Resonatoren-harmonische Oszillatoren - Physik Uni

Bachelorarbeit im Fach Physik
angefertigt am Lehrstuhl für Theoretische Physik II,
Universität Augsburg
Dynamische Verschränkung in geschlossenen
Quantensystemen
Verfasser: Elias Lettl
Matrikelnummer: 1266984
Betreuer/Erstgutachter: Prof. Dr. Klaus Ziegler
Zweitgutachter: Prof. Dr. Sergey Denisov
Tag der Abgabe: 18. September 2015
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung - Phänomene der Quantenmechanik
1
2
Schrödinger-Gleichung - zeitliche Entwicklung eines abgeschlossenen Systems
2
3
Resonatoren - harmonische Oszillatoren
3.1 Quantenmechanik des eindimensionalen harmonischen Oszillators . . . . .
3.2 Eigenzustände und Eigenwerte zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren
3.3 Zeitliche Entwicklung von Fock-Produktzuständen zweier gekoppelter Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
8
4 Quanten-Punkte - Zwei-Niveau-Systeme
4.1 Einzelner Quanten-Punkt bei angelegtem Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Zwei gekoppelte Quanten-Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
14
5
18
18
20
Atome in Resonatoren - CQED
5.1 Jaynes-Cummings-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Zwei gekoppelte Resonatoren mit je einem Atom . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der Fock-Produktzustände
24
7
Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren mit je einem Atom - Dynamik der Produktzustände des Systems ohne Kopplungen
32
8 Fazit - Ausblick
39
9 Anhang
9.1 Quellcode: Zwei gekoppelte harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . .
9.2 Quellcode: Zwei gekoppelte Resonatoren mit je einem Atom . . . . . . . . . .
41
41
46
Literaturverzeichnis
53
1 Einleitung - Phänomene der Quantenmechanik
1 Einleitung - Phänomene der Quantenmechanik
In der vorliegenden Arbeit sollen abgeschlossene Quantensysteme bestehend aus Photonen
in Resonatoren und genäherten Zwei-Niveau-Systemen, wie Atomen oder Quanten-Punkten,
theoretisch untersucht werden. Es handelt sich um stark idealisierte und wenig komplexe
Systeme, deren quantenmechanische Problematik man meist durch analytische Rechnungen
lösen kann. Es scheinen demnach zunächst reine Gedankenexperimente zu sein, welche einem
einige Einblicke in die Welt der Quantenmechanik geben und die Theorie etwas vertrauter
machen sollen. Doch mit den heute verfügbaren technischen Mitteln ist es inzwischen tatsächlich möglich, diese Gedankenexperimente mit nur noch geringen Abweichungen in die
Tat umzusetzen und experimentell zu untersuchen. [1] Allerdings bis jetzt meist nur unter
hohem technischen Aufwand. Aber weshalb sollte man derartige Hindernisse anstreben und
die Physik derartiger Systeme untersuchen?
Zunächst einmal, weil man darin die Quantenmechanik derart einfacher Systeme in ihrer
reinen Form ohne irgendwelche Störungen der klassischen Umwelt finden und nachvollziehen
kann. Das ansonsten meist so seltsam anmutende quantenmechanische Verhalten wird in
einer Größenordnung sichtbar, in der man zuvor meist nur klassische Phänomene beobachtet
hat. Die theoretischen Grundkonzepte der Quantenmechanik können dabei ein weiteres Mal
überprüft werden. [1]
Anschließend findet man vor allem auch den möglichen technischen Fortschritt als vorantreibende Kraft. So erhofft man sich aufbauend auf quantenmechanischen Phänomenen neue
Technologien. Bekannt ist hier vor allem die Quanteninformatik. Diese will statt klassischer
Informationsträger (Bits) solche verwenden, die quantenmechanischen Eigenschaften, wie die
Verschränktheit oder die Superposition verschiedener Zustände, zeigen (Qubits). Die damit
verbundene Logik, welche sich grundlegend von der klassischen unterscheidet, lässt ganz
neue Möglichkeiten zu. Man hofft damit einmal Nachrichten vollkommen sicher verschlüsselt
übermitteln zu können oder auch verschiedene Prozesse, welche sich mit der klassischen
Logik als rechenaufwendig erweisen, aufgrund neuer Wege viel schneller lösen zu können. [1]
Zu all dem ist aber zunächst ein theoretisches Verstehen und experimentelles Umsetzen der
Grundbausteine dieser neuen Logik nötig.
Spezieller soll in dieser Arbeit die Dynamik und die damit einhergehende Verschränkung von
Produktzuständen ungekoppelter Teilsysteme aus Zwei-Niveau-Systemen und Resonatoren
von Photonen untersucht werden, nachdem diese aneinander gekoppelt wurden. Dazu werden
zunächst immer die Spektren und Eigenzustände der Hamilton-Operatoren gesucht, welche
die gekoppelten Systeme beschreiben. Dies geschieht analytisch in den Kapiteln 3, 4 und 5 und
anschließend auch numerisch in den Kapiteln 6 und 7. In Kapitel 2 wird dagegen zunächst
für allgemeine abgeschlossene Systeme die zeitliche Entwicklung eines beliebigen Zustandes
eines solchen Systems mit Hilfe der Eigenzustände und des Spektrums beschrieben.
1
2 Schrödinger-Gleichung - zeitliche Entwicklung eines abgeschlossenen Systems
2 Schrödinger-Gleichung - zeitliche Entwicklung eines
abgeschlossenen Systems
Nach den Postulaten der Quantenmechanik wird die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Zustandes durch die Schrödinger-Gleichung
iħ
d
∣Ψa (t)⟩ = Ĥ(t) ∣Ψa (t)⟩
dt
(1)
bestimmt. In abgeschlossenen (bzw. konservativen) Systemen ist der Hamilton-Operator
zeitunabhängig. Damit wird die Schrödinger-Gleichung zu einer homogenen Differentialgleichung erster Ordnung. Die zeitliche Entwicklung eines Zustandes kann damit wie folgt
angegeben werden:
i
∣Ψa (t)⟩ = e− ħ Ĥ(t−t0 ) ∣Ψa (t0 )⟩ .
(2)
Der Erwartungswert der Gesamtenergie des Systems bleibt dabei erhalten, wie es die Abgeschlossenheit voraussetzt. Man kann dies leicht prüfen, indem man ⟨Ψa (t)∣Ĥ∣Ψa (t)⟩ berechnet
und den Kommutator
i
[e− ħ Ĥ(t−t0 ) , Ĥ] = 0
(3)
beachtet. Entwickelt man ∣Ψa (t0 )⟩ in der Basis der Eigenzustände des Hamilton-Operators, so
kann man die zeitliche Entwicklung des Zustandes auch wie folgt angeben, sofern es sich um
eine diskrete Basis von Eigenzuständen {∣E i ⟩} mit i ∈ {0, . . . , N}, N ∈ N und Eigenwerten
{E i } handelt:
N
N
i=0
i=0
∣Ψa (t)⟩ = e− ħ Ĥt ∑ cai ∣E i ⟩ = ∑ e− ħ E i t cai ∣E i ⟩
i
i
mit
cai = ⟨E i ∣Ψa (t0 = 0)⟩ .
(4)
Um die Dynamik eines abgeschlossenen Systems mit einem gegebenen Anfangszustand angeben zu können, besteht demnach zunächst immer die Aufgabe, das Spektrum und die
Eigenzustände des Hamiltonians zu finden, welcher das System vollständig beschreibt. Anschließend müssen noch die Gewichte cai berechnet werden.
Die Rückkehramplitude ⟨Ψa (0)∣Ψa (t)⟩ ≡ ⟨Ψa ∣Ψa (t)⟩ und die Übergangsamplitude in einen
anderen Zustand ⟨Ψb ∣Ψa (t)⟩ können mit Hilfe der zeitlichen Entwicklung (4) ebenfalls angegeben werden.
N
⟨Ψa ∣Ψa (t)⟩ = ∑ ∣cai ∣2 e− ħ E i t
i=0
N
i
(5)
⟨Ψb ∣Ψa (t)⟩ = ∑ cai (cbi )∗ e− ħ E i t
i=0
i
(6)
Es wurde dabei die Orthonormalität der Eigenzustände verwendet. Die Rückkehr- und
Übergangswahrscheinlichkeiten können daraus durch Bilden des Betragsquadrates gewonnen
werden.
Sofern es sich bei dem Anfangszustand ∣Ψa ⟩ um einen Eigenzustand ∣E k ⟩ des Hamiltonians Ĥ
handelt, spricht man auch von einem stationären Zustand. [2] Zur Zeit t unterscheidet sich
der Zustand ∣Ψa (t)⟩ des Systems dann nur um eine Phase exp(− ħi E k t) vom Anfangszustand.
In der Rückkehrwahrscheinlichkeit ∣ ⟨E k ∣E k (t)⟩ ∣2 = 1 tritt diese nicht mehr auf.
2
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
Ausgehend von der Elektrodynamik kann man zeigen, dass transversale elektromagnetische
Strahlung quantenmechanisch durch eindimensionale harmonische Oszillatoren beschrieben
werden kann, woraus sich die Quantisierung der elektromagnetischen Strahlung in Photonen
ergibt. Demnach können die Feldmoden in einem Hohlraum-Resonator (en.: cavity resonator)
natürlich ebenfalls durch Oszillatoren beschrieben werden. Im Resonator sind dabei, anders als
im freien Raum, nur diskrete Moden erlaubt. Diese hängen von der Geometrie des Resonators
ab. [3, 4]
3.1 Quantenmechanik des eindimensionalen harmonischen Oszillators
Übernimmt man die Hamilton-Funktion eines klassischen harmonischen Oszillators, abgeleitet aus der Bewegung eines Massenpunktes der Masse m in einem harmonischen Potential,
charakterisiert durch die Kreisfrequenz ω und ersetzt Ort und Impuls gemäß der Postulate
der Quantenmechanik durch die entsprechenden hermiteschen Operatoren, so erhält man
folgenden Hamilton-Operator eines quantenmechanischen eindimensionalen harmonischen
Oszillators:
p̂2 mω2 x̂ 2
Ĥ =
+
.
(7)
2m
2
Orts- und Impulsoperator erfüllen dabei die bekannte kanonische Vertauschungsrelation:
[x̂, p̂] = iħ.
(8)
Durch das Einführen dimensionsloser Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren
mω x̂ + i p̂
a= √
2mωħ
und
mω x̂ − i p̂
a† = √
2mωħ
(9)
entfernt man sich vom Bild des oszillierenden Massenpunktes und gelangt zu der für die
Beschreibung eines Resonators geeigneten Form des Hamiltonians eines harmonischen Oszillators. Aus den Gleichungen (8) und (9) erhält man dabei zunächst eine neue Vertauschungsrelation:
[a, a † ] = 1.
(10)
Drückt man Orts- und Impulsoperator durch die beiden Leiteroperatoren a und a † aus
√
√
ħ
ħmω
x̂ =
(a + a † ) und p̂ = −i
(a − a† )
(11)
2mω
2
und setzt diese Ausdrücke in den Hamilton-Operator (7) ein, so findet man unter Ausnutzung
der Vertauschungsrelation der beiden Leiteroperatoren:
1
Ĥ = ħω (n̂ + )
2
mit
n̂ = a † a.
(12)
Für den hermiteschen Besetzungszahloperator n̂ lassen sich unter Verwendung der Vertauschungsrelation (10) dann auch folgende drei Kommutatoren berechnen:
[n̂, a] = −a
und [n̂, a † ] = a† .
3
(13)
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
Da Ĥ und n̂ sich bis auf einen Vorfaktor im wesentlichen nur durch eine Konstante unterscheiden, besitzen die beiden Operatoren die selben Eigenzustände. Man muss demnach nur
das Spektrum {ν} und die entsprechenden Eigenzustände {∣ν i ⟩} des Besetzungszahloperators
suchen.
Zunächst findet man, dass die Eigenwerte von n̂ nicht negativ sind:
ν∣ ∣ν i ⟩ ∣2 = ⟨ν i ∣ n̂ ∣ν i ⟩ = ∣a ∣ν i ⟩ ∣2 ≥ 0.
(14)
Zudem folgt aus obiger Gleichung für ν = 0, dass die Vektoren a ∣0i ⟩ Null sind, da die Norm
eines Vektors exakt dann Null ist, wenn er der Nullvektor ist. Mit Hilfe des Kommutators des
Vernichtungsoperators a und n̂ kann man außerdem zeigen, dass a ∣ν i ⟩ für ν > 0 Eigenvektoren
von n̂ zum Eigenwert (ν − 1) sind. Analog zeigt man, dass a † ∣ν i ⟩ nicht Null und Eigenvektoren
von n̂ zum Eigenwert (ν + 1) sind. Insgesamt folgt dann, dass dies nur für ν ∈ N zu keinem
Widerspruch führt.
Weiter kann man zeigen, dass das Spektrum von n̂ nicht entartet ist. Dazu beweist man
zunächst, dass der Grundzustand in der Ortsdarstellung nicht entartet ist und anschließend
induktiv, dass damit auch alle anderen Eigenwerte nicht entartet sind. [2] Die Eigenzustände
des Besetzungszahloperators lauten demnach:
n̂ ∣n⟩ = n ∣n⟩
mit
n ∈ N.
(15)
Diese werden auch Fock-Zustände genannt und bilden eine vollständig orthonormale Basis. [1]
Wendet man den Vernichtungs- oder Erzeugungsoperator auf einen Fock-Zustand an, folgt
nun aufgrund der Normierung, sowie den bereits erwähnten Eigenschaften, dass das Spektrum
nicht entartetet ist und die Vektoren a ∣n⟩ und a † ∣n⟩ Eigenvektoren von n̂ sind:
√
a ∣n⟩ = n ∣n − 1⟩ ,
√
(16)
a† ∣n⟩ = n + 1 ∣n + 1⟩ .
Für die Eigenwerte E n zu den Eigenzuständen {∣n⟩} des Hamiltonians (12) gilt somit:
1
E n = ħω (n + ) .
2
(17)
Wenn man nun auf die Beschreibung elektromagnetischer Felder durch harmonische Oszillatoren übergeht, kennzeichnet der Zustand ∣n⟩ = ∣0⟩ dabei eine leere Mode, das heißt,
es existiert kein Photon mit der entsprechenden Frequenz. Dass auch dieser Zustand eine
Energie größer Null besitzt, liegt an den sogenannten Vakuum-Fluktuationen. [1] Durch
Neudefinition des Energie-Ursprungs kann dieser Beitrag unterdrückt werden. Man erhält
dann folgenden Hamiltonian für eine Mode des elektromagnetischen Feldes:
Ĥ ′ = ħω n̂.
(18)
Damit ist die Energie von n Photonen der Frequenz ω nun gegeben durch den wohlbekannten
Ausdruck E n = ħω ⋅ n = hν ⋅ n.
4
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
3.2 Eigenzustände und Eigenwerte zweier gekoppelter harmonischer
Oszillatoren
ħω n̂ +
ħω n̂ +
Abb. 1: Zwei gekoppelte
Hohlraum-Resonatoren.
Es soll nun die Quantenmechanik zweier gekoppelter identischer eindimensionaler harmonischer Oszillatoren untersucht werden.
Sind die beiden Oszillatoren zunächst noch separiert, kann jeder einzelne wie jener in Abschnitt 3.1 beschrieben werden. Der Hamiltonian, welcher das Gesamtsystem beschreibt, ist
demnach das Produkt der Hamilton-Operatoren der einzelnen harmonischen Oszillatoren.
Ĥ0 = ħω(a1† a1 + a2† a2 + 1) = ħω(n̂1 + n̂2 + 1)
(19)
Hierbei wird mit a †i und a i der Vernichtungs- und Erzeugungsoperator des i-ten Oszillators
bezeichnet. Bildet man die verschiedenen möglichen Kommutatoren der beiden Vernichtungsund Erzeugungsoperatoren, so erfüllen diese im Falle bosonischer Teilchen, wie sie hier im
Weiteren untersucht werden sollen, die folgenden Gleichungen:
[a i , a j ] = 0,
[a†i , a †j ] = 0 und [a i , a †j ] = δ i j .
