Regelungstechnische Analyse und Synthese von

Regelungstechnische Analyse und Synthese von MEMS
mit elektrostatischem Wirkprinzip
von der Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik
der Technischen Universität Chemnitz
genehmigte
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor-Ingenieur
(Dr.-Ing.)
vorgelegt
von Dipl.-Ing. Heiko Wolfram
geboren am 28. September 1972 in Plauen
eingereicht am 22. Juni 2006
Gutachter:
Prof. Dr.-Ing. Wolfram Dötzel
Technische Universität Chemnitz
Prof. Dr.-Ing. Jozef Suchý
Technische Universität Chemnitz
Dr.-Ing. habil. Peter Schwarz
Fraunhofer-Institut für Integrierte Schaltungen
Außenstelle Entwurfsautomatisierung Dresden
Tag der Verleihung: 22. Mai 2007
Berichte aus der Steuerungs- und Regelungstechnik
Heiko Wolfram
Regelungstechnische Analyse und Synthese
von MEMS mit elektrostatischem Wirkprinzip
D 93 (Diss. TU Chemnitz)
Shaker Verlag
Aachen 2007
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Zugl.: Chemnitz, Techn. Univ., Diss., 2007
Copyright Shaker Verlag 2007
Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen
oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.
Printed in Germany.
ISBN 978-3-8322-6348-5
ISSN 0945-1005
Shaker Verlag GmbH • Postfach 101818 • 52018 Aachen
Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9
Internet: www.shaker.de • E-Mail: [email protected]
Vorwort
Die vorliegende Dissertationsschrift stellt Ergebnisse meiner Forschungsarbeit an der Professur für Mikrosystem- und Gerätetechnik der TU Chemnitz vor. Ich möchte allen Mitarbeitern
der Professur für Mikrosystem- und Gerätetechnik sowie des Zentrums für Mikrotechnologien
für die gute Zusammenarbeit und die stets freundliche und unkomplizierte Arbeitsatmosphäre
danken. Insbesondere bedanke ich mich bei:
• Prof. Dr.-Ing. Wolfram Dötzel für die Betreuung der Arbeit, für die Fachdiskussionen und
Anregungen,
• Dr.-Ing. habil. Peter Schwarz und Prof. Dr.-Ing. Jozef Suchý für die Übernahme der Begutachtung,
• Dr.-Ing. Steffen Kurth für Fachdiskussionen, Anregungen, Unterstützung bei den experimentellen Analysen und die Durchsicht der Arbeit,
• Prof. Dr.-Ing. habil. Jan Mehner für wertvolle Tipps,
• den Mitarbeitern des ZfM, insbesondere Dipl.-Ing. Ralf Schmiedel und Dr.-Ing. habil.
Karla Hiller, die für das Design und die Durchführung der technologischen Abläufe verantwortlich waren,
• Dipl.-Ing. Torsten Aurich der Firma GEMAC mbH in Chemnitz, der für den Aufbau der
Prototypen verantwortlich war und viele experimentelle Arbeiten durchführte,
• meiner Verlobten Anita für ihre Hilfe bei der Durchsicht der Arbeit und ihre wertvollen
Hinweise zur sprachlichen Gestaltung.
Nicht zuletzt gilt mein besonderer Dank meinen Eltern und meinen Bruder Axel, auf deren Rat
und Zuspruch ich mich immer stützen konnte und ich eine Menge Ermutigung gefunden habe.
Inhaltsverzeichnis
Glossar
XI
1 Einführung
1.1 Mikrosysteme und Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ziel der vorliegenden Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Thematische Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Design und Technologie
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Antriebsprinzipien von Mikrosystemen . .
2.2.1 Elektrostatisches Antriebsprinzip .
2.2.2 Elektrodynamisches Antriebsprinzip
2.3 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Modellbildung
3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mechanisches Modell . . . . . . . . . . . . .
