7−→ r cos η;
2. dP 7−→ r 2 sin η dϕ dη dr ;
3. neue Grenzen.
Beispiel 73
Es sei K die obere Hälfte der Kugel vom Radius R mit dem Mittelpunkt
(0, 0, 0) und f (x, y , z) = x 2 + y 2 − xz. Man berechne das Integral von f
über K .
88
Mehrfache Integrale
Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten
Beispiel 73 (Fortsetzung)
Lösung: Wir verwenden Kugelkoordinaten. Dann ist
f (x, y , z) = r 2 sin2 η − r 2 cos ϕ sin η cos η
dP = r 2 sin η dϕ dη dr
1
K : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ η ≤ π, 0 ≤ r ≤ R =⇒
2
Z
Z π/2 Z 2π Z R
f (P) dP =
(r 2 sin2 η − r 2 cos ϕ sin η cos η)r 2 sin η dr dϕ dη
K
0
1
= R5
5
Z
0
0
Z
π/2
2π
0
1
= R 5 2π
5
Z
sin3 η − cos ϕ sin2 η cos η dϕ dη
0
π/2
sin3 η dη = /part. Int./ =
0
4
πR 5 .
15
89
Anwendungen dreifacher Integrale
Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment
Im folgenden sei:
K ⊂ R3 ein Körper;
ρ(P) die Massendichte im Punkt P ∈ K .
Ist ρ konstant, so heißt der Körper homogen.
Im Rahmen der Statik und Dynamik solcher Körper sind insbesondere
folgende Größen vom Interesse:
I
Volumen,
I
Gesamtmasse,
I
Schwerpunkt,
I
Trägheitsmoment in Bezug auf eine gegebene Drehachse.
90
Anwendungen dreifacher Integrale
Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment
Satz 74
Ein Körper K mit der Massendichte ρ hat das Volumen
Z
Z
V =
1 dP, die Masse M =
ρ(P) dP
K
K
den Schwerpunkt (xs , ys , zs ) mit
ZZZ
1
xs =
x · ρ(x, y , z) d(x, y , z)
M
Z Z ZK
1
ys =
y · ρ(x, y , z) d(x, y , z),
M
K
ZZZ
1
zs =
z · ρ(x, y , z) d(x, y , z).
M
K
91
Anwendungen dreifacher Integrale
Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment
Satz 74 (Fortsetzung)
Das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse als Drehachse
ZZZ
θ=
(x 2 + y 2 ) · ρ(x, y , z) d(x, y , z).
K
Für eine beliebige Drehachse gilt:
Z
θ=
a2 (P) · ρ(P) dP
K
wobei a(P) den Abstand von P von der Drehachse bezeichnet.
Analoge Formeln gelten auch für R2 .
92
Anwendungen dreifacher Integrale
Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment
Herleitung der letzten Formel
Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes mit der Masse m im Abstand a
von der Drehachse ist nach Definition die Zahl a2 m.
Es seien:
Z : eine Zerlegung von K in Teilmengen ki ;
Pi ∈ ki beliebig;
∆ki : das Volumen von ki ;
mi : die Masse von ki .
93
Anwendungen dreifacher Integrale
Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment
Herleitung der letzten Formel 74 (Fortsetzung)
Näherung für das Trägheitsmoment des Teiles ki :
a(Pi )2 mi .
Näherung für mi : ρ(Pi )∆ki .
Näherung für θ:
S(Z ) =
n
X
a(Pi )2 ρ(Pi )∆ki
i=1
Grenzwert:
Z
θ = lim S(Z ) =
∆Z →0
a(P)2 ρ(P) d(P).
K
94
Anwendungen dreifacher Integrale
Beispiele
Beispiel 75
Es ist der Schwerpunkt des Kegels K /Bild/ zu berechnen,
die Massendichte ρ sei überall gleich 1.
Beschreibung von K in Zylinderkoordinaten (siehe den Abschnitt zu den
Zylinderkoordinaten):
0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π,
h
r ≤ z ≤ h.
R
Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt auf der Kegelachse, d. h.,
xs = ys = 0.
95
Anwendungen dreifacher Integrale
Beispiele
Beispiel 75 (Fortsetzung)
Weiterhin ist
Z 2π Z R Z h
1
z dP =
zr dz dr dϕ
M
K
0
0
hr /R
Z R
π
h2 2
π
1
2
h − 2 r r dr = h2 R 2
=
M 0
R
4
M
1
zs =
M
Z
wobei M = π3 R 2 h wegen ρ = 1 die Masse (Volumen) des Kegels ist.
Daher folgt:
3
zs = h.
4
96
Anwendungen dreifacher Integrale
Beispiele
Beispiel 76
Das Trägheitsmoment eines homogenen Quaders bezüglich einer durch
seinen Mittelpunkt gehenden kantenparallelen Achse. /Bild/
ZZZ
θ=
(x 2 + y 2 )ρ d(x, y , z).
K
a
a
b
b
c
c
K : − ≤ x ≤ , − ≤ y ≤ , − ≤ z ≤ =⇒
2
2
2
2
2
2
Z a/2 Z b/2 Z c/2
1
θ=
(x 2 + y 2 )ρ dz dy dx = abc(a2 + b 2 )ρ.
12
−a/2 −b/2 −c/2
97
Skalar- und Vektorfelder
Definition und Beispiele
Definition 77
Es sei D ⊂ R3 .
Eine Abbildung vt, die jedem Punkt P = (x, y , z) ∈ D einen
dreidimensionalen Vektor
vt(P) = vt(x, y , z) = (v1 (x, y , z), v2 (x, y , z), v3 (x, y , z))T
zuordnet, heißt ein (räumliches) Vektorfeld auf D.
Eine Abbildung F , die jedem Punkt P ∈ D eine reelle Zahl F (P) zuordnet,
heißt ein (räumliches) Skalarfeld auf D.
Ist D ⊂ R2 und sind die Vektoren vt(P) zweidimensional,
vt(P) = vt(x, y ) = (v1 (x, y ), v2 (x, y ))T
so spricht man von einem ebenen Vektorfeld, bzw. von einem ebenen
Skalarfeld.
98
Skalar- und Vektorfelder
Definition und Beispiele
Beispiele 78 (skalare Felder)
I
Temperaturverteilung
I
elektrostatisches Potential
I
Dichteverteilung
I
Betrag eines Vektorfeldes vt: F (P) = |vt(P)|
Beispiele 79 (Vektorfelder)
I
Gravitationsfeld
I
elektrisches Feld
I
magnetisches Feld
I
Geschwindigkeitsfeld
I
Gradient eines Skalarfeldes F : vt = grad F = (Fx , Fy , Fz )T
99
Skalar- und Vektorfelder
Definition und Beispiele
Bemerkung
Man skizziert den Pfeil des Vektors vt(P) so, dass sein Anfangspunkt in P
liegt – ausgehend von der Vorstellung der in P herrschenden Kraft.
Beispiel 80
Das durch
vt(x, y ) =
x
y
p
, p
( x 2 + y 2 )3 ( x 2 + y 2 )3
!T
definierte
p ebene Vektorfeld soll skizziert werden.
r = x 2 + y 2 ist der Abstand des Punktes P = (x, y ) von (0, 0) =⇒
vt(x, y ) = r −3 · (x, y ).
100
Skalar- und Vektorfelder
Definition und Beispiele
Beispiel 80 (Fortsetzung)
Der Vektor vt(x, y ) hat daher dieselbe Richtung wie der Ortsvektor des
Punktes (x, y ).
p
Die Länge des Pfeiles: |vt(x, y )| = r −3 x 2 + y 2 = r −2 . /Bild/
Beispiel 81
Ein Gas oder eine Flüssigkeit durchströme ein Rohr. Jedem Punkt P wird
derjenige Vektor vt(P) zugeordnet, der die Geschwindigkeit des in P
befindlichen Teilchens angibt: vt ist das sog. Strömungsfeld. Es sei z. B.
vt(x, y ) = (0, 1 − x 2 )T ,
(x, y ) ∈ D = {(x, y ) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1}.
v1 = 0 =⇒ alle Vektoren sind zur y -Achse parallel;
vt hängt nicht von y ab =⇒ die zu Punkten mit gleichem x-Wert gehörende
Vektoren sind gleich. /Bild/
101
Skalar- und Vektorfelder
Definition und Beispiele
Beispiel 81 (Fortsetzung)
Wegen der Reibung ist die Geschwindigkeit an der Wandung Null und
nimmt zur Mitte hin zu, wo sie am größten ist. Da alle Vektoren parallel
sind, spricht man von einer laminaren oder schlichten Strömung.
Anmerkung: homogene, kugelsymmetrische, zylindersymmetrische
Felder.
Beispiele aus Mathematik-Interaktiv
Geschwindigkeit eines Flußes
elektrische Feldstärke/Punktladung
elektrische Feldstärke/Zylinder
102
Skalar- und Vektorfelder
Divergenz
Sei D ⊂ R3 offen und vt = (v1 , v2 , v3 )T ein Vektorfeld auf D.
Definition 82
Das Vektorfeld vt heißt stetig, wenn v1 , v2 und v3 stetig sind.
Das Vektorfeld vt heißt partiell differenzierbar, wenn v1 , v2 und v3 partiell
differenzierbar sind.
Folgende Begriffe spielen in der Stömungs- oder Elektrizitätslehre eine große
Rolle.
Definition 83
Ist vt partiell differenzierbar, so heißt das Skalarfeld
div vt =
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
∂x
∂y
∂z
die Divergenz (Quelldichte, Ergiebigkeit) von vt.
103
Skalar- und Vektorfelder
Divergenz
Definition 83 (Fortsetzung)
Man nennt diejenigen Punkte P ∈ D, für die div vt(P) > 0 bzw.
div vt(P) < 0 gilt, die Quellen bzw. Senken des Feldes vt.
Ist div vt = 0 in D, so heißt vt ein quellenfreies Vektorfeld.
Bemerkung 84
Die Divergenz läßt sich formal als Skalarprodukt darstellen:
div vt = ∇ · vt =
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
T
· (v1 , v2 , v3 )T
104
Skalar- und Vektorfelder
Divergenz
Bemerkung 84 (Fortsetzung)
Für ein ebenes Vektorfeld vt(x, y ) = (v1 (x, y ), v2 (x, y ))T wird die Divergenz
analog definiert:
∂v1 ∂v2
div vt =
+
∂x
∂y
Beispiel 85
I
Für das Feld vt(x, y ) = (x, y )T ist div vt = 2.
I
Für vt(x, y , z) = (x, y , z)T ist div vt = 3.
105
Skalar- und Vektorfelder
Divergenz
Bemerkung 86 (physikalische Deutung)
Es sei durch
vt(x, y , z) = (0, 0, z(1 − x 2 − y 2 ))T
ein Vektorfeld auf dem (unendlich langen) Zylinder
D = {(x, y , z) : x 2 + y 2 ≤ 1}
definiert.
Wir stellen uns vor, dass der Vektor vt die Geschwindigkeit einer das Rohr
(=Zylindermantel) durchströmenden Flüssigkeit ist.
Wir denken uns einen Zylinder (Z ) in die Strömung gelegt (Bild).
Frage: Wie groß ist der Volumengewinn“ (abgeflossene - zugeflossene
”
Menge) pro Zeiteinheit?
106
Skalar- und Vektorfelder
Divergenz
Bemerkung 86 (Fortsetzung)
Antwort (ohne Herleitung): Der Volumengewinn pro Zeiteinheit ist gleich
Z
ZZZ
div vt(P) dP =
1 − x 2 − y 2 d(x, y , z)
Z
Z
Die skalare Größe div vt(P) wird daher auch als Quellstärke pro
Volumenelement bezeichnet.
Satz 87 (Rechenregeln)
I
t ) = div vt + div wt
div(vt + w
I
div(c · vt) = c · div vt,
I
c ∈R
div(F · vt) = (grad F ) · vt + F · div vt
wobei F ein differenzierbares Skalarfeld ist.
107
Skalar- und Vektorfelder
Rotation
Definition 88
Es sei vt = (v1 , v2 , v3 )T ein auf der offenen Menge D ⊂ R3 definiertes und
dort partiell differenzierbares Vektorfeld. Dann heißt das Vektorfeld
rot vt =
∂v3 ∂v2 ∂v1 ∂v3 ∂v2 ∂v1
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
T
die Rotation (oder der Rotor) von vt.
Gilt rot vt = (0, 0, 0)T in D, so heißt vt wirbelfreies Vektorfeld.
108
Skalar- und Vektorfelder
Rotation
Bemerkung 89
Die Rotation läßt sich formal als Vektorprodukt darstellen:
rot vt = ∇ × vt =
et1 et2
∂
∂
= ∂x
∂y
v
v2
1
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
et3 ∂ ∂z v T
× (v1 , v2 , v3 )T
3
109
Skalar- und Vektorfelder
Rotation
Bemerkung 90 (physikalische Deutung)
Bild aus Mathematik-Interaktiv.
Wir denken uns im Punkt P eine kleine, mit Schaufeln versehene Kugel in
die Strömung gelegt.
Die Kugel ist in P festgehalten aber frei drehbar und hat keinen Einfluß auf
die Strömung.
Frage: Wie dreht sich die Kugel?
t mit (im
Beschreibung einer Drehung um eine Achse durch einen Vektor ω
t auch):
Bild zeigt die y -Achse in die Zeichenebene, ω
I
t |: Betrag der Winkelgeschwindigkeit
|ω
I
t : Drehachse + Korkenzieherregel
Richtung von ω
t (P) sind bis auf einen konstanten positiven
rot vt(P) = −2z(y , x, 0)T und ω
Faktor gleich.
110
Skalar- und Vektorfelder
Rotation
Satz 91 (Rechenregeln)
I
t ) = rot vt + rot wt
rot(vt + w
I
rot(c · vt) = c · rot vt,
I
c ∈R
rot(F · vt) = (grad F ) × vt + F · rot vt,
wobei F ein differenzierbares Skalarfeld ist.
Beispiel 92
Bezeichne Ht das magnetische Feld eines geraden, unendlich langen, von
einem Gleichstrom durchflossenen Leiters. Wir legen das Koordinatensystem
so, dass die z-Achse mit dem Leiter zusammenfällt und ihre Richtung gleich
der Stromrichtung ist.
111
Skalar- und Vektorfelder
Rotation
Beispiel 92 (Fortsetzung)
Aus physikalischen Gesetzen folgt:
t y , z) =
H(x,
k
T
(−y
,
x,
0)
x2 + y2
wobei k eine gewisse Konstante ist. /Bild/ Es gilt:
t =p k
|H|
x2 + y2
und Ht ⊥ (x, y , z)T
Dieses Vektorfeld ist quellenfrei, da
∂v1
2xy
=k 2
,
∂x
(x + y 2 )2
∂v2
2xy
= −k 2
,
∂y
(x + y 2 )2
∂v3
=0
∂z
112
Skalar- und Vektorfelder
Rotation
Beispiel 92 (Fortsetzung)
und wirbelfrei, da
∂v1
y2 − x2
∂v2
=k 2
=
.
∂y
(x + y 2 )2
∂x
113
Skalar- und Vektorfelder
Rotation
Beispiel 93
Das Vektorfeld
vt(x, y , z) = (x 2 + xyz, y 2 − x 2 , x + y sin z)T
ist weder quellen- noch wirbelfrei:
div vt = 2x + yz + 2y + y cos z
und
et1
∂
rot vt = ∂x
x 2 + xyz
et2
∂
∂y
y2 − x2
et3
∂
= (sin z, xy − 1, −2x − xz)T .
∂z
x + y sin z 114
Skalar- und Vektorfelder
Weitere Eigenschaften
Satz 94
Ein Vektorfeld vt ist genau dann quellenfrei, wenn es sich als Rotation eines
t darstellen läßt:
Vektorfeldes w
t.
div vt = 0 ⇐⇒ vt = rot w
t heißt Vektorpotential (und ist bis auf den Gradienten einer skalaren
w
Funktion eindeutig bestimmt).
115
Skalar- und Vektorfelder
Weitere Eigenschaften
Satz 94 (Fortsetzung)
Ein Vektorfeld vt ist genau dann wirbelfrei, wenn es sich als Gradient eines
Skalarfeldes F darstellen läßt:
rot vt = 0 ⇐⇒ vt = grad F .
F heißt Skalarpotential (und ist bis auf eine Konstante eindeutig
bestimmt).
Siehe auch den Satz über die Charakterisierung des vollständigen
Differentials mit n = 3.
116
Kurvenintegrale
Kurven im Raum (Wiederholung)
Kurven im Raum
Parameterdarstellung: rt (t) = (x(t), y (t), z(t))T , t ∈ [a, b].
Sind die Funktionen x(t), y (t) und z(t) stetig, so heißt die Kurve stetig,
sind sie differenzierbar, so sei
rt 0 (t) = (x 0 (t), y 0 (t), z 0 (t))T .
rt 0 (t0 ) ist Tangentialvektor an die Kurve im Kurvenpunkt rt (t0 ).
Parameterdarstellung der Tangente:
rt (t0 ) + t rt 0 (t0 ),
t ∈ R.
/Bild/
117
Kurvenintegrale
Kurven im Raum (Wiederholung)
Beispiele 95
1. Schraubenlinie:
rt (t) = (R cos t, R sin t, ht)T ,
t ∈ R, R > 0, h > 0.
Der Kurvenpunkt rt (t) hat von der z-Achse den Abstand
q
p
2
2
x(t) + y (t) = R 2 cos2 t + R 2 sin2 t = R.
