Darstellung von Zeichen und Zahlen

Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Darstellung von Zeichen und Zahlen
[Technische Informatik — Eine Einführung]
Univ.-Prof. Dr. Paul Molitor
Lehrstuhl für Technische Informatik
Institut für Informatik
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
1. November 2005
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Der Begriff der Information
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Der Begriff der Information
Der Begriff der Information wird sowohl umgangssprachlich als auch in verschiedenen
Wissenschaften unterschiedlich benutzt!
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Der Begriff der Information
Der Begriff der Information wird sowohl umgangssprachlich als auch in verschiedenen
Wissenschaften unterschiedlich benutzt!
Example (Informationstheorie: Informationsgehalt, Eigeninformation)
Information = Maß für die Beseitigung von Unbestimmtheit
[...später mehr dazu, siehe Datenkompression]
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Der Begriff der Information
Der Begriff der Information wird sowohl umgangssprachlich als auch in verschiedenen
Wissenschaften unterschiedlich benutzt!
Example (Informationstheorie: Informationsgehalt, Eigeninformation)
Information = Maß für die Beseitigung von Unbestimmtheit
[...später mehr dazu, siehe Datenkompression]
Example (Informatik: Daten)
Information = Daten
... daher auch der Begriff ”Informationsverarbeitung”
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Daten
Die Daten, die in einem Rechner verarbeitet werden, sind vielfältig:
Zeichen, z. B. über Tastatur eingegebenes Zeichen
Text, z. B. Brief an das Finanzamt
Zahlen
Bilder und Videos
Audio-Daten
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Daten
Die Daten, die in einem Rechner verarbeitet werden, sind vielfältig:
Zeichen, z. B. über Tastatur eingegebenes Zeichen
Text, z. B. Brief an das Finanzamt
Zahlen
Bilder und Videos
Audio-Daten
Speicherung von Daten in digitalen ”binären” Rechner
Auch wenn ein Algorithmus prinzipiell mit solchen Objekten operiert, letztendlich
müssen sie (bei den heutigen digitalen Rechnern) als Folgen von Bits repräsentiert
werden.
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Daten
Die Daten, die in einem Rechner verarbeitet werden, sind vielfältig:
Zeichen, z. B. über Tastatur eingegebenes Zeichen
Text, z. B. Brief an das Finanzamt
Zahlen
Bilder und Videos
Audio-Daten
Speicherung von Daten in digitalen ”binären” Rechner
Auch wenn ein Algorithmus prinzipiell mit solchen Objekten operiert, letztendlich
müssen sie (bei den heutigen digitalen Rechnern) als Folgen von Bits repräsentiert
werden.
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Bit, Byte, Wort, Doppelwort, ...
Definition (Bit und Byte)
Ein Bit ist eine Elementarinformation in Form einer einzelnen Ziffer,
die entweder den Wert 0 oder den Wert 1 annehmen kann.
Ob an einem Punkt der Wert 1 oder 0 anliegt, wird über das Potenzial an diesem
Punkt definiert. Bei nichtinvertierender Logik z. B. liegt an einem Punkt der Wert 1
dann an, wenn sein Potenzial größer als die Schwellenspannung eines Transistors ist.
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Question Time
Bit, Byte, Wort, Doppelwort, ...
Definition (Bit und Byte)
Ein Bit ist eine Elementarinformation in Form einer einzelnen Ziffer,
die entweder den Wert 0 oder den Wert 1 annehmen kann.
Eine Folge von acht Bits wird als Byte bezeichnet.
Bei einem 2k -Bit Rechner besteht ein Wort aus 2k Bits,
ein Doppelwort aus 2 · 2k Bit.
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Question Time
Bit, Byte, Wort, Doppelwort, ...
Definition (Bit und Byte)
Ein Bit ist eine Elementarinformation in Form einer einzelnen Ziffer,
die entweder den Wert 0 oder den Wert 1 annehmen kann.
Eine Folge von acht Bits wird als Byte bezeichnet.
Durch ein Byte können 28 = 256 verschiedene Werte/Zeichen dargestellt werden
Bei einem 2k -Bit Rechner besteht ein Wort aus 2k Bits,
ein Doppelwort aus 2 · 2k Bit.
Für k = 32 bzw. k = 64 können mit einem Wort 4.294.967.296 bzw.
18.446.744.073.709.551.616 verschiedene Informationen dargestellt werden.
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Codes
Welches Byte welches Zeichen darstellt, ist eine Frage der Kodierung!
Definition (Code)
Gegeben sei ein endliches Alphabet A, also eine endliche Menge von Symbolen.
Weiterhin sei B∗ die Menge aller beliebig langen endlichen Bitfolgen.
1
Ein Code ist eine injektive Abbildung c : A → B∗ .
2
Ein Code c heißt auch Code fester Länge oder genauer Code der Länge n,
wenn c : A → B, B ⊆ Bn für beliebiges n ∈ N gilt,
3
Die Menge aller Codewörter eines Codes c ist durch
c(A) := { w ∈ B∗ ; ∃ a ∈ A : c(a) = w } gegeben.
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Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Codes
Welches Byte welches Zeichen darstellt, ist eine Frage der Kodierung!
Definition (Code)
Gegeben sei ein endliches Alphabet A, also eine endliche Menge von Symbolen.
Weiterhin sei B∗ die Menge aller beliebig langen endlichen Bitfolgen.
1
Ein Code ist eine injektive Abbildung c : A → B∗ .
2
Ein Code c heißt auch Code fester Länge oder genauer Code der Länge n,
wenn c : A → B, B ⊆ Bn für beliebiges n ∈ N gilt,
3
Die Menge aller Codewörter eines Codes c ist durch
c(A) := { w ∈ B∗ ; ∃ a ∈ A : c(a) = w } gegeben.
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Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Codes
Example
Gegeben sei das Alphabet A1 := {rot, grün, blau}. Dann ist die Abbildung
c1 : A1 → B24 ,
c1 := { (rot
(grün
(blau
7→
7→
7→
1111 1111 0000 0000 0000 0000),
0000 0000 1111 1111 0000 0000),
0000 0000 0000 0000 1111 1111) }
ein Code der Länge 24.
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Codes
Example
Gegeben sei das Alphabet A1 := {rot, grün, blau}. Dann ist die Abbildung
c1 : A1 → B24 ,
c1 := { (rot
(grün
(blau
7→
7→
7→
1111 1111 0000 0000 0000 0000),
0000 0000 1111 1111 0000 0000),
0000 0000 0000 0000 1111 1111) }
ein Code der Länge 24.
Example
Gegeben sei das Alphabet A2 := {lila, violett, gelb}. Dann ist die Abbildung
c2 : A2 → B24 ,
c2 := { (lila
(violett
(gelb
7→
7→
7→
1111 1111 0000 0000 1111 1111),
1111 1111 0000 0000 1111 1111),
1111 1111 1111 1111 0000 0000) }
kein Code.
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Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
ASCII (American Standard Code for Information Interchange)
Tabelle: Code-Tabelle für den ASCII-Code
c6
c5
c4
c3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
c2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
c1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
c0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
NUL
SOH
SFX
ETX
EOT
ENQ
ACK
BEL
BS
HT
LF
VT
FF
CR
SO
SI
DLE
DC1
DC2
DC3
DC4
NAK
SYN
ETB
CAN
EM
SUB
ESC
FS
QS
RS
US
!
”
#
$
%
&
’
(
)
*
+
,
.
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
:
;
¡
=
¿
?
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
|
{z
}
Steuerzeichen
|
1
0
1
1
1
0
1
1
1
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
[
\
]
ˆ
‘
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
{
—
}
*
DEL
{z
}
Schriftzeichen
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Kodierung und Dekodierung von Zeichen
Kodierung bzw. Verschlüsselung
Vorgang des ”Übersetzens” eines Zeichens in sein Codewort.
Dekodierung bzw. Entschlüsselung
Vorgang des ”Rückübersetzens” eines Codeswortes in das dazugehörige Zeichen.
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Gegeben sei ein endliches Alphabet A der Größe m.
Wie hat man A zu kodieren?
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Gegeben sei ein endliches Alphabet A der Größe m.
Wie hat man A zu kodieren?
Bei Codes fester Länge n:
Wie groß muss n sein?