(20)
Diese sind wiederum zu den kanonischen Vertauschungsrelationen äquivalent. Die Eigenzustände des Hamilton-Operators (19) sind die Fock-Produktzustände ∣n1 ⟩1 ⊗ ∣n2 ⟩2 ≡ ∣n1 , n2 ⟩
und damit reine Zustände. Mit ∣n⟩i werden dabei die Fock-Zustände des i-ten Oszillators
symbolisiert. Für festes n = n1 + n2 erhält man den Eigenwert
E n = ħω(n + 1).
Dieser ist (n + 1)-fach entartet. Die dazugehörigen Eigenzustände sind durch
∣n − j, j⟩
j ∈ {0, . . . , n}
mit
(21)
(22)
gegeben. Da die einzelnen Zustände ∣n i ⟩ bereits orthonormal sind, trifft dies auch auf die
Fock-Produktzustände zu:
⟨m − j, j∣n − k, k⟩ = δ jk δ mn .
(23)
Im Falle zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren muss nun, damit das System korrekt
beschrieben wird, zum Hamiltonian (19) ein weiterer hinzu addiert werden, der diese Kopplung beschreibt.
Geht man zunächst vom klassischen Bild zweier harmonischer Oszillatoren aus, welche durch
eine Feder gekoppelt sind (vgl.: Abb. 2) und führt dann wiederum gemäß der Postulate der
5
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
Abb. 2: Zwei klassische
gekoppelte identische
eindimensionale
harmonische Oszillatoren.
Quantenmechanik Operatoren ein, so erhält man einen Wechselwirkungs-Operator ĤI , der
proportional zu (x̂1 − x̂2 )2 ist. Mit x̂ i ist hierbei der Ortsoperator des i-ten Oszillators gemeint.
Mit Hilfe der kanonischen Vertauschungsrelation [x̂1 , x̂2 ] = 0 findet man dann:
ĤI ∝ x̂12 + x̂22 − 2 ⋅ x̂1 x̂2 .
(24)
Die ersten beiden Summanden können in den Hamiltonian H0 aufgenommen werden, sie
führen nur zu einer Änderung der Frequenz ω der Oszillatoren (vgl. Gleichung (7)). Die
Wechselwirkung bei Neudefinition der Kreisfrequenz ist demnach proportional zu −x̂1 x̂2 .
Drückt man nun die beiden Ortsoperatoren äquivalent zu (11) durch die jeweiligen Leiteroperatoren aus und setzt diese Ausdrücke in den modifizierten Wechselwirkungs-Operator
HI′ ein, so lässt sich dieser schreiben als:
ĤI′ = −J(a1† a2 + a2† a1 + a1 a2 + a1† a2† ).
(25)
Hierbei beschreibt J die Kopplungsstärke zwischen den beiden Oszillatoren. Die letzten beiden
Summanden dieses Wechselwirkungs-Operators ĤI′ können dabei vernachlässigt werden,
da sie zu sehr schnellen Oszillationen führen, welche man bei der Betrachtung längerer
Zeiträume vernachlässigen kann. Diese Approximation wird als rotating wave approximation
bezeichnet. [1, 5] Der Wechselwirkungs-Operator, der nun schlussendlich näherungsweise die
Kopplung zweier harmonischer Oszillatoren beschreibt, lautet demnach:
Ĥ1 = −J(a1† a2 + a2† a1 ).
(26)
Der Hamiltonian, mit dem nun zwei gekoppelte ideale Resonatoren für Photonen beschrieben
werden, lautet damit nach dem Zusammenfügen der Operatoren (19) und (26):
Ĥges = Ĥ0 + Ĥ1 = ħω(n̂1 + n̂2 + 1) − J(a1† a2 + a2† a1 ).
(27)
Aufgabe ist es nun die Eigenzustände und das Spektrum von Ĥges zu bestimmen. Dies gelingt
wie im klassischen Fall zweier gekoppelter Oszillatoren, indem man versucht das System aus
den beiden gekoppelten harmonischen Oszillatoren unter Verwendung von Eigenmoden
durch zwei entkoppelte harmonische Oszillatoren zu beschreiben. Dazu ist es hilfreich den
Hamiltonian zunächst in folgender Form aufzuschreiben:
2
Ĥges = ħω(a1† a1 + a2† a2 ) − J(a1† a2 + a2† a1 ) + ħω = ∑ H i j a †i a j + ħω.
i, j=1
6
(28)
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
Die Summe kann hierbei auch in Matrix-Vektorform geschrieben werden:
−J
a
) ( 1 ) + ħω.
ħω a2
†
a
ħω
Ĥges = ( 1 ) (
a2
−J
(29)
Der Hamiltonian lässt sich demnach diagonalisieren, indem man die symmetrische 2 × 2Matrix auf Diagonalgestalt bringt. Man findet hierbei die Eigenwerte λ± = ħω ± J der Matrix.
Als normierte Eigenvektoren kann man dann n± = √1 2 (1, ∓1) angeben. Sie können in einer
unitären Matrix
1 1 1
)
U=√ (
(30)
2 1 −1
zusammengefasst werden, mit deren Hilfe man Gleichung (29) auf die gewünschte Gestalt
zweier entkoppelter harmonischer Oszillatoren bringen kann. Dazu transformiert man die
Matrix und den Vektor folgendermaßen:
ħω
U(
−J
−J
ħω − J
0
) U† = (
)
ħω
0
ħω + J
1 a + a2
A
a
) ≡ ( 1) .
und U ( 1 ) = √ ( 1
a2
A2
2 a1 − a2
(31)
Das System wird damit ebenso durch den Hamiltonian
ħω − J
0
A
A
) ( 1 ) + ħω
Ĥges = ( 1 ) (
A2
0
ħω + J A2
1
1
= (ħω − J) (A†1 A1 + ) + (ħω + J) (A†2 A2 + )
2
2
†
(32)
beschrieben. Letzterer ist nunmehr der bekannte Ausdruck zweier unabhängiger Oszillatoren
mit den entsprechenden Frequenzen (ω ± ħJ ). Denn es können mit den Vertauschungsrelationen (20) und den Definitionen von A1 und A2 (vgl.: Gleichung (31)) folgende KommutatorGleichungen gezeigt werden:
[A i , A j ] = 0,
[A†i , A†j ] = 0 und
[A i , A†j ] = δ i j .
(33)
Die Eigenzustände der beiden gekoppelten Oszillatoren sind damit wiederum Fock-Produktzustände, die nun jedoch zu den entkoppelten Oszillatoren gehören, welche sich in der Frequenz unterscheiden. Diese sollen im folgenden immer mit
∣N1 ⟩1 ⊗ ∣N2 ⟩2 ≡ ∣N1 ; N2 ⟩ ≡ ∣N − K; K⟩
mit
N1 , N2 , N , K ∈ N und
K≤N
(34)
gekennzeichnet werden. Das Spektrum des Systems erhält man, indem man den HamiltonOperator (32) auf die Eigenzustände {∣N − K; K⟩} anwendet. Es folgt, dass der Eigenwert E NK
zum Eigenvektor ∣N − K; K⟩ durch
E NK = ħω(N + 1) + J(2K − N)
mit
N , K ∈ N und
K≤N
(35)
gegeben ist. Die Eigenwerte zu festem N sind damit nicht entartet. Die Kopplung scheint
demnach die (n + 1)-fache Entartung im Allgemeinen aufgehoben zu haben, welche für
eine feste Photonenzahl n im ungekoppelten Zustand der beiden identischen harmonischen
Oszillatoren gefunden wurde.
7
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
3.3 Zeitliche Entwicklung von Fock-Produktzuständen zweier
gekoppelter Resonatoren
Im weiteren wird die Dynamik der Fock-Produktzustände zweier unabhängiger Resonatoren bestimmt, nachdem eine Kopplung hinzugefügt wurde, die durch den Hamiltonian (26)
beschrieben werden kann. Da das Spektrum und die Eigenzustände der gekoppelten Resonatoren bereits aus Abschnitt 3.2 bekannt sind, muss man dafür nach Kapitel 2 im wesentlichen
noch die Gewichte c K,N
j,n berechnen, durch welche der Fock-Produktzustand ∣n − j, j⟩ in der
Basis der Eigenvektoren {∣N − K; K⟩} beschrieben wird.
N
∣n − j, j⟩ = ∑ ∑ c K,N
j,n ∣N − K; K⟩
∞
N=0 K=0
(36)
Zunächst kann hierbei eine Beziehung zwischen der Gesamt-Photonenzahl n und N hergestellt
werden. Denn aus der Definition der Leiteroperatoren (vgl.: Gleichung (31)), welche das
gekoppelte System beschreiben, ergibt sich:
A†1 A1 + A†2 A2 = a1† a1 + a2† a2 .
(37)
Wendet man diese Operator-Gleichung auf die Darstellung des Fock-Produktzustandes in
der Basis der Eigenvektoren an, so erhält man folgende neue Gleichung:
N
N
K,N
n ∣n − j, j⟩ = ∑ ∑ c K,N
j,n n ∣N − K; K⟩ = ∑ ∑ c j,n N ∣N − K; K⟩ .
∞
∞
!
N=0 K=0
N=0 K=0
(38)
Diese kann aufgrund der Orthogonalität der Basis nur dann erfüllt werden, wenn gilt:
n=N
und
K,N
c K,N
j,n = c j,n δ nN .
(39)
Der Fock-Produktzustand ∣N − j, j⟩ kann demnach in der Basis der Eigenvektoren folgendermaßen dargestellt werden:
N
∣N − j, j⟩ = ∑ c Kj,N ∣N − K; K⟩ .
K=0
(40)
Die Gewichte c Kj,N kann man nun rekursiv bestimmen. Dazu benötigt man die OperatorGleichung
a1† a1 − a2† a2 = A†1 A2 + A†2 A1 ,
(41)
welche man wiederum aus der Definition der Leiteroperatoren der gekoppelten Oszillatoren
erhält. Wendet man diese Operator-Gleichung nun auf die gefundene Darstellung des FockProduktzustandes (40) an, erhält man zunächst die Gleichung:
(N − 2 j) ∣N − j, j⟩
N
√
√
(42)
= ∑ c Kj,N ( (N − K + 1)K ∣N − K + 1; K − 1⟩ + (N − K)(K + 1) ∣N − K − 1; K + 1⟩) .
K=0
Die linke Seite kann dabei ebenfalls als Summe über die Basisvektoren geschrieben werden.
Definiert man sich zusätzlich zwei weitere Gewichte
N+1
c −1
j,N = c j,N = 0,
8
(43)
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
so erhält man, nach zwei Indexverschiebungen um ±1 auf der rechten Seite und anschließender
Subtraktion dieser Seite der Gleichung von der linken, folgenden Ausdruck:
√
√
(N − K)(K + 1) − c K−1
(N − K + 1)K) = 0.
∑ ∣N − K; K⟩ ((N − 2 j)c Kj,N − c K+1
j,N
j,N
N
K=0
(44)
Da die Eigenzustände orthogonal zueinander sind, folgt, dass der in Klammern stehende
Ausdruck für sich Null sein muss, damit die Gleichung erfüllt werden kann. Löst man ihn
zum Beispiel nach c K+1
j,N auf, so erhält man damit eine Rekursionsformel für die Gewichte.
√
K
K−1
(N
−
2
j)c
−
c
(N − K + 1)K
j,N
j,N
√
c K+1
mit c −1
(45)
j,N =
j,N = 0
(N − K)(K + 1)
c 0j,N ist zunächst ein freier Parameter, der sich später aus der Normierung ⟨N − j, j∣N − j, j⟩ = 1
bestimmen lässt. Durch vollständige Induktion kann man nun zeigen, dass die Gewichte auch
auf folgende Weise rekursiv bestimmt werden können:
1
c Kj,N
N −2
= ( ) s Kj,N c 0j,N mit s −1
s0j,N = 1
j,N = 0,
K
(N − 2 j)s Kj,N − (N − K + 1)s K−1
j,N
.
und s K+1
=
j,N
K +1
(46)
Es fällt auf, dass die Phase eines jeden Gewichtes jener von c 0j,N entspricht, da sämtliche
weiteren in der Rekursionsformel auftretenden Größen rein reell sind. c 0j,N selbst ergibt sich
dabei wieder aus der Normierungsbedingung. Mit
N N
N
N
N −1
1 = ∑ ∑ c Kj,N (c Lj,N )∗ ⟨N − L; L∣N − K; K⟩ = ∑ ∣c Kj,N ∣2 = ∣c 0j,N ∣2 ∑ ( ) (s Kj,N )2
K=0 L=0
K=0
K=0 K
kann man somit
c 0j,N = √
1
N
∑
K=0
(47)
(48)
−1
(NK ) (s Kj,N )2
wählen und erhält damit rein reelle Gewichte. Die Rückkehrwahrscheinlichkeit oder eine
beliebige Übergangswahrscheinlichkeit in einen Zustand gleicher Gesamtzahl an Photonen
lässt sich nun gemäß Kapitel 2 mit Hilfe der reell gewählten Gewichte und den Eigenwerten
E NK (vgl.: Gleichung (21)) allgemein berechnen.
N
⟨N − l , l∣ e− ħ Ĥges t ∣N − j, j⟩ = e−iω(N+1)t ∑ c lK,N c Kj,N e− ħ J(2K−N)t
i
K=0
i
(49)
Unter anderem für j = 0 und j = N lassen sich über die Rekursionsformel (46) auch
explizite Ausdrücke für die jeweiligen Gewichte finden. Mit diesen lassen sich die Rückkehrund Übergangsamplituden in die beiden Zustände explizit berechnen.
Dazu man kann zunächst induktiv zeigen, dass die Relationen
N
K
s0,N
=( )
K
N
s NK ,N = (−1)K ( )
K
und
9
(50)
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
0
erfüllt werden. Weiter können die Gewichte c0,N
und c 0N ,N aus der Normierung zu
0
c0,N
= c 0N ,N = √
1
= 2− 2
N
N
∑ (K )
N
K=0
(51)
bestimmt werden. Die expliziten Ausdrücke der Gewichte lauten damit:
K
c0,N
=2
− N2
1
N 2
( )
K
c NK ,N
und
Für die Rückkehramplituden ergibt sich damit:
=2
1
− N2
N 2
(−1) ( ) .
K
K
(52)
N
K
JN
N
i
i
i
⟨N , 0∣ e− ħ Ĥges t ∣N , 0⟩ = ⟨0, N∣ e− ħ Ĥges t ∣0, N⟩ = e−i[ω(N+1)− ħ ]t ⋅ 2−N ∑ ( ) [e− ħ 2Jt ]
K=0 K
iJ t
iJ t N
Jt
= e−iω(N+1)t ⋅ 2−N (e ħ + e− ħ ) = e−iω(N+1)t ⋅ cosN ( ) .
ħ
(53)
Dagegen lassen sich die Übergangsamplituden vom Zustand ∣N , 0⟩ zu ∣0, N⟩ und umgekehrt
zu
⟨N , 0∣ e− ħ Ĥges t ∣0, N⟩ = ⟨0, N∣ e− ħ Ĥges t ∣N , 0⟩
i
i
= e−iω(N+1)t ⋅ 2−N (e ħ − e− ħ ) = e−iω(N+1)t ⋅ iN sinN (
iJ t
iJ t
N
berechnen. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten lauten dann:
Jt
)
ħ
Jt
),
ħ
Jt
i
i
∣ ⟨N , 0∣ e− ħ Ĥges t ∣0, N⟩ ∣2 = ∣ ⟨0, N∣ e− ħ Ĥges t ∣N , 0⟩ ∣2 = sin2N ( ) .
ħ
∣ ⟨N , 0∣ e− ħ Ĥges t ∣N , 0⟩ ∣2 = ∣ ⟨0, N∣ e− ħ Ĥges t ∣0, N⟩ ∣2 = cos2N (
i
(54)
i
(55)
Für N = 10 und eine Kopplungskonstante J = ħ s1 sind die beiden Kurven in Abbildung 3
dargestellt.
Man erkennt, dass die Bereiche, in denen beide Wahrscheinlichkeiten von Null verschieden
sind, mit steigender Gesamt-Photonenzahl schnell kleiner werden und bald vernachlässigbar
sind, wie bereits für N = 10. Ein verschränkter Zustand, der ∣N , 0⟩ und ∣0, N⟩ enthält existiert
demnach höchstwahrscheinlich nicht.