Der Abstand ist unabhängig von t. /Bild/
Die Kurve liegt auf einer Zylinderfläche,
die sog Ganghöhe ist gleich 2πh.
rt 0 (t) = (−R sin t, R cos t, h)T =⇒ Tangentialvektor zum Beispiel im
Punkt rt (0) = (R, 0, 0)T ist rt 0 (0) = (0, R, h)T .
Parameterdarstellung der Tangente: (R, 0, 0)T + t(0, R, h)T .
118
Kurvenintegrale
Kurven im Raum (Wiederholung)
Beispiele 95 (Fortsetzung)
2. Schraubenlinie auf einem Kegelmantel:
rt (t) = (t cos t, t sin t, ht)T ,
t ≥ 0.
/Bild/
3. Gerade durch den Punkt a mit der Richtung b:
rt (t) = a + tb,
t ∈ R, a, b ∈ R3 .
rt 0 (t) = b, d. h., Tangentialvektor = Richtungsvektor.
119
Kurvenintegrale
Motivation (Berechnung der Arbeit)
Wir berechnen die Arbeit, die von einem Kraftfeld Ft beim Verschieben
(längs einer Kurve) eines Massenpunktes verrichtet wird.
Spezialfall
Verschiebung von A nach B längs einer Geraden durch eine konstante Kraft.
Definitionsgemäss ist die Arbeit /Skizze/
W = F · s · cos ϕ = Ft · st
wobei F = |Ft|, s = |st| und ϕ = ∠(Ft, st).
Es sei nun
C : rt(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t))T ,
t ∈ [a, b]
eine Kurve, auf C sei ein Vektorfeld Ft (Kraftfeld) definiert.
120
Kurvenintegrale
Motivation (Berechnung der Arbeit)
Arbeit bei Verschiebung entlang der Kurve
I
I
I
Sei Z : a = t0 < t1 < · · · < tn = b eine Zerlegung des Intervalls [a, b].
Die geradlinige Verbindung der Punkte rt(ti ) ergibt einen Streckenzug
(Näherung für die Kurve).
In jedem Teilintervall [ti−1 , ti ] wählen wir eine beliebige Zwischenstelle
ηi .
I
Näherung für Ft auf der i-ten Teilstrecke: Ft(rt(ηi )).
I
Näherung für die Arbeit für die gesamte Kurve:
n
X
Ft(rt(ηi )) · (rt(ti ) − rt(ti−1 ))
i=1
121
Kurvenintegrale
Definition
Definition 96
Existiert der Grenzwert
lim
∆Z →0
n
X
Ft(rt(ηi )) · (rt(ti ) − rt(ti−1 ))
i=1
so nennt man ihn Kurvenintegral von Ft längs C .
Bezeichnung:
Z
Ft · drt.
C
122
Kurvenintegrale
Berechnung des Kurvenintegrals
Satz 97
Ist Ft = (F1 , F2 , F3 )T stetig und C eine stückweise stetig differenzierbare
Kurve, so ist Ft längs C integrierbar und es gilt:
Z
Ft · drt =
C
Z
b
rt 0 (t) · Ft(rt(t)) dt
a
Z
=
b
F1 (r (t)) · x10 (t) + F2 (r (t)) · x20 (t) + F3 (r (t)) · x30 (t) dt
a
wobei rt(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)), t ∈ [a, b], die Parameterdarstellung von C
ist.
123
Kurvenintegrale
Berechnung des Kurvenintegrals
Bemerkungen 98
1. Für ein Kurvenintegral längs einer geschlossenen Kurve schreibt man
auch
I
Ft · drt .
C
Dieses Integral wird auch Zirkulation von Ft längs C genannt.
124
Kurvenintegrale
Berechnung des Kurvenintegrals
Bemerkungen 98 (Fortsetzung)
2. Für eine Kurve C : rt(t) = (x(t), y (t), z(t))T , und ein Vektorfeld
Ft = (Fx , Fy , Fz )T (keine partielle Ableitungen!), ist auch die folgende
Schreibweise üblich:
Z
Z
Ft · drt =
Fx (x, y , z) dx + Fy (x, y , z) dy + Fz (x, y , z) dz
C
C
Z b
=
Fx ẋ + Fy ẏ + Fz ż dt
a
3. Wird der Integrationsweg in umgekehrter Richtung durchlaufen, so tritt
beim Integral ein Vorzeichenwechsel ein.
125
Kurvenintegrale
Berechnung des Kurvenintegrals
Bemerkungen 98 (Fortsetzung)
4. Analog definiert man das Kurvenintegral für ein ebenes Vektorfeld
Ft = (Fx , Fy )T längs einer ebenen Kurve
C : rt(t) = (x(t), y (t))T .
Es gilt:
Z
C
Ft · drt =
Z
Z
Fx (x, y ) dx + Fy (x, y ) dy =
C
b
Fx ẋ + Fy ẏ dt
a
126
Kurvenintegrale
Berechnung des Kurvenintegrals
Beispiel 99
Wir berechnen das Kurvenintegral
Z
Z
I = (xy 2 , xy )T · drt =
xy 2 dx + xy dy
C
C
Z b
=
x(t)y (t)2 ẋ(t) + x(t)y (t)ẏ (t) dt
a
für die folgenden Wege von O(0, 0) nach P(1, 1): /Skizze/
I
Integrationsweg C1 : x = t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1;
ẋ = 1, ẏ = 1,
1
Z
I =
0
1 4 1 3
t 3 + t 2 dt =
t + t
4
3
1
=
0
7
.
12
127
Kurvenintegrale
Berechnung des Kurvenintegrals
Beispiel 99 (Fortsetzung)
I
Integrationsweg C2 : x = t, y = t 3 , 0 ≤ t ≤ 1;
ẋ = 1, ẏ = 3t 2 ,
Z
I =
0
I
1
1 8 3 7
t + 3t dt =
t + t
8
7
7
6
1
=
0
31
.
56
Integrationsweg C3 = C3∗ ∪ C3∗∗ :
I
Teilweg C3∗ : x = 0, y = t, 0 ≤ t ≤ 1;
ẋ = 0, ẏ = 1,
Z 1
I =
0 dt = 0
0
128
Kurvenintegrale
Berechnung des Kurvenintegrals
Beispiel 99 (Fortsetzung)
I
Integrationsweg C3 = C3∗ ∪ C3∗∗ :
I
Teilweg C3∗∗ : x = t,
ẋ = 1, ẏ = 0,
y = 1, 0 ≤ t ≤ 1;
Z
I =
0
1
1 2
t dt =
t
2
1
=
0
1
.
2
129
Kurvenintegrale
Konservative Felder
Definition 100
Eine Teilmenge X von R2 oder R3 heißt
I
wegzusammenhängend, falls es für jedes Paar von Punkten x, y ∈ X
einen Weg von x nach y gibt.
I
einfach-zusammenhängend, wenn sie wegzusammenhängend ist und
sich jede im Bereich gelegene geschlossene Kurve auf einen Punkt
zusammenziehen läßt.
130
Kurvenintegrale
Konservative Felder
Satz 101
Es sei Ft eine stetig partiell differenzierbares Vektorfeld in einem
einfach-zusammenhängenden Bereich. Dann sind die folgenden
Eigenschaften gleichwertig:
R
1. Das Kurvenintegral C Ft · drt längs einer Kurve C , die zwei beliebige
Punkte P und Q verbindet, ist unabhängig vom eingeschlagenen
Verbindungsweg (der im Bereich liegt).
2. Das Kurvenintegral längs einer im Bereich liegenden geschlossenen
Kurve hat stets den Wert 0.
131
Kurvenintegrale
Konservative Felder
Satz 101 (Fortsetzung)
3. Ft ist als Gradient einer skalaren Funktion ϕ (Potential) darstellbar:
Ft = grad ϕ. Für ϕ gilt dann:
Z
Ft · drt = ϕ(Q) − ϕ(P)
C
4. Ft ist wirbelfrei: rot Ft = t
0.
Definition 102
Das Feld Ft heißt konservativ, wenn eine der obigen Bedingungen erfüllt ist.
132
Oberflächenintegrale
Motivation, Definition
Motivation
Wir betrachten eine Flüssigkeitsströmung mit der Geschwindigkeit vt(P)
(räumliches Vektorfeld). Wir interessieren uns für die Flüssigkeitsmenge, die
in der Zeiteinheit durch ein bestimmtes Flächenstück A hindurchströmt, das
in das Strömungsfeld der Flüssigkeit gebracht wurde.
Spezialfall: vt ist konstant, A ist ein Rechteck
A sei aufgespannt durch die Seitenvektoren rt und st. Wir nehmen an, dass
nt = rt × st zur selben Seite zeigt wie vt (Vereinbarung, orientierte Fläche).
Die gefragte Flüssigkeitsmenge ist gleich dem Volumen des Spates, das
durch rt, st und vt aufgespannt wird:
vt · (rt × st) = vt · nt = vt · nt1 · Flächeninhalt vom Rechteck
wobei nt1 = nt/|nt| = nt/|rt × st| die Länge 1 hat.
133
Oberflächenintegrale
Motivation, Definition
Der allgemeine Fall
Sei A eine sog. orientierte Fläche: Eine Fläche heißt orientiert, wenn eine
Vereinbarung getroffen wurde, die Flächennormale nt, |nt| = 1 auf einer
bestimmten Seite anzuheften. Bei einer geschlossenen Fläche, z. B. der
Oberfläche einer Kugel, zeigt nt vereinbarungsgemäß nach außen.
I
I
I
Wir wählen eine Zerlegung Z der Fläche A in n Teilflächen A1 , . . . , An .
∆(Z ) := der maximale Durchmesser (Feinheit der Zerlegung)
|Ak | := der Flächeninhalt von Ak
Auf jeder Teilfläche Ak wählen wir einen Punkt Pk . Sei nt(Pk ) die
Flächennormale im Punkt Pk (Länge 1).
P
Wir bilden die Zwischensumme S(Z ) = nk=1 vt(Pk ) · nt(Pk ) · |Ak |
134
Oberflächenintegrale
Motivation, Definition
Definition 103
Existiert der Grenzwert lim∆(Z )→0 S(Z ), so wird er Oberflächenintegral
des Vektorfeldes vt über die orientierte Fläche A genannt und mit
ZZ
vt · nt dA
A
bezeichnet (Flußintegral/Fluß des Vektorfeldes vt durch die Fläche A).
Bemerkungen 104
1. Das
RR Oberflächenintegral über eine geschlossene Fläche wird mit
t · nt dA bezeichnet (Hüllenintegral).
(A) v
RR
2. Setzt man speziell vt = nt, so ist vt · nt = 1; das Integral A dA ist gleich
dem Flächeninhalt von A.
135
Oberflächenintegrale
Berechnung
Bezeichnung
Sei Ft ein Vektorfeld, die Fläche A sei in Parameterdarstellung durch
rt(u, v ),
a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d
gegeben. Dann ist rtu (u0 , v0 ) × rtv (u0 , v0 ) ein Normalenvektor für die
Tangentialebene im Punkt rt(u0 , v0 ). Für die Flächennormale nt(u, v ) wählen
wir den Vektor
rtu × rtv
nt =
|rtu × rtv |
(Orientierung).
136
Oberflächenintegrale
Berechnung
Satz 105
Existiert das Integral
ZZ
Ft · nt dA
A
so giltZ Z
Z
Ft · nt dA =
A
b
Z
a
d
Ft rt(u, v ) · [rtu (u, v ) × rtv (u, v )] dv du.
c
Bemerkung 106
Mit Ft = nt erhalten wir folgende Formel zur Berechnung des Flächeninhalts
von A:
Z
a
b
Z
d
|rtu (u, v ) × rtv (u, v )| dv du.
c
137
Oberflächenintegrale
Berechnung
Beispiel 107
Wir berechnen den Fluß des Vektorfeldes Ft(x, y , z) = (y , x, z 2 )T , durch die
Mantelfläche des folgenden Zylinders mit dem Radius 5 und der Höhe 10
/Bild/
Beschreibung der Mantelfläche in Zylinderkoordinaten:
rt(ϕ, z) = (5 cos ϕ, 5 sin ϕ, z)T ,
0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ 10.
Das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten:
Ft(x, y , z) = (y , x, z 2 )T = (5 sin ϕ, 5 cos ϕ, z 2 )T .
138
Oberflächenintegrale
Berechnung
Beispiel 107 (Fortsetzung)
Weiterhin gilt:
rtϕ × rtz = (−5 sin ϕ, 5 cos ϕ, 0)T × (0, 0, 1)T = (5 cos ϕ, 5 sin ϕ, 0)T
und
Ft · [rtϕ × rtz ] = 50 · sin ϕ · cos ϕ = 25 · sin 2ϕ.
ZZ
Z 2π Z 10
Ft · nt dA =
Ft(rt(ϕ, z)) · [rtϕ (ϕ, z) × rtz (ϕ, z)] dz dϕ
A
0
0
Z 2π Z 10
=
25 · sin 2ϕ dz dϕ = 0.
0
0
139
Integralsätze von Gauß und Stokes
Gaußscher Integralsatz
Satz 108 (Gaußscher Integralsatz im Raum)
Es sei Ft ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld, V ein räumlicher
Bereich mit der geschlossenen Oberfläche A und nt die nach außen gerichtete
Flächennormale. Dann ist das Oberflächenintegral von Ft über A gleich dem
Volumenintegral der Divergenz von Ft über V :
ZZZ
div Ft dV =
V
ZZ
Ft · nt dA.
(A)
140
Integralsätze von Gauß und Stokes
Gaußscher Integralsatz
Bemerkungen 109
1. Im Strömungsmodell hat das Vektorfeld Ft die Bedeutung des
Geschwindigkeitsfeldes
einer strömenden Flüssigkeit, und:
RR
t t dA: Flüssigkeitsmenge, die in der Zeiteinheit durch die
(A) F · n
geschlossene
Hülle A fließt;
RRR
t
V div F dV : im Gesamtvolumen V in der Zeiteinheit erzeugte bzw.
vernichtete Flüssigkeitsmenge.
2. Bei einem quellfreien Feld (div Ft = 0) ist der Gesamtfluß durch die
geschlossene Oberfläche gleich Null.
Typische Anwendung: Bestimmung des elektrischen Feldes Et eines homogen
geladenen Zylinders;
Maxwell + Gaußscher Integralsatz (siehe Papula, Band 3, 9.3.1).
141
Integralsätze von Gauß und Stokes
Stoke’scher Integralsatz
Definition 110
Eine stetige Kurve
C : (x(t), y (t)), a ≤ t ≤ b
heißt einfach geschlossen, wenn
(x(a), y (a)) = (x(b), y (b))
und
(x(t1 ), y (t1 )) 6= (x(t2 ), y (t2 ))
wenn a ≤ t1 < t2 < b.
142
Integralsätze von Gauß und Stokes
Stoke’scher Integralsatz
Satz 111 (Stoke’scher Integralsatz)
Es sei Ft ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld und C eine einfach
geschlossene Kurve. Dann ist das Kurvenintegral von Ft längs C gleich dem
Oberflächenintegral der Rotation von Ft über eine beliebige Fläche A, die
durch C berandet wird:
ZZ
rot Ft · nt dA =
I
A
Ft drt.
C
Dabei wird die Umlaufrichtung für C wie folgt festgelegt: Ein Beobachter,
der in die Richtung von nt schaut, durchläuft C so, dass die Fläche A links
liegen bleibt.
143
Integralsätze von Gauß und Stokes
Stoke’scher Integralsatz
Bemerkungen 112
1. Das Integral
ZZ
rot Ft · nt dA
A
wird auch als Wirbelfluß bezeichnet.
2. Satz von Stokes:
Der Wirbelfluß eines Vektorfeldes Ft durch eine Fläche ist gleich der
Zirkulation von Ft längs der Randkurve dieser Fläche.
3. Der Wirbelfluß ist für alle Flächen, die von der gleichen Kurve berandet
werden, gleich groß.
144
Integralsätze von Gauß und Stokes
Stoke’scher Integralsatz
Bemerkungen 112 (Fortsetzung)
4. Der Wirbelfluß durch eine geschlossene Fläche ist gleich 0.
Nach dem Gaußschen Integralsatz gilt nämlich
(mit rot Ft anstelle von Ft):
ZZ
ZZZ
rot Ft · nt dA =
div(rot Ft) dV = 0
(A)
V
da div(rot Ft) = 0.
5. Eine typische Anwendung: Bestimmung des Magnetfeldes Ht eines
stromdurchflossenen linearen Leiters;
Stokes + Maxwell (siehe Papula, Band 3, 9.3.2).
145
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Grundlagen
Der Begriff des Extremums von Funktionen mehrerer Veränderlicher
entspricht dem bei Funktionen einer Variablen:
Definition 113
Die Funktion f sei auf der Menge Df definiert und P0 ∈ Df . Wenn
f (P0 ) ≥ f (P)
1. für alle P ∈ Df gilt, so sagt man, f habe in P0 ein absolutes
Maximum;
2. für alle P ∈ Df ∩ U gilt, wobei U eine geeignete Umgebung von P0 ist,
so sagt man, f habe in P0 ein relatives oder lokales Maximum.
Die Zahl f (P0 ) ist dann (absolutes oder relatives) Maximum der Funktion
f . (Analoge Definition von absolutem/relativem Minimum.)