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Darstellung von Zahlen
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Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Gegeben sei ein endliches Alphabet A der Größe m.
Wie hat man A zu kodieren?
Bei Codes fester Länge n:
Wie groß muss n sein?
Es muss n ≥ dlog2 me gelten!
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Gegeben sei ein endliches Alphabet A der Größe m.
Wie hat man A zu kodieren?
Bei Codes fester Länge n:
Wie groß muss n sein?
Es muss n ≥ dlog2 me gelten!
... ist eine Folgerung aus
Definition (Tiefe eines gerichteten Baumes)
Die Tiefe eines gerichteten Baumes T ist gegeben durch die Länge des längsten
Pfades von der Wurzel von T zu einem seiner Blätter.
Lemma
Ein binärer Baum der Tiefe k besitzt höchstens 2k Blätter.
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Wie hat man A zu kodieren?
Welche zusätzlichen Ziele werden mit der Kodierung verfolgt?
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Wie hat man A zu kodieren?
Welche zusätzlichen Ziele werden mit der Kodierung verfolgt?
Mögliche Ziele
keine weiteren Ziele
Fehlererkennung
Fehlerkorrektur
Minimierung der mittleren Codewortlänge
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Darstellung von Zahlen
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Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Wie hat man A zu kodieren?
Welche zusätzlichen Ziele werden mit der Kodierung verfolgt?
Mögliche Ziele
keine weiteren Ziele
Fehlererkennung
Es muss n ≥ dlog2 me + r für ein r ≥ 1 gelten!
[für Weiteres siehe später...]
Fehlerkorrektur
Minimierung der mittleren Codewortlänge
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Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Wie hat man A zu kodieren?
Welche zusätzlichen Ziele werden mit der Kodierung verfolgt?
Mögliche Ziele
keine weiteren Ziele
Fehlererkennung
Es muss n ≥ dlog2 me + r für ein r ≥ 1 gelten!
[für Weiteres siehe später...]
Fehlerkorrektur
Es muss n ≥ dlog2 me + r für ein r ≥ dlog2 log2 me gelten!
[für Weiteres siehe später...]
Minimierung der mittleren Codewortlänge
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Codes: Definition und Beispiele
Codes: Eigenschaften und Ziele
Welcher Code für welchen Zweck?
Wie hat man A zu kodieren?
Welche zusätzlichen Ziele werden mit der Kodierung verfolgt?
Mögliche Ziele
keine weiteren Ziele
Fehlererkennung
Es muss n ≥ dlog2 me + r für ein r ≥ 1 gelten!
[für Weiteres siehe später...]
Fehlerkorrektur
Es muss n ≥ dlog2 me + r für ein r ≥ dlog2 log2 me gelten!
[für Weiteres siehe später...]
Minimierung der mittleren Codewortlänge
Der Code muss ein Code variabler Länge sein!
[für Weiteres siehe später...]
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zahlendarstellungen
Es gibt mehrere Möglichkeiten, Zahlen im Rechner darzustellen:
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Die verschiedenen Darstellungen besitzen unterschiedliche Eigenschaften!
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zahlendarstellungen
Es gibt mehrere Möglichkeiten, Zahlen im Rechner darzustellen:
Festkommadarstellungen
Darstellung durch Betrag und Vorzeichen
(engl.: sign and magnitude representation)
Einer-Komplement-Darstellung
(engl.: one’s complement representation)
Zweier-Komplement-Darstellung
(engl.: two’s complement representation)
Gleitkommadarstellungen
Die verschiedenen Darstellungen besitzen unterschiedliche Eigenschaften!
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zahlendarstellungen
Es gibt mehrere Möglichkeiten, Zahlen im Rechner darzustellen:
Festkommadarstellungen
Darstellung durch Betrag und Vorzeichen
(engl.: sign and magnitude representation)
Einer-Komplement-Darstellung
(engl.: one’s complement representation)
Zweier-Komplement-Darstellung
(engl.: two’s complement representation)
Gleitkommadarstellungen
Gleitkommadarstellung nach dem IEEE 754 Format
Die verschiedenen Darstellungen besitzen unterschiedliche Eigenschaften!
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Darstellung von Zahlen
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Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Stellenwertsysteme
Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z , δ) mit:
1
b ≥ 2 ist eine natürliche Zahl, die Basis des Stellenwertsystems.
2
Z ist eine b-elementige Menge von Symbolen,
die auch als Ziffern bezeichnet werden.
3
δ : Z → {0, 1, . . . , b − 1} ist eine Abbildung,
die jeder Ziffer eine natürliche Zahl zwischen 0 und b − 1 zuordnet.
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Stellenwertsysteme
Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z , δ) mit:
1
b ≥ 2 ist eine natürliche Zahl, die Basis des Stellenwertsystems.
2
Z ist eine b-elementige Menge von Symbolen,
die auch als Ziffern bezeichnet werden.
3
δ : Z → {0, 1, . . . , b − 1} ist eine Abbildung,
die jeder Ziffer eine natürliche Zahl zwischen 0 und b − 1 zuordnet.
Example
b
b
b
b
Basis b
=
2
=
8
= 10
= 16
Zahlensystem
Binärsystem
Oktalsystem
Dezimalsystem
Hexadezimalsystem
Ziffernmenge Z
0, 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C,D,E,F
Reihenfolge der Ziffern gemäß wie sie auf die jeweiligen Zahlen abgebildet werden.
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Festkommadarstellung ohne Vorzeichen
Definition (Nichtnegative Festkommazahl)
Gegeben sei ein Zahlensystem S := (b, Z , δ) sowie n, k ∈ N . Eine nichtnegative
Festkommazahl d mit n Vor- und k Nachkommastellen ist eine Folge von Ziffern aus
Z , deren Länge n + k beträgt. Der Wert hdi von
d := dn dn−1 . . . d1 d0 d−1 . . . d−k
{z
|
Vorkommastellen
} |
{z
}
Nachkommastellen
mit di ∈ Z (−k ≤ i ≤ n) beträgt
hdi :=
n
X
δ(di ) · b i .
i=−k
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Festkommadarstellung ohne Vorzeichen
Definition (Nichtnegative Festkommazahl)
Gegeben sei ein Zahlensystem S := (b, Z , δ) sowie n, k ∈ N . Eine nichtnegative
Festkommazahl d mit n Vor- und k Nachkommastellen ist eine Folge von Ziffern aus
Z , deren Länge n + k beträgt. Der Wert hdi von
d := dn dn−1 . . . d1 d0 d−1 . . . d−k
{z
|
Vorkommastellen
} |
{z
}
Nachkommastellen
mit di ∈ Z (−k ≤ i ≤ n) beträgt
hdi :=
n
X
δ(di ) · b i .
i=−k
Ist die Basis des benutzten Stellenwertsystems nicht unmittelbar aus dem Kontext
ersichtlich, versieht man die Ziffernfolge mit der Basis als Index.
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Example
Wir betrachten die Festkommazahl 0110, die je nach Basis b des Stellenwertsystems,
bezüglich dessen sie interpretiert wird, unterschiedliche Werte darstellt. Dabei sind in
diesem Beispiel sämtliche Ziffern der Zahl Vorkommastellen, es gilt also n = 3 und
k = 0.
Basis
Festkommazahl
Dezimalwert
2
01102
610
8
01108
7210
10
011010
11010
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zahlen sind zum Rechnen da!
Wie kann man in den verschiedenen Stellenwertsystemen rechnen?
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zahlen sind zum Rechnen da!
Wie kann man in den verschiedenen Stellenwertsystemen rechnen?
Mögliche Realisierungen arithmetischer Operationen:
[später mehr...]
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Darstellung durch Betrag und Vorzeichen
Definition (Darstellung durch Betrag und Vorzeichen)
Gegeben sei eine Festkommazahl
d := dn dn−1 . . . d0 d−1 . . . d−k
mit n + 1 Vor- und k Nachkommastellen (k, n ≥ 0).