3.3 Squeeze-Film Dämpfung . . . . . . . . . . .
3.3.1 Lösung des Squeeze-Film Problems .
3.3.2 Elektrisches Analogiemodell . . . . .
3.3.3 Zustandsraummodell . . . . . . . . .
3.4 Elektrostatisches Wirkprinzip . . . . . . . . .
3.4.1 Kapazitive Detektion der Auslenkung
3.4.2 Elektrostatisches Moment . . . . . .
3.5 Pulsbreitenansteuerung . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Statisches Verhalten . . . . . . . . .
3.5.2 Dynamisches Verhalten . . . . . . . .
3.5.3 Einschaltverhalten . . . . . . . . . .
3.6 Kleinsignalmodell . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Parameteridentikation
4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
VIII
INHALTSVERZEICHNIS
4.2
4.3
4.4
Lineare Modellidentifikation . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Approximierte Methode . . . . . . . . . .
4.2.2 Zwei-Stufen-Identifikation . . . . . . . . .
4.2.3 Praktisches Beispiel . . . . . . . . . . . .
Identifikation in der geschlossenen Schleife . . . .
Nichtlineare Modellidentifikation . . . . . . . . . .
4.4.1 Blockorientierte Identifikation . . . . . . .
4.4.2 Identifikation mittels neuronalem Netzwerk
4.4.3 Numerisches Beispiel . . . . . . . . . . . .
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5 Reglerentwurf
5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Linearer Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Einschränkung der Bandbreite . . . . .
5.2.2 Robust Control . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Stabilitätsbetrachtung . . . . . . . . . .
5.2.4 Praktisches Beispiel . . . . . . . . . .
5.3 Nichtlinearer Reglerentwurf . . . . . . . . . .
5.3.1 Adaptive Regelung mit Referenzmodell
5.3.2 Numerisches Beispiel . . . . . . . . . .
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6 Sensitivität
6.1 Einführung . . . . .
6.2 Digitalwandler . . .
6.2.1 D/A-Wandler
6.2.2 A/D-Wandler
6.3 Sensitivitätsanalyse .
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7 Rauschen
7.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Brownsches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Rauschen in elektronischen Bauelementen . . . . .
7.3.1 Widerstandsrauschen . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Dioden-Rauschen . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Rauschquellen eines Bipolartransistors . .
7.3.4 Rauschquellen eines Feldeffekttransistors .
7.3.5 Verstärkerrauschen . . . . . . . . . . . . .
7.4 Quantisierungsrauschen . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Rauschen in D/A- und A/D-Wandlerstufen
7.4.2 Quantisierungsrauschen in Rechenwerken .
7.5 PWM-Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
IX
8 Zusammenfassung und Ausblick
A Modellbildung
A.1 Squeeze-Film Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Lösung des Squeeze-Film Problems . . . . . . . . . .
A.2.1 Translatorischer Fall . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Rotatorischer Fall mit variabler Rotationsachse
A.3 Pulsbreitenansteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Statisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2 Einschaltverhalten . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Modellierung des Anschlags . . . . . . . . . . . . . .
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B Reglerentwurf
B.1 Anti-Windup Maßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Vektornormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.3 Signalnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.4 Systemnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.5 Zusammenhang zwischen Signal- und Systemnormen .
B.3.6 Berechnung der Systemnormen . . . . . . . . . . . .
B.4 Lösung des H2 - und H∞ -Minimierungsproblems . . . . . . .
B.5 Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung . . . . . . . . . . . . .
B.6 Lösung der Diophantischen Gleichung . . . . . . . . . . . . .
B.7 Lösung der Ljapunow-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
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C Sensitivität
133
C.1 Berechnung des Signal-Rauschabstandes für Sigma-Delta-Wandler . . . . . . . 133
C.2 Numerische Systemoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Literaturverzeichnis
143
Abbildungsverzeichnis
159
Tabellenverzeichnis
163
X
INHALTSVERZEICHNIS
Glossar
Abkürzungen
A/D
Analog-nach-Digital-Wandler (engl. Analog-to-Digital Converter), S. 91.
ARMAX
Autoregressiver Prozess mit gleitendem Mittel und externem Eingang (engl. AutoRegressive Moving Average with external Input), S. 47.
ARX
Autoregressiver Prozess mit externem Eingang (engl. Auto-Regressive with external Input), S. 44.
CF
Charakteristische Funktion (engl. Characteristic Function), S. 101.
D/A
Digital-nach-Analog-Wandler (engl. Digital-to-Analog Converter), S. 90.
DC
Gleichstrom (engl. Direct Current), S. 32.
