Schaltungen und Baugruppen der Nachrichtentechnik

Universität Rostock
Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut für Nachrichtentechnik und Informationselektronik
Schaltungen und Baugruppen der
Nachrichtentechnik
Studienmaterial
Schaltungen und Baugruppen der
Nachrichtentechnik
Studienmaterial zur Vorlesung und zum Praktikum im Fach "Schaltungen und Baugruppen der
Nachrichtentechnik" für Studenten der Elektrotechnik an der Universität Rostock
verfaßt von: Prof. Dr. Ing. habil. Rainer Kohlschmidt
1998
Inhalt
1. Grundlagen der Signaltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Definition der Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Gesetze der Fourier- und Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Charakteristische Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.7 Zufällige Signale (stationäre ergodische Prozesse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.8 Analytische Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2. Grundlagen der Systemtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Aufgaben der Systemtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2 Grundgleichungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3 Beschreibung von Systemen mit rationaler Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . .
22
2.4 Bestimmung von Betrag und Phase einer rationalen Übertragungsfunktion aus dem
PN-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Zerlegung in Elementarsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.5.1 Reeller Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Reelle Nullstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.3 Konjugiert komplexes Polpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.4 Konjugiert komplexes Nullstellenpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.5 Reeller Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.6 Zusammengesetzte Systeme, regelungstechnische Beziehungen . . . . . . . . . 37
3. Theorie rückgekoppelter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1 Definitionen und Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2 Das Wurzelortsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3 Stabilitätskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.3.1 Stabilitätsgrenze in der komplexen p-Ebene (P-N-Bild) . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Nyquist-Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.3 Bode-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
I
3.3.4 Hurwitzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. Beispiele für Anwendungen in der Schaltungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Transistorschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.1.1 Frequenzunabhängige Ersatzschaltbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2 Frequenzabhängiges Transistorersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Breitbandverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.2.1 Breitbandverstärker ohne Rückkopplung mit frequenzunabhängiger Transistorersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 Breitbandverstärker mit Rückkopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsrückkopplung . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.2.2 Stromgesteuerte Stromrückkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2.3 Spannungsgesteuerte Stromrückkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2.4 Stromgesteuerte Spannungsrückkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.2.5 Verhalten bei tiefen Frequenzen, RC-Verstärker . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2.6 Verhalten bei hohen Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Selektivverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.3.1 Einkreisiger Resonanzverstärker (siehe Elementarsystem konj. kompl. Polpaar, Abschn. 2.5.3.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3.2 Mehrstufige Verstärker mit entkoppelten Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.3 Gekoppelte Zweikreisfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.4 Normierte Darstellung, mehrkreisige Bandfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.5 Selektivverstärker mit Rückwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.4.1 Oszillatoren, die im Kleinsignalbetrieb beschrieben werden können . . . . . . . 85
4.4.2 Relaxiationsoszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5. Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.5.1 Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5.2 Frequenzkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6 RC-aktive Filter mit OV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
92
4.7 Phasenregelschleifen (PLL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.7.1 Elemente der PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.7.2 Dynamisches Verhalten der eingerasteten PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7.2.1 Phasenübertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7.2.2 Fehlerübertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.7.3 Halte- und Fangverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7.4 Die nichtlineare Dgl. der PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7.5 Anwendungen der PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5. Modulation / Demodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1. Lineare Modulationsverfahren (Amplitudenmodulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.1 Systemtheoretische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.2 Sonderformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.2.1 Mischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.2.2 AM mit Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.2.3 Nichtsinusförmiger Träger, Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.2.4 Einseitenbandmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.3 Schaltungstechnische Realisierung von Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2. Winkelmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.1 Definitionen, Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.2 Sonderformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.2.1 Spezialfall sinusförmiger Träger und sinusförmige Nachricht . . . . 115
5.2.2.2 Schmalband PM/FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.3 Schaltungstechnische Realisierung von Modulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.4 Schaltungstechnische Realisierung von Demodulatoren . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3 Pulscodemodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
III
Literatur
allgemeine Literatur zur Systemtheorie:
(1)
Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung, Teubner-Verlag Stuttgart 1992
(2)
Kreß, D; Irmner, R.: Angewandte Systemtheorie - kontinuierliche und zeitdiskrete
Signalverarbeitung, Verlag Technik, Berlin 1989
(3)
Oppenheim; Alan, V.: Signale und Systeme - Lehrbuch, VCH Verlagsgesellschaft
(4)
Fliege, N.: Systemtheorie, Teubnerverlag 1991
(5)
Tröndle, K.H.: Systemtheorie der optischen Nachrichtentechnik, Oldenburg-Verlag
1983
(6)
Fritzsche, G.: Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik, Verlag Technik
Berlin 1972
(7)
Kreß, D.: Theoretische Grundlagen der Übertragung digitaler Signale, Akademie-Verlag Berlin 1979
(8)
Unbehauen, R.: Systemtheorie, Akademie-Verlag Berlin 1973
(9)
Lüke, H.D.: Signalübertragung, Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragung, Springer-Verlag 1990
(10)
Philippow, E.: Taschenbuch Elektrotechnik Bd. 1,2,3, Verlag Technik Berlin 1977
(11)
Fritzsche, G.: Wissensspeicher Informationsübertragung, Verlag Technik Berlin 1977
zur Laplace-Transformation:
(12)
Doetsch, G.: Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace Transformation,
Birkhäuser-Verlag 1976
(13)
Fetzer, V.: Einschwingungsvorgänge in der Nachrichtentechnik, Verlag Technik
Berlin 1958
(14)
Philippow, E.: Taschenbuch Elektrotechnik Bd. 1, Verlag Technik Berlin 1977
IV
zum Wurzelortsverfahren:
(15)
Truxal, J.G.: Entwurf automatischer Regelsysteme, R. Oldenbourg, Wien, München
1960
(16)
Uderman, E.G.: Metod kornewovo godografa v teorii avtomatitscheskich sistem.
(russ.), nauka, Moskau 1972
(17)
Philippow, E.: Taschenbuch Elektrotechnik, Bd. 2, Abschnitt 6.3.5, Verlag Technik
Berlin 1965
zu aktiven RC-Filtern:
(18)
Fritzsche, G.: Entwurf aktiver Analogsysteme, Akademie-Verlag Berlin 1980
(19)
Herpy, M.: Analoge integrierte Schaltungen, Akademiai Kiado, Budapest 1976
(20)
Philippow, E.: Taschenbuch Elektrotechnik, Bd. 2, Abschnitt 3.7., Verlag Technik
Berlin 1965
(21)
Kowalski, H.J.: Aktive RC-Filter, Militärverlag der DDR, Reihe electronica Bd. 123
zur PLL:
(22)
Best, R.: Theorie und Anwendung des Phase-locked Loops, AT-Fachverlag GmbH
Stuttgart 1976
(23)
Börner, H.: Phasenregelkreise, Verlag Technik Berlin 1978
(24)
Gardner, F.M.: Phaselock Techniques (engl.), J. Wiley u. Sons, New York 1966
(25)
Lindsey, W.C.: Synchronisation systems in communication and control (engl.) Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs New Jersey 1972
(26)
Kapramow, M.W.: Avtomatitscheskaja podstroika fasowovonabjok v usilitielach
(russ.) Sowjetskoje Radio 1972
V
zur Schaltungstechnik allgemein:
(27)
Balcke, E.; Krause, H.: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik, Verlag Technik
Berlin 1981
(28)
Seifart, M. : Analoge Schaltungen, Verlag Technik Berlin 1989
VI
1. Grundlagen der Signaltheorie
1.1 Definition der Frequenz
Mit
u(t) ' U o cos 2 Bf o t ' U o cos To t '
Uo
2
e
jTo t
%e
& jTo t
kann eine Cosinusschwingung durch zwei rotierende Drehzeiger mit entgegengesetzter
Drehrichtung ersetzt werden.
Definition:
Die Kreisfrequenz To ' 2B f o '
dn
ist die Winkelgeschwin-
dt
digkeit von Drehzeigern.
Beachten Sie, daß zu einer Cosinusschwingung damit immer 2
Frequenzen, die positive +fo (bzw. To) und die
negative -fo (bzw. -To), gehören.
Wird außer der Rotation der Drehzeiger noch eine zeitliche Änderung (exponentielles Aufoder Abklingen) der Zeigerlänge (Amplitude) zugelassen, so folgt die komplexe Frequenz
p ' F % jT
mit
F=
Exponent, der die Längenänderung des Drehzeigers beschreibt
T=
Kreisfrequenz des Drehzeigers
1.2 Fouriertransformation
Aus der Fourierreihe einer periodischen Funktion folgt durch Verlängerung der Periodendauer
gegen Unendlich (bei unveränderter Form des Signals) das Fourier-Integral bzw. seine Umkehrung.
1
%4
1
u(t) '
U(T) e jTt dT
m
2B
Zeitfunktion
&4
B
*
C
B
*
C
%4
Spektralfunktion U(T) '
m
u(t) e & jT t d t
&4
Bei Verwendung der Frequenz f statt der Kreisfrequenz T=2Bf entsteht eine symmetrische
Form der Fouriertransformation.
%4
u(t) '
m
U( f ) e j2 B ft df
&4
B
*
C
%4
U( f ) '
m
u(t) e & j2 B f t d t
&4
Beachten Sie: Durch Fourier- (oder Laplace-) Transformation zusammenhängende Zeit- und
Spektralfunktionen sollten immer mit gleichen Buchstaben gekennzeichnet
werden, wobei die Spektraldichte mit großen und die Zeitfunktionen mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet werden. (z.B. U(T ) C&B u(t))
Beachten Sie die Dimensionen. Wenn u (t) eine Spannung ist, so gilt
u(t) ' V
U(T) ' U( f ) ' Vs '
V
Hz
Die Spektraldichten U(f) und U(T) (besser spektrale Amplitudendichten) werden unabhängig
von T oder f in Volt je Hertz Bandbreite gemessen. Sie bestehen bei periodischen Zeitfunktionen aus diskreten Linien und sind bei einmaligen Vorgängen kontinuierlich.
2
1.3 Laplace-Transformation
%4
m
U(p) '
u(t) e &p t d t
0
B
*
C
F % j4
1
U(p) e p t dp
u(t) '
j2B m
F & j4
Im Gegensatz zur Fouriertransformation läßt die Laplace-Transformation auch exponentiell
ansteigende Zeitfunktionen zu, für Zeiten t < 0 wird allerdings u(t) = 0 vorausgesetzt.
Für F = 0, d.h. p = jT sind Laplace- und Fourier-Transformationen identisch, solange u(t) die
Bedingungen beider Transformationen erfüllt.
Auswahl einiger Laplace-Transformationen:
x(t) B&C X(p)
*(t) B&C 1
1
s(t) B&C
p
1
t B&C
p2
t
1 &T
B&C
e
T
t
T
&
1& e
B&C
t
1 &
*(t) & e T B&C
T
t
T1
&
1& D 2
t
To
&
e
&D
e
t
To
sin
&e
T1 &T2
To 1 & D 2
t
2
To
&
e
t
T2
t
To
3
1
1% pT
1
p(1 %p T )
pT
1% pT
B&C
1
(1% pT1) (1% pT2)
B&C
1
2
1% 2D pT o % p 2 To
B&C
1
(1% pT o)2
1.4 Gesetze der Fourier- und Laplace-Transformation
Da beide Funktionstransformationen verwandt sind, sollen die wichtigsten Gesetze gemeinsam
zusammengestellt werden. In jedem Falle sind die aus der Mathematik bekannten Grenzen und
Einschränkungen zu beachten, die im folgenden nicht gesondert angegeben werden.
Zuordnung bei komplexen Zeit- und Frequenzfunktionen:
u(t) ' ureel gerade % ureel ungerade % j uim. gerade % j uim. ungerade
B
B
B
B
B
*
*
*
*
*
C
C
C
C
C
U(T) ' Ureel gerade % j Uim. ungerade % j Uim. gerade % Ureel ungerade
Wenn a(t) B&C A(T ), so gilt
Vertauschungssatz:
A ((t) B&C a ((T )
oder a(&t) B&C a(T )
Beachten Sie: In diesem Fall wird die Regel, daß Zeitfunktionen mit kleinen und Spektralfunktionen mit großen Buchstaben gekennzeichnet werden, nicht eingehalten.
Ähnlichkeitssatz:
Wenn u(t) B&C U(T ) bzw. U(p)
u(a t) B&C
U(aT) bzw. U(a p) C&B
Reziprozitätsgesetz:
1
T
U
a
a
so gilt:
bzw.
1
p
U
a
a
1
t
u
a
a
%4
u(t ' 0) '
m
U( f ) d f ' BR@ U( f ' 0)
m
u(t) d t ' TR@ u(t ' 0)
&4
%4
U( f ' 0) '
&4
mit
BR
= äquivalente Rechteckbandbreite (zweiseitig)
TR
= äquivalente Rechteckpulsbreite
BR TR
=1
4
Für die Laplace-Transformation gilt
lim u(t)
lim p U(p)
'
t 6 0
p 6 4
lim u(t)
lim p U(p)
'
t 6 4
p 6 0
Verschiebungssatz:
Wenn u(t) B&C U(T ) bzw. U(p)
U(T & To) C&B u(t) e
, so gilt:
jTo t
u(t & t o) B&C U(T) e
U(p &") C&B u(t) e "t
u(t &$) B&C U(p) e &$ p
bzw.
& jT to
Faltungssatz:
Wenn u1(t) B&C U1(T) bzw. U1(p) und u2(t) B&C U2(T) bzw. U2(p)
so gilt:
u1) @ u2(t) B&C
U1(T) ( U2(T)
bzw.U1(p) ( U2(p)
U1(T) @ U2(T)
C&B u1(t) ( u2(t)
bzw.U1(p) @ U2(p)
mit dem
Faltungsintegral
%4
u1(t) ( u2(t) '
m
u1(J) u2( t &J) dJ
&4
Differentiationssatz:
Wenn u(t) B&C U(T ) bzw. U(p)
, so gilt:
d
u(t) B&C j T U(T) bzw. pU(p) & u(t '0)
dt
dn
U(T) C&B (j)&n t n u(t)
n
dT
dn
U(p) C&B (&1)&n t n u(t)
bzw.
n
dp
Integrationsgesetz:
Wenn u(t) B&C U(T ) bzw. U(p)
, so gilt:
t
m
u(J) d J B&C U(T)
&4
bzw. B&C
U(p)
p
5
1 1
% *(T)
jT 2
und
1.5 Charakteristische Zeitfunktionen
Stoß
*(t) B&C 1
Stoßantwort
V
Hz
V
@ g(t)
Hz
1
[ V ] ' [Vs] @
s
w(t) ' 1
%4
m
*(t) d t ' 1
&4
mit g(t) ' FT &1 G(T)
bzw. g(t) ' LT &1 G(p)
' Gewichtsfunktion
Beachten Sie, daß in der Literatur auch oft H(T) bzw. h(t) als Übertragungsfunktion bzw.
Gewichtsfunktion verwendet werden.
Beachten Sie: die Dimensionen des Einheitsstoßes *(t) und des Faktors A zur Bewertung der
Stoßfunktion
u(t) ' A
@ *(t)
1
s
[V] ' [Vs] @
[Zeitfunktion] '
Faltung mit dem Stoß:
Fläche des
Stoßes
@ [Einheitsstoß]
u(t) ( *(t &t o) ' u(t & to)
u(t) ( *(t)
' u(t)
Gleichstrom:
1 V B&C *(T)
%4
%4
1
*(T) dT ' 1
2B m
bzw.
&4
m
&4
6
*( f ) df ' 1
Beachten Sie, daß der Faktor B vor dem Frequenzstoß wieder die Fläche des Stoßes darstellt.