Beispiel 114
Für die Funktion f (x, y ) = (x − 3)2 + y 4 gilt: f (x, y ) ≥ 0 für alle
(x, y ) ∈ R2 =⇒ f hat im Punkt (3, 0) ein absolutes Minimum (= 0).
146
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Grundlagen
Satz 115
Die Funktion f sei auf der offenen Menge Df ⊂ Rn definiert und besitze in
P ∈ Df ein relatives Extremum. Wenn die partielle Ableitung fxi in P
existiert, so ist sie Null.
Beweis.
f hat in P = (a1 , . . . , an ) ein relatives Extremum =⇒
g (x) = f (a1 , . . . , ai−1 , x, ai+1 , . . . , an )
besitzt in ai ein relatives Extremum =⇒ 0 = g 0 (ai ) = fxi (P).
147
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Grundlagen
Beispiel 116
Die Funktion f (x, y ) = 2x 3 − 3x 2 + y 2 ist auf relative Extrema zu
untersuchen.
Wir bilden beide partiellen Ableitungen und setzen sie Null:
fx (x, y ) = 6x 2 − 6x = 0 =⇒ x = 0 oder x = 1
fy (x, y ) = 2y = 0 =⇒ y = 0.
Zwei Lösungen: P1 = (0, 0) und P2 = (1, 0).
Besitzt f relatives Maximum oder relatives Minimum in den Punkten
P1 = (0, 0) und P2 = (1, 0)?
148
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Grundlagen
Satz 117
Die Funktion f sei auf der offenen Menge Df ⊂ R2 definiert, im Punkt
P ∈ Df seien alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2 stetig, ferner sei
fx (P) = fy (P) = 0 und
∆(P) = fxx (P)fyy (P) − fxy (P)2 .
Dann gilt:
1. Ist ∆(P) > 0, so besitzt f in P ein relatives
I
I
Maximum, wenn fxx (P) < 0 (bzw. fyy (P) < 0) ist;
Minimum, wenn fxx (P) > 0 (bzw. fyy (P) > 0) ist.
2. Ist ∆(P) < 0, so hat f in P kein relatives Extremum.
3. Im Fall ∆(P) = 0 kann ein Extremum vorliegen oder nicht.
149
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Grundlagen
Beispiel 118
f (x, y ) = 2x 3 − 3x 2 + y 2 wie in Beispiel 116.
fxx (x, y ) = 12x − 6,
fyy (x, y ) = 2,
fxy (x, y ) = 0 =⇒ ∆(x, y ) = 24x − 12.
∆(0, 0) = −12 < 0 =⇒ kein relatives Extremum.
∆(1, 0) = 12 > 0, fxx (1, 0) = 6 > 0 =⇒ relatives Minimum.
Beispiel 119
Für f (x, y ) = x 2 − y 2 gilt:
fx = 2x = 0, fy = −2y = 0 =⇒ x = y = 0
Es ist f (0, 0) = 0 und f nimmt in jeder Umgebung von (0, 0) sowohl
negative, als auch positive Werte an. Folglich ist (0, 0) keine Extremstelle.
Das folgt auch aus ∆(x, y ) = −4.
150
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Anwendung: Ausgleichsrechnung
Aufgabenstellung
Gegeben seien n Punkte Pi = (xi , yi ), i = 1, . . . , n; n > 1, in der Ebene,
die xi seien nicht alle einander gleich.
Gesucht ist eine Gerade g , welche möglichst gut“ durch die Punkte
”
hindurchgeht.
Methode der kleinsten Quadrate
Der Punkt Pi hat von g , beschrieben durch y = ax + b, in y -Richtung den
Abstand di = |axi + b − yi |.
möglichst gut“: a und b sollen so bestimmt werden, dass die Summe
”
n
n
X
X
2
di =
(axi + b − yi )2 =: f (a, b)
i=1
i=1
minimal wird (interaktive Grafik).
151
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Anwendung: Ausgleichsrechnung
Lösungsmethode
Notwendige Bedingung: fa (a, b) = fb (a, b) = 0.
" n
#
n
n
n
X
X
X
X
fa (a, b) = 2
xi (axi + b − yi ) = 2 a
xi2 + b
xi −
xi yi
fb (a, b) = 2
i=1
n
X
"
(axi + b − yi )
=2 a
i=1
i=1
n
X
i=1
i=1
xi + bn −
=0
i=1
n
X
#
yi
= 0.
i=1
Lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten. Lösung:
P
P
P
Pn
Pn
y
−
a
n ni=1 xi yi − ( ni=1 xi ) ( ni=1 yi )
i
i=1
i=1 xi
,
b
=
a=
Pn
P
n
n i=1 xi2 − ( ni=1 xi )2
/Nenner 6= 0, wenn nicht alle xi gleich/.
152
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Anwendung: Ausgleichsrechnung
Beispiel 120
An eine Feder hängt man ein Gewicht, sie wird gedehnt. Die Länge y der
Feder in Abhängigkeit vom Gewicht x wird gemessen. Nach dem Hookschen
Gesetz gilt
y = ax + b
mit gewissen Konstanten a und b.
Aufgabe
Man bestimme näherungsweise a und b mit Hilfe folgender Meßwerte.
153
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Anwendung: Ausgleichsrechnung
Beispiel 120 (Fortsetzung)
P
Gewicht xi
5
10
15
20
25
30
105
Länge yi
34
52
66
79
97
110
438
xi2
25
100
225
400
625
900
2275
xi yi
170
520
990
1580
2425
3300
8985
Hieraus folgt: a ≈ 3,02, b ≈ 20,2 =⇒ y = 3,02x + 20,2.
154
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Extrema mit Nebenbedingungen
Beispiel 121
Ein Punkt bewege sich auf der Ebene E mit der Gleichung x + y + z = 0,
sein Abstand vom Nullpunkt betrage 1. Welches ist sein kleinst-, welches
sein größtmöglicher Abstand von der z-Achse? (Animation)
Der Punkt liegt auf der Kugel K genaupdann, wenn x 2 + y 2 + z 2 = 1;
sein Abstand von der z-Achse beträgt x 2 + y 2 .
Wir haben also die folgende Aufgabe:
p
f (x, y , z) = x 2 + y 2 7−→ Maximum, Minimum
Nebenbedingungen:
x +y +z =0
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0.
155
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Extrema mit Nebenbedingungen
Aufgabe (Allgemein)
Extremstellen berechnen für eine Funktion f (x1 , . . . , xn )
Nebenbedingungen:
g1 (x1 , . . . , xn ) = 0, . . . , gk (x1 , . . . , xn ) = 0.
Lösungsmethode: Multiplikatorenregel von Lagrange
1. Man setzt
F (x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λk ) := f (x1 , . . . , xn ) +
k
X
λj gj (x1 , . . . , xn )
j=1
wobei λj ∈ R. Die neuen Variablen λj heißen Langrangesche
Multiplikatoren.
156
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Extrema mit Nebenbedingungen
Lösungsmethode (Fortsetzung)
2. Dann wird das Gleichungssystem
∂F
= 0,
∂xi
∂F
= 0,
∂λj
für x1 , . . . , xn gelöst. Bemerkung:
i = 1, . . . , n
j = 1, . . . , k
∂F
∂λj
= gj .
3. An den gefundenen Stellen (x1 , . . . , xn ) können Extrema liegen (nur
notwendige Bedingung).
Die Werte λj sind für das Problem i. A. nicht interessant.
157
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Ein Beispiel
Beispiel 122 (Fortsetzung des letzten Beispiels)
f (x, y , z) =
p
x 2 + y 2 =: r
g1 (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 − 1,
g2 (x, y , z) = x + y + z.
F (x, y , z, λ1 , λ2 ) = f (x, y , z) + λ1 (x 2 + y 2 + z 2 − 1) + λ2 (x + y + z).
1
1
x
fx = (x 2 + y 2 )− 2 · 2x =
2
r
1
1
y
fy = (x 2 + y 2 )− 2 · 2y =
2
r
fz = 0
158
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Ein Beispiel
Beispiel 122 (Fortsetzung)
Das Gleichungssystem:
x
+ 2xλ1 + λ2 = 0
r
y
Fy = + 2y λ1 + λ2 = 0
r
Fz = 2zλ1 + λ2 = 0
Fx =
a)
b)
c)
x2 + y2 + z2 − 1 = 0
d)
x +y +z =0
e)
Wir lösen dieses Gleichungssystem:
159
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Ein Beispiel
Beispiel 122 (Fortsetzung)
a) · y − b) · x liefert: (y − x)λ2 = 0 =⇒ λ2 = 0 oder x = y .
Fallunterscheidung:
λ2 = 0: Aus c) folgt dann zλ1 = 0 =⇒ z = 0 oder λ1 = 0.
√
z = 0: e) =⇒ x = −y ; d) =⇒ x = ± 12 2.
Damit haben wir die Punkte
1√
1√ 1√
1√
P1 =
2, −
2, 0 , P2 = −
2,
2, 0 .
2
2
2
2
/Dann gelten auch a) und b) mit λ1 = − 12 ./
λ1 = 0: a), b) =⇒ x = y = 0, aus e) folgt weiter z = 0. Dann ist
aber d) nicht erfüllt, dieser Fall tritt also nicht ein.
160
Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
Ein Beispiel
Beispiel 122 (Fortsetzung)
√
√
x = y : e), d) =⇒ x = y = ± 16 6, z = ∓ 13 6.
Man könnte noch λ1 , λ2 aus a) und b) bestimmen, was aber
nicht nötig ist. Wir haben also die zwei Punkte
1√
1√
1√ 1√
1√ 1√
6,
6, −
6 , P4 = −
6, −
6,
6 .
P3 =
6
6
3
6
6
3
√
1
Wir erhalten f (P1 ) = f (P2 ) = 1 und f (P3 ) = f (P4 ) = 3 3.
Aus geometrischen Gründen ist klar:
P1 und P2 haben den größten Abstand (=1);√
P3 und P4 haben den kleinsten Abstand (= 13 3).
161
Die mehrdimensionale Taylorsche Formel
Taylorsche Formel für eine Funktion f mit einer Variablen:
m
X
1
1
f (x) =
· (x − x0 )k · f (k) (x0 ) +
· (x − x0 )m+1 f (m+1) (η)
k!
(m + 1)!
k=0
wobei η zwischen x und x0 liegt.
162
Die mehrdimensionale Taylorsche Formel
Zur Erinnerung:
∂
∂
+ · · · + hn
h · ∇ = h1
∂x1
∂xn
Satz 123 (Mehrdimensionale Taylorsche Formel)
Die Funktion f sei auf Rn nach allen Variablen (m + 1)-mal stetig partiell
differenzierbar. Es seien x, x0 ∈ Rn und h = x − x0 . Dann existiert ein
t = t(x) ∈ (0, 1), so dass
m
X
1
1
f (x) =
· (h · ∇)k f (x0 ) +
· (h · ∇)m+1 f (x0 + th).
k!
(m + 1)!
k=0
163
Die mehrdimensionale Taylorsche Formel
Beispiel 124
Für f (x, y ) = ex sin y gebe man die Taylorentwicklung an der Stelle
P = (0, 0) bis zu Gliedern dritter Ordnung ohne Restglied an.
Wir berechnen zuerst die partiellen Ableitungen an der Stelle P:
k=0
k=1
k=2
k=3
f (x, y ) = ex sin y
fx (x, y ) = ex sin y
fy (x, y ) = ex cos y
fxx (x, y ) = ex sin y
fxy (x, y ) = fyx (x, y ) = ex cos y
fyy (x, y ) = −ex sin y
fxxx (x, y ) = ex sin y
fxxy (x, y ) = fxyx (x, y ) = fyxx (x, y ) = ex cos y
fxyy (x, y ) = fyyx (x, y ) = fyxy (x, y ) = −ex sin y
fyyy (x, y ) = −ex cos y
f (P) = 0
fx (P) = 0
fy (P) = 1
fxx (P) = 0
fyx (P) = 1 (2)
fyy (P) = 0
fxxx (P) = 0
fxxy (P) = 1 (3)
fxyy (P) = 0 (3)
fyyy (P) = −1
164
Die mehrdimensionale Taylorsche Formel
Beispiel 124 (Fortsetzung)
Mit x0 = y0 = 0, h1 = x − x0 = x und h2 = y − y0 = y erhalten wir:
f (x, y ) = y +
1
1
2xy + (3x 2 y − y 3 ) + R3 .
2!
3!
Bemerkung: In diesem Spezialfall hätten wir auch die Taylorentwicklungen
der Funktionen ex und sin y multiplizieren können.
165
Implizite Funktionen
Einführende Beispiele
Zuerst betrachten wir die Auflösbarkeit einer Gleichung F (x, y ) = 0 nach
einer der Variablen.
Beispiele 125
1.
F (x, y ) = ax + by + c = 0.
Auflösung nach y ist genau dann möglich, wenn b 6= 0. In diesem Fall
gilt:
a
c
y = f (x) = − x −
b
b
166
Implizite Funktionen
Einführende Beispiele
Beispiele 125 (Fortsetzung)
2. Für die Gleichung
F (x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0
ist nur eine sog. lokale Auflösung in einer Umgebung einer Stelle
(x0 , y0 ) möglich: /Skizze/
√
1 − x 2 , −1 < x < 1
Wenn y0 > 0, dann y = f1 (x) = √
wenn y0 < 0, dann y = f2 (x) = − 1 − x 2 , −1 < x < 1.
In den Punkten (−1, 0) und (1, 0) ist eine lokale Auflösung nach y
nicht möglich.
167
Implizite Funktionen
Einführende Beispiele
Bemerkung
Im Allgemeinen beschreibt die Gleichung F (x, y ) = 0 eine Kurve in der
x, y -Ebene. Die Auflösung nach y in einer Umgebung von (x0 , y0 ) ist dann
möglich, wenn in dieser Umgebung Geraden der Form x = c die Kurve nur
in einem Punkt schneiden.
Im vorhergehenden Beispiel ist das in den Punkten (−1, 0) und (1, 0) nicht
gegeben, bedingt dadurch, dass die Tangente parallel zur y-Achse ist:
Die y Koordinate des Gradienten (Fx , Fy ) = (2x, 2y ) verschwindet in diesen
Punkten.
168
Implizite Funktionen
Auflösbarkeit
Satz 126
Sei F stetig nach x und y differenzierbar, F (x0 , y0 ) = 0 und Fy (x0 , y0 ) 6= 0.
Dann existiert eine Umgebung U von x0 für die gilt:
Es gibt genau eine Funktion y = f (x) auf U mit
F (x, f (x)) = 0, x ∈ U.
Diese Funktion f ist dann differenzierbar und
f 0 (x) = −
Fx (x, f (x))
.
Fy (x, f (x))
Beweis der letzten Gleichung.
h(x) := F (x, f (x)) = 0 =⇒
dh
dx
= Fx ·
dx
dx
+ Fy ·
df
dx
= Fx + Fy · f 0 = 0.
169
Implizite Funktionen
Auflösbarkeit
Beispiel 127
Wir betrachten die Gleichung F (x, y ) = x 3 + y 3 − 3axy = 0,
(Kartesisches Blatt).
Parameterdarstellung:
x(t) = 3at ·
1
,
1 + t3
y (t) = 3at 2 ·
a 6= 0
1
1 + t3
(Bild). Wir bestimmen diejenigen Kurvenpunkte, für die Fy verschwindet,
also die Punkte (x, y ), für die
F (x, y ) = x 3 + y 3 − 3axy = 0
und
y2
Fy (x, y ) = 3y − 3ax = 0 =⇒ x =
a
2
170
Implizite Funktionen
Auflösbarkeit
Beispiel 127 (Fortsetzung)
In die erste Gleichung einsetzen:
y6
+ y 3 − 3y 3 = 0 ⇐⇒ y 3 (y 3 − 2a3 ) = 0
3
a
Zwei Lösungen: P1 = (0, 0) und P2 = a · (41/3 , 21/3 ).
In P1 schneidet sich die Kurve selbst, in P2 hat sie eine senkrechte Tangente.
171
Implizite Funktionen
Auflösbarkeit
Verallgemeinerung
Auflösbarkeit eines Gleichungssystems
F1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0
F2 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0
..
.
Fm (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0
nach den Variablen y1 , . . . , ym .
172
Implizite Funktionen
Auflösbarkeit
Satz 128
Die Funktionen Fk seien stetig nach xi und yj differenzierbar,
0 ) = 0,
Fk (x10 , . . . , xn0 , y10 , . . . , ym
k = 1, . . . , m
und die Matrix

 ∂F
∂F1
∂F1
1
.
.
.
∂y1
∂y2
∂ym




 ∂F2 ∂F2
∂F2 
 ∂y1 ∂y2 . . . ∂y1 
 .
..
.. 

 .
.
. 
 .
∂Fm
∂y1
∂Fm
∂y2
...
∂Fm
∂ym
0 ). Dann existiert eine
sei regulär an der Stelle (x10 , . . . , xn0 , y10 , . . . , ym
Umgebung U von (x10 , . . . , xn0 ) ∈ Rn für die gilt: Es gibt eindeutig
bestimmte Funktionen yk = fk (x1 , . . . , xn ), 1 ≤ k ≤ m, auf U, die das obige
Gleichungssystem erfüllen. Diese Funktionen sind dann partiell nach allen
Variablen differenzierbar.
173
Implizite Funktionen
Auflösbarkeit
Bemerkung
Die partiellen Ableitungen lassen sich mit Hilfe der Inversen der obigen
Matrix ausrechnen:
Bezeichne ∂F
∂y die obige m × m Matrix (die sog. Jacobi - Matrix).