DGL
Differentialgleichung, S. 15.
DSP
Digitaler Signalprozessor, S. 49.
FEM
Finite Elemente Methode, S. 20.
FET
Feldeffekttransistor, S. 99.
FIR
Nichtrekursiver Filter (engl. Finite Impulse Response), dessen Ausgang nur aus
y(t)
den aktuellen und vorherigen Eingangswerten berechnet wird: G(z) = x(t)
=
m
−j
b
z
.
j=0 j
FOH
Halteglied erster Ordnung (engl. First-Order Hold), bei dem das zukünftige Signal
s]
aus den vergangenen Werten extrapoliert wird: x(t) = x[kTs ] + x[kTs]−x[(k−1)T
(t −
Ts
kTs ) ∀ t ∈ [kTs , (k + 1)Ts ), S. 90.
HF
Hochfrequenz (engl. high frequency), S. 81.
IIR
Rekursiver Filter (engl. Infinite Impulse Response), dessen Ausgang aus den aktuellen Eingangs- und vorherigen Ein- und Ausgangswerten bestimmt ist: G(z) =
m
bj z −j
y(t)
j=0
=
, S. 92.
n
x(t)
ai z −i
i=0
XII
GLOSSAR
IV
Methode der Instrumentellen Variablen (engl. Instrumental Variable Method), bei
der durch geeignete Wahl der Regressionsmatrix die Korrelation mit dem Fehlervektor minimiert wird, S. 53.
LFT
Lineare Fraktionaltransformation (engl. Linear Fractional Transformation), S. 68.
LHP
Linke Halbebene (engl. left-half Plane), S. 68.
LOCOS
Lokaler Oxidationsprozess (engl. Local Oxidation), bei dem durch thermische Oxidation des Siliziums mit Sauerstoff Siliziumdioxid SiO2 auf der Waferoberfläche
entsteht, S. 13.
LSM
Methode der kleinsten Quadrate (engl. Least-Square Method), bei der die Gütefunktion J(x) = 12 y − Ax22 über den gesuchten Vektor x minimiert wird, S. 52.
LTI
Linear zeitinvariant (engl. linear time-invariant), S. 32.
MEMS
Elektromechanische Mikrosysteme (engl. Micro-Electro-Mechanical Systems), S. 1.
MRAC
Adaptive Regelungen mit Referenzmodell (engl. Model-Reference Adaptive Control), S. 80.
NL
Nichtlinear (engl. nonlinear), S. 48.
OE
Ausgangs-Fehler (engl. Output Error) Modell, S. 47.
OPV
Operationsverstärker, S. 28.
PT1
Proportional wirkendes Verzögerungsglied erster Ordnung. Es gilt die Differentialgleichung: T dy(t)
+ y(t) = kp u(t), S. 38.
dt
PT2
Proportional wirkendes Verzögerungsglied 2. Ordnung. Es gilt die Differentialglei2
chung: T 2 d dty(t)
+ 2dT dy(t)
+ y(t) = kp u(t), S. 3.
2
dt
PWM
Pulsbreitenmodulation (engl. Pulse-Width Modulation), S. 29.
RHP
Rechte Halbebene (engl. right-half Plane), S. 68.
RMS
Effektivwert (engl. Root Mean Square), S. 124.
S/H
Abtast- und Halteglied nullter Ordnung (engl. Sample-and-Hold).
SISO
Regelstrecke mit skalarem Ein- und Ausgang (engl. single-input single-output),
S. 70.
SNR
Signal-Rausch-Abstand (engl. Signal-to-Noise Ratio), S. 26.
SOS
Teilsysteme zweiter Ordnung (engl. Second-Order Sections), S. 103.
GLOSSAR
SVD
XIII
Für jede Matrix A ∈ Cm×n existiert eine Singulärwertzerlegung (engl. Singular
Value Decomposition) A = UΣVH , wobei U ∈ Cm×m aus den orthogonalen
Eigenvektoren von AAH und V ∈ Cn×n aus den orthogonalen Eigenvektoren
von AH A
gebildet wird. Die Singulärwerte sind die Wurzeln der Eigenwerte von
σi (A) = λi (AH A) = λi (AAH ), wobei Σ ∈ Rm×n die Singulärwerte in den
Diagonalelementen enthält, S. 122.