Interpretiert man d als Darstellung durch Betrag und Vorzeichen, so wird dies durch
die Bezeichnung [d]BV gekennzeichnet. Die Bitstelle dn repräsentiert das Vorzeichen,
und durch die Stellen dn−1 . . . d0 d−1 . . . d−k wird der Betrag von d dargestellt. Der
Dezimalwert [d]BV ergibt sich somit zu
X
n−1
[dn dn−1 . . . d0 d−1 . . . d−k ]BV := (−1)dn ·
di · 2i .
i=−k
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Darstellung durch Betrag und Vorzeichen
Example (n = 2 und k = 0)
d
[d]BV
000
0
001
1
010
2
011
3
100
0
101
−1
110
−2
111
−3
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Darstellung durch Betrag und Vorzeichen
Eigenschaften der Darstellung durch Betrag und Vorzeichen
1
Symmetrischer Zahlenbereich: [−(2n − 2−k ), 2n − 2−k ]
2
Keine kanonische Darstellung der Zahlen aus dem Zahlenbereich!
3
Addition und Subtraktion sind recht kompliziert in dieser Darstellung!
[als Übung...]
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Definition
Gegeben sei eine Festkommazahl
d := dn dn−1 . . . d0 d−1 . . . d−k
mit n + 1 Vor- und k Nachkommastellen (k, n > 0).
Interpretiert man d als Darstellung im Einer-Komplement, so wird dies durch die
Bezeichnung [d]1 gekennzeichnet. Die Bitstelle dn repräsentiert wieder das Vorzeichen.
Der Dezimalwert [d]1 ergibt sich zu
0
n−1
X
[dn dn−1 . . . d0 d−1 . . . d−k ]1 := @
1
di · 2 A − dn · 2n − 2−k .
i
i=−k
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
41 / 178
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Lemma (Negation von Bitfolgen im Einer-Komplement)
Seien d und d 0 Bitfolgen. Zudem gehe d 0 durch Komplementieren aller Bits aus d
hervor. Dann gilt:
[d 0 ]1 = −[d]1
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]1 + [d]1 =
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]1 + [d]1 =
=
0
n−1
X
@
0
1
n−1
X
n
−k
A
+@
di · 2 − dn · 2 − 2
i=−k
i=−k
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n − 2−k
i
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]1 + [d]1 =
=
0
n−1
X
@
0
1
n−1
X
n
−k
A
+@
di · 2 − dn · 2 − 2
i=−k
i=−k
=
0
1
n−1
X
0
iA
@
(di + di ) · 2 − (dn + dn0 ) · 2n − 2−k
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n − 2−k
i
i=−k
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]1 + [d]1 =
=
0
n−1
X
@
0
1
n−1
X
n
−k
A
+@
di · 2 − dn · 2 − 2
i=−k
i=−k
=
0
1
n−1
X
0
iA
@
(di + di ) · 2 − (dn + dn0 ) · 2n − 2−k
=
0
1
n−1
X
i
@
(di + (1 − di )) · 2 A − (dn + (1 − dn )) · 2n − 2−k
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n − 2−k
i
i=−k
i=−k
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]1 + [d]1 =
=
0
n−1
X
@
0
1
n−1
X
n
−k
A
+@
di · 2 − dn · 2 − 2
i=−k
i=−k
=
0
1
n−1
X
0
iA
@
(di + di ) · 2 − (dn + dn0 ) · 2n − 2−k
=
0
1
n−1
X
i
@
(di + (1 − di )) · 2 A − (dn + (1 − dn )) · 2n − 2−k
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n − 2−k
i
i=−k
i=−k
X
n−1
=
2i − (2n − 2−k )
i=−k
47 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]1 + [d]1 =
=
0
n−1
X
@
0
1
n−1
X
n
−k
A
+@
di · 2 − dn · 2 − 2
i=−k
i=−k
=
0
1
n−1
X
0
iA
@
(di + di ) · 2 − (dn + dn0 ) · 2n − 2−k
=
0
1
n−1
X
i
@
(di + (1 − di )) · 2 A − (dn + (1 − dn )) · 2n − 2−k
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n − 2−k
i
i=−k
i=−k
X
n−1
=
2i − (2n − 2−k )
i=−k
=
(2n − 2−k ) − (2n − 2−k )
=
0
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Einer-Komplement-Darstellung
Eigenschaften der Einer-Komplement-Darstellung
1
Symmetrischer Zahlenbereich: [−(2n − 2−k ), 2n − 2−k ]
2
Keine kanonische Darstellung der Zahlen aus dem Zahlenbereich!
3
Addition und Subtraktion sind effizient realisierbar.
[wird später explizit nachgewiesen...]
49 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Definition
Gegeben sei eine Festkommazahl
d := dn dn−1 . . . d0 d−1 . . . d−k
mit n + 1 Vor- und k Nachkommastellen (k, n > 0).
Interpretiert man d als Darstellung im Zweier-Komplement, so wird dies durch die
Bezeichnung [d]2 gekennzeichnet. Die Bitstelle dn repräsentiert wieder das Vorzeichen.
Der Dezimalwert [d]2 ergibt sich zu
0
n−1
X
[dn dn−1 . . . d0 d−1 . . . d−k ]2 := @
1
di · 2 A − dn · 2n .
i
i=−k
50 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
51 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Lemma (Negation von Bitfolgen im Einer-Komplement)
Seien d und d 0 Bitfolgen. Zudem gehe d 0 durch Komplementieren aller Bits aus d
hervor. Dann gilt:
[d 0 ]2 + 2−k = −[d]2
52 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]2 + [d]2 =
53 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]2 + [d]2 =
=
0
n−1
X
@
1
0
n−1
X
n
di · 2 A − dn · 2 + @
i=−k
i=−k
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n
i
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]2 + [d]2 =
=
0
n−1
X
@
1
0
n−1
X
n
di · 2 A − dn · 2 + @
i=−k
i=−k
=
0
1
n−1
X
0
i
@
(di + di ) · 2 A − (dn + dn0 ) · 2n
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n
i
i=−k
55 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]2 + [d]2 =
=
0
n−1
X
@
1
0
n−1
X
n
di · 2 A − dn · 2 + @
i=−k
i=−k
=
0
1
n−1
X
0
i
@
(di + di ) · 2 A − (dn + dn0 ) · 2n
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n
i
i=−k
X
n−1
=
2i − 2n
i=−k
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]2 + [d]2 =
=
0
n−1
X
@
1
0
n−1
X
n
di · 2 A − dn · 2 + @
i=−k
i=−k
=
0
1
n−1
X
0
i
@
(di + di ) · 2 A − (dn + dn0 ) · 2n
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n
i
i=−k
X
n−1
=
2i − 2n
i=−k
=
(2n − 2−k ) − 2n
=
−2−k
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Beweis:
[d 0 ]2 + [d]2 =
=
0
n−1
X
@
1
0
n−1
X
n
di · 2 A − dn · 2 + @
i=−k
i=−k
=
0
1
n−1
X
0
i
@
(di + di ) · 2 A − (dn + dn0 ) · 2n
i
di0
1
· 2 A − dn0 · 2n
i
i=−k
X
n−1
=
2i − 2n
i=−k
=
(2n − 2−k ) − 2n
=
−2−k
=⇒ [d 0 ]2 + 2−k = −[d]2
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zweier-Komplement-Darstellung
Eigenschaften der Zweier-Komplement-Darstellung
1
Asymmetrischer Zahlenbereich: [−2n , 2n − 2−k ]
2
Kanonische Darstellung der Zahlen aus dem Zahlenbereich!
3
Addition und Subtraktion sind effizient realisierbar.
59 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen!
60 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen!
0
0
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Ü
S
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen!
0
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Ü
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen!
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Ü
S
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
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Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen!
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Ü
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen!
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Ü
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
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Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen!
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen!
Ü
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In der Tat, es gilt 7+6=13.
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
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Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
Ü
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In der Tat, es gilt 7+(-6)=1.
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement
auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind !
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1
In der Tat, es gilt 7+(-6)=1.
Ist das immer so oder nur in diesem Beispiel?
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Definition (Formale Summe)
Die formale Summe der Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) ist gegeben durch den Bitvektor
s = (sn , sn−1 , . . . , s0 , s−1 , . . . , b−k ), der durch
si = (ai + bi + ci−1 ) mod 2
mit
ci
8
<
=
:
0
falls i = −(k + 1)
(ai + bi + ci−1 ) div 2
falls i ≥ −k.
definiert ist.