Stellt man die ursprüngliche Rekursionsformel der Gewichte (45) nach c K−1
j,N um und beachtet
N
die zusätzlich definierten Gewichte (43), so kann man auch eine von c j,N abhängige Rekursion
finden, welche nach einer Indexverschiebung von K nach N − K die folgende Form annimmt:
1
N −2
N
= ( ) z N−K
mit z N+1
z Nj,N = 1
j,N c j,N
j,N = 0,
K
N−K+1
(N − 2 j)z N−K
j,N − (N − K + 1)z j,N
und z N−K−1
=
.
j,N
K +1
c N−K
j,N
(56)
Vergleicht man diese Rekursion mit der bereits gefundenen (46), so erhält man mit
s Kj,N = z N−K
j,N
10
(57)
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
Abb. 3: Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeit ∣ ⟨N − k, k∣e−
k ∈ {0, 10} mit J = ħ s1 .
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ ∣2 für N = 10, j = 0 und
aus der Normierungsbedingung:
∣c Nj,N ∣ = √
1
N
∑
K=0
−1
(NK ) (z Kj,N )2
= ∣c 0j,N ∣.
(58)
Für rein reelle Gewichte folgt damit, wenn man die Rekursionen (46) und (56) sowie Gleichung (57) beachtet:
K
N−K
K
∀K ≤ N ∶ c N−K
j,N = c j,N ⇔ s j,N = s j,N
K
N−K
K
oder ∀K ≤ N ∶ c N−K
j,N = −c j,N ⇔ s j,N = −s j,N . (59)
Ebenso hat man durch die Bestimmung der Rekursionsformeln der Gewichte zur Darstellung der Fock-Produktzustände in der Basis der Eingenvektoren gleichzeitig auch jene
Gewichte zur Darstellung der Eigenvektoren in der Basis der Fock-Produktzustände erhalten,
da man mit der Darstellung
N
∣N − K; K⟩ = ∑ (c Kj,N )∗ ∣N − j, j⟩
K=0
und der Gleichung
A†1 A1 − A†2 A2 = a1† a2 + a2† a1
11
(60)
(61)
3 Resonatoren - harmonische Oszillatoren
die gleichen Bedingungen für die Gewichte unter Vertauschung von j und K herleiten kann.
Wie zum Beispiel:
1
c Kj,N
N −2
K
K
K
= ( ) s Kj,N c0,N
mit s−1,N
= 0, s1,N
=1
j
(N − 2K)s Kj,N − (N − j + 1)s Kj−1,N
K
und s j+1,N =
.
j+1
12
(62)
4 Quanten-Punkte - Zwei-Niveau-Systeme
4 Quanten-Punkte - Zwei-Niveau-Systeme
Jedes Zwei-Niveau-System kann durch ein fiktives Spin- 12 -Teilchen beschrieben werden. [2]
Dieses wiederum wird durch die hermiteschen Pauli-Matrizen beschrieben, welche die für
Spinkomponenten typische Vertauschungsrelation
[σi , σ j ] = 2iε i jk σk
i, j, k ∈ {x, y, z}
mit
(63)
erfüllen. In der Basis der z-Komponente des Spins sind sie durch
0 1
),
σx = (
1 0
0 −i
),
σy = (
i
0
und
1 0
)
σz = (
0 −1
(64)
gegeben. Die Eigenvektoren der σz -Pauli-Matrix und ihre Eigenwerte sind:
1
∣↑⟩ ≡ ( )
0
σz ∣↑⟩ = ∣↑⟩
mit
und
0
∣↓⟩ ≡ ( )
1
mit
σz ∣↓⟩ = − ∣↓⟩ .
(65)
Weiterhin können die beiden Leiteroperatoren σ − und σ + eingeführt werden:
σ− =
σx − iσy
2
und
σ+ =
Sie erfüllen die fermionische Vertauschungsrelation: [1]
σx + iσy
.
2
{σ − , σ + } = σ − σ + + σ + σ − = 1.
(66)
(67)
Wendet man die Leiteroperatoren auf die Eigenvektoren der σz -Pauli-Matrix an, ergibt dies:
σ − ∣↑⟩ = ∣↓⟩ ,
σ − ∣↓⟩ = 0 und
σ + ∣↑⟩ = 0,
σ + ∣↓⟩ = ∣↑⟩ .
(68)
σz kann man dabei mit Hilfe der Leiteroperatoren auch wie flogt schreiben: [1]
σz = σ + σ − − σ − σ + = [σ + , σ − ].
(69)
4.1 Einzelner Quanten-Punkt bei angelegtem Feld
Es soll nun mit Hilfe der Spin- 12 -Notation ein einzelner Quanten-Punkt in einem externen
Feld untersucht werden. Ein Quanten-Punkt stellt nämlich im Bereich der Resonanz zweier Niveaus seines Spektrums mit dem Feld näherungsweise ein Zwei-Niveau-System dar.
Der Hamiltonian, mit dem er beschrieben werden kann, ist damit allein abhängig von der
Energiedifferenz ε der beiden Niveaus:
ε
ĤQD = σz .
2
(70)
Für ε > 0 stellt ∣↓⟩ dabei den Grundzustand und ∣↑⟩ den angeregten Zustand des QuantenPunktes dar.
Für ein Atom ist die Kopplung an ein klassisches elektrisches Feld E⃗ in erster Ordnung über
sein Dipolmoment p⃗ gemäß − p⃗E⃗ gegeben. Äquivalent lässt sich auch die Wechselwirkung des
13
4 Quanten-Punkte - Zwei-Niveau-Systeme
Quanten-Punktes mit dem Feld beschreiben. Nach einer rotating wave approximation ergibt
sich der zeitunabhängige Wechselwirkungs-Hamiltonian: [1, 6]
ĤI = д(σ + + σ − ).
(71)
Durch д wird dabei die Amplitude des Feldes berücksichtigt. Insgesamt ergibt sich für das
System damit ein Hamiltonian:
ε
Ĥ = σz + д(σ + + σ − ).
2
(72)
Um die Eigenwerte und Eigenvektoren dieses Hamiltonians zu finden, schreibt man ihn mit
Hilfe der Pauli-Matrizen als Matrix
ε
д
)
H = (2
д − 2ε
(73)
und diagonalisiert diese anschließend.
Aus der Bedingung det(H − λ) = 0 erhält man dabei zunächst die beiden Eigenwerte λ± mit:
√
ε2
+ д2 .
(74)
λ± = ±
4
Für die Gewichte c↑± und c↓± zur Darstellung der Eigenvektoren ∣λ± ⟩ in der Basis {∣↑⟩ , ∣↓⟩} der
Eigenvektoren der σz -Pauli-Matrix
erhält man dann die Bedingung:
⎛ε
∓
⎝2
∣λ± ⟩ = c↑± ∣↑⟩ + c↓± ∣↓⟩
√
⎞
ε2
+ д2 c↑± + дc↓± = 0.
4
⎠
Normiert kann man die Eigenvektoren des Systems somit schreiben als:
√
c↓± ± ε2 + 4д2 − ε
∣λ± ⟩ = cos α± ∣↑⟩ + sin α± ∣↓⟩ mit tan α± = ± =
.
c↑
2д
(75)
(76)
(77)
4.2 Zwei gekoppelte Quanten-Punkte
Ausgehend von einem einzelnen Quanten-Punkt in einem externen Feld soll nun auch die
Kopplung zweier identischer Quanten-Punkte bei anliegendem Feld untersucht werden. Neben den Hamilton-Operatoren, welche die beiden Quanten-Punkte beschreiben, wird dabei
die Wechselwirkung zwischen ihnen mit Hilfe der Leiteroperatoren der Quanten-Punkte
äquivalent zur Kopplung zweier harmonischer Oszillatoren (26) beschrieben. Insgesamt ergibt
sich damit als Hamiltonian für das System:
2
ε
Ĥ = ∑ [ σiz + д(σi+ + σi− )] − jT (σ1+ σ2− + σ2+ σ1− ).
i=1 2
14
(78)
4 Quanten-Punkte - Zwei-Niveau-Systeme
jT ist dabei wiederum von der Stärke der Kopplung abhängig. Sämtliche Operatoren eines
Quanten-Punktes kommutieren dabei mit jenen des anderen Zwei-Niveau-Systems. Untereinander erfüllen sie dagegen die zu Beginn des Kapitels eingeführten Vertauschungsrelationen (63).
Um nun das Spektrum und die Eigenzustände zu finden, kann man den Hamiltonian in Matrixform schreiben. Wählt man dazu als Basis die Produktzustände {∣↑, ↑⟩ , ∣↑, ↓⟩ , ∣↓, ↑⟩ , ∣↓, ↓⟩} mit
∣s1 ,s2 ⟩ ≡ ∣s1 ⟩1 ⊗ ∣s2 ⟩2 , wobei mit ∣s⟩i die zur σiz -Matirx des i-ten Quanten-Punktes gehörenden
Eigenvektoren bezeichnet werden, so ergibt sich für den Hamilton-Operator die Matrix
д
д
0⎞
⎛ε
0 − jT
д⎟
⎜д
⎟.
H=⎜
⎜ д − jT
0
д⎟
⎝0
д
д −ε ⎠
(79)
Da das Bestimmen der Eigenwerte in diesem Fall auf die Suche der Nullstellen eines Polynoms
vierten Grades hinausläuft, betrachten wir zunächst den Fall, dass es keine Wechselwirkung
mit einem externen Feld gibt. Denn für д = 0 können die ersten zwei Eigenwerte und Eigenvektoren des Hamilton-Operators (78) sofort angegeben werden:
∣ε⟩ = ∣↑, ↑⟩
∣−ε⟩ = ∣↓, ↓⟩
mit
mit
Ĥ(д = 0) ∣ε⟩ = ε ∣ε⟩ ,
Ĥ(д = 0) ∣−ε⟩ = −ε ∣−ε⟩ .
(80)
Das Problem der Diagonalisierung der 4 × 4-Matrix reduziert sich damit auf die Diagonalisierung der 2 × 2-Matrix
0 − jT
(
).
(81)
− jT
0
Als weitere Eigenwerte findet man dabei jT und − jT mit den Eigenvektoren:
1
∣ jT ⟩ = √ (∣↑, ↓⟩ − ∣↓, ↑⟩) und
2
1
∣− jT ⟩ = √ (∣↑, ↓⟩ + ∣↓, ↑⟩).
2
(82)
Die Eigenvektoren der gekoppelten Quanten-Punkte ohne äußeres Feld entsprechen demnach, wie man aufgrund der äquivalenten Beschreibung bereits hätte erahnen können, den
Singulett- (∣ jT ⟩) und Triplett-Zuständen (∣ε⟩ , ∣−ε⟩ und ∣− jT ⟩) eines Systems bestehend aus
zwei gekoppelten Spin- 12 -Teilchen. Die beiden Zustände ∣ jT ⟩ und ∣− jT ⟩ sind dabei in der gewählten Basis maximal verschränkt und gehören zu den Bell-Zuständen zweier gekoppelter
Zwei-Niveau-Systeme. [1]
Es zeigt sich nun hilfreich, den Hamilton-Operator (78) als Matrix in der Basis der Singulettund Triplett-Zustände, statt in der Basis der Produktzustände der Eigenvektoren der σiz Matrizen zu schreiben, da der Singulett-Zustand auch bei angelegtem Feld ein Eigenvektor
des Hamilton-Operators ist.
√
2д √0
0⎞
⎛√−ε
⎜
2д − jT
2д 0 ⎟
⎟
H′ = ⎜
(83)
⎜ 0 √2д
ε
0⎟
⎜
⎟
⎝ 0
0
0
jT ⎠
15
4 Quanten-Punkte - Zwei-Niveau-Systeme
Somit muss nur noch die 3 × 3-Matrix
√
2д √0 ⎞
⎛√−ε
M = ⎜ 2д √
− jT
2д⎟
⎝ 0
2д
ε ⎠
(84)
diagonalisiert werden. Demnach muss man bei der Suche der Eigenwerte auch nur noch die
Nullstellen eines Polynoms dritten Grades lösen.
det(M − λ) = −λ3 − jT λ2 + (ε2 + 4д2 )λ + ε2 jT = 0
!
Dazu bringt man die Gleichung (85) zunächst durch die Substitution x = λ +
Normalform:
mit
p = − (ε2 + 4д2 +
x 3 + px + q = 0
j2T
)
3
und
q=
2 jT j2T
( + 2д2 − ε2 ) .
3
9
(85)
jT
3
auf die
(86)
Mit Hilfe der Cardano’schen Lösungsformel erhält man dann drei Lösungen für x: [7]
x1 = u+ + u− , x2 = ρ+ u+ + ρ− u− , x3 = ρ− u+ + ρ+ u−
¿
√
√
Á
3
q
q 2 p3
−1 ± i 3
Á
À
mit u± =
− ±
+
und ρ± =
.
2
4 27
2
(87)
Ob die Lösungen alle reell oder teilweise komplex sind, wird dabei durch die Diskriminante
p 3
q 2
D =( ) +( )
2
3
jT 2
jT 4
jT 2
= − [(ε + 4д ) + ( ) {26 ( ) + ( ) (29ε2 + 104д2 ) + 8ε4 + 140д4 + 76д2 ε2 }]
3
3
3
(88)
2
2 3
bestimmt. Nur für eine positive Diskriminante findet man zwei komplexe Werte für x. [7]
Da alle drei Koeffizienten ε, д und jT rein reell sind, muss die Diskriminante in diesem Fall
kleiner oder gleich Null sein. Dementsprechend findet man nur rein reelle Werte für x. Dies
kann man auch bereits aus der Hermitizität des Hamilton-Operators schließen. Aufgrund der
zuvor gewählten Substitution ergeben sich die drei weiteren Eigenwerte neben jT zu:
λi = xi −
jT
.
3
(89)
Für die Gewichte zur Darstellung der dazugehörigen Eigenvektoren in der Basis der TriplettZustände
∣λ i ⟩ = c1i ∣−ε⟩ + c2i ∣− jT ⟩ + c3i ∣ε⟩
(90)
können nun mit Hilfe der Eigenwerte folgende Bedingungen aus der Matrix M abgeleitet
werden:
√
√
c3i
c1i
2д
2д
=
und
=
.
(91)
i
i
c2 λ i + ε
c2 λ i − ε
16
4 Quanten-Punkte - Zwei-Niveau-Systeme
Die Gewichte der normierten Eigenvektoren können dann mit Hilfe der trigonometrischen
Funktionen folgendermaßen geschrieben werden:
mit
tan α i =
c1i = sin α i sin β i ,
c1i λ i − ε
=
c3i λ i + ε
c2i = cos β i , c3i = cos α i sin β i
√
(c1i )2 + (c3i )2
2д √ 2 2
und tan β i =
=
λi + ε .
λ2i − ε2
c2i
17
(92)
5 Atome in Resonatoren - CQED
5 Atome in Resonatoren - CQED
Das Verhalten von Atomen oder Quanten-Punkten in einem elektromagnetischen Feld ändert sich stark, wenn sie sich statt im freien Raum in Resonatoren befinden. Denn wie in
Kapitel 3 beschrieben, sind in einem Resonator nur noch diskrete Feldmoden erlaubt, in
denen dauerhaft Photonen vorhanden sein können. Dadurch wird zum Beispiel die spontane
Emissionsrate der genäherten Zwei-Niveau-Systeme stark beeinflusst. [8] Zudem kann es zu
Phänomenen kommen, die man bei Atomen im freien Raum überhaupt nicht beobachtet. Wie
bei komplexeren Anfangszuständen, wenn der Resonator sich zum Beispiel in einem kohärenten Zustand befindet, bei denen es zu einem plötzlichen Verschwinden und Wiedererscheinen
(en.: collapse and revivals) der Oszillationen der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes kommen
kann. [1] Aufgrund der interessanten und eventuell in der Technik anwendbaren grundlegend
quantenmechanischen Eigenschaften wurden und werden derartige Systeme in letzter Zeit
mit Hilfe neuer Technologien immer stärker untersucht. Der sich dabei gebildete Teilbereich
der Physik wird als Hohlraum-Quantenelektrodynamik (en.: cavity quantum elektrodynamics,
CQED) bezeichnet.