ZOH
Halteglied nullter Ordnung (engl. Zero-Order Hold), dessen Ausgang bis zum nächsten Tastzeitpunkt erhalten bleibt: x(t) = x[kTs ] ∀ t ∈ [kTs , (k + 1)Ts ), S. 90.
Griechische Buchstaben
β
Das differentielle Verhältnis des Kollektrostroms IC zum Basisstrom IB wird als
C
(differentielle) Stomverstärkung β = ∂I
eines Bipolartransistors be∂IB
UCE =const.
zeichnet, S. 99.
β
Normalisierte Plattenlänge β = ab , S. 110.
χ
Normalisierte X-Achse χ =
Δ
Quantisierungsintervall, S. 100.
Δa
Additive Modellunsicherheit wobei |Δa (jω)| ≥ maxG∈G |G(jω) − G0 (jω)| , ∀ ω
gilt und G die Menge aller möglichen Regelstrecken definiert.
0 (jω) Multiplikative Modellunsicherheit wobei |Δm (jω)| ≥ maxG∈G G(jω)−G
, ∀ ω
G0 (jω)
gilt und G die Menge aller möglichen Regelstrecken definiert.
Δm
X
,
a
S. 19.
ε
Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ε = ε0 εr , S. 25.
ε0
Elektrische Feldkonstante ε0 = 8.854 10−12
εr
Permittivitätszahl.
η
Normalisierte Auslenkung in Z-Richtung η =
γ
Normalisierte Y-Achse γ =
λ0
Mittlere freie Weglänge eines Gasmoleküls bei Druck pa , S. 20.
μ
Dynamische Viskosität, S. 18.
μeff
Effektive dynamische Viskosität, S. 20.
μx
Der Erwartungswert oder Mittelwert μx = E{x} definiert das arithmetische Mittel
der Zufallsveränderlichen x.
ν
Verschiebungsvektor, S. 16.
Y
,
a
As
.
Vm
x
,
d0
S. 19.
S. 19.
XIV
GLOSSAR
ν
Kinematische Viskosität ν = μ .
ω
Kreisfrequenz ω = 2πf .
ω
Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ̇, S. 19.
ω0
Resonanzkreisfrequenz ω02 =
ω180
Die Phasenschnittfrequenz (engl. Phase Crossover Frequency) ist diejenige Frequenz, für die die Phasenverschiebung arg L(jω180 ) = −180◦ beträgt, S. 62.
ωBS
Die Bandbreite ωBS ist die Frequenz von |S(jω)|, die den Ordinatenwert
−3 dB als Erstes von unten schneidet, S. 62.
ωBT
Die Bandbreite ωBT ist die höchste Frequenz von |T (jω)|, die den Ordinatenwert
√1 ≈ −3 dB als Erstes von oben schneidet, S. 62.
2
ωc
Die Schnittfrequenz (engl. Gain Crossover Frequency) ist die Frequenz, die den
Ordinatenwert Eins als Erstes von oben schneidet: |L(jωc )| = 1. Meist wird die
Schnittfrequenz zur Definition der Bandbreite des geschlossenen Systems verwendet, da die Ungleichung ωBS < ωc < ωBT für Systeme mit PM < 90◦ gilt, S. 61.
ΩN
Die Nyquistfrequenz ΩN ist definiert mit ΩN = Tπs und gibt die obere Schranke
an, für die das (harmonische) Signal x(t) mit ωx ∈ [0, ΩN ) eindeutig durch seine
Abtastwerte bestimmt ist, S. 45.
ωT
Die Transitfrequenz des FET ist die Frequenz, bei der der Betrag der Kleinsignalstromverstärkung bei
Betrieb
im Abschnürbereich und konstantem UDS auf Eins
(jωT ) abgenommen hat: iiDG (jω
= 1, S. 99.
T)
φ
Normalisierter Druck φ =
ϕ
Winkel, S. 19.
Φ
Magnetischer Fluss Φ(t) = LiL (t), S. 19.
Φ
Übergangsmatrix, Fundamentalmatrix oder Transitionsmatrix Φ(t) = e At =
∞ An tn
n=0 n! , S. 30.