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Addition im Zweier-Komplement)
Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Addition im Zweier-Komplement)
Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Addition im Zweier-Komplement)
Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an = bn = 0
Zeige (beispielsweise durch Induktion)
[a]2 + [b]2 = [0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Addition im Zweier-Komplement)
Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an = bn = 0
Zeige (beispielsweise durch Induktion)
[a]2 + [b]2 = [0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n
Dann gilt
[a]2 + [b]2 = [s]2 ⇐⇒ cn−1 = 0
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Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
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Theorem (Addition im Zweier-Komplement)
Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an = bn = 0
Zeige (beispielsweise durch Induktion)
[a]2 + [b]2 = [0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n
Dann gilt
[a]2 + [b]2 = [s]2 ⇐⇒ cn−1 = 0 ⇐⇒ 0 ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
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Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an = bn = 1
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Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an = bn = 1
Aus dem ersten Fall und der Definition des Zweier-Kompplements folgt
[a]2 + [b]2
=
[0, an−1 , . . . , a−k ]2 + [0, bn−1 , . . . , b−k ]2 − 2n+1
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n − 2n+1
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Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an = bn = 1
Aus dem ersten Fall und der Definition des Zweier-Kompplements folgt
[a]2 + [b]2
=
[0, an−1 , . . . , a−k ]2 + [0, bn−1 , . . . , b−k ]2 − 2n+1
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n − 2n+1
Dann gilt wegen sn = cn−1 und 2n − 2n+1 = −2n
[a]2 + [b]2 = [s]2 ⇐⇒ cn−1 = 1
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Theorem (Addition im Zweier-Komplement)
Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an = bn = 1
Aus dem ersten Fall und der Definition des Zweier-Kompplements folgt
[a]2 + [b]2
=
[0, an−1 , . . . , a−k ]2 + [0, bn−1 , . . . , b−k ]2 − 2n+1
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n − 2n+1
Dann gilt wegen sn = cn−1 und 2n − 2n+1 = −2n
[a]2 + [b]2 = [s]2 ⇐⇒ cn−1 = 1 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 < 0
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Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an + bn = 1
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Theorem (Addition im Zweier-Komplement)
Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an + bn = 1
Aus dem ersten Fall und der Definition des Zweier-Kompplements folgt
[a]2 + [b]2
=
[0, an−1 , . . . , a−k ]2 + [0, bn−1 , . . . , b−k ]2 − 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n − 2n
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Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an + bn = 1
Aus dem ersten Fall und der Definition des Zweier-Kompplements folgt
[a]2 + [b]2
=
[0, an−1 , . . . , a−k ]2 + [0, bn−1 , . . . , b−k ]2 − 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n − 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 − (1 − cn−1 ) · 2n
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b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an + bn = 1
Aus dem ersten Fall und der Definition des Zweier-Kompplements folgt
[a]2 + [b]2
=
[0, an−1 , . . . , a−k ]2 + [0, bn−1 , . . . , b−k ]2 − 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n − 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 − (1 − cn−1 ) · 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 − sn · 2n
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Theorem (Addition im Zweier-Komplement)
Für alle Bitvektoren a = (an , an−1 . . . , a0 , a−1 , . . . , a−k ) und
b = (bn , bn−1 , . . . , b0 , b−1 , . . . , b−k ) gilt:
[a]2 + [b2 ] = [s]2 ⇐⇒ −2n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2n − 2−k
Beweisidee
Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden.
Fall an + bn = 1
Aus dem ersten Fall und der Definition des Zweier-Kompplements folgt
[a]2 + [b]2
=
[0, an−1 , . . . , a−k ]2 + [0, bn−1 , . . . , b−k ]2 − 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 + cn−1 · 2n − 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 − (1 − cn−1 ) · 2n
=
[0, sn−1 , . . . , s−k ]2 − sn · 2n
=
[s]2
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Darstellung von Zahlen
Question Time
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Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Multiplikation erfolgt bei positiven Zahlen wie in der Schulmethode!
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Question Time
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Die binäre Multiplikation erfolgt bei positiven Zahlen wie in der Schulmethode!
x
y
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
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Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Multiplikation erfolgt bei positiven Zahlen wie in der Schulmethode!
x
y
0
0
0
1
1
1
1
1
x · y0
0
0
1
1
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Question Time
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Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Multiplikation erfolgt bei positiven Zahlen wie in der Schulmethode!
x
y
0
0
0
1
1
1
1
1
x · y0
0
0
1
1
shift
x · y1
add
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
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Die binäre Multiplikation erfolgt bei positiven Zahlen wie in der Schulmethode!
x
y
0
0
0
1
1
1
1
1
x · y0
0
0
1
1
shift
x · y1
add
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
shift
x · y2
add
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
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Die binäre Multiplikation erfolgt bei positiven Zahlen wie in der Schulmethode!
x
y
0
0
0
1
1
1
1
1
x · y0
0
0
1
1
shift
x · y1
add
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
shift
x · y2
add
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
shift
x · y3
add
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
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Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Die binäre Multiplikation erfolgt bei positiven Zahlen wie in der Schulmethode!
x
y
0
0
0
1
1
1
1
1
x · y0
0
0
1
1
shift
x · y1
add
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
shift
x · y2
add
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
shift
x · y3
add
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
In der Tat, es gilt 3 · 7 = 21.
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
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Stellenwertsysteme
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Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Blöcke von Nullen bzw. Blöcke von Einsen können ”übersprungen” werden!
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Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Blöcke von Nullen bzw. Blöcke von Einsen können ”übersprungen” werden!
Enthält ein Multiplikator y einen Nullblock der Länge k, so kann die
Multiplikation durch einen arithmetischen Shift des Partialproduktes nach rechts
um k Stellen beschleunigt werden. Die k Additionen mit Null entfallen.
100 / 178
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Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Blöcke von Nullen bzw. Blöcke von Einsen können ”übersprungen” werden!
Enthält ein Multiplikator y einen Nullblock der Länge k, so kann die
Multiplikation durch einen arithmetischen Shift des Partialproduktes nach rechts
um k Stellen beschleunigt werden. Die k Additionen mit Null entfallen.
Enthält der Multiplikator y einen Block mit Einser von Stelle u bis Stelle v mit
u < v , d. h.
...011...110...
so können die zum Einsblock gehörigen v − u + 1 Additionen der Multiplikation
nach Schulmethode
durch eine Addition an der Stelle v + 1 und eine Subtraktion an der Stelle u
ersetzt werden.
101 / 178
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Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Blöcke von Nullen bzw. Blöcke von Einsen können ”übersprungen” werden!
Enthält ein Multiplikator y einen Nullblock der Länge k, so kann die
Multiplikation durch einen arithmetischen Shift des Partialproduktes nach rechts
um k Stellen beschleunigt werden. Die k Additionen mit Null entfallen.
Enthält der Multiplikator y einen Block mit Einser von Stelle u bis Stelle v mit
u < v , d. h.
...011...110...
so können die zum Einsblock gehörigen v − u + 1 Additionen der Multiplikation
nach Schulmethode wegen
[...011...110...]2 =
v
X
i=u
2i =
v
X
i=0
X
u−1
2i −
2j = 2v +1 − 2u
j=0
durch eine Addition an der Stelle v + 1 und eine Subtraktion an der Stelle u
ersetzt werden.
102 / 178
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Darstellung von Zahlen
Question Time
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Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Arithmetische Operationen sind also nur an 0/1 bzw. 1/0 Übergängen im
Multiplikator notwendig!
103 / 178
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Darstellung von Zahlen
Question Time
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Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Arithmetische Operationen sind also nur an 0/1 bzw. 1/0 Übergängen im
Multiplikator notwendig!
Rechenvorschrift
yi
yi−1
Operation
mit y−(k+1) = 0.
104 / 178
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Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Arithmetische Operationen sind also nur an 0/1 bzw. 1/0 Übergängen im
Multiplikator notwendig!
Rechenvorschrift
yi
yi−1
Operation
0
0
shift
1
1
shift
mit y−(k+1) = 0.
105 / 178
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
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Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Arithmetische Operationen sind also nur an 0/1 bzw. 1/0 Übergängen im
Multiplikator notwendig!
Rechenvorschrift
yi
yi−1
Operation
0
0
shift
0
1
add and shift
1
1
shift
mit y−(k+1) = 0.
106 / 178
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Darstellung von Zahlen
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Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Arithmetische Operationen sind also nur an 0/1 bzw. 1/0 Übergängen im
Multiplikator notwendig!
