Abbildung 1: Kupferplatte mit thermischen und elektrischen

Praktikum 4
zur Vorlesung „Multi-Physik-Simulationen“
Prof. Dr. Christian Schröder
Multi-Physik-Simulation I – Thermo-Elektrische Kopplung – Joulesche Erwärmung eines
Kupferblechs
Jedes elektrisch leitfähige Material erwärmt sich aufgrund des Ohmschen Widerstands, sobald ein
Strom hindurch fließt. Dies nennt man Joulesche Erwärmung. In den vorangegangenen
Praktikumsaufgaben lagen jeweils Systeme vor, die durch eine einzige Differentialgleichung,
nämlich die Wärmeleitungsgleichung, beschrieben werden können.
Für die Simulation der Jouleschen Erwärmung ist es allerdings nötig, den Effekt der Wärmeleitung
mit dem Effekt der elektrischen Leitfähigkeit zu koppeln. Hierfür gibt es in COMSOL bereits einen
vordefinierten Modus „Joule Heating“.
Untersuchen Sie diese Kopplung mit Hilfe von COMSOL anhand einer 1 Meter x 1 Meter dünnen
(wie dünn?) Kupferplatte, an die eine Spannung von 0,1 V angelegt wird. Die Platte wird von einem
Luftstrom gekühlt, so dass die Temperatur am Rand 300 K beträgt (siehe Abb. 1).
Abbildung 1: Kupferplatte mit thermischen und elektrischen Randbedingungen
Aufgabe 1:
Führen Sie mit Hilfe von COMSOL eine stationäre, zweidimensionale Simulation des oben
beschriebenen Problems durch. Nutzen Sie dafür den in COMSOL vordefinierten Modus Joule
Heating.
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Erzeugen Sie ein neues Projekt.
Wählen Sie die Optionen 2D, Heat Transfer → Joule Heating (jh), Stationary.
Zeichnen Sie die Geometrie: Square, Side length = 1m.
Wählen Sie das Material Kupfer (Copper) aus der Materialbibliothek und weisen Sie es
dem Gebiet der Kupferplatte zu.
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Übertragen Sie die folgende Zeile in die Tabelle unter Parameters.
V0
0.1[V]
0.1[V]
Elektrisches Potential
Übertragen Sie die Randbedingungen aus Abb. 1 und der Aufgabenbeschreibung in
COMSOL.
• Für die elektrischen Randbedingungen müssen Sie zwei Knoten Electric Potential
im Model Builder erzeugen. Sie finden diesen Bedingungstyp unter Electric
Currents → Electric Potential.
• Tragen Sie unter Voltage für V0 den jeweiligen Wert aus der Abbildung ein.
• Für die thermischen Randbedingungen müssen Sie einen Knoten Temperature
(Heat Transfer → Temperature) erzeugen und für T0 den in Abb. 1 gezeigten Wert
eintragen.
• Passen Sie die Gebietsbedingung Joule Heating Model 1 an. Der entsprechende
Knoten sollte bereits automatisch von COMSOL erzeugt worden sein. Wählen Sie
unter Conduction Current für Electric Conductivity Linearized resistivity aus.
Sonst müssen Sie nichts verändern.
• Vernetzen Sie die Geometrie sinnvoll und führen Sie die Berechnung durch.
• Stellen Sie als Ergebnis den Temperaturverlauf über der Platte in x-Richtung
grafisch dar.
Aufgabe 2:
Mit COMSOL ist es nicht nur möglich vordefinierte Kopplungen zu nutzen. Sie können auch selbst
Kopplungen erzeugen. Führen Sie die gleiche Simulation nochmals in einem neuen COMSOLProjekt durch und greifen Sie dabei nicht auf den vordefinierten Modus Joule Heating zurück! Auf
diese Weise bekommen Sie einen ersten Eindruck von den Möglichkeiten, die COMSOL im
Hinblick auf Multi-Physik-Kopplungen bietet.