5.1 Jaynes-Cummings-Modell
Ursprünglich als idealisierte Beschreibung der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder
mit Materie von Jaynes und Cummings 1963 eingeführt, beschreibt das Jaynes-CummingsModell sehr exakt die Situation eines Atoms oder Quanten-Punktes in einem Resonator, wie
sie heute in der CQED experimentell untersucht wird. [1, 9]
Der Hamiltonian des Modells lautet:
ε
ĤJC = ħωa † a + σz + д(aσ + + a † σ − ).
2
(93)
Man identifiziert zum einem die Operatoren des ungekoppelten Systems aus einem Spin- 12 Teilchen und einem eindimensionalen harmonischen Oszillator
ε
Ĥ0 = ħωa † a + σz ,
2
(94)
wobei in diesem Fall die Energie des Grundzustandes des Oszillators auf Null gesetzt wurde.
Zum anderen findet man die Kopplung des Zwei-Niveau-Systems an das elektromagnetische
Feld des Resonators:
H1 = д(aσ + + a † σ − ).
(95)
Anders als bei der Kopplung an ein klassisches Feld im freien Raum (71) findet man in diesem
Fall eines gequantelten Feldes mit endlich vielen Feldquanten auch die Leiteroperatoren des
Feldes in der Kopplung wieder.
Um den Hamilton-Operator des Jaynes-Cummings-Modells zu diagonalisieren, betrachtet
man wiederum die Wirkung des Hamiltonians auf die Tensor-Produktzustände des ungekoppelten Systems aus Quanten-Punkt und Resonator (94):
∣s⟩ ⊗ ∣n⟩ ≡ ∣s, n⟩
mit
s ∈ {↑, ↓} und
18
n ∈ N.
(96)
5 Atome in Resonatoren - CQED
Dabei stellt man zunächst fest, dass der Grundzustand ∣↓, 0⟩ auch Eigenvektor von ĤJC zum
Eigenwert − 2ε ist. Weiter findet man für eine Photonenzahl n ≥ 1
√
ε
ĤJC ∣↓, n⟩ = [ħωn − ] ∣↓, n⟩ + д n ∣↑, n − 1⟩ ,
2
√
ε
ĤJC ∣↑, n − 1⟩ = [ħω(n − 1) + ] ∣↑, n − 1⟩ + д n ∣↓, n⟩ .
2
(97)
Da für n ≥ 1 die Matrixeinträge ⟨s′ , n′ ∣ ĤJC ∣s, n⟩ demnach nur unter der Bedingung
∣s′ , n′ ⟩ ∧ ∣s, n⟩ ∈ {∣↓, n⟩ , ∣↑, n − 1⟩}
(98)
von Null verschieden sind, zerfällt die Matrix des Hamilton-Operators deshalb in 2 × 2Matrizen der Gestalt
√
ε
2д
ħωn
−
2
) mit n ∈ N / {0} = N∗
(99)
HJC,n = ( √
2д
ħω(n − 1) + 2ε
und den Eigenwert − 2ε des Grundzustandes ∣↓, 0⟩. Für eine maximale Photonenzahl n ≥ 1 im
Resonator erhält man demnach die Eigenwerte und Eigenvektoren durch Diagonalisieren der
Matrizen HJC,n . Über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von HJC,n erhält man
dabei zunächst wiederum zwei Eigenwerte
¿
Á ħω − ε 2
1
Á
) + nд2 ,
(100)
λ±n = ħω(n − ) ± À(
2
2
mit welchen man dann die Bedingung
±
√
c↑,n
1
= (δ n ± 4 + δ n2 )
±
c↓,n 2
mit
ε − ħω
δn = √
nд
(101)
für die Gewichte der Einzustände in der Basis der Produktzustände
±
±
∣n ∶ ±⟩ ≡ ∣λ±n ⟩ = c↓,n
∣↓, n⟩ + c↑,n
∣↑, n − 1⟩
(102)
ableiten kann. Normiert kann man die meist verschränkten Eigenvektoren zu den Eigenwerten
λ±n dann mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen schreiben.
∣n ∶ ±⟩ = cos α±n ∣↓, n⟩ + sin α±n ∣↑, n − 1⟩
mit
√
1
tan α±n = (δ n ± 4 + δ n2 )
2
(103)
Für die zeitliche Entwicklung der Produktzustände ∣↓, n⟩ und ∣↑, n − 1⟩ folgt nun gemäß
Kapitel 2:
∣↓, n(t)⟩ = e
−iω(n− 21 )t
∣↑, n − 1(t)⟩ = e
−
[(cos α+n )∗ e ħ
−iω(n− 21 )t
it
−
[(sin α+n )∗ e ħ
it
√
2
( ε−ħω
) +nд 2
2
√
2
( ε−ħω
) +nд 2
2
19
∣n ∶
∣n ∶
+⟩ + (cos α−n )∗ e ħ
it
+⟩ + (sin α−n )∗ e ħ
it
√
2
( ε−ħω
) +nд 2
2
√
2
( ε−ħω
) +nд 2
2
∣n ∶ −⟩] ,
∣n ∶ −⟩] .
(104)
5 Atome in Resonatoren - CQED
Für δ n = 0, das heißt sehr viele Photonen (n → ∞) oder bei Resonanz zwischen dem Resonator
und dem Atom oder Quanten-Punkt (ε − ħω = 0), kann man die hergeleiteten Formeln weiter
kürzen. Für die beiden Eigenwerte und Eigenvektoren ergibt sich dabei:
√
1
λ±n = ħω (n − ) ± nд,
2
1
∣n ∶ ±⟩ = √ (∣↓, n⟩ ± ∣↑, n − 1⟩).
2
(105)
Die Eigenzustände sind in diesem Fall demnach maximal verschränkt, wohingegen sich die
Verschränkung mit δ n → ±∞ immer weiter aufhebt und die Eigenzustände in die reinen
Zustände ∣↓, n⟩ und ∣↑, n − 1⟩ übergehen. Für die Dynamik der Zustände ∣↓, n⟩ und ∣↑, n − 1⟩
findet man:
√
√
i n дt
i n дt
1
1
∣↓, n(t)⟩ = e−iω(n− 2 )t ⋅ √ [e− ħ ∣n ∶ +⟩ + e ħ ∣n ∶ −⟩] ,
2
√
√
i n дt
i n дt
1
−iω(n− 21 )t
− ħ
∣↑, n − 1(t)⟩ = e
∣n ∶ +⟩ − e ħ ∣n ∶ −⟩] .
⋅ √ [e
2
(106)
Es lassen sich dann die folgenden Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten berechnen:
√
nд
2
2
2
t) ,
∣ ⟨↓, n∣ ↓, n(t)⟩ ∣ = ∣ ⟨↑, n − 1∣ ↑, n − 1(t)⟩ ∣ = cos (
ħ
(107)
√
nд
2
2
2
∣ ⟨↑, n − 1∣ ↓, n(t)⟩ ∣ = ∣ ⟨↑, n − 1∣ ↓, n(t)⟩ ∣ = sin (
t) .
ħ
Es handelt sich demnach um Rabi-Oszillationen mit einer Frequenz Ω n = ħnд . Das heißt,
das System oszilliert in diesem Fall zwischen den beiden reinen Produktzuständen ∣↓, n⟩ und
∣↑, n − 1⟩ hin und her. Zwischenzeitlich befindet es sich aber auch in maximal verschränkten
Zuständen. Somit kann man auf diese Weise gezielt Verschränkung erzeugen.
√
5.2 Zwei gekoppelte Resonatoren mit je einem Atom
ε
ε
σz
ħω n̂
ħω n̂
σz
Abb. 4: Zwei gekoppelte
Resonatoren mit je einem
Zwei-Niveau-System in
Wechselwirkung mit dem
entsprechenden Feld.
Komplexer wird es nun, wenn man erlaubt, dass zwischen zwei identischen Systemen, bestehend aus einem Resonator und einem Atom darin, durch Kopplung der Resonatoren
Photonen ausgetauscht werden. Anders als im Falle gekoppelter harmonischer Oszillatoren
wechselwirken die Photonen dabei dann über die Atome indirekt auch untereinander. Es
sollte sich demnach in der Dynamik des Systems ein etwas anderes Bild ergeben als bei den
20
5 Atome in Resonatoren - CQED
gekoppelten harmonischen Oszillatoren.
Mit dem Hamilton-Operator für einen Resonator mit Atom (93) und dem Kopplungsterm
zweier harmonischer Oszillatoren (26) ergibt sich dabei für den Hamiltonian des eben beschriebenen Aufbaus:
2
ε
Ĥ = ∑ [ħωa †i a i + σiz + д(σi+ a i + a †i σi− )] − J(a1† a2 + a2† a1 ).
2
i=1
(108)
Man kann nun zeigen, dass der Hamiltonian des Systems mit dem Gesamt-Teilchenzahloperator
2
N̂ges = ∑ a†i a i + σi+ σi−
(109)
i=1
vertauscht. Dazu sei zunächst erwähnt, dass die Spin-Operatoren mit den Leiteroperatoren
der Felder kommutieren. Mit den Vertauschungsrelationen der Leiteroperatoren der beiden
Felder (20) und der möglichen Darstellung (69) von σiz kann man dann zunächst leicht
[N̂ges , a †i a j ] = 0 und [N̂ges , σiz ] = 0 mit
i, j ∈ {1, 2}
zeigen. Um die beiden Kommutatoren
[N̂ges , σi+ a i ] = 0 und
[N̂ges , a †i σi− ] = 0 mit
i ∈ {1, 2}
(110)
(111)
zu beweisen, stellt man die Leiteroperatoren der Spins dann am besten in der ebenfalls
geläufigen Notation
σi− = ∣↓⟩i ⟨↑∣i
und
σi+ = ∣↑⟩i ⟨↓∣i
mit
i ∈ {1, 2}
(112)
dar. Da der Gesamt-Teilchenzahloperator und der Hamilton-Operator demnach nun vertauschen, besitzen sie einen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenvektoren. Gleichzeitig bilden
die Produktzustände
mit
∣n − k, s1 ; k, s2 ⟩ = ∣n − k, k⟩ ∣s1 ⟩1 ∣s2 ⟩2
n, k ∈ N, k ≤ n und ∣s i ⟩i ∈ {∣↑⟩i , ∣↓⟩i },
i ∈ {1, 2},
(113)
einen vollständigen Satz von Eigenvektoren des Gesamt-Teilchenzahloperators. Die gemeinsamen Eigenvektoren können damit in der Basis der Produktzustände geschrieben werden.
Damit sie die Eigenwertgleichung für N̂ges erfüllen, können sich die gemeinsamen Eigenzustände demnach nur aus Eigenvektoren von N̂ges zu entarteten Eigenwerten zusammensetzen.
Der Grundzustand ∣0, ↓; 0, ↓⟩ von N̂ges ist nicht entartet und muss dementsprechend auch
Eigenvektor von Ĥ sein. Man findet:
Ĥ ∣0, ↓; 0, ↓⟩ = −ε ∣0, ↓; 0, ↓⟩ .
(114)
Zu einer Gesamt-Teilchenzahl N ≥ 1 gibt es dann jeweils 4N Zustände zum entarteten Eigenwert N. N + 1 Zustände mit beiden Atomen im Grundzustand, 2N mit einem angeregten
Atom und N − 1 Zustände, in denen beide Atome angeregt sind. Um nun das Teil-Spektrum
und die Eigenvektoren im Unterhilbertraum des Hamiltonians (108) zu einer vorgegebenen
Gesamt-Teilchenzahl N ≥ 1 zu finden, kann man demnach den Hamilton-Operator in der
21
5 Atome in Resonatoren - CQED
entsprechenden Basis der 4N Produktzustände zum Eigenwert N als 4N × 4N-Matrix schreiben und diese diagonalisieren. Dazu muss man zunächst die Nullstellen eines Polynoms vom
Grad 4N finden.
Neben den Produktzuständen ∣n − k, s1 ; k, s2 ⟩ gibt es auch noch weitere äquivalente Basen,
in denen man die Eigenzustände des Hamiltonians (108) darstellen kann. Eine davon ist die
Basis aus den Eigenvektoren der gekoppelten harmonischen Oszillatoren und den Zuständen
der beiden fiktiven Spin- 12 -Teilchen:
{∣n − k; k⟩ ∣s1 ⟩1 ∣s2 ⟩2 } mit
n, k ∈ N,
k≤n
und
∣s i ⟩i ∈ {∣↑⟩i , ∣↓⟩i },
i ∈ {1, 2}. (115)
Dies wird zum einen dadurch klar, dass sich die Fock-Produktzustände der ungekoppelten
harmonischen Oszillatoren und die Eigenzustände der gekoppelten Oszillatoren jeweils in
der Basis einer der beiden Systeme schreiben lassen. Zum anderen kann man auch für den
Gesamt-Teilchenoperator
2
N̂ges = ∑ A†i A i + σi+ σi−
(116)
i=1
und den Hamilton-Operator
ε
Ĥ = (ħω − J)A†1 A1 + (ħω + J)A†2 A2 + (σ1z + σ2z )
2
д
+
+
+ √ [σ1 (A1 + A2 ) + σ2 (A1 − A2 ) + σ1− (A†1 + A†2 ) + σ2− (A†1 − A†2 )]
2
(117)
in der Darstellung der entkoppelten harmonischen Oszillatoren äquivalent zu vorher zeigen, dass die beiden Operatoren vertauschen. Man sieht dies auch sofort daran, dass es
die selben Operatoren sind, nur in einer anderen Schreibweise. Damit folgert man wieder
die gleichen Bedingungen für die Darstellung der Eigenvektoren von Ĥ in der neuen Basis
{∣n − k; k⟩ ∣s1 ⟩1 ∣s2 ⟩2 }.
Da sich im allgemeinen nur Gleichungen bis zum Grad vier analytisch lösen lassen (Satz von
Abel, [7]), wollen wir uns zunächst auf den Fall einer Gesamt-Teilchenzahl N = 1 beschränken
und das sich ergebende Eigenwertproblem analytisch lösen. Einen allgemeine numerische
Lösung des Eigenwertproblems und die Dynamik der Produktzustände ist in Kapitel 7 zu
finden.
Bei der Suche der Eigenwerte stellt es sich als hilfreich heraus die Basis der Eigenzustände
der gekoppelten Oszillatoren zu verwenden, da dann statt den Nullstellen eines Polynoms
vierten Grades nur noch die Lösungen zweier quadratischer Gleichungen zu suchen sind.
Der Hamilton-Operator (117) in Matrixgestalt in der Basis der vier Zustände ∣1; 0⟩ ∣↓⟩ ∣↓⟩,
∣0; 0⟩ ∣↑⟩ ∣↓⟩, ∣0; 0⟩ ∣↓⟩ ∣↑⟩ und ∣0; 1⟩ ∣↓⟩ ∣↓⟩ lautet:
⎛ E−
⎜ √д
⎜
H1 = ⎜ √д2
⎜
⎜ 2
⎝0
д
√
2
0
0
д
√
2
д
√
2
0
0
− √д2
0 ⎞
д
√ ⎟
2 ⎟
⎟
− √д2 ⎟
⎟
E+ ⎠
mit
E± = ħω − ε ± J.
(118)
Als charakteristisches Polynom ergibt sich damit:
det(H1 − λ) = λ2 (E− − λ)(E+ − λ) + д2 λ [(E− − λ) + (E+ − λ)] + д4
= [λ(E− − λ) + д2 ] [λ(E+ − λ) + д2 ] = 0.
!
22
(119)
5 Atome in Resonatoren - CQED
Man findet damit für eine Gesamt-Teilchenzahl N = 1 die vier Eigenwerte des HamiltonOperators:
√
√
E− ± E−2 + 4д2
E+ ± E+2 + 4д2
λ 1⁄2 =
und λ 3⁄4 =
.
(120)
2
2
Es können damit nun die Eigenzustände in einer beliebigen Basis berechnet werden.
Wählt man als Basis die anschaulicheren Produktzustände ∣1, ↓; 0, ↓⟩, ∣0, ↑; 0, ↓⟩, ∣0, ↓; 0, ↑⟩ und
∣0, ↓; 1, ↓⟩, so findet man in dieser Basis folgende Hamilton-Matrix:
⎛ħω − ε
⎜ д
H1′ = ⎜
⎜ 0
⎝ −J
д
0
0
0
0
−J ⎞
0
0 ⎟
⎟.