@ *(T)
U(T) ' B
V
V
1
'
Hz @
Hz
Hz
Hz
[Spektralfunktion] '
Fläche des
Stoßes
Sprungantwort:
Sprung:
1
1
% *(T)
jT
2
1
bzw. B&C
p
h(t)
s(t) B&C
Y
%4
%4
s(t) B&C
Einheits&
frequenzstoß
@
m
h(t) '
*(J) d J
m
g(J) dJ
&4
&4
(bei Laplace-Transformation wird nur im Bereich 0 < J < t integriert)
Rechteckimpuls:
1 *t* #
uÿ (t) ' Uo
0 *t* >
TR
2
TR
B&C Uÿ (T) ' U o TR si Bf TR
2
' U o TR si
B TR
2
sin(x)
' Spaltfunktion
x
TR ' Rechteckbandbreite
mit si(x) '
B&C
7
Beachten Sie, daß bei Anwendung der Laplace-Transformation der Rechteckimpuls erst bei
t = 0 beginnen darf:
uÿ(t) ' Uo s(t) & s t & TR
B
*
C
U
pT
Uÿ(p) ' o 1 & e R
p
Spalt-Impuls:
u(t) ' U o si BBR t ' U o si
B
*
C
U( f ) '
Uo
BR
bzw. U(T) ' U o
mit
1 für *f* #
0 für *f* >
2B
SR
BR = Rechteckbandbreite
SR t
2
BR
2
BR
2
1 für *T* #
0 für *T* >
SR
2
SR
2
SR = BR @ 2B
B&C
Beachten Sie:
-
Die Reziprozität von Zeit und Frequenz beim Vergleich mit dem Rechteckimpuls
BR @ TR = 1
8
-
Die Approximation einer rechteckförmigen Übertragungsfunktion (rechteckförmiges Spektrum) durch eine rationale Übertragungsfunktion kann durch
Potenz- oder Tschebyscheffpolynome erfolgen.
Periodische Stoßfolgen:
u(t) ' C @ j * t & mt p
%4
B
*
C
1
' Periodendauer
mit
fo
[ C ] ' Vs
tp '
m '&4
U( f ) ' C @ f o j * f & nf o
%4
n '&4
In Verbindung mit dem Faltungssatz folgen:
a(t) ' u(t) ( j * t & mt p
%4
B
*
C
m '&4
Abtastung im Frequenzbereich = Periodifizierung
im Zeitbereich
A( f ) ' U( f ) @ f o j * f & nf o
%4
n '&4
und
b(t) ' u(t) @ j * t & mt p
%4
B
*
C
m '&4
Abtastung im Zeitbereich = Periodifizierung im
Frequenzbereich
B( f ) ' U( f ) ( f o j * f & nf o
%4
n '&4
9
Gaußimpuls:
&ln(2)
u(t) ' Uo e
B
*
C
U(T) ' Uo
mit J '
t
J
2
2 Bln2
e
Tg
& (ln2)
T
Tg
2
2 ln2
Tg
Beachten Sie:
-
Zeit- und Spektralfunktion haben den gleichen prinzipiellen (Gauß`schen) Verlauf
-
Zeit und Frequenz sind einander reziprok!
-
Da ein Gauß-TP kein kausales System ist, gehört zur Zeitfunktion noch eine gegen
Unendlich strebende Laufzeit!
-
Der Gauß`sche Verlauf wird in der Technik oft als möglichst steiler, aber gerade noch
überschwingfreier, Übergang angestrebt.
10
Integration eines Gauß-Impulses (bzw. Sprungantwort eines Gauß-TP):
t
h(t) '
m
u(t) dt % C '
Uo
2
&4
'
Uo
2
%
1
2
%
1
2
2 ln2
erf
t
J
ln2
x
B m0
2
mit erf(x) '
Tg t
erf
2
e &y dy ' Gauß )sches Fehlerintegral
Kettenschaltung von 2 Gauß-TP (entspricht der Antwort eines Gauß-TP auf einen Gauß-Impuls):
2
Tg ges.
1
'
1
Tg1
'
2
1
Tg2
%
2
2
2
2
2
Tg1 @ Tg2
Tg1 %Tg2
Approximation eines Gauß-TP durch rationale Übertragungsfunktion:
- durch n-fachen reellen Pol
G(p) '
C
*
B
(1% pT )
&
g(t) '
&2 (ln 2)
1
e
t
T1
n
. e
T
Tg
@ t n &1
T n (n & 1)!
11
2
mit Tg '
2
n
2 &1 @
1
T
- durch Besselpolynom Bn(p)
1
B n(p)
G(p) '
B1(p) ' 1 %p
mit
B2(p) ' 3 %3p %p 2
Bn(p) ' (2n &1) Bn & 1(p) % p 2 Bn &2(p)
1.6 Diskrete Fouriertransformation
Durch aufeinanderfolgende Abtastung to '
1
fp
und Periodifizierung tp '
1
(siehe
fo
periodische Stoßfolgen) von aperiodischen kontinuierlichen Zeit- oder Frequenzfunktionen
entstehen die periodischen diskontinuierlichen Zeit- und Frequenzfunktionen U(f) und u(t), die
je durch f p @ tp '
1
f o @ to
' N
diskrete Werte vollständig beschrieben werden.
j2 B
nm
N
& j2 B
nm
N
u(n to) ' f o j U(m f o) e
N&1
B
*
C
m'0
U(m f o) ' to j u(n to) e
N&1
n'0
1.7 Zufällige Signale (stationäre ergodische Prozesse)
%
linearer Mittelwert:
xo ' x(t) '
(Gleichanteil; Moment 1. Ordnung)
lim
x(t) d t
T64 m
&
T
2
%
T
2
quadratischer Mittelwert:
2
(Effektivwert = Leistung an einem Widerstand von
1 Ohm; Varianz (x(t)=O); Moment 2. Ordnung)
2
xeff ' x 2(t) '
lim
x 2(t) d t
T64 m
&
12
T
2
T
2
%
Autokorrelationsfunktion (AKF):
Theorem
von
WienerChintschin
Rxx(J) '
B
*
*
*
C
T
2
lim 1
x(t) @ x(t % J) d t
T64 T m
&
B
*
C
T
2
%4
Qxx(T) '
m
Rxx(J) e jTJ dJ
&4
Spektrale Leistungsdichte
(besser spektrale quadratische Amplitudendichte)
Theorem von Parseval:
%4
2
Rxx(0) ' xeff ' x 2(t) '
&4
%4
%4
m
1
Q (T) dT
2 B m xx
x 2(t) d t '
&4
1
*x(T)*2 d T
2B m
&4
Beachten Sie:
-
Die spektrale Leistungsdichte (spektrale quadratische Amplitudendichte) Q(T) wird
(wenn x(t) = u(t) eine Spannung ist) in [V2/Hz] gemessen. Sie ist nur an einem
angenommenen Widerstand von 1 Ohm eine Leistung.
-
Q(T) = Q(f) bezieht sich dabei immer (wie die Amplitudendichte X(T) = X(f)) auf
eine Bandbreite von 1 Hz, unabhängig, ob Q(T) oder Q(f) dargestellt wird.
Kreuzkorrelationsfunktion (KKF):
Rx,y(J) '
%
T
2
lim 1
x(t) @ y(t % J) d t
T64 T m
&
T
2
Rx,y(J) ' x(&J) ( y(J)
B
*
C
Qx,y(T) ' X(T) @ Y(T)
13
Amplitudenwahrscheinlichkeitsverteilungen:
Gauß'sche Verteilung:
1
p(x) '
mit
&
F 2B
(x &x o)2
2 F2
e
x 2(t) ' F2 ' Varianz ' Rxx(0)
x(t) ' x o ' linearerMittelwert
xS ' Schwelle
Wahrscheinlichkeit für x > xS:
4
P(xs) '
m
p(x) d x '
xS
mit erf (y) '
1
1& erf
2
F 2
y
B m0
2
x S & xo
2
e µ dµ
Rayleigh-Verteilung:
p(x) '
x
e
F2
0
x2
&
2 F2
für
x> 0
x# 0
mit F2 ' Rxx(0) ' 2B Ro
Rice-Verteilung:
uo x
p(x) '
x
F2
e
2
&
F2
2B
@e
x 2 % uo
2 F2
uo x
F2
2
.
14
x
1
e
F 2B u x
o
&
x 2 & 2 u o x &u o
2 F2
1.8 Analytische Signale
Eine reelle Zeitfunktion x(t) ergibt nach Fouriertransformation (nach Abschnitt 1.4) Spektren
mit geradem Realteil und ungeradem Imaginärteil, d.h. Spektralanteile bei positiven und negativen Frequenzen .
Ein spektral einseitiges Signal z(t) B&C Z(f) korrespondiert dagegen mit einer komplexen
Zeitfunktion. Es entsteht durch Addition des Signals X(f) C&Bund
x(t)seiner Hilberttransformierten Y(f) C&B y(t) ' HT x(t) ' x̂(t)
Beachten Sie:
-
Das neue Signal Z( f ) C&B z(t) ist ein analytisches Signal.
Es ist im Frequenzgang einseitig.
-
Es hat eine komplexe Zeitfunktion, deren Imaginärteil die Hilberttransformierte des Realteils ist.
Einige Regeln der Hilberttransformation:
Y( f ) ' X̂( f ) ' X( f ) @ &j @ sgn ( f )
%4
y(t) ' x̂(t) '
1
1
x(J)
dJ
m
B
t&J
&4
15
Mit x̂(t) ' HT x(t)
gilt:
x̂(t &to) ' HT x(t &t o)
x(t) ' & HT x̂(t)
Zeitinvarianz
Umkehrung
%4
m
x(t) x̂(t) dt ' 0
&4
lim
T64
bzw.
%T
1
x(t) x̂(t) d t ' 0
2T m
Orthogonalität
&T
x̂(t) ' & x̂(& t)
für x(t) '
x̂(t) '
für x(t) ' & x(&t) d.h. ungerade Funktion x(t)
x̂(& t)
x(&t) d.h. gerade Funktion x(t)
Auswahl einiger Hilberttransformationen:
x(t)
cos(To t)
sin(T0 t)
To > 0
sin(To t)
& cos(To t)
To > 0
*(t)
1
Bt
sin(Tg t)
1& cos(Tg t)
Tg t
Tg t
u(t) cos(To t)
1 für & T <t < T
2
0 für
x̂(t)
*t *$
2
T
2
u(t) sin(To t)
(wenn U(f) bandbegrenzt ist)
T
1 / t% 2
ln 0
B 000 t & T
00 2
(Rechteck)
/0
00
00
0
16
Durch Verschiebung eines einseitigen Bandpaßsignales UBP( f ) C&B u BP(t)
um f0 (z.B.
Trägerfrequenz) entsteht das äquivalente komplexe Tiefpaßsignal U %( f ) C&B u %(t)
.
j2 B f t
uBP(t) ' u %(t) @ e o
*
komplexe TP&Funktion
' Re u %(t) @ cos(2 Bf o t) & Im u %(t) @ sin(2B f o t)
*
*
Quadraturkomponenten
' u %(t) @ cos(2B f o t %nTP(t))
*
*
Einhüllende (AM)
Phasenmodulation
Beachten Sie: Ein reales Bandpaßsignal wird durch ein äquivalentes komplexes, analytisches
TP-Signal ersetzt, welches nur für positive Frequenzen Spektralanteile besitzt.
Die Bewertung des Bandpaßsignales durch einen Bandpaß (Filterung) wird danach durch
Bewertung von u+(t) mit einem äquivalenten TP G ( f ) C&B g (t) ' g %(t) beschrieben.
TP
TP
17
bzw. in symbolischer Darstellung:
Beachten Sie:
-
Das vorstehende Blockschaltbild entspricht im Signalverlauf den Schritten:
! BP-(HF)-Signal,
! Quadraturmodulation,
! Bewertung durch äquivalenten TP,
! Modulation im HF-Bereich.
-
Alle Schritte des Blockschaltbildes sind hier im Zeitbereich dargestellt. Eine
Realisierung durch Folgen von digitalisierten Abtastwerten eröffnet alle Möglichkeiten einer digitalen Signalverarbeitung (z.B. mit Signalprozessoren).
-
Alle aus der Theorie der Modulation (s. Abschnitt 5) bekannten Modulationsund Demodulationsverfahren lassen sich durch die Beschreibung mit kompl.
TP-Funktionen
! einfach darstellen,
! einfach digital im Zeitbereich realisieren.
-
Die maximale Arbeitsfrequenz der Baugruppen wird nicht mehr durch die Trägerfrequenz fo, sondern nur noch durch die Bandbreite bestimmt.
-
Eine sehr gute Einführung in die Arbeit mit analytischen Signalen finden Sie bei
[1].
18
2. Grundlagen der Systemtheorie
2.1 Aufgaben der Systemtheorie
Definition:
System-Anordnung, die Eingangssignale nach bestimmten, von den Eigenschaften des Systems
abhängigen, Gesetzmäßigkeiten beeinflußt, verändert und verknüpft. (In Nachrichtenübertragungssystemen z.B. sind diese Signale informationstragende Zeitfunktionen, die vom System verändert werden.)
Möglichkeiten zur Beschreibung eines Systems:
1.
periodische sinusförmige Testsignale 6 Systemeigenschaften im Frequenzbereich
(Übertragungsfunktion, Dämpfung, Phase als Funktion der Frequenz);
2.
Antwortfunktionen auf charakteristische Zeitfunktionen (z.B. Stoßantwort, Sprungantwort usw.) 6 Systemeigenschaften im Zeitbereich;
3.
Antwort auf zufällige Vorgänge mit vorgegebenen statistischen Eigenschaften (z.B.
Rauschen bestimmter spektraler Verteilung und bestimmter Amplitudenhäufigkeitsverteilung)
Aufgabenstellung der Systemtheorie:
Zusammenhang zwischen Eingangssignalen, Systemeigenschaften und Ausgangssignalen im
Zeit- und Frequenzbereich beschreiben.
Eigenschaften von stabilen, zeitinvarianten und linearen Systemen:
19
Definition der Übertragungsfunktion:
G(T) '
U2(T)
'
U1(T)
FT u2(t)
FT u1(t)
'
U2( f )
U1( f )
' G( f )
auf der Basis der Fouriertransformation und
G(p) '
U2(p)
'
U1(p)
LT u2(t)
LT u1(t)
auf der Basis der Laplacetransformation.
Zerlegung der Übertragungsfunktion in Betrags- und Phasenfunktion:
G(T) ' *G(T)*e jn(T)
Beachten Sie:
-
Die Darstellung von 20lg*G(T)* und n(T) mit log. Frequenzachse wird als Bode-Diagramm bezeichnet
-
Bei der Darstellung im Bodediagramm werden am Eingang Sinus-schwingungen mit
konstanter Amplitude (d.h. F= 0 ) und der Kreisfrequenz T vorausgesetzt, d.h. auch
bei Laplace-Transformation gilt:
G(p) ' G(j T) ' *G(T)* e jn(T)
-
Die Übertragungsfunktion G(T) bzw. G(p) ist die FT- bzw. LT-Transformierte der
Gewichtsfunktion g(t)
Definition der
n(T)
T
Phasenlaufzeit:
Jp(T) '
Gruppenlaufzeit:
Jg(T) ' &
dn(T)
dT
20
2.2 Grundgleichungen:
Grundgleichung für lineare zeitinvariante Systeme und determinierte Signale:
U2(p) ' U1(p) @ G(p)
U2(T) ' U1(T) @ G(T)
C
C
C
*
*
*
B
B
B
u2(t) ' u1(t) ( g(t)
Beachten Sie: Das Duhamel'sche Integral
%4
u2(t) '
m
u1(J) h )(t & J) d J
&4
ist nur eine andere Darstellung dieser Gleichung.