Rechenvorschrift
yi
yi−1
Operation
0
0
shift
0
1
add and shift
1
0
sub and shift
1
1
shift
mit y−(k+1) = 0.
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Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
Operation
Zwischenergebnis
0000
108 / 178
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Question Time
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Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
Operation
Zwischenergebnis
0000
↑
109 / 178
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
110 / 178
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
↑
111 / 178
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
sub 0010
1110
0
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
↑
sub 0010
1110
0
↑
shift
1111
00
113 / 178
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
↑
sub 0010
1110
0
↑
shift
1111
00
↑
114 / 178
Was ist Information?
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Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
↑
sub 0010
1110
0
↑
shift
1111
00
shift
1111
100
115 / 178
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Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
↑
sub 0010
1110
0
↑
shift
1111
00
shift
1111
100
↑
116 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
↑
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
↑
sub 0010
1110
0
↑
shift
1111
00
shift
1111
100
add 0010
0001
100
117 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
↑
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
↑
sub 0010
1110
0
↑
shift
1111
00
shift
1111
100
add 0010
0001
100
↑
118 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Beispiel
x
y3
y2
y1
y0
0010
0
1
1
0
↑
↑
Operation
Zwischenergebnis
0000
shift
0000
0
↑
sub 0010
1110
0
↑
shift
1111
00
shift
1111
100
↑
add 0010
0001
100
↑
shift
0000
1100
119 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Satz von Booth)
Das Verfahren von Booth ist korrekt, auch wenn einer oder zwei der Operanden
negative Zahlen sind.
120 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Satz von Booth)
Das Verfahren von Booth ist korrekt, auch wenn einer oder zwei der Operanden
negative Zahlen sind.
Beweis: Wir betrachten im Verfahren von Booth an jeder Stelle die Differenz yi−1 − yi
und berechnen das Multiplikationsergebnis durch die Summe
p
=
0
1
n
X
iA
@
(yi−1 − yi ) · 2 · [x]2
i=−k
121 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Satz von Booth)
Das Verfahren von Booth ist korrekt, auch wenn einer oder zwei der Operanden
negative Zahlen sind.
Beweis: Wir betrachten im Verfahren von Booth an jeder Stelle die Differenz yi−1 − yi
und berechnen das Multiplikationsergebnis durch die Summe
p
=
0
1
n
X
iA
@
(yi−1 − yi ) · 2 · [x]2
=
0
n−1
X
@−yn · 2n + y−k−1 · 2−k +
i=−k
i
i+1
yi · (−2 + 2
1
)A · [x]2
i=−k
122 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Satz von Booth)
Das Verfahren von Booth ist korrekt, auch wenn einer oder zwei der Operanden
negative Zahlen sind.
Beweis: Wir betrachten im Verfahren von Booth an jeder Stelle die Differenz yi−1 − yi
und berechnen das Multiplikationsergebnis durch die Summe
p
=
0
1
n
X
iA
@
(yi−1 − yi ) · 2 · [x]2
=
0
n−1
X
@−yn · 2n + y−k−1 · 2−k +
i=−k
=
0
n−1
X
@−yn · 2n +
i
i+1
yi · (−2 + 2
1
)A · [x]2
i=−k
1
yi · 2 A · [x]2
i
i=−k
123 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung
Theorem (Satz von Booth)
Das Verfahren von Booth ist korrekt, auch wenn einer oder zwei der Operanden
negative Zahlen sind.
Beweis: Wir betrachten im Verfahren von Booth an jeder Stelle die Differenz yi−1 − yi
und berechnen das Multiplikationsergebnis durch die Summe
p
=
0
1
n
X
iA
@
(yi−1 − yi ) · 2 · [x]2
=
0
n−1
X
@−yn · 2n + y−k−1 · 2−k +
i=−k
=
0
n−1
X
@−yn · 2n +
=
[y ]2 · [x]2
i
i+1
yi · (−2 + 2
1
)A · [x]2
i=−k
1
yi · 2 A · [x]2
i
i=−k
124 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Vor- und Nachteile von Festkommadarstellungen
Vorteile
effizientes Rechnen möglich
125 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Vor- und Nachteile von Festkommadarstellungen
Vorteile
effizientes Rechnen möglich
Nachteile
keine ”ganz große” und ”ganz kleine” Zahlen darstellbar
mangelnde Genauigkeit
126 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Definition (Gleitkommazahl)
Es seien n, i ∈ N . Eine Gleitkommazahl (engl.: Floating Point Number) d ist eine
n-stellige Bitfolge, die — als Dezimalzahl [d] interpretiert — das folgende Format
besitzt:
[d] := (−1)S · M · 2E
Dabei bildet
S das Vorzeichen,
M die Mantisse und
E den Exponenten (inkl. dessen Vorzeichen)
der dargestellten Zahl [d].
127 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Definition (Gleitkommazahl)
Es seien n, i ∈ N . Eine Gleitkommazahl (engl.: Floating Point Number) d ist eine
n-stellige Bitfolge, die — als Dezimalzahl [d] interpretiert — das folgende Format
besitzt:
[d] := (−1)S · M · 2E
Dabei bildet
S das Vorzeichen,
M die Mantisse und
E den Exponenten (inkl. dessen Vorzeichen)
der dargestellten Zahl [d].
Vorzeichen, Exponent und Mantisse bestehen jeweils aus Teil-(Bit-)folgen von d, die
zusammengesetzt gerade d ergeben. Das Vorzeichen wird durch ein einzelnes Bit
repräsentiert, der Exponent durch eine Folge von i Bits. Die verbleibenden n − i − 1
Bits dienen zur Repräsentation der Mantisse, sodass sich folgende Aufteilung ergibt:
dn−1
S
dn−2 . . . dn−(i+1)
i Bits Exponent E
dn−(i+2)
...
d1 d0
n − i − 1 Bits (vorzeichenlose) Mantisse M
128 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Verteilung der Zahlen
In Festkommadarstellungen ist die Dichte der darstellbaren Zahlen in jedem
Teilintervall von [−2n , 2n − 2−k ] gleich hoch!
Bei Gleitkommadarstellungen ist die Anzahl der darstellbaren Zahlen in jedem
Teilintervall [2i , 2i+1 ] (bzw. [−2i+1 , −2i ]) unabhängig von i. Die Dichte erhöht sich
demnach exponentiell je näher das Teilintervall an der 0 liegt.
129 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Zusammensetzung der Gleitkommazahlen nach IEEE 754
einfache Genauigkeit:
31
S
30
...
8 Bits Exponent E
23
22
...
1 0
23 Bits vorzeichenlose Mantisse M
...
52
11 Bits Exponent E
51
...
1 0
52 Bits vorzeichenlose Mantisse M
doppelte Genauigkeit:
63
S
62
130 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
normalisierte Gleitkommazahlen
Die Gleitkommadarstellung, wie sie bis jetzt bei uns eingeführt worden ist, ist nicht
kanonisch, d. h. es gibt für eine Zahl mehrere Darstellungen, auch wenn man sich
entweder auf einfache Genauigkeit oder doppelte Genauigkeit beschränkt, z. B.
[0 00000001 00000000000000000000010]s
=
(−1)0 · 2 · 21
=
4
131 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
normalisierte Gleitkommazahlen
Die Gleitkommadarstellung, wie sie bis jetzt bei uns eingeführt worden ist, ist nicht
kanonisch, d. h. es gibt für eine Zahl mehrere Darstellungen, auch wenn man sich
entweder auf einfache Genauigkeit oder doppelte Genauigkeit beschränkt, z. B.
[0 00000001 00000000000000000000010]s
=
(−1)0 · 2 · 21
=
4
=
(−1)0 · 1 · 22
=
[0 00000010 0000000000000000000001]s
132 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
normalisierte Gleitkommazahlen
Die Gleitkommadarstellung, wie sie bis jetzt bei uns eingeführt worden ist, ist nicht
kanonisch, d. h. es gibt für eine Zahl mehrere Darstellungen, auch wenn man sich
entweder auf einfache Genauigkeit oder doppelte Genauigkeit beschränkt, z. B.