Φuv
Die Fourier-Transformierte der Kreuzkovarianzfunktion Suv heißt Kreuzleistungs∞
dichte: Φuv (ω) = F {Suv (τ )} = −∞ Suv (τ ) e −jωτ dτ , S. 46.
Φv
Die Fourier-Transformierte der Autokovarianzfunktion Sv heißt Leistungsdichte:
∞
Φv (ω) = F {Sv (τ )} = −∞ Sv (τ ) e −jωτ dτ , S. 46.
Ψ
Quantisierungsfrequenz Ψ =
Dichte, S. 18.
δp
,
p0
K
,
J
S. 16.
√1
2
≈
S. 19.
2π
,
Δ
S. 101.
GLOSSAR
XV
12μa2
,
p0 d20
σ
Squeeze-Zahl σ =
σx2
Die äquivalenten Ausdrücke Varianz, Streuung, Dispersion oder das Quadrat der
Standardabweichung σx definieren ein Maß für die Abweichung der Zufallsgröße x
vom Mittelwert μx : σx2 = E{(x − μx )2 } = E{x2 } − μ2x .
τt
Mittlere Laufzeit der Elementarladung e von Kathode zur Anode einer Diode, S. 98.
ζ
Normalisierter Abstand der Rotationsachse zum Flächenmittelpunkt ζ = ac , S. 20.
S. 19.
Lateinische Buchstaben
a
Plattenbreite, S. 19.
A
Systemmatrix, S. 22.
a
Beschleunigung, S. 32.
ab
Breite des Federbandes, S. 16.
am
Breite der Masse, S. 16.
b
Plattenlänge, S. 19.
B
Eingangsmatrix, S. 22.
bb
Länge des Federbandes, S. 16.
bm
Länge der Masse, S. 16.
c
Abstand der Rotationsachse zur Symmetrieachse in X-Richtung, S. 16.
C
Kapazität, S. 19.
C
Ausgangsmatrix, S. 22.
c0
Schallgeschwindigkeit, S. 18.
D
Dämpfungsmatrix, S. 16.
D
Dämpfungskonstante, S. 19.
d
Tastverhältnis (engl. Duty Cycle), d ∈ [0, 1], S. 29.
d
Spaltabstand d = d0 + x, S. 110.
d
Komplementäres Tastverhältnis d = 1 − d, S. 30.
d0
Grundspaltabstand, S. 18.
dA/D
Quantisierungsrauschen des A/D-Wandlers, S. 93.
XVI
GLOSSAR
db
Dicke des Federbandes, S. 16.
dc
Charakteristische Länge, S. 18.
dD/A
Quantisierungsrauschen des D/A-Wandlers, S. 93.
del
Verstärkerrauschen (bezogen auf den Eingang), S. 93.
dg
Tiefe des Strömungskanals, S. 21.
dm
Dicke der Masse, S. 16.
dmech
Mechanisches Brownisches Rauschen, S. 93.
δp
Druckänderung, S. 18.
Ds
Squeeze-Film Anteil der Dämpfungsmatrix, S. 16.
e
Elementarladung e = 1.602 10−19 C.
f
Kraftvektor, S. 18.
F
Kraft, S. 19.
f0
Eigenfrequenz, S. 16.
Fs
Kraft der Squeeze-Film Dämpfung, S. 111.
G
Schubmodul, S. 16.
G
Elektrischer Leitwert G = R−1 , S. 19.
g
Die Gewichtsfunktion (engl. Impulse Response) g(t) = C e At B + Dδ(t) ist die
Antwort des Systems G(s) = [A, B, C, D] auf den Dirac-Impuls δ(t), S. 46.
G
Übertragungsfunktion der Regelstrecke.
g
Fallbeschleunigung g = 9.81
G0
Übertragungsfunktion der nominalen Regelstrecke, S. 46.
Gemech
Übertragungsfunktion des elektromechanischen Modells, S. 32.
Gmech
Übertragungsfunktion des mechanischen Modells, S. 23.