Grundgleichung für frequenzinvariante Systeme und determinierte Signale (ideale Modulatoren):
u2(t) ' u1(t) @ m(t)
C
C
C
*
*
*
B
B
B
U2(T) ' U1(T) ( M(T)
U2(p) ' U1(p) ( M(p)
mit
G(T) = Übertragungsfunktion
g(t)
= FT-1{G(T)} = Gewichtsfunktion
m(t) = Modulationsfunktion und
M(T) = dazugehöriges Spektrum
Grundgleichung für lin. zeitinvariante Systeme und zufällige Signale:
Autokorrelation
Q22(T) ' Q11(T) @ *G(T)*2
C
C
C
*
*
*
B
B
B
R22(J) ' R11(J) ( Rgg(J)
21
Kreuzkorrelation
R12(J) ' R11(J) ( g(J)
B
B
B
*
*
*
C
C
C
Q12(T) ' Q11(T) @ G(T)
Grundgleichung für frequenzinvariante Systeme und zufällige Signale:
R22(J) ' R11(J) @ Rmm(J)
B
B
B
*
*
*
C
C
C
Q22(T) ' Q11(T) ( Qmm(T)
2.3 Beschreibung von Systemen mit rationaler Übertragungsfunktion
Systeme mit linearen konzentrierten und konstanten Elementen (ideale Verstärker, L, C, R)
haben Übertragungsfunktionen des Typs
G(p) '
Z(p)
Zählerpolynom in p
'
N(p)
Nennerpolynom in p
mit konstanten Koeffizienten der Polynome.
Es sind folgende Darstellungsformen gebräuchlich:
Polynomdarstellung:
G(p) '
"0 % "1 p % "2 p 2 % ... %"m p m
$0 % $1 p % $2 p 2 % ... % $n p n
Beachten Sie:
1.
die Koeffizienten " und $ sind dimensionsbehaftet,
2.
n$m
3.
N(p) muß ein Hurwitzpolynom sein, sonst keine Stabilität (nur negative Realteile der
Lösungen von N(p) = O)
22
Partialbruchdarstellung:
A1
G(p) ' A0 %
p &p1
A2
%
p& p2
% ... %
An
p &p n
A< = Residuen (reell oder konjugiert komplex)
Linearfaktordarstellung:
G(p) '
(p& pZ1) (p& pZ2) ... (p &pZ m)
(p & pN 1) (p &pN 2) ... (p& pNn)
' K
Z(p)
N(p)
oder
G(p) '
(1 % pTZ 1) (1 %pTZ 2) ... (1% pTZm)
1 % pTN 1) (1 %pTN 2) ... (1% pTNn)
mit T Z ' &
1
pZ
und T N ' &
1
PN
' k
Z(p)
N(p)
( TZ
m
und K ' k µ '1
µ
<' 1
<
( TN
n
Beachten Sie: Die Konstante K ist dimensionsbehaftet, während in der zweiten Darstellung k
die Verstärkung des Systems bei Gleichstrom darstellt und k sowie die frequenzabhängigen Faktoren dimensionslos sind.
Definition:
Die Lösungen von Z(p)=0 werden als Nullstellen bezeichnet, die Lösungen von N(p)=0 werden als Pole der Übertragungsfunktion bezeichnet.
In der Linearfaktordarstellung sind
pZµ
die Pole und
pN<
die Nullstellen der Übertragungsfunktion.
23
Zusammenfassung:
Jedes reale System mit rationaler Übertragungsfunktion (darstellbar aus linearen konzentrierten
und konstanten Bauelementen) kann durch Pole, Nullstellen und einen Verstärkerfaktor k
vollständig beschrieben werden.
2.4
Bestimmung von Betrag und Phase einer rationalen Übertragungsfunktion aus
dem PN-Bild
Aus
G(p) ' k k
n
&p<
p &p<
n Pole
< '1
@ k
m
p &pµ
&pµ
m Nullstellen
µ '1
k ' Gleichstromverstärkung
folgt
( *p<*
n
*G(p)* ' k
< '1
( *pµ *
m
µ '1
' k
@
*
( *p &pµ *
m
@
µ '1
( *p& p<*
n
< '1
Produkt der Abstände der Pole vom Ursprung (
Produkt der Abstände der Nullstellen vom Ursprung (
Produkt der Abstände der Nullstellen vom Punkt p
Produkt der Abstände der Pole vom Punkt p
bei Polen und Nullstellen im Ursprung: "Abstände von der Kennfrequenz (bei der der
Betrag der Übertragungsfunktion des Elementarsystems (s.Abschnitt 2.5.) gleich 1 ist)"
n(p) ' j nµ & j n<
m
n
µ '1
< '1
= Summe der Winkel zwischen betrachteten Punkt p
und Ursprung an den einzelnen Nullstellen
-
Summe der Winkel zwischen betrachteten Punkt p
und Ursprung an den einzelnen Polen
24
Beispiel:
*G(p)* ' k
l1 @ l2
l3
@
l4
n ' "1 & "2 % "3
l5 @ l6
Beachten Sie: Für p = jT läßt sich der Verlauf von *G(T)* und n(T) bestimmen, im Gegensatz zum Bodediagramm hier aber lin. Maßstab an beiden Achsen!
2.5 Zerlegung in Elementarsysteme
Jedes System mit einer rationalen Übertragungsfunktion kann theoretisch in eine Kettenschaltung von Elementarsystemen zerlegt werden, wobei durch geeignete Maßstäbe (log. Darstellung) additive Zusammenhänge zwischen Gesamtsystem und den einzelnen Elementarsystemen für den Verlauf des Betrages und der Phase erreicht werden können (Bode-Diagramm).
2.5.1 Reeller Pol
G(p) '
& p1
1
'
1% pT1
p & p1
mit p1 ' &
*G(T)* '
1
T1
1
2
1% T2 T1
25
Approximation von *G(T)* durch Geraden im doppelt logarithmischen Maßstab:
für T 6 0
für T 6
1
T1
für T 6 4
tan n(T) '
*G(T)* . 1
*G(T)* '
× 0 dB
1
× &3 dB
2
*G(T)* .
1
× &20 dB / Dekade
T1
Im G(T)
Re G(T)
n(T) ' & arctan T T1
Beispiel:
G(p) '
1
1% pR C
T1 ' R C
Beachten Sie: Je eine Schablone für *G(T)* und n(T) erleichtert die Konstruktion des Bodediagramms bei komplizierten zusammengesetzten Funktionen, wenn immer
wieder der gleiche Maßstab verwendet wird.
26
Stoßantwort:
w(t) ' 1
V
@ g(t)
Hz
V 1
' 1
e
Hz T1
&
t
T1
Sprungantwort:
uL(t) ' 1 V@ h(t)
&
' 1 V@ 1& e
t
T1
Rechteckantwort:
u2 ÿ(t) ' 1V h(t) & h(t & T R)
Beachten Sie die Besonderheit eines Poles im Ursprung:
27
G(p) '
& F1
1
'
pT1
(p & 0)
1
T1
mit F1 ' & p1 ' &
T1 = -F1 = Kennfrequenz, bei der *G(T)* = 1 ist. Eine Änderung der Kennfrequenz ist identisch mit einer Verstärkungsänderung.
2.5.2 Reelle Nullstelle
G(p) ' 1 % pT1 '
mit p1 ' &
*G(T)* '
p& p1
& p1
1
T1
2
1% T2 T1
Approximation von *G(T)*durch Geraden im doppelt logarithmischen Maßstab:
für T 6 0
für T 6
1
T1
für T 6 4
Verlauf der Phase:
*G(T)* . 1 × 0 dB
*G(T)* '
*G(T)* .
n(T) ' arctan T T1
28
2 × 3 dB
1
× % 20 dB / Dekade
T1
Beachten Sie:
Das Elementarsystem "reelle Nullstelle" ist
nicht allein realisierbar (Verletzung der
Bedingung n < m)
Beispiel:
G(p) '
1 % p R2 C
1
1% p(R1 % R2) C
1% p(R1 %R2) C
Elementarsystem
Elementarsystem
@
'
reellerPol
reelleNullstelle
'
G(p) '
G(T '
20 lg *G(T)* '
1 %R2 C
@
G1(p)
G1(T)
@
@
20 lg *G1(T)* %
G2(p)
G2(T)
20 lg *G2(T)*
Beachten Sie die additiven Zusammenhänge bei Zusammenfassung der Phasen-Betragsverläufe (log. Maßstab)!
29
Beachten Sie die Besonderheit einer Nullstelle im Ursprung:
G(p) ' pT1 '
mit F1 ' p1 ' &
(p & 0)
& F1
1
T1
T1 = -F1 = Kennfrequenz, bei der *G(T)* = 1 ist. Eine Änderung der Kennfrequenz ist identisch mit einer Verstärkungsänderung.
2.5.3 Konjugiert komplexes Polpaar
2
G(p) '
2
Fe % Te
p & Fe % j Te p & Fe & j Te
bzw.
1
G(p) '
2
1 % 2 Dp To % p 2 T o
mit
2
2
1
2
To ' Fe % Te '
und
2
To
Fe
' cos R ' Dämpfung
To
1
Q '
' Güte
2D
D '
1
*G(T)* '
2
1& T2 T o )2 % (2 DT To)2
30
Approximation von *G(T)* durch Geraden im doppelt log. Maßstab.
für T 6 0
für T '
1
To
für T 6 4
*G(T)* . 1
1
' Q
2D
*G(T)* '
*G(T)* .
× 0 dB
1
2
T2 T o
× & 40 dB / Dekade
Verlauf der Phase:
n(T) ' & arctan
2D T T o
2
1& T2 T o
2
1& T2 T o
B
/ & % arctan
2
2D T T o
Beachten Sie:
1.
Für D = 0,71 (R = 45E) ist der Verlauf von *G(T)* gerade noch überschwingfrei (maximal flach).
2.
Der Fall D = 1 (R = 0E) entspricht einem doppelten reellen Pol (in diesem Fall ist die
Sprungantwort h(t) noch überschwingfrei und maximal flach)
3.
Mit kleiner werdender Dämpfung entsteht eine Resonanzüberhöhung (Q-fach) und ein
steiler Phasenverlauf.
4.
Der genaue Verlauf von Betrag und Phase ist in den folgenden Bildern dargestellt.
31
32
33
Beispiel
G(p) '
1
1 %p R C %p 2 L C
To ' L C D '
bzw. Q '
Stoßantwort für D < 1 (konj. kompl. Pole):
2
V To F e t
w(t) ' 1
e sin Te t
Hz Te
V
1
' 1
e
Hz T 1 &D 2
o
&D
t
To
sin 1 &D 2
Beachten Sie: - To ist im Bodediagramm die Knickfrequenz
- Te ist die Oszillationsfrequenz
- Fe ist der Dämpfungsfaktor
Stoßanwort für D = 1 (doppelter reeller Pol):
V
1
w(t) ' 1
LT &1
Hz
(1% pTo)2
V t
' 1
e
Hz T 2
o
34
&
t
To
t
To
1
R
R
2
C
L
L
C
Sprungantwort für D < 1:
uL ' 1 V@ h(t)
T Ft
h(t) ' 1 & o e e sin Te t % R
Te
' 1 & e
& Fe t
cos Te t %
&D
1
' 1 &
e
Fe
Te
t
To
sin Te t
sin
1 &D 2
To 1 & D 2
&D
' 1 & e
t
To
cos 1& D 2 %
(Q siehe Bild Seite 26)
D
t
% arcsin 1&D 2
To
1 &D 2
sin
1& D 2
t
To
mit t2 ' t1 %
B
Te
D ' cos B 1 &
t1
t2 & t1
(zur Bestimmung von D geeignet)
Sprungantwort für D = 1:
h(t) ' 1 & e
&To t
35
1 %To t
2.5.4 Konjugiert komplexes Nullstellenpaar
G(p) '
p& Fe % j Te p& Fe & j Te
2
2
Fe % Te
bzw.
2
G(p) ' 1 % 2 Dp To % p 2 T o
mit
1
2
2
2
To ' Fe % Te '
2
To
und
F
D ' e ' cos R ' Dämpfung
To
1
Q '
2D
*G(T)* '
2
1& T2 T o )2 % (2 DT To)2
n(T) ' arctan
2 DT To
2
1 & T2 T o
Beachten Sie:
Durch Vergleich mit der Übertragungsfunktion des konjugiert komplexen Polpaares erkennt man das reziproke Verhalten.
Beachten Sie: Ein konjugiert komplexes Nullstellenpaar ist nicht allein realisierbar (Verletzung
der Bedingung n > m).
36
2.5.5 Reeller Faktor
Der reelle Faktor k stellt die frequenzunabhängige Verstärkung des Systems dar. Im log. Maßstab bewirkt er eine Parallelverschiebung der Kurven *G(T)*.
G(p) ' *G(T)* ' k
n(T) ' 0
*k* > 1 : Verstärkung
0 < *k* < 1 : Dämpfung
k < 0 : Phasendrehung um 180E
Jedes System mit rationaler Übertragungsfunktion Gges(p) läßt sich durch Kettenschaltung
derartiger Elementarsysteme Gi(p) aufbauen.
Es gilt:
Gges(p) ' G1(p) @ G2(p) @ ... @ G<(p)
' ( Gi(p)
<
i' 1
*Gges(T)* ' *G1(T)* @ *G2(T)* @ ... @*G<(T)* ' ( *Gi(T)*
<
i' 1
20lg *Gges(T)* ' ' 20lg *Gi(T)*
<
i '1
nges(T) ' n1(T) %n2(T) %... %n<(T)
' ' ni(T)
<
i' 1
Damit sind additive Zusammenhänge für *Gges(T)* und nges(T) geschaffen und es ist leicht eine
grafische Zusammenfassung mehrerer Elementarsysteme möglich (Bode-Diagramm).
2.5.6 Zusammengesetzte Systeme, regelungstechnische Beziehungen
Aus den Elementarsystemen ist jedes beliebige komplizierte System mit rationaler Übertragungsfunktion zusammensetzbar und Betrag und Phase sind berechenbar. In der Regelungstechnik haben sich für die genannten Elementarsysteme und eine Reihe von einfachen Kombinationen bestimmte Bezeichnungen eingebürgert, von denen einige in Tafel 1 zusammengestellt sind. Prinzipiell sind folgende Kombinationen von zwei Systemen G1(p) und G2(p) möglich:
37
Tafel 1.1
38
Tafel 1.2
39
1. Parallelschaltung:
Gesamtübertragungsfunktion:
Gges(p) ' G1(p) % G2(p)
Bezeichnung in der Regelungstechnik:
Aneinanderreihung der Kurzzeichen ohne Bindestrich.
G1(p) : I & Glied
G2(p) : P & Glied
6 Gges(p) : PI & Glied
z.B.
2. Reihenschaltung:
Gesamtübertragungsfunktion:
Gges(p) ' G1(p) @ G2(p)
Bezeichnung in der Regelungstechnik:
Aneinanderreihung der Kurzzeichen mit Bindestrich.
G1(p) : I
& Glied
G2(p) : P
& Glied
6 Gges(p) : P & I & Glied
z.B.
Beachten Sie: Bei der Zusammenfassung von Parallelschaltungen entstehen anders bezeichnete äquavalente Serienschaltungen.
z.B.
oder
PI & Glied ' I & TD1 & Glied
PD & Glied ' P & TD1 & Glied
40
3. Rückkopplungsschaltung:
Gesamtübertragungsfunktion:
Gges(p) '
G1(p)
1 & G1(p) @ G2(p)
Beachten Sie:
1. G1(p) und G2(p) sind in dieser Schaltungsart nicht mehr vertauschbar.
2. Rückgeführte Systeme werden im Abschnitt 3 behandelt.
3. Theorie rückgekoppelter Systeme
3.1 Definitionen und Grundgleichungen
Blockschaltbild eines einfachen rückgekoppelten Systems:
Definitionen:
1. Vorwärtszweig (Verstärker, Strecke) mit der Übertragungsfunktion:
Z (p)
Zählerpolynom
V(p) ' v @ V
' konstanter Faktor @
Nennerpolynom
NV(p)
2. Rückführung (Regler):
R(p) ' r @
41
ZR(p)
N R(p)
3. Gesamtübertragungsfunktion =
Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises:
U (p)
G(p) ' 2
U1(p)
4. Offene Kette:
Zo(p)
Fo(p) ' k @
mit
No(p)
' V(p) @ R(p) ' v @ r @
ZV ZR
NV NR
k < 0 : Gegenkopplung
k > 0 : Mitkopplung
Es gilt
G(p) '
U2(p)
U1(p)
v
'
V(p)
1 &Fo(p)
ZV
NV
1& rv
'
'
'
Z R ZV
v NR Z V
NR N V & rv ZR Z V
N R NV
vN R ZV
No & kZ o
Lage der Pole und Nullstellen des geschlossenen Systems:
Nullstellen:
d.h.