[0 00000001 00000000000000000000010]s
=
(−1)0 · 2 · 21
=
4
=
(−1)0 · 1 · 22
=
[0 00000010 0000000000000000000001]s
Eindeutigkeit erhält man, indem man die Menge der erlaubten Darstellungen
einschränkt −→ normalisierte Gleitkommazahlen
133 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
normalisierte Gleitkommazahlen einfacher Genauigkeit
Um Kanonizität zu erreichen, betrachtet man normalisierte Gleitkommazahlen, bei
denen der Wert der Mantisse jeweils in dem Intervall [1, 2) liegt, d. h. die Mantisse hat
als Wert 1, ...
134 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
normalisierte Gleitkommazahlen einfacher Genauigkeit
Um Kanonizität zu erreichen, betrachtet man normalisierte Gleitkommazahlen, bei
denen der Wert der Mantisse jeweils in dem Intervall [1, 2) liegt, d. h. die Mantisse hat
als Wert 1, ...
Hieraus folgt Eindeutigkeit der Darstellung. Zudem braucht die 1 vor dem Komma
nicht gespeichert zu werden, da ja jede Darstellung an dieser Position eine 1 stehen
hat.
135 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
normalisierte Gleitkommazahlen einfacher Genauigkeit
Um Kanonizität zu erreichen, betrachtet man normalisierte Gleitkommazahlen, bei
denen der Wert der Mantisse jeweils in dem Intervall [1, 2) liegt, d. h. die Mantisse hat
als Wert 1, ...
Hieraus folgt Eindeutigkeit der Darstellung. Zudem braucht die 1 vor dem Komma
nicht gespeichert zu werden, da ja jede Darstellung an dieser Position eine 1 stehen
hat.
Definition (normalisierte Gleitkommazahl)
Es sei n := 32 und d := se7 . . . e0 m22 . . . m0 eine Bitfolge der Länge n. Zudem sei
e7 . . . e0 6∈ {00000000, 11111111}. Wird d als normalisierte Gleitkommazahl nach
IEEE 754 interpretiert, so repräsentiert d die Dezimalzahl [d]s mit
[d]s := (−1)
s
0
−23
X
· @1 +
1
m23+i · 2 A ·
i
P7
2
i=0 ei 2
i
!
−BIAS
.
i=−1
Es gilt hierbei BIAS := 127
136 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
normalisierte Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit
Um Kanonizität zu erreichen, betrachtet man normalisierte Gleitkommazahlen, bei
denen der Wert der Mantisse jeweils in dem Intervall [1, 2) liegt, d. h. die Mantisse hat
als Wert 1, ...
Hieraus folgt Eindeutigkeit der Darstellung. Zudem braucht die 1 vor dem Komma
nicht gespeichert zu werden, da ja jede Darstellung an dieser Position eine 1 stehen
hat.
Definition (normalisierte Gleitkommazahl)
Es sei n := 64 und d := se10 . . . e0 m51 . . . m0 eine Bitfolge der Länge n. Zudem sei
e10 . . . e0 6∈ {00000000000, 11111111111}. Wird d als normalisierte Gleitkommazahl
nach IEEE 754 interpretiert, so repräsentiert d die Dezimalzahl [d]d mit
[d]d := (−1)
s
0
−52
X
· @1 +
1
m52+i · 2 A ·
i
P10
2
i=0 ei 2
i
!
−BIAS
.
i=−1
Es gilt hierbei BIAS := 1023
137 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Definition (normalisierte Gleitkommazahl)
[d]s := (−1)
s
0
−23
X
· @1 +
1
m23+i · 2 A ·
i
P7
2
i=0 ei 2
i
!
−BIAS
.
i=−1
Es gilt hierbei BIAS := 127
Example
Gegeben sei die normalisierte Gleitkommazahl a1 :
a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000
138 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Definition (normalisierte Gleitkommazahl)
[d]s := (−1)
s
0
−23
X
· @1 +
1
m23+i · 2 A ·
i
P7
2
i=0 ei 2
i
!
−BIAS
.
i=−1
Es gilt hierbei BIAS := 127
Example
Gegeben sei die normalisierte Gleitkommazahl a1 :
a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000
Der dezimale Wert [a1 ]s von a1 lässt sich gemäß obiger Definition wie folgt ermitteln.
[a1 ]s
:=
(−1)1 · (1 + (2−1 + 2−2 )) · 22
7
+20 −127
139 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Definition (normalisierte Gleitkommazahl)
[d]s := (−1)
s
0
−23
X
· @1 +
1
m23+i · 2 A ·
i
P7
2
i=0 ei 2
i
!
−BIAS
.
i=−1
Es gilt hierbei BIAS := 127
Example
Gegeben sei die normalisierte Gleitkommazahl a1 :
a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000
Der dezimale Wert [a1 ]s von a1 lässt sich gemäß obiger Definition wie folgt ermitteln.
[a1 ]s
:=
=
(−1)1 · (1 + (2−1 + 2−2 )) · 22
(−1) · (1 + 0, 5 + 0, 25) · 2
7
+20 −127
128+1−127
140 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Definition (normalisierte Gleitkommazahl)
[d]s := (−1)
s
0
−23
X
· @1 +
1
m23+i · 2 A ·
i
P7
2
i=0 ei 2
i
!
−BIAS
.
i=−1
Es gilt hierbei BIAS := 127
Example
Gegeben sei die normalisierte Gleitkommazahl a1 :
a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000
Der dezimale Wert [a1 ]s von a1 lässt sich gemäß obiger Definition wie folgt ermitteln.
[a1 ]s
:=
(−1)1 · (1 + (2−1 + 2−2 )) · 22
=
(−1) · (1 + 0, 5 + 0, 25) · 2
=
−1, 75 · 22
7
+20 −127
128+1−127
141 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Definition (normalisierte Gleitkommazahl)
[d]s := (−1)
s
0
−23
X
· @1 +
1
m23+i · 2 A ·
i
P7
2
i=0 ei 2
i
!
−BIAS
.
i=−1
Es gilt hierbei BIAS := 127
Example
Gegeben sei die normalisierte Gleitkommazahl a1 :
a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000
Der dezimale Wert [a1 ]s von a1 lässt sich gemäß obiger Definition wie folgt ermitteln.
[a1 ]s
:=
(−1)1 · (1 + (2−1 + 2−2 )) · 22
=
(−1) · (1 + 0, 5 + 0, 25) · 2
=
−1, 75 · 22
=
−7
7
+20 −127
128+1−127
142 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Example
Gesucht ist die 32-Bit Gleitkommazahl a2 der Dezimalzahl mit [a2 ]s = −0, 625:
−0, 625 ist negativ ⇒ Vorzeichenbit = 1
Umwandlung in eine Binärzahl: −0, 62510 = −0, 1012
Normalisierung: −0, 1012 = −1, 012 · 2−1
Bitfolge zur Repräsentation der Mantisse M = 0100 0000 0000 0000 0000 000.
Berechnung des Exponenten :
2−1
=
2126−127
=
22
6
+25 +24 +23 +22 +21 −127
Bitfolge zur Repräsentation des Exponenten E = 0111 1110
Gleitkommadarstellung:
a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000
143 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Example
Gesucht ist die 32-Bit Gleitkommazahl a2 der Dezimalzahl mit [a2 ]s = −0, 625:
−0, 625 ist negativ ⇒ Vorzeichenbit = 1
Umwandlung in eine Binärzahl: −0, 62510 = −0, 1012
Normalisierung: −0, 1012 = −1, 012 · 2−1
Bitfolge zur Repräsentation der Mantisse M = 0100 0000 0000 0000 0000 000.
Berechnung des Exponenten :
2−1
=
2126−127
=
22
6
+25 +24 +23 +22 +21 −127
Bitfolge zur Repräsentation des Exponenten E = 0111 1110
Gleitkommadarstellung:
a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000
144 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Example
Gesucht ist die 32-Bit Gleitkommazahl a2 der Dezimalzahl mit [a2 ]s = −0, 625:
−0, 625 ist negativ ⇒ Vorzeichenbit = 1
Umwandlung in eine Binärzahl: −0, 62510 = −0, 1012
Normalisierung: −0, 1012 = −1, 012 · 2−1
Bitfolge zur Repräsentation der Mantisse M = 0100 0000 0000 0000 0000 000.