Analog bezeichnen wir:
∂f
∂F
∂x (m × n Matrix) und ∂x (m × n Matrix).
Dann gilt:
−1
∂f
∂F
∂F
(x) = −
(x, f (x))
·
(x, f (x))
∂x
∂y
∂x
174
Zahlenreihen
Definition, Konvergenz
Definition 129
Gegeben sei eine Folge {an }∞
1 . Bezeichnen wir die Summe der ersten n
Glieder dieser Folge mit sn , also
s 1 = a1 ,
s 2 = a1 + a2 ,
s 3 = a1 + a2 + a3 ,
..
.
sn = a1 + a2 + · · · + an =
n
X
ak ,
k=1
so erhalten wir eine neue Folge {sn }, die Folge der Partialsummen von
{an }. Diese Folge heißt die zu der Folge {an } gehörende unendliche Reihe.
175
Zahlenreihen
Definition, Konvergenz
Beispiel 130
Es sei a1 , q ∈ R, q 6= 1. Aus der geometrischen Folge ak = a1 q k−1 erhalten
wir die geometrische Reihe mit
sn =
n
X
k=1
a1 q
k−1
1 − qn
= a1
.
1−q
Beispiel 131
Aus der Folge ak =
1
k
erhalten wir die harmonische Reihe mit
n
X
1
1 1
1
sn =
= 1 + + + ··· + .
k
2 3
n
k=1
Es ist beispielsweise s1 = 1; s2 = 1,5; s3 = 1,83 . . . ; s50 = 5,18 . . .
176
Zahlenreihen
Definition, Konvergenz
Definition 132
Konvergiert die Folge {sn } gegen eine Zahl s, so sagen wir, die unendliche
Reihe sei konvergent und besitze die Summe s. Schreibweise:
s=
∞
X
ak = lim
n→∞
k=1
n
X
ak = a1 + a2 + · · · .
k=1
Existiert der Grenzwert
nicht, so heißt
P∞
P∞ die Reihe divergent.
Man schreibt k=1 ak = ∞ oder k=1 ak = −∞, wenn {sn } gegen ∞
bzw. −∞ konvergiert.
177
Zahlenreihen
Definition, Konvergenz
Beispiel 133
Die geometrische Reihe ist für |q| < 1 konvergent. Es gilt:
∞
X
k=1
a1 q
k−1
1 − qn
a1
= lim a1
=
.
n→∞
1−q
1−q
178
Zahlenreihen
Definition, Konvergenz
Beispiel 134
das n-te Glied in
sn =
n X
1
1
−
k
k +1
k=1
=1−
P∞
1
n=1 n(n+1) auf Konvergenz.
1
1
= n1 − n+1
. Es ist
Partialbrüche: n(n+1)
Wir untersuchen die Reihe
=
Dazu zerlegen wir
also
1 1 1 1 1 1
1
1
− + − + − + ··· + −
1 2 2 3 3 4
n n+1
1
.
n+1
Daraus folgt:
∞
X
n=1
1
1
= lim 1 −
= 1.
n(n + 1) n→∞
n+1
179
Zahlenreihen
Definition, Konvergenz
Beispiel 135
P
1
Die harmonische Reihe ist divergent: ∞
n=1 n = ∞.
1
1 1
1
1
1
1
sn = 1 + +
+
+
+
+
+ ··· +
+ ··· +
2
3 4
5
8
9
16
| {z } |
{z
} |
{z
}
>2· 14 = 12
>4· 81 = 12
1
>8· 16
= 12
1
1
1
··· +
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
n
2k + 1
2k+1
|
{z
}
>2k ·
1
= 12
2k+1
Daraus folgt: lim sn = ∞.
180
Zahlenreihen
Eigenschaften
Satz 136
P
P∞
Wenn ∞
a
und
n=1 n
n=1 bn konvergente Reihen mit den Summen a und b
sind und α, β ∈ R, dann gilt
∞
∞
∞
X
X
X
(αan + βbn ) = α
an + β
bn = αa + βb.
n=1
n=1
n=1
181
Zahlenreihen
Eigenschaften
Beispiel 137
P
3n+1 −2n+1
Ist die Reihe ∞
konvergent?
n=1
6n
n+1
n+1
Es ist 3 6−2
= 3( 21 )n − 2( 13 )n =⇒
n
∞
X
3n+1 − 2n+1
n=1
6n
∞
∞
X
X
1
1
1/2
1/3
3
−
2
−
2
=
=3
2n
3n
1 − 1/2
1 − 1/3
n=1
n=1
= 3 − 1 = 2.
182
Zahlenreihen
Eigenschaften
Beispiel 138
A,B: Fahrradfahrer, F: Fliege,
Geschwindigkeiten: 10,10,20 km/h, Strecke 20 km. (Skizze)
A, B, F starten zusammen, F fliegt bis sie B trifft, dann wendet sie, und
fliegt bis sie A trifft, usw. Man berechne die Länge der Strecke, die F bis
zum treffen von A und B zurückgelegt hat.
1: 23 · 20
2:
3:
2
3
2
3
· 20 ·
· 20 ·
1
3
1
32
..
.
s = 23 · 20 1 + 13 +
Einfachere Lösung?
1
32
+ ··· =
2
3
· 20 ·
1
1−1/3
= 20.
183
Zahlenreihen
Eigenschaften
Satz 139
Wenn die Reihe
P∞
n=1 an
konvergent ist, so ist limn→∞ an = 0.
Bemerkung 140
Die Bedingung lim an = 0 ist nur notwendig aber nicht hinreichend für die
Konvergenz; siehe die harmonische Reihe.
184
Zahlenreihen
Konvergenzkriterien
Satz 141 (Majoranten- und Minorantenkriterium)
Gegeben sei die Reihe
P∞
n=1 an .
P∞
1. Majorantenkriterium: Gibt es eine konvergente
Reihe
n=1 cn , so dass
P∞
|an | ≤ cn für alle n ∈ N, dann ist die Reihe n=1 an konvergent.
P∞
2. Minorantenkriterium:
Gibt
es
eine
Reihe
P∞
P∞ n=1 dn mit an ≥ dn für alle
n ∈ N und n=1 dn = ∞, dann ist n=1 an = ∞.
Beispiel 142
Die Reihe
1 (n+1)2 ≤
P∞
1
P∞
1
n=1 (n+1)2 ist konvergent. Für alle n ∈ N mit n ≥ 1 gilt nämlich
1
n(n+1) . Nach dem Beispiel im letzten Abschnitt ist die Reihe
konvergent, ihre Summe ist gleich 1. Damit haben wir eine
konvergente
Majorante gefunden, und nach dem Majorantenkriterium ist
P∞
1
n=1 (n+1)2 konvergent. Ihre Summe ist kleiner als 1.
n=1 n(n+1)
185
Zahlenreihen
Konvergenzkriterien
Beispiel 143
Wir untersuchen die Reihe
P∞ 1
n=1 n = ∞ ist, gilt:
P∞
1
n=1 n1/3 .
Für alle n ≥ 1 gilt:
1
n1/3
≥ n1 . Da
∞
X
1
= ∞.
1/3
n
n=1
Satz 144 (Leibniz)
Ist {an } eine Nullfolge mit a1 > a2 > a3 > · · · > 0, so ist die Reihe
∞
X
a1 − a2 + a3 − a4 + · · · =
(−1)n+1 an
n=1
konvergent.
186
Zahlenreihen
Konvergenzkriterien
Definition 145
P
P∞
Eine Reihe ∞
a
heißt
absolut
konvergent,
wenn
die
Reihe
n=1 n
n=1 |an |
konvergent ist.
Bemerkungen 146
1. Die Reihe 1 − 21 + 13 − 14 + · · · ist konvergent nach dem
Leibniz-Kriterium, sie ist aber nicht absolut konvergent, da die
harmonische Reihe divergiert.
2. Konvergente Reihen, die nur nichtnegative Glieder besitzen, sind
absolut konvergent.
3. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Das folgt aus dem
Majorantenkriterium.
187
Zahlenreihen
Konvergenzkriterien
Satz 147 (Wurzelkriterium)
Gegeben sei die Reihe
Grenzwert a, so gilt:
P∞
1
np o
an . Ist die Folge n |an | konvergent gegen den
1. Ist a < 1, so ist die Reihe absolut konvergent.
2. Ist a > 1, so ist die Reihe divergent.
Beispiele 148
P∞ √
1. Die Reihe 1 ( n 2 − 1)n ist konvergent, da
q √
p
√
n
n
n
lim n |an | = lim
( 2 − 1)n = lim ( 2 − 1) = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
P 1
P∞ 1
2. Für die Reihen ∞
und
1 n
1 n2 ist a = 1; die erste Reihe ist
divergent, die zweite konvergent.
188
Zahlenreihen
Konvergenzkriterien
Satz 149 (Quotientenkriterium)
o
n
an+1 Gegeben sei die Reihe 1 an mit an =
6 0. Ist die Folge an konvergent
gegen den Grenzwert a, so gilt:
P∞
1. Ist a < 1, so ist die Reihe absolut konvergent.
2. Ist a > 1, so ist die Reihe divergent.
Beispiel 150
Die Reihe
P∞
1
n=0 n!
=1+1+
lim
n
1
2!
+
1
3!
+ · · · ist konvergent, da
an+1
n!
1
= lim
= lim
= 0.
n (n + 1)!
n n+1
an
Man kann zeigen, dass die Summe dieser Reihe die Euler’sche Zahl e ist.
189
Zahlenreihen
Konvergenzkriterien
Bemerkung 151 (Einige wichtige Reihen)
1
2
1
3
+
1
4 + ··· = ∞
+ 21 + · · · + n1 −
+
I
1+
I
limn→∞ 1
(Euler’sche Konstante);
Rn
Anmerkung: 1 x1 dx = ln n
I
1−
1
12
I 1
p1
I
1
2
+
+
1
3
−
1
4
+
1
32
1
p3
+ ··· =
+
1
22
1
p2
+
(harmonische Reihe)
ln n = 0,5772156 . . .
+ · · · = ln 2 ≈ 0,693
π2
6
(Euler, 1736)
+ ··· = ∞
Hier bezeichnet pn die n-te Primzahl.
I
1+
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · = ex ,
x ∈ R.
190
Potenzreihen
Definition
Definition 152
Unter einer (reellen) Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe der
Form
P(x) =
∞
X
an · (x − x0 )n = a0 + a1 · (x − x0 )1 + a2 · (x − x0 )2 + · · ·
n=0
wobei alle Zahlen reell sind.
Die Menge aller reellen Zahlen x, für welche die Reihe konvergiert, heißt
Konvergenzbereich der Potenzreihe.
an : Koeffizienten der Potenzreihe.
x0 : Entwicklungspunkt
191
Potenzreihen
Definition
Beispiel 153 (geometrische Reihe)
Bei der geometrischen Reihe ist x0 = 0 und an = 1 für alle n:
P(x) =
∞
X
xn = 1 + x + x2 + · · ·
n=0
Wir haben bereits gesehen:
Diese Reihe konvergiert genau dann, wenn |x| < 1.
Der Konvergenzbereich ist also ein Intervall. In diesem Intervall gilt:
P(x) =
1
.
1−x
192
Potenzreihen
Konvergenzradius
Satz 154
Zu jeder Potenzreihe
∞
X
an · (x − x0 )n
n=0
gibt es ein r ∈ [0, ∞], Konvergenzradius genannt, mit den folgenden
Eigenschaften:
1. Die Potenzreihe konvergiert im Intervall |x − x0 | < r .
2. Die Potenzreihe divergiert, wenn r < ∞ und |x − x0 | > r .
3. Wenn r < ∞, dann kann die Reihe in den Randpunkten x0 − r und
x0 + r des Konvergenzbereiches im Allgemeinen konvergieren oder auch
divergieren.
193
Potenzreihen
Konvergenzradius
Satz 154 (Fortsetzung)
4. Existiert der Grenzwert
an lim n→∞ an+1 so ist er gleich r .
5. Existiert der Grenzwert
lim
n→∞
p
n
|an |
so ist er gleich 1r .
194
Potenzreihen
Konvergenzradius
Beispiele 155
1. Für die geometrische Reihe P(x) = 1 + x + x 2 + · · · ist
an = lim 1 = 1.
r = lim n→∞ 1
n→∞ an+1 Im Randpunkt 1 konvergiert die Folge der Partialsummen gegen ∞,
im Randpunkt −1 ist sie divergent.
2. Der Konvergenzradius der Potenzreihe
∞
X
xn
/ = ex /
n!
n=0
a
(n + 1)!
n beträgt
r = lim =
lim
=∞
n→∞ an+1 n→∞
n!
195
Potenzreihen
Konvergenzradius
Beispiele 155 (Fortsetzung)
3. Der Konvergenzradius der Potenzreihe
∞
X
n! · x n
n=0
ist
an n!
= lim
r = lim =0
n→∞ an+1 n→∞ (n + 1)!
196
Potenzreihen
Konvergenzradius
Beispiele 155 (Fortsetzung)
4. Für die Reihe
xn
n=1 n
P∞
gilt:
an = lim n + 1 = 1
r = lim n→∞ an+1 n→∞
n
Die Randpunkte:
Für x = 1 erhalten wir die divergente harmonische Reihe
1+
1 1
+ + ···
2 3
Für x = −1 erhalten wir die konvergente alternierende Reihe
−1 +
1 1
− + ···
2 3
197
Potenzreihen
Weitere Eigenschaften
Satz 156
I
Eine Potenzreihe ist im Innern ihres Konvergenzbereiches absolut
konvergent.
I
Eine Potenzreihe darf im Innern ihres Konvergenzbereiches gliedweise
differenziert und integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen
dabei denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.
I
Zwei Potenzreihen dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich der
Reihen gliedweise addiert und subtrahiert werden. Die neuen
Potenzreihen konvergieren dann mindestens im gemeinsamen
Konvergenzbereich der beiden Ausgangsreihen.
198
Potenzreihen
Weitere Eigenschaften
Beispiel 157
∞
∞
X
d X xn
d xn
d x
=
e =
dx
n!
dx n!
dx
=
∞
X
n=1
n=0
nx n−1
n!
=
n=0
∞
X
n=1
∞
X
x n−1
xn
=
= ex
(n − 1)!
n!
n=0
199
Potenzreihen
Die Taylor-Reihe
Definition 158
f sei eine auf (a, b) beliebig oft differenzierbare Funktion und x0 ∈ (a, b).
Dann heißt die Potenzreihe
∞
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
· (x − x0 )k
die Taylor-Reihe von f im Punkt x0 .
200
Potenzreihen
Die Taylor-Reihe
Bemerkungen 159
Da eine Taylor-Reihe auch eine Potenzreihe ist, gibt es drei Möglichkeiten:
I
die Reihe konvergiert für alle x ∈ R,
I
die Reihe besitzt einen positiven Konvergenzradius,
I
die Reihe konvergiert nur für x = x0 .
Nach dem Satz von Taylor gilt für jedes n:
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
f (n+1) (s)
· (x − x0 ) +
· (x − x0 )n+1 ,
(n + 1)!
k
wobei s zwischen x und x0 liegt. Deshalb gilt:
Die Taylor-Reihe konvergiert in x genau dann gegen f (x), wenn dort
das Restglied gegen 0 konvergiert.
201
Potenzreihen
Die Taylor-Reihe
Beispiel 160
Seien f (x) = ex und x0 = 0.
Dann ist f (k) (x) = ex , f (k) (0) = 1 und folglich
esn · x n+1
f (n+1) (sn )
n+1
· (x − x0 )
=
,
(n + 1)!
(n + 1)!
x ∈R
Wegen |sn | ≤ |x| konvergiert die rechte Seite gegen 0 für n → ∞.
Wir erhalten:
ex =
∞
X
xk
k=0
k!
=1+x +
1 2 1 3
· x + · x + ··· ,
2
6
x ∈ R.
202
Potenzreihen
Die Taylor-Reihe
Beispiele 161
Für alle x ∈ R gilt:
1
1
1
· x3 + · x5 − · x7 + · · ·
3!
5!
7!
1
1
1
sinh x = x + · x 3 + · x 5 + · x 7 + · · ·
3!
5!
7!
1
1
1
cos x = 1 − · x 2 + · x 4 − · x 6 + · · ·
2!
4!
6!
1
1
1
cosh x = 1 + · x 2 + · x 4 + · x 6 + · · ·
2!
4!
6!
sin x = x −
203
Potenzreihen
Die Taylor-Reihe
Beispiel 162
Es sei f (x) = ln(1 + x), x ∈ (−1, ∞), und x0 = 0.
Dann gilt:
f (n) (x) = (−1)n−1 · (n − 1)! ·
1
=⇒ f (n) (0) = (−1)n−1 · (n − 1)!
n
(1 + x)
Also lautet die Taylor-Reihe:
∞
X
(−1)n−1
n=1
n
· xn
Der Konvergenzradius ist 1.
204
Potenzreihen
Die Taylor-Reihe
Beispiel 163
Wir definieren die Funktion f : R −→ R durch
( 1
6 0,
e− x 2 für x =
f (x) =
0
für x = 0.
Man kann zeigen, dass f beliebig oft differenzierbar ist und f (k) (0) = 0 für
alle k gilt.
Folglich ist die Taylor-Reihe dieser Funktion die Nullfunktion und stellt
somit nicht f dar.