N R(p) @ ZV(p) ' 0
Nullstellen des rückgekoppelten Systems sind die Nullstellen des Verstärkers und die
Pole der Rückführung
Pole:
No(p) & k Zo(p) ' 0
bzw.
d.h.
1 & Fo(p) ' 0
Pole des rückgekoppelten Systems sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung
1 & Fo(p) ' 0
42
Möglichkeiten zur Berechnung der charakteristischen Gleichung:
1.
analytisch.
für einfache Fälle gut geeignet, Schwierigkeiten bei der Lösung von Potenzgleichungen
höherer Ordnung.
2.
Nichols-Diagramm:
graphisches Verfahren, das aus *Fo(T)* und no(T) den Verlauf von *G(T)* und n(T)
zu bestimmen gestattet (siehe (14)).
3.
Wurzelortsverfahren:
Darstellung der Ortskurve der Pole des geschlossenen Systems in der komplexen
p-Ebene mit der Kreisverstärkung k als Parameter. (algebraische oder grafische Bestimmung möglich).
3.2 Das Wurzelortsverfahren
Definition:
Die Wurzelortskurve (WOK) ist die Ortskurve aller Punkte, in der komplexen p-Ebene, die die
Bedingung
1 & Fo(p) ' 0
erfüllen. Parameter ist die Schleifenverstärkung k
k '
No(p)
Zo(p)
Die charakteristische Gleichung ist komplex. Sie muß für Betrag und Phase erfüllt sein.
6 2 Bestimmungsgleichungen der Wurzelortskurve:
43
1.)
( *pZ *
m
*No(p)*
*Zo(p)*
'k '
mu ' 1
( *pN *
n
nu ' 1
d.h. k '
mu
( *p &p N *
n
@
nu
nu ' 1
nu
( *p &p Z *
m
mu ' 1
mu
Produkt der Abstände aller Nullstellen vom Ursprung (
Produkt der Abstände aller Pole vom Ursprung (
Produkt der Abstände des untersuchten Punktes von allen Polen
Produkt der Abstände des untersuchten Punktes von allen Nullstellen
@
* bei Polen und Nullstellen im Ursprung: "Abstände von der Kennfrequenz (bei der der Betrag
der Übertragungsfunktion des Elementarsystems gleich 1 ist".
2.)
' nN & ' nZ
' 0% l 2 B
für positive k (Mitkopplung)
' nN & ' nZ
' B% l 2 B
für negative k (Gegenkopplung)
n
nu ' 1
m
nu
nu ' 1
mu
m
n
bzw.
mu '1
nu
mu '1
mu
l ' 0;1; 2;3; ...
d.h. die Summe der Winkel an den Polen zwischen untersuchten Punkten p und Ursprung
abzüglich der Summe der Winkel an den Nullstellen zwischen dem untersuchten Punkt p und
dem Ursprung ist gleich 0 (bei Mitkopplung) bzw. B (bei Gegenkopplung).
Beachten Sie:
1.
pZµ sind die Lösungen von Zo(p) = 0, d.h. die Nullstellen der offenen Kette. Zo(p) ist ein
Polynom m-ten Grades.
2.
pN< sind die Lösungen von No(p) = 0, d.h. die Pole der offenen Kette. No(p) ist ein
Polynom n-ten Grades.
44
Beispiel:
k '
l @ l
&2
@ 1 3
(&3)(& 1) l2
n1 % n3 &n2 ' 0 bzw. B
mit 0
B
für Mitkopplung
für Gegenkopplung
Einige nützliche Regeln:
1.
Die Wurzelortskurven beginnen bei k = 0 in den Polen der offenen Kette Fo(p) und
enden für k = 4 in den Nullstellen der offenen Kette.
2.
Hat die offene Kette Fo(p) n Pole und m Nullstellen, so streben n-m Äste der WOK
gegen 4
3.
Alle WOK sind symmetrisch zur reellen Achse
4.
Die Asymptoten der n-m gegen 4 streben WOK-Äste sind Geraden, die sich im Punkt
' p N & ' pZ
n
S1 '
nu ' 1
m
nu
mu ' 1
mu
n & m
der reellen Achse schneiden und unter dem Winkel
( '
mit
(0E bzw. 180E) % l @ 360E
n & m
0E ' Mitkopplung
180E ' Gegenkopplung
verlaufen.
5.
Auf der reellen Achse gehören alle Punkte links einer ungeraden (geraden) Anzahl von
Polen oder Nullstellen zu Wurzelortskurvenästen bei Gegenkopplung (Mitkopplung).
45
6.
Pole der Vielfachheit r verlassen unter den Winkeln
(0 bzw. B) % l 2 B & ' nN % ' nZ
n&r
"aus '
nu ' 1
m
nu
mu '1
mu
r
0 ' Mitkopplung
B ' Gegenkopplung
den Ausgangspunkt.
mit
7.
r Äste der WOK münden unter dem Winkel
(B bzw. 0) % l 2B & ' nN % ' nZ
n&r
"end '
mit
8.
nu '1
m
nu
mu ' 1
r
B ' Mitkopplung
0 ' Gegenkopplung
Die Lösungen der Gleichung
d
F (p) ' 0
dp o
bzw.
d
1
d p Fo(p)
liefern die Abzweigpunkte an von der reellen Achse.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Gegenkopplung
Mitkopplung
46
' 0
mu
Beispiel 3:
Gegenkopplung
3.3 Stabilitätskriterien
Definition:
Ein System ist stabil, wenn es nach einer abklingenden Störung wieder dem Ausgangszustand
zustrebt. Es ist instabil, wenn es unter gleichen Bedingungen zu divergieren ersucht.
3.3.1 Stabilitätsgrenze in der komplexen p-Ebene (P-N-Bild)
Beachten Sie: die Definition der komplexen Frequenz
p ' F % jT
F < 0 : abklingende Sinusschwingung
F > 0 : aufklingende Sinusschwingung
F ' 0 : Stabilitätsgrenze
Die Stabilitätsgrenze ist erreicht, wenn Pole auf der imaginären Achse liegen. Liegen alle Pole
links von der imaginären Achse, ist das System stabil.
47
Beispiel:
Beachten Sie: Aus der Wurzelortskurve kann abgelesen werden, bei welcher Schleifenverstärkung k = k1 das System mit der Frequenz Te zu schwingen beginnt.
Zur Berechnung der Stabilitätsgrenze sind die Schnittpunkte der WOK mit der
imaginären Achse zu bestimmen.
3.3.2 Nyquist-Ortskurven
Eine besondere Form der Darstellung von Fo(p) ist die Nyquist-Ortskurve:
Definition:
Es werden Re{Fo(T)} und Im{Fo(T)} als Ortskurve mit T als Parameter
dargestellt.
Beispiel:
Fo(p) ' k
1
1% pT1
Aus der charakteristischen Gleichung eines rückgekoppelten Systems
folgt:
1 & Fo(p) ' 0
Ein System ist stabil, wenn die Nyquist-Ortskurve den Punkt +1 nicht umschließt.
48
Beispiel für Gegenkopplung:
Beispiel für Mitkopplung:
3.3.3 Bode-Diagramm
Die Aussage des Nyquist-Diagramms ist auch im Bode-Diagramm darstellbar (Aufteilung in
Betrags- und Phasendiagramm):
Ein System ist stabil, wenn an dem Punkt *Fo(T)* = 1 (0 dB) die Phase nFo(T) < 0E ist.
In der Regelungstechnik wird der Begriff Phasenrand
nR ' n*F '1)* & nk
o
verwendet, wobei
nk ' Phase des konstanten Faktors
mit nk ' 0 für positive k (Mitkopplung)
nk ' B für negative k (Gegenkopplung)
Damit lautet die Stabilitätsbedingung:
Ein System ist stabil, wenn der Phasenrand positiv ist.
Für Minimalphasensysteme folgt daraus die in der praktischen Handhabung günstige Form:
Ein Minimalphasensystem ist stabil, wenn im Bodediagramm der Betrag der Übertragungsfunktion die O-dB-Achse mit einer Steigung < 40 dB/Dek. durchstößt.
49
Beispiel (Gegenkopplung):
Beachten Sie:
Im Bodediagramm kann die Variation der
Schleifenverstärkung k durch einfache Parallelverschiebung der Betragskurve (bzw. der
O-dB-Achse) erfolgen.
3.3.4 Hurwitzkriterium
Die charakteristische Gleichung
1 & Fo(p) ' 0
No(p) & kZ o(p) ' 0
bzw.
habe die Form
a0 p n % a1 p n &1 % ... %a n ' 0
Das System ist stabil, wenn
1.
alle Koeffizienten 0 sind und gleiche Vorzeichen haben und
2.
alle durch gestrichelte Linien abgeteilte Determinanten des folgenden Schemas > 0
sind.
a1
a3
a5
a7
a9
a11
a0
a2
a4
a6
a8
a10
0
a1
a3
a5
a7
a9
0
a0
a2
a4
a6
a8
0
0
a1
a3
a5
a7
0
0
a0
a2
a6
a6
0
0
0
a1
a3
a5
50
4. Beispiele für Anwendungen in der Schaltungstechnik
4.1 Transistorschaltungen
4.1.1 Frequenzunabhängige Ersatzschaltbilder
Neben einer Reihe sehr genauer und komplizierter Transistorersatzschaltungen (physikalische
Ersatzschaltungen enthalten Elemente, die aus der physikalischen Funktion folgen; Vierpolersatzschaltungen enthalten eine der möglichen Anordnungen mit 4 Elementen, je nach gewählter Vierpolfunktion) können oft sehr einfache Transistorersatzschaltungen verwendet
werden, die die wesentlichen Eigenschaften berücksichtigen. Solange die Frequenz so niedrig
ist, daß die frequenzabhängigen Effekte im Innern des Transistors vernachlässigt werden können, bestimmt nur die äußere Beschaltung das dynamische Verhalten.
Ersatzschaltung für die Emitterschaltung.
mit
ß = Kleinsignalkurzschlußstromverstärkung
S = Steilheit im Arbeitspunkt (Emitterstrom IE)
rB = Eingangswidestand
RL= Lastwiderstand (äußere Beschaltung)
Es gilt näherungsweise
rB '
S '
$
S
IE
26mV
. 40 IE [mA] [mS]
(Die Temperaturspannung ist uT ' k@ T . 26 mV bei Zimmertemperatur)
e
51
Ersatzschaltung für die Kollektorschaltung:
Ersatzschaltung für die Basisschaltung:
Beachten Sie: Aus den drei Grundschaltungen folgen durch Zusammenfügen die Ersatzschaltungen von Kombinationen (Darlingtonstufe, Kaskode, Differenzverstärker
usw.)
4.1.2 Frequenzabhängiges Transistorersatzschaltbild
Eine einfache Erweiterung der vorstehenden Schaltung führt zum Giacoletto-Ersatzschaltbild:
52
mit
S '
IE
26mV
' Steilheit
rbb ) ' Basisbahnwiderstand
$
rB '
S
S
CB '
2B f T
Cc ' Rückwirkungskapazität (Collektor&Basis&Kapazität)
rc ' Rückwirkungswiderstand, ist bei modernen Transistoren
nahezu immer vernachlässigbar
r a, ca ' Transistorausgansgrößen, die meist in den
komplexen Lastwiderstand einbezogen werden können
Beachten Sie: eine Reihe weiterer möglicher HF-Transistorersatzschaltungen, die physikalische Ersatzschaltbilder darstellen.
4.2 Breitbandverstärker
Bei Breitbandverstärkern ist der Unterschied zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz (falls
nicht ohnehin Gleichstromkopplung vorliegt) so groß, daß ein ausgeprägter Bereich mit konstantem bzw. definiert vorgegebenem Frequenzgang (z.B. Entzerrerverstärker) entsteht. Das
Verhalten bei hohen und tiefen Frequenzen ist in der Regel getrennt berechenbar.
4.2.1 Breitbandverstärker ohne Rückkopplung mit frequenzunabhängiger Transistorersatzschaltung
Für eine einfach beschaltete Transistorstufe entsteht folgendes dynamisches Ersatzschaltbild
(ohne Bauelemente zur Arbeitspunkteinstellung):
53
Beachten Sie:
-
Ro und RL können ohmsche Widerstände oder komplexe Widerstandszweipole sein.
Beispiel:
RL(p) '
-
RL
1 % pR L CL
Der dynamische Transistorausgangswiderstand und die Ausgangskapazität können mit
der äußeren Beschaltung zu einem gemeinsamen komplexen Lastwiderstand zusammengefaßt werden.
Es gilt
V(p) '
Grenzfall Ro »
Grenzfall Ro «
U2(p)
' &
U o(p)
$ RL(p)
Ro(p) %
$
S
R (p)
$
(Stromsteuerung) : V(p) ' &$ L
S
Ro(p)
$
(Spannungssteuerung) : V(p) ' &S RL(p)
S
Beachten Sie: Bei komplizierten Netzwerken sind die hier verwendeten Transistorersatzschaltungen zur rückwirkungsfreien Trennung in Einzelnetzwerke geeignet.
54
Beispiel: RC-gekoppelter Breitbandverstärker mit Resonanzentzerrung:
Wechselstromersatzschaltung:
mit
R3 ' R1 2 R2 2
$
S
C L ' C2 2 CTransistorausgang
Systemtheoretisches Ersatzschaltbild:
V1(p) '
pR3 C1
1 % p C1 (R o % R3)
'
R3
R o % R3
'
V2(p) ' & SR L @
'
V(p) '
v2
U2(p)
Uo(p)
@
v1
1
1 % p R L CL % p 2 L CL
1
2
1 % 2 Dp T2 % p 2T2
' V1(p) @ V2(p)
55
@
@
p C1 (Ro % R3)
1 % pC1 (Ro % R3)
p T1
1 % pT1
PN-Bild:
Bode-Diagramm:
Beachten Sie, daß zu der im Bode-Diagramm angegebenen Phasendrehung noch eine Drehung von 180E durch den Transistor in Emitterschaltung kommt.
Zur Dimensionierung der Resonanzentzerrung:
mit T2 '
folgt L '
Bei
D = 1//2:
L CL ; D '
RL
CL
2
L
; Q '
1
RL
L
CL
2
CL R L
4D 2
gerade überschwingfreier Verlauf von *V(T)*, d.h. maximal flacher
Frequenzgang
D = 1: gerade überschwingfreie Sprungantwort (s. Abschn. 2.5.3.)
56
Beachten Sie:
Die folgende oft verwendete L-Entzerrung
führt zu
1 % p
V2(p) ' &S RL
Nur für
L
'
RL
L
RL
1 % pRL CL % p 2 L CL
2
L CL , d.h. L ' CL RL
und damit D ' 1 bzw. Q ' 1 und T2 ' RL CL
2
liegen Polpaar und Nullstelle auf einem Kreisbogen (Gleiche Knickfrequenzen im Bodediagramm). Dem Vorteil eines Abfalls von nur 20 dB/Dek. bei hohen Frequenzen steht sonst eine
Welligkeit im Betragsverlauf gegenüber.
4.2.2 Breitbandverstärker mit Rückkopplungen
Aus der Grundschaltung
ist ersichtlich, daß eine dem Ausgang (U2 oder I2) proportionale Größe über R(p) zu der
Eingangsgröße (I1 oder U1) addiert wird.