Berechnung des Exponenten :
2−1
=
2126−127
=
22
6
+25 +24 +23 +22 +21 −127
Bitfolge zur Repräsentation des Exponenten E = 0111 1110
Gleitkommadarstellung:
a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000
145 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Example
Gesucht ist die 32-Bit Gleitkommazahl a2 der Dezimalzahl mit [a2 ]s = −0, 625:
−0, 625 ist negativ ⇒ Vorzeichenbit = 1
Umwandlung in eine Binärzahl: −0, 62510 = −0, 1012
Normalisierung: −0, 1012 = −1, 012 · 2−1
Bitfolge zur Repräsentation der Mantisse M = 0100 0000 0000 0000 0000 000.
Berechnung des Exponenten :
2−1
=
2126−127
=
22
6
+25 +24 +23 +22 +21 −127
Bitfolge zur Repräsentation des Exponenten E = 0111 1110
Gleitkommadarstellung:
a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000
146 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Example
Gesucht ist die 32-Bit Gleitkommazahl a2 der Dezimalzahl mit [a2 ]s = −0, 625:
−0, 625 ist negativ ⇒ Vorzeichenbit = 1
Umwandlung in eine Binärzahl: −0, 62510 = −0, 1012
Normalisierung: −0, 1012 = −1, 012 · 2−1
Bitfolge zur Repräsentation der Mantisse M = 0100 0000 0000 0000 0000 000.
Berechnung des Exponenten :
2−1
=
2126−127
=
22
6
+25 +24 +23 +22 +21 −127
Bitfolge zur Repräsentation des Exponenten E = 0111 1110
Gleitkommadarstellung:
a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000
147 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Example
Gesucht ist die 32-Bit Gleitkommazahl a2 der Dezimalzahl mit [a2 ]s = −0, 625:
−0, 625 ist negativ ⇒ Vorzeichenbit = 1
Umwandlung in eine Binärzahl: −0, 62510 = −0, 1012
Normalisierung: −0, 1012 = −1, 012 · 2−1
Bitfolge zur Repräsentation der Mantisse M = 0100 0000 0000 0000 0000 000.
Berechnung des Exponenten :
2−1
=
2126−127
=
22
6
+25 +24 +23 +22 +21 −127
Bitfolge zur Repräsentation des Exponenten E = 0111 1110
Gleitkommadarstellung:
a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000
148 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Example
Gesucht ist die 32-Bit Gleitkommazahl a2 der Dezimalzahl mit [a2 ]s = −0, 625:
−0, 625 ist negativ ⇒ Vorzeichenbit = 1
Umwandlung in eine Binärzahl: −0, 62510 = −0, 1012
Normalisierung: −0, 1012 = −1, 012 · 2−1
Bitfolge zur Repräsentation der Mantisse M = 0100 0000 0000 0000 0000 000.
Berechnung des Exponenten :
2−1
=
2126−127
=
22
6
+25 +24 +23 +22 +21 −127
Bitfolge zur Repräsentation des Exponenten E = 0111 1110
Gleitkommadarstellung:
a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000
149 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
denormalisierte Gleitkommazahlen
Problem
150 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
denormalisierte Gleitkommazahlen
Problem
Die Null kann nicht als normalisierte Gleitkommazahl dargestellt werden!!!
151 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
denormalisierte Gleitkommazahlen
Problem
Die Null kann nicht als normalisierte Gleitkommazahl dargestellt werden!!!
=⇒Einführung von denormalisierten Zahlen
Definition
Es sei n := 32 und d := se7 . . . e0 m22 . . . m0 eine Bitfolge der Länge n mit
e7 . . . e0 := 00000000. Dann stellt d eine denormalisierte Gleitkommazahl nach dem
Standard IEEE 754 dar und repräsentiert die Dezimalzahl [d]s mit
[d]s := (−1)
s
0
−23
X
·@
1
m23+i · 2 A ·
i
!
2−126
.
i=−1
Hierdurch wird der ”Bereich um die Null” äquidistant partitioniert!
152 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
denormalisierte Gleitkommazahlen
Problem
Die Null kann nicht als normalisierte Gleitkommazahl dargestellt werden!!!
=⇒Einführung von denormalisierten Zahlen
Definition
Es sei n := 32 und d := se7 . . . e0 m22 . . . m0 eine Bitfolge der Länge n mit
e7 . . . e0 := 00000000. Dann stellt d eine denormalisierte Gleitkommazahl nach dem
Standard IEEE 754 dar und repräsentiert die Dezimalzahl [d]s mit
[d]s := (−1)
s
0
−23
X
·@
1
m23+i · 2 A ·
i
!
2−126
.
i=−1
Hierdurch wird der ”Bereich um die Null” äquidistant partitioniert!
Die Darstellung der 0 ist nicht eindeutig!
153 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
denormalisierte Gleitkommazahlen
Problem
Die Null kann nicht als normalisierte Gleitkommazahl dargestellt werden!!!
=⇒Einführung von denormalisierten Zahlen
Definition
Es sei n := 32 und d := se10 . . . e0 m22 . . . m0 eine Bitfolge der Länge n mit
e10 . . . e0 := 00000000000. Dann stellt d eine denormalisierte Gleitkommazahl nach
dem Standard IEEE 754 dar und repräsentiert die Dezimalzahl [d]d mit
[d]d := (−1)
s
0
−52
X
·@
1
m52+i · 2 A ·
i
!
2−1022
.
i=−1
Hierdurch wird der ”Bereich um die Null” äquidistant partitioniert!
Die Darstellung der 0 ist nicht eindeutig!
154 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Darstellung von +∞ und −∞
Definition
Es seien
d
:=
0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000
e
:=
1 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000
Dann stellt nach dem Standard IEEE 754 d den Wert +∞ und e den Wert −∞ dar.
155 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
IEEE 754 im Überblick
Genauigkeit
einfach
1
doppelt
1
#Exponenten-Bits
8
11
#Mantissen-Bits
23
52
#Bitstellen insgesamt
32
64
#Vorzeichen-Bits
156 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
IEEE 754 im Überblick
Genauigkeit
einfach
1
doppelt
1
#Exponenten-Bits
8
11
#Mantissen-Bits
23
52
#Vorzeichen-Bits
#Bitstellen insgesamt
32
64
BIAS
127
1023
[−126, 127] ∩ Z
[−1022, 1023] ∩ Z
Exponentenbereich
157 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
IEEE 754 im Überblick
Genauigkeit
einfach
1
doppelt
1
#Exponenten-Bits
8
11
#Mantissen-Bits
23
52
#Vorzeichen-Bits
#Bitstellen insgesamt
32
64
BIAS
127
1023
Exponentenbereich
normalisierte Zahl mit max. Betrag
normalisierte Zahl mit min. Betrag
[−126, 127] ∩ Z
[−1022, 1023] ∩ Z
2−24 )
(1 − 2−53 ) · 21024
(1 −
2−126
·
2128
2−1022
158 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
IEEE 754 im Überblick
Genauigkeit
einfach
1
doppelt
1
#Exponenten-Bits
8
11
#Mantissen-Bits
23
52
#Vorzeichen-Bits
#Bitstellen insgesamt
32
64
BIAS
127
1023
Exponentenbereich
normalisierte Zahl mit max. Betrag
[−126, 127] ∩ Z
[−1022, 1023] ∩ Z
2−24 )
(1 − 2−53 ) · 21024
(1 −
2−126
normalisierte Zahl mit min. Betrag
denormalisierte Zahl mit max. Betrag
denormalisierte Zahl mit min. Betrag
·
2128
(1 −
2−23 )
·
2−149
2−1022
2−126
(1 − 2−52 ) · 2−1022
2−1074
159 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s + [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
± (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
± (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
160 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s + [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
± (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
± (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
Fallunterscheidung
Falls E1 = E2 :
Falls E1 > E2 :
161 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s + [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
± (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
± (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
Fallunterscheidung
Falls E1 = E2 :
berechne ± (1 + M1 ) + ± (1 + M2 )
normalisiere die Darstellung (± (1 + M1 ) + ± (1 + M2 )) · 2E1 −127
Falls E1 > E2 :
162 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s + [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
± (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
± (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
Fallunterscheidung
Falls E1 = E2 :
berechne ± (1 + M1 ) + ± (1 + M2 )
normalisiere die Darstellung (± (1 + M1 ) + ± (1 + M2 )) · 2E1 −127
Falls E1 > E2 :
Angleichung der Exponente — der kleinere wird angepasst
[d2 ]s = ± (1 + M2 ) · 2E2 −E1 ·2E1 −127
|
{z
}
neue Mantisse
Addition der Mantissen
Normalisierung des Ergebnisses
163 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition von Gleitkommazahlen
Example
Es sei [d1 ]s = 1, 101 · 2−3 und [d2 ]s = 1, 011 · 2−4 .