GM
Der Amplitudenrand (engl. Gain Margin) gibt die maximale Schleifenverstärkung
1
, wobei
an, für die das geschlossene System instabil wird. Es gilt: GM = abs L(jω
180 )
bei mehreren Schnittpunkten der jeweils größte Wert |L(jω180 )| benutzt wird, S. 62.
i
Strom, S. 19.
m
.
s2
GLOSSAR
XVII
iL
Strom durch Spule, S. 23.
is
Strom durch die Zweige der Squeeze-Film Ersatzschaltung, S. 19.
It
Torsionsträgheitsmoment, S. 16.
J
Trägheitsmoment, S. 16.
K
Steifigkeitsmatrix, S. 16.
K
Torsionssteifigkeit, Federkonstante, S. 16.
K
Übertragungsfunktion des Reglers.
kB
Boltzmannkonstante kB = 1.3807 10−23
Kn
Knudsen-Zahl, S. 20.
Ks
Squeeze-Film Anteil der Steifigkeitsmatrix, S. 16.
L
Induktivität, S. 19.
L
Übertragungsfunktion der offenen Kette (engl. Loop Transfer Function) L(s) =
G(s)K(s).
Ls
Squeeze-Film Induktivität, S. 19.
M
Trägheitsmatrix, S. 16.
m
Masse, S. 16.
M
Moment, S. 19.
m
Ordnung des Zählers, S. 24.
Ms
Squeeze-Film Moment, S. 112.
Ma
Mach-Zahl Ma =
n
Polytropenkoeffizient pV n = const. für einen polytropen Prozess, S. 18.
n
Ordnung des Nenners, S. 24.
n∗
Die relative Ordnung der Strecke G(s) = B(s)
ist definiert als Differenz der NenA(s)
nerordnung und Zählerordnung: n∗ = deg A(s) − deg B(s) = n − m, S. 81.
nx
Anzahl der Strömungskanäle in X-Richtung, S. 21.
ny
Anzahl der Strömungskanäle in Y-Richtung, S. 21.
p
Druck p = p0 + δp, S. 110.
v
,
c0
J
,
K
S. 97.
S. 18.
XVIII
GLOSSAR
p0
Statischer Grunddruck, S. 18.
pa
Referenzdruck pa = 105 Pa.
pel
Elektrostatischer Lastvektor, S. 16.
pext
Mechanischer Lastvektor, S. 16.
px
Die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass die kontinuierlichen Zufallsveränderliche x
im Intervall [a, b] liegt, lässt sich mit der stetigen Wahrscheinlichkeitsdichte px (x)
b
∞
ausdrücken: P (a ≤ x ≤ b) = a px (x) dx,
p (x) dx = 1.
−∞ x
PM
Der Phasenrand (engl. Phase Margin) bezeichnet den Abstand der Phase arg L(jωc )
zu 180◦ : PM = arg L(jωc ) + 180◦ , S. 62.
Q0
Das Verhältnis der Resonanzamplitude zur statischen Auslenkung wird als Gütefaktor (Resonanzschärfe) Q0 = ωD0 J bezeichnet, S. 105.
R
Elektrischer Widerstand.
Rs
Squeeze-Film Widerstand, S. 19.
Ruv
Die Kreuzkorrelationsfunktion Ruv (τ ) der Zufallsprozesse u und v ist der Erwartungswert des Produktes von u(t) und v(t − τ ): Ruv (τ ) = E{u(t)v(t − τ )}, S. 46.
Rv
Die Autokorrelationsfunktion Rv (τ ) des Zufallsprozesses v ist der Erwartungswert
des Produktes von v(t) und v(t − τ ): Rv (τ ) = E{v(t)v(t − τ )}, S. 46.
Re
Reynolds-Zahl Re =
Re krit
Kritische Reynolds-Zahl, Umschlagpunkt von laminarer in turbulente Strömung,
S. 18.
Re ∗
Modifizierte Reynolds-Zahl Re ∗ =
S
Empfindlichkeitsfunktion (engl. Sensitivity Function) S(s) =
S
Die Änderung des Stroms als Folge der Änderung der Steuerspannung wird bei
Transistoren als Steilheit bezeichnet. Für den Bipolartransistor gilt damit S =
∂IC und für den Feldeffekttransistor S = ∂ID , S. 99.
vd
,
μ
S. 18.
ωd2
,
μ
S. 109.
∂UBE UCE =const.