57
Definition:
-
Wird mit R(p) eine dem Ausgangsstrom I2 proportionale Größe bewertet, wird diese
als stromgesteuerte Rückkopplung bezeichnet (Realisierung durch Reihenschaltung mit
dem Lastwiderstand RL)
-
Wird mit R(p) eine der Ausgangsspannung U2 proportionale Größe bewertet, wird dies
als spannungsgesteuerte Rückkopplung bezeichnet (Realisierung durch ausgangsseitige
Parallelschaltung)
-
Wird am Summierpunkt zu der Eingangsspannung U1 eine von R(p) gelieferte Spannung addiert (Reihenschaltung), so wird dies als Spannungsrückkopplung bezeichnet.
-
Wird am Summierpunkt zum Eingangsstrom I1 ein von R(p) gelieferter Strom addiert
(Parallelschaltung), so wird dies als Stromrückkopplung bezeichnet.
4.2.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsrückkopplung
Es wird eine der Ausgangsspannung U2 proportionale Spannung von R(p) bewertet und am
Eingang zur Eingangsspannung addiert (Ausgangsseitige Parallelschaltung, eingangsseitige
Serienschaltung).
58
dynamischer Eingangswiderstand:
Reingang ' Ro % Re (1 & Fo(p))
d.h. bei GK : Vergrößerung
bei MK : Verkleinerung
dynamischer Ausgangswiderstand
Ra 2 R L
Rausgang '
1 & Fo(p)
d.h. bei GK : Verkleinerung
bei MK : Vergrößerung
Beachten Sie:
-
Für RL = 0 (Kurzschluß) und für Ro64 (Stromeinprägung) wird die Rückkopplung
unwirksam.
-
Durch Gegenkopplung wird der Ausgang leerlauffest, Kurzschluß führt i.a. zur Zerstörung der Endstufe.
-
Es wird die Spannungsverstärkung
Gges '
U2(p)
'
Uo(p)
durch Gegenkopplung stabilisiert.
-
V(p) und R(p) sind Spannungsverhältnisse.
59
Vu(p)
1 & Fo(p)
Beispiel für Realisierung:
Beachten Sie, daß bei der Berechnung des Rückkoppelnetzwerkes parallel zu RE der dynamische Eingangswiderstand
1
liegt! Diese Stufe wird für das Eingangssignal
S
in Emitterschaltung und für das rückgeführte Signal in Basisschaltung betrieben.
im Beispiel:
1
2 RE
S
R(p) '
1
2 RE
S
% R1
4.2.2.2 Stromgesteuerte Stromrückkopplung
Es wird eine dem Ausgangsstrom I2 proportionale Größe von R(p) bewertet und am Eingang
zum Eingangsstrom Io(p) addiert (Ausgangsseitige Reihenschaltung, eingangsseitige Parallelschaltung).
60
dynamischer Eingangswiderstand:
1
Reingang ' Ro % R1
1 %
R1
Re
& Fo(p)
d.h. bei GK : Verkleinerung
bei MK : Vergrößerung
Beachten Sie: Für & Fo(p) » 1 %
R1
Re
(Operationsverstärker) wird Reingang = Ro, d.h. der
Summierpunkt A ist eine virtuelle Erde.
dynamischer Ausgangswiderstand:
Rausgang ' RL 2 Ra 1 & Fo(p)
d.h. bei GK : Vergrößerung
bei MK : Verkleinerung
61
Beachten Sie:
-
Für RL64 (Leerlauf) und für Ro=0 (Spannungseinprägung) wird die Rückkopplung
unwirksam
-
Durch Gegenkopplung wird der Ausgang kurzschlußfest
-
Es wird die Stromverstärkung
GI ges '
I2(p)
'
I o(p)
VI(p)
1 & Fo(p)
durch Gegenkopplung stabilisiert
-
VI(p) und RI(p) sind Stromverstärkungen
z.B. VI(p) '
-
IQ(p)
Ie(p)
Die Spannungsverstärkung
GU ges(p) '
U2(p)
I2(p)
' GI ges(p) @
RL(p)
Ro(p)
wird durch RL und Ro bestimmt, beide Widerstände sind nicht in der Rückkopplungsschleife enthalten, werden deshalb nicht gegenüber Toleranzen stabilisiert.
Beispiel für die Realisierung:
62
Im Beispiel:
R(p) '
RE
R1 % R E
4.2.2.3 Spannungsgesteuerte Stromrückkopplung
Es wird eine der Ausgangsspannung U2 proportionale Größe durch R(p) bewertet und zum
Eingangsstrom Io addiert (ein- und ausgangsseitig Parallelschaltung)
Ein- und Ausgangswiderstände sind entsprechend den angegebenen Beziehungen für Spannungssteuerung und Stromrückkopplung berechenbar
d.h.
Verkleinerung von Ein- und Ausgangswiderstand bei GK
Vergrößerung von Ein- und Ausgangswiderstand bei MK
U2(p) ' Z(p) @ I o(p) % Y(p) U2(p)
Zges(p) '
Z(p)
1 & Y(p) Z(p)
Y(p) Z(p) ' Fo(p)
Beachten Sie: Vorwärtszweig und Rückführung haben dimensionsbehaftete "Übertragungsfunktionen"
63
Z(p) '
Y(p) '
Zges(p) '
U2(p)
Ie(p)
I1(p)
U2(p)
U2(p)
Io(p)
' Transferwiderstand in
V
A
' Rückkopplungsleitwert (Steilheit) in
A
V
' Transferwiderstand des Gesamtsystems
Diese Größe wird bei Gegenkopplung stabilisiert.
Die Spannungsverstärkung ist GUges(p) ' Zges(p) @
1
Ro
Bei Verwendung von Präzisionswiderständen für Ro und R1 wird damit auch die Spannungsverstärkung
U2(p)
stabilisiert (Grundschaltung des Operationsverstärkers).
U o(p)
Fo(p) ' Y(p) @ Z(p) ist immer dimensionslos!
Für Ro bzw. RL60 wird die Rückkopplung unwirksam.
Beispiel für Realisierung
64
VI(p) @
GU ges(p) '
R o(p)
RL(p)
1 %
.
RL(p)
R1(p)
R1(p)
R o(p)
@ VI(p)
für große Schleifenverstärkung
Spezialfall der spannungsgesteuerten Stromgegenkopplung über eine Stufe:
Systemtheoretische Ersatzschaltung
Es wird
U2
Io
stabilisiert, Ro(p) geht (bei großen Werten von SRL) nicht in die Schleifenver-
stärkung ein.
U2(p)
1
@ SR L(p)
Ro(p)
'
U o(p)
1
1
S
%
%
R o(p)
R1(p)
$
.
$
@ RL(p)
Ro(p)
1 % $
RL(p)
.
R1(p)
65
R1(p)
R o(p)
% S
RL(p)
R1(p)
für großes S @ R L
4.2.2.4 Stromgesteuerte Spannungsrückkopplung
Es wird eine dem Ausgangsstrom I2 proportionale Größe durch R(p) bewertet und zur Eingangsspannung Uo addiert (ein- und ausgangsseitige Reihenschaltung)
Ein- und Ausgangswiderstände sind entsprechend den Beziehungen für Stromsteuerung und
Spannungsrückkopplung berechenbar,
d.h.
Verkleinerung von Ein- und Ausgangswiderstand bei MK
Vergrößerung von Ein- und Ausgangswiderstand bei GK
Ia(p) ' S(p) U1(p) % Z(p) I2(p)
Ia(p)
U1(p)
' Sges(p) '
S(p)
1 & Z(p) S(p)
Z(p) S(p) ' Fo(p)
Beachten Sie:
-
Vorwärtszweig und Rückführung haben dimensionsbehaftete Übertragungsfunktionen.
Z(p) '
S(p) '
Sges(p) '
U r(p)
I2(p)
I2(p)
U1(p)
' Transferwiderstand der Rückkopplung in
' Steilheit in
A
V
I2(p)
' Steilheit des Gesamtsystems
U1(p)
Diese Größe wird durch Gegenkopplung stabilisiert.
-
Für Ro und RL64 wird die Rückkopplung unwirksam.
66
V
A
Beispiel für Realiserung
Spezialfall der stromgesteuerten Spannungsgegenkopplung über eine Stufe:
Ro 2
V1(p) ' & S
$
S
Ro
V2(p) ' RL(p)
R(p) ' RE(p)
Fo(p) ' & SRE(p) @
Gges(p) '
U2(p)
Uo(p)
'
Ro 2
$
S
Ro
V1(p) V2(p)
1 & Fo(p)
'
& SRL(p)
1 % SRE(p) %
67
S Ro(p)
$
Beachten Sie: die Änderung des Eingangswiderstandes durch den Emitterwiderstand. Durch
den Emitterwiderstand RE entsteht ein Ersatzschaltbild mit der neuen äquivalenten Steilheit S*:
1
S( '
1
% RE(p)
S
Diese Betrachtungsweise ist besonders für reelle RE geeignet!
Beachten Sie:
GK(p) '
U3(p)
Uo(p)
' Gges(p) @
RE(p)
RL(p)
&S RE(p)
'
1 % S RE(p) %
SR o(p)
ist die Übertragungsfunktion einer Stufe in Kollektorschaltung.
Beispiel:
RE(p) ' R E
1
1 % p R E CE
RL(P) ' R L
1
1 % p R L CL
68
$
SRL
G(p) ' &
SR E %
S Ro
$
1 % pR E CE
@
% 1
1 % p RE 2
R
1
% O
S
$
@
CE
1
1 % p RL CL
4.2.2.5 Verhalten bei tiefen Frequenzen, RC-Verstärker
Durch RC-Kopplungen (s. Abschnitt 4.2.1.) in mehrstufigen Verstärkern und einer Gegenkopplung über den gesamten Verstärker entstehen folgende PN-Strukturen (zur Vereinfachung
im Beispiel für 3 Stufen, frequenzunabhängige Gegenkopplung und ohne Berücksichtigung der
TP-Wirkung bei hohen Frequenzen)
Beispiel für n=3:
69
V(p), Fo(p) für n=3
G(p)
Mit zunehmender Schleifenverstärkung k
-
sinkt zunächst die untere Grenzfrequenz
-
entsteht ein konjugiert kompl. Polpaar
mit entsprechender Resonanzüberhöhung
-
kann es zur Selbsterregung kommen
Beachten Sie:
-
Resonanzeffekte können ab zwei RC-Koppelgliedern in der Schleife entstehen
-
ab 3 RC-Koppelgliedern in der Schleife ist Instabilität (Schwingen) möglich
70
4.2.2.6 Verhalten bei hohen Frequenzen
Bei höheren Frequenzen wird das in Abschnitt 4.1.2. gezeigte Ersatzschaltbild nach Giacoletto
verwendet.
Ersatzschaltbild für eine Stufe
×
mit
)
)
Ro ' Ro % rbb
)
RL ' RL 2 ra
)
CL ' CL 2 c a
Systemtheoretisches Ersatzschaltbild:
71
Mit den Näherungen Cc«C; Cc«CL folgt:
V1(p) '
rB
rB % Ro 1 % p rB 2 R o CB
V2(p) ' &S RL
R(p) '
1
@
Cc
1
1 % p RL CL
p rB 2 Ro CB
@
CB % Cc 1 % p rB 2 R o CB
Fo(p) ' V2(p) @ R(p)
G(p) '
U2(p)
U o(p)
Zur Bestimmung von p1,2 nach WOK:
l @ l
1
@ 2 3
l1 % l2
l1
k ' &
k ' &S RL
Beachten Sie:
-
Cc
CB % C c
' & TL @
1
TB & p
1
TL & p
p
6 Bestimmungsgleichung für p1 und p2
Für Ro64 ist TB '
1
1
'
TB
die 3 dB-Grenzfrequenz der Kurzschlußstromverstär-
rB CB
kung in Emitterschaltung
-
Für Ro60 ist TB '
-
Aus der Wurzelortskurve ist ersichtlich, daß maximales VestärkungsBand-
1
TB
1
'
)
rbb 2 rB CB
die 3 dB-Steilheitsgrenzfrequenz des Transistors
breite-Produkt für TB=TL erreicht wird.
72
4.3 Selektivverstärker
Selektivverstärker haben Bandpaßcharakter, wobei meist die Bandbreite klein gegenüber der
Mittenfrequenz ist. Charakteristische Kennwerte für Anwendungen in Rundfunk-, Fernseh-,
Funkortungs- und Navigationsgeräten sind Verstärkung, Selektivität bei vorgegebener Bandbreite und Gruppenlaufzeitverlauf.
4.3.1 Einkreisiger Resonanzverstärker (siehe Elementarsystem konj. kompl. Polpaar,
Abschn. 2.5.3.)
ü '
U2(p)
U1(p)
'
W1
W2
' Übersetzungsverhältnis
V(p) '
U2(p)
U1(p)
p
' & üS R
1 % p
L
R
L
% p 2LC
R
73
'
& SR ü @ p2 DT o
2
1 % 2D pT o % p 2 To
1
To '
LC
mit:
D '
1
To
'
1
2R
Q ' R
L
C
To
2 BB '
Q
C
L
fo
bzw. B '
Q
T To 2D
*V(T) * ' üvo @
22
1 & T2 T o
n(T) '
L
@Q
C
vo ' & SR ' & S
% 2D T T o 2
2D T To
B
& arctan
2
2
1 & T2 T o
2
/ arctan
Jg(T) ' &
1 & T2 T o
2 DT To
d n(T)
dT
äquivalente Rauschbandbreite (Rechteckbandbreite für gleiche Rauschleistung):
4
2B BR '
2
B To
V(T)
dT '
/
/
m 00 vo 00
2Q
0
0
0
bzw. BR '
Bf o
2Q
in [Hz]
Beachten Sie:
-
durch die Transformation wird der für U2(p) wirksame Resonanzwiderstand auf
ü2 @ R verändert.
-
Diese Widerstandstransformation ist für ü < 1 auch kapazitiv:
74
C1
ü '
ü '
w1
C1 % C2
oder durch Anzapfung:
möglich.
wges
4.3.2 Mehrstufige Verstärker mit entkoppelten Kreisen
Bei Kettenschaltung von Stufen (Eingangswiderstand der nächsten Stufe
Re '
$
S
2 R1 ) erscheint parallel zu R der Widerstand
Re
.
ü2
In der Verstärkertechnik interessieren folgende Fälle:
Re + ü2R =
Leerlauf, R bestimmt Q (maximale Betriebsgüte, kleines ü)
Re = ü2R =
Anpassung (halbe Betriebsgüte, maximale Leistungsverstärkung)
Vges ' *V(T) * n @ e jn n(T)
n ' Stufenzahl
Beachten Sie bei mehreren auf Resonanz abgestimmten Kreisen
-
die Verringerung der 3dB-Bandbreite,
-
die Versteilerung des Phasenverlaufes und damit die Vergrößerung, der Gruppenlaufzeit und ihrer Änderung im Durchlaßbereich,
-
Die Versteilerung der Asymtoten und damit den Anstieg der Weitabselektion,
-
die sich ergebende Verringerung der Stufenverstärkung bei konstanter Bandbreite, d.h.
die Begrenzung des Verstärkung-Bandbreite-Produkts.
75
Möglichkeiten zur Verbreiterung der Bandbreite in mehrkreisigen Selektivverstärkern:
-
Verstimmung der Einzelkreise gegenüber der Mittenfrequenz,
-
Verwendung von Koppelfiltern.
Mit beiden Methoden sind gleiche PN-Bilder realisierbar, mehrkreisige Koppelfilter (Kompaktfilter) ergeben technologische Vorteile.
PN-Bild und Durchlaßkurve eines dreikreisigen Selektivverstärkers der Bandbreite 2BB und Potenzverhalten
(-@-@-@-@-) bzw. Tschebyscheffverhalten im Durchlaßbereich
(@@@@@@@@).
bzw.