0
д ⎟
д ħω − ε⎠
(121)
Für die Gewichte zur Darstellung der Eigenvektoren in den Basisvektoren
↑↓
↓↑
01
∣λ i ⟩ = c 10
i ∣1, ↓; 0, ↓⟩ + c i ∣0, ↑; 0, ↓⟩ + c i ∣0, ↓; 0, ↑⟩ + c i ∣0, ↓; 1, ↓⟩
(122)
folgen damit die Bedingungen:
↑↓
дc 10
i − λ i c i = 0,
↓↑
дc 01
i − λ i c i = 0,
(ħω − ε −
λ i )c 10
i
+
дc ↑↓
i
−
Jc 01
i
= 0.
(123)
Als Gewichte zu den normierten Eigenzuständen kann man dann angeben:
c 01
c ↓↑
c ↑↓
i = sin α i cos β i
i = cos α i cos β i ,
i = cos α i sin β i ,
λi
λi J
tan α i =
und tan β i = 2
.
д
д + λ i (ħω − ε − λ i )
c 10
i = sin α i sin β i ,
mit
23
(124)
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der
Fock-Produktzustände
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer
Oszillatoren - Dynamik der Fock-Produktzustände
Im Abschnitt 3.3 wurde bereits eine allgemeine Rekursionsformel zur Bestimmung der Gewichte eines Fock-Produktzustandes zweier isolierter harmonischer Oszillatoren in den Eigenzuständen {∣N − K; K⟩} des Systems nach der Kopplung der Oszillatoren hergeleitet (Gleichung (46)). Für die beiden Fälle j = 0 und j = N konnte daraus leicht ein expliziter Ausdruck
für die Gewichte gewonnen werden (vgl.: (52)). Für die meisten anderen möglichen Werte für
j lassen sich die Gewichte allerdings nicht so einfach explizit angeben. Auch die Dynamik
dieser Zustände lässt sich für eine größere Photonenzahl analytisch kaum noch berechnen.
Es wurde deshalb ein Python-Code zur numerischen Berechnung der Gewichte c Kj,N und der
zeitlichen Entwicklung ⟨N − k, k∣ e− ħ Ĥges t ∣N − j, j⟩ der Rückkehr- und Übergangsamplituden
geschrieben. Die Version Python 3.4.0 wurde hierzu mit den Zusatzpaketen numpy 1.8.1, scipy 0.13.3 und matplotlib 1.3.1 verwendet.
Für eine Gesamt-Photonenzahl N ≤ 50 in beiden Resonatoren wurden die Rekursionsformel (46) und die Normierungsbedingung (48) zur Berechnung der Gewichte c Kj,N für ein j
oder alle N +1 Zustände ∣N − j, j⟩ implementiert. Für eine größere Gesamtzahl N an Photonen
ist die Rekursionsformel nicht mehr geeignet. Es kommt zu Rechenfehlern, da in den Rechnungen Integer-Zahlen auftreten, die größer als die maximal von Python unterstützten Integers
sind. Für N > 50 wurde deshalb ein Eigenwertproblem zur Berechnung der Gewichte gewählt.
Ziel ist es dabei, die Eigenvektoren des Hamilton-Operators (27) der beiden gekoppelten
Oszillatoren in der Basis der Fock-Produktzustände zu erhalten. Da eine Energieverschiebung
um ħω(N + 1) die Eigenvektoren nicht ändert, reicht es, den Wechselwirkungs-Term (26) der
beiden harmonischen Oszillatoren zu betrachten. Die Kopplungskonstante −J spielt dabei für
die Eigenvektoren auch keine Rolle. Für die Wirkung des Wechselwirkungs-Terms auf einen
Fock-Produktzustand findet man dann:
√
(a1† a2 + a2† a1 ) ∣N − k, k⟩ = (N + k + 1)k ∣N − k + 1, k − 1⟩
(125)
√
+ (N − k)(k + 1) ∣N − k − 1, k + 1⟩ .
i
Man erhält damit die Matrix M N mit den Matrixeinträgen
M i,Nj = ⟨N − i, i∣ (a1† a2 + a2† a1 ) ∣N − j, j⟩ ,
√
N
N
M i,i+1
=M i+1,i
= (N − i)(i + 1), i ∈ {0, . . . , N − 1},
M i,Nj = 0 für ∣i − j∣ ≠ 1,
(126)
deren Eigenvektoren (c NK )∗ zu den Eigenwerten (2K − N) sich aus den normierten Gewichten
(c Kj,N )∗ zur Darstellung der Zustände ∣N − K; K⟩ in der Basis {∣N − j, j⟩} zusammensetzen.
Nachdem alle Gewicht reell gewählt sind, können damit auch sofort die Fock-Produktzustände
in die Basis der Eigenvektoren {∣N − K; K⟩} zerlegt werden. Um das Spektrum und die Eigenvektoren der Matrix M N zu finden, wird auf eine im numpy-Paket vorhandene Funktion zum
Lösen hermitescher Eigenwertprobleme zurückgegriffen.
Mit den berechneten Gewichten c Kj,N konnte dann unter Kenntnis der Eigenwerte (35) eine
Funktion implementiert werden, welche die Rückkehr- und Übergangsamplituden gemäß
Gleichung (49) für beliebige Zeiten numerisch berechnet.
24
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der
Fock-Produktzustände
Damit kann leicht die jeweilige Wahrscheinlichkeit ∣ ⟨N − k, k∣ e− ħ Ĥges t ∣N − j, j⟩ ∣2 (vgl: Abb. 3)
i
oder der Realteil der Amplitude ⟨N − k, k∣ e− ħ Ĥges t ∣N − j, j⟩ (vgl.: Abb. 5) mit Hilfe des matplotlib-Paketes graphisch abgebildet werden. Ebenso ist die vollständige Darstellung der im
allgemeinen komplexen Amplitude in einem dreidimensionalen Plot möglich. Es können
auch immer mehrere Amplituden zu unterschiedlichen Werten für k gleichzeitig geplottet
werden (vgl.: Abb. 6). Wie in der Abbildung 5 zu sehen, schwingt die Rückkehramplitude
i
Abb. 5: Realteil der Rückkehramplitude ⟨50, 0∣e−
i Ĥt
ħ
∣50, 0⟩ mit J = ħ s1 und ω = 2 s1 .
⟨50, 0∣e− ħ ∣50, 0⟩ periodisch. Dies gilt nicht nur in diesem speziellen Fall, sondern für beliebige
Rückkehr- und Übergangsamplituden der Fock-Produktzustände nach Kopplung der beiden
harmonischen Oszillatoren. Diese Periodizität ist natürlich auch in den Wahrscheinlichkeiten
zu finden (vgl.: Abb. 7, 8, 9 und 10). Sie ist darauf zurückzuführen, dass die Photonen nicht
miteinander wechselwirken. Wie man den Abbildungen 7, 8, 9 und 10 entnehmen kann, bei Ĥt
findet sich ein lokales Maximum einer Wahrscheinlichkeit ∣ ⟨N − k, k∣e− ħ ∣N − j, j⟩ ∣2 jeweils
zwischen den Maxima der Kurven mit k ± 1, sofern diese existieren. Es scheint demnach so, als
ob jeweils eine Photon nach dem anderen vom einen Resonator zum anderen wandern würde.
Dies spiegelt auch die Gestalt der Wechselwirkung zwischen den beiden Resonatoren (26)
wieder. Sofern zunächst alle Photonen in einem Resonator waren ( j = 0), sammeln sie sie sich
anschließend alle im gegenüberliegenden Resonator und wandern dann wieder zurück.
Sofern zu Beginn in beiden Resonatoren Photonen vorhanden sind, können diese in zwei
Richtungen wandern. Die Graphik wirkt dadurch chaotischer, da mehrere kleinere Oszillationen gleichzeitig auftreten. Insgesamt findet man aber wieder die beiden Zustände ∣N − j, j⟩
und ∣ j, N − j⟩ abwechseln mit der maximalen Wahrscheinlichkeit 1.
Je gleichmäßiger die Photonen dabei am Anfang verteilt sind, desto mehr überlappen die
i Ĥt
i Ĥt
beiden Kurven ∣ ⟨N − k, k∣e− ħ ∣N − j, j⟩ ∣2 und ∣ ⟨k, N − k∣e− ħ ∣N − j, j⟩ ∣2 (vgl.: Abb. 9 und
10). Demnach ist es mit einem Anfangszustand ∣ N2 , N2 ⟩ möglich, dynamisch verschränkte
i Ĥt
25
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der
Fock-Produktzustände
Abb. 6: Rückkehr- und Übergangsamplituden ⟨N − k, k∣e−
mit J = ħ s1 und ω = 5 s1 .
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ für N = 5, j = 0 und k ∈ {0, 3, 5}
Abb. 7: Alle Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨N − k, k∣e−
j = 0 mit J = ħ s1 .
26
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ ∣2 für N = 5 und
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der
Fock-Produktzustände
Abb. 8: Alle Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨N − k, k∣e−
und j = 0 mit J = ħ s1 .
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ ∣2 für N = 100
Abb. 9: Alle Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨N − k, k∣e−
j = 3 mit J = ħ s1 .
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ ∣2 für N = 10 und
27
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der
Fock-Produktzustände
Abb. 10: Alle Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨N − k, k∣e−
j = 5 mit J = ħ s1 .
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ ∣2 für N = 10 und
Zustände mit ∣N − k, k⟩ und ∣k, N − k⟩ zu erzeugen. Allerdings enthalten diese verschränkten
Zustände auch noch andere Fock-Produktzustände.
Beim Betrachten verschiedener Graphen mit Rückkehr- und Übergangsamplituden unter
der Bedingung ω = 0 fällt auf, dass die Kurven entweder rein reell oder rein imaginär sind.
Das lässt darauf schließen, dass die Funktionen
N
⟨N − l , l∣ e− ħ Ĥges (ω=0)t ∣N − j, j⟩ = ∑ c lK,N c Kj,N e− ħ J(2K−N)t
i
i
K=0
(127)
für beliebige Werte N, j und l allgemein nur rein reelle oder rein imaginäre Werte haben
(vgl.: Abb. 11 und 12). Mit der bereits zuvor hergeleiteten Bedingung (59) kann dies auch
mathematisch gezeigt werden. Für eine ungerade Zahl an Photonen erhält man:
⟨N − l , l∣ e
− ħi Ĥ ges (ω=0)t
N−1
2
N−K ħ J(2K−N)t
]
∣N − j, j⟩ = ∑ [c lK,N c Kj,N e− ħ J(2K−N)t + c lN−K
,N c j,N e
i
i
K=0
J(2K − N)t
N−K
) (c lK,N c Kj,N + c lN−K
,N c j,N )
ħ
K=0
J(2K − N)t
N−K
) (c lK,N c Kj,N − c lN−K
−i sin (
,N c j,N )] .
ħ
N−1
2
= ∑ [cos (
28
(128)
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der
Fock-Produktzustände
Abb. 11: Alle Rückkehr- und Übergangsamplituden ⟨N − k, k∣e−
J = ħ s1 und ω = 0.
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ für N = 5 und j = 3 mit
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ für N = 100 und j = 0 mit
Abb. 12: Alle Rückkehr- und Übergangsamplituden ⟨N − k, k∣e−
J = ħ s1 und ω = 0.
29
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der
Fock-Produktzustände
Mit Bedingung (59) fällt dabei im letzten Ausdruck entweder der imaginäre oder der reelle
Term heraus. Für eine gerade Anzahl an Photonen erhält man annähernd den gleichen
Ausdruck:
⟨N − l , l∣ e
− ħi Ĥ ges (ω=0)t
J(2K − N)t
N−K
) (c lK,N c Kj,N + c lN−K
,N c j,N )
ħ
K=0
N
N
J(2K − N)t
N−K
2
2
) (c lK,N c Kj,N − c lN−K
−i sin (
,N c j,N )] + c l ,N c j,N .
ħ
(129)
N
−1
2
∣N − j, j⟩ = ∑ [cos (
N
N
2
Hier muss man nur noch den konstanten Beitrag c l2,N c j,N
extra untersuchen. Mit der Rekursionsformel (62) kann man dabei durch eine vollständige Induktion wiederum
N
2
c j,N
⎧
0
⎪
⎪
⎪
N
1
N
j
=⎨
N −2 2
2 ( 2 )( )
c
(−1)
⎪
j
⎪
0,N
j
⎪
⎩
2
j ungerade
(130)
j gerade
herleiten. Zudem kann man aus der Rekursionsformel (46) und der Bedingung (59) noch
ableiten:
N
N
N
N
N
N
−1
+1
−1
2
2
2
2
= ±s j,N
⇔ [( + 1) ± ( + 1)] s j,N
= (N − 2 j)s j,N
.
(131)
s j,N
2
2
Damit gilt:
2
c j,N
= 0 ⇔ c Kj,N = −c N−K
j,N
N
(132)
und es ist auch für gerade N gezeigt, dass die Rückkehr- oder Übergangsamplituden für
ω = 0 nur rein reell oder rein imaginär sein können. Zudem sieht man, dass es nur unter der
N
N
2
Bedingung, dass l und j gerade sind, zu einem nicht verschwindenden c l2,N c j,N
kommen kann
(vgl.: Abb. 13). Für die Rückkehramplitude bei ω = 0 folgt, dass sie unabhängig von N stets
rein reell ist, da ∣c Kj,N ∣2 stets größer Null ist.
Eine von Null verschiedene Photonen-Frequenz ω führt dagegen zu einem Kreisen der Amplituden in der komplexen Ebene (vgl.: Abb. 6).
30
6 Numerische Simulation zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren - Dynamik der
Fock-Produktzustände
Abb. 13: Alle Rückkehr- und Übergangsamplituden ⟨N − k, k∣e−
J = ħ s1 und ω = 0.
31
i Ĥt
ħ
∣N − j, j⟩ für N = 2 und j = 0 mit
7 Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren mit je einem Atom - Dynamik der
Produktzustände des Systems ohne Kopplungen
7 Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren
mit je einem Atom - Dynamik der Produktzustände des
Systems ohne Kopplungen
Im Abschnitt 5.2 haben wir gezeigt, dass die Zustände {∣n − k, s1 ; k, s2 ⟩} mit einer festen
Gesamt-Teilchenzahl N eine vollständige Basis auf dem Unterhilbertraum zum HamiltonOperator für zwei gekoppelte Resonatoren mit je einem Atom (108) zu der gegebenen GesamtTeilchenzahl bilden. Um nun die Gewichte zur Darstellung der Eigenvektoren des HamiltonOperators in dieser vollständigen Basis und die Eigenwerte für eine Gesamt-Teilchenzahl N
zu finden, wollen wir das Eigenwertproblem ähnlich wie in Kapitel 6 numerisch lösen.
Dazu betrachtet man als erstes die Wirkung des Hamilton-Operators auf die verschiedenen
möglichen Basiszustände
Ĥ ∣N − k, ↓; k, ↓⟩ = (ħωN − ε) ∣N − k, ↓; k, ↓⟩
√
√
+ д ( N − k ∣N − k − 1, ↑; k, ↓⟩ + k ∣N − k, ↓; k − 1, ↑⟩)
√
− J ( (N − k + 1)k ∣N − k + 1, ↓; k − 1, ↓⟩
√
+ (N − k)(k + 1) ∣N − k − 1, ↓; k + 1, ↓⟩)
Ĥ ∣N − k − 1, ↑; k, ↓⟩ = ħω(N − 1) ∣N − k − 1, ↑; k, ↓⟩
√
√
+ д ( N − k ∣N − k, ↓; k, ↓⟩ + k ∣N − k − 1, ↑; k − 1, ↑⟩)
√
− J ( (N − k)k ∣N − k, ↑; k − 1, ↓⟩
√
+ (N − k − 1)(k + 1) ∣N − k − 2, ↑; k + 1, ↓⟩)
Ĥ ∣N − k − 1, ↓; k, ↑⟩ = ħω(N − 1) ∣N − k − 1, ↓; k, ↑⟩
√
√
+ д ( N − k − 1 ∣N − k − 2, ↑; k, ↑⟩ + k + 1 ∣N − k − 1, ↓; k + 1, ↓⟩)
√
− J ( (N − k)k ∣N − k, ↓; k − 1, ↑⟩
√
+ (N − k − 1)(k + 1) ∣N − k − 2, ↓; k + 1, ↑⟩)
Ĥ ∣N − k − 2, ↑; k, ↑⟩ = [ħω(N − 2) + ε] ∣N − k − 2, ↑; k, ↑⟩
√
√
+ д ( N − k − 1 ∣N − k − 1, ↓; k, ↑⟩ + k + 1 ∣N − k − 2, ↑; k + 1, ↓⟩)
√
− J ( (N − k − 1)k ∣N − k − 1, ↑; k − 1, ↑⟩
√
+ (N − k − 2)(k + 1) ∣N − k − 3, ↑; k + 1, ↑⟩)
(133)
und beachtet die Orthonormalität der Basis.