205
Fourier-Reihen
Definitionen
Problemstellung
In einfachen Fällen läßt sich ein zeitlich periodischer Vorgang (z. B.
Wechselspannung) durch eine sog. harmonische Schwingung
y (t) = A · sin(ωt + ϕ) oder y (t) = A · cos(ωt + ϕ)
beschreiben.
Sinusschwingung oder Kosinusschwingung mit der Kreisfrequenz ω, der
Amplitude |A| und der Schwingungsdauer T = 2π
ω . /Bild/
Nicht sinusförmige aber periodische Vorgänge:
I
Kippschwingung (auch Sägezahnimpuls genannt)
I
Sinusimpuls (Sinushalbwellen)
Frage: Läßt sich eine nichtsinusförmige Schwingung aus harmonischen
Schwingungen zusammensetzen?
206
Fourier-Reihen
Definitionen
Definition 164
Man nennt eine Reihe der Form
∞
a0 X
+
[an · cos(nωx) + bn · sin(nωx)],
f (x) =
2
x ∈R
n=1
eine trigonometrische Reihe.
Sind alle an gleich 0, so spricht man von einer Sinusreihe.
Sind alle bn gleich 0, so spricht man von einer Kosinusreihe.
Bemerkung 165
Die Menge aller x, für welche die obige Reihe konvergiert, läßt sich nicht so
einfach beschreiben wie bei Potenzreihen.
207
Fourier-Reihen
Definitionen
Satz 166
P
P∞
Wenn ∞
|a
|
<
∞
und
n
1
1 |bn | < ∞, dann konvergiert die
trigonometrische Reihe
∞
a0 X
+
[an · cos(nωx) + bn · sin(nωx)]
f (x) =
2
n=1
für jedes x ∈ R. Die Funktion f ist stetig und periodisch mit der Periode
2π
ω .
Bemerkung 167
Die Bedingungen des Satzes sind nur hinreichend
P∞ sin(nx)aber nicht notwendig.
So konvergiert zum Beispiel die Reihe n=1 n für jedes x ∈ R obwohl
P
∞ 1
1 n = ∞.
208
Fourier-Reihen
Definitionen
Definition 168
Sei T > 0, ω =
2π
T
und f über [0, T ] integrierbar. Dann heißen die Zahlen
Z T
2
·
f (x) · cos(nωx) dx, n ∈ N0
an =
T
0
Z T
2
bn =
·
f (x) · sin(nωx) dx, n ∈ N
T
0
die Fourier-Koeffizienten der Funktion f .
Die mit diesen Zahlen gebildete Reihe
∞
a0 X
s(x) =
+
[an · cos(nωx) + bn · sin(nωx)]
2
n=1
heißt die Fourier-Reihe von f .
209
Fourier-Reihen
Definitionen
Bemerkungen 169
1. Die Funktionen sin(nωx) und cos(nωx) sind periodisch mit Periode
T = 2π/ω.
RT
R T /2
2. Wegen der Periodizität kann man 0 durch −T /2 ersetzen.
3. Ist f eine gerade Funktion, so ist
4
an =
T
T /2
Z
f (x) cos(nωx) dx,
bn = 0 für alle n ∈ N.
0
4. Ist f eine ungerade Funktion, so ist
4
bn =
T
Z
T /2
f (x) sin(nωx) dx,
an = 0 für alle n ∈ N0 .
0
210
Fourier-Reihen
Konvergenz und Beispiele
Definition 170
Eine Funktion f heißt stückweise glatt auf [a, b], wenn f 0 bis auf endlich
viele Punkte in [a, b] existiert und f 0 stückweise stetig ist.
Satz 171
Es sei T > 0 und f eine T -periodische Funktion auf R, die auf [0, T ]
stückweise glatt ist. Dann konvergiert die zu f gehörende Fourier-Reihe s(x)
für alle x ∈ R und es gilt
1
s(x) = (f (x + 0) + f (x − 0)).
2
Ist x eine Stetigkeitsstelle von f , so ist s(x) = f (x).
211
Fourier-Reihen
Konvergenz und Beispiele
Beispiel 172
Wir entwickeln die 2π-periodische Rechteckskurve f mit f (x) = 1 wenn
0 ≤ x ≤ π, und f (x) = −1 wenn π < x < 2π, in eine Fourier-Reihe
∞
X
f (x) =
bn · sin(nx).
n=1
Die Funktion f ist ungerade, deshalb sind an = 0.
Z 2π
1
f (x) · sin nx dx
bn = ·
π 0
Z π
Z 2π
1
1
1 · sin nx dx + ·
(−1) · sin nx dx
= ·
π 0
π π
π
2π
1
1
1
1
2
=
− · cos(nx) −
− · cos(nx)
=
(1 − cos(nπ))
π
n
π
n
nπ
0
π
212
Fourier-Reihen
Konvergenz und Beispiele
Beispiel 172 (Fortsetzung)
Folglich gilt für k = 1, 2, . . . :
bn = 0, falls n = 2k gerade und
1
, falls n = 2k − 1 ungerade.
bn = b2k−1 = π4 · 2k−1
Wir erhalten:
∞
4 X sin(2k − 1)x
4
1
1
f (x) = ·
= · sin x + · sin 3x + · sin 5x + · · ·
π
2k − 1
π
3
5
k=1
wenn x keine Sprungstelle ist: x 6= kπ.
Gibbsches Phänomen: Die Teilsummen überschwingen“ in einer immer
”
kleiner werdenden Umgebung der Sprungstellen. Dieses Überschwingen wird
mit wachsendem n nicht kleiner, beträgt ca. 9% der Sprunghöhe. /Bild/
213
Fourier-Reihen
Konvergenz und Beispiele
Beispiel 173 (Sägezahn-Funktion)
A
f (t) = 2π
t − A2 für 0 < t < 2π, f (0) = 0, Periode 2π
f ist ungerade =⇒ an = 0.
Mit Hilfe von partieller Integration erhalten wir:
Z
1 2π A
A
A
bn =
t−
sin nt dt = −
π 0
2π
2
nπ
Die Fourier-Reihe lautet daher :
∞
A X1
A
1
1
f (x) = − ·
· sin(nt) = − · sin t + sin 2t + sin 3t + . . . .
π
n
π
2
3
k=1
214
Differentialgleichungen
Definition, Beispiele
Bei der mathematischen Beschreibung physikalischer Probleme ergeben sich
oft Gleichungen, in denen Funktionen mit ihren Ableitungen verknüpft sind.
Beispiel 174 (Beschreibung einer Bewegung)
Eine Kugel der Masse m hänge an einer Feder mit der Federkonstanten k.
Zur Zeit t = 0 werde die Feder um x0 gedehnt und dann losgelassen.
Wir wählen ein Koordinatensystem:
Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt der Kugel in der Ruhelage,
die nach unten zeigende Richtung ist positiv.
x(t) : Lage des Mittelpunktes zur Zeit t. /Skizze/
215
Differentialgleichungen
Definition, Beispiele
Fortsetzung von Beispiel 174
Nach dem Grundgesetz der Mechanik:
Masse · Beschleunigung = Summe aller Kräfte
Wir vernachlässigen die Reibung: nur Federkraft = −kx(t), k > 0.
Folglich gilt:
m · x 00 (t) = −k · x(t).
Durch die Wahl vom Nullpunkt erscheint die Schwerkraft nicht explizit.
216
Differentialgleichungen
Definition, Beispiele
Definition 175
Eine Gleichung zur Bestimmung einer Funktion heißt Differentialgleichung,
wenn sie mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion enthält.
Die Ordnung der in der Differentialgleichung vorkommenden höchsten
Ableitung der gesuchten Funktion heißt Ordnung der
Differentialgleichung.
Hängt die gesuchte Funktion nur von einer Veränderlichen ab, so nennt man
die Differentialgleichung gewöhnlich.
Enthält die Differentialgleichung partielle Ableitungen, so heißt sie partiell.
217
Differentialgleichungen
Definition, Beispiele
Beispiele 176
1. Die Gleichung im vorigen Beispiel ist eine gewöhnliche
Differentialgleichung der Ordnung 2 für die Funktion x.
2. y 000 (x) + 2y 0 (x) + 3y (x) = sin x ist eine gewöhnliche
Differentialgleichung der Ordnung 3 für die Funktion y .
3.
∂u(x,y )
∂x
)
= ∂u(x,y
ist eine partielle Differentialgleichung der Ordnung 1
∂y
für die Funktion u.
218
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Grundbegriffe
Definition 177
Eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung n hat die implizite
Form
F (x, y , y 0 , . . . , y (n) ) = 0
oder, falls die Auflösung nach der höchsten Ableitung möglich ist, die
explizite Form
y (n) = f (x, y , y 0 , . . . , y (n−1) ).
Hierbei ist y die gesuchte Funktion und x ist die Variable.
Die Menge aller Lösungen einer Differentialgleichung heißt deren
allgemeine Lösung oder allgemeines Integral.
219
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Grundbegriffe
Beispiel 178
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung x 00 (t) = −x(t) ist
x(t) = c1 cos t + c2 sin t,
c1 , c2 ∈ R.
(Beweis folgt später)
Bemerkung 179
Die allgemeine Lösung enthält Konstanten: Integrationskonstanten.
Für eine spezielle Wahl aller Konstanten in der allgemeinen Lösung erhalten
wir eine spezielle, oder partikuläre Lösung.
220
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Grundbegriffe
Definition 180 (Anfangswertproblem)
Gegeben sei eine Differentialgleichung y (n) = f (x, y , y 0 , . . . , y (n−1) ), sowie
x0 , y1 , . . . , yn−1 ∈ R.
Unter einem Anfangswertproblem versteht man die Aufgabe, eine Funktion
y zu finden, die der Differentialgleichung genügt und die Bedingungen
y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , y 00 (x0 ) = y2 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1
(∗)
erfüllt.
Dabei heißen y0 , y1 . . . , yn−1 Anfangswerte, x0 Anfangspunkt und (∗)
Anfangsbedingungen.
221
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Grundbegriffe
Beispiel 181
Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems
x 00 (t) = −x(t), x(0) = x0 , x 0 (0) = 0
zum Anfangswert x0 , x1 = 0 am Anfangspunkt t = 0.
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist x(t) = c1 cos t + c2 sin t.
Für t = 0 erhalten wir
x0 = x(0) =
c1 cos 0 + c2 sin 0 = c1
0 = x 0 (0) = −c1 sin 0 + c2 cos 0 = c2
Damit ist die Lösung des Anfangswertproblems: x(t) = x0 cos t.
222
Differentialgleichungen erster Ordnung
Spezielle Lösungsmethoden
Definition 182
Eine Differentialgleichung der Form
y 0 = g (x) · h(y )
heißt separabel.
Lösungsmethode: Trennung der Veränderlichen
1.
2.
3.
dy
dx = g (x) · h(y )
dy
h(y ) = g (x) dx
R dy
H(y ) = h(y
) =
R
g (x) dx = G (x)
4. Nun die Gleichung H(y ) = G (x) nach y auflösen
5. Nullstellen c von h liefern konstante Lösungen y = c.
223
Differentialgleichungen erster Ordnung
Spezielle Lösungsmethoden
Beispiel 183
Man bestimme alle Lösungen von y 0 = y cos x.
1.
2.
3.
dy
dx = y cos x
1
y dy = cos x dx
R 1
R
dy
=
cos x
y
dx
4. ln |y | = sin x + c,
c ∈R
=⇒ |y | = esin x ec = c1 esin x , c1 = ec > 0
Da y stetig und esin x 6= 0,
=⇒ y = c1 esin x oder y = −c1 esin x für alle x;
5. h(y ) = y hat Nullstelle c = 0 =⇒ y = 0 ist auch Lösung
Allgemeine Lösung:
y = C esin x ,
C ∈ R.
224
Differentialgleichungen erster Ordnung
Spezielle Lösungsmethoden
Substitution eines linearen Terms
Die Differentialgleichung
y 0 = f (ax + by + c),
a, b, c ∈ R
kann durch die Substitution z = ax + by + c in eine separable
Differentialgleichung überführt werden:
z 0 = a + by 0 = a + bf (z); z 0 = a + bf (z) ist separabel.
Beispiel 184 (y 0 = (x + y )2 )
Mit der Substitution z = x + y erhalten wir
1
z 0 = 1 + y 0 = 1 + z 2 =⇒ 1+z
2 dz = dx =⇒ arctan z = x + c
π
π
mit − 2 < x + c < 2 , also z = tan (x + c).
Rücksubstitution:
x + y = tan (x + c) =⇒ y = −x + tan (x + c) für x ∈ (− π2 − c, π2 − c).
225
Differentialgleichungen erster Ordnung
Spezielle Lösungsmethoden
Definition 185 (Gleichgradige Differentialgleichung)
Eine Differentialgleichung der Form
0
y =f
y x
heißt gleichgradige Differentialgleichung oder
Ähnlichkeitsdifferentialgleichung.
Lösungsmethode für gleichgradige Differentialgleichungen
Substitution: z =
y
x
=⇒
y = xz =⇒ y 0 = xz 0 + z = f (z) =⇒ z 0 =
1
(f (z) − z).
x
Diese Differentialgleichung für die Funktion z ist separabel.
226
Differentialgleichungen erster Ordnung
Spezielle Lösungsmethoden
Beispiel 186
Man löse die Differentialgleichung (x 2 + y 2 )y 0 = xy .
y
x
0
y =
1+
y 2
x
.
Mit z = y /x, y 0 = xz 0 + z ergibt sich (x, y 6= 0)
1
1 z
1 −z 3
1
1
0
0
z =
−
z
=⇒
z
=
·
=⇒
+
dz
=
−
dx
x 1 + z2
x 1 + z2
z3 z
x
Integration ergibt
−
1
+ ln |z| = − ln |x| + c.
2z 2
227
Differentialgleichungen erster Ordnung
Spezielle Lösungsmethoden
Beispiel 186 (Fortsetzung)
Setzt man in
−
1
+ ln |z| = − ln |x| + c
2z 2
wieder z = y /x, so folgt
y x2
x2
− 2 +ln = − ln |x|+c =⇒ − 2 +ln |y | = c =⇒ x 2 = 2y 2 (ln |y |−c).
2y
x
2y
Die Lösung erscheint in impliziter Form
x 2 = 2y 2 (ln |y | − c).
Bisher wurde y = 0 ausgeschlossen. Diese Funktion ist aber Lösung, sie wird
noch hinzugenommen. (Plot c = 3).
228
Differentialgleichungen erster Ordnung
Definition und Eigenschaften
Definition 187
Die Differentialgleichung
y 0 + f (x)y = g (x)
heißt lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Mann nennt sie
homogen, wenn g = 0 ist, sonst inhomogen. Die Funktion g heißt
Störglied.
Bemerkung: Die homogene Gleichung ist separabel.
229
Differentialgleichungen erster Ordnung
Definition und Eigenschaften
Satz 188
Es sei Yh die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung
y 0 + f (x)y = 0
und yp eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
y 0 + f (x)y = g (x).
Dann ist
Y = {y : y = yh + yp , yh ∈ Yh }
die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
230
Differentialgleichungen erster Ordnung
Definition und Eigenschaften
Beispiel 189 (Lösungsmethode)
Erläuterung an dem Beispiel: y 0 + 2xy = x.
1. Lösung der homogenen Gleichung y 0 + 2xy = 0.
1
dy
+ 2xy = 0 =⇒ dy = −2x dx =⇒ ln |y | = −x 2 + c
dx
y
2
2
=⇒ |y | = k1 e−x =⇒ y = ke−x ,
k ∈ R.
2. Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung.
Methode: Variation der Konstanten: Wir ersetzen in der allgemeinen
Lösung der homogenen Gleichung die Kostante k durch k(x):
2
2
2
yp = k(x)e−x =⇒ yp0 = k 0 (x)e−x − 2xk(x)e−x .
231
Differentialgleichungen erster Ordnung
Definition und Eigenschaften
Beispiel 189 (Fortsetzung)
2. Einsetzen:
2
2
x = yp0 (x) + 2xyp (x) = k 0 (x)e−x − 2xk(x)e−x + 2xk(x)e−x
x = k 0 (x)e−x
=⇒
=⇒
x2
xe
2
2
= k 0 (x) =⇒ k(x) =
Z
2
ex
xe dx =
+ c.
2
x2
2
2
Für c = 0 (nur eine Lösung gesucht) erhalten wir yp (x) = 12 ex e−x =
1
2
3. allgemeine Lösung
1
2
y (x) = ke−x + ,
2
k ∈ R.
232
Differentialgleichungen erster Ordnung
Definition und Eigenschaften
Die obige Lösungsmethode läßt sich auch allgemein durchführen:
Satz 190
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y 0 + f (x)y = g (x) ist
Z
R
R
y = e− f (x) dx k + g (x)e f (x) dx dx , k ∈ R.
233
Differentialgleichungen erster Ordnung
Geometrische Deutung
Richtungselemente
Wir betrachten die Differentialgleichung
y 0 = f (x, y ).
Voraussetzung: Das zu y (x0 ) = y0 gehörige Anfangswertproblem besitzt eine
eindeutige Lösung, d. h., durch P = (x0 , y0 ) geht genau eine Lösungskurve.
In P ist ein Funktionswert f (x0 , y0 ) gegeben. Wegen y 0 = f (x0 , y0 ) ist dieser
Wert gleich dem Anstieg der durch (x0 , y0 ) gehenden Lösungskurve an
dieser Stelle.