76
4.3.3 Gekoppelte Zweikreisfilter
C1
Q1 '
T1 '
L1
@ R1
1
'
L1 C1
Z1(p) ' R1 2
1
T1
T2 '
1
2 pL1
p C1
C2
L2
@ R2
1
'
L2 C2
Z2(p) ' R2 2
1
T2
1
2p L2
pC2
' Koppelleitwert
Y
Mit
Q2 '
K ' YK R1 R2 ' normierter Kopplungsfaktor
K
k '
' nichtnormierter Kopplungsfaktor
Q1 Q2
erhält man die allgem. Übertragungsfunktion (symmetr.Verhältnisse um Tm)
V(p) '
U2(p)
' &
U o(p)
SY(p) R1 R2
Q1 Q2
@
p 2 T1 T2
@
1%p
T2
%
T1
Q2 Q1
%p
2
1&k 2 T1 T2
Q1 Q2
2
2
%T1 %T2 % p 3 T1 T2 1&k 2
T2
%
T1
Q1 Q2
2
2
% p 4 1&k 2 T1 T2
Für frequenzunabhängiges Y(p) = Y hat diese Übertragungsfunktion damit folgendes PNBild
und Bodediagramm:
77
Für Q1=Q2=Q, T1=T2=To
vereinfacht sich die
Übertragungsfunktion zu (kap. Hochpunktkoppl.)
V(p) '
U2(p)
Uo(p)
' &
S Y(p) R 2
Q2
p 2 To
@
1% pT o
2
2
1
2
3 2 1 %k
4
% p 2 To 2 1% k %
% p 3 To
%p 4 To 1% 2k
2
Q
Q
Q
mit den Polen
p1,2 ' &
T0
2Q
± j T0
1&
1
4Q
p3,4 ' &
2
T0
2 Q(1 %2 k)
Für Q1+Q2 und T1=T2=To
p1,2,3,4 ' &
gilt
4 Q1
k &
± j To 1 ±
T0
1 %2 k
1
2 Q1
2
To
± j
1&
1
2
4Q (1% 2k)
2
2
Beachten Sie, daß sich bei Blindelementen als Koppelelement die Zahl der Nullstellen im Ursprung verändert und damit unsymmetrische Verläufe im Bodediagramm entstehen.
78
Beispiele:
1) Kapazitive Hochpunktkopplung
Y(p) ' p CK
CK
k '
.
C1 % CK C2 % CK
CK
K .
C1 C2
vo ' p
CK
C1 C2
Q1 Q2
& Sk T1 T2
C1 C2
2. Induktive Kopplung über Gegeninduktivität M
Y(p) '
k '
±M
p L1 L2 & M
M
L1 L2
K ' k Q1 Q2
vo '
79
1 &S k
p C C
1 2
2
.
±M
pL1 L2
4.3.4 Normierte Darstellung, mehrkreisige Bandfilter
Bei Verzicht auf die frequenzabhängigen Eigenschaften des Koppelleitwertes (zulässig bei sehr
schmalbandigen Systemen) z.B.
Y(p) ' pC . j Tm C
mit Tm ' Mittenfrequenz
entstehen symmetrische Kurven, die durch eine Bandpaß-Tiefpaß-Transformation zu wesentlich vereinfachten Zusammenhängen führen. Es wird definiert:
V '
T & Tm
' relative Verstimmung, normierte Frequenz
Tm
' relative Verstimmung der Kreise
V1, V2, ... Vnu
Kmu,nu ' Ymu,nu @ Rmu Rnu ' normierter Kopplungsfaktor zwischen
dem mu&ten und dem nu&ten Kreis
Für zweikreisige Koppelfilter folgt:
V(p) ' & j SK R1 R2 @
@
1
2
K % 1 & 4 Q1 Q2 V1 V2 & j 2 Q1 V1 % Q2 V2 % V1 % V2 4Q1 Q2 V %j V2 Q1 % Q2 &V 2 4Q1 Q2
d.h. eine quadratische Gleichung.
Für verstimmungsfreie Kreise (V1=V2=0) vereinfacht sich diese Gleichung
noch zu:
V(p) ' & j S R1 R2 @
mit dem PN-Bild:
K
@
1% K 2
1 % j 2V
1
Q1 % Q2
1 %K 2
&V 2 4
80
Q1 Q2
1 %K 2
Beachten Sie:
1)
Die Normierung der Verstimmung führt zu einer Verschiebung von T um ±jTo und zu
einem Bezug von F auf To=1
2)
In der Literatur werden auch andere Normierungen verwendet, z.B.
S ' 2 Q1 Q2
T & Tm
Tm
, S '
T %Tm T &Tm
F1 F2 T Tm
Für n-kreisige Filter der Struktur
findet man für die Verstärkung:
1
'
V(p)
1
S R1 R n ( j K<, <% 1
n &1
< '1
mit
g< ' 1 % j 2Q< V&V<
bzw.
g< ' 1 % j V2 Q<
g1 j K1,2 0
0
0
/0
00 j K1,2 g2 j K2,3 0
0
00
00
00 0 j K2,3 g3 j K3,4 0
00
@ 000 0
0 j K3,4 g4 j K4,5
00
00
.
.
.
.
00 .
00
00 .
.
.
.
.
00
00
0
0
.
.
00 0
für verstimmungsfreie Kreise
81
.
.
0
.
.
0
.
.
0
.
.
0
.
.
.
.
.
j Kn&1,n
.
j Kn&1,n
gn
/0
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
0
Vielkreisige Filter (Kompaktfilter) erlauben in Verbindung mit integrierten Analogverstärkern
bzw. komplexen Schaltkreisen moderne Konzepte von Selektivverstärkern mit geringem Einfluß der aktiven Elemente, vielen Freiheitsgraden zur Dimensionierung (z.B. mit Computer)
und wenigen Bauelementen.
Beispiel:
UKW-ZF-Verstärker für 10,7 MHz mit mehrkreisigen Kompaktfiltern (auch als
piezokeramische oder akustische Oberflächenwellenfilter realisierbar) und
Schaltkreis A 225 bzw. CA3089 mit
- Verstärker
- Begrenzer
- Koinzidenzdemodulator
- log. Pegelanzeige und Regelspannung
- AFC
- Stummtastung bei Verstimmung und niedrigem Pegel
usw.
4.3.5 Selektivverstärker mit Rückwirkung
Durch die innere Rückkopplungskapazität Cc (s. Abschnitt 4.1.2.) und durch äußere Kapazitäten kommt es zur Verkopplung von Ein- und Ausgang. Gem. Vorgehensweise bei Breitbandverstärkern (Abschnitt 4.2.2.6.) entsteht folgendes Ersatzschaltbild, wobei die Elemente rB
, cB , ra, ca mit in R1, C1, R2, C2 erfaßt und rbb' und rc vernachlässigt werden.
Systemtheoretisches Ersatzschaltbild
82
p
V(p) ' & S R2
1% p
L2
R2
L2
R2
% p 2 L2 C2
(s. Abschnitt 4.3.1)
R(p) '
Cc
C1 % Cc
p 2 L1 C1 % Cc
@
1% p
L1
R1
% p 2 L1 C1 % Cc
mit
als R(p)
Fo(p) ' R(p) @ V(p)
mit K ' &
G(p) '
Cc
C1 % Cc
@S
L2
C2
' &
Cc
C1 % Cc
@
SR
Q2
U2(p)
U1(p)
83
Beachten Sie:
-
T1, T2, T3 liegen dicht beieinander, die Güte der ersten Resonanzspitze ist u.U. sehr
hoch (es kann auch zur Selbsterregung kommen - Huth-Kühn-Schaltung)
-
die wirksame Resonanzkurve ist stark unsymmetrisch und zu tieferen Frequenzen verschoben
-
die Schleifenverstärkung k ist u.a. vom
Cc
- Verhältnis und vom Resonanzwider-
C1
stand des 2. Kreises abhängig
-
Beseitigung des Effektes durch Kompensation (Neutralisation) so, daß
R(p) ' R1(p) % R2(p) ' 0
mit R1(p) ' Rückwirkung
R2(p) ' Kompensation
Aufgrund der Frequenzabhängigkeit von R(p) wird diese Kompensation oft nur für
schmale Frequenzbereiche mit vertretbarem Aufwand realisiert.
z.B.
84
4.4 Oszillatoren
Als Oszillator soll eine Schaltung bezeichnet werden, die periodische Signale (sinusförmig,
impulsförmig) erzeugt. Als Grenzfall ist dabei auch ein Vorgang mit der Frequenz
p = F + j @ 0 (auf- oder abklingende e-Funktion) zugelassen. Es gibt zwei prinzipielle Typen
von Oszillatoren.
4.4.1 Oszillatoren, die im Kleinsignalbetrieb beschrieben werden können
und die auch beliebig kleine periodische Sinusschwingungen erzeugen können. Solche Schaltungen zeigen, Netzwerke mit rationaler Übertragungsfunktion angenommen, immer ein konjugiert komplexes Polpaar, welches die imaginäre Achse überschreitet. Die sich einstellende
Schwingfrequenz und die notwendige Schleifenverstärkung sind direkt der Wurzelortskurve zu
entnehmen. Nichtlinearitäten (begrenzte Aussteuerbarkeit) bewirken dabei lediglich, daß ein
konjugiert komplexes Polpaar mit geringfügig positiven Realteil durch die Verminderung der
Verstärkung bei Übersteuerung auf der Wurzelortskurve bis zu F = 0 zurückläuft. Netzwerke
mit transzendenter Übertragungsfunktion (z.B. Leitungsresonatoren) verhalten sich prinzipiell
ebenso und können ggf. durch rationale Übertragungsfunktionen approximiert werden.
In diese Kategorie gehören auch Schaltungen, bei denen in der Wurzelortskurve ein reeller Pol
bei p = 0 die imaginäre Achse schneidet. Für leicht positives F "schwingt" die Schaltung, indem sie nach einer e-Funktion aufklingt. Das Aufklingen wird dann durch die endliche Aussteuerbarkeit begrenzt und es entsteht eine Flip-Flop-Schaltung.
Beispiel 1: Sinusoszillator aus konjugiert komplexen Polpaar
(Meißner-Oszillator)
85
Beispiel 2: Sinusoszillator aus reellen Polen
Beispiel 3: Flip-Flop, Schmitt-Trigger
Beachten Sie:
-
es gibt eine Vielzahl von Realisierungen, die alle zu gleichen PN-Bildern führen,
-
es ist möglich, durch nichtlineare Formung des erzeugten Signals (z.B. Begrenzung)
andere Kurvenformen (Rechteck, Dreieck, Sägezahn usw.) zu erzeugen.
Beispiel 4: Laufzeit-Impulsgenerator
TSchwing '
86
2B
2J
4.4.2 Relaxiationsoszillatoren
nutzen wesentliche Nichtlinearitäten zur Schwingungserzeugung. Ein an sich instabiler Vorgang führt durch Übersteuerung nach einer bestimmten Zeit zum Ende der Instabilität. Es folgt
eine Phase, in der sich z.B. die Ladung ausgleichen kann, und am Ende dieser Phase kommt
die aktive Schaltung wieder in einen kleinsignalmäßig aussteuerbaren Zustand, d.h. der instabile Vorgang setzt erneut ein.
Beispiel 1: astabiler Multivibrator
instabiler Vorgang: aufklingende e-Funktion
Beispiel 2: Sperrschwinger
instabiler Vorgang:
aufklingende Sinusschwingung bzw. aufklingende e-Funk
tion nach Gleichrichtung an Basis-Emitter-Diode oder nur
aufklingende Flanke, d.h. Fe>>Te.
Beachten Sie:
-
mit Oszillatoren dieses Types lassen sich nicht beliebig kleine Amplituden erzeugen
-
die Wiederholfrequenz der Schwingung ist von Zeitkonstanten, Schwellen, Erholzeiten
usw. abhängig. Die Frequenz ist meist gut durch eine Steuerung veränderbar (Anwendung als VCO).
87
4.5. Operationsverstärker
Als Operationsverstärker werden hochverstärkende gleichstromgekoppelte Differenzverstärker
zeichnet, die i.a. als ideale Verstärker angesehen werden und deren Eigenschaften nur durch
die äußere Beschaltung bestimmt werden sollen.
Folgende Eigenschaften des OV werden angestrebt und beim Beispiel A 109 erreicht:
ideal
A 109
vo = 4
Differenzverstärkung:
3@ 104
vo .
1%
V2(p) '
U a(p)
p
2B @ 200 kHz
1%
p
2B @ 1,5 MHz
Differenzeingangswiderstand
rd = 4
270 kS
Gleichtaktverstärkung
VG(p) '
2 Ua(p)
U1(p) % U2(p)
'
V2(p)
G
G = Gleichtaktunterdrückung = 4
108 dB
88
p
2B @ 1 MHz
1%
p
2B @ 5 MHz
1
@
U1(p) & U2(p)
1%
Ausgangswiderstand
150 S
ra = 0
Eingangsoffsetspannung
(U1-U2 für Ua=0)
0
0,5 mV
(io1-iio2 für Ua=0)
0
32 nA
(ia.io2 für U1=U2=0) = 0
280 nA
Eingansoffsetstrom
Eingangsruhestrom
maximale Spannungsänderungsgeschwindigkeit (slew rate)
bei Übersteuerung:
4
0,25 V/µs
4.5.1 Grundschaltungen
Mit idealen OV sind folgende Grundschaltungen einsetzbar:
invertierender Verstärker:
Vges(p) . &
nichtinvertierender Verstärker:
R2(p)
Vges(p) '
R1(p)
89
R1(p) % R2(p)
R1(p)
Stromquelle:
U1(p)
Ia(p)
' R1(p)
Beachten Sie:
-
R1, R2 können frequenzabhängige Zweipole oder erdunsymmetrische Dreipole (z.B. bei
aktiven Filtern) sein.
-
R1, R2 können nichtlineare Widerstände sein (z.B. bei Logarithmierern oder geknickten
Geraden als i-u-Kennlinie)
4.5.2 Frequenzkompensation
Zur Sicherung von Stabilität bis zu R(p) = 1 (d.h. k = - Vo) muß durch äußere Beschaltung
(Frequenzkompensation) eine PN-Konfiguration erreicht werden, bei der für das jeweils verwendete k keine Instabilität auftritt (s. Wurzelortskurve, s. Bodediagramm, s. Abschnitt 3.3.).
Grundprinzip: dominierender Pol bei tiefen Frequenzen.
Vereinfachte Schaltung des A 109 mit eingezeichneten inneren Grenzfrequenzen (als Lastkapazitäten symbolisch dargestellt) und Beschaltung:
90
Empfohlene Kompensation für A109 mit R(o) = ri; K = r@vo
fg
v(0)
r
K
R1
C1
C2
f1
[kHz]
[dB]
[dB]
[dB]
[kS]
[pF]
[pF]
[kHz]
Vollaussteuerung
60
-60
30
0
10
3
10
300
50
-50
40
1,5
27
3
4
220
40
-40
50
1,5
100
3
1
160
30
-30
60
1,5
270
10
0,4
100
20
-20
70
1,5
500
20
0,2
40
10
-10
80
1,5
2700
100
0,04
12,5
0
0
90
1,5
5000
200
0,02
4
Tafel 2
Beispiel:
Übertragungsfunktion eines für R(p) = r = 1 kompensierten OV A 109:
1
V2(p) . & 3 @ 104 @
1%
p
2B @ 20 Hz
1%
p
2B @ 1 MHz
1%
p
2B @ 5 MHz
1%
p
2B @ 8 MHz
Beachten Sie: Als Kompromiß zwischen
Rauschen und Aussteuerbarkeit bei höheren
Frequenzen wird der Abfall von 20 dB/Dek.
oberhalb 20 Hz an 2 Stellen stückweise erzeugt: von 20 Hz bis ca. 20 kHz durch R1, C1
in der 2. Stufe und oberhalb 20 kHz bis 1,5
MHz in der Endstufe mit C2. In der Tafel ist
f1 die unterste Knickfrequenz und fg Vollausteuerung
die maximale Frequenz, bis zu der Vollaussteuerung möglich ist.