32
7 Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren mit je einem Atom - Dynamik der
Produktzustände des Systems ohne Kopplungen
Um die Einträge der Hamilton-Matrix H dabei in der Form H i, j = ⟨i∣ Ĥ ∣ j⟩ schreiben zu
können, weisen wir jedem Basiszustand ∣n − k, s1 ; k, s2 ⟩ eine eindeutige Zahl zu:
∣N − k, ↓; k, ↓⟩ → ∣4k⟩
∣N − k − 1, ↑; k, ↓⟩ → ∣4k + 1⟩
∣N − k − 1, ↓; k, ↑⟩ → ∣4k + 2⟩
∣N − k − 2, ↑; k, ↑⟩ → ∣4k + 3⟩
∣0, ↓; N , ↓⟩ → ∣4N − 1⟩ .
für k < N
für k < N
für k < N
für k < (N − 1)
(134)
Damit kann nun leicht eine Funktion implementiert werden, die für gegebenes N, i und j den
entsprechenden Matrixeintrag H i, j zurückgibt. Die mit Hilfe einer solchen Funktion erhaltene
4N × 4N-Matrix wurde in diesem Fall wieder der im numpy-Paket enthaltenen Funktion
zur Lösung hermitescher Eigenwertprobleme übergeben. Als Output erhält man dann die
Eigenwerte E LN als Komponenten eines Vektors und die Gewichte
c Lj,N = ⟨ j∣E LN ⟩
(135)
zur Darstellung der Eigenvektoren ∣E KL ⟩ in der entsprechenden Basis ∣ j⟩ als Spalteneinträge
einer unitären 4N × 4N-Matrix. Damit kann dann leicht wieder die Dynamik der Rückkehrund Übergangsamplituden gemäß
4N−1
L
(c Lj,N )∗ e− ħ E L t
⟨k∣e− ħ Ĥt ∣ j⟩ = ∑ c k,N
i
L=0
i
N
(136)
numerisch berechnet werden. Anschließend unterscheidet sich das Plotten der Rückkehrund Übergangswahrscheinlichkeiten oder der Amplituden nicht vom Fall der beiden gekoppelten harmonischen Oszillatoren. Untersucht man nun zum Beispiel wieder den Realteil der
Rückkehramplitude mit allen 50 Photonen in einem Resonator (Abb. 14), so fällt auf, dass die
Oszillationen etwas chaotischer erscheinen, aber vor allem auch, dass der maximale Wert von
±1 für t > 0 nicht mehr erreicht wird. Diese Absenkung der Oszillationsamplitude ist dabei
umso stärker, je größer die Gesamt-Teilchenzahl ist und je weiter man sich vom Startpunkt
entfernt, da das System sich aufgrund der Wechselwirkungen immer mehr auf die unterschiedlichen Zustände verteilt. Dies kann auch an den Wahrscheinlichkeiten nachvollzogen
werden (vgl.: Abb. 15, 16, 17 und 18). Es kann im Gegensatz zu Kapitel 6 keine Periodizität
mehr ausgemacht werden. Die Kurven scheinen zudem manchmal deformiert (vgl.: Abb. 16).
Anders als bei den beiden gekoppelten harmonischen Oszillatoren stellt man fest, dass es
aufgrund der Kopplung der Photonen an die Atome und der dadurch bedingten indirekten
Wechselwirkung der Photonen untereinander über einen längeren Zeitraum zu einer gewissen dynamischen Verschränkung von Zuständen kommen kann. Wie in Abbildung 17 zu
sehen haben die beiden Wahrscheinlichkeiten für die Zustände ∣10, ↓; 0, ↓⟩ und ∣10, ↓; 0, ↓⟩
für ħω = ε = J = д = ħ s1 und den Anfangszustand ∣10, ↓; 0, ↓⟩ zunächst keinen oder einen
vernachlässigbaren Überlapp. Im Laufe der Zeit ändert sich dies allerdings etwas (vgl.: Abb. 18).
Es gibt auch im Fall der beiden gekoppelten Resonatoren mit je einem Atom wieder den
Fall, dass die Amplituden der Zustände ∣n − k, s1 ; k, s2 ⟩ rein reell oder rein imaginär sind (vgl.:
Abb. 19). Das System hat dabei eine Gesamt-Teilchenzahl N = 1 und die Resonatoren sind
gegenüber dem Atom nicht verstimmt (ħω − ε = 0).
33
7 Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren mit je einem Atom - Dynamik der
Produktzustände des Systems ohne Kopplungen
Abb. 14: Realteil der Rückkehramplitude ⟨50, ↓; 0, ↓ ∣e−
J = 1ħ s1 .
i Ĥt
ħ
∣50, ↓; 0, ↓⟩ mit ħω = 2 s1 , ε = 1,8ħ s1 , д = 1,5ħ s1 ,
Abb. 15: Alle Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨N1′ , s1′ ; N2′ , s2′ ∣e−
N1 = 1, N2 = 0 und s1 = s2 =↓≡ −1 mit ħω = ε = J = д = ħ s1 .
34
i Ĥt
ħ
∣N1 , s1 ; N2 , s2 ⟩ ∣2 für
7 Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren mit je einem Atom - Dynamik der
Produktzustände des Systems ohne Kopplungen
Abb. 16: Alle Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨N1′ , s1′ ; N2′ , s2′ ∣e−
N1 = 2, N2 = 0 und s1 = s2 =↓ mit ħω = ε = J = д = ħ s1 .
Abb. 17: Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨10, ↓; 0, ↓ ∣e−
− i Ĥt
ħ
⟨10, ↓; 0, ↓ ∣e
∣0, ↓; 10, ↓⟩ mit ħω = ε = J = д = ħ s1 .
35
i Ĥt
ħ
i Ĥt
ħ
∣N1 , s1 ; N2 , s2 ⟩ ∣2 für
∣10, ↓; 0, ↓⟩ ∣2 und
7 Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren mit je einem Atom - Dynamik der
Produktzustände des Systems ohne Kopplungen
Abb. 18: Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨10, ↓; 0, ↓ ∣e−
− i Ĥt
ħ
⟨10, ↓; 0, ↓ ∣e
i Ĥt
ħ
∣10, ↓; 0, ↓⟩ ∣2 und
∣0, ↓; 10, ↓⟩ mit ħω = ε = J = д = ħ s1 .
Abb. 19: Alle Rückkehr- und Übergangsamplituden ⟨N1′ , s1′ ; N2′ , s2′ ∣e−
s1 =↑≡ 1 und s2 =↓ mit ħω = ε = J = д = ħ s1 .
36
i Ĥt
ħ
∣N1 , s1 ; N2 , s2 ⟩ für N1 = N2 = 0,
7 Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren mit je einem Atom - Dynamik der
Produktzustände des Systems ohne Kopplungen
Abb. 20: Alle Rückkehr- und Übergangsamplituden ⟨N1′ , s1′ ; N2′ , s2′ ∣e−
s1 = s2 =↓ mit ħω = 2 s1 , ε = 1,8ħ s1 , д = 1,5ħ s1 , J = 0.
i Ĥt
ħ
∣N1 , s1 ; N2 , s2 ⟩ für N1 = 5, N2 = 0,
Abb. 21: Alle Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten ∣ ⟨N1′ , s1′ ; N2′ , s2′ ∣e−
N1 = 5, N2 = 0, s1 = s2 =↓ mit ħω = 2 s1 , ε = 1,8ħ s1 , д = 1,5ħ s1 , J = 0.
37
i Ĥt
ħ
∣N1 , s1 ; N2 , s2 ⟩ ∣2 für
7 Numerische Simulation zweier gekoppelter Resonatoren mit je einem Atom - Dynamik der
Produktzustände des Systems ohne Kopplungen
Zudem könnte man zum Beispiel auch das Jaynes-Cummings Modell (J = 0) oder die
beiden gekoppelten harmonischen Oszillatoren (д = 0) simulieren (vgl.: Abb. 20 und 21).
Man sieht gut, dass für einen Anfangszustand mit allen N Photonen in einem Resonator und
den beiden Atomen in ihrem Grundzustand für J = 0, wie nach Kapitel 5.1 erwartet, nur die
zwei Zustände ∣N , ↓; 0, ↓⟩ und ∣N − 1, ↑; 0, ↓⟩ im zeitlichen Verlauf von Null verschieden sind.
Sie oszillieren gemäß Gleichung (107) cos2 - und sin2 -förmig.
38
8 Fazit - Ausblick
8 Fazit - Ausblick
Wir haben verschiedene geschlossene Systeme aus gekoppelten fiktiven Spin- 12 -Systemen
und Resonatoren für Photonen betrachtet. Dabei wurden jedes Mal das Spektrum und die
Eigenzustände gesucht, um in einem zweiten Schritt gegebenenfalls die Dynamik der physikalisch anschaulichen Basiszustände aus den Fock-Zuständen der Photonen und den beiden
Spin-Richtungen der Zwei-Niveau-Systeme damit beschreiben zu können. Wir haben gesehen, dass es aufgrund der Kopplung zwischen zwei Teilsystemen zu meist verschränkten
Eigenzuständen kommt, sofern man sie in der entsprechenden Basis der Teilsysteme darstellt.
Ebenso wurde die dynamische Verschränkung untersucht, zu der es kommen kann, wenn
man die zeitliche Entwickelung einzelner Produktzuständen der Teilsysteme im gekoppelten
System betrachtet. Dies geschah vor allem graphisch. Neben dem veränderten Verhalten von
Atomen oder Quanten-Punkten in Resonatoren gegenüber dem Verhalten im freien Raum
haben wir in den beiden letzten Kapiteln 6 und 7 deutlich erkennen können, wie sehr sich
die Dynamik ändert, wenn man zwei gekoppelte harmonische Resonatoren zusätzlich noch
mit jeweils einem Atom wechselwirken lässt, da es dabei zu einer indirekten Kopplung der
Photonen kommt. War im Falle der beiden harmonischen Oszillatoren eine Periodizität meist
sofort ersichtlich, so erschien das Verhalten nach Hinzufügen der Atome auf den ersten Blick
zum Teil eher chaotisch.
Im weiteren wäre es nun auch interessant, die Dynamik komplexerer Anfangszustände, wie
kohärenter Zustände, statt der Dynamik der Fock-Zustände der Resonatoren zu untersuchen.
Im Falle der beiden gekoppelten harmonischen Oszillatoren verhalten sich die kohärenten
Zustände zum Beispiel vergleichsweise klassisch, es kommt bei der zeitlichen Entwicklung zu
keiner dynamischen Verschränkung. [1]
Auch eine genauere Untersuchung spezieller quantenmechanischer Phänomenen könnte
man vornehmen. Statt der etwas ungenauen graphischen Analyse zur Bestimmung der Stärke
der Verschränkung könnte man im weiteren zum Beispiel mathematische Methoden wie die
Schmidt-Zerlegung wählen. Aber auch andere Systemeigenschaften können analytisch oder
numerisch herausgestellt werden. So kann zum Beispiel untersucht werden, ob ein System,
nachdem es in einem bestimmten Anfangszustand präpariert wurde, in diesem Zustand zu
einem gewissen Grade lokalisiert bleibt. Die so genannte Hilbert-Raum-Lokalisierung kann
dabei über die Rückkehrwahrscheinlichkeit
mit Hilfe der Formel
Pj j (t) = ∣ ⟨ j∣e−
R = lim є
є→0
∞
∫e
0
−єt
i Ĥt
ħ
∣ j⟩ ∣2
Pj j (t) dt
(137)
(138)
bestimmt werden. Von einem lokalisiertem Zustand spricht man dabei, wenn R für eine gegen
Unendlich gehende Zahl N an Eigenzuständen des Systems nicht verschwindet. Maximal
lokalisiert ist das System dabei, wenn es sich in einem seiner Eigenzustände befindet. Für die
Rückkehrwahrscheinlichkeit findet man dann den Wert PEV (t) = 1. Damit folgt sofort auch
R = 1. Betrachtet man zum Beispiel die beiden gekoppelten harmonischen Oszillatoren, so
39
8 Fazit - Ausblick
findet man für den Anfangszustand ∣N − j, j⟩ mit j = 0 mit einer Rückkehrwahrscheinlichkeit
P00 (t) = cos2N ( Jtħ ) für R nach partieller Integration:
R=
(2N − 1)!!
(2N)!
1
N→∞
√
= N
ÐÐÐÐÐÐÐÐ
→
.
√
2
N
(2N)!!
(2 N!) N!→ 2πN( Ne )
πN
(139)
Das heißt R geht gegen Null für große N und das System ist in diesem Fall delokalisiert.
Für andere Anfangszustände, zum Beispiel j = N2 , ist die Berechnung nicht mehr so einfach
möglich, da man die Rückkehrwahrscheinlichkeit nicht mehr so schön angeben kann. Die
N
2
Gewichte c KN ,N lassen sich zwar noch explizit berechnen, wie bereits für c j,N
in Gleichung (130)
2
geschehen. Mit den Eigenschaften der Rückkehr- und Übergangswahrscheinlichkeiten für
ω = 0, die man in Kapitel 6 hergeleitet hat, kann man zudem das Betragsquadrat durch ein
einfaches Quadrat ersetzen und schreiben:
⎛
⎞
N
−1 N 2
⎜
⎟
2
4JK
N
1
⎜
2 ) e−i ħ t ⎟
⎟ .
)
(
(
P N N (t) = ⎜ N
∑
⎜ 2
⎟
2 2
K
N 2 K=0 2K
⎜
⎟
N −1 2
∑ (2L) ( )
⎝ L=0
⎠
L
2
(140)
Doch diesen Ausdruck kann man für beliebiges N nicht so leicht weiter vereinfachen, wodurch
das Berechnen von R für beliebiges N nicht möglich ist. Auch eine numerische Berechnung
von R ist nicht ganz einfach, da P N N (t) für große N stark oszilliert (vgl.: Abb 22). Einfache
2 2
Integrationsalgorithmen, wie man sie zum Beispiel im scipy-Paket findet, versagen hierbei.
Abb. 22: Rückkehrwahrscheinlichkeit ∣ ⟨25, 25∣e−
40
i Ĥt
ħ
∣25, 25⟩ ∣2 mit J = ħ s1 .