Bei diesem Beispiel handelt es sich um eine sogenannte Multi-Feld-Kopplung (in einem
gemeinsamen Gebiet). Die Formulierung als System partieller Differentialgleichungen lautet in
diesem (vereinfachten) Fall:
−∇ k ∇ T −Q V =0
∇ T  ∇ V =0
Die Kopplung erfolgt über die Gleichungen
QV = T ∣∇ V∣2 Joulesche Erwärmung
und
T =
0
Leitfähigkeit.
1T −T 0
Die letzte Gleichung beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit wie sie für Metalle bei
nicht zu niedrigen Temperaturen zu beobachten ist. Hierbei ist der Referenzwiderstand
0 =1.72e-8 m an der Referenztemperatur T 0=298 K . Der Temperaturkoeffizient ist für
Kupfer
=0.0039
1
.
K
Statt die vordefinierte Kopplung aus der ersten Aufgabe zu benutzen, sollen Sie die Kopplung nun
selbst implementieren. Dazu müssen Sie zwei Ausdrücke Q_selfmade und sigma_selfmade in
Ihr Modell einpflegen. Formeln für beide Ausdrücke sind oben gegeben. Sie müssen die Ausdrücke
für Q(V) (das ist Ihr Q_selfmade) und T  (das ist Ihr sigma_selfmade) jetzt so
formulieren, dass nur Variablen benutzt werden, die COMSOL auch bekannt sind!
Sie können dazu selbstdefinierte Größen (Parameters) und die abhängigen Variablen Ihrer
Physikmodi (das sind hier die Temperatur T und das elektrische Potential V) benutzen.
Überlegen Sie sich, wie die Ausdrücke für Q_selfmade und sigma_selfmade in COMSOL
aussehen müssen!
Hinweis: Sie benötigen dafür die Komponenten des elektrischen Potentials. Die beiden benötigten
Komponenten sind einfach über Vx und Vy zu verwenden.
Vorgehensweise in COMSOL:
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Starten Sie ein neues Projekt in COMSOL.
Wählen Sie die Option 2D.
Fügen Sie zwei Physikmodi zum Modell hinzu.
• Heat Transfer
• Electric Currents
Wählen Sie die Option Stationary.
Zeichnen Sie die Geometrie (Square mit Seitenlänge 1m).
Legen Sie die folgenden Konstanten unter Global Definitions → Parameters an.
• v0: 0.1[V]
• sigma0: 5.814e7[S/m] (Das ist der Kehrwert von der gegebenen Größe 0 )
• T0: 298[K]
• beta: 0.0039[1/K]
Fügen Sie das Material Kupfer (Copper) zum Modell hinzu.
Geben Sie die selbstdefinierten Größen Q_selfmade und sigma_selfmade unter Model
1 → Definitions → Variables 1 ein. Diesen Knoten müssen Sie selbst erzeugen. Denken
Sie daran, dass Sie COMSOL bekannte Größen verwenden müssen (s.o.).
Nachdem Sie die Kopplungsgrößen definiert haben, können Sie sie nun in den einzelnen
Physikmodi verwenden. Legen Sie dazu zunächst einen Knoten Heat Source 1 unter Heat
Transfer (ht) an.
Tragen Sie unter General Heat Source für Q die zuvor definierte Größe Q_selfmade ein.
In einer Richtung haben Sie somit die Kopplung zwischen den beiden Modi definiert.
COMSOL bestimmt die Größe Q des Modus Heat Transfer nun in Abhängigkeit der Größe
 des Modus Electric Currents.
Es gibt allerdings auch eine Kopplung in die andere Richtung. Dadurch, dass  unter
Electric Currents temperaturabhängig ist, hängt diese Größe wiederum vom Modus Heat
Transfer ab, da dort die Temperatur berechnet wird.
Tragen Sie unter Electric Currents → Current Conservation 1 für  die selbst
definierte Größe sigma_selfmade ein. Die Kopplung zwischen den beiden Modi ist somit
vervollständigt!
Ergänzen Sie nun noch die Randbedingungen aus Aufgabenteil 1!
Vernetzen Sie das Modell und berechnen Sie die Lösung.
Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen aus Aufgabenteil 1.