Eine Annäherung der Lösungskurve in einer Umgebung von P ist durch ein
kleines Tangentenstück, ein Richtungselement, möglich.
234
Differentialgleichungen erster Ordnung
Geometrische Deutung
Richtungselemente: Fortsetzung
I
Wir wählen eine Länge des Richtungselementes mit dem Mittelpunkt
(x0 , y0 ).
I
Sei (x1 , y1 ) der rechte Endpunkt; y1 ist dann eine Näherung für die
gesuchte Lösung and der Stelle x1 .
I
Wir konstruieren ein weiteres Richtungselement mit dem Mittelpunkt
(x1 , y1 ); usw.
(wir können auch nach links fortsetzen). /Bild/
Definition 191
Gegeben sei die Differentialgleichung y 0 = f (x, y ). Jede durch die Gleichung
f (x, y ) = c bestimmte Kurve heißt Isokline der Differentialgleichung zum
Wert c.
235
Differentialgleichungen erster Ordnung
Geometrische Deutung
Isoklinenverfahren
Mit Hilfe der Isoklinen wollen wir Näherungslösungen der
Differentialgleichung skizzieren.
1. Wir zeichnen einige Isoklinen und
2. tragen auf ihnen einige Richtungselemente ein (wir brauchen auf jeder
Isokline nur eines zu konstruieren, dann Paralellverschiebung).
3. Die Näherungen für die Lösungskurven sind dann so zu zeichnen, dass
sie in den Schnittpunkten mit den Isoklinen parallel zu den zugehörigen
Richtungselementen verlaufen.
Beispiel 192
y 0 = x 2 + y 2.
Isoklinen: konzentrische Kreise um den Nullpunkt mit dem Radius
√
r = c, c > 0. /Bild/
236
Differentialgleichungen erster Ordnung
Exakte Differentialgleichungen
Schreibweise
Mit
P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0
meint man die Aufgabe, bei bekannten Funktionen P und Q, entweder
Funktionen y (in Abhängigkeit von x) zu bestimmen, die der
Differentialgleichung
P(x, y ) + Q(x, y )y 0 (x) = 0
genügen (Division durch dx), oder die Aufgabe, Funktionen x (in
Abhängigkeit von y ) zu ermitteln, die der Differentialgleichung
P(x, y )x 0 (y ) + Q(x, y ) = 0
genügen (Division durch dy ).
237
Differentialgleichungen erster Ordnung
Exakte Differentialgleichungen
Definition 193
Die Differentialgleichung P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0 heißt exakt, falls eine
Funktion U(x, y ) existiert mit
∂U(x, y )
= P(x, y )
∂x
und
∂U(x, y )
= Q(x, y ).
∂y
Bemerkung 194
Die Differentialgleichung ist genau dann exakt, wenn der Ausdruck
P(x, y )dx + Q(x, y )dy
ein vollständiges Differential ist. Das ist äquivalent zu
∂P(x, y )
∂Q(x, y )
=
.
∂y
∂x
238
Differentialgleichungen erster Ordnung
Exakte Differentialgleichungen
Beispiel 195
Die Differentialgleichung
e−y + 1 − xe−y y 0 = 0
e −y dx + (1 − xe −y )dy = 0
ist exakt:
∂e −y
= −e −y
∂y
und
∂
(1 − xe −y ) = −e −y .
∂x
239
Differentialgleichungen erster Ordnung
Exakte Differentialgleichungen
Satz 196
Ist die Differentialgleichung P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0 exakt, so werden die
Lösungen y = y (x) bzw. x = x(y ) durch
U(x, y ) = c,
implizit dargestellt.
240
Differentialgleichungen erster Ordnung
Exakte Differentialgleichungen
Beispiel 197
Die Differentialgleichung
e −y dx + (1 − xe −y )dy = 0
ist exakt, deshalb existiert eine Funktion U(x, y ) mit
∂U
= e −y
∂x
und
∂U
= 1 − xe −y .
∂y
241
Differentialgleichungen erster Ordnung
Exakte Differentialgleichungen
Fortsetzung von Beispiel 197, Lösungsweg
Die erste Gleichung nach x integrieren (y hierbei als Konstante behandeln):
U(x, y ) = xe −y + C (y ).
Zur Bestimmung von C (y ) in die zweite Gleichung einsetzen:
−xe −y + C 0 (y ) = 1 − xe −y =⇒ C 0 (y ) = 1 =⇒ C (y ) = y
(Verzicht auf Integrationskonstante, da nur ein U benötigt wird)=⇒
U(x, y ) = xe −y + y .
Implizite Angabe der Lösungen:
U(x, y ) = xe −y + y = c.
Auflösung nach x: x = x(y ) = e y (c − y ).
242
Differentialgleichungen erster Ordnung
Integrierender Faktor
Ansatz
Ist die Differentialgleichung
P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0
nicht exakt, so versucht man, mit einem integrierenden Faktor (oder
Multiplikator) v = v (x, y ) eine äquivalente Differentialgleichung (d. h., mit
den selben Lösungen) zu erhalten, die exakt ist.
Ansatz:
v (x, y )P(x, y ) dx + v (x, y )Q(x, y ) dy = 0.
{z
}
{z
}
|
|
P̂(x,y )
Q̂(x,y )
Dabei ist v (x, y ) 6= 0 so zu bestimmen, dass P̂y = Q̂x gilt. Das führt auf
eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung.
243
Differentialgleichungen erster Ordnung
Integrierender Faktor
Bemerkung 198
Mitunter existieren Multiplikatoren, die nur von x oder von y allein
abhängen.
P −Q
1. Nehmen wir an, dass y Q x = h(x), also die linke Seite unabhängig
von y ist. Dann existiert ein Multiplikator v = v (x), der aus der
homogenen linearen Differentialgleichung
v 0 (x) − h(x)v (x) = 0
bestimmt werden kann.
P −Q
2. Ist y P x = h(y ), also die linke Seite unabhängig von x, so existiert ein
Multiplikator v = v (y ), der aus der Gleichung
v 0 (y ) + h(y )v (y ) = 0
bestimmt wird.
244
Differentialgleichungen erster Ordnung
Integrierender Faktor
Beispiel 199
Für die Gleichung y (2y − 3x)dx + x(2y − x)dy = 0 ist
Py − Qx
(4y − 3x) − (2y − 2x)
1
=
=
Q
x(2y − x)
x
also bestimmt sich ein von y unabhängiger Multiplikator v = v (x) aus
1
v 0 (x) − v (x) = 0.
x
=⇒
dv
v
=
dx
x
=⇒ ln |v | = ln |x| + c. Somit ist v = x ein Multiplikator, also
xy (2y − 3x)dx + x 2 (2y − x)dy = 0
eine exakte Differentialgleichung.
245
Differentialgleichungen erster Ordnung
Integrierender Faktor
Beispiel 199 (Fortsetzung)
Bestimmung von U:
Z
Ux = xy (2y − 3x) =⇒ U(x, y ) =
xy (2y − 3x) dx = x 2 y 2 − x 3 y + c(y )
Uy = 2x 2 y − x 3 + c 0 (y ) = 2x 2 y − x 3 =⇒ c 0 (y ) = 0 =⇒ c(y ) = k.
k := 0 (da nur ein U benötigt):
U = x 2y 2 − x 3y .
Die allgemeine Lösung ist daher aus
U(x, y ) = x 2 y 2 − x 3 y = c,
c ∈R
zu bestimmen. /Plot c = 2/
246
Physikalische Anwendungen
Radioaktiver Zerfall und freier Fall
Beispiel 200 (Radioaktiver Zerfall)
Beim radioaktiven Zerfall ist die Geschwindigkeit des Zerfalls proportional zu
der vorhandenen Menge des radioaktiven Stoffes.
n(t) := die Menge zur Zeit t,
n0 (t) = −λn(t),
λ > 0.
Das negative Vorzeichen ist zu nehmen, da die Menge des Stoffes abnimmt,
n0 (t) ist also negativ.
Lösung der Differentialgleichung: n(t) = ke −λt ,
Für t = 0 : n(0) = k =⇒ n(t) = n(0)e −λt .
k ∈ R.
247
Physikalische Anwendungen
Radioaktiver Zerfall und freier Fall
Beispiel 201 (Freier Fall aus großer Höhe, ohne Reibung)
I
K : Körper
I
m : Masse von K
I
s(t) : Entfernung von K vom Erdmittelpunkt zur Zeit t
I
v (t) : Fallgeschwindigkeit von K zur Zeit t
I
R : Erdradius (≈ 6370 km)
I
g : Erdbeschleunigung (≈ 9,81 sm2 )
2
Gravitationskraft: F = −gm Rs 2 (das Minuszeichen ist zu nehmen, da die
Gravitationskraft zum Erdmittelpunkt hin weist).
248
Physikalische Anwendungen
Radioaktiver Zerfall und freier Fall
Beispiel 201 (Fortsetzung)
Nach einem Grundgesetz der Mechanik ist F = m dv
dt =⇒
dv
R2
m
= −gm 2 .
dt
s
Nach der Kettenregel ist
dv
dt
=
dv
ds
·
ds
dt
=
dv
ds
· v und wir erhalten
dv
R2
v·
= −g · 2
ds
s
wobei wir v in Abhängigkeit von s betrachten.
Diese Differentialgleichung und besitzt die Lösung
2gR 2
v =
+ 2k,
s
2
k ∈ R.
(2)
249
Physikalische Anwendungen
Radioaktiver Zerfall und freier Fall
Beispiel 201 (Fortsetzung)
Ein Körper falle aus einer Höhe von 10 km auf die Erde. Man berechne die
Geschwindigkeit, mit der er an der Erdoberfläche ankommt. Die Reibung ist
zu vernachlässigen.
v0 = v (6370 + 10) = 0 =⇒ /s = 6380 in (2)/
2gR 2
2k = −
.
6380
Aus (2) folgt mit s = R = 6370:
6370
v 2 = 2 · 9,81 · 1000 · 6370 · 1 −
6380
=⇒ v = 1593
km
.
h
250
Physikalische Anwendungen
Radioaktiver Zerfall und freier Fall
Beispiel 201 (Fortsetzung)
Fordern wir lims→∞ v (s) = 0, so ist k = 0 und v 2 =
√
Für s = R ist dann v = 2gR = 11,8 km
s .
2gR 2
s .
Mit dieser Geschwindigkeit würde ein Körper beliebiger Masse aus dem
Unendlichen kommend auf der Erdoberfläche auftreffen. Umgekehrt müßte
ein Körper beliebiger Masse diese Geschwindigkeit (senkrecht zur
Oberfläche) mindestens haben, wenn er den Anziehungsbereich der Erde
verlassen soll (Fluchtgeschwindigkeit).
251
Physikalische Anwendungen
Newtonsches Abkühlungsgesetz und Bewegung mit Reibung
Beispiel 202 (Newtonsches Abkühlungsgesetz)
Die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Körpers in bewegter Luft ist
proportional zu der Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur des
Körpers und der Temperatur der Luft.
I
T (t) : Temperatur des Körpers zur Zeit t
I
TL : Temperatur der Luft.
T 0 (t) = −α(T (t) − TL ),
α > 0.
Diese Differentialgleichung ist separabel, ihre Lösung ist:
T (t) = TL + ke−αt ,
k ∈ R.
252
Physikalische Anwendungen
Newtonsches Abkühlungsgesetz und Bewegung mit Reibung
Beispiel 202 (Fortsetzung)
Ein Körper kühle sich in 10 Minuten von 300◦ C auf 200◦ C ab, wobei die
Temperatur der Luft 30◦ C ist. Wann hat sich dieser Körper auf 100◦ C
abgekühlt?
Aus T (t) = 30 + ke−αt ergibt sich
300 = T ( 0) = 30 + ke−α·0
=⇒ k = 270
200 = T (10) = 30 + 270 · e−α·10
=⇒ α ≈ 0,0463.
Daher folgt
T (t) ≈ 30 + 270e−0,0463t .
Mit T (t) = 100 folgt 100 = 30 + 270e−0,0463t und t ≈ 29,16. Der Körper
hat sich nach 29,16 Minuten von 300◦ C auf 100◦ C abgekühlt.
253
Physikalische Anwendungen
Newtonsches Abkühlungsgesetz und Bewegung mit Reibung
Beispiel 203 (Bewegung mit Reibung)
An einem Massenpunkt der Masse m greife die äußere Kraft F an, der
Bewegung wirke die zur Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft
Fr = −rv (t),
r >0
entgegen.
r : Reibungskoeffizient, v (t) : Geschwindigkeit.
Nach einem Grundgesetz der Mechanik ist dann:
m·
dv
m dv
F
= F − rv =⇒ v +
= .
dt
r dt
r
Das ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, ihre allgemeine
Lösung ist:
254
Physikalische Anwendungen
Newtonsches Abkühlungsgesetz und Bewegung mit Reibung
Beispiel 203 (Fortsetzung)
r
v (t) = ke− m t +
F
,
r
k ∈ R.
Ist v (0) = 0, so folgt k = − Fr =⇒
v (t) =
r
F
(1 − e− m t ).
r
=⇒ limt→∞ v (t) = Fr =⇒
Bei Reibung kann die Geschwindigkeit nicht beliebig groß werden, sie kann
den Grenzwert Fr nicht überschreiten. /Bild/
255
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Definition 204
Eine Differentialgleichung der Form
y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x),
a0 , a1 ∈ R
bezeichnet man als lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit
konstanten Koeffizienten. Ist f = 0, so heißt die Differentialgleichung
homogen, sonst inhomogen. Die Funktion f heißt Störfunktion oder
Störglied.
Die Lösungen dieser Gleichung lassen sich ähnlich wie die Lösungen der
linearen Differentialgleichung erster Ordnung finden.
256
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Satz 205
Ist Yh die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung
y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
und yp eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x)
so ist Y = {y : y = yh + yp mit yh ∈ Yh } die allgemeine Lösung der
inhomogenen Gleichung.
Lösungsweg
Man bestimmt:
1. alle Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung,
2. eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
257
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die homogene Differentialgleichung
Definition 206
Das Polynom
p(λ) = λ2 + a1 λ + a0
heißt charakteristisches Polynom der Differentialgleichung
y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
die Gleichung p(λ) = 0 ihre charakteristische Gleichung.
2
Bezeichnet w eine Quadratwurzel aus a21 − a0 , so sind
λ1/2 = −
a1
±w
2
die (einzigen) Lösungen der charakteristischen Gleichung p(λ) = 0.
258
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die homogene Differentialgleichung
Satz 207
Es seien λ1 , λ2 die Lösungen der charakteristischen Gleichung der
Differentialgleichung y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0. Dann ist die allgemeine Lösung
dieser Differentialgleichung
1. y (x) = A1 eλ1 x + A2 eλ2 x falls λ1 , λ2 ∈ R und λ1 6= λ2 ;
2. y (x) = eλ1 x (A1 + A2 x), falls λ1 = λ2 ∈ R;
3. y (x) = eαx (A1 cos βx + A2 sin βx) falls λ1,2 = α ± iβ mit β 6= 0;
wobei A1 , A2 ∈ R beliebige Konstanten sind.
Beispiel 208 (y 00 + 4y 0 − 5y = 0)
Die charakteristische Gleichung λ2 + 4λ − 5 = 0 hat die Lösungen
λ1 = 1, λ2 = −5. Die allgemeine Lösung lautet
yH (x) = A1 ex + A2 e−5x .
259
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die homogene Differentialgleichung
Beispiel 209 (y 00 + 4y 0 + 4y = 0)
Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen λ1 = λ2 = −2. Damit ist
yH (x) = A1 e−2x + A2 xe−2x .
Beispiel 210 (y 00 + 4y 0 + 13y = 0)
Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind λ1 = −2 + 3i und
λ2 = −2 − 3i. Daher ist
yH (x) = e−2x (A1 cos 3x + A2 sin 3x).
260
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die inhomogene Differentialgleichung
Mit der folgenden Methode ist es möglich, eine partikuläre Lösung zu
bestimmen, wenn die rechte Seite eine spezielle Form hat.
Satz 211
Gegeben sei die Differentialgleichung
y 00 + a1 y 0 + a0 y = pn (x)ebx
wobei pn ein Polynom vom Grade n ist. Für ein k = 0, 1, 2 ist b eine k-fache
Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
Dann gibt es ein Polynom qn vom Grade n, so dass die Funktion
yp (x) = x k · qn (x)ebx
eine Lösung der Differentialgleichung ist.
261
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die inhomogene Differentialgleichung
Bemerkung 212
Im Falle k = 1 spricht man von einfacher Resonanz, im Falle k = 2 von
zweifacher Resonanz.
Beispiel 213
Man bestimme eine partikuläre Lösung der Gleichung
y 00 + y 0 − 2y = x 2 .
Es gilt b = 0, p(λ) = λ2 + λ − 2, p(0) = −2 6= 0, p2 (x) = x 2 .
Folglich ist k = 0 und der Ansatz lautet:
yp (x) = q2 (x) = Ax 2 + Bx + C , yp0 (x) = 2Ax + B, yp00 (x) = 2A.
Einsetzen:
−2Ax 2 + (2A − 2B)x + (2A + B − 2C ) = x 2 .
262
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die inhomogene Differentialgleichung
Beispiel 213 (Fortsetzung)
Koeffizientenvergleich: −2A = 1, 2A − 2B = 0, 2A + B − 2C = 0.
Wir erhalten: A = − 21 , B = − 12 , C = − 34 und folglich
3
x2 x
yp (x) = − − − .
