Topologie und Geometrie: ¨Ubungsblatt 5

Prof. Dr. A. Beliakova
Sommersemester 2006
Topologie und Geometrie: Übungsblatt 5
Abgabe: Freitag, 19. Mai 2006, bis 12 Uhr in die Postfächer.
Aufgabe 1
Zeige, dass der Prozess der baryzentrischen Verfeinerung eines 2-dimensionalen Simplizialkomplexes in eine endliche Folge der untenstehenden Operationen zerlegt werden kann:
1. Einfügen einer Kante zwischen zwei Ecken eines Polygons.
2. Einfügen einer Ecke im Innern eines Polygons und einfügen einer Kante von dieser
Ecke zu einer Ecke auf dem Rand des Polygons.
3. Einfügen einer Ecke im Innern einer Kante.
Aufgabe 2
a. Zeige χ(S1 ♯S2 ) = χ(S1 ) + χ(S2 ) − 2 für beliebige kompakte Flächen S1 und S2 und
berechne das Geschlecht von nT2 ♯mP2 .
b. Seien K1 und K2 Unterkomplexe eines endlichen Komplexes. Beweise: χ(K1 ∪K2 ) =
χ(K1 ) + χ(K2 ) − χ(K1 ∩ K2 ).
Aufgabe 3
Für eine Triangulierung einer kompakten Fläche ohne Rand bezeichne f die Anzahl Dreiecke, e die Anzahl Kanten und v die Anzahl Ecken.
a. Zeige 3f = 2e und 2e ≤ v(v − 1).
√
b. Zeige v ≥ 21 (7 + 49 − 24χ).
(χ = Eulercharakteristik der Fläche)
c. Zeige: Um T2 zu triangulieren, benötigt man mindestens f = 14 Dreiecke. Finde
eine Triangulierung von T2 mit genau 14 Dreiecken!
Aufgabe 4
Sei P ein zu S2 homöomorphes Polyeder, bei dem alle Seitenflächen gleichviele Kanten
haben und bei dem an jeder Ecke gleichviele Seitenflächen zusammentreffen. Sei n die
Anzahl Kanten einer Seitenfläche, m die Anzahl Seitenflächen, die an einer Ecke zusammentreffen, und e die Anzahl Kanten von P . Beweise:
1
1 1
1
=
− + .
e
m 2 n
Finde alle ganzzahligen Lösungen (e, m, n) dieser Gleichung mit e, m, n ≥ 3.
* Aufgabe 5
Sei S eine kompakte orientierbare zusammenhängende Fläche ohne Rand. Eine Blätterung
von S ist eine Familie von Paaren (Ui , ϕi ) mit den folgenden Eigenschaften:
1. {Ui } ist eine offene Überdeckung von S.
2. ϕi : Ui → D 2 (0, 1) ist ein Homöomorphismus der Form ϕi (p) = (xi (p), yi(p)) ∈ R2 .
3. Es gilt yi (p) = yi (q) ⇔ yj (p) = yj (q) für alle p, q ∈ Ui ∩ Uj .
Beweise: Falls S eine Blätterung besitzt, so ist S homömorph zu T2 . Hinweis: Nimm an,
dass eine Triangulierung von S existiert, sodass jedes Dreieck in einem Ui enthalten ist,
und sodass die Einschränkungen der Funktionen yi auf Kanten der Triangulierung streng
monoton sind. (Eine solche Triangulierung existiert dank Eigenschaft 3).
Aufgabe 6
Sei F = {(Ui , ϕi )} eine Blätterung von T2 und sei ∼F die Äquivalenzrelation auf T2
erzeugt durch: p ∼F q für p, q ∈ Ui mit yi(p) = yi (q). Die Äquivalenzklassen bezüglich
∼F heissen Blätter von F . Zwei Blätterungen F und F ′ heissen äquivalent, wenn ein
Homöomorphismus f : T2 → T2 existiert, welcher Blätter von F auf Blätter von F ′
abbildet. Finde zwei nicht äquivalente Blätterungen von T2 ! Gibt es eine Blätterung F
von T2 , für die der Quotientenraum T2 / ∼F nicht hausdorffsch ist?