91
4.6 RC-aktive Filter mit OV
Durch geeignete Beschaltung von OV (im Grenzfall darf auch schon eine einfache Verstärkerstufe als OV aufgefaßt werden) werden PN-Konfigurationen erzeugt, die
-
praktisch unabhängig von der Übertragungsfunktion des OV, V2(p), sind,
-
nur mit R- und C-Elementen realisiert werden
-
bezüglich PN-Bild einfach änderbar sind (z.B. varialble Güte, Resonanzfrequenz o.ä.)
-
rückwirksfrei mit weiteren Schaltungen in Reihe geschaltet werden können.
Grenzen werden vorgegeben durch:
-
Frequenzabhängigkeit der OV,
-
Rauschen der Verstärker
-
maximale Güten (. 40) durch Toleranzempfindlichkeit
-
maximale Aussteuerbarkeit
Prinzipiell lassen sich alle Schaltungen mit einem Rückführzweig auf folgendes Blockschaltbild
zurückführen:
92
Beispiel:
R1(p)
beliebige Zweipolfunktionen
R2(p)
V1(p) '
G(p) '
R2(p)
R2(p) % R1(p)
U2(p)
Uo(p)
' V1(p) @
R(p) '
;
V2(p)
1 & V2(p) @ R(p)
. & V1(p) @
R1(p)
R1(p) % R2(p)
R (p)
1
' & 2
R(p)
R1(p)
Beispiel 1: Integrator
V1(p) '
1
1% pR C
R(p) '
pR C
1% pR C
Fo(p) ' V2(p) @ R(p)
. vo @ R(p)
G(p) .
1
pR C
Beachten Sie:
-
durch endliche Verstärkung Vo und endlichem Eingangswiderstand des OV liegt der
Pol nicht genau im Ursprung, sondern etwas links des Ursprungs
-
durch die Frequenzabhängigkeit des kompensierten OV entsteht eine störende Resonanzstelle
93
-
Unter Verwendung der Beziehung G(p) ' & R2(p)
und den folgenden komplexen Wi-
R1(p)
derständen
R
R@
1
1 %p R C
1
1 %p R C
pC
lassen sich eine Vielzahl von PN-Bildern mit reellen Eigenwerten realisieren. Der Einfluß der endlichen Verstärkung vo und der Frequenzgang von V2(p) kann bei Bedarf
abgeschätzt werden.
Beispiel 2:
Konjugiert komplexes Polpaar (Realisierung mit nichtinvertierendem Verstärker)
Durch R3 undR4 wird ein positives
V2(p) .
94
R3 %R4
R4
' v eingestellt.
Systemtheoretisches Ersatzschaltbild (Innenwiderstand der Quelle 6O bzw. in R1 enthalten,
Ausgangswiderstand des OV 6O, Eingangswiderstand des OV 64):
Beachten Sie:
-
die WOK ist ein Kreis mit dem Radius To ' &
1
und beliebig einstellbarer
R1 R2 C1 C2
Güte, d.h. auch ein Betrieb als Oszillator ist möglich
-
aufgrund unvermeidbarer Toleranzen sind Güten Q $ 40 zu vermeiden
95
Beispiel 3:
Konjugiert komplexes Polpaar (Realisierung mit invertierendem Verstärker)
G(p) ' &
R3
R1
@
1 % p R2 % R3 %
Vorschlag zur Dimensionierung mit vorgegebenem To, Q, C1,vo:
1
R2 R3
R1
R2 '
C2 '
2Q
To C1
R3 ' (1% *v o * ) R2
C1
4Q 2 ( 1 %* vo * )
vo ' &
96
C2 %p 2 C1 C2 R2 R3
R3
R1
R1 '
R2 R3
R3 &R2
Beachten Sie:
-
durch Einsatz eines RC-Nullfilters in der Rückführung (konjugiert komplexes Nullstellenpaar) werden Ziele für die WOK gesetzt, die bei hinreichend hoher Schleifenverstärkung von den Polen annähernd erreicht werden
-
praktische Grenzen der erreichbaren Güte werden durch das maximal zulässige VerC1
hältnis gesetzt
C2
-
die Schaltung ist für alle Schleifenverstärkungen stabil
-
im Vergleich zwischen den Beispielen 2 und 3 den unterschiedlichen Einfluß von endlicher Verstärkung und des Frequenzgang des OV
4.7 Phasenregelschleifen (PLL)
Blockschaltbild und Definition der wichtigsten Kenngrößen für das dynamische Verhalten der
eingerasteten PLL:
mit
T1(t); n1(t):
Kreisfrequenz bzw. Phasenlage der Zeitfunktion u1(t) zur Aussteuerung
der PLL
T2(t); n2(t):
Kreisfrequenz bzw. Phasenlage der im VCO erzeugten Zeitfunktion
u2(t)
M1(p),M2(p): Laplace-Transformierte von n1(t), n2(t); im eingerasteten Zustand ist
T1 = T2.
97
4.7.1 Elemente der PLL
Im eingerasteten Zustand und bei Kleinsignalaussteuerung können die einzelnen Elemente
folgendermaßen beschrieben werden:
VCO:
T2(t) ' TR 1% Ko u f (t)
mit Tr '
1
' Ruhefrequenz
TR
)T
je Volt Steuerspannung
TR
' Konstante des VCO
Ko '
` M2(p) ' Ko @ U f(p) @
1
p TR
Der Aussteuerbereich des VCO wird durch Nichtlinearitäten begrenzt
Phasendiskriminator PD:
ne(t) ' n1(t) & n2(t)
Me(p) ' M1(p) & M2(p)
`Ud (p) ' Kd @ Me(p)
mit Kd = Phasendiskriminatorkonstante in
V
rad
Der Aussteuerbereich üblicher PD liegt zwischen ± B ... ±B
, meist mit einer Grundphasen2
differenz von .B
2
Schleifenfilter:
Fi(p) '
U f (p)
Ud(p)
Es werden im folgenden 3 Filter als Beispiele untersucht.
98
4.7.2 Dynamisches Verhalten der eingerasteten PLL
Übertragungsfunktion der offenen Kette:
Fo(p) ' &Kd Ko @
1
@ F (p)
pT R i
9
Schleifenverstärkung k
4.7.2.1 Phasenübertragungsfunktion
Gn(p) '
M2(p)
M1(p)
'
&Fo(p)
1 &Fo(p)
'
1% pT2
2
1 %p 2D To % p 2 T o
„
allgemeiner Ausdruck für PLL 2. Ordnung (Fi(p) maximal 1 Pol und Fi(p) maximal 1 Nullst. )
allgem. PN-Bild von Gn(p)
Für 3 verschiedene Schleifenfilter zeigt die folgende Tafel die WOK und die Zusammenhänge
mit dieser allgemeinen Phasenübertragungsfunktion.
99
Antwort auf einen Phasensprung um )n am Eingang
n2(t) ' L T &1
)n
G (p)
p n
Antwort auf einen Frequenzsprung um )T am Eingang
n2(t) ' L T &1
Rauschbandbreite von Gn(p)
)T
p2
4
Gn(p)
T
B
BR ' *Gn(T) * d T '
1% 2
m
D To
To
2
2
&4
Beachten Sie:
-
Gn(p) ist ein TP, d.h. langsame Phasenänderungen von u1(t) werden voll zu u2(t) übertragen, schnelle entsprechend Gn(p) bewertet.
-
Schleifenfilter mit nur 1 Pol führen zu starken Resonanzeffekten
-
Schleifenfilter mit Pol und Nullstelle können bei allen möglichen Schleifenverstärkungen stabil betrieben werden.
100
4.7.2.2 Fehlerübertragungsfunktion
G F(p) '
z.B. mit Fi(p) '
G F(p) '
Me(p)
M1(p)
'
pTR @ Nenner von Fi(p)
1
'
2
1& Fo(p)
Kd K o 1 %2 Dp To % p 2 T o
1
:
1 % p T1
p TR 1% pT1
2
1 % 2 Dp To %p 2 To
Antwort auf Phasensprung )n:
ne(t) ' L T &1
)n
G (p)
p F
Restphasenfehler:
limne(t) ' lim p Me(p) ' 0
t64
p60
101
@
1
Ko Kd
Antwort auf Frequenzsprung )T
ne(t) ' L T &1
)T
p2
G F(p)
Restphasenfehler:
lim ne(t) ' lim pMe(p)
t64
p60
s. Tafel für die 3 untersuchten Schleifenfilter
Beachten Sie:
-
Der Restphasenfehler ist umgekehrt proportional der Schleifenverstärkung
-
bei einem Schleifenfilter mit Pol im Ursprung wird der Restphasenfehler zu Null.
4.7.3 Halte- und Fangverhalten
Haltebereich:
Durch die begrenzten Kennlinien des Phasendiskriminators (z.B. ± )B oder des VCO
2
kommt es zu nichtlinearen Reaktionen, wenn
z.B. bei einem Frequenzsprung nmax >
nAussteuerbereich wird.
102
Mögliche Reaktionen:
Fangvorgang:
Im ausgerasteten Zustand ist T1 … T2. Am PD entsteht ud(t) mit der Schwebungsfrequenz )T.
Diese Spannung wird durch Fi(p) bewertet und erzeugt im VCO eine Frequenzmodulation mit
)T.
Wenn T (t) ' T 1% K u (t) $ T % ) T ' T (t) ist, rastet die PLL ein
2
R
o f
R
1
` K d Ko @ * Fi() T) * $
)T
TR
Beachten Sie: O.g. Betrachtungsweise ist eine linearisierte Näherung. Die genaue Berechnung
über eine nichtlineare Dgl. liefert eine nichtsinusförmige unsymmetrische
Frequenzmodulation, so daß es auch noch zum Einrasten nach mehreren Perioden von )T kommen kann (Ziehvorgang).
103
4.7.4 Die nichtlineare Dgl. der PLL
Zur Berechnung des Einrastvorganges und der Antworten bei großen Phasenaussteuerungen
ist die Lösung der Dgl. notwendig. Dies ist oft nur in bestimmten Fällen oder näherungsweise
möglich.
Ausgangsgleichungen:
C ud(t) ' K d sinne (PD&Kennlinie)
aus
1% pT2
1% p T1 %T2
'
Uf(p)
folgt
Ud(p)
C u f(t) % u0f (t) T1 % T2 ' u d (t) u0d (t) @ T2 Schleifenfilter
t
C n2(t) ' K o TR
m
uf(t) dt (VCO)
0
C n2(t) ' n1(t) &ne(t)
` n̈e % n0 e
1 % K d Ko TR T2 cos ne
T1 % T2
%
Ko Kd TR sinne
T1 %T2
4.7.5 Anwendungen der PLL
-
als TP bezüglich Phasenänderungen
von n1(t) zu n2(t)
M2(p)
M1(p)
-
' Gn(p)
als Phasenmodulator bzw. Frequenzmodulator
104
' n̈1 %n1
1
T1 % T2
M2(p)
'
M(p)
1
@ G (p)
Kd n
d.h. im Bereich O < T < To wirkt die PLL als Phasenmodulator bzw. bei Austeuerung
mit
d
dt
-
m(t) als Frequenzmodulator
als Phasen- bzw. Frequenzdemodulator
Ud(p)
M1(p)
' K d @ GF(p)
d.h. im Bereich T > To wirkt die PLL als Phasendemodulator. M2(p) bzw. u2(t) ist in
diesem Bereich der unmodulierte Träger. Nach Integration von ud(t) ensteht ein frequenzdemoduliertes Signal.,
-
als selbstabstimmendes Schmalbandfilter mit ggf. extrem hohen Kreisgüten und
schmalen Bandbreiten z.B. zur Ausfilterung von Spektrallinien (Träger, Taktfrequenzkomponente digitaler Signale u.a.). Die erreichbaren schmalen Bandbreiten sind im
Gegensatz zu LC-Filtern nur von Verstärkung K und Zeitkonstanten abhängig. Als
Besonderheiten sind zu beachten:
@
der Zusammenhang zwischen effektiver Güte und Restphasenfehler,
@
die Verringerung des Fangbereiches mit steigender effektiver Güte und damit
die höheren Forderungen an die Frequenzkonstanz des VCO,
@
Möglichkeiten spezieller Fangschaltungen.
105
-
als synchroner Amplitudendemodulator, wenn bei entsprechender Dimensionierung der
PLL u2(t) als Träger mit dem Empfangssignal u1(t) multipliziert wird,
-
zur phasenstarren Synchronisation von Vorgängen mit gleichen oder durch rationale
Zahlenverhältnisse beschreibbaren Frequenzen (Frequenzaufbereitung, Synthesizer,
Abtastoszillografen und -voltmeter usw.),
-
zu hochgenauen Phasenveschiebungen (z.B. 90E zwischen u1(t) und u2(t) ),
-
zur Drehzahlregelung, wenn als VCO ein Motor eingesetzt wird.
Hinweis:
Die automatische Frequenznachstimmung (AFC) ist ähnlich einer PLL aufgebaut, verwendet
aber statt eines PD einen Frequenzdiskriminator. Die ausgewertete Größe ist T(t) '
d n(t)
dt
.
Es gibt keine phasenstarre Synchronisation und nur mit integrierenden Schleifenfilter (Pol im
Ursprung) wird Frequenzgleichheit erreicht. Die Übertragungsfunktion des VCO ist nicht mehr
von p abhängig. Zur Verbesserung des Fangverhaltens von PLL werden diese oft mit einer im
ausgerasteten Zustand wirksamen AFC kombiniert (Verwendung eines frequenzsensitiven
Phasendiskriminators).
106
5. Modulation / Demodulation
5.1. Lineare Modulationsverfahren (Amplitudenmodulation)
5.1.1 Systemtheoretische Zusammenhänge
Aus den Grundgleichungen für frequenzinvariante Systeme und determinierte Signale (vergleiche Abschnitt 2.2) folgt das Blockschaltbild einer AM-modulierten Übertragung:
u2(t) ' u1(t) @ u0(t)
B
B
B
*
*
*
C
C
C
U2(T) ' U1(T) ( U0(T)
u3(t) ' u2(t) @ u0(t)
B
B
B
*
*
*
C
C
C
U3(T) ' U2(T) ( U0(T)
Beispiele:
Sinusförmiger Träger:
u0 (t) ' u0 @ cos T0 t '
U0 (T) '
Sinusförmige Nachricht
(auf Amplitude 1 normiert):
u1(t) ' cosT1 t '
U1(T) '
107
u0
2
u0
2
e
% jT0 t
% e
&jT0 t
*(T&T0 ) % *(T%T0 )
1 jT1 t
&jT t
e
% e 1
2
1
*(T&T1) % *(T%T1)
2
Beachten Sie:
-
Zur besseren Verständlichkeit wird in den folgenden Darstellungen immer 2T1 < T0 (im
allgemeinen T1 « T 0) gezeichnet.
-
Wenn die Nachricht aus nichtsinusförmigen (determinierten oder zufälligen) Signalen
besteht, wird zunächst die Bandbreite 2T1g < T0 vorausgesetzt.
-
Diese Voraussetzungen sind nicht zwingend, es entstehen aber ggf. spektrale Überlappungen und damit verbundene Effekte.
Mit U(T) ( *(T&T0 ) ' U(T&T0 ) (vergleiche Abschnitt 1.4)
folgt:
U2(T) ' U1(T) ( U0(T) '
u0
2
U1 (T&T0 ) % U1(T%T0 )
moduliertes Signal
U3(T) ' U2(T) ( U0(T)
'
u02
4
2U1(T) % U1(T&2T0 ) % U1(T%2T0 )
demodul.
Signal
auf doppelte Trägerfrequenz
verschobenes mod. Signal
Beachten Sie:
-
Eine ideale Amplitudenmodulation eines sinusförmigen Trägers ist identisch mit der
Verschiebung des Spektrums der Nachricht um ± Trägerfrequenz.
-
Eine nochmalige Multiplikation mit dem gleichen Träger ergibt wieder die Nachricht
(und einen durch einen TP unterdrückbaren Anteil um die doppelte Trägerfrequenz).
-
Es existiert eine Dualität zwischen idealem Modulator (Multiplikation von Zeitfunktionen) und linearem System (Multiplikation von Spektralfunktionen), siehe Abschnitt 2.2.