2
2 4
Beispiel 214
Für die Gleichung y 00 + y 0 = x 2 ist
b = 0, p(λ) = λ2 + λ = λ · (λ + 1) =⇒
0 ist eine einfache Nullstelle, d. h. einfache Resonanz =⇒
Ansatz: yp (x) = x(Ax 2 + Bx + C ) = Ax 3 + Bx 2 + Cx.
Einsetzen:
(6Ax + 2B) + (3Ax 2 + 2Bx + C ) = x 2 .
263
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die inhomogene Differentialgleichung
Beispiel 214 (Fortsetzung)
Koeffizientenvergleich:
3A = 1, 6A + 2B = 0, 2B + C = 0 =⇒ A = 13 , B = −1, C = 2 =⇒
x3
yp (x) =
− x 2 + 2x.
3
Beispiel 215
y 00 + y 0 − 2y = xe3x
Die char. Gleichung hat die Lösungen λ1 = 1, λ2 = −2;
b = 3, keine Resonanz =⇒
Ansatz: yp (x) = (Ax + B)e3x ,
yp0 (x) = (3Ax + 3B + A)e3x ,
yp00 (x) = (9Ax + 9B + 6A)e3x .
264
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die inhomogene Differentialgleichung
Beispiel 215 (Fortsetzung)
Einsetzen:
(10Ax + 7A + 10B)e3x = xe3x =⇒
7
B = − 100
=⇒
x
7
yp (x) = e3x
−
.
10 100
10A = 1, 7A + 10B = 0 =⇒ A =
1
10 ,
Beispiel 216
y 00 + y 0 − 2y = xex
Die char. Gleichung λ2 + λ − 2 = 0 hat die Lösungen
λ1 = 1, λ2 = −2, b = 1 =⇒ einfache Resonanz=⇒
2
x
x
x
x
Ansatz: yp (x) = x(Ax + B)e . Weiter wie in Bsp. 215: yp (x) = e
6 − 9 .
265
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die inhomogene Differentialgleichung
Beispiel 217
y 00 − 2y 0 + y = xex
Lösungen der char. Gleichung: λ1 = λ2 = 1; zweifache Resonanz =⇒
Ansatz:
yp (x) = x 2 (Ax + B)ex .
Weiter wie in Beispiel 215:
x3 x
yp (x) =
·e .
6
266
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die inhomogene Differentialgleichung
Satz 218
Gegeben sei die Differentialgleichung
y 00 + a1 y 0 + a0 y = (pn (x) · cos cx + qn (x) · sin cx) · ebx
wobei pn und qn Polynome vom Grade ≤ n sind und c 6= 0.
Dann gibt es Polynome rn , sn vom Grade ≤ n, so dass
1. falls b + ci nicht Nullstelle des char. Polynoms ist, die Funktion
yp (x) = (rn (x) · cos cx + sn (x) · sin cx) · ebx
2. falls b + ci einfache Nullstelle des char. Polynoms ist, die Funktion
yp (x) = x · (rn (x) · cos cx + sn (x) · sin cx) · ebx
eine Lösung der Differentialgleichung ist.
267
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die inhomogene Differentialgleichung
Bemerkung 219
Im Falle (2) spricht man von einfacher Resonanz, zweifache Resonanz kann
hier nicht auftreten, da c 6= 0.
268
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Das Superpositionsprinzip
Satz 220 (Superpositionsprinzip)
Ist y1 eine Lösung der Differentialgleichung
y 00 + a1 y 0 + a0 y = f1 (x)
und y2 eine Lösung der Differentialgleichung
y 00 + a1 y 0 + a0 y = f2 (x)
so ist yp = y1 + y2 Lösung der Differentialgleichung
y 00 + a1 y 0 + a0 y = f1 (x) + f2 (x).
269
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Das Superpositionsprinzip
Beispiel 221
y 00 + 2y 0 − 3y = ex + x 2 + 4x − 5
1. Spezielle Lösung von y 00 + 2y 0 − 3y = ex :
y1 (x) = x4 ex
2. Spezielle Lösung von y 0 + 2y 0 − 3y = x 2 + 4x − 5:
2
7
y2 (x) = − x3 − 16x
9 + 27
3. Spezielle Lösung der Differentialgleichung:
2
yp (x) = y1 (x) + y2 (x) = x4 ex − x3 − 16x
9 +
7
27 .
270
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die Energiemethode
Die Differentialgleichung y 00 = f (y ): Energiemethode
Jede Lösung dieser Gleichung erfüllt die Differentialgleichung
Z
1 0 2
(y ) = f (y ) dy
2
die separabel und von erster Ordnung ist.
271
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die Energiemethode
Beispiel 222
y 00 = 2y 3 , y (−2) = 1, y 0 (−2) = −1.
1 0 2
(y ) =
2
Z
y4
f (y ) dy =
+ C.
2
Mit x = −2 erhalten wir /Anfangsbedingungen/: C = 0 =⇒ y 0 = ±y 2 .
Wegen y 0 (−2) = −1 ist y 0 = −y 2 . Trennung der Veränderlichen:
Z
Z
1
1
y 0 = −y 2 =⇒
dy
=
−
1
dx
=⇒
−
= −x + C1 .
y2
y
Wegen y (−2) = 1 ist C1 = −3 =⇒ Lösung:
y (x) =
1
.
x +3
272
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Definition
Definition 223
Eine Differentialgleichung der Form
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = f (x)
(3)
bezeichnet man als lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.
Ist f = 0, so heißt die Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen.
Die Funktion f heißt Störfunktion oder Störglied.
Sind die Funktionen a0 , a1 , . . . , an konstant, so spricht man von einer
linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten.
273
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Definition
Satz 224
Ist Yh die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0
und yp eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung (3), so ist
Y = {y : y = yh + yp mit yh ∈ Yh }
die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung.
274
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Struktur der Lösung im homogenen Fall
Definition 225
Funktionen y1 , . . . , yn , die auf einem Interval (a, b) definiert sind, heißen
linear unabhängig, wenn aus
c1 y1 (x) + · · · + cn yn (x) = 0,
x ∈ (a, b)
c1 = · · · = cn = 0 folgt.
Die Prüfung, ob lineare Unabhängigkeit vorliegt, ist mit Hilfe dieser
Definition im allgemeinen recht aufwendig. Sie wird erleichtert durch den
folgenden Satz.
275
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Struktur der Lösung im homogenen Fall
Satz 226
Sind die Funktionen y1 , . . . , yn (n − 1)-mal differenzierbar und ist die
sogenannte Wronskische Determinante
y1 (x)
y
(x)
.
.
.
y
(x)
2
n
0
0
0
y1 (x)
y
(x)
.
.
.
y
(x)
n
2
..
..
..
W (x) = .
.
.
(n−1)
(n−1)
(n−1)
y
(x) y
(x) . . . y
(x) 1
2
n
für ein x ∈ (a, b) ungleich Null, so sind die Funktionen y1 , . . . , yn linear
unabhängig. Sind diese Funktionen Lösungen einer homogenen linearen
Differentialgleichung n-ter Ordnung, so ist W entweder überall gleich Null
oder überall ungleich Null.
276
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Struktur der Lösung im homogenen Fall
Beispiel 227
Die Funktionen f1 (x) = 1, f2 (x) = x, f3 (x) = x 2 , f4 (x) = x 3 sind linear
unabhängig auf R. In der Tat
1 x x2 x3 0 1 2x 3x 2 = 12 6= 0.
W = 0
0
2
6x
0 0 0
6 277
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Struktur der Lösung im homogenen Fall
Beispiel 228
Die Funktionen f1 (x) = 1, f2 (x) = x, f3 (x) = 2x + 3 sind linear abhängig,
da
3f1 + 2f2 − f3 = 0.
Die Wronskische Determinante
W = ist:
1 x 2x + 3
0 1
2
0 0
0
= 0.
278
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Struktur der Lösung im homogenen Fall
Satz 229
Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter
Ordnung kann in der Gestalt
yh (x) = C1 y1 (x) + · · · + Cn yn (x)
angegeben werden, wobei y1 , . . . , yn linear unabhängige Lösungen und
C1 , . . . , Cn beliebige Konstanten sind.
279
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Lineare homogene Differentialgleichnung mit konstanten Koeffizienten
Definition 230
Eine Gleichung der Form
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
heißt eine lineare homogene Differentialgleichnung mit konstanten
Koeffizienten, die Gleichung
P(λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0
ist ihre charakteristische Gleichung und P ihr charakteristisches
Polynom.
280
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Lineare homogene Differentialgleichnung mit konstanten Koeffizienten
Die allgemeine Lösung.
Eine r -fache reelle Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms führt zu
dem folgenden Beitrag in der allgemeinen Lösung:
(C0 + C1 · x + C2 · x 2 + · · · + Cr −1 · x r −1 ) · eλx
281
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Lineare homogene Differentialgleichnung mit konstanten Koeffizienten
Die allgemeine Lösung. (Fortsetzung)
Eine r -fache komplexe Nullstelle α ± iω, ω 6= 0, führt zu dem folgenden
Beitrag in der allgemeinen Lösung:
(P(x) · cos(ωx) + Q(x) · sin(ωx)) · eαx
wobei
P(x) = C0 + C1 · x + C2 · x 2 + · · · + Cr −1 · x r −1
und
Q(x) = D0 + D1 · x + D2 · x 2 + · · · + Dr −1 · x r −1 .
Um die allgemeine Lösung zu erhalten werden alle Beiträge addiert.
282
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Lineare homogene Differentialgleichnung mit konstanten Koeffizienten
Beispiel 231
1. y 000 − 4y 00 − y 0 + 4y = 0
Charakteristische Gleichung mit Lösungen:
λ3 − 4λ2 − λ + 4 = 0 =⇒ λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 4
Allgemeine Lösung: y (x) = Ae−x + Bex + C e4x
2. y (4) − 6y 000 + 12y 00 − 10y 0 + 3y = 0
Charakteristische Gleichung mit Lösungen:
λ4 − 6λ3 + 12λ2 − 10λ + 3 = 0 =⇒ λ1,2,3 = 1, λ4 = 3
Allgemeine Lösung: y (x) = (C0 + C1 x + C2 x 2 )ex + Be3x
283
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Lineare homogene Differentialgleichnung mit konstanten Koeffizienten
Beispiele 231 (Fortsetzung)
3. y (4) + 3y 00 − 4y = 0
Charakteristische Gleichung mit Lösungen:
λ4 + 3λ2 − 4 = 0 =⇒ λ1 = −1, λ2 = 1, λ3,4 = ±2i
Allgemeine Lösung: y (x) = Ae−x + Bex + C cos(2x) + D sin(2x)
Lineare inhomogene Differentialgleichnung mit konstanten Koeffizienten
Allgemeine Form:
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = f (x)
Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung in Abhängigkeit von f , ähnlich wie
in den Sätzen zu inhomogenen Differentialgleichungen aus dem Unterkapitel
Differentialgleichungen zweiter Ordnung (vgl. Formelsammlungen).
284
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Beispiel 232
zwei gleiche Wiederstände R
zwei gleiche Induktivitäten L
Spannung u = u(t), bekannt /Bild/
Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich 0:
L·
L·
oder
di1
+ R(i1 − i2 ) − u = 0
dt
di2
− R(i1 − i2 ) + Ri2 = 0
dt
di1
R
R
u
= − i1 + i2 +
dt
L
L
L
di2
R
2R
= i1 −
i2
dt
L
L
285
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Beispiel 232 (Fortsetzung)
Beide Stromgrößen treten in jeder der beiden Gleichungen auf.
Man spricht daher von miteinander gekoppelten Differentialgleichungen.
Sind die Werte der beiden Ströme z. B. zur Zeit t = 0 vorgegeben (d. h.
i1 (0) und i2 (0)), so handelt es sich um ein Anfangswertproblem.
286
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Definition 233
Ein (explizites) System von linearen Differenzialgleichungen erster
Ordnung für die Funktionen y1 , . . . , yn hat die Form
y10 (x) = a11 (x)y1 (x) + a12 (x)y2 (x) + · · · + a1n (x)yn (x) + f1 (x)
y20 (x) = a21 (x)y1 (x) + a22 (x)y2 (x) + · · · + a2n (x)yn (x) + f2 (x)
..
.
yk0 (x) = ak1 (x)y1 (x) + ak2 (x)y2 (x) + · · · + akn (x)yn (x) + fk (x)
Sind die Funktionen aij konstant, so spricht man von einem System mit
konstanten Koeffizienten, sind die Funktionen fi alle gleich Null, so heißt
das System homogen.
287
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Bemerkung 234
Im Weiteren werden wir immer k = n voraussetzen.
Ein solches System läßt sich auch in Matrix-Vektor-Form schreiben als
y 0 (x) = A(x)y (x) + f (x)
wobei
y (x) = (y1 (x), . . . , yn (x))T
y 0 (x) = (y10 (x), . . . , yn0 (x))T
f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x))T
288
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Bemerkung 234 (Fortsetzung)
und



A=


a11 (x) a12 (x) . . . a1n (x)
a21 (x) a22 (x) . . . a2n (x) 


..
..
..

.
.
.
an1 (x) an2 (x) . . . ann (x)
289
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Beispiel 235
Für das System aus Beispiel 232 sind:
y (t) = (i1 (t), i2 (t))T
y 0 (t) = (i10 (t), i20 (t))T
f (t) = (u(t)/L, 0)T
und
R
A=
L
−1
1
1 −2
290
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Satz 236
Die allgemeine Lösung des Systems
y 0 (x) = A(x)y (x) + f (x)
setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung yh des homogenen Systems
y 0 (x) = A(x)y (x)
und einer beliebigen speziellen Lösung yp des inhomogenen Systems:
y = yh + yp
291
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Bemerkung 237
Ist A(x) eine Diagonalmatrix, so hat das zu der Gleichung
y 0 (x) = A(x)y (x) + f (x)
gehörige Gleichungssystem die Form
y10 (x) = a11 (x)y1 (x) + f1 (x)
y20 (x) = a22 (x)y2 (x) + f2 (x)
..
.
yn0 (x) = ann (x)yn (x) + fn (x)
Das ist ein sog. entkoppeltes System.
In diesem Fall können die Gleichungen unabhängig voneinander gelöst
werden.
292
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Einige Gleichungssysteme lassen sich entkoppeln“.
”
Satz 238
Besitzt eine n × n-Matrix A n linear unabhängige Eigenvektoren r1 , . . . , rn ,
dann ist die Matrix T = [r1 , . . . , rn ] invertierbar und T −1 AT ist eine
Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A in der Hauptdiagonalen.
Bemerkung 239
Bereits bekannt: Die Eigenwerte von A sind die Lösungen der Gleichung
det(A − λE ) = 0
Diese Gleichung heißt auch charakteristische Gleichung des Systems.
Die zugehörigen Eigenvektoren bestimmt man aus der Gleichung
(A − λE )r = 0.
293
Systeme linearer Differentialgleichungen
Die allgemeine Lösung
Beispiel 240
A=
2
1
4 −1
Eigenwerte:
det(A − λE ) = (2 − λ)(−1 − λ) − 4 · 1 = 0 =⇒ λ1 = 3, λ2 = −2.
Die zugehörigen Eigenvektoren sind r1 = (1, 1)T und r2 = (1, −4)T .
1
1
1
−4
−1
, T −1 = −
T =
1 −4
1
5 −1
und
T −1 AT =
3
0
0 −2
294
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren durch Diagonalisierung
Satz 241
Gegeben sei das homogene System von linearen Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten y 0 (x) = Ay (x). Nehmen wir an, dass die Matrix A
n linear unabhängige Eigenvektoren r1 , . . . , rn ∈ Rn mit den zugehörigen
Eigenwerten λ1 , . . . , λn ∈ R besitzt und sei T = [r1 , . . . , rn ] und u = T −1 y ,
wobei y eine Lösung des Systems ist. Dann erfüllt u die (entkoppelte)
Gleichung
u 0 = T −1 ATu = diag (λ1 , . . . , λn )u
welches
uh =C1 · eλ1 x · (1, 0, . . . , 0)T + C2 · eλ2 x · (0, 1, . . . , 0)T
+ · · · + Cn · eλn x · (0, 0, . . . , 1)T
als allgemeine Lösung besitzt.
295
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren durch Diagonalisierung
Satz 241 (Fortsetzung)
Die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems lautet:
yh = Tuh = C1 · eλ1 x · r1 + C2 · eλ2 x · r2 + · · · + Cn · eλn x · rn
Beweis.
y 0 = Ay
u = T −1 y =⇒ y = Tu und y 0 = Tu 0 =⇒
Tu 0 = ATu | von links mit T −1 multiplizieren
−1
u0 = T
| {zAT} u
diagonal
296
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren durch Diagonalisierung
Beispiel 242
Zu Lösen:
y10 = −y1 + y2
y20 = y1 − y2
d. h.
y 0 = Ay =
−1
1
1 −1
·y
Eigenwerte und Eigenvektoren:
λ1 = −2, λ2 = 0, r1 = (1, −1)T , r2 = (1, 1)T (unabhängig) =⇒
297
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren durch Diagonalisierung
Beispiele 242 (Fortsetzung)
Lösung des entkoppeltes Systems:
uh = C1 · (1, 0)T · e−2x + C2 · (0, 1)T = (C1 e−2x , C2 )T ,
C1 , C2 ∈ R
Lösung des ursprünglichen Systems:
1 1
C1 · e−2x
C1 · e−2x + C2
yh = Tuh = [r1 , r2 ] · uh =
·
=
−1 1
C2
−C1 · e−2x + C2
298
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren mit Exponentialansatz
Satz 243
Gegeben sei das homogene System von linearen Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten y 0 (x) = Ay (x). Dann gilt:
Die allgemeine Lösung yh ergibt sich als Linearkombination der
Exponentialansätze


c1,0 + c1,1 x + · · · + c1,kj −1 x kj −1
 c2,0 + c2,1 x + · · · + c2,k −1 x kj −1 
j

 λj x

·e
..


