2.14 Konservative Kräfte und Potential Begriff des Kraftfeldes: Def

2.14 Konservative Kräfte und Potential
lap2/mewae/scr/kap2_14sf7_ 31-10-03
Begriff des Kraftfeldes:
Def.: Ein Kraftfeld ist ein von einer Kraft-Wirkung erfüllter Raum. Darstellung: F r
z.B. Gravitation: 2. Masse m 2 in Umgebung einer Masse m 1 :
spürt Kraft:
F f mr1 m2 2
”F zwischen m 1 , m 2 ”
11
f 6.7 10 andere Betrachtungsweise:
Anwesenheit von m 1 alleine schon verändert den Raum, erfüllt ihn mit einer ’Kraftwirkung’, die
durch 2. Masse nachgewiesen werden kann ( m 2 spürt F ja in r 2 , also an Punkt im Raum, der i.a.
von m 1 entfernt ist r 1 r 2 ... Wirkung in Raum...)
Dementsprechend kann man eine Gravitations - Feldstärke E g . definieren:
Eg Fg m e r f mr N/kg
r
,
m
,
m
E
m,
r
f
g
1
2
m2
r3
r2
Dieser Begriff ist nicht allgemein üblich, wird aber hier gebracht, da das elektrische Feld E
analog gebildet wird.
Darstellung des Feldes durch Feldlinien: in jedem Punkt des Raumes ist die Richtung der Kraft
eine Tangente an die Feldlinien.
Also für die Gravitation: radiale Feldlinien.
wenn F r12 (Gravitation, Coulomb-Feld),Dichte der Feldlinien AN Fr N4F rm2 ,
ebenfalls r12 : NAF kann daher als Maß für Stärke des Feldes verwendet werden: N f m
E 4N rf 2 fr m2 N f m 4 f m
dann ist F m 2 E m 2 AN rf analog in Elektrostatik etc.
A
2
A
1
Schwerkraft auf Erdoberfläche: r r r E r const gilt
rE F const im Bereich r da dort
r
∆r =∆h >>
E
r
E
er
F m g
E g f rm2 e r
E
Begriff der konservativen Kraft:
Definition: in einem konservativen Kraftfeld ist die Arbeit, die das Kraftfeld beim Verschieben
eines Objektes, das diese Kraft spürt,verrichtet, unabhängig vom Weg, d.h. sie ist nur eine
eindeutige Funktion des Anfangs- und Endpunktes dieser Bewegung.
d.h. weiter:
Fds 0
z.B. für F const :
r2
r1
denn: Fds Fds
Fds F r2
r1
2
1
1
2
1
2
1
2
0
ds F r F r 2 r 1
W pot relativ zu einem beliebigen Bezugspunkt ist eine eindeutige Ortsfunktion. D.h.eine
einzige Zahlenangabe definiert das Feld in einem gegebenen Raumpunkt
W eg b
B
W eg a
A
Wirbelfeld
Warum ist das wichtig?
Feld kann dann statt als Vektor r durch Skalar r beschrieben werden: wesentlich einfacher
(1 dim statt 3 dim.) Skalares Potentialfeld statt vektoriellem Kraftfeld beschreibt Kraftwirkung
im Raum! Z.B. Addition von Feldern reduziert sich dann auf Addition von 2 Zahlen in
gegebenem Raumpunkt (statt Addition der 3 Vektor-komponenten)
offene Fragen:
a) Wie sieht V aus?
b)Wie bekomme ich F aus V?
c)Wann ist
0?
ad a)Def. des Potentials: Analog zu potentieller Energie:
(im folgenden wird ein mächtiger Formalismus an einem trivialen Beispiel erläutert, das man
auch einfacher Lösen
könnte ....)
r2
V W pot Fdr
r1
dV Fdr F x dx F y dy F z dz dV x dV y dV z
d.h. die Änderung des Potentials dV setzt sich aus Anteilen der Arbeit gegen F x , F y , F z entlang
dx, dy, dz zusammen. (Angabe eines Bezugspunktes r 1 : V V wenn V r 1 0 gewählt
wird)
ad b)
Umgekehrt kann dann aus diesen Anteilen die entsprechende Kraftkomponente berechnet
werden:
Änderung von W bei Verschieben um dx: entspricht F x ! ( d.h. wenn dx 1m wäre ...)
Vx ,
F x F Vy ,
F y V ex
x
V ey
y
Vz
F z V ez
z
Zeichen der partiellen Ableitung gibt an, daß V(x,y,z) nur nach einer dieser Variablen
abgeleitet wird.)