Der Exponent von d2 ist anzupassen
[d2 ]s
:=
1, 011 · 2−4
=
(1, 011 · 2−1 ) · 2−3
=
0, 1011 · 2−3
Die Mantissen sind aufzuaddieren:
[sum]s
=
(1, 101 + 0, 1011) · 2−3
=
10, 0101 · 2−3
Das Ergebnis ist zu normalisieren
[sum]s
=
10, 0101 · 2−3
=
(1, 00101 · 21 ) · 2−3
=
1, 00101 · (21 · 2−3 )
=
1, 00101 · 2−2
164 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition von Gleitkommazahlen
Example
Es sei [d1 ]s = 1, 101 · 2−3 und [d2 ]s = 1, 011 · 2−4 .
Der Exponent von d2 ist anzupassen
[d2 ]s
:=
1, 011 · 2−4
=
(1, 011 · 2−1 ) · 2−3
=
0, 1011 · 2−3
Die Mantissen sind aufzuaddieren:
[sum]s
=
(1, 101 + 0, 1011) · 2−3
=
10, 0101 · 2−3
Das Ergebnis ist zu normalisieren
[sum]s
=
10, 0101 · 2−3
=
(1, 00101 · 21 ) · 2−3
=
1, 00101 · (21 · 2−3 )
=
1, 00101 · 2−2
165 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition von Gleitkommazahlen
Example
Es sei [d1 ]s = 1, 101 · 2−3 und [d2 ]s = 1, 011 · 2−4 .
Der Exponent von d2 ist anzupassen
[d2 ]s
:=
1, 011 · 2−4
=
(1, 011 · 2−1 ) · 2−3
=
0, 1011 · 2−3
Die Mantissen sind aufzuaddieren:
[sum]s
=
(1, 101 + 0, 1011) · 2−3
=
10, 0101 · 2−3
Das Ergebnis ist zu normalisieren
[sum]s
=
10, 0101 · 2−3
=
(1, 00101 · 21 ) · 2−3
=
1, 00101 · (21 · 2−3 )
=
1, 00101 · 2−2
166 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Addition von Gleitkommazahlen
Example
Es sei [d1 ]s = 1, 101 · 2−3 und [d2 ]s = 1, 011 · 2−4 .
Der Exponent von d2 ist anzupassen
[d2 ]s
:=
1, 011 · 2−4
=
(1, 011 · 2−1 ) · 2−3
=
0, 1011 · 2−3
Die Mantissen sind aufzuaddieren:
[sum]s
=
(1, 101 + 0, 1011) · 2−3
=
10, 0101 · 2−3
Das Ergebnis ist zu normalisieren
[sum]s
=
10, 0101 · 2−3
=
(1, 00101 · 21 ) · 2−3
=
1, 00101 · (21 · 2−3 )
=
1, 00101 · 2−2
167 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s · [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
(−1)S1 · (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
(−1)S2 · (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
168 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s · [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
(−1)S1 · (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
(−1)S2 · (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
Es gilt:
[p]s
=
[d1 ]s · [d2 ]s
169 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s · [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
(−1)S1 · (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
(−1)S2 · (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
Es gilt:
[p]s
=
=
[d1 ]s · [d2 ]s
(−1)S1 · (1 + M1 ) · 2E1 −127 · (−1)S2 · (1 + M2 ) · 2E2 −127
170 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s · [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
(−1)S1 · (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
(−1)S2 · (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
Es gilt:
[p]s
=
=
=
[d1 ]s · [d2 ]s
(−1)S1 · (1 + M1 ) · 2E1 −127 · (−1)S2 · (1 + M2 ) · 2E2 −127
(−1)S1 ⊕S2 · ((1 + M1 ) · (1 + M2 )) · 2(E1 −127)+(E2 −127) .
171 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1 ]s · [d2 ]s mit
[d1 ]s
:=
(−1)S1 · (1 + M1 ) · 2E1 −127 ,
[d2 ]s
:=
(−1)S2 · (1 + M2 ) · 2E2 −127 .
Es gilt:
[p]s
=
=
=
[d1 ]s · [d2 ]s
(−1)S1 · (1 + M1 ) · 2E1 −127 · (−1)S2 · (1 + M2 ) · 2E2 −127
(−1)S1 ⊕S2 · ((1 + M1 ) · (1 + M2 )) · 2(E1 −127)+(E2 −127) .
Die drei Bestandteile der Gleitkommazahlen d1 und d2 können also, bis auf die
abschließende Normalisierung des Ergebnisses, getrennt voneinander behandelt und
verknüpft werden.
172 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Zwei Details sind also zu berücksichtigen:
1
Das Ergebnis muss in der Regel normalisiert werden!
2
Der Exponent ergibt sich nicht direkt aus der in der Darstellung abgespeicherten
Bitfolge, sondern ergibt sich erst durch Subtraktion des BIAS von der
dargestellten Binärzahl!
173 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Zwei Details sind also zu berücksichtigen:
1
Das Ergebnis muss in der Regel normalisiert werden!
2
Der Exponent ergibt sich nicht direkt aus der in der Darstellung abgespeicherten
Bitfolge, sondern ergibt sich erst durch Subtraktion des BIAS von der
dargestellten Binärzahl!
174 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Zwei Details sind also zu berücksichtigen:
1
Das Ergebnis muss in der Regel normalisiert werden!
2
Der Exponent ergibt sich nicht direkt aus der in der Darstellung abgespeicherten
Bitfolge, sondern ergibt sich erst durch Subtraktion des BIAS von der
dargestellten Binärzahl!
175 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Zwei Details sind also zu berücksichtigen:
1
Das Ergebnis muss in der Regel normalisiert werden!
2
Der Exponent ergibt sich nicht direkt aus der in der Darstellung abgespeicherten
Bitfolge, sondern ergibt sich erst durch Subtraktion des BIAS von der
dargestellten Binärzahl!
Gesucht ist also die binäre Darstellung τ von
(E1 − BIAS) + (E2 − BIAS) + BIAS:
176 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
Stellenwertsysteme
Festkommadarstellungen
Gleitkommadarstellungen
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Zwei Details sind also zu berücksichtigen:
1
Das Ergebnis muss in der Regel normalisiert werden!
2
Der Exponent ergibt sich nicht direkt aus der in der Darstellung abgespeicherten
Bitfolge, sondern ergibt sich erst durch Subtraktion des BIAS von der
dargestellten Binärzahl!
Gesucht ist also die binäre Darstellung τ von
(E1 − BIAS) + (E2 − BIAS) + BIAS:
(E1 − BIAS) + (E2 − BIAS) + BIAS
=
7
X
!
ed1 ,i · 2
i=0
=
7
X
i=0
=
ed1 ,i · 2i
i
!
− BIAS
!
+
7
X
7
X
+
!
ed2 ,i · 2i
!
ed2 ,i · 2
i
!
− BIAS
+ BIAS
i=0
− BIAS
i=0
[ed1 ,7 . . . ed1 ,0 ] + [ed2 ,7 . . . ed2 ,0 ] − BIAS.
177 / 178
Was ist Information?
Darstellung von Zeichen
Darstellung von Zahlen
Question Time
”Stad Letzebuerg”
[http://www.ludgerusschule.de/]
Wehrmauern erinnern an die Festung Luxemburgs. Luxemburg war eine der berühmtesten und am schwersten einnehmbaren Festungen Westeuropas und wurde zu Recht
Gibraltar des Nordens genannt. In der französischen Zeit (1684-1697) wurde unter dem
Hauptkommissar der Festungsanlagen und Festungsbaumeister Ludwigs XIV., Sébastien
le Prestre de Vauban, die Feste Luxemburg besonders stark ausgebaut. Im Anschluss an
den Neutralitätsvertrag vom 11. Mai 1867 musste Luxemburg seine Festung schleifen.
178 / 178

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