108
5.1.2 Sonderformen
5.1.2.1 Mischung
Wird für die zweite Multiplikation ein Träger mit einer von T0 abweichenden Trägerfrequenz
verwendet (z. B. T01), so gilt:
U3(T) ' U2(T) (
'
u0
4
u0
2
* (T & T01 ) %* (T % T01 )
U1(S & T0 & T01 ) % U1(S% T0 % T01 ) % U1(S &T0 %T01 ) % U1(S% T0 & T01 )
moduliertes Signal bei ±(T0 %T01 )
109
moduliertes Signal bei ±(T0 &T01 )
für eine zufällige Nachricht erhält man damit
d. h. eine Frequenzumsetzung (Mischung) auf die Summen- und die Differenzfrequenz.
5.1.2.2 AM mit Träger
Mit u11 ( t) ' 1 % m @ u1 ( t) als Nachricht (m=Modulationsgrad (0#m#1)) entsteht
u2(t) ' u0(t) % m @ u1(t) @ u0(t)
B
*
C
U2(T) ' U0(T) % m @ U1(T) ( U0(T)
Träger mit m bewertetes mod. Signal
'
u0
2
* (T & T0) % * (T % T0) % m@
u0
2
U1 (T & T0) % U1 (T %T0)
Beachten Sie:
-
Die Mitübertragung eines Trägers erspart die Erzeugung von uo(t) im Demodulator
und führt zu einfachen Demodulatorschaltungen, z.B. eine nichtlineare Kennlinie mit
einer quadratischen Komponente in der Taylorentwicklung:
110
Nichtlineare Kennline
2
u3 ' "0 % "1u2 % "2u2 % ...
mit u2(t) ' u0(t) % m u1(t) u0(t)
u3(t) ' "0 %
% "1 u0(t) % "1 m u1(t) u0(t)
2
2
2
% "2 u0 (t) % 2 m u0 (t) u1(t) % m 2 u1 (t) u0(t)
mit m berwertetes demoduliertes Signal +
moduliertes Signal bei doppelter Trägerfrequenz (siehe Abschnitt 5.11)
Beachten Sie:
-
Das Signal u3 (t) enthält folgende Komponenten:
B Gleichstrom
B Träger T0
B moduliertes Signal um T0
B moduliertes Signal um 2T0
B weitere unerwünschte Komponenten, z.B. Verzerrungen
-
Als Demodulator reicht im einfachsten Fall ein Einweggleichrichter:
-
Die Mitübertragung des Trägers kostet Leistung und verschlechtert die Leistungsbilanz
des Senders.
111
5.1.2.3 Nichtsinusförmiger Träger, Abtastung
Für eine periodische Stoßfolge als Träger (Abtastung) folgt nach Abschnitt 1.5 ein periodisches Spektrum aus Stößen im Frequenzbereich. Eine entsprechende Hüllkurve bewertet die
Spektralfunktion (im Bild gestrichelt für einen
mäanderförmigen Träger).
u0(t) ' " T0 j *(t & nT0 )
%4
B
*
C
n'&4
U0 ( f) ' " j *( f & m f0 )
%4
m'&4
mit f0 '
1
T0
Mit einem Spektrum der Nachricht U1(f) erhält
man für U2(f) die abgetastete Funktion:
u2 (t) ' u1(t) @ u0(t)
B
*
C
U2( f ) ' U1( f ) ( U0( f )
bzw. für rechteckigen Träger:
Beachten Sie:
-
f0 > 2 BNF (Abtasttheorem)
-
Rechteckbreite # T0
-
Demodulation durch TP mit fg = f0/2 möglich
112
-
Mit BP lassen sich AM-modulierte Signale um n @ f0 ausfiltern.
-
Die notwendige Bandbreite ist bei Erhaltung der Kurvenform von u2(t) » Bandbreite
zur Übertragung der Nachricht (2BNF).
-
u2(t) ist ein pulsamplitudenmoduliertes Signal (PAM), die Rechteckformung kann
durch (Abtast- und) Halteschaltung realisiert werden (Verzögerung beachten!).
5.1.2.4 Einseitenbandmodulation
Die vollständige Information einer (reellen) Nachricht ist in einem Seitenband enthalten (oberhalb oder unterhalb) der Trägerfrequenz. Trennung durch (im Grenzfall) BP-Filter mit rechteckiger Flanke bzw. durch folgende Modulation (bei sinusförmigen Trägern und sinusförmiger
Nachricht):
Für das Beispiel des oberen Seitenbandes gilt:
U2ESB(T) ' U2(T) @ GFILTER(T)
B
*
C
1
u2ESB(t) '
2B
'
u0
2
&T0
m
U2(T) e
&T0&Tg NF
@
1
dT %
2B
jT t
T0%Tg NF
m
U2(T) e jT tdT
T0
1
cos (T0 t ) @ cos (T1 t ) & sin(T0 t ) @ sin(T1 t )
2
Träger
Nach&
90E&gedr. 90E&gedr.
richt
Träger
Nachricht
113
5.1.3 Schaltungstechnische Realisierung von Multiplikatoren
C
Gesteuerte Kennlinie, z.B. Zwei- bzw. Vierquadrantenmultiplikator auf Basis gesteuerter Differenzverstärker:
C
Nichtlineare Kennlinie (Änderung des
Arbeitspunktes und damit der Steilheit) einer
Dioden- oder Transistor-Kennlinie,
z. B. in Gegentaktschaltung:
oder
als Ringmodulator (besonders
geeignet, wenn u0(t) » u1,(t)
d.h. Umpolung von u1(t) im Takt
mit u0(t).
114
5.2. Winkelmodulation
5.2.1 Definitionen, Zusammenhänge
u2(t) ' A @ cos(T0t%n0)
T0 t % n0 ' n(t)
d n(t)
Augenblicksfrequenz: T0 (t) '
dt
Winkel:
0
Augenblicksphase:
n(t) '
T (t) dt % n0
m 0
t
Größen
PM
FM
u2(t)
u0 cos T0 t % n0 %k p u1(t)
u0 cos T0 % kf u1(t) t % n0
Modulationskonstante
kp in rad oder °
kf in Hz – )f
Augenblicksfrequenz
T(t)
T0 %k p
du1(t)
dt
Augenblicksphase
n(t)
Umwandlung
T0 % kf u1(t) - u1(t)
t
T0 t %n0 %k p u1(t) - u1(t)
T0t % kf u1(t) dt %n0
m
0
d
PM / FM mit
u (t)
dt 1
115
t
FM – PM mit
u (t) d t
m 1
0
5.2.2 Sonderformen
5.2.2.1 Spezialfall sinusförmiger Träger und sinusförmige Nachricht
Träger: u0(t) ' u0 cos T0 t
Größen
PM
FM
Nachricht u1 (t)
sinT1t
cos T1 t
T0 t %k p sinT1 t
T0 t %kT@
Augenblicksphase
1
T1
sinT1 t
' T0 t % )T sinT1t
T1
n(t)
' T0 t %m f sinT1 t
' T0 t %mf sinT1 t
kT
T1
Modulationsindex
kp = mf = Phasenhub
'
kf
'
f1
)f
f1
= relativer Frequenzhub
mf
= Phasenhub = mf
u0 cos (T0 t % mf sinT1 t)
' u0 j In (mf ) cos (T0 %n T1) t
%4
moduliertes Signal
U'&4
u2(t)
mit In(x) ' Besselfunktion n&ter Ordnung
In(x) '
116
x
2
n
(&1)k
x
j
k'0 k !(k%n) ! 2
4
2k
Interpretation:
U2(T) enthält folgende Komponenten
Träger
T0
- I0(m f )
Seitenbänder
T0 ±
T1
- I1(mf )
Seitenbänder
T0 ± 2 T1
- I2(mf )
Seitenbänder
T0 ± 3 T1
- I3(mf )
@
@
@
@
@
@
Beachten Sie:
-
mf ' kp '
kf
f1
'
kT
T1
ist ein Phasenhub und ist identisch mit dem relativen Frequenzhub.
-
Bei FM entsteht deshalb der größte Modulationsindex bei der tiefsten Signalfrequenz.
-
Für bestimmte mf wird I0 (mf) = 0, d.h., es ist kein Träger mehr vorhanden und es wird
keine Trägerleistung ausgesendet.
-
Der Bandbreitebedarf kann etwa mit
BHF ' 2 k f % f1
' 2 Frequenzhub % NF&Bandbreite
abgeschätzt werden.
-
Mit nichtsinusförmigen Trägern (z.B. Rechteckpulsen) entsteht eine Pulsphasenmodulation (PPM) bzw. Pulsfrequenzmodulation (PFM). Wird nur eine Flanke der
Trägerpulsfolge moduliert, entsteht eine Pulsdauermodulation (PDM).
117
5.2.2.2 Schmalband PM/FM (kp « 1 rad, praktisch < 30E
E)
Aus
u2 (t) ' u0 cos T0 t %k p u1 (t)
'
u0
2
e
jT0 t
@ e
jkp u1 (t)
%
u0
2
e
&jT0 t
@ e
& jkp u1 (t)
folgt mit der abgebrochenen Taylorentwicklung e jx . 1 % jx
u2 (t) '
U2(T) '
u0
2
u0
2
e
jT0 t
1 % kp u1 (t) %
u0
2
e
&jT0 t
* ( T & T0 ) % * ( T %T0 ) % j
1 &j kp u1 (t)
u0
2
U1 (T &T0 ) & U1 ( T % T0 )
Beachten Sie:
-
Schmalband-Winkelmodulation hat das gleiche Betragsspektrum wie Amplitudenmodulation.
118
5.2.3 Schaltungstechnische Realisierung von Modulatoren
- Voltage controlled oscillator (VCO)
C
Oszillatoren mit steuerbarem Blindwiderstand an den frequenzbestimmenden
Elementen (z.B. Varicap-Diode im Schwingkreis eines Meißner-Oszillators)
T (t) ' T0 % K0 u1 (t)
t
n (t) ' K0
B
*
C
m
*T 1
@
T0
V
K0 '
u1 (t) dt
0
M (T) ' K0 U1 (T) @
1
T
j
T0
S(T) ' M (T) @ j
bzw. S(T) ' K0 @ U1 (T)
mit
B
*
C
bzw. T (t) '
² Phasenmodulator
- Phase locked loop (siehe Abschnitt 4.7)
119
d n (t)
dt
T
T0
mit
u2 (t) ' moduliertes Ausgangssignal
bei eingerasteter PLL
n2 (t) ' Augenblicksphase von u2 (t)
im linearen
M2 (T) ' Spektralfunktion von n2 (t)
Aussteuerbereich
Kd ' Konstante des PD
M2 (p)
'
U1 (p)
1
1
@ Gn (p)
@
Kd Fi (p)
G p (p) ' Phasenübertragungsfkt. d. PLL, s. Abschn. 4.7)
z.B. für Fi (p) '
M2 (p)
'
1 %pT1
1
@
Kd 1% 2D pT %p 2 T 2
0
0
'
p TR ( 1 %p T1 )
1
@
Kd 1% 2D pT %p 2 T 2
0
0
U1(p)
und
S2 (p)
U1 (p)
1
1% pT1
Beachten Sie:
-
Unterhalb einer Grenzfrequenz (abhängig von Schleifenverstärkung und Filterzeitkonstanten T1) ist M2(p) - U1(p), d. h., die PLL verhält sich wie ein Phasenmodulator.
-
Oberhalb einer Grenzfrequenz ist S2(p) - U1(p), d. h., die PLL verhält sich wie ein Frequenzmodulator.
120
5.2.4 Schaltungstechnische Realisierung von Demodulatoren
-
mit frequenzabhängigem Spannungsteiler, z.B.:
oder
an Flanke von Schwingkreisen (oft in Gegentaktschaltung mit 2 symmetrischen Kreisen)
-
unter Nutzung der frequenzabhängigen Phasendehnung eines Schwingkreises und vektorieller Addition von gedrehter und nichtgedrehter Spannung.
z.B.
Rieger-Kreis
mit sinusförmiger Spannung
Ratiodetektor
Koinzidenzdemulator
-mit begrenztem rechteckförmigen Träger
Koinzidenzdemodulator:
Beachten Sie:
Es existieren integrierte analoge Schaltkreise mit den Grundfunktionen: Verstärker, Begrenzer,
FM-Demodulator und z.T. vielen Zusatzfunktionen (z. B. für AFC, AGC, Stummschaltung
usw.).
121
-
PLL (s. Abschnitt 4.7)
U1( p)
S2( p)
'
1
@ Gn ( p)
K0 TR
Beachten Sie:
-
Das Ausgangssignal ist frequenzdemoduliert und mit der Phasenübertragungsfunktion
der PLL (s. Abschnitt 4.7) bewertet.
t
-
Eine Phasendemodulation erfordert eine Bewertung des Ausgangssignals mit
Dies ist im Frequenzbereich oberhalb der PLL-typischen Knickfrequenzen
d t.
m
0
erfüllt
5.3 Pulscodemodulation
Systemtheoretisch betrachtet, ist PCM kein neues Modulationsverfahren, sondern eine technische Realisierung mit verschiedenen bekannten Baugruppen. Am Beispiel der PCM zur
Übertragung von Telefon-Sprachkanälen ergibt sich:
122
Besonderheiten:
Kompression:
uk '
ln 1% muueing
ua '
ln 1 % mu
1
ln 1 % mu
e
mu
uk
mit µ = Faktor für Krümmung, bei Sprache ist µ = 100
Beachten Sie:
-
praktische Realisierung durch geknickte 13-Segment-Kennlinie in Verbindung
mit Quantisierung und Codierung,
-
Für Telefon werden 256 Stufen und µ = 100 verwendet .
-
Für Hi-Fi (CD, digitale Tonübertragung) werden lineare Quantisierung und 214
... 216 Stufen verwendet.
Codierung:
Das z. B. in 28 = 256 Stufen quantisierte Signal wird in ein binäres 8 bit-Signal
umcodiert. Zur besseren Kanalanpassung wird dieses binäre Signal oft noch in
ein mehrstufiges Signal umcodiert. Redundanz wird dabei u.a. für
- Gleich-
stromfreiheit
- Taktinformationen
- Fehlererkennbarkeit bzw. Korrektur
vorgesehen.
Speziell zur Funkübertragung von digitalen Signalen sind u.a. folgende Verfahren gebräuchlich:
FSK (Frequenz Shift Keying),
d.h. Frequenzumtastung
PSK (Phase Shift Keying),
d.h. Phasenumtastung
QPSK (Quarternary Phase Shift Keying)
d.h. Vierstufige Phasenumtastung
123
Beachten Sie:
-
Für Datenübertragungssysteme (Trägermodulation im NF-Kanal) werden z.T.
sogar 8- und 16-stufige Modulationsverfahren verwendet.
-
Für hochkanalige PCM-Systeme werden meist 3-stufige, z T. auch 5-stufige
Codes verwendet.
-
Sonderformen sind die
C
differentielle PCM, bei der nur die Amplitudendifferenzen (z. B. zum
vorhergehenden Abtastwert) codiert und übertragen werden. Insbesondere in der Bildübertragungstechnik werden auch Differenzen zu benachbarten Zeilen oder Bildsequenzen zur Redundanzreduktion herangezogen.
C
Deltamodulation, bei der die Abtastfrequenz so hoch gewählt wird, daß
die Differenz zum vorhergehenden Abtastwert ± 1 bit beträgt.
Multiplexer:
Zusammenfassung verschiedener Bitströme (z. B. Telefonkanäle).
Möglichkeiten:
-
Bitmultiplex bzw. Wortmultiplex mit festem Rahmen, fester Kanalzuordnung zu Zeitschlitzen und Synchronwort (Basis für Leitungsvermittlung);
-
Paketierung mit Adressen und ggf. variabler Paketlänge (Basis für
Paketvermittlung);
-
Aufbau leistungsfähiger hierarchischer Systeme (ISDN, BISDN)
124