9 Anhang
9 Anhang
9.1 Quellcode: Zwei gekoppelte harmonische Oszillatoren
TransAmp2CoupledHarmOsc.py
1 import numpy as np
2 import scipy.special as scisp
3 import scipy.linalg as sLA
4 import matplotlib.pyplot as plt
5 from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
6 7 # analytically determined weights for j=0 and j=N
8 def c_0(N):
9 return(0.5**(N*0.5)*np.sqrt(scisp.binom(N, np.arange(N+1))))
10 11 def c_N(N):
12 i=np.arange(N+1)
13 return(0.5**(N*0.5)*np.sqrt(scisp.binom(N, i))*(‐1)**i)
14 15 # calculating weights for fixed j and N <= 50
16 def s_j(N,j):
17 s=np.zeros(N+2, dtype=np.int64)
18 s[0]=1
19 for i in range(N):
20 s[i+1]=((N‐2*j)*s[i]‐(N+1‐i)*s[i‐1])/(i+1)
21 return(s[:‐1])
22 23 def c_j(N,j):
24 binom=s_j(N,0) # s_j(N,0)[i] gives binomial coefficient N choose i
25 if j != 0 and j !=N:
26 c=1/np.sqrt(binom)*s_j(N,j)
27 c*=1/np.linalg.norm(c) 28 elif j==0: 29 c=0.5**(N*0.5)*np.sqrt(binom)
30 elif j==N: 31 i=np.arange(N+1)
32 c=0.5**(N*0.5)*np.sqrt(binom)*(‐1)**i
33 return(c)
34 35 # calculating all weights for a fixed N <= 50
36 def s_all(N):
37 s=np.zeros(([N+2, N+1]), dtype=np.int64)
38 s[0,:]=1
39 j=np.arange(N+1)
40 for i in range(N):
41 s[i+1,:]=(s[i,:]*(N‐2*j)‐(N+1‐i)*s[i‐1,:])/(i+1)
42 return(s[:‐1,:])
43 44 def c(N):
45 s_ges=s_all(N)
46 c=1/np.sqrt(s_ges[:,0].reshape(N+1,1))*s_ges # s_all(N)[0,i] is N choose i
47 for l in range(N+1):
48 c[:,l]*=1/np.linalg.norm(c[:,l])
49 return(c)
50 51 # matrix for calculating weights for many Photons N iteratively out of a
52 # eigenvalueproblem
53 def H_Matrix(N):
54 H=np.zeros([N+1,N+1])
55 count=np.arange(N)
56 H[count,count+1]=‐np.sqrt((N‐count)*(count+1))
57 H[count+1,count]=H[count,count+1]
58 return(H)
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41
9 Anhang
TransAmp2CoupledHarmOsc.py
60 # calculating the amplitudes <N‐k,k|exp(‐iHt/hbar)|N‐j,j>
61 def calc_trans_amp(N,j,k,t,omega,J_hbar):
62 if N<50:
63 EW = np.arange(‐N,N+1,2)
64 if type(k)==int:
65 (EV_k, EV_j)=(c_j(N,k),c_j(N,j))
66 tr_amp=np.dot(EV_k*EV_j,
67 np.exp(‐1j*np.outer((omega*(N+1)+J_hbar*EW),t)))
68 else:
69 EV = c(N)
70 tr_amp=np.dot(EV[:,k].T*EV[:,j],
71 np.exp(‐1j*np.outer((omega*(N+1)+J_hbar*EW),t)))
72 else:
73 EW, EV = sLA.eigh(H_Matrix(N))
74 i=np.arange(N+1)
75 EV[:,i]*=np.sign(EV[0,i]) 76 tr_amp=np.dot(EV[:,k].T*EV[:,j],
77 np.exp(‐1j*np.outer((omega*(N+1)+J_hbar*EW),t)))
78 return(tr_amp)
79 80 def trans_amp(N,j,k,t,omega=1,J_hbar=1):
81 if type(j)==int:
82 if j<=N and np.max(k)<=N and j>=0 and np.min(k)>=0:
83 tr_amp=calc_trans_amp(N,j,k,t,omega,J_hbar)
84 return(tr_amp)
85 else: return('\nFor a fixed total Photon‐number N it must be 0<=j<=N\n'
86 'and 0<=k<=N, where j and k are the Photones\n'
87 'in one cavity.') 88 else: return('\nThe calculation of the return or transition amplitude for\n'
89 'more than one initial state j at once is not possible.')
90 91 # analytically determined amplitudes
92 def trans_amp_N0N0(N,t,omega=1,J_hbar=1):
93 return(np.exp(‐1j*(N+1)*omega*t)*np.cos(J_hbar*t)**N)
94 def trans_amp_N00N(N,t,omega=1,J_hbar=1):
95 return(np.exp(‐1j*(N+1)*omega*t)*(‐1j*np.sin(J_hbar*t))**N) 96 97 # plotting the amplitudes
98 def plot_trans_amp(N,j,k,t_stop=5,t_start=0,steps=1000,omega=1,J_hbar=1,save=0,
99 real=1):
100 t_step=(t_stop‐t_start)/steps
101 t=np.arange(t_start, t_stop, t_step) 102 tr=trans_amp(N,j,k,t,omega,J_hbar)
103 if type(tr)!=str:
104 fig=plt.figure(figsize=(16,9))
105 plt.xlabel('$t$ in s')
106 plt.grid()
107 if real==1:
108 tr_real=np.real(tr)
109 ymin, ymax = np.min(tr_real), np.max(tr_real)
110 plt.axis([t_start‐(t_stop‐t_start)/10,t_stop+(t_stop‐t_start)/10
111 ,ymin‐(ymax‐ymin)/10,ymax+(ymax‐ymin)/10])
112 if type(k)==int:
113 plt.suptitle("Two coupled harmonic oscillators:"
114 " $\omega={:.3g}$/s, "
115 "$J/\hbar={:.3g}$/s\n"
116 "Real part of the return and/or transition"
117 " amplitude $<N‐k,k|exp(‐iHt/\hbar)|N‐j,j>$\n"
118 "for N = {}, j = {} and k = {}."
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42
9 Anhang
TransAmp2CoupledHarmOsc.py
119 .format(omega,J_hbar,N,j,k))
120 plt.plot(t,tr_real)
121 else:
122 plt.suptitle("Two coupled harmonic oscillators:"
123 " $\omega={:.3g}$/s, "
124 "$J/\hbar={:.3g}$/s\n"
125 "Real part of the return and/or transition"
126 " amplitude $<N‐k,k|exp(‐iHt/\hbar)|N‐j,j>$\n"
127 "for N = {}, j = {} and k $\in$ [{},...,{}]."
128 .format(omega,J_hbar,N,j,k[0],k[‐1]))
129 for i in range(len(k)):
130 plt.plot(t,tr_real[i,:], label='k={}'.format(k[i]))
131 plt.legend(loc='upper center', bbox_to_anchor=(0.5,‐0.08),
132 ncol=10)
133 else:
134 tr_real=np.real(tr)
135 tr_imag=np.imag(tr)
136 ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
137 ax.set_xlabel('$t$ in s')
138 ax.set_ylabel('Re')
139 ax.set_zlabel('Im')
140 xmin, xmax = np.min(tr_real), np.max(tr_real)
141 ymin, ymax = np.min(tr_imag), np.max(tr_imag)
142 plt.axis([t_start‐(t_stop‐t_start)/10,t_stop+(t_stop‐t_start)/10
143 ,xmin‐(xmax‐xmin)/10,xmax+(xmax‐xmin)/10])
144 ax.set_zbound(ymin‐(ymax‐ymin)/10,ymax+(ymax‐ymin)/10)
145 if type(k)==int:
146 ax.plot(xs=t, ys=tr_real, zs=tr_imag)
147 plt.suptitle("Two coupled harmonic oscillators:"
148 " $\omega={:.3g}$/s, "
149 "$J/\hbar={:.3g}$/s\n"
150 "Return and/or transition amplitude"
151 " $<N‐k,k|exp(‐iHt/\hbar)|N‐j,j>$\n"
152 "for N = {}, j = {} and k = {}."
153 .format(omega,J_hbar,N,j,k)) 154 else:
155 plt.suptitle("Two coupled harmonic oscillators:"
156 " $\omega={:.3g}$/s,"
157 " $J/\hbar={:.3g}$/s\n"
158 "Return and/or transition amplitude"
159 " $<N‐k,k|exp(‐iHt/\hbar)|N‐j,j>$\n for N = {},"
160 " j = {} and k $\in$ [{},...,{}]."
161 .format(omega,J_hbar,N,j,k[0],k[‐1])) 162 for i in range(len(k)):
163 ax.plot(xs=t, ys=tr_real[i,:], zs=tr_imag[i,:], label='k={}'
164 .format(k[i]))
165 plt.legend(loc='upper center', bbox_to_anchor=(0.5,‐0.08),
166 ncol=10)
167 if save==1:
168 if type(k)==int:
169 plt.savefig('plots\\coupled_harm_oscillators\\'
170 'N={},j={},k={},real={}.pdf'
171 .format(N,j,k,real), bbox_inches='tight') 172 else:
173 plt.savefig('plots\\coupled_harm_oscillators\\'
174 'N={},j={},k=[{},...,{}],real={}.pdf'
175 .format(N,j,k[0],k[‐1],real),
176 bbox_inches='tight')
177 plt.show() Page 3, last modified 16.09.2015 22:31:15
43
9 Anhang
TransAmp2CoupledHarmOsc.py
178 else:
179 print(tr)
180 181 # plots all amplitudes for fixed N, j
182 def plot_all_amp(N,j=0,*args,**kwargs):
183 k=np.arange(N+1)
184 plot_trans_amp(N,j,k,*args,**kwargs)
185 186 # plotting the probabilities
187 def plot_trans_prob(N,j,k,t_stop=5,t_start=0,steps=1000,omega=1,
188 J_hbar=1,save=0):
189 190 t_step=(t_stop‐t_start)/steps
191 t=np.arange(t_start, t_stop, t_step)
192 tr=trans_amp(N,j,k,t,omega,J_hbar)
193 if type(tr)!=str:
194 tr_prob=(np.abs(tr))**2
195 plt.figure(figsize=(16,9))
196 ymin, ymax = np.min(tr_prob), np.max(tr_prob)
197 plt.axis([t_start‐(t_stop‐t_start)/10,t_stop+(t_stop‐t_start)/10
198 ,ymin‐(ymax‐ymin)/10,ymax+(ymax‐ymin)/10])
199 plt.xlabel('$t$ in s')
200 plt.grid()
201 if type(k)==int:
202 plt.plot(t,tr_prob)
203 plt.suptitle("Two coupled harmonic oscillators:"
204 " $\omega={:.3g}$/s,"
205 " $J/\hbar={:.3g}$/s\n"
206 "Return and/or transition probability"
207 " $|<N‐k,k|exp(‐iHt/\hbar)|N‐j,j>|^2$\n"
208 "for N = {}, j = {} and k = {}."
209 .format(omega,J_hbar,N,j,k)) 210 else:
211 plt.suptitle("Two coupled harmonic oscillators: "
212 "$\omega={:.3g}$/s,"
213 " $J/\hbar={:.3g}$/s\n"
214 "Return and/or transition probability"
215 " $|<N‐k,k|exp(‐iHt/\hbar)|N‐j,j>|^2$\n for N = {},"
216 " j = {} and k $\in$ [{},...,{}]."
217 .format(omega,J_hbar,N,j,k[0],k[‐1]))
218 219 for i in range(len(k)):
220 plt.plot(t,tr_prob[i,:], label='k={}'.format(k[i]))
221 plt.legend(loc='upper center', bbox_to_anchor=(0.5,‐0.08), ncol=10)
222 if save==1:
223 if type(k)==int:
224 plt.savefig('plots\\coupled_harm_oscillators\\'
225 'N={},j={},k={},prob.pdf'
226 .format(N,j,k), bbox_inches='tight') 227 else:
228 plt.savefig('plots\\coupled_harm_oscillators\\'
229 'N={},j={},k=[{},...,{}],prob.pdf'
230 .format(N,j,k[0],k[‐1]),
231 bbox_inches='tight') 232 plt.show() 233 else:
234 print(tr)
235 236 # plots all probabilities for fixed N,j
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44
9 Anhang
TransAmp2CoupledHarmOsc.py
237 def plot_all_prob(N, j=0, *args, **kwargs):
238 k=np.arange(N+1)
239 plot_trans_prob(N,j,k,*args,**kwargs)
240 241 242 243 if __name__ is '__main__':
244 245 N=5 # total Photon‐number
246 k=0 # examined states
247 j=0 # initial state 248 249 omega=2 # frequency of the Photons
250 J_hbar=1 # coupling strength between the cavities
251 252 t_start=0 # time to start the calculation of the dynamics
253 t_stop=4 # time to end
254 steps=1000 # time steps
255 save=0 # saving the plot
256 real=0 # complex amplitude or real part of the amplitude
257 258 kwargs={'omega':omega,'J_hbar':J_hbar,'t_start':t_start,'t_stop':t_stop,
259 'steps':steps,'save':save}
260 261 plot_trans_amp(N,j,k, real=real, **kwargs)
262 plot_trans_prob(N,j,k,**kwargs)
263 plot_all_prob(N,j,**kwargs)
264 plot_all_amp(N,j,real=real,**kwargs)
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45
9 Anhang
9.2 Quellcode: Zwei gekoppelte Resonatoren mit je einem Atom
two_cavities2atoms_coupled_num.py
1 import matplotlib.pyplot as plt
2 import scipy as sci
3 import scipy.linalg as sla
4 import numpy as np
5 import numpy.linalg as nla
6 from scipy.constants import hbar
7 from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
8 9 # k00‐>4k, k<N; k10‐>4k+1, k<N; k01‐>4k+2, k<N; k11‐>4k+3, k<N‐1; N00‐>4N‐1
10 def shift_Base(N_1, N_2, s_1, s_2):
11 '''
12 Choose Photone‐numbers |N_1, N_2> and spins|s_1>, |s_2>,
13 (with N_i>=0 and s_i= +/‐1);
14 the function than calculates total particle‐number N and an unique number k 15 between 0 and 4*N‐1.
16 '''
17 N=N_1+N_2+0.5*(s_1+s_2)+1
18 k=4*N_2+0.5*s_1+s_2+1.5
19 if N_1==0 and s_1==‐1 and s_2==‐1:
20 k=4*N‐1
21 if N==0:
22 k=0
23 return(N,k)
24 25 #‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
26 27 def reshift_Base(N, k):
28 '''
29 Calculates from the total particle‐number N and the unique number k
30 (with 0>=k>=4*N‐1 for N>=1 and k=0 for N=0) the known basis
31 |N_1>N_2>|s_1>|s_2> .
32 '''
33 if type(k)==int:
34 k=np.array([k])
35 else:
36 k=np.array(k)
37 N_2=k//4
38 s_2=(2*((k%4)//2))‐1
39 s_1=2*(k%4‐(1.5+s_2))
40 N_1=N‐(N_2+0.5*(s_1+s_2)+1)
41 N_1=np.int_(N_1)
42 s_1=np.int_(s_1)
43 i=np.argwhere(k==4*N‐1)
44 N_1[i]=0
45 s_1[i]=‐1
46 s_2[i]=‐1
47 N_2[i]=N
48 out=(np.array([N_1[:],N_2[:],s_1[:],s_2[:]])).T.reshape(len(k),4)
49 return(out)
50 51 #===============================================================================
52 53 def H_op_2cavities2atoms_coupled(i, j, N, J, g, e, hw):
54 '''
55 For N,J,g,e,hw the coefficient H_ij of the Hamiltonian matrix is calculated.
56 '''
57 k=j//4
58 if j==4*N‐1 or i==4*N‐1 : # k=N (irregularity)
59 if i==j:
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46
9 Anhang
two_cavities2atoms_coupled_num.py
60 return hw*N‐e
61 if i==j‐1 or j==i‐1:
62 return g*np.sqrt(N)
63 if i==j‐3 or j==i‐3:
64 return ‐J*np.sqrt(N) 65 if j % 4 == 0: # Spins down down
66 if i==j:
67 return hw*N‐e
68 if i==j+1:
69 return g*np.sqrt(N‐k)
70 if i==j‐2:
71 return g*np.sqrt(k)
72 if i==j‐4:
73 return ‐J*np.sqrt((N‐k+1)*k)
74 if i==j+4:
75 return ‐J*np.sqrt((N‐k)*(k+1))
76 if j % 4 == 1: # Spins up down
77 if i==j:
78 return hw*(N‐1)
79 if i==j‐1:
80 return g*np.sqrt(N‐k)
81 if i==j‐2:
82 return g*np.sqrt(k)
83 if i==j‐4:
84 return ‐J*np.sqrt((N‐k)*k)
85 if i==j+4:
86 return ‐J*np.sqrt((N‐k‐1)*(k+1))
87 if j % 4 == 2: # Spins down up
88 if i==j:
89 return hw*(N‐1)
90 if i==j+1:
91 return g*np.sqrt(N‐k‐1)
92 if i==j+2:
93 return g*np.sqrt(k+1)
94 if i==j‐4:
95 return ‐J*np.sqrt((N‐k)*k)
96 if i==j+4:
97 return ‐J*np.sqrt((N‐k‐1)*(k+1))
98 if j % 4 == 3 and k<N‐1: # Spins up up
99 if i==j:
100 return hw*(N‐2)+e
101 if i==j‐1:
102 return g*np.sqrt(N‐k‐1)
103 if i==j+2:
104 return g*np.sqrt(k+1)
105 if i==j‐4:
106 return ‐J*np.sqrt((N‐k‐1)*k)
107 if i==j+4:
108 return ‐J*np.sqrt((N‐k‐2)*(k+1))
109 else: return 0
110 else: return 0
111 112 #‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
113 114 def eigenvalueprob_2cav2atoms_coupled(N, J, g, e, hw):
115 '''
116 Solves the eigenvalue problemof two coupled cavities with one two‐level
117 system in each cavity for a total particle‐number N.