.
cn,0 + cn,1 x + · · · + cn,kj −1 x kj −1
wobei λj die Eigenwerte von A mit der Vielfachheit kj bedeuten.
299
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren mit Exponentialansatz
Bemerkungen 244
1. Die Konstanten in dem Ansatz werden durch Einsetzen in die Gleichung
y 0 (x) = Ay (x) bestimmt.
2. Falls Eigenwerte komplex sind, so erhält man auch komplexe
Lösungsfunktionen yj . Durch Aufspaltung in Real- und Imaginärteil
ergeben sich dann die zugehörigen Lösungsfunktionen.
Der Fall n = 2
y10 = a11 y1 + a12 y2
y20 = a21 y1 + a22 y2 ,
a12 6= 0
300
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren mit Exponentialansatz
Der Fall n = 2: Fortsetzung
Man macht zuerst den Exponentialansatz für die Funktion y1 .
Dieser Ansatz wird dann in die erste Gleichung eingesetzt und diese
Gleichung nach y2 aufgelöst:
1
· (y10 − a11 y1 )
y2 =
a12
I
λ1 6= λ2 , reell. Ansatz für y1 :
y1 = C1 · eλ1 x + C2 · eλ2 x
I
λ1 = λ2 = α, reell. Ansatz für y1 :
y1 = (C1 + C2 x) · eαx
I
λ1/2 = α ± iω (konjugiert komplex). Ansatz:
y1 = (C1 · sin(ωx) + C2 · cos(ωx)) · eαx
(4)
301
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren mit Exponentialansatz
Beispiel 245
y10 = y1 + y2
y20 = −y1 + y2
d. h.
0
y =
(y10 , y20 )T
=
Charakteristische Gleichung:
1−λ
1
−1 1 − λ
1 1
−1 1
y1
·
y2
= (1 − λ)2 + 1 = 0
=⇒ λ1,2 = 1 ± i (α = 1, ω = 1).
302
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren mit Exponentialansatz
Beispiele 245 (Fortsetzung)
Ansatz: y1 = ex · (C1 sin x + C2 cos x). In (1) einsetzen:
y2 = ex · (C1 cos x − C2 sin x)
=⇒ Allgemeine Lösung:
y1 = ex · (C1 sin x + C2 cos x)
y2 = ex · (C1 cos x − C2 sin x)
wobei C1 , C2 beliebige reelle Zahlen sind.
303
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren mit Exponentialansatz
Beispiel 246
y10 = 4y1 − 3y2
y20 = 3y1 − 2y2
Anfangswerte: y1 (0) = 1, y2 (0) = 0.
Charakteristische Gleichung:
4−λ
−3
3
−2 − λ
= (λ − 1)2 = 0
=⇒ λ1/2 = 1.
304
Systeme linearer Differentialgleichungen
Lösungsverfahren mit Exponentialansatz
Beispiele 246 (Fortsetzung)
Ansatz: y1 = (C1 + C2 x)ex . In (1) einsetzen:
1
y2 = (C1 − C2 + C2 x) · ex
3
Lösung des Anfangswertproblems: y1 (0) = 1 =⇒ C1 = 1
y2 (0) = 0 =⇒ C1 − 13 C2 = 0 =⇒ C2 = 3 =⇒
y1 = (1 + 3x) · ex ,
y2 = 3x · ex
305
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Problemstellung 247
Bestimmung einer speziellen Lösung der Gleichung
y 0 (x) = A · y (x) + f (x).
Wir wissen bereits: Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der
allgemeinen Lösung yh des homogenen Systems y 0 (x) = A · y (x) und einer
beliebigen speziellen Lösung yp des inhomogenen Systems.
306
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Lösungsansatz in Abhängigkeit des Störgliedes
Ähnlich wie im Unterkapitel Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
(siehe auch: Formelsammlungen)
Beachte:
Beim Lösungsansatz sind in allen Komponenten jeweils alle Komponenten
des Störgliedes f zu berücksichtigen.
Beispiel 248
Das inhomogene System
y10 = −y1 + 3y2 + x
y20 = 2y1 − 2y2 + e−x
ist zu lösen.
307
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Beispiel 248 (Fortsetzung)
Zunächst lösen wir das zugehörige homogene System
y10 = −y1 + 3y2
y20 = 2y1 − 2y2
Lösung:
y1 = C1 e−4x + C2 ex
2
y2 = −C1 e−4x + C2 ex
3
308
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Beispiel 248 (Fortsetzung)
Ansatz für eine partikuläre Lösung des inhomogenen Systems:
y1,p = ax + b + c · e−x
y2,p = Ax + B + C · e−x
Einsetzen in das inhomogene System:
a − ce−x = (−b + 3B) + (−a + 3A + 1)x + (−c + 3C )e−x
A − C e−x = (2b − 2B) + (2a − 2A)x + (2c − 2C + 1)e−x
309
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Beispiel 248 (Fortsetzung)
Koeffizientenvergleich (6 Gleichungen, 6 Unbekannten), partikuläre Lösung:
5
y1,p = − −
8
3
y2,p = − −
8
1
1
x − · e−x
2
2
1
x
2
310
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Satz 249 (Variation der Konstanten)
Gegeben sei das inhomogene System von linearen Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten
y 0 (x) = A · y (x) + f (x)
und sei
C1 y1 (x) + · · · + Cn yn (x)
die allgemeine Lösung des homogenen Systems y 0 (x) = A · y (x).
Y (x) bezeichne diejenige Matrix, deren Spalten die n Lösungsvektoren
y1 (x), . . . , yn (x) sind.
311
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Satz 249 (Fortsetzung)
Der Ansatz yp (x) = Y (x) · u(x) mit u(x) = (u1 (x), . . . , un (x))T führt auf
die Gleichung
u 0 (x) = Y −1 (x)f (x)
aus der man eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems erhalten kann.
312
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Beispiel 250
y10 = −y1 + y2 + ex
y20 = y1 − y2 + ex
In Matrixform:
y 0 = Ay + f =
−1
1
1 −1
·y +
ex
ex
.
Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren:
λ1 = −2, λ2 = 0, r1 = (1, −1)T , r2 = (1, 1)T (linear unbahängig) =⇒
−2x
1
1
e
1
yh = C1 ·
e−2x + C2 ·
= C1 ·
+ C2 ·
−2x
−1
1
−e
1
313
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Beispiele 250 (Fortsetzung)
Lösungsvektoren in die Matrix Y zusammenfassen:
2x
e
e−2x 1
1
−1
·
Y (x) =
, Y −1 (x) =
−2x
−e
1
e−2x e−2x
2
x 2x
e
1
−1
e
0
u 0 (x) = Y −1 (x)f (x) =
·
·
=
e−2x e−2x
ex
ex
2
x 0
e
=⇒ u(x) =
=⇒ yp = Y (x)u(x) =
x
e
ex
314
Systeme linearer Differentialgleichungen
Weitere Lösungsansätze
Beispiele 250 (Fortsetzung)
Die allgemeine Lösung ist also:
y = yh + yp =
C1 e−2x + C2 + ex
−C1 e−2x + C2 + ex
.
315
Systeme linearer Differentialgleichungen
Systeme höherer Ordnung
Ein System von expliziten linearen Differentialgleichungen höherer Ordnung
mit konstanten Koeffizienten lässt sich durch Einführung neuer unbekannter
Funktionen in ein System erster Ordnung überführen.
Erläuterung an einem Beispiel:
Beispiel 251
y100 (x) + y10 (x) + y1 (x) − y2 (x) = x
y200 (x) − y20 (x) − y1 (x) + 2y2 (x) = x 2
316
Systeme linearer Differentialgleichungen
Systeme höherer Ordnung
Beispiel 251 (Fortsetzung)
Wir führen die folgenden Funktionen ein:
u1 = y 1 ,
u2 = y10
u3 = y 2 ,
u4 = y20
Damit kann das System zweiter Ordnung als System erster Ordnung mit 4
Gleichungen geschrieben werden:
u10 (x) = u2 (x)
u20 (x) = −u1 (x) − u2 (x) + u3 (x) + x
u30 (x) = u4 (x)
u40 (x) = u1 (x) − 2u3 (x) + u4 (x) + x 2
317
Systeme linearer Differentialgleichungen
Systeme höherer Ordnung
Oftmals ist es auch möglich, ein System höherer Ordnung durch Elimination
der unbekannten Funktionen in eine einzige Differentialgleichung höherer
Ordnung zu überführen, in der nur noch eine der gesuchten Funktionen
vorkommt. Bei diesem Verfahren werden die Umformungen des Gauß’schen
Eliminationsverfahrens angewandt mit Differenzieren einer Gleichung als
zusätzlicher Umformung.
Erläuterung an einem Beispiel:
Beispiel 252
(1) y100 (x) + y10 (x) + y1 (x) − y2 (x) = x
(2) y200 (x) − y20 (x) − y1 (x) + 2y2 (x) = x 2
(2) nach y1 auflösen:
(2.1) y1 (x) = y200 (x) − y20 (x) + 2y2 (x) − x 2
318
Systeme linearer Differentialgleichungen
Systeme höherer Ordnung
Beispiel 252 (Fortsetzung)
Zweimal ableiten:
(2.2) y10 (x) = y2000 (x) − y200 (x) + 2y20 (x) − 2x
(4)
(2.3) y100 (x) = y2 (x) − y2000 (x) + 2y200 (x) − 2
(2.1), (2.2) und (2.3) in (1) einsetzen:
(4)
y2 (x) + 2y200 (x) + y20 (x) + y2 (x) = x 2 + 3x + 2.
Lineare Differentialgleichung vierter Ordnung für y2 .
319
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Die Eulersche Polygonzugmethode
Viele in den Anwendungen auftretenden Differentialgleichungen sind nicht
analytisch lösbar. So ist zum Beispiel die Lösung der Gleichung
y 0 (x) = x 2 + y 2 (x)
nicht durch elementare Funktionen und Integrationen angebbar.
In solchen Fällen ist man auf numerische Verfahren angewiesen:
An gewissen sog. Gitterpunkten xi werden Näherungswerte yi für die
exakten Werte y (xi ) bestimmt.
320
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Die Eulersche Polygonzugmethode
In diesem Abschnitt betrachten wir zuerst Anfangswertprobleme der Form
y 0 (x) = f (x, y ),
x ∈ [a, b]
y (x0 ) = y0
wobei x0 ∈ [a, b] und y : [a, b] −→ R. Als Gitterpunkte wählen wir eine
äquidistante Einteilung des Intervalls [a, b]:
xi = a + ih,
wobei h =
b−a
n
i = 0, . . . , n
die sog. Schrittweite ist.
321
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Die Eulersche Polygonzugmethode
Die Eulersche Polygonzugmethode
Dieses einfache Verfahren lässt sich wie folgt beschreiben:
I
Gehe vom Anfangspunkt (x0 , y0 ) aus geradlinig mit der dort gegebenen
Steigung f (x0 , y0 ) um die Schrittweite h nach rechts.
I
Von dem so erhaltenen Punkt (x1 , y1 ) gehe mit der dort vorliegenden
Steigung f (x1 , y1 ) einen weiteren Schritt nach rechts.
I
Verfahrensvorschrift im i-ten Schritt: Gehe vom Punkt (xi , yi ) aus mit
der dort gegebenen Steigung f (xi , yi ) um die Schrittweite h nach rechts.
Rekursionsvorschrift
(n gegeben, h =
b−a
n )
x0 = a; y0 = y (x0 )
xi+1 = xi + h; yi+1 = yi + hf (xi , yi ),
i = 0, . . . , n − 1.
322
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Die Eulersche Polygonzugmethode
Beispiel 253
Man löse näherungsweise das Anfangswertproblem
y 0 (x) = y (x) −
2x
,
y (x)
x ∈ [0, 1], y (0) = 1
mit h = 0.1.
Man rechne mit 4 Dezimalstellen und
√ vergleiche die Nährungswerte mit den
Werten der exakten Lösung y (x) = 2x + 1.
Man erhält die Rekursionsvorschrift:
n = 10, x0 = 0, y0 = 1
xi+1 = xi + 0.1, yi+1
2xi
= yi + 0.1 · yi −
,
yi
i = 0, . . . , 9.
323
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Die Eulersche Polygonzugmethode
Beispiel 253 (Fortsetzung)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
yi
1.0000
1.1000
1.1918
1.2774
1.3582
1.4351
1.5089
1.5803
1.6497
1.7177
1.7847
y (xi )
1.0000
1.0954
1.1832
1.2649
1.3416
1.4142
1.4832
1.5492
1.6124
1.6733
1.7320
324
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Das Halbschrittverfahren
Halbschrittverfahren
Gehe vom Punkt (xi , yi ) aus mit der dort gegebenen Steigung f (xi , yi ) eine
halbe Schrittweite h2 nach rechts. Bestimme dort die Steigung
f xi + h2 , yi + h2 f (xi , yi ) und gehe mit dieser Steigung von (xi , yi ) aus
einen Schritt mit voller Schrittweite h nach rechts.
Rekursionsvorschrift
(n gegeben, h =
b−a
n )
x0 = a; y0 = y (x0 )
xi+1 = xi + h; yi+1 = yi + hf
h
h
xi + , yi + f (xi , yi ) ,
2
2
i = 0, . . . , n − 1.
Ein ähnliches aber noch schnelleres Verfahren ist das
Runge-Kutta-Verfahren, das wir nicht behandeln (siehe Formelsammlung).
325
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Das Euler-Verfahren für Differentialgleichungssysteme
Wir betrachten das Anfangswertproblem
y 0 (x) = f (x, y ),
x ∈ [a, b]
y (x0 ) = y (0)
wobei x0 ∈ [a, b],
y = (y1 , . . . , yn )T
y 0 = (y10 , . . . , yn0 )T
(0)
(0)
y (0) = y (x0 ) = (y1 , . . . , yn )T
und Wf ⊂ Rn .
326
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Das Euler-Verfahren für Differentialgleichungssysteme
Euler-Verfahren für Differentialgleichungssysteme
Das Verfahren ist wie die Eulersche Polygonzugmethode, wir schreiben
jedoch die Nummer des Iterationsschrittes bei y als oberer Index.
Sei n > 0 und h = b−a
n .
Rekursionsvorschrift:
x0 = a; y (0) = y (x0 )
xi+1 = xi + h; y (i+1) = y (i) + hf (xi , y (i) ),
i = 0, . . . , n − 1.
327
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Das Euler-Verfahren für Differentialgleichungssysteme
Beispiel 254
Man löse näherungsweise das Anfangswertproblem
u 0 (x) = v (x)
v 0 (x) = − sin(u(x)),
u(0) = 0,
0≤x ≤π
v (0) = 1
mit h = π4 (d. h. n = 4).
Die Funktion f ist hier: f (x, u, v ) = (v , − sin(u))T .
Bezeichnung: y (i) = (ui , vi )T
Man erhält die Rekursionsvorschrift:
xi+1
x0 = 0; y (0) = (0, 1)T = (u0 , v0 )T
π
π
= xi + ; y (i+1) = y (i) + · (vi , − sin(ui ))T ,
4
4
i = 0, 1, 2, 3.
328
Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme
Das Euler-Verfahren für Differentialgleichungssysteme
Beispiel 254 (Fortsetzung)
i
0
1
2
3
4
xi
0.00π
0.25π
0.50π
0.75π
1.00π
u(xi )
0.0000
1.7854
1.5708
1.9200
1.6524
v (xi )
1.0000
1.0000
0.4446
-0.3407
-1.0788
329
Mathematik I.2
Literatur
L. Papula,
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1, Band 2
Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 2001.
Hoffmann, A., Marx, B., Vogt, W.,
Mathematik für Ingenieure, Band 1, Band 2
Pearson Studium, München, 2005.
A. Fretzel, H. Fränkel,
Mathematik, Lehrbuch für Fachhochschulen, Band 1, Band 2
VDI Verlag, Düsseldorf, 1995.
Engeln, Müllges, G., Schäfer, W., Trippler G.,
Kompaktkurs Ingenieurmathematik
Hanser, München/Wien 1999.
330
Mathematik I.2
Formelsammlung
Merziger G., Mühlbach, G. Wille, D., Wirth, T.,
Formel + Hilfen, Höhere Mathematik
Binomi Verlag, Barsinghausen, 2010
331
Mathematik I.2
Verschiedenes
I
Kursassistentin: Frau Dr. Kuhlisch
www.math.tu-dresden.de/∼kuhlisch/
I
Die Übungsaufgaben stehen auf der Internetseite von Frau Dr. Kuhlisch.
I
Zugelassene Hilfsmittel bei der Prüfung:
Literatur, handschriftliche Unterlagen,
elektronische Geräte sind nicht zugelassen
I
Handout zu der Vorlesung zum Herunterladen unter:
www.math.tu-dresden.de/∼sasvari/
I
Die in der Vorlesung vorgerechneten Aufgaben sind in der Regel nicht
im Handout enthalten.
332
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