1
,
1+L(s)
S. 38.
∂UGS UDS =const.
sf
Fourier-Entwicklung der Funktion f (x), S. 110.
Suv
Für einen skalaren Zufallsprozesses v ist die Kreuzkovarianzfunktion Suv (τ ) definiert als: Suv (τ ) = E{[u(t) − ū][v(t − τ ) − v̄]} = Ruv (τ ) − ūv̄.
Sv
Für einen skalaren Zufallsprozesses v ist die Autokovarianzfunktion Sv (τ ) definiert
als: Sv (τ ) = E{[v(t) − v̄][v(t − τ ) − v̄]} = Rv (τ ) − v̄ 2 .
GLOSSAR
XIX
t
Zeit.
T
Komplementäre Empfindlichkeitsfunktion (engl. Complementary Sensitivity FuncL(s)
, S. 63.
tion) T (s) = 1+L(s)
T
Absolute Temperatur, S. 97.
Ts
Abtastperiode eines zeitkontinuierlichen Signals x(t), S. 42.
u
Spannungsvektor, S. 16.
u
Spannung u = Φ̇, S. 19.
u
Eingangsvektor, S. 22.
uC
Spannung über Kondensator, S. 23.
v
Fluidgeschwindigkeit, Geschwindigkeit, S. 18.
v
Geschwindigkeits-Vektorfeld, S. 18.
W
Die charakteristische Funktion W (u) ist definiert als Fouriertransformierte der Wahrscheinlichkeitsdichte p, S. 101.
wg
Breite des Strömungskanals, S. 21.
x
Zustandsvektor, S. 22.
y
Ausgangsvektor, S. 22.
z
Verschiebung, S. 18.
Mathematische Zeichen und Funktionen
A†
Pseudoinverse
(Moore-Penrose Inverse) der Matrix A ∈ Rm×n :
⎧
⎨(AT A)−1 AT für RangA = n
.
A† =
⎩AT (AAT )−1 für RangA = m
AH
Adjungierte einer komplexen Matrix A, die man aus deren konjugiert komplexen
Matrix A∗ erhält: AH = (A∗ )T .
C
Menge der komplexen Zahlen z = a + jb mit a, b ∈ R.
deg
Die höchste Potenz eines eindimensionalen Polynoms wird als Ordnung bezeichnet.
Demnach hat das Polynom A(s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · + a0 die Ordnung n,
bezeichnet mit deg A(s) = n.
Δ
Laplace-Operator ΔΦ = ∇ · ∇Φ.
XX
GLOSSAR
d
Differential-Operator für Funktionen einer Veränderlichen y = f (x).
E{xn }
Moment n-ter Ordnung der Zufallsveränderlichen x: E{xm } =
F
Für die Beschreibung eines kontinuierlichen Signals f (t) im Frequenzbereich F (jω)
∞
gilt die Fouriertransformation: F {f (t)} = F (jω) = −∞ f (t) e −jωt dt.
F −1
Die Fourier-Rücktransformation eines Signals F (jω) aus dem Frequenzbereich ist
∞
1
definiert als: F −1 {F (jω)} = f (t) = 2π
F (jω) e jωt dω.
−∞
FD
∞
−∞
xm px (x) dx.
∞
Die Fouriertransformation der diskreten Sequenz yd (t) =
k=−∞ yk δ(t − kTs )
führt zur sogenannten zeitdiskreten Fouriertransformation: F {yd (t)} = Yd (jω) =
∞
−jωkTs
.
k=−∞ yk e
.
Das Ergebnis der Floor-Funktion ist die größte Integerzahl, die kleiner oder gleich
dem Parameter x ist und ist definiert mit: x
= max{k ∈ Z | k < x}.
Hp
Der Hardy Raum H definiert die Menge aller analytischen Funktionen in der rechten komplexen Halbebene, wobei deren Hp -Norm endlich ist, S. 125.
I
Einheitsmatrix.
inf
Das Infimum definiert die größte untere Schranke einer Folge.
j
Imaginäre Einheit j =
L
Für die Beschreibung einer Funktion f (t) im Bildbereich F (s) der komplexen Veränderlichen s = δ + jω gilt die Laplacetransformation: L {f (t)} = F (s) =
∞
f (t) e −st dt, S. 32.