Formal:
F F x e x F y e y F z e z Vx e x Vy e y Vz e z ...
kann geschrieben werden als:”Gradient von V”
F wenn man den Vektor-Operator ”
Gestalt hat:
” einführt, der z.B. in kartesischen Koordinaten folgende
V
:
x
ex ey y
z
ez
”NABLA-Operator”; Differentialoperator, (Nabla: Griechisches Saiteninstrument)
z.B.Bewegung im Schwerefeld nahe der Erdobefläche: F m g m g e z const
Damit wird dann:
ez er
r2
r2
V W pot Fdr F dr F r mge z r mg rcos e z , e r mg h
r1
r1
h
V V relat.z.Erdoberfl. mgh daraus dann mit Gradientenbildung die Kraft F :
V
V
h
h
F Vx e x Vy e y Vz e z mit V mgh
0 hz 1,
x
y
x
y
F Vz e z mge z
Vz
mg
Jetzt das gleiche nocheinmal in einer anderen Variante, nämlich der Darstellung über das Feld E
:
(gleicher Formalismus wie zuvor, nur mit mF E, mV U)
E g dr mit E g mF g
U F
Joule
E g dr g r g h
U m l kg
U ist hier das Gravitationspotential an der Erdoberfläche, ist jetzt unabhängig von gewählter
Masse m
Aus U r kann E r jetzt wieder berechnet werden (analog zu F aus V):
U
U
h
E Ux e x Uy e y Uz e z U g h
x
y
x
E Uz e z ge z
F mE mge z ... wie zu erwarten
hy
hz 1, Uz g
0
Kompaktere Schreibweise:
E U gh g h
mit
h
x k
h kz ...
Kronecker-Symbol
x
h
k
kz
k
ek E ge z
kz e k
0 für k z und
1 für k z.
kz
Darstellung des Potentials:
durch Äquipotentiallinien: U 0; für dr entlang dieser Linien gilt Edr 0 d.h. Edr 0,
Linie
d.h. E, dr /2,
d.h. dr auf E: Höhenlinien im Falle der Schwerkraft!
U 0, U const : g h const : h const
F s zu Höhenlinie: maximale Komponente der
Schwerkraft maximale Steilheit
V F s ds
h
Schon bekannt aus geographischen Karten: Wo Höhenlinien eng: groß (Steigung tan s
,F s m g sin groß, d.h. wo ds bei gegebenem U ein Minimum, muß F also Maximum
haben!
ad c)
Wie können wir feststellen, ob ein Kraftfeld konservativ ist?
Naheliegend: Fds 0 für gesamtes Feld beweisen; mühsam bis unmöglich
Ausweg: wird auf Anwendung eines Differentialoperators auf den Vektor zurückgeführt, der
leichter zu berechnen ist ( Differenzieren . immer leichter als Integrieren!)
Satz von Stokes:
F r dr rotF x lim dA
0
1
A
F s d s mit A
rotF r dA
rotF F
e x etc..)
F
dA = dAe
A
eA
dA
A
ds
Der Satz von Stokes muß für beliebig große und bel. orientierte Flächen (Bahnen am Rand dieser
Flächen) gelten, daher auch für Integranden:
F r dr 0 wenn rotF F 0 ”F ist Wirbelfrei”
Beispiel: Gravitationsfeld
Beispiel: Berechnung von rot F für das Gravitationspotential
fm
r
damit rot F 0 und daher auch rotE 0 :
E
r
fm
0
3
3
r
r
E fm
e r fm
r
r2
r3
hier müßte nun in Kugelkoordinaten umgeschrieben werden, da es aber hier keine
, -Anhängigkeit gibt, kann die r-Abhängigkeit in kartesischen Koordinaten dargestellt werden.
( sieht in jedem Koordinatensystem anders aus!)
r
r
1
r3
x k e k
1
x 2k 2
x 2k damit wird:
r
r3
3
2
1
2 x2
x 2k y2 z2
3
2
3
r
zur Erinnerung: Wenn C A
zyklisch!
In Matrixschreibweise:
B, dann gilt für die Komponenten C x A y B z A z B y und
x
z.B. x-Komponente:
z 3
2
r
r3
x
xk 3
2
x2 r r3
x
y
x 2k y
z
5
2
y
xk 3
2
y2 x 2k r
r3
3
2
z
r
r3
z2 xk z
y
3
2
x 2k x 2k 2y y 3
2
z
5
2
3
2
2z 0
Analog verschwinden auch die anderen Komponenten Gravitationsfeld ist ein konservatives
Kraftfeld, kann also mit einem Potential beschrieben werden.
Berechnung des Gravitationspotentials einer Masse m:
r2 r2 r2 1
U e
dr fm 1r
fm
E r dr r e r dr fm 2
r2
r
r1
Wahl: r 1 r1
r1
, r2 r :
U r fm
r
mit U
r2
r1
fm
r2
fm
r1
0
(U 0, da Bezugspunkt in r gewählt, um dorthin zu gelangen, muß Arbeit aufgebracht
werden, Masse im Gravitationsfeld einer 2. Masse sieht einen Potential-Trichter!).
(Skizze! Potentialtrichter mit kreisender
Masse, Wges
Berechnung der Gravitationskraft aus U r :
F m 1 U m 1
x
U
k
ek
z-Richtung jeweils in r-Richtung
gelegt:
1
U
F m 1 r e r fm 1 m r r e r f mr12m e r
0, Wkin Wges - Wpot)