118 '''
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47
9 Anhang
two_cavities2atoms_coupled_num.py
119 if N!=0:
120 H_matrix=np.empty((4*N,4*N)) # calculating Hamiltonian matrix
121 for i in range(4*N):
122 for j in range(4*N):
123 H_matrix[i,j]=H_op_2cavities2atoms_coupled(i, j, N, J, g, e, hw)
124 EW, EV = nla.eigh(H_matrix) # numpy‐function to solve ev problem
125 else: # irregularity
126 EW, EV=hw‐e, np.array([[1]])
127 return(EW, EV)
128 129 #‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
130 131 def transition_amplitude(t, N, j, k, hw=0, e=0, g=1*hbar, J=1*hbar):
132 '''
133 Calculates the dynamics of the return and transition amplitudes
134 <k|exp(‐iHt/hbar)|j> for a total particle‐number N for one state j and all
135 states listed in k.
136 '''
137 if type(j)==int:
138 if (j<4*N and np.max(k)<4*N and j>=0 and np.min(k)>=0) or (j==k==0):
139 EW, EV = eigenvalueprob_2cav2atoms_coupled(N, J, g, e, hw)
140 trans_amp=np.dot(EV[k,:]*np.conj(EV[j,:]),
141 np.exp(‐1j*np.outer(EW,t)/hbar))
142 return(trans_amp)
143 # errors
144 else: return('\nFor a total particle‐number N there exist\n'
145 'exactly 4N eigenvektors, which are numbered with EV=0 to\n'
146 'EV=4N‐1. (irregularity N=0: EV=0).') 147 else: return('\nThe calculation of the return and transition amplitudes'
148 '\nfor more than one initial state j at once is not possible.')
149 150 #===============================================================================
151 152 def plot_trans_amp(N, j, k, t_stop=5, t_start=0, steps=1000, real=1, save=0,
153 hw=0, e=0, g=1*hbar, J=1*hbar):
154 '''
155 Plotting the return and transition amplitudes (real part or 3d complex 156 plot) for fixed N and j.
157 '''
158 t_step=(t_stop‐t_start)/steps #time‐teps
159 t=np.arange(t_start, t_stop, t_step)
160 161 # calculating the tansition/return amplitudes
162 tr=transition_amplitude(t, N, j, k, hw, e, g, J) 163 164 #plotting with matplotlib.pyplot
165 if type(tr)!=str: 166 fig=plt.figure(figsize=(16,9))
167 plt.grid() 168 EV0=reshift_Base(N,j)
169 EVt=reshift_Base(N,k)
170 # plotting the real part of the amplitude
171 if real==1:
172 tr_real=np.real(tr)
173 plt.xlabel('$t$ in s')
174 ymin, ymax = np.min(tr_real), np.max(tr_real)
175 plt.axis([t_start‐(t_stop‐t_start)/10,t_stop+(t_stop‐t_start)/10
176 ,ymin‐(ymax‐ymin)/10,ymax+(ymax‐ymin)/10])
177 if type(k)==int:
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48
9 Anhang
two_cavities2atoms_coupled_num.py
178 plt.plot(t,tr_real)
179 plt.suptitle("Two coupled cavities with atoms: "
180 "$\omega={:.3g}$/s, $\epsilon={:.3g}\cdot\hbar$/s,"
181 " $g={:.3g}\cdot\hbar$/s, $J={:.3g}\cdot\hbar$/s\n"
182 "Real part of the return and/or transition"
183 " amplitude $<N_1',s_1';N_2',s_2'$"
184 "$|exp(‐iHt/\hbar)|N_1,s_1;N_2,s_2>$\n for"
185 " N_1 = {}, N_2 = {}, s_1 = {}, s_2 = {},"
186 " N_1' = {}, N_2' = {}, s_1' = {} and s_2' = {}."
187 .format(hw/hbar,e/hbar,g/hbar,J/hbar,EV0[0,0],
188 EV0[0,1],EV0[0,2],EV0[0,3],EVt[0,0],
189 EVt[0,1],EVt[0,2],EVt[0,3]))
190 else:
191 plt.suptitle("Two coupled cavities with atoms: "
192 "$\omega={:.3g}$/s, $\epsilon={:.3g}\cdot\hbar$/s,"
193 " $g={:.3g}\cdot\hbar$/s, $J={:.3g}\cdot\hbar$/s\n"
194 "Real part of the return and/or transition"
195 " amplitude $<N_1',s_1';N_2',s_2'$"
196 "$|exp(‐iHt/\hbar)|N_1,s_1;N_2,s_2>$\n for"
197 " N_1 = {}, N_2 = {}, s_1 = {} and s_2 = {}."
198 .format(hw/hbar,e/hbar,g/hbar,
199 J/hbar,EV0[0,0],EV0[0,1],
200 EV0[0,2],EV0[0,3])) 201 for i in range(len(k)):
202 plt.plot(t,tr_real[i,:], label="N_1'={}, N_2'={}, s_1'={},"
203 "s_2'={}"
204 .format(EVt[i,0],EVt[i,1],EVt[i,2],EVt[i,3]))
205 plt.legend(loc='upper center', bbox_to_anchor=(0.5,‐0.08),
206 ncol=4) 207 # plotting the complex amplitudes
208 else:
209 tr_real=np.real(tr)
210 tr_imag=np.imag(tr)
211 ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
212 ax.set_xlabel('$t$ in s')
213 ax.set_ylabel('Re')
214 ax.set_zlabel('Im')
215 xmin, xmax = np.min(tr_real), np.max(tr_real)
216 ymin, ymax = np.min(tr_imag), np.max(tr_imag)
217 plt.axis([t_start‐(t_stop‐t_start)/10,t_stop+(t_stop‐t_start)/10
218 ,xmin‐(xmax‐xmin)/10,xmax+(xmax‐xmin)/10])
219 ax.set_zbound(ymin‐(ymax‐ymin)/10,ymax+(ymax‐ymin)/10)
220 if type(k)==int:
221 ax.plot(xs=t, ys=tr_real, zs=tr_imag)
222 plt.suptitle("Two coupled cavities with atoms: "
223 "$\omega={:.3g}$/s, $\epsilon={:.3g}\cdot\hbar$/s,"
224 " $g={:.3g}\cdot\hbar$/s, $J={:.3g}\cdot\hbar$/s\n"
225 "Return and/or transition amplitude "
226 "$<N_1',s_1';N_2',s_2'$"
227 "$|exp(‐iHt/\hbar)|N_1,s_1;N_2,s_2>$\n for"
228 " N_1 = {}, N_2 = {}, s_1 = {}, s_2 = {},"
229 " N_1' = {}, N_2' = {}, s_1' = {} and s_2' = {}."
230 .format(hw/hbar,e/hbar,g/hbar,J/hbar,EV0[0,0],
231 EV0[0,1],EV0[0,2],EV0[0,3],EVt[0,0],
232 EVt[0,1],EVt[0,2],EVt[0,3])) 233 else:
234 plt.suptitle("Two coupled cavities with atoms: "
235 "$\omega={:.3g}$/s, $\epsilon={:.3g}\cdot\hbar$/s,"
236 " $g={:.3g}\cdot\hbar$/s, $J={:.3g}\cdot\hbar$/s\n"
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49
9 Anhang
two_cavities2atoms_coupled_num.py
237 "Return and/or transition amplitude "
238 "$<N_1',s_1';N_2',s_2'$"
239 "$|exp(‐iHt/\hbar)|N_1,s_1;N_2,s_2>$\n for"
240 " N_1 = {}, N_2 = {}, s_1 = {} and s_2 = {}."
241 .format(hw/hbar,e/hbar,g/hbar,
242 J/hbar,EV0[0,0],EV0[0,1],
243 EV0[0,2],EV0[0,3])) 244 for i in range(len(k)):
245 ax.plot(xs=t, ys=tr_real[i,:], zs=tr_imag[i,:],
246 label="N_1'={}, N_2'={}, s_1'={}, s_2'={}"
247 .format(EVt[i,0],EVt[i,1],EVt[i,2],EVt[i,3]))
248 plt.legend(loc='upper center', bbox_to_anchor=(0.5,‐0.08),
249 ncol=4) 250 if save==1:
251 if type(k)==int:
252 plt.savefig("plots\\coupled_cavities_with_atoms\\N_1={},N_2={},"
253 "s_1={},s_2={},N_2'={},s_1'={},s_2'={},"
254 " real={}.pdf"
255 .format(EV0[0,0], EV0[0,1], EV0[0,2], EV0[0,3],
256 EVt[0,1], EVt[0,2], EVt[0,3],real),
257 bbox_inches='tight')
258 else:
259 plt.savefig("plots\\coupled_cavities_with_atoms\\N_1={},N_2={},"
260 "s_1={},s_2={},N_2'=[{},...,{}],s_1'=[{},...,{}],"
261 "s_2'=[{},...,{}], real={}.pdf"
262 .format(N, EV0[0,1], EV0[0,2], EV0[0,3], 263 np.min(EVt[:,1]),np.max(EVt[:,1]), 264 np.min(EVt[:,2]),np.max(EVt[:,2]), 265 np.min(EVt[:,3]),np.max(EVt[:,3]),real),
266 bbox_inches='tight')
267 plt.show() 268 else:
269 print(tr)
270 271 272 #‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 273 274 def plot_all_amp(N, j=0, *args, **kwargs):
275 '''
276 Plots all transition amplitudes and the return amplitude for fixed N and j
277 '''
278 if N!=0:
279 k=np.arange(4*N)
280 else:
281 k=0
282 plot_trans_amp(N, j, k, *args, **kwargs)
283 #‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 284 285 def plot_trans_prob(N, j, k, t_stop=5, t_start=0, steps=1000,save=0,
286 hw=0, e=0, g=1*hbar, J=1*hbar):
287 '''
288 Plots the transition and the return probabilities for fixed N and j. 289 ''' 290 t_step=(t_stop‐t_start)/steps
291 t=np.arange(t_start, t_stop, t_step)
292 293 tr=transition_amplitude(t, N, j, k, hw, e, g, J)
294 295 if type(tr)!=str:
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50
9 Anhang
two_cavities2atoms_coupled_num.py
296 EV0=reshift_Base(N,j)
297 EVt=reshift_Base(N,k) 298 tr_prob=(np.abs(tr))**2 # calculating the probability
299 plt.figure(figsize=(16,9))
300 ymin, ymax = np.min(tr_prob), np.max(tr_prob)
301 plt.axis([t_start‐(t_stop‐t_start)/10,t_stop+(t_stop‐t_start)/10
302 ,ymin‐(ymax‐ymin)/10,ymax+(ymax‐ymin)/10])
303 plt.xlabel('$t$ in s')
304 plt.grid()
305 if type(k)==int:
306 plt.plot(t,tr_prob)
307 plt.suptitle("Two coupled cavities with atoms: "
308 "$\omega={:.3g}$/s, $\epsilon={:.3g}\cdot\hbar$/s,"
309 " $g={:.3g}\cdot\hbar$/s, $J={:.3g}\cdot\hbar$/s\n"
310 "Return and/or transition probability"
311 " $|<N_1',s_1';N_2',s_2'|exp(‐iHt/\hbar)$"
312 "$|N_1,s_1;N_2,s_2>|^2$\n for N_1 = {}, N_2 = {},"
313 " s_1 = {}, s_2 = {}, N_1' = {}, N_2' = {}, s_1' = {}"
314 " and s_2' = {}."
315 .format(hw/hbar,e/hbar,g/hbar,J/hbar,EV0[0,0],
316 EV0[0,1],EV0[0,2],EV0[0,3],EVt[0,0],
317 EVt[0,1],EVt[0,2],EVt[0,3]))
318 319 320 else:
321 plt.suptitle("Two coupled cavities with atoms: "
322 "$\omega={:.3g}$/s, $\epsilon={:.3g}\cdot\hbar$/s,"
323 " $g={:.3g}\cdot\hbar$/s, $J={:.3g}\cdot\hbar$/s\n"
324 "Return and/or transition probability"
325 " $|<N_1',s_1';N_2',s_2'|exp(‐iHt/\hbar)$"
326 "$|N_1,s_1;N_2,s_2>|^2$\n for N_1 = {}, N_2 = {},"
327 " s_1 = {} and s_2 = {}."
328 .format(hw/hbar,e/hbar,g/hbar,J/hbar,EV0[0,0],EV0[0,1],
329 EV0[0,2],EV0[0,3])) 330 for i in range(len(k)):
331 plt.plot(t,tr_prob[i,:], label="N_1'={}, N_2'={}, s_1'={},"
332 "s_2'={}"
333 .format(EVt[i,0],EVt[i,1],EVt[i,2],EVt[i,3]))
334 plt.legend(loc='upper center', bbox_to_anchor=(0.5,‐0.08), ncol=4)
335 if save==1:
336 if type(k)==int:
337 plt.savefig("plots\\coupled_cavities_with_atoms\\N_1={},N_2={},"
338 "s_1={},s_2={},N_2'={},s_1'={},s_2'={},prob.pdf"
339 .format(EV0[0,0], EV0[0,1], EV0[0,2], EV0[0,3],
340 EVt[0,1], EVt[0,2], EVt[0,3]),
341 bbox_inches='tight')
342 else:
343 plt.savefig("plots\\coupled_cavities_with_atoms\\N_1={},N_2={},"
344 "s_1={},s_2={},N_2'=[{},...,{}],s_1'=[{},...,{}],"
345 "s_2'=[{},...,{}],prob.pdf"
346 .format(EV0[0,0], EV0[0,1], EV0[0,2], EV0[0,3], 347 np.min(EVt[:,1]),np.max(EVt[:,1]), 348 np.min(EVt[:,2]),np.max(EVt[:,2]), 349 np.min(EVt[:,3]),np.max(EVt[:,3])),
350 bbox_inches='tight')
351 plt.show() 352 else:
353 print(tr)
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51
9 Anhang
two_cavities2atoms_coupled_num.py
355 356 #‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
357 358 def plot_all_prob(N, j=0, *args, **kwargs):
359 '''
360 Plots all transition probabilities and the return probability
361 for fixed N and j.
362 '''
363 if N!=0:
364 k=np.arange(4*N)
365 else:
366 k=0
367 plot_trans_prob(N, j, k, *args, **kwargs)
368 369 #===============================================================================
370 371 if __name__ is '__main__':
372 373 N=5 # total particle‐number
374 k=0 # examined states
375 j=0 # initial state 376 377 J=1*hbar # couplig strength of the cavities
378 e=1.8*hbar # energie splitting of the two‐level systems
379 hw=2*hbar # energie of th photons
380 g=1.5*hbar # cuopling strength between the atoms and the photons
381 382 t_start=0 # time to start the calculation of the dynamics
383 t_stop=4 # time to end
384 steps=1000 # time steps
385 save=1 # saving the plot
386 real=0 # complex amplitude or real part of the apmpitude
387 388 389 kwargs1={'N':N, 'J':J, 'e':e, 'g':g, 'hw':hw}
390 391 kwargs2={'hw':hw, 'e':e, 'g':g, 'J':J,'t_start':t_start,'t_stop':t_stop,
392 'steps':steps,'save':save}
393 394 EW, EV=eigenvalueprob_2cav2atoms_coupled(**kwargs1) 395 396 plot_trans_amp(N,j,k, real=real, **kwargs2)
397 plot_trans_prob(N,j,k,**kwargs2)
398 plot_all_prob(N,j,**kwargs2)
399 plot_all_amp(N,j, real=real, **kwargs2)
400 Page 7, last modified 16.09.2015 22:29:15
52
Literaturverzeichnis
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