0
L −1
Die Laplace-Rücktransformation eines Signals F (s) aus dem Bildbereich ist defi δ+j∞
1
niert als: L −1 {F (s)} = f (t) = 2πj
F (s) e st ds.
δ−j∞
det
Determinante det A der quadratischen Matrix A.
λ
Ein Skalar λi heißt Eigenwert einer quadratischen Matrix A ∈ Cn×n , wenn es einen
dazugehörigen (rechtsseitigen) Eigenvektor vi gibt mit: Avi = λi vi .
a|b
a teilt b oder b ist ein Vielfaches von a: b = qa mit q ∈ Z.
∇
Nabla-Operator ∇ =
.p
1/p
Für die Vektor p-Norm mit x ∈ Cn gilt xp = ( ni=1 |xi |p ) für 1 ≤ p ≤ ∞.
√
−1.
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
T
.
Die induzierte Matrixnorm für Matrix A ∈ Cm×n ist dabei definiert als Ap =
p
supx∈Cn :x=0 Ax
.
xp
GLOSSAR
.2
XXI
Für die Vektor 2-Norm oder auch Euklidische Norm, welche den kürzesten Abstand
n
n
2
zweier Punkte definiert, gilt x2 =
i=1 |xi | für x ∈ C .
Die induzierte 2-Matrixnorm oder Spektralnorm
für Matrix A ∈ Cm×n ist definiert
als der größte Singulärwert von A mit A2 =
λmax (AH A) = σ̄(A), S. 32.
N
Menge der natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . . }.
⊗
n×m
p×q
Als Kronecker-Produkt zweier Matrizen
bezeichnet man
⎡ A ∈ R ⎤ und B ∈ R
die Vorschrift: A ⊗ B = (aij B) = ⎣
a11 B · · · a1n B
.. ⎦
..
..
.
.
.
am1 B · · · amn B
∈ Rnp×nq .
∂
Differential-Operator für Funktionen mehrerer Veränderlichen y = f (x, y, . . .).
plim
Eine Folge von Zufallsvariablen XN konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen eine
Konstante c (plim XN = c), wenn gilt: limN →∞ P(|XN − c| < ε) = 1 für alle
ε > 0, das heißt, je größer N, umso wahrscheinlicher wird es, dass XN in einer εUmgebung um den Wahrscheinlichkeitsgrenzwert c liegt, S. 53.
Q
Quantisierungsoperator, S. 100.
ric
Lösung P = ric(H) der Matrix-Riccati-Gleichung AT P + PA − PSP + Q = 0,
S
wobei H = A
Q −AT , die Hamilton-Matrix bezeichnet.
R
Menge der reellen Zahlen.
s
Laplace-Operator s = jω.
sup
Das Supremum definiert die kleinste obere Schranke einer Folge, S. 124.
tr
Die Spur tr(A) einer quadratischen Matrix A ∈ Rn×n definiert die Summe der
Diagonalelemente: tr(A) = ni=1 aii .
vec
Spaltenvektoroperator, der alle Spalten a ∈ Rm einer Matrix A ∈ Rm×n sequentiell
T
in einen Vektor schreibt vec(A) = aT
∈ Rmn , S. 51.
. . . aT
1
n
vec
Reduzierter Spaltenvektoroperator einer symmetrischen Matrix, S. 132.
X2
Durch 2 teilbare Zahlen X2 = {x | x ∈ X ∧ x | 2}.
X+
Positive Zahlenmenge X+ = {x | x ∈ X ∧ x > 0}.
X∗
Zahlenmenge ohne Null X∗ = X \ {0}, S. 34.
X−
Negative Zahlenmenge X− = {x | x ∈ X ∧ x < 0}.
X2̄
Keine durch 2 teilbare Zahlen X2̄ = X \ X2 , S. 110.
XXII
GLOSSAR
z
Die Z -Transformation folgt mit der Substitution z = e sTs aus der Laplace-Trans
formierten F ∗ (s) der Impulsfolgefunktion: F ∗ (s) = L { ∞
k=0 f (kTs )δ(t − kTs )} =
∞
−ksTs
f
(kT
)
e
,
S.
42.
s
k=0
Z
Menge der ganzen Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }.